Đại số tuyến tính (Nguyễn Hữu Việt Hưng)

phu .o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t suy biˆe´n hˆe.. t khˆ ong gian v´ ecto..[r]

MU C LU C

Mu.c lu.c

L`o.i n´oi d¯ˆ` u 4a Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´u.c chuˆa’n bi 7

§1 Tˆa.p ho p 7

§2 Quan hˆe v`a ´Anh xa 11

§3 Lu. c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p 15

§4 Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng 18

§5 Tru.`o.ng sˆo´ thu. c 26

§6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c 29

§7 D- a th´u.c 35

B`ai tˆa.p 40

Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto 45

§1 Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto 45

§2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh 50

§3 Co so.’ v`a sˆo´ chiˆ` u cu’a khˆe ong gian v´ecto 56

§4 Khˆong gian - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto 63

§5 Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru. c tiˆe´p 66

§6 Khˆong gian thu.o.ng 69

B`ai tˆa.p 72

Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh 77

§1 Ma trˆa.n 77

§2 ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh 83

§3 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆo`ng cˆa´u 94

§4 Khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u 99

Chu.o.ng III: D- i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 113

§1 C´ac ph´ep thˆe´ 113

§2 D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n 116

§3 ´Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen 121

§4 D- i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u 125

§5 C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´u.c 128

§6 D- i.nh th´u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n 135

§7 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer 136

§8 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss 139

§9 Cˆa´u tr´uc nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 144

B`ai tˆa.p 146

Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´uc cu’a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u 155

§1 V´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 155

§2 Khˆong gian ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu d¯ˆ `ng cˆo a´u thu. c v`a ph´u.c 161

§3 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ch´eo ho´a d¯u.o. c 164

§4 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u lu˜y linh 168

§5 Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu d¯ˆ `ng cˆo a´u 172

B`ai tˆa.p 179

Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto Euclid 188

§1 Khˆong gian v´ecto Euclid 188

§2 ´Anh xa tru c giao 201

§3 Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho. p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´u.ng 214

§4 V`ai n´et vˆ` khˆe ong gian Unita 222

B`ai tˆa.p 225

Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234

§1 Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234

§3 Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng 244

§4 Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh 247

§5 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u 252

B`ai tˆa.p 254

Chu.o.ng VII: D- a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh 262

§1 T´ıch tenxo 263

§2 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch tenxo 267

§3 D- a.i sˆo´ tenxo 270

§4 D- a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng 275

§5 D- a.i sˆo´ ngo`ai 281

B`ai tˆa.p 290

L `O.I N ´OI D- ˆA` U

Theo d`ong li.ch su’ , mˆ on - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınhD kho.’ i d¯ˆ` u v´a o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Vˆe` sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´uc cu’a tˆa.p nghiˆe.m v`a d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay du. ng nh˜u.ng kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Ngu.`o.i ta c˜ung c´o nhu cˆ` u kha’o s´a at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ` u thuˆe o.c t´ınh h`ınh ho.c ho.n, d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc gi˜u.a hai v´ecto Xa ho.n, hu.´o.ng nghiˆen c´u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.n phˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´uc n`ao d¯´o

Ng`ay nay, D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c ´u.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu c kh´ac nhau, t`u Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´y thuyˆe´t biˆe’u diˆe˜n nh´om, t`u Co ho.c, Vˆa.t l´y t´o.i K˜y thuˆa.t V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’ th` anh mˆo.t mˆon ho.c co so.’ cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´ac gi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆen ng`anh khoa ho.c co ba’n v`a cˆong nghˆe tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c

D

- ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´ gi´o.i Ch´ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u viˆe.c tr`ınh b`ay mˆon ho.c n`ay

Khuynh hu.´o.ng th´u nhˆa´t b˘a´t d¯ˆa` u v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ`i d¯i t´o o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆe˜ tiˆe´p thu Nhu.ng n´o khˆong cho ph´ep tr`ınh b`ay l´y thuyˆe´t vˆ` d¯i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘a`ng mˆo.te ngˆon ng˜u cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e.

tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh

C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ung c´o c´ai l´y cu’a n´o Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´ung tˆoi th`ı nˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´u hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu tr`u.u tu.o ng tˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘a`ng kiˆe´n th´u.c cao ho.n vˆe` to´an

Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o. c ch´ung tˆoi biˆen soa.n nh˘a`m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`as´ach tham kha’o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c tu. nhiˆen v`a cˆong nghˆe cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu nhiˆen, d¯a.i ho.c su pha.m v`a d¯a.i ho.c k˜y thuˆa.t Cuˆo´n s´ach d¯u.o c viˆe´t trˆen co so.’ c´ac b`ai gia’ng vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cu’a tˆoi nhiˆ` u n˘e am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.c Tˆo’ng ho. p (nay l`a D- a.i ho.c khoa ho.c Tu nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su pha.m D- ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999, 1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´y, Ho´a, Sinh, D- i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o ng thuy’ v˘an cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆ an khoa ho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c khoa ho.c Tu nhiˆ en H`a Nˆo.i

Ch´ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´u hai hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜a n´oi o.’ trˆen Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´ut thay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d`ung d¯ˆe’ gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´u nhˆa´t

Tu tu.o.’ ng cˆa´u tr´uc d¯u.o. c ch´ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´n s´ach Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆe` u d¯u.o. c nghiˆen c´u.u mˆo´i tu.o.ng quan v´o.i nh´om c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´uc cu’a d¯ˆo´i tu.o. ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto g˘a´n liˆ` n v´e o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n,K), khˆong gian v´ecto Euclid v`a khˆong gian v´ecto Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´om tru. c giao O(n) v`a nh´om tru. c giao d¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´om unita U(n) Kˆe´t qua’ phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o c tiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru c giao ).

ho.c, ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an C´ac chu’ d¯ˆe` vˆe` da ng chuˆa’n t˘a´c Jordan cu’a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u, da ng ch´ınh t˘a´c cu’a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u tru. c giao, viˆe.c d¯u.a d¯ˆo`ng th`o.i hai da ng to`an phu.o.ng vˆ` da.ng ch´ınh t˘a´c, d¯a.i sˆo´ tenxo., d¯a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng v`a d¯a.ie sˆo´ ngo`ai nˆen d`ung d¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´acsinh viˆen cao ho c v`a nghiˆen c´u.u sinh c´ac ng`anh To´an, Co ho.c v`a Vˆa.t l´y.

Ch´ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n ´y ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’m cu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o. c tr`ınh b`ay Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆe` u c´o phˆ` n b`a tˆa.p, d¯u.o. c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t`u cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a I V Proskuryakov D- ˆe’ n˘a´m v˜u.ng kiˆe´n th´u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜y phˆa`n l´y thuyˆe´t tru.´o.c l`am c`ang nhiˆ` u c`e ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng

Viˆe.c su’ du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆa ` n mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo s´ach m`a phˆa` n hai cu’a n´o l`a cuˆo´n - a.i sˆo´ d¯a.i cu.o.ngD cu’a c`ung t´ac gia’, Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999.

T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ` u h`e anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆ an khoa ho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su D- `am Trung D- ˆo`n v`a Gi´ao su Nguyˆ˜n Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆee ` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ng da.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen co so.’ nh˜u.ng b`ai gia’ng d¯´o

T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆo`ng nghiˆe.p vˆe` nh˜u.ng thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach

Chu.o.ng 0

KIˆE´N TH ´U.C CHU ˆA’N BI.

Nhiˆe.m vu cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n th´u.c chuˆa’n bi cho phˆa` n c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho p, quan hˆ e., ´anh xa., nh´om, v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´u.c Tru.`o.ng sˆo´ thu. c s˜e d¯u.o. c xˆay du. ng ch˘a.t ch˜e o’.§5 Nhu.ng v`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜u.ng d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trung ho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay c´ac v´ı du o.’ c´ac tiˆe´t §1 - §4

1 Tˆa.p ho p.

Trong tiˆe´t n`ay, ch´ung ta tr`ınh b`ay vˆ` tˆe a.p ho p theo quan d¯iˆ e’m cu’a “L´y thuyˆe´t tˆa p ho. p ngˆay tho.”.

Cu thˆe’, tˆa.p ho p l` a mˆo.t kh´ai niˆe.m “nguyˆen thuy’”, khˆong d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa, m`a d¯u.o. c hiˆe’u mˆo.t c´ach tru c gi´ ac nhu sau: Mˆo.t tˆa p ho p. l`a mˆo.t su quˆ ` n tu c´ac d¯ˆo´ia tu.o. ng c´o c`ung mˆo.t thuˆo.c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜u.ng d¯ˆo´i tu.o ng n`ay d¯u.o c go.i l`a c´ac phˆ` na tu.’ cu’a tˆa.p ho p d¯´ o (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a tˆa.p ho p, n´ o chı’ diˆe˜n d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆa`n g˜ui ho.n l`a “quˆ` n tu.” Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆaa ` n tu la.i chu.a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.)

Ngu.`o.i ta c˜ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho p l` a “tˆa.p”. D

- ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ng d¯a.i ho.c, tˆa.p ho p c´ ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ nguyˆen tˆo´

“x thuˆo.c X” Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆ` n tu.a ’ cu’aX, ta viˆe´t y 6∈X, v`a d¯o.c l`a “y khˆong thuˆo.c X”.

D

- ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆa`n tu.’ cu’a n´o Ch˘a’ng ha.n,

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Ngu.`o.i ta c˜ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p bo ’ i mˆ o.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao d¯´o cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a n´o Tˆa.p ho p X c´ac phˆ` n tu.a ’ x c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a

X ={x| P(x)}, ho˘a.c l`a

X ={x: P(x)}. V´ı du.:

N = {x| x l`a sˆo´ tu. nhiˆen},

Z = {x| xl`a sˆo´ nguyˆen },

Q = {x| x l`a sˆo´ h˜u.u ty’},

R = {x| xl`a sˆo´ thu c}.

Nˆe´u mo.i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p A c˜ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p X th`ı ta n´oi Al`a mˆo.ttˆa p ho p con. cu’a X, v`a viˆe´t A⊂X Tˆa.p con A gˆ`m c´o ac phˆ` n tu.a ’ xcu’a X c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a

A={x∈X| P(x)}.

Hai tˆa.p ho p X v`aY d¯u.o. c go.i l`a b˘a`ng nhaunˆe´u mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p n` ay c˜ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p v` a ngu.o. c la.i, t´u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂X Khi d¯´o ta viˆe´t X =Y

C´ac ph´ep to´an ho. p, giao v`a hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p d¯u .o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau Cho c´ac tˆa.p ho p A v`a B.

Ho. p cu’a A v`a B d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i A∪B v`a d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A∪B ={x| x∈A ho˘a.cx∈B}.

Giao cu’a A v`aB d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i A∩B v`a d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A∩B ={x| x∈A v`ax∈B}.

Hiˆe.u cu’a A v`aB d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i A\B v`a d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau A\B ={x| x∈A v`a x6∈B}.

Nˆe´uB ⊂Ath`ıA\B d¯u.o. c go.i l`aphˆ` n b`a ucu’aB trongA, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`aCA(B)

C´ac ph´ep to´an ho. p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so cˆa´p sau d¯ˆay: Kˆe´t ho. p: (A∪B)∪C = A∪(B∪C),

(A∩B)∩C = A∩(B∩C). Giao ho´an: A∪B = B∪A,

A∩B = B∩A.

Phˆan phˆo´i: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Cˆong th´u.c De Morgan: X\(A∪B) = (X\A)∩(X\B), X\(A∩B) = (X\A)∪(X\B).

Gia’ su.’ Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho p v´ o.i mˆo˜ii thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´I (c´o thˆe’ h˜u.u ha.n hay

vˆo ha.n) Khi d¯´o, ho p v` a giao cu’a ho tˆa.p ho p {Ai}i∈I d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

[

i∈I

Ai = {x| x∈Ai v´o.i mˆo.ti n`ao d¯´o trongI},

\

i∈I

Ai = {x| x∈Ai v´o.i mo.i i∈I}.

Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´u.c De Morgan: X\([

i∈I

Ai) =

\

i∈I

(X\Ai),

X\(\

i∈I

Ai) =

[

i∈I

Viˆe.c su’ du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´y Mˆo.t sˆo´ d¯´o l`a nghi.ch l´y Cantor sau d¯ˆay.

Ta n´oi tˆa.p ho p X l`a b`ınh thu.`o.ng nˆe´u X 6∈X X´et tˆa.p ho p X ={X| X l`a tˆa.p b`ınh thu.`o.ng}.

Nˆe´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X, n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng Do d¯´o, theo d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X 6∈ X Tr´ai la.i, nˆe´u X 6∈ X, th`ıX l`a mˆo.t tˆa.p khˆong b`ınh thu.`o.ng, v`a d¯´oX ∈ X Ca’ hai tru.`o.ng ho. p d¯ˆ` u dˆe a˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n

D

- ˆe’ tr´anh nh˜u.ng nghi.ch l´y loa.i nhu vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe.m tˆa.p ho. p d¯ˆe’ chı’ “nh˜u.ng thu. c thˆe’ qu´a l´o.n” Ta s˜e n´oi “l´o.p tˆa´t ca’ c´ac tˆa p ho p”. , ch´u khˆong n´oi“tˆa p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac tˆa p ho p”. Theo quan niˆe.m n`ayX chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´u khˆong l`a mˆo.t tˆa.p ho p V`ı thˆ e´, ta tr´anh d¯u.o. c nghi.ch l´y n´oi trˆen

Phˆ` n c`a on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o c d`anh cho viˆe.c tr`ınh b`ay so lu.o c vˆe` lu.o ng t`u phˆo’ biˆe´n v`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i.o

Ta thu.`o.ng cˆ` n pha’i ph´a at biˆe’u nh˜u.ng mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng: “Mo i phˆ` n tu.a ’ xcu’a tˆa p ho. p X d¯ˆ` u c´e o t´ınh chˆa´t P(x)” Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆe` d¯´o nhu sau:

∀x∈X, P(x)

D˜ay k´y hiˆe.u trˆen d¯u.o c d¯o.c l`a “V´o.i mo i x thuˆo c X, P(x)” K´y hiˆe.u ∀d¯u.o. c go.i l`a lu.o. ng t`u phˆo’ biˆe´n.

Tu.o.ng tu. , ta c˜ung hay g˘a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng: “Tˆ`n ta.i mˆo.t phˆao ` n tu.’ x cu’a X c´o t´ınh chˆa´t P(x)” Mˆe.nh d¯ˆe` n`ay d¯u.o. c quy u.´o.c k´y hiˆe.u nhu sau:

∃x∈X, P(x)

D˜ay k´y hiˆe.u d¯´o d¯u.o c d¯o.c l`a “Tˆ`n ta.i mˆo.to x thuˆo c X, P(x)” K´y hiˆe.u ∃d¯u.o. c go.i l`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.io

Mˆe.nh d¯ˆe` “Tˆ`n ta.i nhˆa´t mˆo.t phˆao ` n tu.’ x cu’aX c´o t´ınh chˆa´t P(x)”d¯u.o. c viˆe´t nhu sau:

Lu.o. ng t`u phˆo’ biˆe´n v`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i c´o mˆo´i quan hˆe quan tro.ng sau d¯ˆay.o Go.i P l`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` P Ta c´o

∀x∈X,P(x) ≡ ∃x∈X,P(x), ∃x∈X,P(x) ≡ ∀x∈X,P(x)

Ch´ung tˆoi d¯ˆ` nghi d¯ˆo.c gia’ tu ch´u.ng minh nh˜u.ng kh˘a’ng d¯i.nh trˆen xem nhu mˆo.t b`aie tˆa.p.

2 Quan hˆe v`a ´Anh xa.

T´ıch tru. c tiˆe´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai tˆa.p ho p X v`aY l`a tˆa.p ho p sau d¯ˆ ay: X×Y ={(x, y)| x∈X, y ∈Y}.

Tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, khi X =Y, ta c´o t´ıch tru. c tiˆe´p X×X cu’a tˆa.p X v´o.i ch´ınh n´o

D

- i.nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo˜i tˆa.p conR cu’a tˆa.p ho p t´ıch X×X d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tquan hˆe. hai ngˆoi trˆen X Nˆe´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe. R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy. Ngu.o. c la.i, nˆe´u (x, y)6∈ R th`ı ta n´oi x khˆong c´o quan hˆe. R v´o.iy, v`a viˆe´t xRy.

Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u R={(x, y)∈Z×Z| x chia hˆe´t cho y}, th`ı 6R2, nhu.ng 5R3

D

- i.nh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe hai ngˆoiRtrˆenX d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tquan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(a) Pha’n xa.: xRx, ∀x∈X.

C´ac quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i dˆa´u∼

Gia’ su.’ ∼l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆenX L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe. ∼cu’a mˆo.t phˆa` n tu.’ x∈X d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

[x] ={y ∈X| x∼y} ⊂X.

Bˆo’ d¯ˆ` 2.3e Gia’ su.’ ∼ l`a mˆo t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng Khi d¯´o, v´o.i mo.i x, y ∈X, c´ac l´o.p [x] v`a [y] ho˘a c tr`ung nhau, ho˘a c r`o.i (t´u.c l`a [x]∩[y] =∅).

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ [x]∩[y] 6= ∅ Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng [x] = [y] Lˆa´y mˆo.t phˆ` n tu.a ’ z ∈[x]∩[y] Ta c´ox∼z v`a y∼z.

Do t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng cu’a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x Gia’ su.’ t ∈ [x], t´u.c l`a x∼ t Do t´ınh b˘a´c cˆa` u, z ∼ x v`a x∼ t k´eo theo z ∼t Tiˆe´p theo, y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t Ngh˜ıa l`a t ∈ [y] Nhu vˆa.y, [x] ⊂ [y] Do vai tr`o nhu cu’a c´ac l´o.p [x] v`a [y], ta c˜ung c´o bao h`am th´u.c ngu.o. c la.i, [y]⊂[x] Vˆa.y

[x] = [y] 2

Theo bˆo’ d¯ˆ` n`e ay, nˆe´u y ∈ [x] th`ıy ∈ [x]∩[y] 6= ∅, d¯´o [x] = [y] V`ı thˆe´, ta c´o thˆe’ d`ung t`u.l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯ˆe’ chı’ l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a bˆa´t k`y phˆ` n tu.a ’ n`ao l´o.p d¯´o Mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a mˆo.t l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯a i biˆe’ucu’a l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng n`ay

Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng X l`a ho. p r`o.i ra.c cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.∼ (N´oi c´ach kh´ac,X l`a ho. p cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.∼, v`a c´ac l´o.p n`ay r`o.i nhau.) Ngu.`o.i ta c˜ung n´oiX d¯u.o. c phˆan hoa.ch bo’ i c´ ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa.p ho p c´ ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a X theo quan hˆe. ∼ d¯u.o. c go.i l`a tˆa p thu.o.ng cu’a X theo ∼ v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a X/∼

V´ı du 2.5 Gia’ su.’ n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng bˆa´t k`y Ta x´et trˆen tˆa.p X =Z quan hˆe sau d¯ˆay:

R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng Ho.n n˜u.ax∼y nˆe´u v`a chı’ nˆe´ux v`ay c´o c`ung phˆ` n du ph´ep chia n V`ı thˆe´, Z/∼ l`a mˆo.t tˆa.p c´o d¯´ung n phˆ` n tu.a ’ :

Z/∼={[0],[1], ,[n−1]}.

N´o d¯u.o. c go.i l`atˆa p c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n, v`a thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Z/n.

D- i.nh ngh˜ıa 2.6 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe hai ngˆoi trˆen X N´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(a) Pha’n xa.: x≤x, ∀x∈X.

(b) Pha’n d¯ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u x≤y v`ay ≤x th`ıx=y, ∀x, y ∈X. (c) B˘a´c cˆa` u: Nˆe´u x≤y, y≤z, th`ıx≤z, ∀x, y, z ∈X.

Tˆa.p X d¯u.o. c trang bi mˆo.t quan hˆe th´u tu d¯u.o c go.i l`a mˆo.t tˆa p d¯u.o. c s˘a´p Nˆe´u x≤y, ta n´oix d¯´u.ng tru.´o.c y, hay x nho’ ho.n ho˘a.c b˘a`ng y.

Ta n´oi X d¯u.o. c s˘a´p to`an phˆ` na (hay tuyˆe´n t´ınh) bo.’ i quan hˆe. ≤ nˆe´u v´o.i mo.i x, y ∈ X, th`ıx ≤ y ho˘a.c y ≤ x Khi d¯´o ≤ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu to`an phˆ` n (hay tuyˆe´n t´ınh) trˆena X.

Ch˘a’ng ha.n, tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p to`an phˆa`n d¯ˆo´i v´o.i quan hˆe th´u tu ≤ thˆong thu.`o.ng Mˆo.t v´ı du kh´ac: nˆe´u X l`a tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac tˆa.p con cu’a mˆo.t tˆa.p A n`ao d¯´o, th`ıX d¯u.o. c s˘a´p theo quan hˆe bao h`am D- ˆay khˆong pha’i l`a mˆo.t th´u tu to`an phˆa`n nˆe´u tˆa.p A ch´u.a nhiˆ` u ho.n mˆe o.t phˆa` n tu.’

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n qua x´et c´ac ´anh xa

Ngu.`o.i ta thu.`o.ng mˆo ta’ c´ac ´anh xa mˆo.t c´ach tru c gi´ ac nhu sau

Tˆa´t nhiˆen mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch˘a.t ch˜e, v`ı ta khˆong biˆe´t thˆe´ n`ao l`a mˆo.t quy t˘a´c N´oi c´ach kh´ac, d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a´c chı’ l`a mˆo.t tˆen go.i kh´ac cu’a ´anh xa

Ta c´o thˆe’ kh˘a´c phu.c d¯iˆe` u d¯´o b˘a`ng c´ach d¯u.a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu.ng ho.i cˆ`ng kˆeo ` nh vˆe` ´anh xa nhu sau

Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru. c tiˆe´p X×Y d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tquan hˆe gi˜u.a X v`a Y Quan hˆe. R d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ´anh xa. t`u.X v`aoY nˆe´u n´o c´o t´ınh chˆa´t sau: v´o.i mo.i x∈ X c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ cho (x, y)∈ R Ta k´y hiˆe.u phˆa` n tu.’ nhˆa´t d¯´o l`ay =f(x) Khi d¯´o

R={(x, f(x))| x∈X}. ´

Anh xa n`ay thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a f : X → Y v`a quan hˆe. R d¯u.o. c go.i l`a d¯ˆ` thi.o cu’a ´anh xa. f.

C´ac tˆa.p X v`aY d¯u.o. c go.i lˆ` n lu.o.a t l`a tˆa.p nguˆo`n v`a tˆa.p d¯´ıch cu’a ´anh xa.f Tˆa.p ho. p f(X) = {f(x)| x∈X} d¯u.o. c go.i l`a tˆa.p gi´a tri cu’a f.

Gia’ su.’ Al`a mˆo.t tˆa.p cu’aX Khi d¯´o,f(A) ={f(x)| x∈A}d¯u.o. c go.i l`a a’nh cu’a Abo.’ if Nˆe´u B l`a mˆo.t tˆa.p cu’a Y, th`ıf−1(B) ={x∈X| f(x)∈B} d¯u.o.

c go.i l`a nghi.ch a’nh cu’a B bo.’ i f Tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = {y} chı’ gˆ`m mˆo o.t d¯iˆe’m y∈Y, ta viˆe´t d¯o.n gia’n f−1(y) thay cho f−1({y}).

D- i.nh ngh˜ıa 2.7 (a) ´Anh xa. f : X → Y d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh nˆe´u v´o.i mo.i x6=x0, (x, x0 ∈X) th`ıf(x)6=f(x0)

(b) ´Anh xa. f :X → Y d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t to`an ´anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆ`n ta.i (´ıto nhˆa´t) mˆo.t phˆa` n tu.’ x∈X cho f(x) = y.

(c) ´Anh xa. f :X →Y d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t song ´anh (hay mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo t-mˆo t) nˆe´u n´o v`u.a l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v`u.a l`a mˆo.t to`an ´anh

thˆe´, tu.o.ng ´u.ngy7→x=f−1(y) x´ac d¯i.nh mˆo.t ´anh xa., d¯u.o c k´y hiˆe.u l`af−1 :Y →X v`a d¯u.o. c go.i l`a ´anh xa ngu.o c cu’a f Hiˆe’n nhiˆen, f−1 c˜ung l`a mˆ

o.t song ´anh, ho.n n˜u.a (f−1)−1 =f

Cho c´ac ´anh xa. f :X →Y v`a g :Y → Z Khi d¯´o ´anh xa. h:X → Z d¯u.o. c x´ac d¯i.nh bo’ i

h(x) =g(f(x)), ∀x∈X,

d¯u.o. c go.i l`a ´anh xa t´ıch (hay ´anh xa ho p. ) cu’a f v`a g, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a h = gf ho˘a.ch =g◦f

Ch´ung tˆoi d¯ˆ` nghi d¯ˆo.c gia’ tu ch´u.ng minh hai mˆe.nh d¯ˆee ` sau d¯ˆay

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.8 Ho. p th`anh cu’a hai d¯o.n ´anh la i l`a mˆo t d¯o.n ´anh Ho. p th`anh cu’a hai to`an ´anh la i l`a mˆo t to`an ´anh Ho. p th`anh cu’a hai song ´anh la i l`a mˆo t song ´anh.

Go.i idX :X →X l`a ´anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t trˆenX, d¯u.o. c x´ac d¯i.nh nhu sau

idX(x) = x, ∀x∈X.

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.9 (i) Gia’ su.’ f : X →Y v`a g :Y →Z l`a c´ac ´anh xa Khi d¯´o, nˆe´u gf l`a mˆo t d¯o.n ´anh th`ıf c˜ung vˆa y; nˆe´u gf l`a mˆo t to`an ´anh th`ıg c˜ung vˆa y. (ii) ´Anh xa. f : X → Y l`a mˆo t song ´anh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u tˆ`n ta.i mˆo.t ´anh xa.o

g :Y →X sao cho gf =idX, f g =idY.

3 Lu. c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p D

ta ph´at cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c r`ıu, t´u.c l`a lˆa.p mˆo.t tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a tˆa.p ho p ngu.`o.i v`a tˆa.p ho p r`ıu.

D

- i.nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa.p ho p X c`ung lu. c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p Y nˆe´u tˆ`n ta.i mˆo.to song ´anh t`u.X v`ao Y

R˜o r`ang quan hˆe c`ung lu c lu .o ng l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng

Gia’ su.’ tˆa.p A c´o n phˆ` n tu.a ’ D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t gi˜u.a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a Av´o.i c´ac sˆo´ tu. nhiˆen 1,2,3, , n N´oi c´ach kh´ac, Ac´onphˆ` na tu.’ nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o c`ung lu. c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p {1,2,3, , n}

Sau d¯ˆay ch´ung ta s˜e kha’o s´at l´o.p c´ac tˆa.p ho p vˆ o ha.n c´o “´ıt phˆa` n tu.’ nhˆa´t”, d¯´o l`a c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c

D

- i.nh ngh˜ıa 3.2 Tˆa.p X d¯u.o. c go.i l`ad¯ˆe´m d¯u.o. cnˆe´u n´o c`ung lu. c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p

Nc´ac sˆo´ tu. nhiˆen

Ch˘a’ng ha.n, Z l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa f :N→Z x´ac d¯i.nh bo’ i cˆong th´u.c

f(2n−1) = −n+ 1,

f(2n) = n (n= 1,2,3, ) l`a mˆo.t song ´anh.

Tu.o.ng tu. , tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ tu. nhiˆen ch˘a˜n v`a tˆa.p ho p c´ac sˆo´ tu nhiˆen le’ d¯ˆe`u l`a c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c

C´ac v´ı du trˆen cho thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n c´o thˆe’ c´o c`ung lu c lu .o ng v´o.i mˆo.t tˆa.p thˆa.t su cu’a n´ o Ta c´o

Mˆe.nh d¯ˆe` 3.3 Mˆo˜i tˆa.p vˆo ha.n cu’a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ A= {a1, a2, a3, } l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c, v`a B l`a mˆo.t tˆa.p

con vˆo ha.n cu’aA Go.ii1 l`a sˆo´ tu nhiˆen nho’ nhˆa´t choai1 ∈B, i2 l`a sˆo´ tu nhiˆen

nho’ nhˆa´t cho ai2 ∈B\ {ai1} Mˆo.t c´ach quy na.p, in l`a sˆo´ tu nhiˆen nho’ nhˆa´t

cho ain ∈B\ {ai1, ai2, , ain−1}

B˘a`ng c´ach d¯´o, c´ac phˆa` n tu.’ cu’a B d¯u.o. c xˆe´p th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n B ={ai1, ai2, , ain, }.

N´oi c´ach kh´ac, c´o mˆo.t song ´anhN→B d¯˘a.t n tu.o.ng ´u.ng v´o.i ain Nhu thˆe´B d¯ˆe´m

d¯u.o. c. 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 3.4 T´ıch tru. c tiˆe´p cu’a hai tˆa p d¯ˆe´m d¯u.o. c c˜ung l`a mˆo t tˆa p d¯ˆe´m d¯u.o. c.

Ch´u.ng minh: Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh N×Nl`a d¯ˆe´m d¯u.o. c. Ta xˆe´p tˆa´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’ (a, b) cu’a N×N th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n b˘a`ng c´ach sau Tru.´o.c hˆe´t ta xˆe´p c˘a.p (a, b) v´o.i a+b = Gia’ su.’ d¯˜a xˆe´p xong c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a+b=n−1, ta xˆe´p tiˆe´p c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a+b=n, d¯´o c˘a.p (a, b) d¯u.o. c xˆe´p tru.´o.c c˘a.p (a0, b0) nˆe´u a+b =a0+b0 =n v`a a < a0

Nhu vˆa.y, N×N l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c 2

Hˆe qua’ 3.5 Tˆa p ho p. Q c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ l`a mˆo t tˆa p d¯ˆe´m d¯u.o. c.

Ch´u.ng minh: Ta s˜e ch´u.ng minh tˆa.p ho p Q+ c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng l`a d¯ˆe´m d¯u.o.

c Do d¯´o Q=Q−∪ {0} ∪Q+ c`ung lu.

c lu.o ng v´o.i Z=N−∪ {0} ∪N, d¯´oQ− l`a tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ h˜u.u ty’ ˆam v`a N− l`a tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ nguyˆen ˆam V`ı thˆe´Q l`a d¯ˆe´m d¯u.o. c.

Mˆo˜i sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng d¯u.o. c biˆe’u thi nhˆa´t du.´o.i da.ng mˆo.t phˆan sˆo´ pq, d¯´o p, q ∈ N v`a c˘a.p p, q nguyˆen tˆo´ c`ung Tu.o.ng ´u.ng pq 7→ (p, q) l`a mˆo.t song ´

anh t`u.Q+lˆen mˆ

o.t tˆa.p cu’a t´ıch tru c tiˆ e´pN×N Do d¯´o, theo hai mˆe.nh d¯ˆe` trˆen th`ıQ+ l`a mˆ

o.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 3.6 Tˆa p ho p. R c´ac sˆo´ thu. c l`a mˆo t tˆa p khˆong d¯ˆe´m d¯u.o. c. Ngu.`o.i ta n´oi tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ thu. c c´o lu. c lu.o ng continum.

4 Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng

C´ac kh´ai niˆe.m nh´om, v`anh v`a tru.`o.ng d¯u.o c gi´o.i thiˆe.u tiˆe´t n`ay chı’ d`u.ng o.’ m´u.c d¯u’ d`ung cho c´ac diˆ˜n d¯a.t phˆa`n sau cu’a cuˆo´n s´ach.e

Gia’ su.’ G l`a mˆo.t tˆa.p ho p Mˆ o˜i ´anh xa.

◦:G×G→G

d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo.tluˆa t ho p th`. anh) trˆenG A’ nh cu’a c˘a.p phˆ` n tu.a ’ (x, y)∈G×G bo.’ i ´anh xa. ◦ s˜e d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x◦y, v`a d¯u.o. c go.i l`a t´ıch hay ho. p th`anhcu’a x v`ay.

D- i.nh ngh˜ıa 4.1 Mˆo.t nh´om l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ ac rˆo˜ng G d¯u.o. c trang bi mˆo.t ph´ep to´an hai ngˆoi ◦ thoa’ m˜an ba d¯iˆ` u kiˆe.n sau d¯ˆay:e

(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe´t ho. p:

(x◦y)◦z =x◦(y◦z), ∀x, y, z ∈G.

(G2) C´o mˆo.t phˆa` n tu.’ e∈G, d¯u.o. c go.i l`a phˆ` n tu.a ’ trung lˆa p, v´o.i t´ınh chˆa´t x◦e=e◦x=x, ∀x∈G.

(G3) V´o.i mo.ix∈G, tˆ`n ta.i phˆao ` n tu.’ x0 ∈G, d¯u.o. c go.i l`a nghi.ch d¯a’o cu’ax, cho x◦x0 =x0◦x=e.

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a mˆo.t nh´om l`a nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, nˆe´ue v`ae0 d¯ˆ` u l`e a c´ac phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´omG th`ı

e =e◦e0 =e0.

V´o.i mo.i x∈ G, phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o x0 n´oi o.’ mu.c (G3) l`a nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u x01 v`a x20 l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`ı

x01 =x01◦e=x01◦(x◦x02) = (x01◦x)◦x02 =e◦x02 =x02. Trong nh´om c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, t´u.c l`a

x◦y =x◦z =⇒ y=z, x◦z =y◦z =⇒ x=y.

Thˆa.t vˆa.y, d¯ˆe’ c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, chı’ cˆa`n nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.cx◦y=x◦z v´o.i nghi.ch d¯a’o x0 cu’a x t`u bˆen tr´ai, v`a nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c x◦z = y◦z v´o.i nghi.ch d¯a’o z0 cu’a z t`u bˆen pha’i

Nˆe´u ph´ep to´an◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´u.c l`a

x◦y =y◦x, ∀x, y ∈G, th`ıGd¯u.o. c go.i l`a mˆo.t nh´om giao ho´an (hay abel).

Theo th´oi quen, luˆa.t ho p th` anh ◦ mˆo.t nh´om abel thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u theo lˆo´i cˆo.ng “+” Ho p th` anh cu’a c˘a.p phˆa` n tu.’ (x, y) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`ax+yv`a d¯u.o. c go.i l`a tˆo’ng cu’ax v`ay Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o c go.i l`aphˆ` n tu.a ’ khˆong, k´y hiˆe.u Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´ac d¯i.nh bo’ i d¯iˆe ` u kiˆe.n (G3)) d¯u.o c go.i l`a phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´i cu’a x, k´y hiˆe.u (−x).

Tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qu´at, ph´ep to´an◦ nh´om thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u theo lˆo´i nhˆan “·” Ho. p th`anh cu’a c˘a.p phˆa` n tu.’ (x, y) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x·y, hay d¯o.n gia’n xy, v`a d¯u.o. c go.i l`a t´ıch cu’a x v`a y Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o c go.i l`a phˆ` na tu.’ d¯o.n vi. Phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x−1.

(a) C´ac tˆa.p ho p sˆ o´Z,Q,R lˆa.p th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng

(b) C´ac tˆa.p Z∗ = {±1},Q∗ = Q\ {0},R∗ = R\ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan

(c) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng Z/n nhu sau: [x] + [y] = [x+y].

Dˆ˜ kiˆe’m tra r˘a`ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p tu.o.nge d¯u.o.ng [x] v`a [y] Ho.n n˜u.a, Z/n c`ung v´o.i ph´ep cˆo.ng n´oi trˆen lˆa.p th`anh mˆo.t nh´om abel

(d) Mˆo˜i song ´anh t`u tˆa.p ho p {1,2, , n} v`ao ch´ınh n´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´ (hay ph´ep ho´an vi.) trˆen n phˆ` n tu.a ’ Tˆa.p ho p Sn tˆa´t ca’ c´ac ph´ep thˆe´ trˆen n

phˆ` n tu.a ’ l`am th`anh mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep ho p th`anh c´ac ´anh xa (α·β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈Sn,0≤i≤n.

Sn d¯u.o c go.i l`a nh´om d¯ˆo´i x´u.ng trˆen n phˆ` n tu.a ’ D- ˆay l`a mˆo.t nh´om khˆong abel

khi n >2 (Xem chi tiˆe´t o.’ Chu.o.ng III.)

(e) Trong Chu.o.ng II ch´ung ta s˜e kha’o s´at mˆo.t l´o.p nh´om khˆong abel rˆa´t quan tro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V) c´ac biˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n t´ınh khˆong suy biˆe´n trˆen khˆong gian v´ecto.V

D- i.nh ngh˜ıa 4.2 Gia’ su.’ G v`a G0 l`a c´ac nh´om (v´o.i ph´ep to´an viˆe´t theo lˆo´i nhˆan) ´

Anh xa ϕ:G→G0 d¯u.o. c go.i l`a mˆo.td¯ˆ`ng cˆo a´u nh´om nˆe´u ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈G.

N´o c˜ung chuyˆe’n phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`anh phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a ϕ(x): ϕ(x−1) = ϕ(x)−1, ∀x∈G.

D- i.nh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh d¯u.o c go.i l`a mˆo.td¯o.n cˆa´u nh´om

(b) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t to`an ´anh d¯u.o c go.i l`a mˆo.t to`an cˆa´u nh´om

(c) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t song ´anh d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nh´om

Nˆe´u c´o mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nh´om gi˜u.a G v`a G0 th`ı ta n´oi G d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i G0 v`a viˆe´t G∼=G0

V´ı du :

(a) Ph´ep nh´ung i : Z → Q d¯i.nh ngh˜ıa bo’ i cˆ ong th´u.c i(x) = x l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u nh´om

(b) Ph´ep chiˆe´u pr:Z→Z/n x´ac d¯i.nh bo’ i cˆ ong th´u.cpr(x) = [x] l`a mˆo.t to`an cˆa´u nh´om

(a) ´Anh xa m˜u exp : R → R+, exp(x) =ex l`a mˆ

o.t d¯˘a’ng cˆa´u t`u nh´om cˆo.ng c´ac sˆo´ thu. cR v`ao nh´om nhˆan c´ac sˆo´ thu. c du.o.ng R+

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n sang kha’o s´at c´ac v`anh v`a tru.`o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 4.4 Mˆo.t v`anh l`a mˆo.t tˆa.p ho p R6=∅ d¯u.o. c trang bi hai ph´ep to´an hai ngˆoi, gˆ`m ph´ep cˆo o.ng

+ :R×R →R, (x, y)7→x+y, v`a ph´ep nhˆan

(R1) R l`a mˆo.t nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng (R2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa´t kˆe´t ho. p:

(xy)z =x(yz), ∀x, y, z ∈R. (R3) Ph´ep nhˆan phˆan phˆo´i vˆ` hai ph´ıa d¯ˆe o´i v´o.i ph´ep cˆo.ng:

(x+y)z = xz+yz,

z(x+y) = zx+zy, ∀x, y, z ∈R.

V`anh R d¯u.o. c go.i l`a giao ho´an nˆe´u ph´ep nhˆan cu’a n´o c´o t´ınh giao ho´an: xy=yx, ∀x, y ∈R.

V`anh R d¯u.o. c go.i l`a c´o d¯o.n vi. nˆe´u ph´ep nhˆan cu’a n´o c´o d¯o.n vi., t´u.c l`a c´o phˆa`n tu.’ 1∈R cho:

1x=x1 =x, ∀x∈R.

V´ı du :

(a) C´ac tˆa.p ho p sˆ o´Z,Ql`a c´ac v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan thˆong thu.`o.ng Tˆa.p ho p sˆo´ tu nhiˆen N khˆong l`a mˆo.t v`anh, v`ı n´o khˆong l`a mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng

(b) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep nhˆan trˆen nh´om cˆo.ng Z/n c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n nhu sau:

[x][y] = [xy], ∀x, y ∈Z/n.

Ph´ep nhˆan n`ay khˆong phu thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p [x] v`a [y] N´o biˆe´n nh´om cˆo.ng Z/n th`anh mˆo.t v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi., d¯u.o c go.i l`a v`anh c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n.

D

- i.nh ngh˜ıa 4.5 Gia’ su.’ R v`aR0 l`a c´ac v`anh ´Anh xa.ϕ:R →R0 d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t d¯ˆ`ng cˆo a´u v`anh nˆe´u

ϕ(x+y) = ϕ(x) +ϕ(y),

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈R.

C´ac kh´ai niˆe.m d¯o.n cˆa´u v`anh, to`an cˆa´u v`anh, d¯˘a’ng cˆa´u v`anh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa tu.o.ng tu. nhu d¯ˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho p nh´om

Ch˘a’ng ha.n, ph´ep nh´ung Z⊂Q l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u v`anh Ph´ep chiˆe´upr :Z →Z/n l`a mˆo.t to`an cˆa´u v`anh.

Phˆ` n tu.a ’ xtrong mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi.R d¯u.o. c go.i l`akha’ nghi.chnˆe´u tˆ`n ta.i phˆao ` n tu.’ x0 ∈R cho

xx0 =x0x=

Dˆ˜ ch´e u.ng minh r˘a`ng phˆa` n tu.’ x0 c´o t´ınh chˆa´t nhu vˆa.y nˆe´u tˆo`n ta.i th`ı nhˆa´t N´o d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x−1.

D

- i.nh ngh˜ıa 4.6 Mˆo.t v`anh giao ho´an, c´o d¯o.n vi 16= cho mo.i phˆa` n tu.’ kh´ac n´o d¯ˆ` u kha’ nghi.ch d¯u.o c go.i l`a mˆo.te tru.`o.ng.

V`anh Ql`a mˆo.t tru.`o.ng V`anh sˆo´ nguyˆen Z khˆong l`a mˆo.t tru.`o.ng, v`ı c´ac sˆo´ kh´ac ±1 d¯ˆ` u khˆe ong kha’ nghi.ch trongZ

D- i.nh ngh˜ıa 4.7 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu trˆen tru.`o.ng K Khi d¯´oK d¯u.o. c go.i l`a mˆo.ttru.`o.ng d¯u.o. c s˘a´pd¯ˆo´i v´o.i th´u tu.. ≤ nˆe´u c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o c thoa’e m˜an:

(a) Nˆe´u x≤y th`ıx+z ≤y+z, v´o.i mo.i z ∈K; (b) Nˆe´u x≤y v`a 0≤z th`ıxz ≤yz.

D

- i.nh ngh˜ıa 4.8 Nˆe´u v`anh R ch´u.a c´ac phˆ` n tu.a ’ a6= 0, b6= cho ab= th`ı ta n´oi R c´o u.´o.c cu’a khˆong.

Tr´ai la.i, nˆe´u t`u d¯˘a’ng th´u.c ab= (v´o.i a, b ∈R) suy ho˘a.c a = ho˘a.cb = 0, th`ı v`anh R d¯u.o. c go.i l`a khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong.

V`anh Z/6 c´o u.´o.c cu’a khˆong, bo.’ i v`ı [2]6= 0,[3]6= v`a [2][3] = [6] = [0] =

N´oi chung, nˆe´u n l`a mˆo.t ho p sˆ o´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong Thˆa.t vˆa.y, v`ı n l`a mˆo.t ho p sˆ o´ cho nˆen n = rs d¯´o < r, s < n Khi d¯´o, [r] 6= 0,[s] 6= v`a [r][s] = [n] = [0] =

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.9 Mˆo˜i tru.`o.ng d¯ˆe` u l`a mˆo t v`anh khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ Kl`a mˆo.t tru.`o.ng, a v`ab l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ thuˆo.cK v´o.iab= Nˆe´u a6= th`ıa kha’ nghi.ch Ta c´o

b= 1b = (a−1a)b=a−1(ab) = a−10 =

Vˆa.yK khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.10 Z/n l`a mˆo t tru.`o.ng nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n l`a mˆo t sˆo´ nguyˆen tˆo´.

Ch´u.ng minh: Nˆe´u n l`a mˆo.t ho p sˆ o´ th`ıZ/n c´o u.´o.c cu’a khˆong, d¯´o khˆong l`a mˆo.t tru.`o.ng

Gia’ su.’ n =p l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´ Mˆo˜i phˆa` n tu.’ kh´ac khˆong Z/p d¯ˆ` u c´e o da.ng [q] d¯´o d¯a.i biˆe’u q thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n 0e < q < p Khi d¯´o pv`a q nguyˆen tˆo´ c`ung nhau, v`ı thˆe´ c´o c´ac sˆo´ nguyˆenk v`a ` cho kp+`q = Hay l`a

[`][q] = [1]−[kp] = [1]

Tru.`o.ngZ/pthu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Fp

Trong v`anh Z/n c´o hiˆe.n tu.o ng sau d¯ˆay: + +· · ·+

| {z }

n

=

Chuyˆe.n n`ay khˆong xa’y c´ac v`anhZ v`a Q Ta d¯i t´o.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.

D

- i.nh ngh˜ıa 4.11 Cho R l`a mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi Nˆe´u c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng n cho + +| {z· · ·+ 1}

n

= 0,th`ı sˆo´ nguyˆen du.o.ng nho’ nhˆa´t c´o t´ınh chˆa´t d¯´o d¯u.o. c go.i l`a d

¯˘a c sˆo´cu’a v`anh R Ngu.o. c la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng n n`ao nhu thˆe´ th`ı ta n´oiR c´o d¯˘a c sˆo´b˘a`ng D- ˘a.c sˆo´ cu’a R d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Char(R).

V´ı du : Char(Z) = Char(Q) = 0,

Char(Z/n) =n, v´o.i mo.i sˆo´ nguyˆen du.o.ng n.

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.12 Nˆe´u K l`a mˆo t tru.`o.ng th`ıChar(K) ho˘a c b˘a`ng ho˘a c l`a mˆo t sˆo´ nguyˆen tˆo´.

Ch´u.ng minh: D- ˘a.t m·1 = + +| {z· · ·+ 1}

m

∈K Gia’ su.’ n =Char(K) l`a mˆo.t ho p sˆo´ v´o.i phˆan t´ıch n = rs (0< r, s < n) Dˆ˜ thˆa´y r˘a`nge n·1 = (r·1)(s·1) = V`ı tru.`o.ng K khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong, nˆen ho˘a.c (r·1) = ho˘a.c (s·1) = D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯˘a.c sˆo´, v`ır v`as l`a c´ac sˆo´ tu. nhiˆen nho’ ho.n n. 2

5 Tru.`o.ng sˆo´ thu. c

Tˆa´t ca’ c´ac ho.c tr`o tˆo´t nghiˆe.p trung ho.c phˆo’ thˆong d¯ˆe` u d¯˜a t´ınh to´an thuˆ` n thu.c v´o.ia c´ac sˆo´ thu. c Thˆe´ nhu.ng, nˆe´u ho’i ho “Sˆo´ thu c l` a g`ı?” th`ı ch˘a´c ch˘a´n ho s˜e khˆong tra’ l`o.i d¯u.o. c Thˆa.t ra, d¯´o l`a mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` rˆa´t kh´o

mˆo.t h`ınh vuˆong d¯o.n vi s˜e khˆong c´o d¯ˆo d`ai N´oi c´ach kh´ac, khˆong tˆo`n ta.i sˆo´ h˜u.u ty’a thoa’ m˜an hˆe th´u.c a2 = Thˆ

a.t vˆa.y, gia’ su’.a c´o da.ng phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n pq, v´o.i p, q ∈ Z, q 6= 0, d¯´o (pq)2 = Hay l`a p2 = 2q2 T`u d¯´o suy p l`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n. Ta d¯˘a.tp= 2p1 d¯´o p1 ∈Z D- ˘a’ng th´u.c trˆen tro.’ th`anh 2p21 =q2 Do d¯´oq c˜ung

l`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t n´oi r˘a`ng pq l`a mˆo.t phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n

D

- i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay d¯u.o c go i ´y t`u mˆo.t nhˆa.n x´et tru c gi´ac l`a: mˆo˜i l´at c˘a´t v`ao “d¯u.`o.ng th˘a’ng sˆo´ thu. c” d¯ˆ` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu c nhˆa´t.e

D

- i.nh ngh˜ıa 5.1 (Dedekind) Tˆa.p ho p α c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t (trong Q) nˆe´u:

(a) α 6=∅, α6=Q,

(b) Nˆe´u r ∈α, v`a s∈Q, s < r, th`ıs∈α, (c) α khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t

Ch˘a’ng ha.n, tˆa.p ho p sau d¯ˆ ay (d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i √2) l`a mˆo.t l´at c˘a´t trong Q: √

2 := {r∈Q| r2 <2}. D

- ˆo´i v´o.i mˆo˜i sˆo´ h˜u.u ty’ r, ta x´et l´at c˘a´t sau d¯ˆay r∗ ={s∈Q| s < r}. D- ˆe’ ´y r˘a`ng r= min(Q\r∗)

D- i.nh ngh˜ıa 5.2 Gia’ su.’ αl`a mˆo.t l´at c˘a´t Nˆe´u c´o sˆo´ nho’ nhˆa´t tˆa.p ho p Q\α th`ıα d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t h˜u.u ty’ Tr´ai la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nho’ nhˆa´t tˆa.p ho. p Q\α th`ıα d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t vˆo ty’.

D

- i.nh ngh˜ıa 5.3 Gia’ su.’ α, βl`a c´ac l´at c˘a´t Ta n´oiα < β (hayβ > α) nˆe´uβ\α 6=∅ Ta n´oi α ≤ β (hay β ≥α) nˆe´u α < β ho˘a.c α =β Mˆo.t l´at c˘a´t d¯u.o c go.i l`a du.o.ng hay ˆam tu`y theo n´o l´o.n ho.n hay nho’ ho.n l´at c˘a´t 0∗

Ph´ep cˆo.ng c´ac l´at c˘a´t d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

D

- i.nh ngh˜ıa 5.4 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Khi d¯´o l´at c˘a´t sau d¯ˆay d¯u.o c go.i l`a tˆo’ng cu’a α v`a β, k´y hiˆe.u l`a α+β:

α+β ={r+s| r ∈α, s∈β}.

Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ng tˆa.p ho pe α+β trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen l`a mˆo.t l´at c˘a´t Q

V´o.i mˆo˜i l´at c˘a´t α tˆ`n ta.i nhˆa´t mˆo.t l´at c˘a´t, d¯u.o c k´y hiˆe.u l`ao −α, cho α+ (−α) = (−α) +α = 0∗ L´at c˘a´t n`ay d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

−α={−r| r∈(Q\α), r khˆong l`a sˆo´ nho’ nhˆa´t trongQ\α}.

Ch´ung ta g˘a.p mˆo.t sˆo´ kh´o kh˘an vˆe` k˜y thuˆa.t d¯i.nh ngh˜ıa t´ıch hai l´at c˘a´t D- ˆe’ tr´anh nh˜u.ng kh´o kh˘an d¯´o, ch´ung ta d¯u.a kh´ai niˆe.m gi´a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i.

D- i.nh ngh˜ıa 5.5 Gi´a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i (c`on go.i t˘a´t l`a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i) cu’a l´at c˘a´tα l`a l´at c˘a´t sau d¯ˆay:

|α|=

    

α nˆe´u α≥0, −α nˆe´u α <0

Tˆa´t nhiˆen |α| ≥0 v´o.i mo.i α, ho.n n˜u.a|α|= v`a chı’ α=

Gia’ su.’ αv`aβ l`a c´ac l´at c˘a´t v´o.i α≥0∗, β ≥0∗ Khi d¯´o tˆa.p ho p sau d¯ˆ ay l`a mˆo.t l´at c˘a´t, d¯u.o c go.i l`a t´ıch cu’a α v`a β, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a αβ:

D

- i.nh ngh˜ıa 5.6 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Khi d¯´o l´at c˘a´t sau d¯ˆay d¯u.o c go.i l`a t´ıch cu’a α v`a β, k´y hiˆe.u l`a αβ:

αβ =

    

|α||β| nˆe´u α≥0∗, β ≥0∗ ho˘a.cα <0∗, β < 0∗ , −(|α||β|) nˆe´u α <0∗, β≥0∗ ho˘a.cα≥0∗, β < 0∗ .

D- i.nh ngh˜ıa 5.7 Ta k´y hiˆe.u bo’ i R tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac l´at c˘a´t Q D

- i.nh l´y sau d¯ˆay d¯u.o c ch´u.ng minh khˆong mˆa´y kh´o kh˘an, nhu.ng d¯`oi ho’i mˆo.t lao d¯ˆo.ng tı’ mı’.

D- i.nh l´y 5.8 Tˆa p ho p. R d¯u.o. c trang bi hai ph´ep to´an cˆo ng v`a nhˆan n´oi trˆen l`a mˆo t tru.`o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘a`ng Tru.`o.ng n`ay d¯u.o. c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu.. ≤ ´Anh xa.

Q→R, r7→r∗ l`a mˆo t d¯o.n cˆa´u tru.`o.ng ba’o to`an th´u tu. .

Trˆen co so.’ d¯i.nh l´y n`ay, mˆo˜i l´at c˘a´t trongQ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t sˆo´ thu. c Mˆo˜i l´at c˘a´t h˜u.u ty’ r∗ d¯u.o. c d¯ˆ`ng nhˆo a´t v´o.i sˆo´ h˜u.u ty’ r Mˆo˜i l´at c˘a´t vˆo ty’ d¯u.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ vˆo ty’.

So v´o.i tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Qth`ı tru.`o.ng sˆo´ thu. cRu.u viˆe.t ho.n o.’t´ınh d¯u’ D- ˆe’ diˆe˜n d¯a.t t´ınh d¯u’ cu’a R ta cˆ` n d¯i.nh ngh˜ıa l´at c˘a´t tronga R Ba.n d¯o.c h˜ay so s´anh d¯i.nh

ngh˜ıa sau d¯ˆay v´o.i D- i.nh ngh˜ıa 5.1 vˆe` l´at c˘a´t Q

D

- i.nh ngh˜ıa 5.9 Tˆa.p ho p α c´ac sˆo´ thu. c d¯u.o c go.i l`a mˆo.tl´at c˘a´t (trong R) nˆe´u: (a) α 6=∅, α6=R,

(b) Nˆe´u r ∈α, v`a s∈R, s < r, th`ıs∈α, (c) α khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t

D

- i.nh l´y 5.10 (T´ınh d¯u’ cu’a tru.`o.ng sˆo´ thu. c). V´o.i mo i l´at c˘a´t α trong R, phˆ` n b`a u cu’a n´o R\α luˆon luˆon c´o phˆ` n tu.a ’ nho’ nhˆa´t.

Ch´u.ng minh: D- ˘a.t ¯α :=α∩Q Khi d¯´o ¯α l`a mˆo.t l´at c˘a´t trong Q N´oi c´ach kh´ac, ¯

α l`a mˆo.t sˆo´ thu c Dˆ e˜ d`ang ch´u.ng minh r˘`ng v´o.i mo.ia s ∈ α v`a mo.i t ∈ R\α, ta c´o s <α¯ ≤t Kˆe´t ho. p d¯iˆ` u d¯´e o v´o.i su. kiˆe.nα khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t, ta suy

¯

α6∈α V`ı thˆe´ ¯α = min(R\α). 2

Ch´ung ta tro.’ la.i v´o.i b`ai to´an d¯o d¯ˆo d`ai cu’a d¯u.`o.ng ch´eo cu’a h`ınh vuˆong d¯o.n vi Sˆo´ (l´at c´at) vˆo ty’

√

2 :={r∈Q| r2 <2} ch´ınh l`a sˆo´ thu. c thoa’ m˜an phu.o.ng tr`ınh X2 = 2.

Mˆo.t c´ach tˆo’ng qu´at, c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o c r˘a`ng nˆe´u d¯˜a cho.n mˆo.t d¯o.n vi d¯ˆo d`ai th`ı mˆo˜i d¯oa.n th˘a’ng d¯ˆe` u c´o d¯ˆo d`ai l`a mˆo.t sˆo´ thu c n` ao d¯´o Ngu.o. c la.i, mˆo˜i sˆo´ thu. c d¯ˆ` u l`e a d¯ˆo d`ai cu’a mˆo.t d¯oa.n th˘a’ng c´o hu.´o.ng n`ao d¯´o

6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c

Mo.’ d¯ˆ` u tiˆe´t tru.´a o.c, ch´ung ta d¯˜a ch´u.ng minh r˘a`ng phu.o.ng tr`ınhX2−2 = khˆong

c´o nghiˆe.m h˜u.u ty’ D- ´o ch´ınh l`a d¯iˆe’m kho.’i d¯ˆa` u cho viˆe.c xˆay du ng tru.`o.ng sˆo´ thu c

R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung” cu’a tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q, nh˘a`m t`ım nghiˆe.m cho phu.o.ng tr`ınh d¯´o

C´o mˆo.t t`ınh tra.ng tu.o.ng tu l`a phu.o.ng tr`ınh X2+ = khˆong c´o nghiˆ

e.m thu c, bo.’ i v`ı b`ınh phu.o.ng cu’a mo.i sˆo´ thu c d¯ˆe` u khˆong ˆam D- ˆe’ tho´at kho’i t`ınh tra.ng n`ay, ta cˆ` n “mo.a ’ rˆo.ng” tru.`o.ng sˆo´ thu c R b˘a`ng c´ach xˆay du ng thˆem “c´ac sˆo´ m´o.i”.

Ta go.i i l`a mˆo.t k´y hiˆe.u h`ınh th´u.c (t´u.c mˆo.t “sˆo´ m´o.i”) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh n´oi trˆen, t´u.c l`a

i2 =−1

c´ac “sˆo´ m´o.i” da.nga+bi, d¯´o a, b∈R Tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ nhu vˆa.y kh´ep k´ın d¯ˆo´i v´o.i bˆo´n ph´ep to´an n´oi trˆen Thˆa.t vˆa.y, su’ du.ng hˆe th´u.c i2 =−1 ta c´o:

(a+bi)±(c+di) = (a+c)±(b+d)i, (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i,

a+bi c+di =

(a+bi)(c−di) c2+d2

= ac+bd c2+d2 +

(bc−ad)i c2+d2 ,

(v´o.ic+di6= 0, t´u.c l`a c6= ho˘a.cd 6= 0) Tuy nhiˆen, vˆa˜n c`on mˆo.t cˆau ho’i: “Vˆa.y i l`a c´ai g`ı ?”

D

- ˆe’ tr´anh t`ınh tra.ng kh´o su.’ n`ay ta h˜ay d¯ˆo`ng nhˆa´t a+bi v´o.i c˘a.p sˆo´ thu c ( a, b). Nh˜u.ng phˆan t´ıch o.’ trˆen dˆa˜n ta t´o.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.

D

- i.nh ngh˜ıa 6.1 Mˆo.t c˘a.p c´o th´u tu hai sˆo´ thu c (a, b) d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac sˆo´ ph´u.c d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i C:

C={(a, b)|a, b∈R}.

Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan c´ac sˆo´ ph´u.c nhu sau: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d),

(a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc). Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay d¯u.o. c kiˆe’m tra mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang.

Mˆe.nh d¯ˆe` 6.2 Tˆa p c´ac sˆo´ ph´u.c Cc`ung v´o.i hai ph´ep to´an cˆo ng v`a nhˆan d¯i.nh ngh˜ıa o.’ trˆen lˆa p nˆen mˆo t tru.`o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘a`ng khˆong. 2 Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng l`a = (0,0) D- o.n vi cu’a ph´ep nhˆan l`a = (1,0) Nghi.ch d¯a’o cu’a sˆo´ ph´u.c (a, b)6= l`a

(a, b)−1 = ( a a2+b2,

Nhˆa.n x´et: Theo d¯i.nh ngh˜ıa, hai sˆo´ ph´u.c (a, b) v`a (c, d) b˘a`ng nˆe´u v`a chı’ nˆe´u a =c, b=d.

Ta c´o

(a,0) + (b,0) = (a+b,0), (a,0)(b,0) = (ab,0) N´oi c´ach kh´ac, ´anh xa.

ι:R → C, a 7→ (a,0)

l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u v`anh V`ı thˆe´, ta c´o thˆe’ d¯ˆo`ng nhˆa´t sˆo´ thu c a ∈ R v´o.i sˆo´ ph´u.c c´o da.ng (a,0) Khi d¯´o tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ thu. cRd¯u.o. c d¯ˆ`ng nhˆo a´t v´o.i tˆa.p ho p c´ ac sˆo´ ph´u.c da.ng{(a,0)|a ∈R} Ngu.`o.i ta n´oi tru.`o.ng sˆo´ thu. cRl`a mˆo.t tru.`o.ng cu’a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.cC

D

- ˘a.t i = (0,1)∈ C Ta c´o i2 = (0,1)(0,1) = (−1,0) ≡ −1 Nhu thˆe´, ta d¯˜a c´o

“vˆa.t liˆe.u” d¯ˆe’ xˆay du ng “sˆ o´ m´o.i”i Ta go.i i l`ad¯o.n vi a’o Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = (a, b) c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

z = (a, b) = (a,0) + (b,0)(0,1) =a+bi.

trong d¯´o a, b∈R D- ´o l`a da ng d¯a i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c Ta go.i a l`a phˆ` n thu.a c cu’a z, k´y hiˆe.u a=Rez, c`on b l`a phˆ` n a’o cu’aa z, k´y hiˆe.uImz.

Sˆo´ ph´u.c z m`a Imz = ch´ınh l`a mˆo.t sˆo´ thu c Sˆ o´ ph´u.c z c´o Rez = d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tsˆo´ thuˆ` n a’o.a

Bˆay gi`o ta x´etbiˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.ccu’a c´ac sˆo´ ph´u.c

-6

O ϕ

x y

a b

½½ ½½

½½ ½½

½½ ½½>

z =M(a, b)

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

ZZ~

¯ z

M˘a.t ph˘a’ng toa d¯ˆo d¯u.o c go.i l`a m˘a t ph˘a’ng ph´u.c C´ac sˆo´ thu. c d¯u.o c biˆe’u diˆe˜n trˆen tru.c Ox, d¯u.o. c go.i l`atru c thu c. C´ac sˆo´ thuˆ` n a’o d¯u.o.a c biˆe’u diˆ˜n trˆen tru.ce Oy, d¯u.o. c go.i l`a tru c a’o

Ph´ep d¯ˆo´i x´u.ng qua tru.c thu c d¯u .o c go.i l`a ph´ep liˆen ho p ph´u.c Cu thˆe’ ho.n, ta c´o

D

- i.nh ngh˜ıa 6.3 Sˆo´ ph´u.c ¯z =a−bi d¯u.o. c go.i l`a liˆen ho. p cu’a sˆo´ ph´u.c z =a+bi, d¯´o a, bl`a c´ac sˆo´ thu. c.

Ta dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ng

z+t = z¯+ ¯t, zt = z¯¯t.

Phˆ` n cuˆa o´i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o. c d`anh cho viˆe.c kha’o s´at da ng lu.o ng gi´ac cu’a sˆo´ ph´u.c Da.ng lu.o ng gi´ac d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n tiˆe.n cho viˆe.c nˆang lˆen lu˜y th`u.a v`a khai c˘an c´ac sˆo´ ph´u.c

Gia’ su.’ z =a+bi 6= (t´u.c l`a a2+b2 6= 0) Ta c´o

z =√a2+b2(√ a

a2+b2 +

b √

Ta d¯˘a.tr =√a2+b2 v`a nhˆa.n x´et r˘a`ng tˆo`n ta.i g´oc ϕ x´ac d¯i.nh sai kh´ac 2kπ (k ∈Z)

sao cho

cosϕ = √ a

a2+b2, sinϕ=

b √

a2+b2.

Khi d¯´o z =r(cosϕ+isinϕ).

D- i.nh ngh˜ıa 6.4 Sˆo´ thu. c khˆong ˆam r =√a2+b2 d¯u.o.

c go.i l`a mˆod¯un cu’a sˆo´ ph´u.c z=a+bi, k´y hiˆe.ur=|z|; c`on g´ocϕ d¯u.o. c go.i l`aargument cu’az, k´y hiˆe.uϕ= argz. Argument cu’a sˆo´ ph´u.c z= khˆong d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa.

Gia’ su.’ z =|z|(cosϕ+isinϕ), t=|t|(cosψ+isinψ) Khi d¯´o

zt = |z||t|[(cosϕcosψ−sinϕsinψ) +i(sinϕcosψ+ cosϕsinψ)] = |z||t|(cos(ϕ+ψ) +isin(ϕ+ψ)).

N´oi c´ach kh´ac

|zt| = |z||t|,

arg(zt) = arg(z) +arg(t),

trong d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’ c´o d¯˘a’ng th´u.c cuˆo´i l`ae arg(z) v`aarg(t) d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa. N´oi riˆeng, ta c´o

zn= (|z|(cosϕ+isinϕ))n=|z|n(cosnϕ+isinnϕ). D- ˘a.c biˆe.t, v´o.i|z|= 1, ta c´o Cˆong th´u.c Moivre:

(cosϕ+isinϕ))n= cosnϕ+isinnϕ.

Tiˆe´p theo, ta x´et b`ai to´an khai c˘an bˆa c n cu’a sˆo´ ph´u.c z, t´u.c l`a t`ım tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ ph´u.cu cho un =z.

Nˆe´u z = th`ıu= l`a l`o.i gia’i nhˆa´t

Nˆe´uz 6= 0, ta d¯˘a.tz =|z|(cosϕ+isinϕ) v`a t`ımudu.´o.i da.ngu=|u|(cosθ+isinθ). Ta c´o

⇐⇒

    

|u|n = |z|,

nθ = ϕ+ 2kπ (k ∈Z) ⇐⇒

    

|u| = qn|

z| (c˘an sˆo´ ho.c), θ = ϕ+2nkπ (k ∈Z)

Nhu vˆa.y, c´o d¯´ung n c˘an bˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z 6= 0, ´u.ng v´o.i c´ac gi´a tri. k = 1,2, , n−1 C´ac c˘an n`ay lˆa.p nˆen n d¯ı’ nh cu’a mˆo.t d¯a gi´ac d¯ˆe` u n ca.nh v´o.i tˆam ta.i gˆo´c toa d¯ˆo

N´oi riˆeng, c´o d¯´ung n c˘an bˆa.cn cu’a d¯o.n vi 1, d¯´o l`a ωk = cos

2kπ

n +isin 2kπ

n (k = 1,2, , n−1)

C˘anωk d¯u.o c go.i l`a mˆo.tc˘an nguyˆen thuy’bˆa.cn cu’a nˆe´u mo.i c˘an bˆa.cn cu’a d¯ˆ` ue

l`a mˆo.t lu˜y th`u.a n`ao d¯´o cu’a ωk D- iˆe` u n`ay xa’y v`a chı’ k v`a n nguyˆen tˆo´

c`ung

Tˆa´t ca’ c´ac c˘an bˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z d¯ˆ` u nhˆe a.n d¯u.o c b˘a`ng c´ach nhˆan mˆo.t c˘an nhu thˆe´ v´o.i tˆa´t ca’ c´ac c˘an bˆa.c n cu’a d¯o.n vi

Viˆe.c kha’o s´at c´ac c˘an ph´u.c d¯˜a cho thˆa´y tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c “phong ph´u” ho.n rˆa´t nhiˆ` u so v´e o.i tru.`o.ng sˆo´ thu. c Tro’ la.i x´et phu.o.ng tr`ınh X2+ = 0, ta d¯˜a biˆe´t r˘a`ng

n´o c´o d¯´ung hai nghiˆe.m ph´u.c (±i), l`a c´ac c˘an bˆa.c hai cu’a (−1) Trong tiˆe´t sau ta s˜e thˆa´y tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c cung cˆa´p “d¯u’ nghiˆe.m” cho tˆa´t ca’ c´ac d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c

7 D- a th´u.c

Ch´ung ta tr`ınh b`ay o.’ d¯ˆay mˆo.t c´ach hiˆe’u tru c gi´ ac nhˆa´t vˆ` d¯a th´e u.c Gia’ su.’ K l`a mˆo.t tru.`o.ng Biˆe’u th´u.c h`ınh th´u.c

f(X) = anXn+an−1Xn−1+· · ·+a1X+a0,

trong d¯´o a0, a1, , an ∈K, d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯a th´u.c cu’a ˆa’n X (hay biˆe´n X) v´o.i hˆe

Nˆe´u an 6= th`ı ta n´oi f(X) c´o bˆa.cn, v`a viˆe´t degf(X) =n; c`onan d¯u.o c go.i l`a

hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X) Nˆe´ua0 =a1 =· · ·=an= th`ıf(X) d¯u.o. c go.i l`a d¯a

th´u.c 0, v`a d¯u.o. c coi l`a c´o bˆa.c b˘a`ng −∞

Tˆa.p ho p c´ ac d¯a th´u.c ˆa’n X v´o.i hˆe sˆo´ trong K d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a K[X] Ta trang bi cho tˆa.p ho p n` ay hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan nhu sau:

Ph´ep cˆo.ng:

(anXn+· · ·+a0) + (bmXn+· · ·+b0)

:= anXn+· · ·+am+1Xm+1+ (am+bm)Xm+· · ·+ (a0+b0),

(o.’ d¯ˆay ta gia’ su.’ khˆong gia’m tˆo’ng qu´at n≥m). Ph´ep nhˆan:

(anXn+· · ·+a0)(bmXn+· · ·+b0) := cn+mXn+m+· · ·+c0,

trong d¯´ock =

P

i+j=kaibj

Mˆe.nh d¯ˆe` 7.1 K[X] c`ung v´o.i hai ph´ep to´an n´oi trˆen lˆa p nˆen mˆo t v`anh giao ho´an, c´o d¯o.n vi., khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong v´o.i d¯˘a.c sˆo´CharK[X] =CharK.

Ch´u.ng minh: Nhˆa.n x´et r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i c´ac d¯a th´u.c f(X) v`a g(X) ta c´o deg(f(X)g(X)) = degf(X) + degg(X).

T´ınh chˆa´t n`ay dˆa˜n t´o.i su kiˆe.n K[X] khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong

C´ac kh˘a’ng d¯i.nh c`on la.i cu’a mˆe.nh d¯ˆe` d¯ˆe` u dˆe˜ kiˆe’m tra 2 Ta th`u.a nhˆa.n d¯i.nh l´y sau d¯ˆay.

D

- i.nh l´y 7.2 (Ph´ep chia Euclid v´o.i du.) Gia’ su.’ f(X) v`a g(X)6= l`a c´ac d¯a th´u.c cu’a v`anh K[X] Khi d¯´o tˆ`n ta.i nhˆa´t c´ac d¯a th´u.co q(X) v`ar(X) trong K[X]sao cho

C´ac d¯a th´u.c q(X) v`a r(X) d¯u.o. c go.i tu.o.ng ´u.ng l`a thu.o.ng v`a phˆ` n du.a ph´ep chia f(X) cho g(X) Nˆe´u r(X) = 0, t´u.c l`a f(X) = g(X)q(X), ta n´oi f(X) chia hˆe´t cho g(X) trongK[X], ho˘a.cg(X) l`a mˆo.tu.´o.c cu’a f(X) K[X]

Phˆ` n tu.a ’ c∈Kd¯u.o. c go.i l`a mˆo.tnghiˆe.mcu’a d¯a th´u.cf(X) = anXn+· · ·+a1X+a0

nˆe´u

f(c) = ancn+· · ·+a1c+a0 = ∈K.

Ta c´o d¯i.nh l´y sau d¯ˆay liˆen hˆe gi˜u.a nghiˆe.m v`a t´ınh chia hˆe´t cu’a d¯a th´u.c

D

- i.nh l´y 7.3 (B´ezout) D- a th´u.c f(X) ∈ K[X] nhˆa n c ∈ K l`a mˆo t nghiˆe.m nˆe´u v`a chı’ nˆe´u tˆ`n ta.i mˆo.t d¯a th´u.co q(X)∈K[X] sao cho

f(X) = (X−c)q(X).

Ch´u.ng minh: Nˆe´u f(X) = (X−c)q(X) th`ıf(c) = (c−c)q(c) = 0∈K Do d¯´o c l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X).

Ngu.o. c la.i, gia’ su’.c l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X) Ta chia f(X) cho d¯a th´u.c kh´ac khˆong (X−c):

f(X) = (X−c)q(X) +r(X),

trong d¯´o q(X), r(X) ∈ K[X] v`a degr(X) < deg(X−c) = Nhu thˆe´, degr(X) ho˘a.c b˘a`ng ho˘a.c b˘a`ng −∞ Trong ca’ hai tru.`o.ng ho. p r(X) d¯ˆ` u l`e a d¯a th´u.c h˘a`ng, r(X) =r ∈K Ta c´o

0 = f(c) = (c−c)q(c) +r=r.

Vˆa.yr = T`u d¯´o f(X) = (X−c)q(X). 2

D- i.nh ngh˜ıa 7.4 Phˆ` n tu.a ’ c∈K d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t nghiˆe.m bˆo.i k cu’a d¯a th´u.c f(X) nˆe´u f(X) chia hˆe´t cho (X−c)k, nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho (X−c)k+1 K[X]

D

- i.nh ngh˜ıa 7.5 D- a th´u.c f(X) ∈ K[X] d¯u.o. c go.i l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o c´o bˆa.c du.o.ng v`a nˆe´u n´o khˆong th`u.a nhˆa.n mˆo.t phˆan t´ıch n`ao c´o da.ng f(X) = g(X)h(X), d¯´o c´ac d¯a th´u.cg(X), h(X)∈K[X] d¯ˆ` u c´e o bˆa.c nho’ ho.n degf(X) Mˆo.t d¯a th´u.c d¯u.o c go.i l`a kha’ quytrˆenK nˆe´u n´o khˆong bˆa´t kha’ quy trˆenK

N´oi c´ach kh´ac, d¯a th´u.c f(X) ∈ K[X] l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o c´o bˆa.c du.o.ng v`a chı’ chia hˆe´t cho c´ac d¯a th´u.c bˆa.c du.o.ng c´o da.ng kf(X) ∈ K[X], d¯´o k∈K\ {0}

V´ı du :

(1) Mo.i d¯a th´u.c bˆa.c nhˆa´t d¯ˆe`u bˆa´t kha’ quy

(2) D- a th´u.c bˆa.c hai bˆa´t kha’ quy trˆenK nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o vˆo nghiˆe.m trong K (3) D- a th´u.c bˆa.c l´o.n ho.n c´o nghiˆe.m Kth`ı khˆong bˆa´t kha’ quy trˆen K

(4) D- a th´u.cX2−2 bˆa´t kha’ quy trˆenQ nhu.ng kha’ quy trˆen R (5) D- a th´u.cX2+ bˆa´t kha’ quy trˆenR, nhu.ng kha’ quy trˆenC.

Ch´ung ta th`u.a nhˆa.n d¯i.nh l´y sau d¯ˆay, n´oi vˆe` t´ınh d¯´ong d¯a i sˆo´cu’a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c

D

- i.nh l´y 7.6 (D- i.nh l´y co ba’n cu’a D- a.i sˆo´ ho.c)

Mo i d¯a th´u.c bˆa c du.o.ng v´o.i hˆe sˆo´ ph´u.c d¯ˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c.

N´oi c´ach kh´ac, mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c l`a bˆa´t kha’ quy trˆenCkhi v`a chı’ n´o l`a mˆo.t d¯a th´u.c bˆa.c nhˆa´t

Nhu vˆa.y, nˆe´u f(X)∈C[X] c´o bˆa.cn th`ı n´o th`u.a nhˆa.n phˆan t´ıch f(X) = an(X−z1)· · ·(X−zn)

Cho t´o.i nay, mo.i ch´u.ng minh d¯˜a biˆe´t cu’a d¯i.nh l´y n`ay d¯ˆe`u mang ba’n s˘a´c Tˆopˆo, H`ınh ho.c ho˘a.c Gia’i t´ıch Chu.a c´o mˆo.t ch´u.ng minh thuˆa`n tu´y d¯a.i sˆo´ n`ao cho d¯i.nh l´y n`ay

Nh˘a´c la.i r˘a`ng tam th´u.c bˆa.c hai hˆe sˆo´ thu c aX2+bX+ckhˆong c´o nghiˆ

e.m thu c nˆe´u v`a chı’ nˆe´u biˆe.t th´u.c cu’a n´o ∆ =b2−4ac <0

Mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a d¯i.nh l´y co ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ ho.c l`a kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay

D- i.nh l´y 7.7 Mˆo t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c l`. a bˆa´t kha’ quy trˆen Rnˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o ho˘a c l`a mˆo t d¯a th´u.c bˆa c nhˆa´t ho˘ c l`a a mˆo t d¯a th´u.c bˆa c hai v´o.i biˆe.t th´u.c ˆam Ho.n n˜u.a, mo i d¯a th´u.c f(X)∈R[X] d¯ˆ` u th`e u.a nhˆa n phˆan t´ıch

f(X) =an(X−x1)k1· · ·(X−xr)kr(X2+b1X+c1)`1· · ·(X2+bsX+cs)`s,

trong d¯´o an l`a hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X),

Pr

i=1ki +

Ps

j=1`j = n = degf(X),

x1, , xr l`a c´ac sˆo´ thu c v`a c´ac tam th´u.c bˆa c hai hˆe sˆo´ thu c. (X2+biX +ci) d¯ˆ` ue

khˆong c´o nghiˆe.m thu c..

Ch´u.ng minh: R˜o r`ang mo.i d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c bˆa.c nhˆa´t ho˘a.c bˆa.c hai v´o.i biˆe.t th´u.c ˆ

am d¯ˆ` u bˆe a´t kha’ quy trˆenR Kh˘a’ng d¯i.nh ngu.o c la.i d¯u.o c bao h`am phˆan t´ıch cˆ` n t`ım cho mo.i d¯a th´u.ca f(X) n´oi d¯i.nh l´y.

Go.i x1, , xr l`a tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m thu c cu’a f(X) v´o.i bˆo.i tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng

k1, , kr Ta c´o

f(X) = an(X−x1)k1· · ·(X−xr)krP(X),

trong d¯´oP(X) l`a mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c nhu.ng khˆong c´o nghiˆe.m thu c Gia’ su.’z1

l`a mˆo.t nghiˆe.m ph´u.c cu’aP(X), d¯´o ¯z1 c˜ung l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’aP(X) Thˆa.t vˆa.y,

P(X) c´o da.ng

P(X) = dmXm+· · ·+d1X+d0,

trong d¯´odm, , d0 l`a c´ac sˆo´ thu c, t´u.c l`a ¯di =di Dˆ˜ thˆa´y r˘a`nge

= d¯mz1m+· · ·+ ¯d1z¯1 + ¯d0

= dmz¯1m+· · ·+d1z¯1+d0

= P(¯z1)

Theo d¯i.nh l´y B´ezout P(X) = (X−z1)P1(X) T`u d¯´o

P(¯z1) = (¯z1−z1)P1(¯z1) =

V`ız1 khˆong pha’i l`a sˆo´ thu c, nˆen (¯z1−z1)6= Do d¯´o P1(¯z1) = ´Ap du.ng d¯i.nh l´y

B´ezout mˆo.t lˆa` n n˜u.a cho P1(X) ta nhˆa.n d¯u.o c

P(X) = (X−z1)(X−z¯1)Q(X),

trong d¯´o Q(X) l`a mˆo.t d¯a th´u.c Nhˆa.n x´et r˘a`ng

(X−z1)(X−z¯1) = X2−(z1+ ¯z1)X+z1z¯1

= X2−2(Re(Z1)X+|z1|2

l`a mˆo.t tam th´u.c bˆa.c hai hˆe sˆo´ thu c nhu.ng khˆong c´o nghiˆe.m thu c Do t´ınh nhˆa´t cu’a ph´ep chia d¯a th´u.c P(X) cho d¯a th´u.c X2 −2(Re(Z1)X+|z1|2 c´ac v`anh

R[X] v`a C[X], ta kˆe´t luˆa.n Q(X) c˜ung l`a mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c N´o khˆong c´o nghiˆe.m thu c v`ı P(X) c˜ung vˆa.y Nhu thˆe´, c´o thˆe’ l˘a.p la.i nh˜u.ng lˆa.p luˆa.n o.’ trˆen v´o.i Q(X) thay cho P(X) Bo.’ i v`ı degQ(X) < degP(X), cho nˆen ta nhˆa.n d¯u.o c phˆan t´ıch cu’af(X) nhu n´oi d¯i.nh l´y b˘a`ng c´ach quy na.p theo degP(X) 2

B`ai tˆa.p

2 Ch´u.ng minh r˘a`ng

(a) (A\B)∪(B\A) = ∅ ⇐⇒A=B, (b) A= (A\B)∪(A∩B),

(c) (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B), (d) A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C), (e) A∪(B\A) = (A∪B),

(f) A\(A\B) =A∩B Ch´u.ng minh r˘a`ng

(a) (A×B)∩(B×A)=6 ∅ ⇐⇒A∩B 6=∅, (b) (A×C)∩(B×D) = (A∩B)×(C∩D).

4 Gia’ su.’ f :X →Y l`a mˆo.t ´anh xa v`aA, B ⊂X Ch´u.ng minh r˘a`ng (a) f(A∪B) =f(A)∪f(B),

(b) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B), (c) f(A\B)⊃f(A)\f(B).

H˜ay t`ım c´ac v´ı du d¯ˆe’ ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong c´o dˆa´u b˘a`ng o.’ c´ac mu.c (b) v`a (c) Cho ´anh xa. f :X →Y v`a c´ac tˆa.p conA, B ⊂Y Ch´u.ng minh r˘a`ng

(a) f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B),

(b) f−1(A∩B) =f−1(A)∩f−1(B),

(c) f−1(A\B) = f−1(A)\f−1(B).

7 X´et xem ´anh xa.f :R →Rx´ac d¯i.nh bo’ i cˆ ong th´u.cf(x) = x2−3x+ c´o pha’i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh hay to`an ´anh hay khˆong T`ım f(R), f(0), f−1(0), f([0,5]),

f−1([0,5])

8 Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p gˆo`m d¯´ung n phˆ` n tu.a ’ Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆa.p ho p P(A) c´ac tˆa.p cu’aA c´o d¯´ung 2n phˆ` n tu.a ’

9 Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆa.p ho p R+ c´ac sˆo´ thu.

c du.o.ng c´o lu c lu.o ng continum (Go. i ´y: X´et ´anh xa. exp:R→R+, v´o.i exp(x) =ex.)

10 Cho hai sˆo´ thu. ca, bv´o.ia < b Ch´u.ng minh r˘a`ng khoa’ng sˆo´ thu c (a, b) ={x∈

R|a < x < b} c´o lu. c lu.o ng continum (Go i ´y: X´et ´anh xa ϕ : (a, b) → R+

x´ac d¯i.nh bo’ i ϕ(x) = ax−−xb.)

11 Mˆo.t sˆo´ thu c d¯u .o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ d¯a i sˆo´ nˆe´u n´o l`a nghiˆe.m cu’a mˆo.t phu.o.ng tr`ınh d¯a th´u.c n`ao d¯´o v´o.i c´ac hˆe sˆo´ nguyˆen Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆa.p c´ac sˆo´ d¯a.i sˆo´ l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c T`u d¯´o suy r˘a`ng tˆa.p ho p c´ac sˆo´ thu c khˆong pha’i l`a sˆo´ d¯a.i sˆo´ l`a mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n khˆong d¯ˆe´m d¯u.o c

12 Lˆa.p ba’ng cˆo.ng v`a ba’ng nhˆan cu’a v`anh Z/n v´o.i n = 12 v`a n = 15 Du. a v`ao ba’ng, t`ım c´ac phˆ` n tu.a ’ kha’ nghi.ch d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan hai v`anh d¯´o. 13 Go.i (Z/n)∗ l`a tˆa.p ho p c´ ac phˆ` n tu.a ’ kha’ nghi.ch d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan trong Z/n.

Ch´u.ng minh r˘a`ng

(Z/n)∗ ={[x]| x v`a n nguyˆen tˆo´ c`ung nhau}.

14 Cho R l`a mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi Go.iR∗ l`a tˆa.p ho p c´ ac phˆ` n tu.a ’ kha’ nghi.ch d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan trongR Ch´u.ng minh r˘a`ngR∗ l`a mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan cu’a R.

(a) Nˆe´u xy v`ayx kha’ nghi.ch th`ıx v`a y kha’ nghi.ch.

(b) Nˆe´u R khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong v`axy kha’ nghi.ch th`ıxv`ay kha’ nghi.ch. 16 Cho R l`a mˆo.t v`anh h˜u.u ha.n Ch´u.ng minh r˘a`ng

(a) Nˆe´u R khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong th`ı n´o c´o d¯o.n vi v`a mo.i phˆa` n tu.’ kh´ac khˆong cu’a R d¯ˆ` u kha’ nghi.ch (Go i ´y: C´ac ph´ep nhˆan bˆen pha’i ho˘a.c bˆene tr´ai v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ cˆo´ d¯i.nh kh´ac khˆong d¯ˆe` u l`a c´ac song ´anh R→R.) (b) Nˆe´u R c´o d¯o.n vi th`ı mo.i phˆa` n tu.’ kha’ nghi.ch mˆo.t ph´ıa trongR d¯ˆ` u kha’e

nghi.ch

17 Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆa.p ho p c´ac sˆo´ thu c

Q(√2) ={a+b√2| a, b∈Q}

lˆa.p nˆen mˆo.t tru.`o.ng v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan thˆong thu.`o.ng

18 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac tru.`o.ngQ(√2) v`aQ(√3) khˆong d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i 19 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u sˆo´ ph´u.cz 6∈R th`ı tru.`o.ng gˆ`m c´o ac phˆ` n tu.a ’ c´o da.ng

R(z) = {a+bz| a, b∈R}

tr`ung v´o.i tru.`o.ng sˆo´ ph´u.cC

20 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac tru.`o.ng C v`a Z/p, v´o.i p nguyˆen tˆo´, khˆong l`a tru.`o.ng d¯u.o. c s˘a´p to`an phˆa` n d¯ˆo´i v´o.i bˆa´t k`y th´u tu. n`ao

22 Ch´u.ng minh r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.cz:

z = ¯z ⇐⇒ z ∈R,

z =−z¯ ⇐⇒ z l`a thuˆ` n a’o.a

23 Khi n`ao th`ı t´ıch cu’a hai sˆo´ ph´u.c l`a mˆo.t sˆo´ thu c? Khi n` ao th`ı tˆo’ng v`a t´ıch cu’a hai sˆo´ ph´u.c d¯ˆ` u l`e a sˆo´ thu. c?

24 T´ınh i77, i99, i−57, in,(1 +i)n v´o.i n∈Z.

25 Ch´u.ng minh c´ac d¯˘a’ng th´u.c

(1 +i)8n = 24n,

(1 +i)4n = (−1)n22n, (n ∈Z)

26 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´uz+z−1 = cosϕtrong d¯´oϕ ∈Rth`ızn+z−n= cosnϕ, v´o.i mo.i n∈N

27 T´ınh

(a)1−2i

4 + 3i, (b)

(1−i)n

(1−√3i)n, (c)

(1 +√3i)n

(1 +i)n+1 .

28 (a) T`ım da.ng lu.o ng gi´ac cu’a sˆo´ ph´u.c (1 +itgϕ)/(1−itgϕ), (b) Trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c, t`ım tˆa.p ho p c´ac d¯iˆe’m tu.o.ng ´u.ng v´o.i

{z = (1 +ti)/(1−ti)| t∈R}.

29 D- ˘a’ng th´u.c sau d¯ˆay c´o d¯´ung khˆong ns√

zs = √nz, d¯´oz ∈C,n, s∈N ? 30 (a) T`ım c´ac c˘an bˆa.c ba cu’a +i, v`a 1−√3i

(b) T`ım c´ac c˘an bˆa.c n cu’a i, 1−i, v`a +√3i

32 Phˆan t´ıch c´ac d¯a th´u.c sau d¯ˆay th`anh c´ac nhˆan tu.’ bˆa´t kha’ quy c´ac v`anh

R[X] v`a C[X]:

(a) X3+ 3X2 + 5X+ 3, (b) X3−X2−X−2

33 Ch´u.ng minh r˘a`ng d¯a th´u.c X3m+X3n+1+X3p+2 chia hˆe´t cho d¯a th´u.cX2 +

X+ 1, v´o.i mo.i m, n, p nguyˆen du.o.ng

34 T`ım tˆa´t ca’ c´ac bˆo ba nguyˆen du.o.ng m, n, p cho d¯a th´u.c X3m−X3n+1 +

Chu.o.ng I

KH ˆONG GIAN V ´ECTO.

D

- ˆo´i tu.o ng ban d¯ˆa`u cu’a mˆon D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh l`a viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Tuy vˆa.y, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao d¯iˆe` u kiˆe.n d¯a’m ba’o cho mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m v`a cˆa´u tr´uc nghiˆe.m cu’a n´o, ngu.`o.i ta d¯˜a d¯u.a kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto v`a kh´ai niˆe.m n`ay d¯˜a tro.’ th`anh mˆo.t nh˜u.ng tru cˆo.t cu’a mˆon D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh Khˆong gian v´ecto sau d¯´o d¯˜a d¯u.o c su.’ du.ng phˆo’ biˆe´n mo.i l˜ınh vu c cu’a to´ an ho.c

1 Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto.

Trong suˆo´t chu.o.ng n`ay, ta luˆon gia’ su.’ Kl`a mˆo.t tru.`o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 1.1 Tˆa.p ho p V 6=∅ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tkhˆong gian v´ecto.trˆen Knˆe´u n´o d¯u.o. c trang bi hai ph´ep to´an, gˆ`mo

(a) Ph´ep cˆo.ng v´ecto.:

+ : V ×V →V (α, β)7→α+β, (b) Ph´ep nhˆan v´ecto v´o.i vˆo hu.´o.ng:

C´ac ph´ep to´an n`ay thoa’ m˜an nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n (ho˘a.c tiˆen d¯ˆee ` ) sau d¯ˆay: (V1) (α+β) +γ =α+ (β+γ), ∀α, β, γ ∈V, (V2) ∃0∈V : +α=α+ =α, ∀α∈V, (V3) ∀α ∈V,∃α0 ∈V :α+α0 =α0+α= 0,

(V4) α+β =β+α, ∀α, β ∈V,

(V5) (a+b)α=aα+bα, ∀a, b∈K,∀α ∈V, (V6) a(α+β) =aα+aβ, ∀a∈K,∀α, β ∈V, (V7) a(bα) = (ab)α, ∀a, b∈K,∀α ∈V,

(V8) 1α=α, ∀α∈V.

C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a V d¯u.o. c go.i l`a c´ac v´ecto., c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a K d¯u.o. c go.i l`a c´ac vˆo hu.´o.ng.

Bˆo´n tiˆen d¯ˆ` d¯ˆe ` u n´a oi r˘a`ng V l`a mˆo.t nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng C´ac tiˆen d¯ˆe` (V5) - (V7) n´oi r˘a`ng ph´ep nhˆan v´o.i vˆo hu.´o.ng c´o t´ınh phˆan phˆo´i d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng vˆo hu.´o.ng, phˆan phˆo´i d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng v´ecto v`a c´o t´ınh chˆa´t cu’a mˆo.t “t´ac d¯ˆo.ng” Tiˆen d¯ˆ` (V8) n´e oi r˘a`ng ph´ep nhˆan v´o.i vˆo hu.´o.ng d¯u.o c chuˆa’n ho´a

Mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆenKc`on d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tK-khˆong gian v´ecto., hay d¯o.n gia’n: mˆo.t khˆong gian v´ecto., nˆe´u K d¯˜a r˜o

Khi K = R, V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto thu c Khi K = C, V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto ph´u.c

V´ı du 1.2 (a) C´ac v´ecto tu. h`ınh ho.c so cˆa´p v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v´ecto v`a nhˆan v´ecto v´o.i sˆo´ thu. c lˆa.p nˆen mˆo.t khˆong gian v´ecto thu c

(b) Tˆa.p ho p c´ ac d¯a th´u.cK[X] (cu’a mˆo.t ˆa’n X, v´o.i hˆe sˆo´ trong K) v´o.i ph´ep cˆo.ng d¯a th´u.c v`a ph´ep nhˆan d¯a th´u.c v´o.i vˆo hu.´o.ng thˆong thu.`o.ng lˆa.p nˆen mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ngK

(d) Tˆa.p ho p {0} gˆ`m chı’ mˆo o.t v´ecto l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen mˆo˜i tru.`o.ng

K, v´o.i c´ac ph´ep to´an tˆ` m thu.`a o.ng + = 0,

a0 = 0, ∀a ∈K.

(e) Go.i Kn l`a tˆa.p ho p gˆ `m tˆo a´t ca’ c´ac h`ang n-th`anh phˆ` n (xa 1, , xn) v´o.i xi ∈K

N´o lˆa.p nˆen mˆo.t K-khˆong gian v´ecto v´o.i hai ph´ep to´an sau d¯ˆay: (x1, , xn) + (y1, , yn) = (x1+y1, , xn+yn),

a(x1, , xn) = (ax1, , axn), a∈K.

(f) Go.i Kn l`a tˆa.p ho p gˆ `m tˆo a´t ca’ c´ac cˆo.tn-th`anh phˆ` na

       x1 xn      

, v´o.i xi ∈K N´o

c˜ung lˆa.p nˆen mˆo.t K-khˆong gian v´ecto v´o.i hai ph´ep to´an sau d¯ˆay:

       x1 xn        +        y1 yn        =       

x1+y1

xn+yn

       , a        x1 xn        =        ax1 axn        .

D- ˆe’ tr`ınh b`ay cho go.n, ch´ung ta s˜e d¯ˆoi k´y hiˆe.u v´ecto

       x1 xn       

bo.’ i (x1, , xn)t

(g) Mˆo.t ma trˆa.nm h`ang, n cˆo.t v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ Kl`a mˆo.t ba’ng c´o da.ng

(aij)m×n =

         

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

trong d¯´o aij ∈ K Go.i M(m×n,K) l`a tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac ma trˆa.n m h`ang,

n cˆo.t v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ K N´o lˆa.p nˆen mˆo.t K-khˆong gian v´ecto v´o.i hai ph´ep to´an sau d¯ˆay:

(aij)m×n+ (bij)m×n = (aij +bij)m×n,

a(aij)m×n = (aaij)m×n.

Ch´ung ta s˜e nghiˆen c´u.u k˜y ho.n vˆ` c´e ac ma trˆa.n o’ chu.o.ng sau

(h) Tˆa.p ho p C[a, b] c´ac h`am thu. c liˆen tu.c trˆen d¯oa.n [a, b]⊂R l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto thu. c v´o.i c´ac ph´ep to´an thˆong thu.`o.ng

(f +g)(x) = f(x) +g(x), (af)(x) = af(x)

(i) Gia’ su.’ V v`a W l`a c´ac K-khˆong gian v´ecto Khi d¯´o, V ×W c˜ung l`a mˆo.t

K-khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau (v, w) + (v0, w0) = (v+v0, w+w0)

a(v, w) = (av, aw),

trong d¯´o a ∈ K, v, v0 ∈ V, w, w0 ∈ W Khˆong gian V ×W d¯u.o. c go.i l`a t´ıch tru. c tiˆe´p cu’a c´ac khˆong gian V v`a W

Gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto C´ac t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay d¯u.o c suy t`u d¯i.nh ngh˜ıa cu’a khˆong gian v´ecto

(1) Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a ph´ep cˆo.ng 0 ∈ V l`a nhˆa´t N´o d¯u.o. c go.i l`a v´ecto. khˆong.

Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ c˜ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ trung lˆa.p cu’a ph´ep cˆo.ng V

Khi d¯´o

0 + 01 = 01 (v`ı l`a trung lˆa.p)

= (v`ı 01 l`a trung lˆa.p).

(2) V´o.i mo.i v´ecto.α∈V, phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´iα0 thoa’ m˜an tiˆen d¯ˆ` (V3) l`e a nhˆa´t N´o s˜e d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a (−α).

Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’.α01 c˜ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ d¯ˆo´i cu’a α Khi d¯´o

(α0 +α) +α01 = +α01 =α01 (v`ıα0 l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ d¯ˆo´i) = α0+ (α+α01) (theo tiˆen d¯ˆ` (V1))e

= α0+ =α0 (v`ıα01 l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ d¯ˆo´i) Nhu vˆa.y, α0 =α01

Ta d¯i.nh ngh˜ıa: α−β =α+ (−β).

(3) Ta c´o c´ac quy t˘a´c gia’n u.´o.c v`a chuyˆe’n vˆe´:

α+γ =β+γ =⇒ α=β, α+β =γ =⇒ α=γ−β.

Thˆa.t vˆa.y, cˆo.ng (−γ) v`ao hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c α+γ = β+γ v`a cˆo.ng (−β) v`ao hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c α+β =γ ta thu d¯u.o. c d¯iˆ` u pha’i ch´e u.ng minh (4) 0α= v`a a0 = 0.

Thˆa.t vˆa.y,

0α+ = 0α= (0 + 0)α= 0α+ 0α T`u d¯´o, theo luˆa.t gia’n u.´o.c, 0α= Tu.o.ng tu. ,

a0 + =a0 =a(0 + 0) = a0 +a0.

C˜ung theo luˆa.t gia’n u.´o.c, ta c´o a0 = 0.

(5) Nˆe´u aα= (v´o.i a ∈K, α∈V), th`ı ho˘a.ca= ho˘a.c α=

Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’.a6= 0, nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c d¯˜a cho v´o.i a−1 ∈Kta c´o

(6) (−a)α=a(−α) = −(aα), ∀a∈K, α∈V Thˆa.t vˆa.y,

aα+ (−a)α = (a+ (−a))α= 0α= T`u d¯´o, (−a)α=−(aα) Tu.o.ng tu. ,

aα+a(−α) =a(α+ (−α)) = a0 = 0. Do d¯´o, a(−α) =−(aα)

(7) (Pmi=1ai)(

Pn

j=1αj) =

Pm i=1

Pn

j=1(aiαj)

D

- ˘a’ng th´u.c n`ay c´o thˆe’ d¯u.o c ch´u.ng minh b˘a`ng quy na.p theo m v`a n, trˆen co so.’ su.’ du.ng c´ac tiˆen d¯ˆe` (V5) v`a (V6)

2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh Trong suˆo´t tiˆe´t n`ay ta luˆon gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K

D

- i.nh ngh˜ıa 2.1 (Tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh, biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh)

(a) Mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac v´ecto.α1, , αn∈V l`a mˆo.t biˆe’u th´u.c da.ng n

X

i=1

aiαi =a1α1+· · ·+anαn,

trong d¯´oai ∈K

(b) Gia’ su.’ α = a1α1 +· · ·+anαn ∈ V D- ˘a’ng th´u.c d¯´o d¯u.o c go.i l`a mˆo.t biˆe’u thi.

tuyˆe´n t´ınh cu’aα qua c´ac v´ecto.α1, , αn (ho˘a.c qua hˆe v´ecto (α1, , αn)) Khi

c´o d¯˘a’ng th´u.c d¯´o, ta n´oiα biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua α1, , αn

Nhˆa.n x´et: Mˆo.t v´ecto c´o thˆe’ c´o nhiˆe` u biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh kh´ac qua mˆo.t hˆe. v´ecto

Ta n´oi hˆe (α1, , αn) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe (β1, , βm) nˆe´u mˆo˜i v´ecto

Gia’ su.’ hˆe (α1, , αn) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe (β1, , βm), v`a hˆe (β1, , βm)

biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe (γ1, , γk) Khi d¯´o, r˜o r`ang (α1, , αn) c˜ung biˆe’u

thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe (γ1, , γk)

D

- i.nh ngh˜ıa 2.2 (D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.) (a) Hˆe (α1, , αn) d¯u.o c go.i l`a d¯ˆo c lˆa p tuyˆe´n t´ınhnˆe´u hˆe th´u.c

a1α1+· · ·+anαn=

chı’ xa’y a1 =· · ·=an =

(b) Hˆe (α1, , αn) d¯u.o c go.i l`a phu thuˆo c tuyˆe´n t´ınh nˆe´u n´o khˆong d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n

t´ınh

Nˆe´u hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p (ho˘a.c phu thuˆo.c) tuyˆe´n t´ınh, ta c˜ung n´oi c´ac v´ecto

α1, , αn d¯ˆo.c lˆa.p (ho˘a.c phu thuˆo.c) tuyˆe´n t´ınh

D

- ˘a’ng th´u.c a1α1 +· · ·+anαn = d¯u.o c go.i l`a mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh gi˜u.a

c´ac v´ecto.α1, , αn Nˆe´u a1 =· · ·=an = th`ı ta go.i r`ang buˆo.c d¯´o l`a tˆ` m thu.`a o.ng.

Theo d¯i.nh ngh˜ıa, hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u mo.i r`ang buˆo.c

tuyˆe´n t´ınh gi˜u.a α1, , αn d¯ˆ` u l`e a r`ang buˆo.c tˆa` m thu.`o.ng Hˆe (α1, , αn) phu thuˆo.c

tuyˆe´n t´ınh v`a chı’ c´o c´ac vˆo hu.´o.ng a1, , an ∈ K khˆong d¯ˆ`ng th`o o.i b˘a`ng

d¯ˆe’ cho

a1α1+· · ·+anαn = 0,

ngh˜ıa l`a c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng gi˜u.a c´ac v´ecto.α1, , αn

(b) Trong khˆong gian R2, c´ac v´ecto.e1 = (1,0), e2 = (0,1) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Thˆa.t vˆa.y, hˆe th´u.c

a1e1+a2e2 = (a1, a2) = (0,0)

xa’y v`a chı’ a1 =a2 =

V´o.i mo.i α ∈ R2, c´ac v´ecto e1, e2, α phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u

α = (a, b) th`ı

α−ae1−be2 =

(c) H˜ay x´et xem c´ac v´ec to sau d¯ˆay d¯ˆo.c lˆa.p hay phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh trong C3:

α1 = (5,3,4),

α2 = (3,2,3),

α3 = (8,3,1)

Ta muˆo´n t`ım xem c´o hay khˆong mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng gi˜u.a c´ac v´ecto d¯´o, t´u.c l`a c´o hay khˆong c´ac sˆo´ ph´u.cx1, x2, x3 khˆong d¯ˆ`ng th`o o.i

b˘a`ng cho:

x1(5,3,4) +x2(3,2,3) +x3(8,3,1) = (0,0,0)

Phu.o.ng tr`ınh v´ecto d¯´o tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i hˆe phu.o.ng tr`ınh

            

5x1+ 3x2+ 8x3 =

3x1+ 2x2+ 3x3 =

4x1+ 3x2+ 1x3 =

Hˆe phu.o.ng tr`ınh n`ay c´o thˆe’ gia’i b˘a`ng c´ach khu.’ thˆong thu.`o.ng Tru.´o.c hˆe´t, nhˆan phu.o.ng tr`ınh cuˆo´i lˆ` n lu.o.a t v´o.i (−8) v`a (−3) rˆ`i cˆo o.ng v`ao c´ac phu.o.ng tr`ınh th´u nhˆa´t v`a th´u hai, ta thu d¯u.o. c:

            

−27x1 − 21x2 =

−9x1 − 7x2 =

Hai phu.o.ng tr`ınh d¯ˆ` u cu’a hˆe n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i Do d¯´o, mˆo.t nghiˆe.ma khˆong tˆ` m thu.`a o.ng cu’a hˆe n`ay l`a:

x1 = 7, x2 =−9, x3 =−1

Nhu vˆa.y, ba v´ecto d¯˜a cho phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh

Nhˆa.n x´et: T`u v´ı du trˆen ta thˆa´y r˘a`ng viˆe.c x´et xem mˆo.t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p hay phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c d¯u.a vˆe` viˆe.c gia’i mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t Tu.o.ng tu. , viˆe.c x´et xem mˆo.t v´ecto c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c hay khˆong qua mˆo.t hˆe v´ecto d¯u.o c d¯u.a vˆe` viˆe.c gia’i mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh (n´oi chung khˆong thuˆ` n nhˆa a´t)

L´y thuyˆe´t tˆo’ng qu´at vˆ` hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh s˜e d¯u.o c tr`ınh b`ay o.’ Chu.o.ng IIIe cu’a cuˆo´n s´ach n`ay

C´ac t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay l`a hˆe qua’ tru c tiˆ e´p cu’a c´ac d¯i.nh ngh˜ıa.

C´ac t´ınh chˆa´t:

(1) Hˆe mˆo.t v´ecto (α) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u α =

Thˆa.t vˆa.y, v`ı 1·0 = l`a mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng, nˆen hˆe. (0) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh Ngu.o c la.i, gia’ su.’ (α) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, t´u.c l`a c´o a6= cho aα = Nhˆan hai vˆe´ v´o.i a−1 ta c´o

α= (a−1a)α=a−1(aα) = a−10 =

(2) V´o.i n >1, hˆe (α1, , αn) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u mˆo.t v´ecto n`ao

d¯´o cu’a hˆe biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua c´ac v´ecto c`on la.i cu’a hˆe Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ c´ o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng

a1α1+· · ·+anαn =

Nˆe´u ai 6= 0, ta nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c trˆen v´o.i a−i v`a thu d¯u.o c

αi =

X

j6=i

Ngu.o. c la.i, nˆe´u αi biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe (α1, , αi−1, αi+1, , αn),

t´u.c l`a c´o c´ac vˆo hu.´o.ng bj cho

αi =b1α1+· · ·+bi−1αi−1 +bi+1αi+1+· · ·+bnαn,

th`ı ta c´o r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng

b1α1+· · ·+bi−1αi−1+ (−1)αi +bi+1αi+1+· · ·+bnαn=

Do d¯´o, hˆe (α1, , αn) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh

(3) Mˆo˜i hˆe cu’a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh c˜ung l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ (α 1, , αn) l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh X´et mˆo.t r`ang buˆo.c

tuyˆe´n t´ınh bˆa´t k`y

ai1αi1 +· · ·+aikαik =

gi˜u.a c´ac v´ecto cu’a mˆo.t hˆe (αi1, , αik) Ta coi n´o l`a mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh Piaiαi = gi˜u.a c´ac v´ecto (α1, , αn) b˘a`ng c´ach cho.n ai = v´o.i mo.i

i 6= i1, , ik Bo.’ i v`ı hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, nˆen tˆa´t ca’ c´ac hˆe sˆo´

cu’a r`ang buˆo.c d¯ˆe` u b˘a`ng 0:

a1 =a2 =· · ·=an =

Do d¯´o, hˆe (αi1, , αik) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Mˆo.t c´ach ph´at biˆe’u kh´ac cu’a t´ınh chˆa´t trˆen l`a nhu sau:

(4) Mˆo˜i hˆe v´ecto ch´u.a mˆo.t hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh c˜ung l`a mˆo.t hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh N´oi riˆeng, mˆo˜i hˆe ch´u.a v´ecto d¯ˆe` u phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.

(5) Gia’ su.’ hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Khi d¯´o hˆe (α1, , αn, β) phu thuˆo.c

tuyˆe´n t´ınh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u β biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua (α1, , αn) Trong

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u (α1, , αn, β) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, th`ı c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n

t´ınh khˆong tˆ` m thu.`a o.ng

a1α1+· · ·+anαn+bβ =

Khi d¯´o, b 6= 0, v`ı nˆe´u tr´ai la.i th`ı c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng a1α1 +· · · +anαn = gi˜u.a c´ac v´ecto cu’a hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

(α1, , αn) D- iˆe` u n`ay vˆo l´y V`ıb 6= 0, nˆen ta c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh sau d¯ˆay

cu’a β qua (α1, , αn):

β =−

n

X

i=1

(b−1ai)αi.

Ngu.o. c la.i, mˆo˜i biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhu thˆe´ β =

n

X

i=1

biαi

d¯ˆ` u dˆe a˜n t´o.i mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh khˆong tˆa` m thu.`o.ng Pin=1biαi −β =

gi˜u.a c´ac v´eto cu’a hˆe (α1, , αn, β) Do d¯´o, hˆe n`ay phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh

Gia’ su.’ c´o hai biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a β qua hˆe (α1, , αn):

β = b1α1+· · ·+bnαn

= b01α1 +· · ·+b0nαn.

Khi d¯´o = (b1−b01)α1+· · ·+ (bn−b0n)αn Do (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh,

nˆen hˆe th´u.c trˆen k´eo theo

b1 =b01,· · ·, bn=b0n.

Nhˆa.n x´et 2.4 C´ac kh´ai niˆe.m tˆo’ ho p tuyˆ e´n t´ınh, biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh, d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c mo.’ rˆo.ng cho hˆe tu`y ´y (c´o thˆe’ c´o vˆo ha.n v´ecto.) nhu sau

Gia’ su.’ (αi)i∈I l`a mˆo.t hˆe v´ecto tu`y ´y cu’a K-khˆong gian v´ecto.V Mˆo.t tˆo’ ho p

tr`u mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n) ai d¯ˆ` u b˘e a`ng Nhu thˆe´, tˆo’ng n`ay thˆa.t l`a mˆo.t tˆo’ng h˜u.u

ha.n, v`a d¯´o c´o ngh˜ıa trongV

Trˆen co so.’ d¯´o, c´ac kh´ai niˆe.m biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh, d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa d¯ˆo´i v´o.i ho d¯´o.

V´ı du : Trong khˆong gian v´ecto c´ac d¯a th´u.c K[X], hˆe vˆo ha.n v´ecto (1, X, X2, )

l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.

3 Co so.’ v`a sˆo´ chiˆ` u cu’a khˆe ong gian v´ecto.

Sˆo´ chiˆ` u cu’a mˆe o.t khˆong gian v´ecto l`a chı’ sˆo´ d¯o d¯ˆo “l´o.n”, d¯ˆo “thoa’i m´ai” cu’a khˆong gian v´ecto d¯´o

D

- i.nh ngh˜ıa 3.1 (a) Mˆo.t hˆe v´ecto cu’a V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.thˆe sinh cu’aV nˆe´u mo.i v´ecto cu’aV d¯ˆ` u biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe d¯´o.e

(b) Mˆo.t hˆe v´ecto cu’a V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tco so.’ cu’a V nˆe´u mo.i v´ecto cu’a V d¯ˆ` ue biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua hˆe n`ay.

Nhu vˆa.y, mˆo˜i co so.’ d¯ˆe` u l`a mˆo.t hˆe sinh Du.´o.i d¯ˆay ta s˜e nghiˆen c´u.u sˆau ho.n mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac kh´ai niˆe.m hˆe sinh, co so.’ v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Ta cˆ` n thuˆa a.t ng˜u sau d¯ˆay: Mˆo.t hˆe v´ecto cu’a khˆong gianV d¯u.o. c go.i l`a d¯ˆo c lˆa p tuyˆe´n t´ınh cu. c d¯a inˆe´u n´o d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a nˆe´u thˆem bˆa´t k`y v´ecto n`ao cu’aV v`ao hˆe d¯´o th`ı hˆe m´o.i thu d¯u.o c tro.’ th`anh phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh

D- i.nh l´y 3.2 Cho hˆe h˜u.u ha.n c´ac v´ecto.(α1, , αn) cu’a V Khi d¯´o c´ac kh˘a’ng d¯i.nh

sau d¯ˆay l`a tu.o.ng d¯u.o.ng:

(i) (α1, , αn) l`a mˆo t co so.’ cu’a V.

(ii) (α1, , αn) l`a mˆo t hˆe sinh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a V.

Ch´u.ng minh: (i) =⇒(ii) : (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a V nˆen n´o l`a mˆo.t hˆe sinh

cu’a V Ho.n n˜u.a, v´ecto c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua (α1, , αn):

0 = 0α1+· · ·+ 0αn.

N´oi c´ach kh´ac, hˆe th´u.c a1α1 +· · ·+anαn = tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i a1 = a2 = · · · =

an= D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

(ii) =⇒ (iii) : Mo.i v´ecto.β ∈ V d¯ˆ` u biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua (e α1, , αn),

cho nˆen hˆe (α1, , αn, β) phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh

(iii) =⇒(i) : V`ı hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c d¯a.i nˆ en mˆo˜i v´ecto.β ∈V

d¯ˆ` u biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (e α1, , αn) N´oi c´ach kh´ac, hˆe n`ay sinh raV Biˆe’u thi

tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo˜i v´ecto.β ∈V qua hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh (α1, , αn) l`a nhˆa´t 2

D- i.nh ngh˜ıa 3.3 Khˆong gian v´ecto.V d¯u.o. c go.i l`a h˜u.u ha n sinh nˆe´u n´o c´o mˆo.t hˆe. sinh gˆ`m h˜o u.u ha.n phˆa` n tu.’

D

- i.nh l´y 3.4 Gia’ su.’ V 6= {0} l`a mˆo t khˆong gian v´ecto h˜u.u ha n sinh Khi d¯´o, V c´o mˆo t co so.’ gˆo`m h˜u.u ha.n phˆa`n tu.’ Ho.n n˜u.a, mo.i co so.’ cu’a V d¯ˆ` u c´e o sˆo´ phˆ` na tu.’ b˘a`ng nhau.

Trˆen co so.’ kˆe´t qua’ n`ay, ta d¯i d¯ˆe´n d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.

D

- i.nh ngh˜ıa 3.5 (i) Sˆo´ phˆ` n tu.a ’ cu’a mˆo˜i co so.’ cu’aK-khˆong gian v´ecto h˜u.u ha.n sinh V 6= {0} d¯u.o. c go.i l`a sˆo´ chiˆ` ue (hay th´u nguyˆen) cu’a V trˆen tru.`o.ng K, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a dimV, ho˘a.c r˜o ho.n dimKV Nˆe´u V = {0}, ta quy u.´o.c

dimV =

(ii) Nˆe´uV khˆong c´o mˆo.t co so.’ n`ao gˆo`m h˜u.u ha.n phˆa`n tu.’ th`ı n´o d¯u.o c go.i l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto.vˆo ha n chiˆ` u.e

D

Bˆo’ d¯ˆ` 3.6e Trong khˆong gian v´ecto. V, gia’ su.’ hˆe v´ecto. (α1, , αr) d¯ˆo c lˆa p tuyˆe´n

t´ınh v`a biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua hˆe. (β1, , βs) Khi d¯´o r≤s.

Ch´u.ng minh: Theo gia’ thiˆe´t, c´o mˆo.t biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh α1 =a1β1+· · ·+asβs (ai ∈K)

V`ı hˆe (α1, , αr) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, nˆen α1 6= Do d¯´o, c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t vˆo hu.´o.ng

ai 6= Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta gia’ su.’ a1 6= Khi d¯´o, β1 biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh

d¯u.o. c qua hˆe (α1, β2, , βs):

β1 =a−11α1−

n

X

i=2

(a−11ai)βi.

Nhu vˆa.y, hˆe (α1, , αr) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua hˆe (β1, , βs); hˆe th´u hai la.i biˆe’u

thi tuyˆe´n t´ınh qua hˆe (α1, β2, , βs) Hˆe qua’ l`a (α1, , αr) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua

(α1, β2, , βs)

Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng (α1, , αr) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (α1, , αi, βi+1, , βs)

v´o.i mo.ii≤min{r, s}(sai kh´ac mˆo.t ph´ep d¯´anh sˆo´ la.i c´ac v´ecto.β1, , βs) Thˆa.t vˆa.y,

o.’ trˆen ta d¯˜a ch´u.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh n`ay cho i = Gia’ su.’ kh˘a’ng d¯i.nh d¯˜a d¯u.o c ch´u.ng minh choi Ta s˜e ch´u.ng minh n´o c`on d¯´ung choi+ 1, nˆe´u sˆo´ n`ay≤min{r, s} Theo gia’ thiˆe´t quy na.p, αi+1 biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (α1, , αi, βi+1, , βs):

αi+1 =b1α1+· · ·+biαi+ci+1βi+1+· · ·+csβs.

C´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t vˆo hu.´o.ng cj 6= 0, bo.’ i v`ı nˆe´u tr´ai la.i th`ıαi+1 biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh

qua (α1, , αi), d¯iˆ` u n`e ay tr´ai v´o.i gia’ thiˆe´t hˆe (α1, , αr) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Nˆe´u

cˆ` n th`ı d¯´a anh sˆo´ la.i c´ac v´ecto βi+1, , βs, ta c´o thˆe’ gia’ su.’ m`a khˆong gia’m tˆo’ng

qu´at ci+1 6= Kˆe´t ho p d¯iˆ` u n`e ay v´o.i d¯˘a’ng th´u.c trˆen ta c´o mˆo.t biˆe’u thi tuyˆe´n

t´ınh cu’a βi+1 qua (α1, , αi+1, βi+2, , βs) V`ı (α1, , αr) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua

(α1, , αi, βi+1, , βs), hˆe n`ay la.i biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (α1, , αi+1, βi+2, , βs),

Nˆe´u r > s, ´ap du.ng d¯iˆe` u v`u.a d¯u.o. c ch´u.ng minh v´o.i i = s, ta kh˘a’ng d¯i.nh (α1, , αr) biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (α1, , αs) D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i t´ınh d¯ˆo.c

lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a hˆe (α1, , αr) Nhu vˆa.y, ta c´o r≤s. 2

Ch´u.ng minh D- i.nh l´y 2.5.

Gia’ su.’ (γ1, , γs) l`a mˆo.t hˆe sinh h˜u.u ha.n cu’a V V`ıV 6= {0}, nˆen c´o v´ecto

α6= trongV Hˆe gˆo`m mˆo.t v´ecto kh´ac khˆong (α1) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Nˆe´u hˆe n`ay

khˆong d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c d¯a.i, th`ı c´ o hˆe (α1, α2) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Gia’ su.’ (α1, , αr) l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh V Hˆe n`ay biˆe’u thi tuyˆe´n

t´ınh qua (γ1, , γs) Theo Bˆo’ d¯ˆ` 3.6, ta c´e o r ≤ s Nhu thˆe´ qu´a tr`ınh cho.n c´ac

v´ecto.α1, α2, d¯ˆe’ thu d¯u.o c mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh pha’i d`u.ng la.i sau mˆo.t sˆo´

h˜u.u ha.n bu.´o.c Ta c´o mˆo.t hˆe v´ecto (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c d¯a.i V,

v´o.i n≤s Theo D- i.nh l´y 3.2, hˆe n`ay l`a mˆo.t co so.’ cu’a V

Gia’ su.’ (β1, , βm) c˜ung l`a mˆo.t co so.’ cu’a V V`ı (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

v`a biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua (β1, , βm), nˆen theo Bˆo’ d¯ˆ` 3.6, ta c´e on≤m Tr´ao

d¯ˆo’i vai tr`o cu’a hai co so.’ n´oi trˆen, ta c˜ung c´o m≤n Nhu vˆa.y, m=n. 2

V´ı du 3.7 (a) Kn l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto n chiˆ` u C´e ac v´ecto sau d¯ˆay lˆa.p nˆen mˆo.t co so.’, d¯u.o c go.i l`a co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’a khˆong gian Kn:

e1 =

                   

, e2 =

                   

, , en=

          0           .

Thˆa.t vˆa.y, v´ecto ∈ Kn l`a v´ecto c´o mo.i th`anh phˆa` n b˘a`ng 0∈ K, v`ı thˆe´ hˆe. th´u.c

a1e1+· · ·+anen=

xa’y v`a chı’ khia1 =a2 =· · ·=an = Nhu vˆa.y, hˆe (e1, e2, , en) d¯ˆo.c lˆa.p

tuyˆe´n t´ınh Kn Hˆ

e n`ay sinh raKn, bo.’ i v`ı mˆo˜i v´ecto.β= (b

1, b2, , bn)t

d¯ˆ` u c´e o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh

β=b1e1+b2e2+· · ·+bnen.

(b) Cl`a mˆo.tC-khˆong gian v´ecto chiˆ` u v´e o.i co so.’ (1) D- ˆo`ng th`o.iCc˜ung l`a mˆo.t

R-khˆong gian v´ecto chiˆ` u v´e o.i co so.’ (1, i), d¯´oi l`a d¯o.n vi a’o D- iˆe` u n`ay suy t`u chˆo˜ mo.i sˆo´ ph´u.c z d¯ˆ` u c´e o biˆe’u thi nhˆa´t du.´o.i da.ng z = a+bi, d¯´oa, b∈R

Mˆo.t c´ach tˆo’ng qu´at Cn l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto thu c 2n chiˆ` u.e

(c) D- u.`o.ng th˘a’ng sˆo´ thu cRl`a mˆo.t khˆong gian v´ecto vˆo ha.n chiˆe`u trˆen tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ pha’n ch´ u.ng (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a R trˆen

Q Mˆo˜i phˆa` n tu.’ β ∈Rc´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´tβ =a1α1+· · ·+anαn

v´o.i ai ∈Q Tu.o.ng ´u.ng R→Qn, β 7→(a1, , an) l`a mˆo.t song ´anh Do d¯´oR

c´o lu. c lu.o ng d¯ˆe´m d¯u.o c D- iˆe` u vˆo l´y n`ay b´ac bo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´u.ng

Mˆe.nh d¯ˆe` 3.8 Gia’ su.’ V l`a mˆo t khˆong gian v´ecto h˜u.u ha n sinh Khi d¯´o, mo i hˆe. sinh cu’aV d¯ˆ` u ch´e u.a mˆo t co so.’ Mo.i hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong V d¯ˆ` u c´e o thˆe’ bˆo’ sung d¯ˆe’ tro.’ th`anh mˆo t co so.’ cu’a V Nˆe´udimV =n, th`ı mo i hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh gˆ`mo n v´ecto cu’a V d¯ˆ` u l`e a mˆo t co so.’.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ Γ l`a mˆo.t hˆe sinh cu’aV Go.i Γ0 l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu. c d¯a.i Γ Khi d¯´o Γ biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua Γ0, v`a d¯´o V c˜ung biˆe’u thi. tuyˆe´n t´ınh qua Γ0 Nhu thˆe´ Γ0 l`a mˆo.t hˆe sinh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, t´u.c l`a mˆo.t co so.’ cu’a V (Theo Bˆo’ d¯ˆ` 3.6, Γe 0 c´o h˜u.u ha.n phˆa` n tu.’ Cu thˆe’ ho.n, sˆo´ phˆa` n tu.’ cu’a Γ0 khˆong vu.o. t qu´a sˆo´ phˆ` n tu.a ’ cu’a mo.i hˆe sinh h˜u.u ha.n cu’aV.)

Gia’ su.’ (α1, , αi) l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trongV Nˆe´u hˆe n`ay khˆong d¯ˆo.c

vˆa˜n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Qu´a tr`ınh n`ay pha’i d`u.ng la.i sau mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n bu.´o.c, bo.’i v`ı theo D- i.nh l´y 2.5, dimV <∞ Ta thu d¯u.o. c hˆe (α1, , αn) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c

d¯a.i trongV, t´u.c l`a mˆo.t co so.’ cu’aV

Nˆe´u dimV =n, th`ı mo.i hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh gˆo`m n v´ecto (β1, , βn) d¯ˆ` u cu.e c

d¯a.i Thˆa.y vˆa.y, gia’ su’ pha’n ch´ u.ng c´o thˆe’ thˆem v`ao hˆe d¯´o mˆo.t v´ecto.βn+1 n`ao d¯´o

cu’a V cho hˆe thu d¯u.o c vˆa˜n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Khi d¯´o, hˆe (β1, , βn+1) biˆe’u

thi tuyˆe´n t´ınh qua mˆo.t co so.’ (α1, , αn) n`ao d¯´o cu’a V, cho nˆen theo Bˆo’ d¯ˆ` 3.6, tae

c´o n+ 1≤ n D- iˆe` u vˆo l´y n`ay b´ac bo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´u.ng Vˆa.y, theo D- i.nh l´y 3.2, (β1, , βn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a V 2

Trong suˆo´t gi´ao tr`ınh n`ay, nˆe´u khˆong n´oi g`ı ngu.o. c la.i, ch´ung ta chı’ nghiˆen c´u.u c´ac khˆong gian v´ecto h˜u.u ha n chiˆ` u.e

Nhˆa.n x´et: Ngu.`o.i ta ch´u.ng minh d¯u.o. c r˘a`ng, mˆo.t khˆong gian v´ecto vˆo ha n sinh (t´u.c l`a khˆong h˜u.u ha.n sinh), hai co so.’ bˆa´t k`y d¯ˆe` u c´o c`ung lu. c lu.o ng Nhu.ng mˆo.t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh c´o c`ung lu c lu.o ng v´o.i co so.’ th`ı khˆong nhˆa´t thiˆe´t l`a mˆo.t co so.’

Ch˘a’ng ha.n, hˆe v´ecto (1, X, X2, ) l`a mˆ

o.t co so.’ cu’aK-khˆong gian v´ecto.K[X] Hˆe (X, X2, X3, ) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a c´o c`ung lu c lu .o ng v´o.i co so.’ (1, X, X2, ), nhu.ng khˆong pha’i l`a mˆo.t co so.’ cu’a K[X], bo.’ i v`ı d¯a th´u.c khˆong biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o. c qua hˆe d¯´o.

Gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian v´ecto V Mˆo˜i v´ecto α ∈ V c´o

biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t

α =a1α1+· · ·+anαn, ai ∈K.

D- i.nh ngh˜ıa 3.9 (Toa d¯ˆo.) Bˆo vˆo hu.´o.ng (a1, , an) x´ac d¯i.nh bo’ i d¯iˆe ` u kiˆe.n α =

P

iaiαi d¯u.o c go.i l`atoa d¯ˆo. cu’a v´ecto.α co so.’ (α1, , αn) Vˆo hu.´o.ng ai d¯u.o c

go.i l`atoa d¯ˆo th´u. i cu’a α co so.’ d¯´o

Gia’ su.’ α v`a β c´o toa d¯ˆo co so.’ (α1, , αn) tu.o.ng ´u.ng l`a (a1, , an) v`a

nˆe´u v`a chı’ nˆe´u (a1, , an) = (b1, , bn) Thˆa.t vˆa.y, α=β v`a chı’

α−β = (a1−b1)α1+· · ·+ (an−bn)αn=

D- iˆe` u n`ay xa’y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u a1 =b1, , an =bn

Ho.n n˜u.a,α+β c´o toa d¯ˆo l`a (a1+b1, , an+bn) v`akαc´o toa d¯ˆo l`a (ka1, , kan),

(k ∈K), hˆe co so.’ (α1, , αn)

Bˆay gi`o ta x´et xem toa d¯ˆo cu’a mˆo.t v´ecto nh˜u.ng co so.’ kh´ac c´o liˆen hˆe v´o.i nhu thˆe´ n`ao

Gia’ su.’ (β1, , βn) c˜ung l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian v´ecto.V Mˆo˜i v´ecto.βj biˆe’u

thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua co so.’ (α1, , αn), t´u.c l`a c´o c´ac vˆo hu.´o.ngcij d¯ˆe’ cho

βj = n

X

i=1

cijαi, (j = 1, , n)

Gia’ su.’ αc´o toa d¯ˆo l`a (a1, , an) v`a (b1, , bn) tu.o.ng ´u.ng c´ac co so.’ (α1, , αn)

v`a (β1, , βn) Ta c´o

α =

n

X

j=1

bjβj

=

n

X

j=1

n

X

i=1

bjcijαi

=

n

X

i=1

(

n

X

j=1

cijbj)αi = n

X

i=1

aiαi.

Do t´ınh nhˆa´t cu’a toa d¯ˆo cu’a α co so.’ (α1, , αn), ta nhˆa.n d¯u.o c

ai = n

X

j=1

cijbj, (i= 1, , n)

Ngu.`o.i ta go.i hˆe th´u.c n´oi trˆen l`a cˆong th´u.c d¯ˆo’i toa d¯ˆo d¯ˆo’i co so.’ Ma trˆa.n C= (cij)n×nd¯u.o c go.i l`ama trˆa n chuyˆe’nt`u co so.’ (α1, , αn) sang co so.’ (β1, , βn)

4 Khˆong gian - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto.

Gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K Ch´ung ta quan tˆam d¯ˆe´n nh˜u.ng tˆa.p cu’a V c´o t´ınh chˆa´t l`a ch´ung c˜ung lˆa.p nˆen nh˜u.ng khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an l`a thu he.p cu’a nh˜u.ng ph´ep to´an tu.o.ng ´u.ng trˆenV Ta c´o d¯i.nh ngh˜ıa h`ınh th´u.c sau d¯ˆay:

D

- i.nh ngh˜ıa 4.1 Tˆa.p khˆong rˆo˜ng W ⊂ V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto. concu’a V nˆe´u W kh´ep k´ın d¯ˆo´i v´o.i hai ph´ep to´an trˆenV, ngh˜ıa l`a nˆe´u

α+β ∈W, ∀α, β ∈W, aα ∈W, ∀a∈K,∀α ∈W.

Nhˆa.n x´et: Khi d¯´o,W v´o.i hai ph´ep to´an l`a ha.n chˆe´ cu’a hai ph´ep to´an trˆen V c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen K Thˆa.t vˆa.y, c´ac tiˆen d¯ˆe` (V1), (V4), (V5), (V6), (V7), (V8) nghiˆe.m d¯´ung v´o.i mo.i phˆa`n tu.’ cu’a V, nˆen c˜ung nghiˆe.m d¯´ung v´o.i mo.i phˆ` n tu.a ’ cu’a W Ta chı’ cˆ` n kiˆe’m tra la.i c´ac tiˆen d¯ˆea ` (V2), (V3) n´oi vˆ` su.e tˆ`n ta.io cu’a c´ac phˆ` nt u.a ’ v`a phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´i

V`ıW 6= ∅, nˆen c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t phˆa` n tu.’ α ∈ W Khi d¯´o = 0α ∈ W Phˆ` na tu.’ ∈ V d¯´ong vai tr`o phˆ` n tu.a ’ ∈ W m˘a.t kh´ac, v´o.i mo.i α ∈ W, ta c´o (−α) = (−1)α∈W D- ´o c˜ung ch´ınh l`a phˆa` n tu.’ d¯ˆo´i cu’a α W

V´ı du 4.2 (a) {0} v`a V l`a hai khˆong gian v´ecto cu’a V Ch´ung d¯u.o. c go.i l`a c´ac khˆong gian v´ecto tˆ` m thu.`a o.ng cu’a V

(b) D- u.`o.ng th˘a’ng sˆo´ thu cRl`a mˆo.tR-khˆong gian v´ecto cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c

C

(c) Tˆa.p ho p c´ ac d¯a th´u.c bˆa.c ≤n l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a K[X] (d) Khˆong gianC1[a, b] c´ac h`am kha’ vi liˆ

(e) Gia’ su.’ m ≤n Khi d¯´o tˆa.p ho p c´ ac v´ecto c´o da.ng

                

x1

xm

0

                

,

trong d¯´ox1, , xm ∈K, l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto c´o sˆo´ chiˆe` u b˘a`ng m cu’a

khˆong gian Kn

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.3 Nˆe´u W l`a mˆo t khˆong gian v´ecto cu’a V th`ı dimW ≤ dimV. D

- ˘a’ng th´u.c dimW = dimV xa’y v`a chı’ khi W =V.

Ch´u.ng minh: V`ıW l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’aV, nˆen mˆo˜i hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh W th`ı c˜ung d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong V Do d¯´o dimW ≤ dimV D- ˘a’ng th´u.c dimW = dimV xa’y v`a chı’ mˆo˜i co so.’ cu’aW c˜ung l`a mˆo.t co so.’ cu’a V D- iˆe` u n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i W =V 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.4 Giao cu’a mˆo t ho bˆa´t k`y (c´o thˆe’ vˆo ha n) c´ac khˆong gian v´ecto con cu’a V la i l`a mˆo t khˆong gian v´ecto cu’a V.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ {Vi}i∈I l`a mˆo.t ho c´ac khˆong gian cu’aV V`ı mˆo˜iVi kh´ep

k´ın d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng v´ecto v`a ph´ep nhˆan v´ecto v´o.i vˆo hu.´o.ng, nˆen giao cu’a ch´ung

∩i∈IVi c˜ung c´o t´ınh chˆa´t d¯´o 2

D

- i.nh ngh˜ıa 4.5 Gia’ su.’ X l`a mˆo.t tˆa.p cu’a khˆong gian v´ecto.V Giao cu’a tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian v´ecto cu’a V ch´u.a X d¯u.o. c go.i l`a khˆong gian v´ecto cu’a V sinh bo.’ i X v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a L(X)

Hai tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t l`a L(∅) = {0} v`a L(W) = W d¯ˆo´i v´o.i mo.i khˆong gian v´ecto conW cu’a V

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.6 Gia’ su.’ X 6=∅ Khi d¯´o L(X) l`a tˆa p ho p c´. ac tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a X N´oi riˆeng, nˆe´u X ={γ1, , γk} th`ı

L(γ1, , γk) ={ k

X

i=1

aiγi|ai ∈K}.

Ch´u.ng minh: Tˆa.p ho p c´ ac tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a X tˆa´t nhiˆen l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto ch´u.a X M˘a.t kh´ac, mˆo˜i tˆo’ ho p tuyˆ e´n t´ınh cu’a c´ac phˆ` na tu.’ cu’a X d¯ˆ` u n˘e a`m mo.i khˆong gian v´ecto ch´u.a X Vˆa.y tˆa.p ho p c´ ac tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a X ch´ınh l`a khˆong gian v´ecto b´e nhˆa´t cu’a

V ch´u.aX. 2

D

- i.nh ngh˜ıa 4.7 Sˆo´ chiˆ` u cu’a khˆe ong gianL(X) d¯u.o. c go.i l`aha ngcu’a tˆa.p (ho˘a.c hˆe.) v´ecto.X v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a rank(X).

Ta go.i mˆo.t tˆa.p cu’aX l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c d¯a.i trong X nˆe´u tˆa.p d¯´o d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a nˆe´u thˆem bˆa´t k`y v´ecto n`ao cu’a X v`ao tˆa.p d¯´o th`ı ta thu d¯u.o c mˆo.t tˆa.p phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.

Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay chı’ c´ach t´ınh ha.ng cu’a mˆo.t tˆa.p v´ecto thu c h`anh

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.8 Ha ng cu’a tˆa p v´ecto.X b˘a`ng sˆo´ v´ecto cu’a mˆo˜i tˆa.p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu. c d¯a i trong X.

Ch´u.ng minh: Nˆe´u tˆa.p con A d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c d¯a.i trong X th`ı mo.i phˆa` n tu.’ cu’a X biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh quaA, d¯´o mo.i phˆa` n tu.’ cu’a L(X) c˜ung vˆa.y N´oi c´ach kh´acA c˜ung l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu c d¯a.i trong L(X) Vˆa.y sˆo´ phˆa` n tu.’ cu’a A l`a

sˆo´ chiˆ` u cu’a khˆe ong gian v´ecto.L(X) 2

Nhˆa.n x´et: Trong Chu.o.ng III, Nhˆa.n x´et 8.2, ch´ung ta s˜e gi´o.i thiˆe.u mˆo.t phu.o.ng ph´ap d¯o.n gia’n, dˆe˜ thu c h`anh d¯ˆe’ t´ınh ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto trong Kn ho˘a.c Kn

Phu.o.ng ph´ap n`ay du. a trˆen nhˆa.n x´et l`a ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto khˆong thay d¯ˆo’i sau c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p Ngu.`o.i ta d`ung c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p d¯ˆe’ d¯u.a hˆe v´ecto d¯˜a cho vˆ` da.ng “tam gi´ac trˆen” Sˆo´ c´ac phˆae ` n tu.’ kh´ac trˆen d¯u.`o.ng ch´eo cu’a “tam gi´ac” n`ay ch´ınh l`a ha.ng cu’a hˆe v´ecto

5 Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru. c tiˆe´p

Gia’ su.’ W1, , Wm l`a c´ac khˆong gian v´ecto cu’a V Tˆa.p ho p

W1+· · ·+Wm ={α1+· · ·+αm|αi ∈Wi, i= 1, , m}

hiˆe’n nhiˆen lˆa.p nˆen mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a V

D- i.nh ngh˜ıa 5.1 Khˆong gian v´ecto.W1+· · ·+Wm d¯u.o c go.i l`a tˆo’ngcu’a c´ac khˆong

gian W1, , Wm N´o c˜ung d¯u.o c k´y hiˆe’u bo.’ i

Pm

i=1Wi

Mˆo˜i v´ecto cu’a W1+· · ·+Wm c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

α =α1+· · ·+αm, αi ∈Wi.

C´ach viˆe´t n`ay n´oi chung khˆong nhˆa´t Ch˘a’ng ha.n, nˆe´uW1∩W2 6={0}, th`ı mˆo˜i

v´ecto.α ∈ W1∩W2 \ {0} c´o hai biˆe’u thi α = α+ = +α, d¯´o v´ecto th´u

nhˆa´t tˆo’ng thuˆo.c W1 c`on v´ecto th´u hai tˆo’ng thuˆo.c W2

D- i.nh ngh˜ıa 5.2 Nˆe´u mo.i v´ecto tˆo’ngW1+· · ·+Wm d¯ˆ` u viˆe´t d¯u.o.e c nhˆa´t

du.´o.i da.ng α=α1+· · ·+αm, v´o.iαi ∈Wi (i= 1, , m) th`ıW1+· · ·+Wm d¯u.o c go.i

l`atˆo’ng tru. c tiˆe´pcu’a c´ac khˆong gianW1, , Wm, v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a W1⊕ · · · ⊕Wm

D

- i.nh l´y 5.3 W1+· · ·+Wm l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a W1, , Wm nˆe´u v`a chı’ nˆe´u mˆo t

(i) Wi∩(

P

j6=iWj) = {0}, (i= 1, , m),

(ii) Wi∩(

P

j>iWj) = {0}, (i= 1, , m−1)

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ W1+· · ·+Wm l`a mˆo.t tˆo’ng tru c tiˆ e´p Khi d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n (i)e

d¯u.o. c thoa’ m˜an Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ pha’n ch´ u.ng c´o chı’ sˆo´isao cho Wi∩(

X

j6=i

Wj)6={0}.

Go.i γ 6= l`a mˆo.t v´ecto cu’a giao d¯´o V`ıγ ∈Pj=6 iWj, nˆenγ c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

γ =X

j6=i

γj, γj ∈Wj.

Ta d¯˘a.t γi = −γ, v`a thu d¯u.o c hai c´ach biˆe’u thi kh´ac cu’a du.´o.i da.ng tˆo’ng

cu’a nh˜u.ng phˆ` n tu.a ’ cu’a Wi :

0 = γ1+· · ·+γm

= +· · ·+ D- iˆe` u vˆo l´y n`ay b´ac bo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´u.ng

R˜o r`ang d¯iˆ` u kiˆe.n (i) k´eo theo d¯iˆee ` u kiˆe.n (ii).

Gia’ su.’ d¯iˆe` u kiˆe.n (ii) d¯u.o c thoa’ m˜an Nˆe´u α∈W1+· · ·+Wm c´o hai biˆe’u thi

α =α1+· · ·+αm =β1+· · ·+βm,

v´o.i αi, βi ∈Wi, th`ı

α1 −β1 =

X

j>1

−(αj −βj)∈W1∩(

X

j>1

Wj) = {0}.

Do d¯´o α1 =β1 v`aα2+· · ·+αm =β2+· · ·+βm

L˘a.p la.i qu´a tr`ınh lˆa.p luˆa.n trˆen d¯ˆe’ c´oα2 =β2, , αm =βm Vˆa.y W1+· · ·+Wm

l`a mˆo.t tˆo’ng tru c tiˆ e´p 2

D

- i.nh l´y 5.4 Gia’ su.’ U v`aW l`a c´ac khˆong gian v´ecto cu’a mˆo t khˆong gian v´ecto. h˜u.u ha n chiˆ` ue V Khi d¯´o

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ (α1, , αr) l`a mˆo.t co so.’ cu’a U∩W (Nˆe´u U∩W ={0}, th`ı

ta coir = 0.) Ta bˆo’ sung hˆe n`ay d¯ˆe’ c´o mˆo.t co so.’ (α1, , αr, β1, , βs) cu’aU v`a mˆo.t

co so.’ (α1, , αr, γ1, , γt) cu’aW Ta s˜e ch´u.ng to’ r˘a`ng (α1, , αr, β1, , βs, γ1, , γt)

l`a mˆo.t co so.’ cu’a U +W

R˜o r`ang (α1, , αr, β1, , βs, γ1, , γt) l`a mˆo.t hˆe sinh cu’aU+W D- ˆe’ ch´u.ng minh

d¯´o l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, ta gia’ su’ c´ o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh a1α1+· · ·+arαr+b1β1+· · ·+bsβs+c1γ1+· · ·+ctγt= 0,

trong d¯´oai, bj, ck ∈K V´ecto

a1α1+· · ·+arαr+b1β1+· · ·+bsβs=−c1γ1− · · · −ctγt

v`u.a thuˆo.c U (do biˆe’u th´u.c o.’ vˆe´ tr´ai), v`u.a thuˆo.cW (do biˆe’u th´u.c o.’ vˆe´ pha’i), nˆen n´o thuˆo.c U ∩W, v`a d¯´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua α1, , αr:

−c1γ1− · · · −ctγt=d1α1+· · ·+drαr.

Ta viˆe´t la.i d¯˘a’ng th´u.c n`ay nhu sau

d1α1+· · ·+drαr+c1γ1+· · ·+ctγt=

V`ı hˆe (α1, , αr, γ1, , γt) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, nˆenc1 =· · ·=ct =d1 =· · ·=dr =

Do d¯´o

a1α1+· · ·+arαr+b1β1+· · ·+bsβs =

Hˆe v´ecto (α1, , αr, β1, , βs) c˜ung d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, cho nˆen a1 = · · · = ar =

b1 = · · · = bs = Kˆe´t ho p d¯iˆ` u n`e ay v´o.i c´ac hˆe th´u.c c1 = · · · = ct = ta suy

hˆe v´ecto (α1, , αr, β1, , βs, γ1, , γt) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, v`a d¯´o n´o l`a mˆo.t co so.’

cu’a U +W D

- ˆe´m sˆo´ v´ecto cu’a c´ac co so.’ d¯˜a xˆay du ng cho U, W, U∩W, U +W, ta c´o dim(U +W) = r+s+t = (r+s) + (r+t)−r

Hˆe qua’ 5.5

dim(U ⊕W) = dimU+ dimW. 2

D- i.nh ngh˜ıa 5.6 Nˆe´u V = U ⊕W th`ıW d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tphˆ` n b`a u tuyˆe´n t´ınh cu’a U V, v`a dimW = dimV −dimU d¯u.o. c go.i l`a d¯ˆo´i chiˆ` ue cu’a U V

Gia’ su.’ V =U ⊕W Khi d¯´o mˆo˜i v´ecto.v ∈ V c´o thˆe’ viˆe´t nhˆa´t du.´o.i da.ng v =u+w, d¯´o u∈U, w∈W Ta d¯i.nh ngh˜ıa mˆo.t ´anh xa.

prU :V → U,

prU(v) = u.

N´o d¯u.o. c go.i l`a ph´ep chiˆe´u cu’a V lˆenU theo phu.o.ngW

Ph´ep chiˆe´u prW cu’a V lˆen W theo phu.o.ng U d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa tu.o.ng tu

Ph´ep chiˆe´u c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau:

prU(v +v0) = prU(v) +prU(v0), ∀v, v0 ∈V,

prU(av) = aprU(v), ∀a ∈K, v ∈V.

6 Khˆong gian thu.o.ng

Gia’ su.’ W l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a khˆong gian V Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. ∼ trˆenV nhu sau:

α ∼β⇐⇒α−β∈W.

Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`nge ∼ l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng, t´u.c l`a mˆo.t quan hˆe c´o ba t´ınh chˆa´t pha’n xa., d¯ˆo´i x´u.ng v`a b˘a´c cˆa`u

Tˆa.p thu.o.ng cu’a V theo quan hˆe. ∼ d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a V /W L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a phˆ` n tu.a ’ α ∈V d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a [α], ho˘a.cα+W

Ta trang bi cho V /W hai ph´ep to´an sau d¯ˆay:

Mˆe.nh d¯ˆe` 6.1 Hai ph´ep to´an n´oi trˆen d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa khˆong phu thuˆo.c v`ao viˆe.c cho n d¯a i biˆe’u Ho.n n˜u.a, V /W d¯u.o. c trang bi hai ph´ep to´an d¯´o l`a mˆo t K-khˆong gian v´ecto

D

- i.nh ngh˜ıa 6.2 Khˆong gian v´ecto.V /W d¯u.o. c go.i l`akhˆong gian thu.o.ngcu’aV theo khˆong gian conW

Ch´u.ng minh Mˆe.nh d¯ˆe` 6.1. Gia’ su.’ [α] = [α0],[β] = [β0], ngh˜ıa l`a α −α0 ∈ W, β−β0 ∈W Khi d¯´o, v`ıW l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto con, cho nˆen

(α+β)−(α0+β0) = (α−α0) + (β−β0)∈W. D- iˆe` u n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng [α+β] = [α0+β0]

Tu.o.ng tu. , nˆe´u [α] = [α0], t´u.c l`a α−α0 ∈W, th`ı aα−aα0 =a(α−α0)∈W. D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a [aα] = [aα0]

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a ph´ep cˆo.ng trongV /W ch´ınh l`a [0] = +W Phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´i cu’a [α] ch´ınh l`a [−α] Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra r˘a`ng c´ac tiˆen d¯ˆee ` kh´ac vˆ` khˆe ong gian v´ecto

d¯u.o. c tho˜a m˜an cho khˆong gian V /W 2

Hai tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t cu’a khˆong gian thu.o.ng l`a V /V = {0}, V /{0} = V.

D- i.nh l´y 6.3

dimV /W = dimV −dimW.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ (α1, , αr) l`a mˆo.t co so.’ cu’a W (Nˆe´u W = {0} th`ı ta coi

r = 0.) Ta bˆo’ sung hˆe v´ecto n´oi trˆen d¯ˆe’ c´o mˆo.t co so.’ (α1, , αr, β1, , βs) cu’a V

Gia’ su.’ c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh

b1[β1] +· · ·+bs[βs] = [0]

D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a b1β1 +· · ·+bsβs ∈ W V`ı thˆe´ v´ecto d¯´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh

qua co so.’ d¯˜a cho.n cu’aW:

b1β1+· · ·+bsβs =a1α1+· · ·+arαr.

V`ı hˆe (α1, , αr, β1, , βs) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, nˆena1 =· · ·=ar =b1 =· · ·=bs =

Nhu thˆe´, hˆe ([β1], ,[βs]) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

M˘a.t kh´ac, r˜o r`ang ([β1], ,[βs]) l`a mˆo.t hˆe sinh cu’a khˆong gianV /W Thˆa.t vˆa.y,

mˆo˜i v´ecto.α∈V biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (α1, , αr, β1, , βs):

α=c1α1+· · ·+crαr+d1β1+· · ·+dsβs (ci, dj ∈K)

V`ıc1α1+· · ·+crαr∈W, cho nˆen

[α] = [d1β1+· · ·+dsβs] =d1[β1] +· · ·+ds[βs]

Nhu vˆa.y, mˆo˜i v´ecto [α]∈V /W d¯ˆ` u biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c qua ([e β1], ,[βs])

D

- ˆe´m sˆo´ v´ecto cu’a c´ac co so.’ d¯˜a xˆay du ng cho W, V, V /W ta c´o dimV /W =s= (r+s)−r= dimV −dimW. 2 Ta d¯i.nh ngh˜ıa ´anh xa

π :V → V /W,

π(α) = [α] =α+W.

v`a go.i n´o l`a ph´ep chiˆe´u t`u.V lˆenV /W Ph´ep chiˆe´u c´o nh˜u.ng t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay: π(α+β) = π(α) +π(β), ∀α, β ∈V,

Trong chu.o.ng sau ch´ung ta s˜e nghiˆen c´u.u mˆo.t c´ach c´o hˆe thˆo´ng nh˜u.ng ´anh xa c´o hai t´ınh chˆa´t nhu thˆe´ Ch´ung d¯u.o. c go.i l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh.

B`ai tˆa.p

1 X´et xem c´ac tˆa.p ho p sau d¯ˆ ay c´o lˆa.p th`anh K-khˆong gian v´ecto hay khˆong d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an thˆong thu.`o.ng (d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa theo t`u.ng th`anh phˆ` n):a

(a) Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac d˜ay (x1, , xn)∈Kn thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne x1+· · ·+

xn=

(b) Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac d˜ay (x1, , xn)∈Kn thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne x1+· · ·+

xn=

(c) Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac d˜ay (x1, , xn)∈Kn thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne x1 =xn =

−1

(d) Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac d˜ay (x1, , xn)∈Kn thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne x1 =x3 =

x5 =· · ·,x2 =x4 =x6 =· · ·

(e) Tˆa.p ho p c´ ac ma trˆa.n vuˆong (aij)n×n d¯ˆo´i x´u.ng cˆa´p n, ngh˜ıa l`a c´ac ma

trˆa.n thoa’ m˜anaij =aji, v´o.i 1≤i, j ≤n.

2 Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac d˜ay (x1, , xn)∈Rn v´o.i tˆa´t ca’ c´ac th`anh phˆ` na x1, , xn

d¯ˆ` u nguyˆen c´e o lˆa.p th`anh mˆo.t R-khˆong gian vecto hay khˆong?

3 V´o.i c´ac ph´ep to´an thˆong thu.`o.ng,Qc´o l`a mˆo.tR-khˆong gian v´ecto hay khˆong?

R c´o l`a mˆo.tC-khˆong gian v´ecto hay khˆong?

5 Ch´u.ng minh r˘a`ng nh´om abel A d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng + c´o thˆe’ tro’ th` anh mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng Fp nˆe´u v`a chı’ nˆe´u

px=x| +x+{z· · ·+x}

p

= 0, ∀x∈A.

6 X´et xem c´ac v´ecto sau d¯ˆay d¯ˆo.c lˆa.p hay phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh trong R4:

(a) e1 = (−1,−2,1,2), e2 = (0,−1,2,3), e3 = (1,4,1,2), e4 = (−1,0,1,3)

(b) α1 = (−1,1,0,1), α2 = (1,0,1,1), α3 = (−3,1,−2,−1)

7 Ch´u.ng minh r˘a`ng hai hˆe v´ecto sau d¯ˆay l`a c´ac co so.’ cu’a C3 T`ım ma trˆa.n

chuyˆe’n t`u co so.’ th´u nhˆa´t sang co so.’ th´u hai: e1 = (1,2,1), e2 = (2,3,3), e3 = (3,7,1);

e01 = (3,1,4), e02 = (5,2,1), e03 = (1,1,−6)

8 Ch´u.ng minh r˘a`ng hai hˆe v´ecto sau d¯ˆay l`a c´ac co so.’ cu’a C4 T`ım mˆo´i liˆen hˆe

gi˜u.a toa d¯ˆo cu’a c`ung mˆo.t v´ecto hai co so.’ d¯´o:

e1 = (1,1,1,1), e2 = (1,2,1,1), e3 = (1,1,2,1), e4 = (1,3,2,3);

e01 = (1,0,3,3), e02 = (2,3,5,4), e03 = (2,2,5,4), e04 = (2,3,4,4)

9 X´et xem c´ac tˆa.p ho p h` am sˆo´ thu. c sau d¯ˆay c´o lˆa.p th`anh khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an thˆong thu.`o.ng hay khˆong? Nˆe´u c´o, h˜ay t`ım sˆo´ chiˆ` u cu’a c´e ac khˆong gian d¯´o

(a) Tˆa.pR[X] c´ac d¯a th´u.c cu’a mˆo.t ˆa’n X.

(b) Tˆa.pC∞(R) c´ac h`am thu. c kha’ vi vˆo ha.n trˆen R (c) Tˆa.pC0(R) c´ac h`am thu. c liˆen tu.c trˆenR

(d) Tˆa.p c´ac h`am thu c bi ch˘ a.n trˆenR

(g) Tˆa.p c´ac h`amf :R→R thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne f(0) =−1 (h) Tˆa.p c´ac h`am thu c d¯o .n d¯iˆe.u trˆen R

10 D- i.nh ngh˜ıa hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i vˆo hu.´o.ng trˆen tˆa.p ho p V ={(x, y)∈R×R| y >0}

nhu sau:

(x, y) + (u, v) = (x+u, yv), ∀(x, y),(u, v)∈V, a(x, y) = (ax, ya), ∀a ∈R,(x, y)∈V.

X´et xem V c´o l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto thu c d¯ˆo´i v´o.i hai ph´ep to´an d¯´o khˆong Nˆe´u c´o, h˜ay t`ım mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian ˆa´y

11 Ma trˆa.n chuyˆe’n t`u mˆo.t co so.’ sang mˆo.t co so.’ kh´ac thay d¯ˆo’i thˆe´ n`ao nˆe´u: (a) d¯ˆo’i chˆo˜ hai v´ecto co so.’ th´u nhˆa´t?

(b) d¯ˆo’i chˆo˜ hai v´ecto co so.’ th´u hai?

(c) d¯˘a.t c´ac v´ecto mˆo˜i co so.’ theo th´u tu ho`an to`an ngu.o c la.i?

12 Cho a l`a mˆo.t sˆo´ thu c Ch´ u.ng minh r˘a`ng hai hˆe v´ecto (1, X, X2, , Xn) v`a

(1,(X−a),(X−a)2, ,(X−a)n) l`a c´ac co so.’ cu’a khˆong gian R[X]n c´ac d¯a

th´u.c hˆe sˆo´ thu c v´ o.i bˆa.c khˆong vu.o t qu´an T`ım ma trˆa.n chuyˆe’n t`u co so.’ th´u nhˆa´t sang co so.’ th´u hai

13 T`ım c´ac toa d¯ˆo cu’a d¯a th´u.c f(X) = a0 +a1X+· · ·+anXn hai co so.’

n´oi trˆen

14 Cho khˆong gian v´ecto L cu’a khˆong gian R[X] Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u L ch´u.a ´ıt nhˆa´t mˆo.t d¯a th´u.c bˆa.c k v´o.i mo.i k = 0,1, , n nhu.ng khˆong ch´u.a d¯a th´u.c n`ao v´o.i bˆa.c l´o.n ho.n n th`ıL ch´ınh l`a khˆong gian R[X]n tˆa´t ca’ c´ac

15 Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆa.p ho p c´ac v´ecto (x1, , xn) ∈ Rn thoa’ m˜an hˆe th´u.c

x1 + 2x2+· · ·+nxn = l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’aRn T`ım sˆo´ chiˆ` ue

v`a mˆo.t co so.’ cho khˆong gian v´ecto d¯´o

16 T`ım tˆa´t ca’ c´ac F2-khˆong gian v´ecto mˆo.t v`a hai chiˆe` u cu’a F32 Gia’i b`ai

to´an tu.o.ng tu. d¯ˆo´i v´o.i khˆong gian F3p, d¯´o pl`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´.

17 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac ma trˆa.n vuˆong d¯ˆo´i x´u.ng cˆa´p n v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ tru.`o.ngKlˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’aM(n×n,K) T`ım sˆo´ chiˆ` ue v`a mˆo.t co so.’ cho K-khˆong gian v´ecto d¯´o

18 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac ma trˆa.n vuˆong (aij)n×n pha’n d¯ˆo´i x´u.ng cˆa´p n, ngh˜ıa l`a

c´ac ma trˆa.n thoa’ m˜an aij =−aji, v´o.i 1≤i, j ≤n, lˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian

v´ecto cu’a M(n×n,K) T`ım sˆo´ chiˆ` u v`e a mˆo.t co so.’ cho K-khˆong gian v´ecto d¯´o

19 Gia’ su.’ V1 ⊂V2 l`a c´ac khˆong gian v´ecto cu’aV Ch´u.ng minh r˘a`ng dimV1 ≤

dimV2, d¯˘a’ng th´u.c xa’y v`a chı’ V1 = V2 Kh˘a’ng d¯i.nh d¯´o c`on d¯´ung

hay khˆong nˆe´uV1 v`a V2 l`a c´ac khˆong gian v´ecto bˆa´t k`y cu’aV?

20 Gia’ su.’ V1, V2 l`a c´ac khˆong gian v´ecto cu’a V Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u

dimV1+ dimV2 >dimV th`ıV1∩V2 ch´u.a ´ıt nhˆa´t mˆo.t v´ecto kh´ac khˆong

21 V´o.i gia’ thiˆe´t nhu b`ai tˆa.p tru.´o.c, ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u dim(V1+V2) = dim(V1∩

V2) + th`ıV1+V2 tr`ung v´o.i mˆo.t hai khˆong gian d¯˜a cho, c`onV1∩V2

tr`ung v´o.i khˆong gian c`on la.i. T`ım ha.ng cu’a c´ac hˆe v´ecto sau d¯ˆay:

22 α1 = (1,2,0,1), α2 = (1,1,1,0), α3 = (1,0,1,0), α4 = (1,3,0,1)

23 α1 = (1,1,1,1), α2 = (1,3,1,3), α3 = (1,2,0,2), α4 = (1,2,1,2), α5 =

T`ım co so.’ cu’a tˆo’ng v`a giao cu’a c´ac khˆong gian v´ecto sinh bo.’ i c´ac hˆe. v´ecto.α1, , αk v`aβ1, , β` sau d¯ˆay:

24 α1 = (1,2,1), α2 = (1,1,−1), α3 = (1,3,3),

β1 = (2,3,−1), β2 = (1,2,2), β3 = (1,1,−3)

25 α1 = (1,2,1,−2), α2 = (2,3,1,0), α3 = (1,2,2,−3),

β1 = (1,1,1,1), β2 = (1,0,1,−1), β3 = (1,3,0,−4)

26 α1 = (1,1,0,0), α2 = (0,1,1,0), α3 = (0,0,1,1),

β1 = (1,0,1,0), β2 = (0,2,1,1), β3 = (1,2,1,2)

27 Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i khˆong gian v´ecto V1 cu’a V tˆ`n ta.i mˆo.t khˆongo

gian v´ecto V2 cu’a V choV =V1⊕V2 Khˆong gianV2 c´o x´ac d¯i.nh

nhˆa´t hay khˆong?

28 Ch´u.ng minh r˘a`ng khˆong gianCn l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a khˆong gian v´ecto

U x´ac d¯i.nh bo’ i phu.o.ng tr`ınh x1+x2+· · ·+xn= v`a khˆong gian v´ecto conV

x´ac d¯i.nh bo’ i phu.o.ng tr`ınh x1 =x2 =· · ·=xn T`ım h`ınh chiˆe´u cu’a c´ac v´ecto

trong co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’aCn lˆenU theo phu.o.ng V v`a lˆenV theo phu.o.ng U.

29 Cho Kl`a mˆo.t tru.`o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ kh´ac Ch´u.ng minh r˘a`ng khˆong gianM(n× n,K) c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´pn l`a tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a khˆong gianS(n) gˆ`m c´o ac ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng v`a khˆong gianA(n) gˆ`m c´o ac ma trˆa.n pha’n d¯ˆo´i x´u.ng T`ım h`ınh chiˆe´u cu’a ma trˆa.nC ∈M(n×n,K) lˆen S(n) theo phu.o.ng A(n) v`a lˆen A(n) theo phu.o.ng S(n).

30 Go.iK[X]n l`aK-khˆong gian v´ecto c´ac d¯a th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ trongK c´o bˆa.c≤n.

Chu.o.ng II

MA TR ˆA N VA ´` ANH XA TUYEˆ´N T´INH

Cˆa´u tr´uc cu’a c´ac khˆong gian v´ecto chı’ lˆo r˜o ch´ung ta nghiˆen c´u.u ch´ung khˆong pha’i nhu nh˜u.ng d¯ˆo´i tu.o. ng riˆeng r˜e, m`a tr´ai la.i d¯˘a.t ch´ung mˆo´i liˆen hˆe. v´o.i Cˆong cu d`ung d¯ˆe’ x´ac lˆa.p mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a c´ac khˆong gian v´ecto l`a c´ac ´

anh xa tuyˆe´n t´ınh Ngˆon ng˜u gi´up cho viˆe.c mˆo ta’ cu thˆe’ c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh l`a c´ac ma trˆa.n.

1 Ma trˆa.n

Gia’ su.’ Kl`a mˆo.t tru.`o.ng tu`y ´y

D

- i.nh ngh˜ıa 1.1 Mˆo˜i ba’ng c´o da.ng

A=

         

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

         

,

trong d¯´o aij ∈ K (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n), d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ma trˆa n m h`ang (hay

d`ong) n cˆo.t v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ K Nˆe´u m = n, th`ı ta n´oi A l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n V´ecto h`ang

(ai1, ai2, , ain)

d¯u.o. c go.i l`a h`ang th´u.i cu’a ma trˆa.n A V´ecto cˆo.t (a1j, a2j, , amj)t

Ma trˆa.n n´oi trˆen thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u go.n l`a A= (aij)m×n

Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac ma trˆa.n m h`ang, n cˆo.t v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ K d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a M(m×n,K), hay M at(m×n,K)

Ta d¯i.nh ngh˜ıa hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i vˆo hu.´o.ng trˆenM(m×n,K) nhu sau:          

a11 a1n

a21 a2n

. . am1 amn

          +          

b11 b1n

b21 b2n

. . bm1 bmn

          =          

a11+b11 a1n+b1n

a21+b21 a2n+b2n

. .

am1+bm1 amn+bmn

          , a          

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

          =          

aa11 aa12 aa1n

aa21 aa22 aa2n

. . .

aam1 aam2 aamn

         

, (a ∈K)

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.2 M(m ×n,K) d¯u.o. c trang bi hai ph´ep to´an n´oi trˆen l`a mˆo t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K v´o.i sˆo´ chiˆ` u b˘e a`ng

dimM(m×n,K) =m×n.

Ch´u.ng minh: Dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra kh˘a’ng d¯i.nh M(m×n,K) l`a mˆo.t K-khˆong gian v´ecto Lu.u ´y r˘a`ng phˆa` n tu.’ trung lˆa.p cu’a ph´ep cˆo.ng trongM(m×n,K) l`a

0 =       

0 . . . 0

       ,

v`a phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´i cu’a A= (aij)m×n l`a −A= (−aij)m×n

D

- ˆe’ ch´u.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh vˆe` sˆo´ chiˆ` u cu’ae M(m×n,K) ta x´et ma trˆa.n Eij

(1≤i≤m,1≤j ≤n) gˆ`m to`o an phˆ` n tu.a ’ 0, loa.i tr`u phˆa` n tu.’ nhˆa´t b˘a`ng n˘a`m trˆen giao cu’a h`ang i v`a cˆo.t j Gia’ su.’ A= (aij)m×n∈M(m×n,K) Ta c´o

A= m X i=1 n X j=1

Nhu vˆa.y hˆe (Eij|1≤i≤m,1≤j ≤n) l`a mˆo.t hˆe sinh cu’aM(m×n,K) M˘a.t kh´ac,

mˆo˜i r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh

m X i=1 n X j=1

bijEij =

k´eo theo B = (bij)m×n = T´u.c l`a bij = v´o.i mo.i i, j D- iˆe` u n`ay ch´u.ng to’

(Eij|1≤i≤m,1≤j ≤n) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh 2

Cho hai ma trˆa.n A = (aij)∈M(m×n,K),B = (bjk)∈M(n×p,K)

D- i.nh ngh˜ıa 1.3 T´ıch AB cu’a ma trˆa.n A v`a ma trˆa.n B l`a ma trˆa.n C = (cik) ∈

M(m×p,K) v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ d¯u.o. c x´ac d¯i.nh nhu sau cik =

n

X

j=1

aijbjk, (1≤i≤m,1≤k ≤p).

D

- i.nh ngh˜ıa n`ay d¯u.o c minh ho.a b˘a`ng h`ınh v˜e sau d¯ˆay:

=

• • ◦ ∗

• ◦

∗

V´ı du :

      

a b c d e f g h i

              x t y u z v        =       

ax+by+cz at+bu+cv dx+ey+f z dt+eu+f v gx+hy+iz gt+hu+iv

       .

C´o thˆe’ xa’y tru.`o.ng ho. p t´ıchAB th`ı d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o c, m`a t´ıchBA th`ı khˆong Tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, khi A v`a B d¯ˆ` u l`e a c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n th`ı ca’ hai t´ıch AB v`a BA d¯ˆ` u d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o c Nhu.ng n´oi chunge AB 6= BA Ch˘a’ng ha.n, v´o.i n= 2, ta c´o

  

0      

0   =   

0

  6=

   0

0   =   

0      

0

  .

C´ac d¯˘a’ng th´u.c sau d¯ˆay d¯u.o. c hiˆe’u theo ngh˜ıa: nˆe´u mˆo.t vˆe´ d¯u.o c x´ac d¯i.nh th`ı vˆe´ c˜ung vˆa.y v`a hai vˆe´ b˘a`ng nhau.

(AB)C = A(BC), A(B1+B2) = AB1+AB2,

(A1+A2)B = A1B+A2B.

Ch´ung ta ch´u.ng minh d¯˘a’ng th´u.c th´u nhˆa´t Hai d¯˘a’ng th´u.c c`on la.i d¯u.o c xem nhu nh˜u.ng b`ai tˆa.p.

Gia’ su.’ A= (aij)m×n, B = (bjk)n×p, C = (ck`)p×q Khi d¯´o phˆ` n tu.a ’ n˘a`m o.’ h`ang i

cˆo.t ` cu’a ma trˆa.n (AB)C l`a

p X k=1 ( n X j=1

aijbjk)ck`.

C`on phˆ` n tu.a ’ n˘a`m o.’ h`ang i cˆo.t` cu’a ma trˆa.n A(BC) l`a

n

X

j=1

aij( p

X

k=1

bjkck`)

Hiˆe’n nhiˆen ca’ hai phˆ` n tu.a ’ n´oi trˆen d¯ˆ` u b˘e a`ng

n X j=1 p X k=1

aijbjkck`.

V`ı d¯iˆ` u d¯´e o d¯´ung v´o.i mo.i i, `, nˆen (AB)C =A(BC).

Nh˜u.ng nhˆa.n x´et n´oi trˆen dˆa˜n ta t´o.i kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay cho c´ac ma trˆa.n vuˆong

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.4 Tˆa p ho p c´. ac ma trˆa n vuˆong M(n×n,K) c`ung v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo ng v`a nhˆan ma trˆa n lˆa p th`anh mˆo t v`anh c´o d¯o.n vi V`anh n`ay khˆong giao ho´an

Lu.u ´y r˘a`ng phˆa` n tu.’ d¯o.n vi cu’a v`anh M(n×n,K) l`a ma trˆa.n sau d¯ˆay

E =En =

         

1 0 . . . 0

          .

N´o d¯u.o. c go.i l`ama trˆa n d¯o.n vi. cˆa´p n.

D- i.nh ngh˜ıa 1.5 Ma trˆa.n A ∈ M(n×n,K) d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ma trˆa n kha’ nghi.ch (ho˘a.c ma trˆa n khˆong suy biˆe´n) nˆe´u c´o ma trˆa.n B ∈ M(n×n,K) cho AB = BA =En Khi d¯´o, ta n´oiB l`a nghi.ch d¯a’o cu’a A v`a k´y hiˆe.uB =A−1

Nhˆa.n x´et r˘a`ng nˆe´u A kha’ nghi.ch th`ı ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o cu’a n´o d¯u.o c x´ac d¯i.nh nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’.B v`aB0 d¯ˆ` u l`e a c´ac nghi.ch d¯a’o cu’a A Khi d¯´o

B =BEn =B(AB0) = (BA)B0 =EnB0 =B0.

Trong chu.o.ng sau ch´ung ta s˜e chı’ mˆo.t d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ rˆa´t d¯o.n gia’n d¯ˆe’ cho mˆo.t ma trˆa.n vuˆong l`a kha’ nghi.ch.

Sau d¯ˆay l`a v´ı du vˆe` mˆo.t l´o.p c´ac ma trˆa.n kha’ nghi.ch

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.6 Go iC l`a ma trˆa n chuyˆe’n t`u co so.’ (α1, , αn)sang co so.’ (α01, , α0n)

cu’a khˆong gian v´ecto. V Khi d¯´o, C l`a mˆo t ma trˆa n kha’ nghi.ch, v´o.i nghi.ch d¯a’o l`a ma trˆa n chuyˆe’n C0 t`u co so.’ (α10, , α0n) sang co so.’ (α1, , αn)

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ C = (cij),C0 = (c0ij) Ta c´o

α0j =

n

X

i=1

cijαi = n X i=1 cij n X k=1

c0kiα0k=

n X k=1 ( n X i=1

c0kicij)α0k.

V`ı biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo˜i v´eto qua co so.’ l`a nhˆa´t, nˆen ta nhˆa.n d¯u.o c

n

X

i=1

c0kicij =δkj =

    

Ngh˜ıa l`a C0C = En Tu.o.ng tu , tr´ao d¯ˆo’i vai tr`o cu’a hai co so.’ cho nhau, ta c´o

CC0 =En Nhu vˆa.y, C kha’ nghi.ch v`aC−1 =C0 2

Nhˆa.n x´et: Gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian v´ecto.V, v`a C = (cij)

l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v`a kha’ nghi.ch Khi d¯´o hˆe v´ecto (α01, , α0n) x´ac d¯i.nh bo.’ i α0j =Pni=1cijαi c˜ung l`a mˆo.t co so.’ cu’aV Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u C0 = (c0ij) l`a ma trˆa.n

nghi.ch d¯a’o cu’a C th`ıαj =

Pn

i=1c0ijα0i Do d¯´o (α01, , α0n) l`a mˆo.t hˆe sinh cu’a V Hˆe

n`ay c´o sˆo´ phˆ` n tu.a ’ d¯´ung b˘a`ng sˆo´ chiˆe` u cu’a V, nˆen n´o l`a mˆo.t co so.’ cu’a V Tˆa´t nhiˆen, C ch´ınh l`a ma trˆa.n chuyˆe’n t`u co so.’ (α1, , αn) sang co so.’ (α01, , α0n)

Trong ngˆon ng˜u t´ıch ma trˆa.n, su kiˆ e.nC l`a ma trˆa.n chuyˆe’n t`u co so.’ (α1, , αn)

sang co so.’ (α10, , α0n), t´u.c l`a hˆe d¯˘a’ng th´u.c αj0 =Pni=1cijαi (j = 1, , n), d¯u.o c viˆe´t

go.n nhu sau

(α01 αn0) = (α1 αn)C

Ho.n n˜u.a, nˆe´u α =Pni=1xiαi =

Pn

j=1x0jαj0, th`ı ta c´o

α = (α01 α0n)

      

x01 x0n

     

= (α1 αn)C       

x01 x0n

     

= (α1 αn)        x1 xn        .

Do biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo˜i v´ecto qua co so.’ l`a nhˆa´t, nˆen

       x1 xn        =C       

x01 x0n

       . D

- i.nh ngh˜ıa 1.7 Ta k´y hiˆe.u bo’ i GL(n,K) tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac ma trˆa.n kha’ nghi.ch M(n×n,K)

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.8 GL(n,K) lˆa p th`anh mˆo t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa n.

M(n×n,K) Ta c´o

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 =AEnA−1 =AA−1 =En,

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B =B−1EnB =B−1B =En.

Nhu vˆa.y, AB c˜ung kha’ nghi.ch, ho.n n˜u.a (AB)−1 =B−1A−1.

Ta d¯˜a biˆe´t r˘a`ng ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n vuˆong (n´oi riˆeng ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n GL(n,K)) c´o t´ınh kˆe´t ho. p.

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p (d¯o.n vi.) d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan trongGL(n,K) ch´ınh l`a ma trˆa.n d¯o.n vi En∈GL(n,K)

Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a GL(n,K), mˆo˜i ma trˆa.n n´o d¯ˆe` u c´o nghi.ch d¯a’o Hiˆe’n nhiˆen, nghi.ch d¯a’o A−1 cu’a mˆo˜i ma trˆa.n A ∈ GL(n,K) c˜ung l`a mˆ

o.t phˆa` n tu.’ cu’a

GL(n,K) 2

D- i.nh ngh˜ıa 1.9 Hai ma trˆa.n vuˆong A, A0 ∈ M(n×n,K) d¯u.o. c go.i l`a d¯ˆ`ng da.ngo nˆe´u c´o mˆo.t ma trˆa.n kha’ nghi.ch C ∈GL(n,K) cho A0 =C−1AC.

Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng d¯ˆo`ng da.ng l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng.

Trong tiˆe´t sau ch´ung ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo˜i l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a c´ac ma trˆa.n theo quan hˆe d¯ˆo`ng da.ng d¯u.o c d¯˘a.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t d¯ˆo´i mˆo.t v´o.i mˆo.t tu d¯ˆo`ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo.t khˆong gian v´ecto h˜u.u ha.n chiˆe`u n`ao d¯´o

2 Anh xa tuyˆe´n t´ınh´

Gia’ su.’ V v`aW l`a c´ac khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ngK

D

- i.nh ngh˜ıa 2.1 ( ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh). ´

Anh xa f : V → W d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh (ho˘a.c r˜o ho.n, mˆo.t ´anh xa. K-tuyˆe´n t´ınh), nˆe´u

v´o.i mo.i α, β ∈V v`a mo.i vˆo hu.´o.ng a ∈K ´

Anh xa tuyˆe´n t´ınh c˜ung d¯u.o c go.i l`a d¯ˆ`ng cˆo a´u tuyˆe´n t´ınh, hayd¯ˆ`ng cˆo a´u cho d¯o.n gia’n

Nhˆa.n x´et r˘a`ng hai d¯iˆe` u kiˆe.n d¯i.nh ngh˜ıa ´anh xa tuyˆe´n t´ınh tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.n sau:e

f(aα+bβ) =af(α) +bf(β), ∀α, β ∈V,∀a, b∈K.

C´ac t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay cu’a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c suy t`u d¯i.nh ngh˜ıa Gia’ su.’ f :V →W l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khi d¯´o, ta c´o

(1) f(0) =

Thˆa.t vˆa.y, f(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0) Theo luˆa.t gia’n u.´o.c, f(0) = 0. (2) f(−α) =−f(α), ∀α∈V

Thˆa.t vˆa.y, f(α) +f(−α) = f(α+ (−α)) =f(0) = Do d¯´o, f(−α) = −f(α). (3) f(a1α1+· · ·+anαn) = a1f(α1)+· · ·+anf(αn), ∀a1, , an∈K,∀α1, , αn ∈V

D

- ˘a’ng th´u.c n`ay c´o thˆe’ d¯u.o c ch´u.ng minh b˘a`ng quy na.p

V´ı du 2.2 (a) ´Anh xa : V → W x´ac d¯i.nh bo’ i cˆ ong th´u.c 0(α) = v´o.i mo.i α ∈V l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh.

(b) ´Anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t idV :V →V, idV(α) =α l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh

(c) D- a.o h`am h`ınh th´u.c

d

dX :K[X] → K[X], d

dX(anX

n+· · ·+a

1X1+a0) = nanXn−1 +· · ·+a1

(d) Ph´ep liˆen ho. p ph´u.c c : C → C, z 7→ z¯ l`a mˆo.t ´anh xa. R-tuyˆe´n t´ınh, nhu.ng khˆong pha’i l`a mˆo.t ´anh xa.C-tuyˆe´n t´ınh Thˆa.y vˆa.y,

−1 =c(−1) =c(i2)6=ic(i) =i(−i) = 1. (e) Gia’ su.’ A = (aij)∈M(m×n,K) Khi d¯´o ´anh xa

˜

A:Kn → Km,

      

x1

xn

       7→

A

      

x1

xn

      

l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh. (f) C´ac ph´ep chiˆe´u

pri :V1×V2 → Vi,

pri(v1, v2) = vi

l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh, v´o.ii= 1,2

(g) Gia’ su.’ W l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a V Khi d¯´o ph´ep chiˆe´u π :V → V /W,

π(α) = [α] =α+W l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh.

D- i.nh ngh˜ıa 2.3 Gia’ su.’ V v`a W l`a c´ac K-khˆong gian v´ecto Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac ´

anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u.V v`ao W d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a L(V, W) (ho˘a.c Hom(V, W)) V`ıL(V, W) ch´u.a ´anh xa 0, nˆen L(V, W)6=∅

Ta trang bi cho L(V, W) hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i vˆo hu.´o.ng d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

(f +g)(α) = f(α) +g(α),

v´o.i mo.i f, g∈ L(V, W)

Dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ngL(V, W) l`a mˆo.tK-khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i v´o.i hai ph´ep to´an d¯´o

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay chı’ mˆo.t t´ınh chˆa´t quan tro.ng cu’a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh

D- i.nh l´y 2.4 Mˆo˜i ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u.V v`ao W d¯u.o. c ho`an to`an x´ac d¯i.nh bo’ i a’nh. cu’a n´o trˆen mˆo t co so.’ N´oi r˜o ho.n, gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo t co so.’ cu’a V, c`on

ω1, , ωn l`a c´ac v´ecto bˆa´t k`y cu’a W Khi d¯´o, tˆ`n ta.i nhˆa´t mˆo.t ´anh xa tuyˆe´no

t´ınh f :V →W sao cho f(αi) =ωi (i= 1,2, , n)

Ch´u.ng minh: Su. tˆ`n ta.i:o Nˆe´u α=a1α1+· · ·+anαn, th`ı ta d¯˘a.t

f(α) = a1ω1+· · ·+anωn.

Dˆ˜ d`ang thu.’ la.i r˘a`nge f : V → W l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh, v`a f(αi) = ωi

(i= 1,2, , n)

T´ınh nhˆa´t: Nˆe´u f v`a g l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u V v`ao W v´o.i f(αi) =

g(αi) =ωi (i= 1,2, , n), th`ı v´o.i mo.i α=a1α1+· · ·+anαn, ta c´o

f(α) =f(

n

X

i=1

aiαi) = n

X

i=1

aif(αi) = n

X

i=1

aig(αi) = g( n

X

i=1

aiαi) = g(α). 2

D- i.nh ngh˜ıa 2.5 Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u (tuyˆe´n t´ınh) f :V →W d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh d¯u.o. c go.i l`a mˆo.td¯o.n cˆa´u(tuyˆe´n t´ınh) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u (tuyˆe´n t´ınh) d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t to`an ´anh d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t to`an cˆa´u (tuyˆe´n t´ınh) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u (tuyˆe´n t´ınh) d¯ˆ`ngo th`o.i l`a mˆo.t song ´anh d¯u.o c go.i l`a mˆo.td¯˘a’ng cˆa´u (tuyˆe´n t´ınh)

Nˆe´u f :V →W l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u, th`ıf−1 : W → V c˜ung l`a mˆ

o.t d¯˘a’ng cˆa´u; n´o d¯u.o. c go.i l`a nghi.ch d¯a’o cu’a f Do d¯´o mˆo˜i d¯˘a’ng cˆa´u c`on d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯ˆ`ng cˆo a´u kha’ nghi.ch Nˆe´u c´o mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u f :V →W, th`ı ta n´oiV d¯˘a’ng cˆa´u v´o.iW v`a viˆe´t V ∼=W

Nhˆa.n x´et r˘a`ng d¯ˆo`ng cˆa´u f : V → W l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u c´o mˆo.t d¯ˆ`ng cˆo a´u g : W → V cho gf = idV v`a f g = idW Khi d¯´o, g = f−1 Thˆa.t

vˆa.y, nˆe´u f l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u th`ıf−1f = idV, f f−1 = idW Ngu.o c la.i, nˆe´u c´o mˆo.t

d¯ˆ`ng cˆo a´u g : W → V cho gf =idV, f g = idW, th`ıf v`u.a l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u (do

gf =idV), v`u.a l`a mˆo.t to`an cˆa´u (dof g =idW) V`ı thˆe´, f l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u Khi d¯´o,

nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c gf =idV v´o.i f−1 t`u bˆen pha’i, ta thu d¯u.o c g =f−1

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.6 Gia’ su.’ V v`a W l`a c´ac khˆong gian v´ecto h˜u.u ha n chiˆ` u Khi d¯´e o

V ∼=W ⇐⇒dimV = dimW.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ V ∼= W, t´u.c l`a c´o mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh f : V →∼= W Khi d¯´o, nˆe´u (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a V th`ı (f(α1), , f(αn)) l`a mˆo.t co so.’ cu’a

W Thˆa.t vˆa.y, mˆo˜i v´ecto.β ∈W c´o da.ngβ =f(α) v´o.i α n`ao d¯´o W V`ıα c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh α=a1α1+· · ·+anαn, nˆen

β =f(α) =f(a1α1+· · ·+anαn) =a1f(α1) +· · ·+anf(αn)

Nˆe´u β c`on c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh β = b1f(α1) +· · ·+bnf(αn), th`ıα = f−1(β) =

b1α1+· · ·+bnαn V`ı (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a V cho nˆen a1 = b1, , an =bn

Nhu vˆa.y, mˆo˜i v´ecto.β biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua hˆe (f(α1), , f(αn)), nˆen

hˆe n`ay l`a mˆo.t co so.’ cu’aW N´oi riˆeng, dimV = dimW

Ngu.o. c la.i, gia’ su’ dim V = dimW = n Cho.n c´ac co so.’ (α1, , αn) cu’a V v`a

(β1, , βn) cu’a W ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t ϕ : V → W d¯u.o c x´ac d¯i.nh bo’ i

ϕ(α1) = β1, , ϕ(αn) = βn l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh Thˆa.t vˆa.y, nghi.ch d¯a’o

cu’a ϕ l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh ψ : W → V d¯u.o. c x´ac d¯i.nh bo’ i d¯iˆe ` u kiˆe.n ψ(β1) =

α1, , ψ(βn) = αn 2

Gia’ su.’ V v`aW l`a c´acK-khˆong gian v´ecto v´o.i c´ac co so.’ tu.o.ng ´u.ng l`a (α1, , αn)

v`a (β1, , βm) Theo D- i.nh l´y 2.4, ´anh xa tuyˆe´n t´ınhf :V →W d¯u.o c x´ac d¯i.nh

nhˆa´t bo.’ i f(α1), , f(αn) C´ac v´ecto n`ay la.i c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua

co so.’ (β1, , βm) cu’a W:

f(αj) = m

X

i=1

aijβi (j = 1, , n),

trong d¯´o aij ∈ K N´oi go.n la.i, ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : V → W d¯u.o c x´ac d¯i.nh

nhˆa´t bo.’ i hˆe thˆo´ng c´ac vˆo hu.´o.ng{aij|1≤i≤m,1≤j ≤n}, ch´ung d¯u.o c xˆe´p th`anh

ma trˆa.n sau d¯ˆay:

A=          

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

         

= (aij)m×n.

Ta go.i A l`a ma trˆa.n cu’a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f :V →W c˘a.p co so.’ (α1, , αn)

v`a (β1, , βm)

Nˆe´u v´ecto α c´o toa d¯ˆo (x1, , xn) co so.’ (α1, , αn) th`ı toa d¯ˆo cu’a f(α)

trong co so.’ (β1, , βm) d¯u.o c t´ınh b˘a`ng cˆong th´u.c

yi = n

X

j=1

aijxj (i= 1,2, , m)

Thˆa.t vˆa.y,

m

X

i=1

yiβi =f(α) = f( n

X

j=1

xjαj) = n

X

j=1

xjf(αj)

= n X j=1 xj m X i=1

aijβi

= m X i=1 ( n X j=1

aijxj)βi.

V`ı biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo˜i v´ecto thuˆo.c W qua co so.’ (β1, , βm) l`a nhˆa´t,

nˆen ta thu d¯u.o. c cˆong th´u.c x´ac d¯i.nh (y1, , ym) qua ma trˆa.nA v`a (x1, , xn) d¯˜a n´oi

Trong ngˆon ng˜u t´ıch ma trˆa.n, su kiˆ e.nA= (aij)m×nl`a ma trˆa.n cu’a ´anh xa tuyˆe´n

t´ınh f : V → W c˘a.p co so.’ (α1, , αn) v`a (β1, , βm), t´u.c l`a hˆe d¯˘a’ng th´u.c

f(αj) =

Pm

i=1aijβi (j = 1, , n) d¯u.o c quy u.´o.c viˆe´t nhu sau:

(f(α1) f(αn)) = (β1 βm)

         

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

          .

Cˆong th´u.c t´ınh toa d¯ˆo (y1, , ym) cu’a f(α) co so.’ (β1, , βm) qua toa d¯ˆo

(x1, , xn) cu’aα co so.’ (α1, , αn) d¯u.o c diˆe˜n d¯a.t la.i ngˆon ng˜u ma trˆa.n

nhu sau: 

         y1 . . ym           =          

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

                    x1 . . xn           .

D- i.nh l´y 2.7 Anh xa´ d¯˘a t tu.o.ng ´u.ng d¯ˆo`ng cˆa´u f v´o.i ma trˆa n cu’a n´o A = M(f) trong mˆo t c˘a p co so.’ cˆo´ d¯i.nh cu’a V v`a W l`a mˆo t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh t`u.L(V, W) lˆen M(m×n,K) N´oi riˆeng, dimL(V, W) = dimV ×dimW.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ c˘a.p co so.’ (α1, , αn) cu’aV v`a (β1, , βm) cu’aW c´ac

d¯ˆ`ng cˆo a´u f v`a g c´o c´ac ma trˆa.n tu.o.ng ´u.ng l`a A = (aij)m×n v`a B = (bij)m×n t´u.c

l`a:

f(αj) = m

X

i=1

aijβi,

g(αj) = m

X

i=1

bijβi, (j = 1, , n)

Khi d¯´o

(f +g)(αj) = m

X

i=1

(aij +bij)βi,

(af)(αj) = m

X

i=1

Nhu vˆa.y, ma trˆa.n cu’a f +g l`a A+B, ma trˆa.n cu’a af l`a aA (trong c˘a.p co so.’ d¯˜a cho) N´oi c´ach kh´ac

M(f +g) = M(f) +M(g), M(af) = aM(f)

C´ac hˆe th´u.c n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng ph´ep d¯˘a.t tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i d¯ˆo`ng cˆa´u v´o.i ma trˆa.n cu’a n´o mˆo.t c˘a.p co so.’ cˆo´ d¯i.nh l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh

M˘a.t kh´ac, theo D- i.nh l´y 2.4, ´anh xa n´oi trˆen l`a mˆo.t song ´anh T´om la.i, d¯´o l`a

mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh. 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.8 Nˆe´u f : V → W v`a g : W → Z l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh, th`ı gf :V →Z c˜ung l`a mˆo t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh.

Ch´u.ng minh: Thˆa.t vˆa.y, ta c´o

gf(aα+bβ) = g(af(α) +bf(β)) = a(gf)(α) +b(gf)(β),

v´o.i mo.i a, b∈K v`a mo.i α, β ∈V 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.9 Gia’ su.’ d¯ˆ`ng cˆo a´u f c´o ma trˆa n A trong c˘a p co so.’ (α1, , αn),

(β1, , βm) v`a d¯ˆ`ng cˆo a´u g c´o ma trˆa n B trong c˘a p co so.’ (β1, , βm), (γ1, , γ`)

Khi d¯´o, ma trˆa n cu’a d¯ˆ`ng cˆo a´u gf trong c˘a p co so.’ (α1, , αn), (γ1, , γ`) ch´ınh l`a

ma trˆa n t´ıch BA.

Ch´u.ng minh: Theo gia’ thiˆe´t, ta c´o f(αi) =

m

X

j=1

ajiβj,

g(βj) = `

X

k=1

T`u d¯´o, dog l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh, ta c´o (gf)(αi) = g(

m

X

j=1

ajiβj) = m

X

j=1

ajig(βj)

=

m

X

j=1

aji `

X

k=1

bkjγk= `

X

k=1

(

m

X

j=1

bkjaji)γk.

Go.i C = (cki)`×n l`a ma trˆa.n cu’agf c˘a.p co so.’ (α1, , αn), (γ1, , γ`) Khi

d¯´o

(gf)(αi) = `

X

k=1

ckiγk.

V`ı biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a (gf)(αi) qua co so.’ (γ1, , γ`) l`a nhˆa´t, nˆen ta thu

d¯u.o. c

cki = m

X

j=1

bkjaji, (1≤k≤`,1≤i≤n).

Hˆe d¯˘a’ng th´u.c n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i d¯˘a’ng th´u.c ma trˆa.n C=BA. 2

Nˆe´u mˆo.t hai vˆe´ cu’a c´ac d¯˘a’ng th´u.c sau d¯ˆay gi˜u.a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh l`a c´o ngh˜ıa th`ı vˆe´ c˜ung vˆa.y Khi d¯´o, ta c´o c´ac d¯˘a’ng th´u.c (dˆe˜ kiˆe’m tra):

h(gf) = (hg)f, g(f1+f2) = gf1+gf2,

(g1+g2)f = g1f +g2f.

D- i.nh ngh˜ıa 2.10 Mˆo˜i d¯ˆo`ng cˆa´u (tuyˆe´n t´ınh) t`u khˆong gian v´ecto.V v`ao ch´ınh n´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.ttu. d¯ˆ`ng cˆo a´u(tuyˆe´n t´ınh) cu’aV Mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u cu’aV d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u d¯u.o c go.i l`a mˆo.ttu. d¯˘a’ng cˆa´u cu’a V

Khˆong gian v´ecto tˆa´t ca’ c´ac tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u cu’aV d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a End(V) Tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ c´ac tu. d¯˘a’ng cˆa´u cu’a V d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a GL(V)

D

- ˆe’ cho go.n, ta s˜e go.i ma trˆa.n cu’a f ∈ End(V) c˘a.p co so.’ (α1, , αn),

(α1, , αn) l`a ma trˆa.n cu’af co so.’ (α1, , αn)

D

- i.nh l´y 2.11 Gia’ su.’ V l`a mˆo t K-khˆong gian v´ecto v´o.idimV =n Khi d¯´o ´anh xa. d¯˘a t tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i tu d¯ˆo`ng cˆa´uf ∈End(V) v´o.i ma trˆa n cu’a n´o M(f) trong co so.’ (α1, , αn) l`a mˆo t d¯˘a’ng cˆa´u v`anh t`u. End(V) v`ao M(n×n,K)

Ch´u.ng minh: D- ˆay l`a mˆo.t hˆe qua’ tru c tiˆe´p cu’a D- i.nh l´y 2.7 v`a Mˆe.nh d¯ˆe` 4.5 2 Nhˆa.n x´et r˘a`ng f ∈ End(V) l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u tˆo`n ta.i d¯ˆo`ng cˆa´u g ∈End(V) cho

gf =f g=idV.

Khi d¯´o g =f−1.

Do nhˆa.n x´et n`ay ta dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra r˘a`ng GL(V) l`a mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan l`a ph´ep ho. p th`anh c´ac ´anh xa GL(V) d¯u.o. c go.i l`anh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at cu’a khˆong gian v´ecto.V

Theo D- i.nh l´y 2.11, f ∈ End(V) l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u M(f) ∈ M(n×n,K) l`a mˆo.t ma trˆa.n kha’ nghi.ch.

Tu.o.ng ´u.ng f ↔M(f) n´oi D- i.nh l´y 2.11 d¯u.o c mˆo ta’ biˆe’u d¯ˆo` sau: End(V) d¯˘a’ng cˆa´u v`anh

←→ M(n×n,K)

S S

GL(V) d¯˘a’ng cˆ←→a´u nh´om GL(n,K)

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.12 Gia’ su.’ A l`a ma trˆa n cu’a tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u f : V → V trong co so.’ (α1, , αn), v`a C l`a ma trˆa n chuyˆe’n t`u co so.’ (α1, , αn) sang co so.’ (α01, , α0n)

Khi d¯´o, ma trˆa n cu’a f trong co so.’ (α10, , α0n) l`a C−1AC.

Ch´u.ng minh: C l`a ma trˆa.n chuyˆe’n t`u co so.’ (α1, , αn) sang co so.’ (α01, , α0n) cu’a

khˆong gian v´ecto.V, ngh˜ıa l`a ta c´o

Nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c trˆen v´o.i C−1 t`u bˆen pha’i, ta thu d¯u.o. c (α1 αn) = (α01 α0n)C−

1.

Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f ∈End(V) c´o ma trˆa.n l`a A co so.’ (α1, , αn), ngh˜ıa l`a

(f(α1) f(αn)) = (α1 αn)A

V`ıf l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u, cho nˆen ta c´o

(f(α01) f(αn0)) = (f(α1) f(αn))C

= (α1 αn)AC

= (α01 α0n)C−1AC.

Do t´ınh nhˆa´t cu’a biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo˜i v´ecto qua mˆo.t co so.’, cho nˆen C−1AC ch´ınh l`a ma trˆ

a.n cu’a f co so.’ (α01, , αn0) 2 Mˆo.t hˆe luˆa.n tru c tiˆ e´p cu’a mˆe.nh d¯ˆe` trˆen l`a nhu sau

Hˆe qua’ 2.13 Hai ma trˆa n vuˆong d¯ˆ`ng da.ng v´o.i nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ch´ung l`a mao trˆa n cu’a c`ung mˆo t tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a mˆo t khˆong gian v´ecto c´ac co so.’ n`ao d¯´o

cu’a khˆong gian n`ay. 2

3 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆo` ng cˆa´u Ch´ung ta mo.’ d¯ˆ` u tiˆe´t n`a ay b˘a`ng nhˆa.n x´et d¯o.n gia’n sau d¯ˆay.

Mˆe.nh d¯ˆe` 3.1 Gia’ su.’ f : V → W l`a mˆo t d¯ˆ`ng cˆo a´u Khi d¯´o, a’nh bo.’ i f cu’a mˆo˜i khˆong gian v´ecto cu’a V l`a mˆo t khˆong gian v´ecto cu’a W Nghi.ch a’nh bo’ i. f cu’a mˆo˜i khˆong gian v´ecto cu’a W l`a mˆo t khˆong gian v´ecto cu’a V.

da.ng α0 =f(α), β0 =f(β), d¯´o α, β ∈ T Khi d¯´o, v`ıf l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u, cho nˆen v´o.i vˆo hu.´o.ng bˆa´t k`y a∈K, ta c´o

α0 +β0 = f(α) +f(β) = f(α+β)∈f(T), aα0 = af(α) =f(aα)∈f(T)

Vˆa.y f(T) l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a W

Bˆay gi`o gia’ su.’ U l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’aW Khi d¯´o,f−1(U)6=∅, bo.’ i v`ı n´o c˜ung ch´u.a v´ecto Nˆe´u α, β ∈f−1(U) th`ıf(α), f(β)∈U V`ıf l`a mˆ

o.t d¯ˆo`ng cˆa´u, cho nˆen v´o.i mo.i vˆo hu.´o.ng a∈K, ta c´o

f(α+β) = f(α) +f(β)∈U, f(aα) = af(α)∈U

V`ı thˆe´α+β v`a aα∈f−1(U) Vˆ

a.y f−1(U) l`a mˆ

o.t khˆong gian v´ecto cu’a V 2 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u l`a nh˜u.ng khˆong gian v´ecto d¯˘a.c biˆe.t quan tro.ng d¯ˆo´i v´o.i viˆe.c kha’o s´at d¯ˆo`ng cˆa´u d¯´o Ch´ung d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

D

- i.nh ngh˜ıa 3.2 Gia’ su.’ f :V →W l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u (i) Ker(f) = f−1(0) = {x ∈V|f(x) = 0} ⊂V d¯u.o.

c go.i l`a ha t nhˆan (hay ha ch) cu’a f Sˆo´ chiˆ` u cu’ae Ker(f) d¯u.o. c go.i l`a sˆo´ khuyˆe´t cu’a f

(ii) Im(f) = f(V) = {f(x)|x ∈ V} ⊂ W d¯u.o. c go.i l`a a’nh cu’a f Sˆo´ chiˆ` u cu’ae Im(f) d¯u.o. c go.i l`aha ng cu’a f v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a rank(f)

Hai d¯i.nh l´y sau d¯ˆay nˆeu nh˜u.ng d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u l`a mˆo.t to`an cˆa´u hay mˆo.t d¯o.n cˆa´u

Ch´u.ng minh: Theo d¯i.nh ngh˜ıa, f l`a mˆo.t to`an cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u Im(f) = W V`ıIm(f) l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a W, cho nˆen d¯˘a’ng th´u.c n´oi trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i rank(f) := dimf(V) = dimW

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u f(V) = W th`ı hiˆe’n nhiˆen dimf(V) = dimW Ngu.o. c la.i, gia’ su.’ dimf(V) = dimW; f(V) l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a W, nˆen mˆo˜i co so.’ cu’a f(V) c˜ung l`a mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong W v´o.i sˆo´ phˆ` n tu.a ’ b˘a`ng dimf(V) = dimW N´oi c´ach kh´ac, mˆ˜i co so.’ cu’ao f(V) c˜ung l`a mˆo.t co so.’ cu’a W

Vˆa.y f(V) =W 2

D- i.nh l´y 3.4 D- ˆo´i v´o.i d¯ˆo`ng cˆa´u f :V →W c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n sau d¯ˆay l`a tu.o.ng d¯u.o.ng:e (i) f l`a mˆo t d¯o.n cˆa´u.

(ii) Ker(f) ={0}.

(iii) A’ nh bo.’i f cu’a mˆo˜i hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh l`a mˆo.t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.

(iv) A’ nh bo.’i f cu’a mˆo˜i co so.’ cu’a V l`a mˆo t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.

(v) A’ nh bo.’i f cu’a mˆo t co so.’ n`ao d¯´o cu’a V l`a mˆo t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. (vi) rank(f) = dimV.

Ch´u.ng minh: (i) ⇒ (ii) : Gia’ su.’ α ∈Ker(f) Khi d¯´o f(α) = f(0) = V`ıf l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u, cho nˆen α= Do d¯´oKer(f) = {0}

(ii) ⇒ (iii) : Gia’ su.’ (α1, , αk) l`a mˆo.t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh V

Nˆe´u c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh gi˜u.a c´ac a’nh bo.’i f cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ d¯´o

k

X

i=1

aif(αi) = (ai ∈K),

th`ı f(Pki=1aiαi) = V`ı Ker(f) = {0}, cho nˆen

Pk

i=1aiαi = T`u d¯´o, ta c´o

a1 = · · · = ak = 0, bo.’ i v`ı hˆe v´ecto (α1, , αk) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Nhu thˆe´, hˆe

C´ac suy luˆa.n (iii)⇒(iv), (iv)⇒(v) d¯ˆ` u hiˆe’n nhiˆen.e

(v)⇒(vi) : Gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’aV cho (f(α1), , f(αn)) l`a

mˆo.t hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh R˜o r`ang hˆe n`ay sinh ra f(V) Ta c´o rank(f) = dimf(V) = rank(f(α1), , f(αn)) = n= dimV.

(vi)⇒(i) : Gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a V Ta c´o

rank(f) = rank(f(α1), , f(αn)) = dimV =n,

cho nˆen hˆe v´ecto (f(α1), , f(αn)) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Gia’ su’.α =

P

iaiαi, β =

P

ibiαi v`a f(α) = f(β) Khi d¯´o,

0 =f(α)−f(β) =f(α−β) =f(X

i

(ai−bi)αi =

X

i

(ai−bi)f(αi)

T`u d¯´oa1 =b1, , an =bn, bo.’ i v`ı (f(α1), , f(αn)) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh D- iˆe` u n`ay c´o

ngh˜ıa l`a α=β Vˆa.y f l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u 2

D

- i.nh l´y 3.5 (D- i.nh l´y vˆe` d¯ˆ`ng cˆo a´u c´ac khˆong gian v´ecto.) Gia’ su.’ f : V → W l`a mˆo t d¯ˆ`ng cˆo a´u Khi d¯´o, ´anh xa. f :V /Ker(f)→ W, x´ac d¯i.nh bo’ i. f([α]) =f(α), l`a mˆo t d¯o.n cˆa´u N´o ca’m sinh d¯˘a’ng cˆa´u f :V /Ker(f)→∼= Im(f).

Ch´u.ng minh: Tru.´o.c tiˆen, cˆ` n ch´a u.ng to’ r˘a`ng f d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa khˆong phu thuˆo.c viˆe.c cho.n d¯a.i biˆe’u cu’a l´o.p [α] Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u [α] = [α0], th`ıα−α0 ∈Ker(f) N´oi c´ach kh´acf(α−α0) = 0, hay l`a f(α) =f(α0)

V`ıf l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u, nˆen dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra f c˜ung l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u

Gia’ su.’ f([α]) = f([β]), t´u.c l`a f(α) = f(β); d¯´o f(α −β) = V`ı thˆe´ α−β ∈Ker(f), ngh˜ıa l`a [α] = [β] D- iˆe` u d¯´o ch´u.ng to’ r˘a`ng f l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u Ho.n n˜u.a, t`u d¯i.nh ngh˜ıa cu’a f ta c´oIm(f) =Im(f) Cho nˆen, nˆe´u x´etf nhu mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u t`u.V /Ker(f) t´o.i Im(f) th`ı d¯´o l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u. 2

Ch´u.ng minh: Theo d¯i.nh l´y trˆen, ta c´o

dimIm(f) = dimIm(f) = dimV /Ker(f) = dimV −dimKer(f). 2

Hˆe qua’ 3.7 Gia’ su.’ f : V → W l`a mˆo t d¯ˆ`ng cˆo a´u Khi d¯´o, v´o.i mo i khˆong gian v´ecto con U cu’a V, ta c´o

dimf(U)≤dimU.

N´oi c´ach kh´ac, ´anh xa tuyˆe´n t´ınh khˆong l`am t˘ang chiˆ` u cu’a c´e ac khˆong gian v´ecto

Ch´u.ng minh: X´et ha.n chˆe´f|U cu’a ´anh xa f trˆen khˆong gian v´ecto U, ta c´o

dimU = dimKer(f|U) + dimIm(f|U)≥dimIm(f|U) = dimf(U) 2

Hˆe qua’ 3.8 Gia’ su.’ f :V →V l`a mˆo t tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a khˆong gian v´ecto h˜u.u ha n chiˆ` ue V Khi d¯´o, c´ac kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay l`a tu.o.ng d¯u.o.ng:

(i) f l`a mˆo t d¯˘a’ng cˆa´u. (ii) f l`a mˆo t d¯o.n cˆa´u. (iii) f l`a mˆo t to`an cˆa´u.

Ch´u.ng minh: Theo D- i.nh l´y 3.4,f l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u dimKer(f) = 0. M˘a.t kh´ac, theo D- i.nh l´y 3.3, f l`a mˆo.t to`an cˆa´u v`a chı’ dimIm(f) = dimV Theo Hˆe qua’ 3.6, hai d¯iˆe` u kiˆe.n n´oi trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i Do d¯´o, ch´ung c`ung tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i su. kiˆe.nf l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u. 2

Nhˆa.n x´et: Hˆe qua’ trˆen khˆong c`on d¯´ung nˆe´u V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto vˆo ha.n chiˆ` u Thˆe a.t vˆa.y, d¯ˆo`ng cˆa´u

ϕ :K[X] → K[X]

l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u nhu.ng khˆong l`a mˆo.t to`an cˆa´u Ngu.o c la.i, d¯ˆo`ng cˆa´u ψ :K[X] → K[X]

ϕ(Xn) = Xn−1 (n = 0,1,2 ),

trong d¯´o quy u.´o.cX−1 =ψ(1) = 0, l`a mˆo.t to`an cˆa´u nhu.ng khˆong l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u Trˆen co so.’ hˆe qua’ n´oi trˆen, c´ac D- i.nh l´y 3.3 v`a 3.4 cho ta h`ang loa.t d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆo.t khˆong gian v´ecto h˜u.u ha.n chiˆe`u l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u

D- i.nh ngh˜ıa 3.9 (Ha.ng cu’a ma trˆa.n) Gia’ su’.A l`a mˆo.t ma trˆa.n m h`ang n cˆo.t v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ tru.`o.ng K Ha.ng cu’a hˆe. n v´ecto cˆo.t cu’a A Km d¯u.o. c go.i l`a ha ng cu’a ma trˆa n A v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a rankA.

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay cho ta mˆo.t phu.o.ng ph´ap d¯ˆe’ t´ınh ha.ng cu’a c´ac d¯ˆo`ng cˆa´u

D- i.nh l´y 3.10 Gia’ su.’ d¯ˆ`ng cˆo a´u f : V → W c´o ma trˆa n l`a A trong mˆo t c˘a p co so.’ n`ao d¯´o cu’a V v`a W Khi d¯´o:

rankf = rankA

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ f c´o ma trˆa.n l`a A c˘a.p co so.’ (α1, , αn) cu’a V v`a

(β1, , βm) cu’a W Theo d¯i.nh ngh˜ıa, ta c´o

rankf = dimIm(f) = rank(f(α1), , f(αn))

V`ı (β1, , βm) l`a mˆo.t co so.’ cu’a W cho nˆen ´anh xa

ϕ:W → Km,

m

X

j=1

bjβj 7→

      

b1

bm

l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh (Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa d¯´o chuyˆe’n co so.’ (β1, , βm) th`anh

co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’a Km.)

D

- ˘a’ng cˆa´u ϕ d¯u.a f(αi) v`ao cˆo.t th´u.i cu’a ma trˆa.n A, bo.’ i v`ı

f(αi) = m

X

j=1

ajiβj ϕ

7→

      

a1i

ami

      

.

V`ı c´ac d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh d¯ˆ` u ba’o to`e an ha.ng cu’a mˆo˜i hˆe v´ecto., nˆen ta c´o rankf = rank(f(α1), , f(αn)) = rankA 2

4 Khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u ´

Y ch´ınh cu’a tiˆe´t n`ay l`a ta c´o thˆe’ nghiˆen c´u.u mˆo.t khˆong gian v´ecto thˆong qua tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ c´ac h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆong gian n`ay N´oi mˆo.t c´ach nˆom na, tˆa.p ho p c´ac h`am nhu thˆe´ lˆa.p nˆen c´ai go.i l`a khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u, n´o c´o thˆe’ coi l`a “a’nh d¯ˆo´i x´u.ng qua gu.o.ng” cu’a khˆong gian v´ecto d¯˜a cho

Gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K

D

- i.nh ngh˜ıa 4.1 Khˆong gian V∗ = L(V,K) c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u V v`ao K

d¯u.o. c go.i l`akhˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’aV Mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’aV∗ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t da ng tuyˆe´n t´ınh trˆenV

Ta d¯˜a biˆe´t r˘a`ng V∗ l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto v´o.i sˆo´ chiˆe` u b˘a`ng dimV∗ = dimV ·dimK= dimV.

Gia’ su.’ f : V → W l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u Ta d¯i.nh ngh˜ıa ´anh xa. f∗ : W∗ →V∗ bo.’ i cˆong th´u.c sau d¯ˆay

(f∗(ϕ))(α) = ϕ(f(α)), ∀ϕ ∈W∗, ∀α∈V.

Ta s˜e chı’ r˘a`ng f∗ l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u t`u.W∗ v`ao V∗ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i vˆo hu.´o.ng a, b∈K v`a mo.i ϕ, ψ∈W∗ ta c´o

f∗(aϕ+bψ)(α) = (aϕ+bψ)(f(α)) = aϕ(f(α)) +bψ(f(α)) = af∗(ϕ)(α) +bf∗(ψ)(α) = (af∗(ϕ) +bf∗(ψ))(α) Hˆe th´u.c n`ay d¯´ung v´o.i mo.i α∈V, nˆen ta thu d¯u.o. c

f∗(aϕ+bψ) =af∗(ϕ) +bf∗(ψ) D- iˆe` u n`ay ch´u.ng to’ f∗ l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u

D- i.nh ngh˜ıa 4.2 f∗ : W∗ → V∗ d¯u.o. c go.i l`a d¯ˆ`ng cˆo a´u (hay ´anh xa.) d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a d¯ˆ`ng cˆo a´u f :V →W

Nˆe´u ta k´y hiˆe.u gi´a tri cu’a da.ng tuyˆe´n t´ınh θ ∈ V∗ trˆen v´ecto α ∈ V bo.’ i hα, θi ∈K, th`ı cˆong th´u.c d`ung d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa f∗ c´o thˆe’ viˆe´t la.i th`anh

hα, f∗(ϕ)i=hf(α), ϕi. ´

Y ngh˜ıa cu’a t´ınh d¯ˆo´i ngˆa˜u d¯u.o c thˆa´y r˜o c´ach diˆe˜n d¯a.t n`ay.

Ngu.`o.i ta go.i ´anh xa.h·,·i: V ×V∗ → K l`a ph´epgh´ep c˘a p d¯ˆo´i ngˆa˜u D- ´o l`a mˆo.t ´

anh xa.song tuyˆe´n t´ınh, t´u.c l`a n´o tuyˆe´n t´ınh v´o.i t`u.ng biˆe´n cˆo´ d¯i.nh biˆe´n c`on la.i. Gia’ su.’ V c´o sˆo´ chiˆ` u b˘e a`ng n, v´o.i mˆo.t co so.’ l`a (α1, , αn) Trˆen co so.’ D- i.nh l´y

2.4, ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac da.ng tuyˆe´n t´ınhα∗1, , α∗n∈V∗ bo.’ i hˆe d¯iˆe` u kiˆe.n sau d¯ˆay: hαi, αj∗i=δij =

    

Mˆe.nh d¯ˆe` 4.3 Gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo t co so.’ cu’a V Khi d¯´o (α∗1, , α∗n) l`a mˆo t

co so.’ cu’a V∗.

Ch´u.ng minh: Thˆa.t vˆa.y, mˆo˜i θ ∈V∗ th`u.a nhˆa.n biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh sau d¯ˆay: θ =

n

X

j=1

hαj, θiα∗j.

D- ˆe’ ch´u.ng to’ d¯iˆe` u d¯´o ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh r˘a`ng hai vˆe´ c´o gi´a tri nhu trˆen c´ac v´ecto cu’a co so.’ (α1, , αn) Thˆa.t vˆa.y

n

X

j=1

hαj, θiα∗j(αi) = n

X

j=1

hαj, θiδij

= hαi, θi=θ(αi), (1≤i≤n).

Nhu thˆe´, hˆe gˆo`m n v´ecto (α1∗, , αn∗) sinh khˆong gian v´ecto.n chiˆ` ue V Do d¯´o,

hˆe n`ay l`a mˆo.t co so.’ cu’aV∗ 2

D- i.nh ngh˜ıa 4.4 Co so.’ (α∗1, , α∗n) cu’a khˆong gian V∗ d¯u.o. c go.i l`a co so.’ d¯ˆo´i ngˆa˜u v´o.i co so.’ (α1, , αn) cu’a khˆong gian V∗

Ta c´o d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh

V → V∗ α =

n

X

i=1

aiαi 7→ α∗ = n

X

i=1

aiα∗i.

D- ˘a’ng cˆa´u n`aykhˆong tu. nhiˆen, v`ı n´o phu thuˆo.c v`ao co so.’ (α1, , αn) d¯˜a cho.n

Tuy vˆa.y, d¯˘a’ng cˆa´uV →V∗∗, biˆe´n α th`anh α∗∗, d¯´oα∗∗ d¯u.o. c x´ac d¯i.nh bo’ i hˆe th´u.c sau

hϕ, α∗∗i=hα, ϕi, ∀ϕ∈V∗,

l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tu nhiˆ en, v`ı n´o d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa khˆong phu thuˆo.c v`ao co so.’ D

Thˆa.t vˆa.y, hˆe th´u.c trˆen d¯u.o c ch´u.ng minh b˘a`ng c´ac d¯˘a’ng th´u.c sau, d¯´o ϕ l`a phˆ` n tu.a ’ bˆa´t k`y V∗:

hϕ,(aα+bβ)∗∗i = haα+bβ, ϕi = ahα, ϕi+bhβ, ϕi = ahϕ, α∗∗i+bhϕ, β∗∗i = hϕ, aα∗∗+bβ∗∗i.

Nhˆa.n x´et r˘a`ng dimV∗∗= dimV∗ = dimV V`ı thˆe´, d¯ˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng tu.o.ng ´

u.ng V → V∗∗ n´oi trˆen l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u, ta chı’ cˆa` n ch´u.ng to’ n´o l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u N´oi r˜o ho.n, ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh r˘a`ng nˆe´uα∗∗= th`ıα= Gia’ su.’ pha’n ch´u.ng α6= Ta cho.n mˆo.t co so.’ (α1, , αn) cu’a V cho α1 =α Khi d¯´o, v´o.i ϕ =α∗1,

ta c´o

1 =hα, α1∗i=hα∗1, α∗∗i.

D- ˘a’ng th´u.c n`ay ch´u.ng to’ α∗∗6= D- iˆe` u vˆo l´y n`ay b´ac bo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´u.ng

Nhˆa.n x´et 4.5 V´o.i mˆo˜iα∈V, phˆ` n tu.a ’ α∗∗∈V∗∗ d¯u.o. c x´ac d¯i.nh ho`an to`an v`a chı’ phu thuˆo.c v`ao α Ngu.o. c la.i, α∗ chı’ d¯u.o. c x´ac d¯i.nh d¯˜a cho.n mˆo.t co so.’ cu’a V v`aα∗ phu thuˆo.c v`ao co so.’ n`ay Tuy vˆa.y, ta c´o thˆe’ coi

α∗∗= (α∗)∗,

trong d¯´o, d¯ˆo´i ngˆa˜u th´u nhˆa´t d¯u.o. c lˆa´y theo mˆo.t co so.’ (α1, , αn) n`ao d¯´o cu’a V,

c`on d¯ˆo´i ngˆa˜u th´u hai d¯u.o. c lˆa´y theo co so.’ d¯ˆo´i ngˆa˜u (α1∗, , α∗n) cu’aV∗ Mˆo˜i ph´ep d¯ˆo´i ngˆa˜u nhu thˆe´ d¯ˆe` u phu thuˆo.c v`ao co so.’ d¯˜a cho.n, nhu.ng kˆe´t qua’ cu’a hai lˆa` n d¯ˆo´i ngˆa˜u liˆen tiˆe´p th`ı la.i khˆong phu thuˆo.c bˆa´t k`y co so.’ n`ao.

D

- ˆe’ ch´u.ng minh d¯˘a’ng th´u.c trˆen ta gia’ su.’ α=

n

X

i=1

Khi d¯´o, α∗ =Pni=1aiα∗i, v`a (α∗)∗ =

Pn

i=1ai(α∗i)∗ Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a α∗∗, ta c´o

hα∗j, α∗∗i = hα, α∗ji = h

n

X

i=1

aiαi, α∗ji=aj.

Gia’ su.’ α∗∗ c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh α∗∗=

n

X

i=1

bi(α∗i)∗.

Khi d¯´o ta c´o

hα∗j, α∗∗i = hαj∗,

n

X

i=1

bi(α∗i)∗i

=

n

X

i=1

biδji =bj.

T`u d¯´o suy raaj =bj v´o.i j = 1,2, , n Kˆe´t qua’ l`a α∗∗= (α∗)∗ 2

Ta cˆ` n d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay tru.´o.c ph´at biˆe’u d¯i.nh l´y ch´ınh cu’a tiˆe´t n`ay.a

D

- i.nh ngh˜ıa 4.6 Chuyˆe’n vi. cu’a ma trˆa.n A = (aij) ∈ M(m ×n,K) l`a ma trˆa.n

At= (atji)∈M(n×m,K) d¯u.o. c x´ac d¯i.nh bo’ i hˆe th´u.c atji=aij (i= 1, , m, j= 1, , n)

N´oi mˆo.t c´ach khˆong h`ınh th´u.c, chuyˆe’n vi mˆo.t ma trˆa.n A t´u.c l`a viˆe´t c´ac v´ecto h`ang cu’a n´o th`anh c´ac v´ecto cˆo.t cu’a ma trˆa.n m´o.iAt Khi d¯´o, c´ac v´ecto cˆ

o.t cu’aA c˜ung tro.’ th`anh c´ac v´ecto h`ang tu.o.ng ´u.ng cu’a At.

Mˆo.t hˆe qua’ tru c tiˆ e´p cu’a d¯i.nh ngh˜ıa trˆen l`a (At)t=A, v´o.i mo.i ma trˆa.nA.

V´ı du :

      

1 8

       t =          

1 8 4

D

- i.nh l´y 4.7 Gia’ su.’ d¯ˆ`ng cˆo a´u f : V → W c´o ma trˆa n l`a A trong c˘a p co so.’ (α1, , αn), (β1, , βm) Khi d¯´o, d¯ˆ`ng cˆo a´u d¯ˆo´i ngˆa˜u f∗ : W∗ → V∗ c´o ma trˆa n

l`a At trong c˘a p co so.’(β1∗, , βm∗), (α∗1, , α∗n)

Ch´u.ng minh: V`ıf c´o ma trˆa.n l`a A c˘a.p co so.’ (α1, , αn), (β1, , βm), cho

nˆen

f(αj) = m

X

k=1

akjβk (j = 1, , n)

Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a ´anh xa d¯ˆo´i ngˆa˜u, ta c´o hαj, f∗(βi∗)i = hf(αj), β∗ii

= h

m

X

k=1

akjβk, βi∗i=aij.

Su.’ du.ng cˆong th´u.c d¯u.o c d¯u.a ch´u.ng minh Mˆe.nh d¯ˆe` 4.3 ´ap du.ng cho v´ecto θ=f∗(βi∗), ta thu d¯u.o. c

f∗(βi∗) =

n

X

j=1

hαj, f∗(βi∗)iα∗j

=

n

X

j=1

aijαj∗.

M˘a.t kh´ac, go.i B = (bji) ∈ M(n ×m,K) l`a ma trˆa.n cu’a f∗ c˘a.p co so.’

(β1∗, , βm∗), (α∗1, , α∗n), ta c´o

f∗(βi∗) =

n

X

j=1

bjiα∗j.

V´ecto.f∗(βi∗) c´o biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh nhˆa´t qua co so.’ (α∗1, , α∗n), cho nˆen bji =aij, (i= 1, , m, j= 1, , n)

D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`aB =At. 2

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay cho thˆa´y c´ac kh´ai niˆe.m d¯o.n cˆa´u v`a to`an cˆa´u l`a d¯ˆo´i ngˆa˜u v´o.i

D

(i) f l`a mˆo t d¯o.n cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u f∗ l`a mˆo t to`an cˆa´u. (ii) f l`a mˆo t to`an cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u f∗ l`a mˆo t d¯o.n cˆa´u. (iii) f l`a mˆo t d¯˘a’ng cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u f∗ l`a mˆo t d¯˘a’ng cˆa´u.

D

- ˆo.c gia’ h˜ay tu t`ım mˆo.t ch´u.ng minh tru c tiˆe´p cho d¯i.nh l´y n`ay Trong chu.o.ng sau ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng rankA= rankAt, d¯ˆo´i v´

o.i mo.i ma trˆa.n A Kˆe´t ho. p d¯˘a’ng th´u.c d¯´o v´o.i D- i.nh l´y 4.7 ta s˜e c´o mˆo.t ch´u.ng minh gi´an tiˆe´p cho d¯i.nh l´y n´oi trˆen

B`ai tˆa.p

1 T´ınh t´ıch cu’a hai ma trˆa.n sau d¯ˆay:

         

0 7

                   

−2 −5

7 5

0

−8 −8

          .

T´ınh c´ac l˜uy th`u.a sau d¯ˆay

2 



 cosϕ −sinϕ

sinϕ cosϕ

   n ,    λ

0 λ    n .          

a1

0 a2

. . . 0 an

4 

            

1 0 0 1 0 0 1 0 . . . . . . 0 0

             

n−1

.

5 Cho hai ma trˆa.nA v`aB v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ trongK Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u c´ac t´ıch AB v`a BA d¯ˆ` u c´e o ngh˜ıa v`a AB=BA, th`ıA v`a B l`a c´ac ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p

6 Ma trˆa.n t´ıch AB s˜e thay d¯ˆo’i thˆe´ n`ao nˆe´u ta

(a) d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac h`ang th´u.i v`a th´u.j cu’a ma trˆa.n A ?

(b) cˆo.ng v`ao h`ang th´u.i cu’a A t´ıch cu’a vˆo hu.´o.ng cv´o.i h`ang th´u.j cu’a A? (c) d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac cˆo.t th´u.i v`a th´u.j cu’a ma trˆa.n B ?

(d) cˆo.ng v`ao cˆo.t th´u.i cu’a B t´ıch cu’a vˆo hu.´o.ng cv´o.i cˆo.t th´u.j cu’a B? Vˆe´t cu’a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong l`a tˆo’ng cu’a tˆa´t ca’ c´ac phˆa` n tu.’ n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng

ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n d¯´o Ch´u.ng minh r˘a`ng vˆe´t cu’aAB b˘a`ng vˆe´t cu’a BA. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´uA v`aB l`a c´ac ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p, v´o.iAB6=BA,

th`ı

(a) (A+B)2 6=A2 + 2AB+B2,

(b) (A+B)(A−B)6=A2−B2.

9 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A v`aB l`a c´ac ma trˆa.n vuˆong v´o.iAB=BA th`ı (A+B)n =An+nAn−1B+n(n−1)

2 A

10 Hai ma trˆa.n vuˆong A v`a B d¯u.o. c go.i l`a giao ho´an v´o.i nˆe´u AB = BA. Ch´u.ng minh r˘a`ng A giao ho´an v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p v´o.i n´o nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o l`a mˆo.t ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng, t´u.c l`a A=cE d¯´oc∈Kv`aE l`a ma trˆa.n d¯o.n vi c`ung cˆa´p v´o.i A.

11 Ma trˆa.n vuˆong A d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ma trˆa n ch´eo nˆe´u c´ac phˆ` n tu.a ’ n˘a`m ngo`ai d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a n´o d¯ˆ` u b˘e a`ng Ch´u.ng minh r˘a`ng ma trˆa.n vuˆong A giao ho´an v´o.i mo.i ma trˆa.n ch´eo c`ung cˆa´p v´o.i n´o nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ch´ınh A l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo.

12 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh d¯ˆoi mˆo.t kh´ac nhau, th`ı mo.i ma trˆa.n giao ho´an v´o.iA c˜ung l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo.

13 Go.i D= diag(a1, a2, , an) l`a ma trˆa.n ch´eo v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo

ch´ınh lˆ` n lu.o.a t b˘a`nga1, a2, , an Ch´u.ng minh r˘a`ng nhˆanDv´o.iAt`u bˆen tr´ai

c´o ngh˜ıa l`a nhˆan c´ac h`ang cu’aAtheo th´u tu. v´o.ia1, a2, , an; c`on nhˆanDv´o.i

A t`u bˆen pha’i c´o ngh˜ıa l`a nhˆan c´ac cˆo.t cu’a A theo th´u tu. v´o.i a1, a2, , an

14 T`ım tˆa´t ca’ c´ac ma trˆa.n giao ho´an v´o.i ma trˆa.n sau d¯ˆay:

      

3 0 0

      

.

15 Ch´u.ng minh r˘a`ng ma trˆa.n A=

   a b

c d

 

 thoa’ m˜an phu.o.ng tr`ınh X2−(a+d)X+ (ad−bc) = 0.

bˆo.i cu’a mˆo.t d¯a th´u.c f0(X) nhu thˆe´, d¯u.o c x´ac d¯i.nh nhˆa´t bo’ i d¯iˆe ` u kiˆe.n:

hˆe sˆo´ cu’a sˆo´ ha.ng bˆa.c cao nhˆa´t cu’a n´o b˘a`ng (D- a th´u.cf0(X) v´o.i t´ınh chˆa´t

n´oi trˆen d¯u.o. c go.i l`a d¯a th´u.c tˆo´i thiˆe’u cu’a ma trˆa.n A.)

17 Gia’ su.’ n khˆong chia hˆe´t cho d¯˘a.c sˆo´pcu’a tru.`o.ngK Ch´u.ng minh r˘a`ng khˆong tˆ`n ta.i c´ac ma trˆa.no A, B ∈M(n×n,K) cho AB−BA =En

18 Gia’ su.’ A l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p v`a k l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen ≥ Ch´u.ng minh r˘a`ng Ak = nˆe´u v`a chı’ nˆe´u A2 =

19 T`ım tˆa´t ca’ c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p hai A cho A2 = 0.

20 T`ım tˆa´t ca’ c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p hai A cho A2 =E2

21 Gia’i phu.o.ng tr`ınh AX = 0, d¯´oA l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p hai d¯˜a cho c`on X l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p hai cˆa` n t`ım

22 T`ım ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o (nˆe´u c´o) cu’a ma trˆa.n

A=

   a b

c d

  .

23 Gia’ su.’ V =V1⊕V2, d¯´oV1 c´o co so.’ (α1, , αk),V2 c´o co so.’ (αk+1, , αn)

T`ım ma trˆa.n cu’a ph´ep chiˆe´u lˆen V1 theo phu.o.ng V2 co so.’ (α1, , αn)

24 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´uV =V1⊕V2, th`ıV d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i t´ıch tru c tiˆe´pV1×V2

25 Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo`n ta.i nhˆa´t tu d¯ˆo`ng cˆa´u f : R3 → R3 chuyˆe’n c´ac

v´ecto.α1 = (2,3,5), α2 = (0,1,2), α3 = (1,0,0) tu.o.ng ´u.ng th`anh c´ac v´ecto

β1 = (1,1,1), β2 = (1,1,−1), β3 = (2,1,2) T`ım ma trˆa.n cu’a f co so.’

ch´ınh t˘a´c cu’a khˆong gian

M(f) cu’a f mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o (e1, , en) thoa’ m˜an hˆe th´u.c M(f) =

BA−1, d¯´o c´ac cˆ

o.t cu’a ma trˆa.n Av`a ma trˆa.n B l`a toa d¯ˆo tu.o.ng ´u.ng cu’a c´ac v´ecto.α1, , αn v`aβ1, , βn co so.’ (e1, , en)

27 Ch´u.ng minh r˘a`ng ph´ep nhˆan v´o.i ma trˆa.n A =

   a b

c d

 

 (a) t`u bˆen tr´ai, (b) t`u bˆen pha’i l`a c´ac tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a khˆong gian c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p hai. H˜ay t`ım ma trˆa.n cu’a tu d¯ˆ `ng cˆo a´u d¯´o co so.’ gˆ`m c´o ac ma trˆa.n sau d¯ˆay:

  

0   ,   

0   ,    0

1   ,    0

0

  .

28 Ch´u.ng minh r˘a`ng d¯a.o h`am l`a mˆo.t tu d¯ˆo`ng cˆa´u cu’a khˆong gian v´ecto c´ac d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c c´ o bˆa.c khˆong vu.o t qu´a n T`ım ma trˆa.n cu’a tu d¯ˆ `ng cˆo a´u d¯´o c´ac co so.’ sau d¯ˆay:

(a) (1, X, , Xn),

(b) (1,(X−c), ,(Xn−!c)n), d¯´oc l`a mˆo.t h˘a`ng sˆo´ thu c.

29 Ma trˆa.n cu’a mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u co so.’ (e1, , en) thay d¯ˆo’i thˆe´ n`ao nˆe´u ta

d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac v´ecto.ei v`aej?

30 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f c´o ma trˆa.n

         

1

3 −1

2

1

         

trong co so.’ (e1, e2, e3, e4) H˜ay t`ım ma trˆa.n cu’af co so.’ (e1, e1+e2, e1+

31 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ϕ c´o ma trˆa.n       

15 −11 20 −15 8 −7

      

trong co so.’ (e1, e2, e3) H˜ay t`ım ma trˆa.n cu’a ϕ co so.’ gˆ`m c´o ac v´ecto

²1 = 2e1+ 3e2+e3, ²2 = 3e1+ 4e2+e3, ²3 =e1+ 2e2+ 2e3

32 D- ˆo`ng cˆa´u ϕ :C3 →C3 c´o ma trˆa.n

      

1 −18 15 −1 −22 20 −25 22

      

trong co so.’ gˆ`m c´o ac v´ecto.α1 = (8,−6,7), α2 = (−16,7,−13), α3 = (9,−3,7)

T`ım ma trˆa.n cu’a ϕ co so.’ gˆ`m c´o ac v´ecto

β1 = (1,−2,1), β2 = (3,−1,2), β3 = (2,1,2)

33 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac ma trˆa.n cu’a mˆo.t tu d¯ˆo`ng cˆa´u hai co so.’ cu’a khˆong gian l`a tr`ung nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ma trˆa.n chuyˆe’n gi˜u.a hai co so.’ d¯´o giao ho´an v´o.i ma trˆa.n cu’a d¯ˆo`ng cˆa´u d¯˜a cho mˆo˜i co so.’ n´oi trˆen

34 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ϕ ∈ End(R2) c´o ma trˆa.n

  

4

 

 co so.’ gˆ`mo α1 =

(1,2), α2 = (2,3), v`a tu d¯ˆ`ng cˆo a´u ψ ∈ End(R2) c´o ma trˆa.n

  

6

   co so.’ gˆ`mo β1 = (3,1), β2 = (4,2) T`ım ma trˆa.n cu’aϕ+ψ co so.’ (β1, β2)

35 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ϕ ∈ End(R2) c´o ma trˆa.n

 

 −1

5 −3

 

 co so.’ gˆ`mo α1 =

(−3,7), α2 = (1,−2), v`a tu d¯ˆ`ng cˆo a´u ψ ∈ End(R2) c´o ma trˆa.n

  

2

trong co so.’ gˆ`mo β1 = (6,−7), β2 = (−5,6) T`ım ma trˆa.n cu’a ϕψ co so.’

ch´ınh t˘a´c cu’a R2

36 Gia’ su.’ tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ϕ :V →V thoa’ m˜an hˆe th´u.c ϕ2 =ϕ Ch´u.ng minh r˘a`ng V =Im(ϕ)⊕Ker(ϕ).

37 Cho c´ac tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ϕ, ψ ∈End(V) (a) Pha’i ch˘ang nˆe´u ϕψ = th`ıψϕ= 0?

(b) Pha’i ch˘ang nˆe´u ϕψ = v`a ψϕ= th`ı ho˘a.c ϕ = ho˘a.c ψ = 0?

38 Gia’ su.’ ϕ v`a ψ l`a c´ac tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a khˆong gian v´ecto h˜u.u ha.n chiˆe` u V Ch´u.ng minh r˘a`ng ϕψ l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ϕ v`a ψ l`a c´ac d¯˘a’ng cˆa´u Khi d¯´o

(ϕψ)−1 =ψ−1ϕ−1.

39 K´y hiˆe.u vˆe´t cu’a ma trˆa.n vuˆong A l`a T r(A) Ch´u.ng minh r˘a`ng ´anh xa T r : M(n×n,K) → K, A 7→ T r(A) l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u T`ım mˆo.t co so.’ cu’a ha.t nhˆan cu’a T r.

40 Ch´u.ng minh r˘a`ng vˆe´t cu’a hai ma trˆa.n d¯ˆo`ng da.ng b˘a`ng (T`u d¯´o ngu.`o.i ta d¯i.nh ngh˜ıa vˆe´t cu’a mˆo t tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u l`a vˆe´t cu’a ma trˆa.n cu’a n´o co so.’ bˆa´t k`y cu’a khˆong gian.)

41 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u t´ıch ma trˆa.nAB c´o ngh˜ıa th`ı (AB)t=BtAt.

T`u d¯´o suy r˘a`ng ma trˆa.n vuˆongAkha’ nghi.ch nˆe´u v`a chı’ nˆe´uAtkha’ nghi.ch, v`a d¯´o

42 Cho c´ac d¯ˆ`ng cˆo a´u f : V →W v`a g :W →Z Ch´u.ng minh mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a c´ac d¯ˆ`ng cˆo a´u d¯ˆo´i ngˆa˜u:

(gf)∗ =f∗g∗.

T`u d¯´o suy r˘a`ng d¯ˆo`ng cˆa´uf :V →W kha’ nghi.ch nˆe´u v`a chı’ nˆe´uf∗ :W∗ → V∗ kha’ nghi.ch, v`a d¯´o

(f∗)−1 = (f−1)∗.

Chu.o.ng III D

- I.NH TH ´U.C V `A HˆE PHU.O.NG TR`INH

TUYˆE´N T´INH

D

- i.nh th´u.c l`a mˆo.t cˆong cu h˜u.u hiˆe.u d¯ˆe’ gia’i c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, v`a g´op phˆ` n gia’i quyˆe´t hˆa ` u hˆe´t c´a ac b`ai to´an d¯i.nh lu.o ng c˜ung nhu d¯i.nh t´ınh D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh

1 C´ac ph´ep thˆe´

D- i.nh ngh˜ıa 1.1 Mˆo˜i song ´anh t`u tˆa.p {1,2, , n} v`ao ch´ınh n´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´ bˆa c n Tˆa.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac ph´ep thˆe´ bˆa.cn d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i Sn

Snc`ung v´o.i ph´ep ho p th`anh c´ac ´anh xa lˆa.p th`anh mˆo.t nh´om, d¯u.o c go.i l`a nh´om

d¯ˆo´i x´u.ng bˆa.c n Nh´om n`ay c´o n! phˆ` n tu.a ’

Nˆe´u σ ∈Sn, ta thu.`o.ng biˆe’u thi n´o du.´o.i da.ng

σ=

 

 n

σ(1) σ(2) σ(n)

  .

Gia’ su.’ x1, x2, , xk l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ d¯ˆoi mˆo.t kh´ac tˆa.p ho p {1,2, , n}

Ta k´y hiˆe.u bo’ i (x 1, x2, , xk) ph´ep thˆe´ gi˜u nguyˆen c´ac phˆ` n tu.a ’ kh´ac x1, x2, , xk,

v`a t´ac d¯ˆo.ng trˆen c´ac phˆa` n tu.’ d¯´o nhu sau:

x1 7→x2, x2 7→x3, , xk−1 7→xk, xk 7→x1.

N´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t x´ıch d¯ˆo d`ai k trˆen tˆa.p nˆe` n {x1, x2, , xk} X´ıch (x1, x2, , xk)

d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t x´ıch cu’a ph´ep thˆe´σ nˆe´u σ t´ac d¯ˆo.ng nhu (x1, x2, , xk) trˆen c´ac

phˆ` n tu.a ’ x1, x2, , xk (Tuy nhiˆen, σ c´o thˆe’ t´ac d¯ˆo.ng khˆong tˆa` m thu.`o.ng trˆen c´ac

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.2 Mo i ph´ep thˆe´σ∈Sn d¯ˆ` u l`e a t´ıch cu’a tˆa´t ca’ c´ac x´ıch kh´ac cu’a

n´o C´ac tˆa p nˆ` n cu’a c´e ac x´ıch n`ay l`a c´ac tˆa p r`o.i cu’a {1,2, , n}.

Ch´u.ng minh: V´o.i mo.ix1 ∈ {1,2, , n}, nˆe´uσ(x1) =x1 th`ı (x1) l`a mˆo.t x´ıch cu’aσ.

Tr´ai la.i, nˆe´uσ(x1)6=x1, ta d¯˘a.tx2 =σ(x1) Gia’ su.’ x1, x2 =σ(x1), , xk=σ(xk−1)

l`a nh˜u.ng phˆ` n tu.a ’ d¯ˆoi mˆo.t kh´ac nhau, c`on σ(xk) tr`ung v´o.i mˆo.t c´ac phˆa` n tu.’

x1, x2, , xk Ta kh˘a’ng d¯i.nh r˘a`ng σ(xk) =x1 Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u σ(xk) =xi v´o.i i > 1,

th`ıσ(xk) = σ(xi−1) Do d¯´o xi−1 = xk D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t r˘a`ng

x1, x2, , xk d¯ˆoi mˆo.t kh´ac Nhu thˆe´ (x1, x2, , xk) l`a mˆo.t x´ıch cu’a σ.

Mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p {1,2, , n} d¯ˆ` u thuˆe o.c mˆo.t tˆa.p con, l`a tˆa.p nˆe` n cu’a mˆo.t x´ıch n`ao d¯´o cu’a σ Hai tˆa.p nhu thˆe´ nˆe´u c´o mˆo.t phˆa`n tu.’ chung th`ı pha’i tr`ung Thˆa.t vˆa.y, phu.o.ng tr`ınh σ(x) = y ho`an to`an x´ac d¯i.nh y theo x v`a x theo y

(do σ l`a mˆo.t song ´anh). 2

D- i.nh ngh˜ıa 1.3 Ph´ep d¯ˆo’i chˆo˜ hai phˆa` n tu.’ kh´ac i, j ∈ {1,2, , n} v`a gi˜u nguyˆen c´ac phˆ` n tu.a ’ kh´ac d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´ so cˆa´p.

N´oi c´ach kh´ac, mˆo.t ph´ep thˆe´ so cˆa´p l`a mˆo.t x´ıch d¯ˆo d`ai b˘a`ng hai: (i, j).

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.4 Mˆo˜i ph´ep thˆe´ cˆa´p n d¯ˆ` u l`e a t´ıch cu’a mˆo t sˆo´ ph´ep thˆe´ so cˆa´p (N´oi kh´ac d¯i, c´ac ph´ep thˆe´ so cˆa´p sinh nh´om Sn.)

Ch´u.ng minh: Ap du.ng Mˆe.nh d¯ˆe´ ` 1.2, ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe` n`ay cho c´ac x´ıch Ta dˆe˜ kiˆe’m tra la.i r˘a`ng

(x1, x2, , xk) = (x1, x2, , xk−1)(xk−1, xk) =· · ·

= (x1, x2)(x2, x3)· · ·(xk−1, xk)

Trong d¯´o, ph´ep thˆe´ o.’ bˆen pha’i t´ac d¯ˆo.ng tru.´o.c 2

D

- i.nh ngh˜ıa 1.5 Dˆa´u cu’a ph´ep thˆe´σ ∈Sn l`a sˆo´ sau d¯ˆay

sgn(σ) = Y

i6=j

σ(i)−σ(j)

i−j ∈ {±1}.

Ta go.i c˘a.p sˆo´{i, j} ⊂ {1,2, , n} l`a mˆo.tnghi.ch thˆe´cu’a σ nˆe´u σ(i)−σ(j) tr´ai dˆa´u v´o.i i−j, t´u.c l`a nˆe´u σ(i)i−−σj(j) <0 Nhu vˆa.y, sgn(σ) b˘a`ng +1 hay −1 tu`y theo sˆo´ nghi.ch thˆe´ cu’a σ l`a ch˘a˜n hay le’

V´ı du : σ =

 



2

 

 c´o ba nghi.ch thˆe´ l`a {1,4}, {2,4} v`a {3,4}, cho nˆen sgn(σ) = −1

D- i.nh ngh˜ıa 1.6 σ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´ ch˘a˜nnˆe´u sgn(σ) = 1, n´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´ le’ nˆe´u sgn(σ) = −1

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.7 Mˆo˜i ph´ep thˆe´ so cˆa´p d¯ˆe` u l`a mˆo t ph´ep thˆe´ le’.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ i < j v`a τ =

 

 i j n

1 j i n

  . Khi d¯´o, tˆa´t ca’ c´ac nghi.ch thˆe´ cu’a τ l`a

{i, k} v´o.i mo.i k m`ai < k ≤j {`, j} v´o.i mo.i ` m`a i < ` < j.

Vˆa.yτ c´o tˆa´t ca’ (j−i) + (j−i−1) = 2(j−i)−1 nghi.ch thˆe´, d¯´o τ l`a mˆo.t ph´ep

thˆe´ le’ 2

D- i.nh l´y 1.8

sgn(λµ) = sgn(λ)sgn(µ), v´o.i mo i λ, µ∈Sn.

Ch´u.ng minh: V`ıµl`a mˆo.t song ´anh, cho nˆen khi {i, j}cha.y mˆo.t lˆa` n qua mo.i c˘a.p (khˆong c´o th´u tu. ) trong{1,2, , n}th`ı{µ(i), µ(j)}c˜ung cha.y mˆo.t lˆa` n qua mo.i c˘a.p nhu thˆe´ Do d¯´o

sgn(λ) = Y

i6=j

λ(i)−λ(j) i−j =

Y

i6=j

Ta c´o

sgn(λµ) = Y

i6=j

λ(µ(i))−λ(µ(j)) i−j

= Y

i6=j

λ(µ(i))−λ(µ(j)) µ(i)−µ(j)

Y

i6=j

µ(i)−µ(j)

i−j = sgn(λ)sgn(µ).2

Hˆe qua’ 1.9 Mˆo t ph´ep thˆe´ l`a ch˘a˜n hay le’ tu`y theo n´o l`a t´ıch cu’a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n hay le’ c´ac ph´ep thˆe´ so cˆa´p.

Nhˆa.n x´et: C´o nhiˆ` u c´e ach viˆe´t mˆo.t ph´ep thˆe´ th`anh t´ıch c´ac ph´ep thˆe´ so cˆa´p, ch˘a’ng ha.n (i, j) = (i, j)3 Nhu.ng t´ınh ch˘a˜n le’ cu’a sˆo´ nhˆan tu.’ t´ıch l`a khˆong thay d¯ˆo’i.

2 D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n

Cho mˆo.t ma trˆa.n vuˆong A= (aij)n×n v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ tru.`o.ngK

D

- i.nh ngh˜ıa 2.1 - i.nh th´u.cD cu’a ma trˆa.n A, d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i det A ho˘a.c |A|, l`a phˆ` n tu.a ’ sau d¯ˆay cu’a tru.`o.ngK

detA=|A|= X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(n)n.

Nˆe´u A l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´pn th`ı detA d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t d¯i.nh th´u.c cˆa´p n. Tˆo’ng o.’ vˆe´ pha’i cu’a d¯˘a’ng th´u.c trˆen c´o tˆa´t ca’|Sn|=n! sˆo´ ha.ng

V´ı du : (a) D- i.nh th´u.c cˆa´p 1:

det(a) =a, ∀a∈K.

(b) D- i.nh th´u.c cˆa´p 2: det

 

 a11 a12

a21 a22

 

(c)D- i.nh th´u.c cˆa´p 3: det       

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

      

= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23

−a11a32a23−a21a12a33−a31a22a13.

Trˆen thu. c tˆe´ ngu.`o.i ta khˆong tru. c tiˆe´p d`ung d¯i.nh ngh˜ıa d¯ˆe’ t´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c cˆa´p n > 3, v`ı viˆe.c n`ay qu´a ph´u.c ta.p Du.´o.i d¯ˆay, ch´ung ta s˜e t`ım hiˆe’u nh˜u.ng t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a d¯i.nh th´u.c T`u d¯´o, ta s˜e nhˆa.n d¯u.o c nh˜u.ng phu.o.ng ph´ap t´ınh d¯i.nh th´u.c hiˆe.u qua’ v`a tiˆe´t kiˆe.m s´u.c lao d¯ˆo.ng ho.n so v´o.i c´ach tru c tiˆe´p d`ung d¯i.nh ngh˜ıa Go.i αj ∈Kn l`a v´ecto cˆo.t th´u.j cu’a ma trˆa.n A, v`a coi detA l`a mˆo.t h`am cu’a c´ac

v´ecto.α1, , αn Ta viˆe´t

detA= det(α1, , αn)

D

- i.nh th´u.c c´o t´ınh chˆa´t co ba’n du.´o.i d¯ˆay

T´ınh chˆa´t (D- a tuyˆe´n t´ınh): D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n l`a mˆo.t h`am tuyˆe´n t´ınh v´o.i mˆo˜i cˆo.t cu’a n´o, cˆo´ d¯i.nh c´ac cˆo.t kh´ac T´u.c l`a:

det(α1, , aαj+bβj, , αn) =adet(α1, , αj, , αn) +bdet(α1, , βj, , αn),

v´o.i mo.i a, b∈K, α1, , αj, βj, , αn∈Kn,j = 1, , n

Ch´u.ng minh: K´y hiˆe.u

αj =

         

a1j

. . anj          

, βj =

         

b1j

. . bnj           .

Ta c´o

det(α1, , aαj +bβj, , αn) =

X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·(aaσ(j)j+bbσ(j)j)· · ·aσ(n)n

= a X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(j)j· · ·aσ(n)n

+b X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·bσ(j)j· · ·aσ(n)n

T´ınh chˆa´t (Thay phiˆen): Nˆe´u ma trˆa.n vuˆong A c´o hai cˆo.t b˘a`ng nhau, th`ı detA=

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ αi =αj v´o.i i < j, t´u.c l`a aki = akj(1≤ k ≤ n Theo d¯i.nh

ngh˜ıa

detA = X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(i)i· · ·aσ(j)j· · ·aσ(n)n.

Ta gh´ep c´ac sˆo´ ha.ng tˆo’ng th`anh t`u.ng c˘a.p

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(i)i· · ·aσ(j)j· · ·aσ(n)n

v´o.i sgn(σ0)aσ(1)1· · ·aσ(j)i· · ·aσ(i)j· · ·aσ(n)n,

trong d¯´o σ0 =τ σ, o.’ d¯ˆay τ l`a ph´ep thˆe´ so cˆa´p d¯ˆo’i chˆo˜ σ(i) v`a σ(j) Hiˆe’n nhiˆen ta c´o

sgn(σ0) = −sgn(σ),

aσ(1)1· · ·aσ(i)i· · ·aσ(j)j· · ·aσ(n)n = aσ(1)1· · ·aσ(j)i· · ·aσ(i)j· · ·aσ(n)n.

Nhu thˆe´ detA l`a mˆo.t tˆo’ng c´o c´ac c˘a.p sˆo´ ha.ng d¯ˆo´i Vˆa.y detA= 2

T´ınh chˆa´t (Chuˆa’n ho´a): D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n d¯o.n vi b˘a`ng 1:

detEn= det

         

1 0 . . . 0

         

=

Ch´u.ng minh: K´y hiˆe.u eij chı’ phˆ` n tu.a ’ n˘`m o.a ’ h`ang i cˆo.t j cu’a En Ta c´o

eij =

    

1 nˆe´u i=j, nˆe´u i6=j. Theo d¯i.nh ngh˜ıa

detEn=

X

σ∈Sn

Tˆo’ng n`ay chı’ c´o d¯´ung mˆo.t sˆo´ ha.ng kh´ac khˆong, ´u.ng v´o.i ph´ep thˆe´ d¯ˆo`ng nhˆa´t σ(1) = 1, , σ(n) = n Dˆa´u cu’a ph´ep thˆe´ n`ay b˘a`ng Nhu vˆa.y

detEn= 1·1· · ·1 = 2

Nhˆa.n x´et 2.2 Trong tiˆe´t sau ta s˜e ch´u.ng to’ r˘a`ng d¯i.nh th´u.c l`a h`am nhˆa´t trˆen c´ac ma trˆa.n vuˆong c´o t´ınh chˆa´t n´oi trˆen.

Hˆe qua’ 2.3 (i) (T´ınh pha’n d¯ˆo´i x´u.ng cu’a d¯i.nh th´u.c) Nˆe´u d¯ˆo’i chˆo˜ hai cˆo.t cu’a mˆo t ma trˆa n th`ı d¯i.nh th´u.c cu’a n´o d¯ˆo’i dˆa´u:

det( , αi, , αj, ) =−det( , αj, , αi, ).

(ii) Nˆe´u c´ac v´ecto cˆo t cu’a mˆo t ma trˆa n phu thuˆo c tuyˆe´n t´ınh th`ı d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa n b˘a`ng khˆong N´oi riˆeng, nˆe´u ma trˆa.n c´o mˆo.t cˆo.t b˘a`ng 0th`ı d¯i.nh th´u.c cu’a n´o b˘a`ng

(iii) Nˆe´u thˆem v`ao mˆo t cˆo t cu’a ma trˆa n mˆo t tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac cˆo t kh´ac th`ı d¯i.nh th´u.c cu’a n´o khˆong thay d¯ˆo’i.

Ch´u.ng minh: (i) Theo c´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a d¯i.nh th´u.c, ta c´o = det( , αi +αj, , αi+αj, )

= det( , αi, , αi, ) + det( , αj, , αj, )

+ det( , αi, , αj, ) + det( , αi, , αj, ).

Hai d¯i.nh th´u.c d¯ˆa`u tiˆen cu’a vˆe´ pha’i b˘a`ng 0, t´ınh thay phiˆen cu’a d¯i.nh th´u.c T`u d¯´o ta thu d¯u.o. c

det( , αi, , αj, ) =−det( , αj, , αi, ).

(ii) Gia’ su.’ cˆo.tj cu’a ma trˆa.nA l`a mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆ e´n t´ınh cu’a c´ac cˆo.t c`on la.i: αj =

X

i6=j

Theo t´ınh chˆa´t d¯a tuyˆe´n t´ınh cu’a d¯i.nh th´u.c, ta c´o detA =X

i6=j

aidet( , αi, , αi, ).

Mˆo˜i d¯i.nh th´u.c o.’ vˆe´ pha’i d¯ˆe` u c´o hai cˆo.t b˘a`ng nhau, v`ı thˆe´ detA= (iii) Theo phˆ` n (ii) ta c´a o

det(α1, , αj +

P

i6=jaiαi, , αn)

= det(α1, , αj, , αn) + det(α1, ,

P

i6=jaiαi, , αn)

= det(α1, , αj, , αn) +

= det(α1, , αj, , αn) 2

Trong §5 ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac t´ınh chˆa´t cu’a d¯i.nh th´u.c d¯ˆo´i v´o.i c´ac h`ang c˜ung tu.o.ng tu. c´ac t´ınh chˆa´t cu’a d¯i.nh th´u.c d¯ˆo´i v´o.i c´ac cˆo.t, nhu d¯˜a n´oi hˆe qua’ trˆen Mˆo.t phu.o.ng ph´ap t´ınh d¯i.nh th´u.c c´o hiˆe.u qua’ l`a ´u.ng du.ng nh˜u.ng t´ıch chˆa´t d¯´o d¯ˆe’ biˆe´n d¯ˆo’i ma trˆa.n th`anh mˆo.t ma trˆa.n tam gi´ac c´o c`ung d¯i.nh th´u.c Ch´ung ta s˜e t´ınh d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n tam gi´ac v´ı du sau d¯ˆay

V´ı du : Ma trˆa.n A d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ma trˆa n tam gi´ac trˆen nˆe´u n´o c´o da.ng

A =

         

a11 a12 a1n

0 a22 a2n

. . . 0 ann

         

,

trong d¯´o aij = v´o.i i > j Tu.o.ng tu. , A d¯u.o c go.i l`a mˆo.t ma trˆa n tam gi´ac du.´o.i

nˆe´u aij = v´o.i i < j Ma trˆa.n tam gi´ac trˆen v`a ma trˆa.n tam gi´ac du.´o.i d¯u.o c go.i

chung l`a ma trˆa n tam gi´ac.

Ch´u.ng minh r˘a`ng, nˆe´u A l`a mˆo.t ma trˆa.n tam gi´ac cˆa´p n th`ı detA =a11a22· · ·ann.

ta c´o

detA= X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(n)n.

V`ıA l`a mˆo.t ma trˆa.n tam gi´ac trˆen, nˆen d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ aσ(1)1 c´o thˆe’ kh´ac khˆong l`a

σ(1) ≤1, d¯´oσ(1) = Gia’ su.’ quy na.p r˘a`ng d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ aσ(1)1· · ·aσ(i−1)i−1 c´o

thˆe’ kh´ac khˆong l`a σ(1) = 1, , σ(i−1) = i−1 Khi d¯´o, aσ(1)1· · ·aσ(i)i chı’ c´o thˆe’

kh´ac khˆong nˆe´u σ(1) = 1, , σ(i−1) = i−1 v`a σ(i) ≤ i V`ıσ l`a mˆo.t song ´anh, nˆen d¯iˆ` u kiˆe.n n´oi trˆen k´eo theoe σ(i) =i Nhu thˆe´, sˆo´ ha.ng nhˆa´t c´o kha’ n˘ang kh´ac khˆong detA l`a sˆo´ ha.ng ´u.ng v´o.i ph´ep thˆe´ d¯ˆo`ng nhˆa´t

σ(1) = 1, σ(2) = 2, , σ(n) =n.

Hiˆe’n nhiˆen, dˆa´u cu’a ph´ep thˆe´ d¯´o b˘a`ng (v`ı n´o khˆong c´o nghi.ch thˆe´ n`ao ca’) T`u. d¯´o suy

detA =a11a22· · ·ann.

3 Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen´

D- i.nh ngh˜ıa 3.1 Gia’ su.’ V v`aW l`a c´ac khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K ´Anh xa. ϕ :V| × · · · ×{z V}

k lˆ` na

→W

d¯u.o. c go.i l`ad¯a tuyˆe´n t´ınh(hay n´oi r˜o ho.n: k-tuyˆe´n t´ınh) nˆe´u n´o tuyˆe´n t´ınh v´o.i t`u.ng th`anh phˆ` n t´ıcha V × · · · ×V cˆo´ d¯i.nh c´ac th`anh phˆa` n c`on la.i, t´u.c l`a nˆe´u

ϕ(α1, , aαi +bβi, , αk) =aϕ(α1, , αi, , αk) +bϕ(α1, , βi, , αk),

v´o.i mo.i a, b∈K, α1, , αk, βi ∈V v`a v´o.i mo.i i= 1, , k

Nˆe´u W =Kth`ıϕ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tda ng k-tuyˆe´n t´ınh trˆen V

V´ı du : Gia’ su.’ ϕ1, , ϕk :V →K l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khi d¯´o

ϕ :V| × · · · ×{z V}

k lˆ` na

→ K

l`a mˆo.t da.ng k-tuyˆe´n t´ınh trˆen V

D- i.nh ngh˜ıa 3.2 Anh xa.´ k-tuyˆe´n t´ınhϕ:V × · · · ×V →W d¯u.o. c go.i l`athay phiˆen nˆe´u

ϕ(α1, , αi, , αj, , αk) = 0,

khi αi =αj, v´o.i c˘a.p chı’ sˆo´i6=j n`ao d¯´o

V´ı du :

(a) ´Anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t khˆong :V × · · · ×V →W l`a k-tuyˆe´n t´ınh v`a thay phiˆen (b) D- i.nh th´u.c det :Kn× · · · ×Kn→K l`a mˆo.t h`amn-tuyˆe´n t´ınh v`a thay phiˆen

Mˆe.nh d¯ˆe` 3.3 Gia’ su.’ ϕ l`a mˆo t ´anh xa. k-tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen Khi d¯´o (i) ϕ c´o t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´u.ng, t´u.c l`a

ϕ(α1, , αi, , αj, , αk) = −ϕ(α1, , αj, , αi, , αk),

v´o.i mo i α1, , αk ∈V v`a mo i c˘a p chı’ sˆo´i6=j.

(ii) Nˆe´u hˆe. α1, , αk phu thuˆo c tuyˆe´n t´ınh th`ı

ϕ(α1, , αk) =

Ch´u.ng minh: Mˆe.nh d¯ˆe` d¯u.o. c ch´u.ng minh b˘a`ng c´ach l˘a.p la.i c´ac lˆa.p luˆa.n

ch´u.ng minh Hˆe qua’ 2.3. 2

Nhˆa.n x´et 3.4 Nˆe´u Char(K)6= th`ı mˆo.t ´anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınhϕ:V×· · ·×V →W l`a thay phiˆen v`a chı’ n´o pha’n d¯ˆo´i x´u.ng Thˆa.t vˆa.y, theo mˆe.nh d¯ˆe` trˆen, t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´u.ng l`a hˆe qua’ cu’a t´ınh thay phiˆen Ngu.o c la.i, gia’ su.’ϕ pha’n d¯ˆo´i x´u.ng, t´u.c l`a

v´o.i mo.i α1, , αk∈V v`a mo.i c˘a.p chı’ sˆo´i6=j Lˆa´y αi =αj, ta c´o

ϕ(α1, , αi, , αi, , αk) = −ϕ(α1, , αi, , αi, , αk)

T`u d¯´o 2ϕ(α1, , αi, , αi, , αk) = V`ı Char(K)6= cho nˆen d¯˘a’ng th´u.c trˆen k´eo

theo

ϕ(α1, , αi, , αi, , αk) =

D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`aϕ c´o t´ınh thay phiˆen

Nˆe´u Char(K) = th`ı t´ınh thay phiˆen ma.nh ho.n t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´u.ng

Kh´ai niˆe.m d¯i.nh th´u.c nhu mˆo.t h`am d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen cu’a c´ac v´ecto cˆo.t cu’a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong d¯u.o c tˆo’ng qu´at ho´a nhu sau

Gia’ su.’ dimV =nv`aε= (ε1, , εn) l`a mˆo.t co so.’ cu’aV Gia’ su.’ αj =

Pn

i=1aijεi,

n´oi c´ac kh´ac

(α1 αn) = (ε1 εn)A,

trong d¯´oA = (aij)n×n

D- i.nh ngh˜ıa 3.5 Ta go.i detA l`a d¯i.nh th´u.c cu’a hˆe v´ecto. α1, , αn trong co so.’ ε

(hay d¯ˆo´i v´o.i co so.’ ε), v`a k´y hiˆe.u l`a detε(α1, , αn)

Nhu vˆa.y

detε(α1, , αn) = detA=

X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(n)n,

trong d¯´oαj =

Pn

i=1aijεi

Theo§2 th`ı detε l`a mˆo.t da.ng n-tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen trˆenV

K´y hiˆe.u bo’ i Λ n(V)∗ tˆ

a.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac da.ng n-tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen trˆen V N´o lˆa.p nˆen mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆenK d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ´anh xa v`a nhˆan ´anh xa. v´o.i vˆo hu.´o.ng d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

(ϕ+ψ)(α1, , αn) = ϕ(α1, , αn) +ψ(α1, , αn),

(aϕ)(α1, , αn) = aϕ(α1, , αn),

D

- i.nh l´y 3.6 Nˆe´u dimV =n th`ıdim Λn(V)∗ = Ho.n n˜u.a, nˆe´u ε= (ε1, , εn) l`a

mˆo t co so.’ cu’a V, th`ı(detε) l`a mˆo t co so.’ cu’a Λn(V)∗.

Ch´u.ng minh: Ta d¯˜a biˆe´t detε ∈ Λn(V)∗ Gia’ su.’ ϕ ∈ Λn(V)∗ V´o.i mo.i αj =

Pn

i=1aijεi (j = 1, , n), ta c´o

ϕ(α1, , αn) = ϕ( n

X

i1

ai11εi1, ,

n

X

in

ainnεin)

= X

i1, ,in

ai11· · ·ainnϕ(εi1, , εin)

Nˆe´u c´o hai c´ac chı’ sˆo´i1, , in b˘a`ng nhau, th`ı sˆo´ ha.ng tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng 0,

ϕ c´o t´ınh thay phiˆen V`ı vˆa.y, tˆo’ng chı’ cˆa` n lˆa´y trˆen c´ac bˆo chı’ sˆo´i1, , in d¯ˆoi mˆo.t

kh´ac Khi d¯´o, mˆo˜i bˆo chı’ sˆo´i1, , in x´ac d¯i.nh mˆo.t ph´ep thˆe´σ ∈Sn bo.’ i cˆong

th´u.c

σ(1) =i1, σ(2) =i2, , σ(n) = in.

Do ϕ c´o t´ınh pha’n d¯ˆo´i x´u.ng, nˆen

ϕ(εi1, , εin) =ϕ(εσ(1), , εσ(n)) = sgn(σ)ϕ(ε1, , εn) T`u d¯´o

ϕ(α1, , αn) =

X

σ∈Sn

sgn(σ)aσ(1)1· · ·aσ(n)nϕ(ε1, , εn)

= ϕ(ε1, , εn)detε(α1 αn)

Nhu thˆe´, ϕ sai kh´ac detε mˆo.t nhˆan tu’.ϕ(ε1, , εn) ∈ K Vˆa.y detε l`a mˆo.t hˆe sinh

cu’a khˆong gian Λn(V)∗ Do t´ınh chuˆa’n ho´

a cu’a d¯i.nh th´u.c, nˆen detε 6= V`ı thˆe´,

hˆe gˆo`m mˆo.t v´ecto (detε) l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian v´ecto Λn(V)∗. 2

Ch´u.ng minh: Cho.n e = (e1, , en) l`a hˆe co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’a Kn Nˆe´u coi d¯i.nh

th´u.c cu’a ma trˆa.n A l`a mˆo.t h`am cu’a c´ac v´ecto cˆo.tα1, , αn cu’a n´o, th`ı

detA= dete(α1, , αn)

N´oi c´ach kh´ac det = dete

Gia’ su.’ ϕ : M(n×n,K) →K l`a mˆo.t h`am d¯a tuyˆe´n t´ınh, thay phiˆen v`a chuˆa’n ho´a theo ngh˜ıa d¯˜a n´oi o.’ §2 Ta c˜ung coi ϕ(A) l`a h`am cu’a c´ac cˆo.t cu’a A, nhu vˆa.y ϕ∈Λn(Kn)∗ Theo D- i.nh l´y 3.6,

ϕ =ϕ(e1, , en)dete=ϕ(e1, , en) det.

Nhu.ng ϕ d¯u.o. c chuˆa’n ho´a, t´u.c l`a ϕ(e1, , en) = 1, cho nˆenϕ = det 2

Hˆe qua’ 3.8 detA6= 0nˆe´u v`a chı’ nˆe´u c´ac v´ecto cˆo t cu’aA d¯ˆo c lˆa p tuyˆe´n t´ınh trong

Kn.

Ch´u.ng minh: Nˆe´u c´ac v´ecto cˆo.t α1, , αn cu’a A phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, th`ı theo

Hˆe qua’ 2.3 ta c´o det(α1, , αn) =

Ngu.o. c la.i, gia’ su’.α1, , αn d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Khi d¯´o α = (α1, , αn) l`a mˆo.t

co so.’ cu’aKn Go.i e= (e1, , en) l`a co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’aKn Khi d¯´o det = dete lˆa.p

nˆen mˆo.t co so.’ cu’a Λn(Kn)∗ Ta c´o

detα =cdet, (c∈K)

Do d¯´o cdet(α1, , αn) = detα(α1, , αn) = detEn = Vˆa.y

detA= det(α1, , αn)6= 2

4 D- i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo` ng cˆa´u Mˆo˜i phˆa` n tu.’ ϕ∈Λn(V)∗ c´o thˆe’ d¯u.o.

c coi l`a mˆo.t ph´ep d¯o “thˆe’ t´ıch” c´o hu.´o.ng V Cu thˆe’, ϕ(α1, , αn) d¯u.o c xem nhu.“thˆe’ t´ıch” cu’a h`ınh hˆo p n chiˆ` ue tu a trˆen

V´o.i quan d¯iˆe’m d¯´o th`ı d¯i.nh th´u.c cu’a mˆo.t tu d¯ˆo`ng cˆa´u f : V → V ch´ınh l`a hˆe. sˆo´ gi˜an no.’ thˆe’ t´ıch cu’a c´ac h`ınh hˆo.p n-chiˆ` u sau ph´ep biˆe´n d¯ˆe o’i f D- i.nh l´y sau d¯ˆay n´oi r˜o d¯iˆ` u d¯´e o

D- i.nh l´y 4.1 Gia’ su.’ f ∈End(V), d¯´o V l`a mˆo t K-khˆong gian v´ecto. n chiˆ` u.e Khi d¯´o, c´o nhˆa´t mˆo t phˆ` n tu.a ’ d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a det(f)∈K sao cho

ϕ(f(α1), , f(αn)) = det(f)ϕ(α1, , αn),

v´o.i mo iϕ ∈Λn(V)∗ v`a mo

i α1, , αn∈V.

D- i.nh ngh˜ıa 4.2 Ta go.i det(f) l`a d¯i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u f.

Ch´u.ng minh D- i.nh l´y 4.1. Cho.n bˆa´t k`y mˆo.t phˆa` n tu.’ η 6= Λn(V)∗ V`ı

dim Λn(V)∗ = 1, cho nˆen (η) l`a mˆ

o.t co so.’ cu’a Λn(V)∗.

X´et ´anh xa. θ :V| × · · · ×{z V}

n lˆ` na

→K x´ac d¯i.nh nhu sau

θ(α1, , αn) =η(f(α1), , f(αn))

V`ıf tuyˆe´n t´ınh, v`a η d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen, nˆen θ c˜ung l`a d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen, t´u.c l`a θ ∈Λn(V)∗ Nhu vˆ

a.y, c´o d∈K cho θ=dη.

M˘a.t kh´ac, v`ı (η) l`a mˆo.t co so.’ cu’a Λn(V)∗, cho nˆen v´o.i mo.i ϕ ∈ Λn(V)∗ ta c´o ϕ =cη v´o.i mˆo.t vˆo hu.´o.ng n`ao d¯´o c∈K Do d¯´o

ϕ(f(α1), , f(αn)) = cη(f(α1), , f(αn)) =cθ(α1, , αn)

= cdη(α1, , αn) = dϕ(α1, , αn)

D

- ˘a’ng th´u.c n´oi d¯i.nh l´y d¯u.o c nghiˆe.m d¯´ung d¯ˆo´i v´o.i h˘a`ng sˆo´ det(f) =d khˆong phu thuˆo.c ϕ Nhu vˆa.y, ta d¯˜a chı’ su tˆ `n ta.i cu’a det(o f).

D

k´eo theoθ = det(f)η Do biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh cu’a θ qua co so.’ (η) l`a nhˆa´t, nˆen

det(f) x´ac d¯i.nh nhˆa´t. 2

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay cho thˆa´y mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a d¯i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u v´o.i d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n, d¯ˆo`ng th`o.i chı’ mˆo.t phu.o.ng ph´ap d¯ˆe’ t´ınh d¯i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆ`ng cˆo a´u

D

- i.nh l´y 4.3 Nˆe´u tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f :V →V c´o ma trˆa n l`a A trong mˆo t co so.’ n`ao d¯´o cu’a V, th`ıdet(f) = detA.

Ch´u.ng minh: Go.iε= (ε1, , εn) l`a co so.’ cu’a khˆong gianV d¯´of c´o ma trˆa.n

l`a A Ta c´o f(εj) =

Pn

i=1aijεi N´oi c´ach kh´ac

(f(ε1) f(εn)) = (ε1 εn)A

Cho.n ϕ = detε∈Λn(V), v`a ´ap du.ng D- i.nh l´y 4.1, ta c´o

det(f) = det(f) detEn= det(f)detε(ε1, , εn)

= detε(f(ε1), , f(εn)) = detA. 2

Hˆe qua’ 4.4 Nˆe´u A v`a B l`a c´ac ma trˆa n cu’a tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u f :V →V trong nh˜u.ng co so.’ kh´ac nhau, th`ıdetA= detB.

D- i.nh l´y 4.5 (i) detidV =

(ii) det(gf) = det(g) det(f), ∀f, g ∈End(V)

N´oi riˆeng, nˆe´u f kha’ nghi.ch th`ıdet(f−1) = (det(f))−1.

Ch´u.ng minh: (i) D- ˆo´i v´o.i mˆo˜i ϕ∈Λn(V)∗, ta c´o

ϕ(idV(α1), , idV(αn)) = 1·ϕ(α1, , αn),

v´o.i mo.i α1, , αn ∈ V Do d¯´o, theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u,

(ii) Nˆe´u ϕ ∈Λn(V)∗, th`ı

det(gf)ϕ(α1, , αn) = ϕ(gf(α1), , gf(αn))

= det(g)ϕ(f(α1), , f(αn))

= det(g) det(f)ϕ(α1, , αn),

v´o.i mo.i α1, , αn∈V Do d¯´o det(gf) = det(g) det(f)

Nˆe´u f kha’ nghi.ch th`ı tˆo`n ta.i f−1 ∈ End(V) cho f f−1 = id

V T`u d¯´o

det(f) det(f−1) = det(f f−1) = det(id

V) = Hˆe qua’ l`a det(f−1) = (det(f))−1 2

D- i.nh l´y 4.6 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f :V →V l`a mˆo t d¯˘a’ng cˆa´u nˆe´u v`a chı’ nˆe´u det(f)6=

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ ε= (ε1, , εn) l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian v´ecto.V Go.iC

l`a ma trˆa.n cu’a f co so.’ d¯´o:

(f(ε1) f(εn)) = (ε1 εn)C

N´oi c´ach kh´ac, C l`a ma trˆa.n m`a v´ecto cˆo.t th´u.j cu’a n´o l`a v´ecto toa d¯ˆo cu’a f(εj)

trong co so.’ (ε1, , εn)

Ta c´o

det(f) = det(f) detEn= det(f)detε(ε1, , εn)

= detε(f(ε1), , f(εn)) = detC.

Nhˆa.n x´et r˘a`ng, f l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u (f(ε1), , f(εn))

l`a mˆo.t hˆe v´ecto d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh D- iˆe` u n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i su. kiˆe.n hˆe v´ecto cˆo.t cu’a C d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, t´u.c l`a tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i detC= det(f)6= 2

5 C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´u.c

Tiˆe´t n`ay d`anh d¯ˆe’ nghiˆen c´u.u sˆau thˆem c´ac t´ınh chˆa´t cu’a d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n

(i) det(AB) = detAdetB.

(ii) A kha’ nghi.ch nˆe´u v`a chı’ nˆe´u detA 6= Ho.n n˜u.a det(A−1) = (detA)−1.

Ch´u.ng minh: (i) l`a mˆo.t hˆe qua’ cu’a c´ac D- i.nh l´y 4.3 v`a 4.5 (ii) l`a mˆo.t hˆe qua’ cu’a D- i.nh l´y 4.6 v`a cu’a phˆa`n (i)

D- i.nh l´y 5.2 (D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n chuyˆe’n vi.)

det(At) = detA, ∀A∈M(n×n,K)

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ A= (aij)n×n, At= (atij)n×n Theo d¯i.nh ngh˜ıa d¯i.nh th´u.c, ta

c´o

det(At) = X

σ∈Sn

sgn(σ)atσ(1)1· · ·atσ(n)n

= X

σ∈Sn

sgn(σ)a1σ(1)· · ·anσ(n).

Nˆe´uk =σ(j), th`ıj =σ−1(k), v`aajσ(j)=aσ−1(k)k D- ˘a.tω =σ−1 Bo.’ i v`ıωσ =id,

cho nˆen sgnω = sgnσ Ho.n n˜u.a, σ cha.y mˆo.t lu.o t trˆen Sn th`ı σ−1 c˜ung cha.y

mˆo.t lu.o t trˆenSn Do d¯´o

det(At) = X

ω∈Sn

sgn(ω)aω(1)1· · ·aω(n)n

= detA (theo d¯i.nh ngh˜ıa). 2

Theo d¯i.nh l´y trˆen, tˆa´t ca’ c´ac t´ınh chˆa´t cu’a d¯i.nh th´u.c d¯ˆo´i v´o.i c´ac cˆo.t cu’a n´o vˆa˜n d¯´ung d¯ˆo´i v´o.i c´ac h`ang cu’a n´o Ch˘a’ng ha.n, d¯i.nh th´u.c l`a mˆo.t h`am d¯a tuyˆe´n t´ınh, thay phiˆen v`a chuˆa’n ho´a d¯ˆo´i v´o.i c´ac h`ang cu’a n´o

ChoA= (aij)∈M(n×n,K) v`ak l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen bˆa´t k`y thoa’ m˜an 1≤k < n.

X´et hai bˆo chı’ sˆo´

1≤i1 < i2 <· · ·< ik ≤n,

1≤j1 < j2 <· · ·< jk ≤n.

C´ac phˆ` n tu.a ’ n˘a`m trˆen giao cu’a c´ac h`ang i1, , ik v`a c´ac cˆo.t j1, , jk cu’a ma trˆa.n

A lˆa.p nˆen mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p k (d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ma trˆa.n cˆa´pk cu’a A), v`a d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n d¯´o, d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a Dj1, ,jk

i1, ,ik, d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯i.nh th´u.c cˆa´p k cu’a A.

Nˆe´u xo´a tˆa´t ca’ c´ac h`ang i1, , ik v`a c´ac cˆo.t j1, , jk th`ı phˆ` n c`a on la.i cu’a ma

trˆa.n A lˆa.p nˆen mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n−k, m`a d¯i.nh th´u.c cu’a n´o d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a Dj1, ,jk

i1, ,ik v`a d¯u.o c go.i l`a d¯i.nh th´u.c b`u cu’a D

j1, ,jk

i1, ,ik Ta go.i (−1)s(I,J)Dj1, ,jk

i1, ,ik l`a phˆ` n b`a u d¯a.i sˆo´ cu’aD

j1, ,jk

i1, ,ik, d¯´o s(I, J) = (i1+ · · ·+ik) + (j1+· · ·+jk)

D- i.nh l´y 5.3 (Khai triˆe’n Laplace) Gia’ su.’ d¯˜a cho n ra k cˆo t (tu.o.ng ´u.ng, k h`ang) trong mˆo t d¯i.nh th´u.c cˆa´p n (1 ≤ k < n) Khi d¯´o, d¯i.nh th´u.c d¯˜a cho b˘a`ng tˆo’ng cu’a tˆa´t ca’ c´ac t´ıch cu’a c´ac d¯i.nh th´u.c cˆa´p k lˆa´y t`u.k cˆo t (tu.o.ng ´u.ng,k h`ang) d¯˜a cho n v´o.i phˆ` n b`a u d¯a i sˆo´ cu’a ch´ung N´oi r˜o ho.n, ta c´o:

(i) Cˆong th´u.c khai triˆe’n d¯i.nh th´u.c theo k cˆo t j1 <· · ·< jk:

detA= X

i1<···<ik

(−1)s(I,J)Dj1, ,jk

i1, ,ikD

j1, ,jk

i1, ,ik; (ii) Cˆong th´u.c khai triˆe’n d¯i.nh th´u.c theo k h`ang i1 <· · ·< ik:

detA= X

j1<···<jk

(−1)s(I,J)Dj1, ,jk

i1, ,ikD

j1, ,jk

i1, ,ik.

Ch´u.ng minh: Ta s˜e chı’ ch´u.ng minh cˆong th´u.c khai triˆe’n Laplace theo k h`ang T`u d¯´o, ´ap du.ng D- i.nh l´y 5.2, ta thu d¯u.o c cˆong th´u.c khai triˆe’n theo k cˆo.t.

K´y hiˆe.u v´ecto cˆo.t th´u.j cu’a ma trˆa.n A l`aαj V´o.i mˆo˜i bˆo chı’ sˆo´ ≤j1 <· · ·<

jk ≤ n, ta go.i j10, , j`0 l`a bˆo chı’ sˆo´{1,2, , n}\{j1, , jk} d¯u.o c xˆe´p theo th´u tu

t˘ang dˆ` n:a

1≤j10 <· · ·< j`0 ≤n. X´et h`am sau d¯ˆay

η(A) =η(α1, , αn) =

X

j1<···<jk

(−1)s(I,J)Dj1, ,jk

1, ,k D j1, ,jk

1, ,k .

Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ngη l`a mˆo.t h`am d¯a tuyˆe´n t´ınh d¯ˆo´i v´o.iα1, , αn

Nˆe´u A = En (ma trˆa.n d¯o.n vi.), th`ıD1j1, ,k, ,jk 6= nˆe´u v`a chı’ nˆe´u j1 = 1, j2 =

2, , jk =k Khi d¯´o D

1, ,k

1, ,k = v`a D

1, ,k

1, ,k = Do d¯´o, η c´o t´ınh chuˆa’n ho´a, t´u.c l`a

η(En) =

Ta s˜e ch´u.ng minh η c´o t´ınh thay phiˆen

Tru.´o.c hˆe´t gia’ su.’ αr =αr+1 Lˆa´y mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆa´t k`y tˆo’ng x´ac d¯i.nh η, nˆe´u

jt =r, jt+1 =r+ th`ıD

j1, ,jk

1, ,k = 0; c`on nˆe´u ju0 = r, ju0+1 =r+ th`ıD

j1, ,jk

1, ,k =

(trong ca’ hai tru.`o.ng ho. p, d¯i.nh th´u.c tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng v`ı c´o hai cˆo.t b˘a`ng nhau). C´ac sˆo´ ha.ng c`on la.i d¯u.o c gh´ep th`anh t`u.ng c˘a.p: sˆo´ ha.ng c´o jt=r, ju0 =r+ d¯u.o c

gh´ep v´o.i sˆo´ ha.ng c´o jt = r+ 1, ju0 = r (c´ac chı’ sˆo´ kh´ac cu’a hai sˆo´ ha.ng n`ay nhu

nhau) Khi d¯´o, hai sˆo´ ha.ng d¯u.o c gh´ep c˘a.p c´o phˆa`n Dj1, ,jk

1, ,k D j1, ,jk

1, ,k b˘a`ng (v`ı

αr =αr+1), v`a c´o dˆa´u (−1)s(I,J) tr´ai (v`ı chı’ sˆo´jt cu’a ch´ung tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng

r v`a r+ 1) Do d¯´o ch´ung l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ d¯ˆo´i T´om la.i, η(α1, , αn) = nˆe´u

αr=αr+1 v´o.i r bˆa´t k`y (1≤r < n).

T`u d¯´o, theo phu.o.ng ph´ap d¯˜a d`ung d¯ˆe’ ch´u.ng minh Hˆe qua’ 2.3, ta c´o η(α1, , αr, αr+1, , αn) = −η(α1, , αr+1, αr, , αn),

v´o.i mo.i α1, , αn∈Kn v`a mo.i r (1≤r < n).

nˆe´u αr =αs v´o.i c˘a.p chı’ sˆo´r6=s bˆa´t k`y Thˆa.t vˆa.y, ta lˆa` n lu.o t ho´an vi αs v´o.iαs−1

rˆ`i v´o o.i αs−2, d¯ˆe’ d¯u.a αs vˆ` vi tr´ı cu’ae αr+1 Ta c´o

η(α1, , αr, , αs, , αn) = (−1)s−r−1η(α1, , αr, αs, , αn) = 0,

bo.’ i v`ıαr v`aαs d¯´u.ng kˆ` vˆe´ o.e ’ gi˜u.a

Theo Hˆe qua’ 3.7, d¯i.nh th´u.c l`a h`am nhˆa´t trˆen c´ac cˆo.t cu’a ma trˆa.n c´o c´ac t´ınh chˆa´t d¯a tuyˆe´n t´ınh, thay phiˆen v`a chuˆa’n ho´a, cho nˆen

det(α1, , αn) =η(α1, , αn)

D- ´o ch´ınh l`a cˆong th´u.c khai triˆe’n Laplace theok h`ang i1 = 1, , ik =k.

Cuˆo´i c`ung, ta x´et tru.`o.ng ho. pkh`ang t`uy ´yI = (i1, , ik) K´y hiˆe.uI0 = (1, , k)

Ta lˆ` n lu.o.a t ho´an vi h`ang i1 v´o.i (i1 −1) h`ang d¯´u.ng tru.´o.c n´o (d¯ˆe’ d¯u.a h`ang i1 vˆ`e

h`ang v`a gi˜u nguyˆen vi tr´ı tu.o.ng d¯ˆo´i cu’a c´ac h`ang c`on la.i), rˆo`i la.i lˆa`n lu.o t ho´an vi h`ang i2 v´o.i (i2−2) h`ang d¯´u.ng tru.´o.c n´o Cuˆo´i c`ung, lˆ` n lu.o.a t ho´an vi h`ang ik v´o.i

(ik−k) h`ang d¯´u.ng tru.´o.c n´o Sau ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯´o, c´ac h`ang i1, , ik d¯u.o c d¯u.a vˆe`

c´ac h`ang 1, , k v`a vi tr´ı tu.o.ng d¯ˆo´i cu’a c´ac h`ang c`on la.i d¯u.o c gi˜u nguyˆen Ma trˆa.n A d¯u.o. c biˆe´n d¯ˆo’i th`anh ma trˆa.n A0 v´o.i detA = (−1)(i1−1)+···+(ik−k)detA0 Ta c˜ung c´o

(−1)s(I,J) = (−1)(i1+···+ik)−(1+···+k)(−1)s(I0,J), Dj1, ,jk

i1, ,ik(A) = D

j1, ,jk

1, ,k (A0),

Dj1, ,jk

i1, ,ik(A) = D

j1, ,jk

1, ,k (A0)

D`ung khai triˆe’n Laplace theo k h`ang 1, , k cu’a ma trˆa.nA0, ta c´o detA = (−1)(i1−1)+···+(ik−k)detA0

= (−1)(i1+···+ik)−(1+···+k) X

j1<···<jk

(−1)s(I0,J)Dj1, ,jk

1, ,k (A0)D j1, ,jk

1, ,k (A0)

= X

j1<···<jk

(−1)s(I,J)Dj1, ,jk

i1, ,ik(A)D

j1, ,jk

i1, ,ik(A)

V´ı du : T´ınh d¯i.nh th´u.c Vandermonde

Dn=

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 x1 x21 xn−1

1 x2 x22 x

n−1

. . . . xn x2n xnn−1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

L`o.i gia’i: Ta l`am cho hˆ` u hˆe´t c´a ac phˆ` n tu.a ’ trˆen h`ang cuˆo´i cu’a d¯i.nh th´u.c tro.’ th`anh b˘a`ng khˆong b˘a`ng c´ach lˆa´y cˆo.t th´u (n−1) nhˆan v´o.i −xn rˆ`i cˆo o.ng v`ao cˆo.tn, sau d¯´o

lˆa´y cˆo.t th´u (n−2) nhˆan v´o.i−xn rˆ`i cˆo o.ng v`ao cˆo.t (n−1), , cuˆo´i c`ung lˆa´y cˆo.t th´u

nhˆa´t nhˆan v´o.i −xn rˆ`i cˆo o.ng v`ao cˆo.t Sau biˆe´n d¯ˆo’i d¯´o, ta thu d¯u.o c

Dn=

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 x1−xn x1(x1−xn) xn1−2(x1−xn)

1 x2−xn x2(x2 −xn) xn2−2(x2−xn)

. . . .

1 xn−1 −xn xn−1(xn−1−xn) xnn−−12(xn−1−xn)

1 0

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

Khai triˆe’n Laplace theo h`ang th´u n, rˆ`i d¯u.a c´o ac th`u.a sˆo´ chung cu’a mˆo˜i h`ang ngo`ai dˆa´u d¯i.nh th´u.c, ta c´o

Dn= (−1)n+1(x1−xn)(x2−xn)· · ·(xn−1−xn)

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 x1 x21 x

n−2

1 x2 x22 x

n−2

. . . .

1 xn−1 x2n−1 x

n−2

n−1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

T`u d¯´o ta thu d¯u.o. c cˆong th´u.c truy to´an

Dn= (xn−x1)(xn−x2)· · ·(xn−xn−1)Dn−1.

Xuˆa´t ph´at v´o.i D1 = 1, v`a b˘a`ng quy na.p su.’ du.ng cˆong th´u.c trˆen, ta c´o

Dn=

Y

i>j

(xi−xj)

D

- i.nh l´y 5.4 Nˆe´u ma trˆa n vuˆong A= (aij)∈M(n×n,K) c´o d¯i.nh th´u.c kh´ac th`ı

A kha’ nghi.ch v`a

A−1 = detA

      

˜

a11 ˜an1

. . ˜

a1n a˜nn

      

,

trong d¯´o ˜aij l`a phˆ` n b`a u d¯a i sˆo´ cu’a aij.

Ch´u.ng minh: K´y hiˆe.u ma trˆa.n n´oi d¯i.nh l´y l`a B Theo d¯i.nh l´y Laplace vˆe` khai triˆe’n detA theo h`ang i, ta c´o

ai1˜ai1+· · ·+ain˜ain = detA, ∀i.

Ho.n n˜u.a, v´o.i mo.i j 6= i, x´et ma trˆa.n thu d¯u.o c t`u.A b˘a`ng c´ach thay h`ang j bo.’ i h`ang i v`a gi˜u nguyˆen c´ac h`ang kh´ac, kˆe’ ca’ h`ang i Ma trˆa.n n`ay c´o hai h`angi v`a j d¯ˆ` u b˘e a`ng (ai1, , ain) Do d¯´o, d¯i.nh th´u.c cu’a n´o b˘a`ng Khai triˆe’n Laplace d¯i.nh

th´u.c n`ay theo h`ang j, ta c´o

ai1˜aj1+· · ·+aina˜jn= 0, ∀i6=j.

Kˆe´t ho. p hai d¯˘a’ng th´u.c trˆen, ta thu d¯u.o. c AB=En Tu.o.ng tu , b˘a`ng c´ach ´ap du.ng

khai triˆe’n Laplace theo cˆo.t, ta c´o BA=En

T´om la.i, A kha’ nghi.ch, v`a A−1 =B. 2

Trong phˆ` n sau, ch´a ung ta s˜e gi´o.i thiˆe.u mˆo.t phu.o.ng ph´ap kh´ac t`ım ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh

6 D- i.nh th´u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n

D

- i.nh l´y 6.1 Gia’ su.’ Al`a mˆo t ma trˆa n m h`ang,n cˆo t v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ tru.`o.ng

K Khi d¯´o, ha ng cu’a ma trˆa n A b˘a`ng cˆa´p cao nhˆa´t cu’a c´ac d¯i.nh th´u.c kh´ac cu’a A N´oi r˜o ho.n, rankA =r nˆe´u c´o mˆo t d¯i.nh th´u.c cˆa´p r cu’a A kh´ac 0, v`a mo i d¯i.nh th´u.c cˆa´p > r (nˆe´u c´o) cu’a A d¯ˆ` u b˘e a`ng

Ch´u.ng minh: Viˆe.c d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac cˆo.t r˜o r`ang khˆong l`am thay d¯ˆo’i rankA Viˆe.c d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac h`ang c˜ung vˆa.y, bo’ i v`ı d¯ˆ o’i chˆo˜ c´ac h`ang tu.o.ng ´u.ng v´o.i viˆe.c d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac toa. d¯ˆo cu’a c´ac v´ecto cˆo.t trongKn, d¯´o l`a mˆ

o.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh cu’aKn.

M˘a.t kh´ac, d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac h`ang v`a c´ac cˆo.t cu’a A c˜ung khˆong l`am thay d¯ˆo’i cˆa´p cao nhˆa´t cu’a c´ac d¯i.nh th´u.c cu’a A.

V`ı thˆe´, d¯ˆe’ cho dˆ˜ tr`ınh b`ay v`a khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta c´o thˆe’ gia’ su.e ’ d¯i.nh th´u.c cˆa´pr o.’ g´oc tr´ai trˆen cu’a Akh´ac 0, v`a mo.i d¯i.nh th´u.c cˆa´p (r+ 1) cu’aA d¯ˆ` ue b˘a`ng

Khi d¯´o, r cˆo.t d¯ˆa` u tiˆen cu’a A d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh (Nˆe´u tr´ai la.i, th`ı d¯i.nh th´u.c cˆa´p r o.’ g´oc tr´ai trˆen cu’a A b˘a`ng 0.) Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng cˆo.t th´u.j cu’a A, k´y hiˆe.uαj, biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh quar cˆo.t d¯ˆa` u tiˆen, v´o.i r < j ≤n D- ˆe’ l`am d¯iˆe` u d¯´o, v´o.i

mˆo˜ii tho˜a m˜an 1≤i≤m, ta x´et d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay:

det

         

a11 a1r a1j

. . . ar1 arr arj

ai1 air aij

         

.

D- i.nh th´u.c n`ay luˆon b˘a`ng Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u 1≤i≤r, th`ı d¯i.nh th´u.c c´o h`ang b˘a`ng nhau; c`on nˆe´ur < i≤m, th`ı n´o l`a mˆo.t d¯i.nh th´u.c cˆa´p (r+ 1) cu’a A Khai triˆe’n Laplace d¯i.nh th´u.c n`ay theo h`ang cuˆo´i, v`a go.i λk l`a phˆ` n b`a u d¯a.i sˆo´ cu’a aik, ta c´o

λ1ai1+· · ·+λrair+λaij =

O’ d¯ˆay λ = λj 6= 0, v`ı d¯´o l`a d¯i.nh th´u.c cˆa´p r o.’ g´oc tr´ai trˆen Lu.u ´y r˘a`ng

λ1, , λr, λ d¯ˆ` u khˆe ong phu thuˆo.c v`ao i T`u d¯´o

αj =−

λ1

λα1− · · · − λr

Theo d¯i.nh ngh˜ıa ha.ng cu’a ma trˆa.n, rankA=r. 2

Hˆe qua’ 6.2 Ha ng cu’a mˆo t ma trˆa n b˘a`ng ha.ng cu’a hˆe c´ac v´ecto h`ang cu’a n´o.

Ch´u.ng minh: Ta c´o

rankA = rankAt (theo D- i.nh l´y 3.4) = Ha.ng cu’a hˆe v´ecto cˆo.t cu’a At

= Ha.ng cu’a hˆe v´ecto h`ang cu’a A. 2

7 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer

Mˆo.t hˆe thˆo´ng c´o da.ng

            

a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = b1

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn = bm,

trong d¯´oaij, bi l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ cho tru.´o.c tru.`o.ngK, d¯u.o c go.i l`a mˆo.t hˆe phu.o.ng

tr`ınh tuyˆe´n t´ınh gˆ`mo m phu.o.ng tr`ınh v´o.in ˆa’n x1, , xn K´y hiˆe.u

A= (aij)m×n, x=

          x1 . . xn           , β =           b1 . . bm           .

Khi d¯´o, hˆe phu.o.ng tr`ınh n´oi trˆen c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng phu.o.ng tr`ınh v´ecto Ax=β.

Mˆo t nghiˆe.m cu’a hˆe n`ay l`a mˆo.t v´ecto.x0 ∈Knsao choAx0 =β Mˆ

o.t hˆe phu.o.ng tr`ınh c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m d¯u.o c go.i l`a mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tu.o.ng th´ıch.

Theo kinh nghiˆe.m, ta ca’m nhˆa.n r˘a`ng hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Ax = β c´o nghiˆe.m nhˆa´t nˆe´u sˆo´ phu.o.ng tr`ınh cu’a hˆe b˘a`ng sˆo´ ˆa’n, v`a khˆong c´o phu.o.ng tr`ınh n`ao cu’a hˆe l`a “hˆe qua’” cu’a c´ac phu.o.ng tr`ınh kh´ac D- iˆe` u n`ay d¯u.o. c diˆe˜n d¯a.t ch´ınh x´ac d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.

D- i.nh ngh˜ıa 7.1 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınhAx=β d¯u.o. c go.i l`a mˆo.thˆe khˆong suy biˆe´n (hay mˆo.t hˆe Cramer) nˆe´u n´o c´o sˆo´ phu.o.ng tr`ınh b˘a`ng sˆo´ ˆa’n (n´oi c´ach kh´ac, nˆe´u A l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong) v`a nˆe´u detA6=

D- i.nh l´y 7.2 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh khˆong suy biˆe´n Ax = β c´o mˆo t nghiˆe.m duy nhˆa´t, d¯u.o. c t´ınh b˘a`ng cˆong th´u.c

xj =

detAj

detA, (1≤j ≤n),

trong d¯´o Aj l`a ma trˆa n nhˆa n d¯u.o c t`u ma trˆa n A b˘a`ng c´ach thay cˆo.t th´u.j bo.’ i cˆo t

hˆe sˆo´ tu do. β.

Ch´u.ng minh: V`ı detA6= 0, nˆen A l`a mˆo.t ma trˆa.n kha’ nghi.ch Khi d¯´o Ax=β ⇐⇒ A−1Ax=A−1β

⇐⇒ x=A−1β. Theo D- i.nh l´y 5.4, ta c´o

A−1 = detA

      

˜

a11 ˜an1

. . ˜

a1n a˜nn

      ,

trong d¯´o ˜aij l`a phˆ` n b`a u d¯a.i sˆo´ cu’aaij detA T`u d¯´ox=A−1β c´o ngh˜ıa l`a

xj =

1

detA(˜a1jb1+ ˜a2jb2+· · ·+ ˜anjbn) = detAj

D

- ˘a’ng th´u.c cuˆo´i nhˆa.n d¯u.o c b˘a`ng c´ach khai triˆe’n Laplace d¯i.nh th´u.c cu’aAj theo cˆo.t

th´u.j. 2

V´ı du : Gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh sau d¯ˆay:

                  

x + y + 3z + 4t = −3 x + y + 5z + 2t =

2x + y + 3z + 2t = −3

2x + 3y + 11z + 5t =

L`o.i gia’i: Tru.´o.c hˆe´t ta t´ınh d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n hˆe sˆo´

detA=

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1

1

2

2 11

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ = ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1

0 −2

0 −1 −3 −6

0 −3

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ = ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

0 −2 −1 −3 −6 −3

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯ = ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

0 −2 −9 −3

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

= (−1)3+1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

2 −2 −9

¯¯ ¯¯ ¯¯

¯= 2·(−9)−2·(−2) =−14

Theo quy t˘a´c Cramer, hˆe phu.o.ng tr`ınh c´o nghiˆe.m nhˆa´t

x= ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

−3

1

−3

2 11

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

detA =

28

−14 =−2, y =

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 −3

1

2 −3 2 11

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

detA =

0

−14 = 0,

z = ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 −3

1 1

2 −3

2

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

detA =

−14

−14 = 1, t=

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 −3

1

2 −3

2 11

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

detA =

14

8 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss

Phu.o.ng ph´ap Cramer chı’ ´ap du.ng d¯u.o c cho c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh khˆong suy biˆe´n (n´oi riˆeng, c´ac hˆe n`ay c´o sˆo´ phu.o.ng tr`ınh b˘a`ng sˆo´ ˆa’n) Thˆe´ nhu.ng rˆa´t nhiˆ` u hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh m`a ngu.`o.i ta g˘a.p la.i suy biˆe´n Phu.o.ng ph´ap khu.’e Gauss, m`a ta s˜e tr`ınh b`ay du.´o.i d¯ˆay, c´o u.u d¯iˆe’m l`a c´o thˆe’ ´ap du.ng cho hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh t`uy ´y Nhu.o. c d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a khˆong d¯u.a d¯u.o. c thˆong tin n`ao vˆ` nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tru.´o.c gia’i xong hˆe d¯´o.e

Nˆo.i dung cu’a phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss nhu sau

Ta go.i hai hˆe phu.o.ng tr`ınh l`a tu.o.ng d¯u.o.ng nˆe´u nghiˆe.m cu’a hˆe n`ay c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a hˆe v`a ngu.o c la.i

Nhˆa.n x´et r˘a`ng nˆe´u ta ´ap du.ng c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i sau d¯ˆay, d¯u.o c go.i l`a c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p, trˆen mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, ta nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i hˆe ban d¯ˆa` u

(1) D- ˆo’i chˆo˜ hai phu.o.ng tr`ınh cu’a hˆe

(2) Nhˆan mˆo.t phu.o.ng tr`ınh cu’a hˆe v´o.i mˆo.t vˆo hu.´o.ng kh´ac thuˆo.c tru.`o.ng K (3) Cˆo.ng v`ao mˆo.t phu.o.ng tr`ınh mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac phu.o.ng tr`ınh kh´ac

trong hˆe

Bˆay gi`o ta x´et mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at

            

a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = b1

Ta go.i A= (aij)m×n l`a ma trˆa n c´ac hˆe sˆo´, v`a A=          

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . am1 am2 amn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ b1 b2 . bm          

l`a ma trˆa n c´ac hˆe sˆo´ mo’ rˆ. o ng cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh n´oi trˆen

Gia’ su.’ c´o mˆo.t hˆe sˆo´ n`ao d¯´o aij 6= Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at (nˆe´u cˆ` n, d¯ˆa o’i chˆo˜

c´ac phu.o.ng tr`ınh v`a d¯´anh sˆo´ la.i c´ac ˆa’n) ta c´o thˆe’ coi a116= Khi d¯´o, nhˆan phu.o.ng

tr`ınh th´u nhˆa´t v´o.i (−ai1

a11) rˆ`i cˆo o.ng v`ao phu.o.ng tr`ınh th´u i (i = 2, , m), ta nhˆa.n

d¯u.o. c hˆe phu.o.ng tr`ınh tu.o.ng d¯u.o.ng c´o da.ng

                  

a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = b1

a022x2+· · ·+a02nxn = b02

= . a0m2x2+· · ·+a0mnxn = b0m.

L˘a.p la.i lˆa.p luˆa.n trˆen d¯ˆo´i v´o.i hˆe gˆo`m (n −1) phu.o.ng tr`ınh cuˆo´i v´o.i c´ac ˆa’n x2, , xn

Sau mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n bu.´o.c, hˆe phu.o.ng tr`ınhAx=β d¯u.o. c d¯u.a vˆe` mˆo.t hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng, v´o.i ma trˆa.n mo’ rˆ o.ng c´o da.ng

                     ¯

a11 ∗ ∗ ∗ ∗

0 ¯a22 ∗ ∗ ∗

. . ∗ ∗ ∗ 0 a¯rr ∗ ∗

0 0 . . . . . 0 0

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯ ¯b

¯b2 . ¯br ¯b r+1 . ¯ bm                      ,

trong d¯´o ¯aii6= (i= 1, , r), v`a c´ac dˆa´u ∗k´y hiˆe.u c´ac phˆa` n tu.’ c´o thˆe’ kh´ac

Nˆe´u mˆo.t c´ac vˆo hu.´o.ng ¯br+1, ,¯bm kh´ac 0, th`ı hˆe phu.o.ng tr`ınh vˆo nghiˆe.m

Nˆe´u ¯br+1 =· · ·= ¯bm = 0, th`ı hˆe phu.o.ng tr`ınh c´o nghiˆe.m Ho.n n˜u.a, mˆo˜i nghiˆe.m

cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh d¯ˆe` u c´o thˆe’ nhˆa.n d¯u.o c b˘a`ng c´ach g´an cho xr+1, , xn nh˜u.ng

gi´a tri tu`y ´y thuˆo.c tru.`o.ng K (nˆe´u n > r), rˆ`i gia’i nhˆo a´t x1, , xr theo nh˜u.ng

gi´a tri d¯˜a g´an cho xr+1, , xn (Cu thˆe’, xr d¯u.o c t`ım t`u phu.o.ng tr`ınh th´u.r, , x1

d¯u.o. c t`ım t`u phu.o.ng tr`ınh th´u nhˆa´t.)

V´ı du : Gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh

                  

x1+ 3x2+ 5x3−2x4 =

x1+ 5x2−9x3+ 8x4 =

2x1+ 7x2+ 3x3+x4 =

5x1+ 18x2+ 4x3+ 5x4 = 12

L`o.i gia’i: D`ung phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss, ta thˆa´y hˆe phu.o.ng tr`ınh trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

⇐⇒                   

x1+ 3x2 + 5x3−2x4 =

2x2−14x3 + 10x4 = −2

x2 −7x3+ 5x4 = −1

3x2−21x3+ 15x4 = −3

⇐⇒                   

x1+ 3x2+ 5x3−2x4 =

x2−7x3+ 5x4 = −1

0x2+ 0x3+ 0x4 =

0x2+ 0x3+ 0x4 =

⇐⇒             

x1 = 6−26x3+ 17x4

x2 = −1 + 7x3−5x4

x3, x4 tu`y ´y

ta chı’ cˆ` n viˆe´ta          

1 −2

1 −9

2

5 18

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ 12           ⇐⇒          

1 −2

0 −14 10

0 −7

0 −21 15

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ −2 −1 −3           ⇐⇒          

1 −2 −7

0 0

0 0

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ −1 0           ⇐⇒             

x1 = 6−26x3 + 17x4

x2 = −1 + 7x3−5x4

x3, x4 tu`y ´y

Nhˆa.n x´et 8.2 Tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p trˆen hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh l`a c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´ptrˆen ma trˆa.n D- ´o l`a c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i thuˆo.c mˆo.t c´ac da.ng sau d¯ˆay

(1) D- ˆo’i chˆo˜ hai h`ang (ho˘a.c hai cˆo.t) cu’a ma trˆa.n

(2) Nhˆan mˆo.t h`ang (ho˘a.c mˆo.t cˆo.t) cu’a ma trˆa.n v´o.i mˆo.t vˆo hu.´o.ng kh´ac (3) Cˆo.ng v`ao mˆo.t h`ang (ho˘a.c mˆo.t cˆo.t) mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆ e´n t´ınh cu’a c´ac h`ang (tu.o.ng

´

u.ng: c´ac cˆo.t) kh´ac.

d¯ˆ` u c´e o thˆe’ d¯u.a vˆ` mˆe o.t ma trˆa.n da.ng (tam gi´ac trˆen suy rˆo.ng)                      ¯

a11 ∗ ∗ ∗ ∗

0 ¯a22 ∗ ∗ ∗

. . ∗ ∗ ∗ 0 ¯arr ∗ ∗

0 0 . . . . . 0 0

                     ,

trong d¯´o ¯aii6= (i= 1, , r), v`a c´ac dˆa´u ∗k´y hiˆe.u c´ac phˆa` n tu.’ c´o thˆe’ kh´ac

tru.`o.ng K

B˘a`ng c´ach tru c tiˆe´p d`ung d¯i.nh ngh˜ıa cu’a ha.ng ho˘a.c d`ung D- i.nh l´y 6.1, ta dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng ha.ng cu’a ma trˆa.n n´oi trˆen b˘a`ng r.

Nhˆa.n x´et 8.3 Phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss d¯u.o. c ´u.ng du.ng v`ao viˆe.c t`ım ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o

Gia’ su.’ cˆ` n t`ım nghi.ch d¯a’o cu’a ma trˆa.na A = (aij) ∈ M(n×n,K) nˆe´u nhu n´o

kha’ nghi.ch Ta x´et hˆe phu.o.ng tr`ınh

n

X

j=1

aijxj =yi (i= 1, , n)

Khi d¯´o, A kha’ nghi.ch nˆe´u v`a chı’ nˆe´u hˆe phu.o.ng tr`ınh trˆen c´o nghiˆe.m v´o.i mo.i vˆe´ pha’i y1, , yn Ho.n n˜u.a, nˆe´u nghiˆe.m cu’a hˆe d¯u.o c cho bo.’i cˆong th´u.c

xi = n

X

j=1

bijyj (i= 1, , n),

th`ı ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o cu’a A ch´ınh l`a A−1 = (b

ij)n×n (Cˆong th´u.c biˆe’u thi tu.`o.ng

minh x1, , xn qua y1, , yn c´o thˆe’ d¯u.o c t`ım b˘a`ng c´ach d`ung phu.o.ng ph´ap khu.’

Gauss.)

Thˆa.t vˆa.y, ta x´et ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n t´ınh ˜A : Kn → Kn, x 7→ Ax N´o c´o ma

trˆa.n l`a A co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’a Kn Hˆ

mo.i y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ˜A l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh, d¯iˆe` u n`ay xa’y v`a chı’ A kha’ nghi.ch Ho.n n˜u.a, ta c´o Ax = y tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i x = A−1y Do d¯´o

A−1 = (bij)n×n

9 Cˆa´u tr´uc nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh

Ta x´et c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t v`a khˆong thuˆa`n nhˆa´t liˆen kˆe´t v´o.i

Ax= v`a Ax =β,

trong d¯´o A = (aij)m×n ∈ M(m×n,K), β ∈Km Nhu vˆa.y, ca’ hai hˆe phu.o.ng tr`ınh

n´oi trˆen d¯ˆ` u gˆe `mo m phu.o.ng tr`ınh v`a n ˆa’n

D- i.nh l´y 9.1 Tˆa p ho p. L tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t Ax = l`a mˆo t khˆong gian v´ecto cu’a Kn, c´o sˆo´ chiˆ` u thoa’ m˜e an hˆ

e th´u.c dimL=n−rankA

Ch´u.ng minh: Ta x´et ´anh xa tuyˆe´n t´ınh ˜

A: Kn → Km,

x 7→ Ax.

R˜o r`angL=KerA˜l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a Kn Ho.n n˜u.a, v`ı ´

anh xa tuyˆe´n t´ınh ˜A c´o ma trˆa.n l`aA co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’a c´ac khˆong gian v´ecto.Kn v`a Km,

cho nˆen

dimL= dimKerA˜ = dimKn−dimImA˜ = n−rankA 2

D- i.nh l´y 9.2 Gia’ su.’ L l`a khˆong gian v´ecto gˆ`m c´o ac nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ` n nhˆa a´t Ax = 0, v`a x0 l`a mˆo

tˆa p ho p c´. ac nghiˆe.m cu’a hˆe. Ax=β l`a

x0+L={x0+α|α∈L}.

Ch´u.ng minh: y0 l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe. Ax = β nˆe´u v`a chı’ nˆe´u y0 −x0 l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe.Ax= 0, t´u.c l`a nˆe´u v`a chı’ nˆe´uy0−x0 ∈L Bao h`am th´u.c cuˆo´i c`ung

tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i y0 ∈x0+L. 2

D- i.nh ngh˜ıa 9.3 V´o.i c´ac gia’ thiˆe´t cu’a d¯i.nh l´y trˆen, x0 d¯u.o.

c go.i l`a mˆo.t nghiˆe.m riˆeng cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh khˆong thuˆa`n nhˆa´t Ax=β C`onx0 +α, v´o.i

α∈L, d¯u.o. c go.i l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh d¯´o

D

- i.nh l´y 9.4 (Tiˆeu chuˆa’n Kronecker - Capelli) Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınhAx=β c´o nghiˆe.m v`a chı’ khi rankA= rankA, d¯´o

A=

      

a11 a12 a1n

. . . am1 am2 amn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

b1

. bm

      

l`a ma trˆa n c´ac hˆe sˆo´ mo’ rˆ. o ng cu’a hˆe

Ch´u.ng minh: Go.i αj l`a v´ecto cˆo.t th´u.j cu’a A, c`on β l`a v´ecto cˆo.t tu (t´ u.c l`a

cˆo.t cuˆo´i c`ung cu’a A Ta c´o

rankA= rank(α1, , αn)≤rank(α1, , αn, β) = rankA.

Dˆa´u b˘a`ng xa’y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u β biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua c´ac v´ecto.α1, , αn Go.i

x01, , x0n l`a c´ac hˆe sˆo´ cu’a biˆe’u thi d¯´o, t´u.c l`a

β =x01α1+· · ·+x0nαn.

Hˆe th´u.c n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i viˆe.c x0 = (x0

1, , x0n)t l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng

B`ai tˆa.p

Thu. c hiˆe.n c´ac ph´ep nhˆan sau d¯ˆay, viˆe´t c´ac ph´ep thˆe´ thu d¯u.o c th`anh t´ıch cu’a nh˜u.ng x´ıch r`o.i ra.c v`a t´ınh dˆa´u cu’a ch´ung.

1

 



2

  

 



4

    



3

  

 



4

   (1,2)(2,3)· · ·(n, n−1)

4 (1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)· · ·(n−2, n−1, n)

5 Cho hai c´ach s˘a´p th`anh d˜ay a1, a2, , anv`ab1, b2, , bn cu’an sˆo´ tu nhiˆen d¯ˆ` ua

tiˆen Ch´u.ng minh r˘a`ng c´o thˆe’ d¯u.a c´ach s˘a´p n`ay vˆe` c´ach s˘a´p b˘a`ng c´ach su.’ du.ng khˆong qu´a n−1 ph´ep thˆe´ so cˆa´p

6 V´o.i gia’ thiˆe´t nhu b`ai trˆen, ch´u.ng minh r˘a`ng c´o thˆe’ d¯u.a c´ach s˘a´p n`ay vˆe` c´ach s˘a´p b˘a`ng c´ach su.’ du.ng khˆong qu´a n(n−1)/2 ph´ep chuyˆe’n vi tr´ı cu’a hai phˆ` n tu.a ’ d¯´u.ng kˆ` nhau.e

7 Cho v´ı du vˆe` mˆo.t c´ach s˘a´p n sˆo´ tu. nhiˆen d¯ˆ` u tiˆen th`a anh d˜ay cho d˜ay n`ay khˆong thˆe’ d¯u.a vˆ` d˜e ay s˘a´p tu nhiˆen b˘a`ng c´ach d`ung ´ıt ho.n n−1 ph´ep thˆe´ so cˆa´p

8 Biˆe´t sˆo´ nghi.ch thˆe´ cu’a d˜ay a1, a2, , an b˘a`ng k H˜ay t`ım sˆo´ nghi.ch thˆe´ cu’a

d˜ay an, an−1, , a1

9 T´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay

(a) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

2 −5 3 −4 −9

−3 −5

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (b) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

3 −3 −2 −5

2

5

4

10 T´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay b˘a`ng c´ach d¯u.a vˆ` da.ng tam gi´ace : (a) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 n −1 n −1 −2 n . . . . −1 −2 −3

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (b) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a0 a1 a2 an

−x x

0 −x x . . . .

0 0 x

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (c) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a1 a2 a3 an

−x1 x2

0 −x2 x3

. . . . 0 xn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

11 T´ınh d¯i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v´o.i phˆ` n tu.a ’ n˘a`m o.’ h`ang i cˆo.t j b˘a`ng |i−j|

12 T´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay b˘a`ngphu.o.ng ph´ap r´ut c´ac nhˆan tu.’ tuyˆe´n t´ınh:

(a) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 n

1 x+ n

1 x+ n

. . . .

1 x+

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (b) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 +x 1

1 1−x 1

1 1 +y

1 1 1−y

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

13 T´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay b˘a`ng c´ach su.’ du.ng c´ac quan hˆe hˆo`i qui:

(a) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a1b1 a1b2 a1b3 a1bn

a1b2 a2b2 a2b3 a2bn

a1b3 a2b3 a3b3 a3bn

. . . .

a1bn a2bn a3bn anbn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (b) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a0 a1 a2 an

−y1 x1

0 −y2 x2

. . . . 0 xn

14 T´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay b˘a`ng c´ach biˆe’u diˆ˜n ch´e ung th`anh tˆo’ng cu’a c´ac d¯i.nh th´u.c n`ao d¯´o:

(a) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

x+a1 a2 a3 an

a1 x+a2 a3 an

a1 a2 x+a3 an

. . . .

a1 a2 a3 x+an

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (b) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

x1 a2 a3 an

a1 x2 a3 an

a1 a2 x3 an

. . . . a1 a2 a3 xn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

T´ınh c´ac d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay:

15 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a1 x1 x21 x

n−1

a2 x2 x22 x

n−1

. . . . an xn x2n xnn−1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ . 16 (a) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 x2

1 x31 xn1

1 x2

2 x32 xn2

. . . . x2

n x3n xnn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ , (b) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 x1 x21 x

s−1

1 xs1+1 xn1

1 x2 x22 x2s−1 xs2+1 xn2

. . . . . . xn x2n xns−1 xsn+1 xnn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ . 17 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 x1(x1−1) x21(x1−1) xn1−1(x1−1)

1 x2(x2−1) x22(x2−1) xn2−1(x2−1)

. . . .

1 xn(xn−1) x2n(xn−1) xnn−1(xn−1)

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ . 18 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 +x1 +x21 +xn1

1 +x2 +x22 +xn2

. . .

1 +xn +x2n +xnn

19 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 cosϕ1 cos 2ϕ1 cos(n−1)ϕ1

1 cosϕ2 cos 2ϕ2 cos(n−1)ϕ2

. . . .

1 cosϕn cos 2ϕn cos(n−1)ϕn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ . 20 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

x1y1 +x1y2 +x1yn

1 +x2y1 x2y2 +x2yn

. . .

1 +xny1 +xny2 xnyn

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

21 D˜ay Fibonacci l`a d˜ay sˆo´ b˘a´t d¯ˆa` u v´o.i c´ac sˆo´ ha.ng 1,2 v`a mˆo˜i sˆo´ ha.ng, kˆe’ t`u. sˆo´ ha.ng th´u ba, d¯ˆe` u b˘a`ng tˆo’ng cu’a hai sˆo´ ha.ng d¯´u.ng tru.´o.c n´o Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ ha.ng th´u.n cu’a d˜ay Fibonacci b˘a`ng d¯i.nh th´u.c cˆa´p n sau d¯ˆay:

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

1 0 0 −1 1 0 −1 1 0 . . . . . . 0 0 −1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ . 22 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

(a1+b1)−1 (a1+b2)−1 (a1+bn)−1

(a2+b1)−1 (a2+b2)−1 (a2+bn)−1

. . .

(an+b1)−1 (an+b2)−1 (an+bn)−1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ .

23 T´ınh d¯i.nh th´u.c sau d¯ˆay b˘a`ng c´ach viˆe´t n´o th`anh t´ıch cu’a hai d¯i.nh th´u.c:

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

s0 s1 s2 sn−1

s1 s2 s3 sn x

s2 s3 s4 sn+1 x2

. . . . .

sn sn+1 sn+2 s2n−1 xn

trong d¯´osk=xk1 +xk2 +· · ·+xkn

24 Ch´u.ng minh r˘a`ng

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a1 a2 a3 an

an a1 a2 an−1

an−1 an a1 an−2

. . . . a2 a3 a4 a1

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

=f(ε1)f(ε2)· · ·f(εn),

trong d¯´o f(X) = a1+a2X +· · ·+anXn−1 v`a ε1, ε2, , εn l`a c´ac c˘an bˆa.c n

kh´ac cu’a

25 D`ung khai triˆe’n Laplace ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u mˆo.t d¯i.nh th´u.c cˆa´p n c´o c´ac phˆ` n tu.a ’ n˘a`m trˆen giao cu’ak h`ang v`a` cˆo.t x´ac d¯i.nh n`ao d¯´o d¯ˆe` u b˘a`ng 0, d¯´o k+` > n, th`ı d¯i.nh th´u.c d¯´o b˘a`ng

26 Gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh sau d¯ˆay b˘a`ng phu.o.ng ph´ap Cramer v`a phu.o.ng ph´ap khu.’ :

3x1+ 4x2+x3+ 2x4+ = 0,

3x1+ 5x2+ 3x3+ 5x4+ = 0,

6x1+ 8x2+x3+ 5x4+ = 0,

3x1+ 5x2+ 3x3+ 7x4+ =

27 Ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo.t d¯a th´u.c bˆa.c n K[X] d¯u.o. c ho`an to`an x´ac d¯i.nh bo.’ i gi´a tri cu’a n´o ta.i (n+ 1) d¯iˆe’m kh´ac cu’a tru.`o.ng K T`ım v´ı du vˆe` hai d¯a th´u.c kh´ac c`ung bˆa.c n nhˆa.n c´ac gi´a tri b˘a`ng ta.i mo.i d¯iˆe’m cu’a K, nˆe´u sˆo´ phˆ` n tu.a ’ cu’a Kkhˆong vu.o. t qu´an.

28 ax+by+cz+dt = p, −bx+ay+dz−ct = q, −cx−dy+az+bt = r, −dx+cy−bz+at = s.

29 xn+a1xn−1+a21an−2+· · ·+an1−1x1+an1 = 0,

xn+a2xn−1+a22an−2+· · ·+an2−1x1+an2 = 0,

. . xn+anxn−1+a2nan−2+· · ·+ann−1x1+ann =

30 D- ˘a.t sn(k) = 1n+ 2n+· · ·+ (k−1)n H˜ay thiˆe´t lˆa.p phu.o.ng tr`ınh

kn = +Cnn−1sn−1(k) +· · ·+Cn1s1(k) +s0(k)

v`a ch´u.ng minh r˘a`ng

sn−1(k) =

1 n! ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

kn Cn−2

n Cnn−3 Cn1

kn−1 Cnn−−12 Cnn−−13 Cn1−1 kn−2 0 Cn−3

n−2 Cn1−2

. . . . .

k2 0 0 C1

2

k 0

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯ .

31 X´et khai triˆe’n exx−1 = +b1x+b2x2+b3x3+· · · Ta d¯˘a.tb2n = (−1)

n−1B

n

(2n)! ,

d¯´o Bn d¯u.o c go.i l`a sˆo´ Bernoulli th´u.n Ch´u.ng minh r˘a`ng

Bn= (−1)n−1(2n)!

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

2! 0

1 3!

1

2!

1 4!

1 3!

1

2!

. . . . .

1 (2n+1)!

1 (2n)!

1 (2n−1)!

1

v`a chı’ r˘a`ng

b2n−1 =

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

2! 0

1 3!

1

2!

1 4!

1 3!

1

2!

. . . . .

1 (2n)!

1 (2n−1)!

1 (2n−2)!

1

(2n−3)! 2! ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ =

v´o.i mo.i n >1

32 Diˆ˜n d¯a.t hˆe sˆo´e an khai triˆe’n

e−x = 1−a1x+a2x2−a3x3+· · ·,

nhu mˆo.t d¯i.nh th´u.c cˆa´p n, t`u d¯´o t´ınh d¯i.nh th´u.c thu d¯u.o c

33 Khˆong d`ung ma trˆa.n, h˜ay ch´u.ng minh tru c tiˆe´p r˘a`ng det(f∗) = det(f), d¯´o f∗ l`a d¯ˆ`ng cˆo a´u d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a f, v´o.i mo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u f :V →V

34 T´ınh ha.ng cu’a c´ac ma trˆa.n sau d¯ˆay b˘a`ng phu.o.ng ph´ap biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p v`a phu.o.ng ph´ap d`ung d¯i.nh th´u.c con:

(a)       

2 −1 −2 4 −2 −1

       , (b)          

3 −1

5 −3

1 −3 −5 −7

7 −5

          .

35 T`ım gi´a tri cu’a λ cho ma trˆa.n sau d¯ˆay c´o ha.ng thˆa´p nhˆa´t

         

3 1

λ 10 1 17

2

36 T`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n sau d¯ˆay nhu mˆo.t h`am phu thuˆo.c λ:

      

1 λ −1 2 −1 λ 10 −6

      

.

37 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u ha.ng cu’a mˆo.t ma trˆa.n b˘a`ng r th`ı mˆo˜i d¯i.nh th´u.c con n˘a`m trˆen giao cu’a bˆa´t k`y r h`ang d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a r cˆo.t d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a ma trˆa.n d¯´o d¯ˆe` u kh´ac

38 ChoA l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´pn >1 v`a ˜Al`a ma trˆa.n phu ho p (gˆ `m nh˜o u.ng phˆ` n b`a u d¯a.i sˆo´ cu’a c´ac phˆa` n tu.’ ) cu’aA H˜ay x´ac d¯i.nh rank ˜A nhu mˆo.t h`am cu’a rankA

39 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u c´ac v´ecto

αi = (ai1, ai2, , ain)∈Rn (i= 1,2, , s; s≤n),

thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne |ajj|>

P

i6=j|aij|, th`ı ch´ung d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

40 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A v`aB l`a c´ac ma trˆa.n c`ung sˆo´ h`ang v`a sˆo´ cˆo.t th`ı rank(A+B)≤rank(A) + rank(B)

41 Ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo˜i ma trˆa.n c´o ha.ng r c´o thˆe’ viˆe´t th`anh tˆo’ng cu’a r ma trˆa.n c´o ha.ng 1, nhu.ng khˆong thˆe’ viˆe´t th`anh tˆo’ng cu’a mˆo.t sˆo´´ıt ho.nr ma trˆa.n c´o ha.ng 1.

42 Ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Sylvester cho c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n bˆa´t k`y A v`aB:

rank(A) + rank(B)−n ≤rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}.

43 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n cho A2 = E, th`ı

44 T`ım ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o cu’a c´ac ma trˆa.n sau d¯ˆay b˘a`ng phu.o.ng ph´ap d¯i.nh th´u.c v`a phu.o.ng ph´ap biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p:

(a)

      

0 3 5

     

, (b)          

1 −1 −2 −4 2 −4 −3 −1 −6

         

.

Nghiˆen c´u.u t´ınh tu.o.ng th´ıch cu’a c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh sau, t`ım mˆo.t nghiˆe.m riˆeng v`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a ch´ung:

45 3x−2y+ 5z+ 4t = 2,

6x−4y+ 4z+ 3t = 3, 9x−6y+ 3z+ 2t =

46 8x+ 6y+ 5z+ 2t = 21,

Chu.o.ng IV

C ˆA´U TR ´UC CU’ A TU. D- ˆ` NG C ˆO A´U

Mu.c d¯´ıch cu’a chu.o.ng n`ay l`a t`ım cho mˆo˜i tu d¯ˆo`ng cˆa´u (trong tru.`o.ng ho p c´o thˆe’ d¯u.o. c) mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian, cho co so.’ d¯´o tu d¯ˆo`ng cˆa´u c´o ma trˆa.n d¯o.n gia’n, cu thˆe’ l`a c`ang gˆa` n ma trˆa.n ch´eo c`ang tˆo´t.

1 V´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng

Gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K, v`a f : V → V l`a mˆo.t tu d¯ˆ `ngo cˆa´u cu’a V Viˆe.c nghiˆen c´u.u f trˆen to`an khˆong gianV d¯ˆoi g˘a.p kh´o kh˘an, v`ıV qu´a l´o.n Ngu.`o.i ta muˆo´n tr´anh d¯iˆ` u d¯´e o b˘a`ng c´ach ha.n chˆe´f lˆen mˆo.t sˆo´ khˆong gian n`ao d¯´oU cu’a V Nhu.ng d¯ˆe’ cho ha.n chˆe´ d¯´o vˆa˜n c`on l`a mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u cu’aU th`ı khˆong gian n`ay pha’i c´o t´ınh chˆa´t d¯˘a.c biˆe.t n´oi d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay.

D- i.nh ngh˜ıa 1.1 Khˆong gian v´ecto U cu’a V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t khˆong gian con ˆ

o’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´o.if (hay mˆo.t khˆong gian con f-ˆo’n d¯i.nh) nˆe´u f(U)⊂U D

- ˆoi ngu.`o.i ta c˜ung n´oi cho go.n r˘a`ng U l`a mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh, nˆe´u f d¯˜a r˜o

Mˆo.t sˆo´ t`ai liˆe.u d`ung thuˆa.t ng˜u.khˆong gian bˆa´t biˆe´n tru.`o.ng ho. p n`ay Ch´ung tˆoi cho r˘a`ng thuˆa.t ng˜u khˆong gian ˆo’n d¯i.nh ch´ınh x´ac ho.n C`on thuˆa.t ng˜u.khˆong gian bˆa´t biˆe´n d¯ˆo´i v´o.if d`ung d¯ˆe’ chı’ khˆong gian sau d¯ˆay:

Vf :={v ∈V|f(v) =v}. D

Nˆe´u may m˘a´n c´o c´ac khˆong gian f-ˆo’n d¯i.nhU1 v`aU2 cho V =U1⊕U2,

th`ıf1 =f|U1 v`af2 =f|U2 d¯ˆ` u l`e a c´ac tu d¯ˆ`ng cˆo a´u Mˆo˜i v´ecto.v ∈V c´o thˆe’ viˆe´t

nhˆa´t du.´o.i da.ng v =u1+u2, d¯´o u1 ∈U1, u2 ∈U2, v`a

f(v) =f(u1) +f(u2)

Khi d¯´o viˆe.c nghiˆen c´u.u tu d¯ˆo`ng cˆa´u f trˆen V c´o thˆe’ qui vˆ` viˆe.c nghiˆen c´u.u c´ace tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u fi cu’a Ui (i = 1,2) N´oi r˜o ho.n, nˆe´u f1 c´o ma trˆa.n A co so.’

(e1, , em) cu’a U1, v`a f2 c´o ma trˆa.n B co so.’ (em+1, , en) cu’a U2, th`ıf c´o

ma trˆa.n 

  A

0 B

  

trong co so.’ (e1, , em, em+1, , en) cu’a V Nhu thˆe´,

detf = detf1·detf2.

N´oi riˆeng, f l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh nˆe´u v`a chı’ nˆe´uf1 v`a f2 c`ung l`a c´ac d¯˘a’ng

cˆa´u tuyˆe´n t´ınh

Tuy vˆa.y, mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh n´oi chung khˆong c´o phˆa` n b`u tuyˆe´n t´ınh c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh Sau d¯ˆay l`a mˆo.t v´ı du

Gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto chiˆe` u trˆen K v´o.i mˆo.t co so.’ gˆo`m hai v´ecto α v`a β Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f : V → V d¯u.o. c x´ac d¯i.nh bo’ i f(α) = 0, f(β) = α Khi d¯´o U =L(α) l`a khˆong gian f-ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u nhˆa´t cu’a V D- ˆo.c gia’ h˜ay tu ch´u.ng minh d¯iˆ` u n`e ay xem nhu mˆo.t b`ai tˆa.p.

Mˆo.t cˆau ho’i d¯u.o c d¯˘a.t l`a l`am thˆe´ n`ao d¯ˆe’ t`ım c´ac khˆong gian ˆo’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´o.i mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u d¯˜a cho? D- ´ang tiˆe´c l`a khˆong c´o mˆo.t phu.o.ng ph´ap chung n`ao d¯ˆe’ l`am d¯iˆ` u d¯´e o tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qu´at

Sau d¯ˆay ta s˜e x´et mˆo.t tru.`o.ng ho p riˆeng d¯˘a.c biˆe.t th´u vi., c´o nhiˆe`u ´u.ng du.ng Vˆa.t l´y v`a Co ho.c D- ´o l`a tru.`o.ng ho p c´ac khˆong gian ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u

hu.´o.ngλ∈K cho

f(α) = λα.

Ngu.o. c la.i, nˆe´u c´o mˆo.t v´ecto.α 6= v`a mˆo.t vˆo hu.´o.ng λ ∈ K cho f(α) = λα, th`ıL=L(α) l`a mˆo.t khˆong gian con f-ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u Ta d¯i t´o.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay

D

- i.nh ngh˜ıa 1.2 Gia’ su.’ f l`a mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u cu’a K-khˆong gian v´ecto.V Nˆe´u c´o v´ecto α6= v`a vˆo hu.´o.ngλ ∈K cho f(α) =λα, th`ıλ d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t gi´a tri. riˆeng cu’a f c`onα d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tv´ecto riˆengcu’a f u.ng v´´ o.i gi´a tri riˆeng λ.

Nhu vˆa.y viˆe.c t`ım c´ac khˆong gian ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u tuo.ng d¯u.o.ng v´o.i viˆe.c t`ım c´ac v´ecto riˆeng

Nhˆa.n x´et r˘a`ng c´ac v´ecto riˆeng cu’a f ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆeng λ c`ung v´o.i v´ecto lˆa.p nˆen khˆong gian v´ecto Ker(f−λidV)

D- i.nh ngh˜ıa 1.3 Gia’ su.’ λ l`a mˆo.t gi´a tri riˆeng cu’a tu d¯ˆ `ng cˆo a´uf :V →V Khˆong gian v´ecto.Ker(f−λidV) gˆ`m v´ecto v`o a tˆa´t ca’ c´ac v´ecto riˆeng cu’a f ´u.ng v´o.i gi´a

tri riˆeng λ d¯u.o. c go.i l`a khˆong gian riˆeng cu’a f ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆeng λ

Vˆa´n d¯ˆ` d¯˘e a.t l`a l`am thˆe´ n`ao d¯ˆe’ t`ım c´ac v´ecto riˆeng v`a c´ac gi´a tri riˆeng cu’a mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u?

Nhˆa.n x´et r˘a`ngλ l`a mˆo.t gi´a tri riˆeng cu’af nˆe´u v`a chı’ nˆe´uKer(f−λidV)6={0}

D- iˆe` u n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i det(f−λidV) = N´oi c´ach kh´ac, λ l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a

d¯a th´u.c det(f −XidV) v´o.i ˆa’n X.

V`ı ta c´o thˆe’ kh˘a’ng d¯i.nh det(f −XidV) l`a mˆo.t d¯a th´u.c cu’a X? Gia’ su.’ sˆo´

chiˆ` u cu’ae V b˘a`ng n, v`a f c´o ma trˆa.n l`a A mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o (e1, , en) cu’a

V Khi d¯´o d¯ˆ`ng cˆo a´u (f−XidV) c´o ma trˆa.n l`a (A−XEn) co so.’ n´oi trˆen V`ı

thˆe´

Nˆe´u A= (aij)n×n, th`ı

det(A−XEn) =

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

a11−X a12 a1n

a21 a22−X a2n

. . .

an1 an2 ann−X

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

r˜o r`ang l`a mˆo.t d¯a th´u.c bˆa.cn cu’a ˆa’n X.

D- i.nh ngh˜ıa 1.4 D- a th´u.c bˆa.c n cu’a mˆo.t ˆa’n X v´o.i hˆe sˆo´ trong K

Pf(X) = det(f−XidV)

d¯u.o. c go.i l`a d¯a th´u.c d¯˘a c tru.ngcu’a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f D

- a th´u.c bˆa.c n cu’a mˆo.t ˆa’nX v´o.i hˆe sˆo´ trong K

PA(X) = det(A−XEn)

d¯u.o. c go.i l`a d¯a th´u.c d¯˘a c tru.ng cu’a ma trˆa.n A Nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c n`ay d¯u.o c go.i l`a gi´a tri riˆeng cu’a A.

Nh˜u.ng lˆa.p luˆa.n o’ trˆen d¯˜ a ch´u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay:

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5 Vˆo hu.´o.ngλ ∈Kl`a mˆo t gi´a tri riˆeng cu’a tu d.¯ˆ`ng cˆo a´uf :V →V nˆe´u v`a chı’ nˆe´u λ l`a mˆo t nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng det(f−XidV) = det(A−XEn)

cu’a f. 2

Trong thu. c h`anh, d¯ˆe’ t`ım gi´a tri riˆeng v`a v´ecto riˆeng cu’a mˆo.t tu d¯ˆo`ng cˆa´u f ngu.`o.i ta l`am nhu sau:

Bu.´o.c 1: T`ım ma trˆa.n A cu’a f mˆo.t co so.’ tu`y ´y (e1, , en) cu’a V

Bu.´o.c 2: T´ınh d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng det(A−XEn)

Bu.´o.c 4: Gia’ su.’ λ l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯´o Gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ` n nhˆa a´t suy biˆe´n

                  

(a11−λ)x1 + a12x2 + a1nxn =

a21x1 + (a22−λ)x2 + a2nxn =

. . . . . . .

an1x1 + an2x2 + (ann−λ)xn =

Gia’ su.’ x0 = (x01, , xn0)t l`a mˆo.t nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ng cu’a hˆe n`ay Khi d¯´o, α =x0

1e1+· · ·+x0nen l`a mˆo.t v´ecto riˆeng cu’af ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆeng λ.

V´ı du : Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f cu’a khˆong gian v´ecto thu. c chiˆ` ue V c´o ma trˆa.n l`a

A =       

4 −5 −7 −9

      

trong co so.’ (e1, e2, e3) H˜ay t`ım c´ac gi´a tri riˆeng v`a c´ac v´ecto riˆeng cu’a f

L`o.i gia’i: D- a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’af l`a

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

4−X −5

5 −7−X

6 −9 4−X

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

=−X2(X−1)

Vˆa.yf c´o c´ac gi´a tri riˆeng l`a λ1 =λ2 = 0, λ3 =

V´o.i λ1 =λ2 = 0, hˆe phu.o.ng tr`ınh

            

4x−5y+ 2z = 5x−7y+ 3z = 6x−9y+ 4z =

c´o nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ng x = a, y = 2a, z = 3a d¯´o a 6= Vˆa.y a(e1 +

V´o.i λ3 = 1, hˆe phu.o.ng tr`ınh

            

3x−5y+ 2z = 5x−8y+ 3z = 6x−9y+ 3z =

c´o nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ngx=a, y =a, z =atrong d¯´oa6= Vˆa.ya(e1+e2+e3)

v´o.i a6= l`a v´ecto riˆeng cu’a f u.ng v´´ o.i gi´a tri riˆeng b˘a`ng 1.

Trong thuˆa.t to´an bu.´o.c d¯ˆe’ t`ım v´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng n´oi trˆen, bu.´o.c l`a kh´o ho.n ca’ N´oi chung, ta khˆong biˆe´t phu.o.ng tr`ınh det(A−XEn) = c´o nghiˆe.m

hay khˆong, v`a nˆe´u c´o th`ı t`ım b˘a`ng c´ach n`ao

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.6 Gia’ su.’ U l`a mˆo t khˆong gian v´ecto ˆo’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´o.i tu d¯ˆo`ng cˆa´u f : V → V Go i f¯: V /U → V /U, f[α] = [f(α)]¯ l`a d¯ˆ`ng cˆo a´u ca’m sinh bo.’ i f Khi d

¯´o, d¯a th´u.c d¯˘a c tru.ng cu’a f b˘a`ng t´ıch c´ac d¯a th´u.c d¯˘a c tru.ng cu’a f|U v`a cu’a f.¯

Ch´u.ng minh: Cho.n mˆo.t co so.’ bˆa´t k`y (e1, , em) cu’a U rˆ`i bˆo o’ sung n´o d¯ˆe’ nhˆa.n

d¯u.o. c mˆo.t co so.’ (e1, , em, , en) cu’a V V`ıU l`a mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh d¯ˆo´i

v´o.i f cho nˆen ma trˆa.n cu’a f co so.’ n´oi trˆen c´o da.ng A =

 

 B C

0 D

  ,

trong d¯´o B l`a ma trˆa.n cu’a f|U co so.’ (e1, , em) V`ı [e1] = · · · = [em] =

trong V /U cho nˆenD ch´ınh l`a ma trˆa.n cu’a ¯f co so.’ ([em+1], ,[en]) R˜o r`ang

det(A−XEn) = det(B −XEm) det(D−XEn−m)

N´oi c´ach kh´ac, ta c´o

Pf(X) = Pf|U(X)Pf¯(X)

2 Khˆong gian ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu d. ¯ˆ` ng cˆo a´u thu. c v`a ph´u.c

Trong tiˆe´t n`ay, ta s˜e x´et hai tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, d¯´oKl`a tru.`o.ng sˆo´ thu. c hay tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c, d¯ˆe’ c´o thˆem nh˜u.ng thˆong tin bˆo’ sung vˆ` nghiˆe.m cu’a c´ac d¯a th´u.ce v´o.i hˆe sˆo´ nh˜u.ng tru.`o.ng ˆa´y

V`ı mo.i d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c d¯ˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c, nˆen ta c´o d¯i.nh l´y sau d¯ˆay

D

- i.nh l´y 2.1 Mˆo˜i tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a mˆo t khˆong gian v´ecto ph´u.c d¯ˆ` u c´e o ´ıt nhˆa´t mˆo t gi´a tri riˆeng, v`a d¯´o c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f : V → V cu’a khˆong gian v´ecto ph´u.c V c´o ma trˆa.n l`a A mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o (e1, , en) cu’a V V`ıC l`a mˆo.t tru.`o.ng d¯´ong

d¯a.i sˆo´ nˆen phu.o.ng tr`ınh d¯a th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ ph´u.c Pf(X) = det(A−XEn) = c´o

´ıt nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m ph´u.c, k´y hiˆe.u l`a λ X´et hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t (A−λEn)x= 0, d¯´o xl`a mˆo.t ˆa’n v´ecto cˆo.t gˆo`m n th`anh phˆ` n ph´a u.c V`ı

det(A−λEn) = nˆen hˆe n´oi trˆen c´o nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ngx0 = (x01, , x0n)t∈

Cn Khi d¯´o α=Pn

i=1x0iei l`a mˆo.t v´ecto riˆeng ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆengλ. 2

C´ac d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c c´ o thˆe’ khˆong c´o nghiˆe.m thu c, nhu .ng luˆon luˆon c´o nghiˆe.m ph´u.c D- iˆe` u d¯´o l`a co so.’ cu’a d¯i.nh l´y sau d¯ˆay.

D- i.nh l´y 2.2 Mˆo˜i tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a mˆo t khˆong gian v´ecto thu. c d¯ˆ` u c´e o ´ıt nhˆa´t mˆo t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh mˆo.t ho˘a.c hai chiˆe` u.

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto thu c, v`a tu d¯ˆo`ng cˆa´u f :V →V c´o ma trˆa.n l`a A= (akj) mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o (e1, , en) cu’a V Khi d¯´o d¯a th´u.c

d¯˘a.c tru.ng Pf(X) = det(A−XEn) l`a mˆo.t d¯a th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ thu c

Nˆe´u phu.o.ng tr`ınh det(A−XEn) = c´o mˆo.t nghiˆe.m thu c th`ı f c´o v´ecto riˆeng,

Tr´ai la.i, gia’ su’ phu.o.ng tr`ınh det(A −XEn) = khˆong c´o nghiˆe.m thu c Go.i λ =

a+ib l`a mˆo.t nghiˆe.m ph´u.c khˆong thu c cu’a n´o, o.’ d¯ˆayi l`a d¯o.n vi a’o, a, b∈R, b6= Ta x´et hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t suy biˆe´n hˆe sˆo´ ph´u.c

(A−λEn)z = 0,

trong d¯´o z l`a mˆo.t ˆa’n v´ecto cˆo.t gˆo`m n th`anh phˆ` n Go.ia z0 = (z10, , z0n)t ∈ Cn l`a mˆo.t nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ng cu’a hˆe d¯´o Gia’ su’ z0

j = x0j +iyj0, (j = 1,2, , n)

Ta c´o

Pn

j=1akjzj0 =λz0k

⇐⇒ Pn

j=1akj(x0j +iyj0) = λ(x0k+iy0k) (k = 1, , n)

⇐⇒

    

P

jakjx0j = ax0k−byk0

P

jakjy0j = bx0k+ay0k.

D

- ˘a.t α=Pnj=1x0jej, β=

Pn

j=1yj0ej ∈V C´ac hˆe th´u.c trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i

    

f(α) = aα−bβ f(β) = bα+aβ

Ngh˜ıa l`a L = L(α, β) l`a mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh cu’a f Ta kh˘a’ng d¯i.nh r˘a`ng dimL(α, β) = Gia’ su.’ tr´ai la.i dimL(α, β) 6= V`ız0 6= 0, cho nˆen ho˘

a.c α 6= ho˘a.c β 6= Do d¯´o dimL(α, β) = Nhu thˆe´L l`a mˆo.t khˆong gian con f-ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u, n´oi c´ach kh´ac f c´o mˆo.t gi´a tri riˆeng thu c D - iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng det(A−XEn) = khˆong c´o nghiˆe.m thu c 2

Mˆe.nh d¯ˆe` 2.3 Mˆo˜i tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a mˆo t khˆong gian v´ecto thu. c sˆo´ chiˆ` u le’ d¯ˆee ` u c´o ´ıt nhˆa´t mˆo t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u.

Ch´u.ng minh: Nˆe´u khˆong gian v´ecto V c´o sˆo´ chiˆ` ue n le’, th`ı d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng Pf(X) cu’a mˆo˜i tu d¯ˆo`ng cˆa´uf c˜ung c´o bˆa.c le’, cu thˆe’ l`a b˘a`ng n Do d¯´o d¯a th´u.c n`ay

thu. c n`ao Nhˆa.n x´et r˘a`ng nˆe´u z=a+ib l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’aPf(X) th`ı liˆen ho p ph´u.c

cu’a n´o ¯z =a−ib c˜ung vˆa.y Hai nghiˆe.m n`ay phˆan biˆe.t, v`ız khˆong l`a mˆo.t sˆo´ thu c. Nhu vˆa.y, n nghiˆe.m ph´u.c cu’a Pf(X) d¯u.o c gh´ep th`anh t`u.ng c˘a.p liˆen ho p v´ o.i

V`ı thˆe´n l`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t

Ta d¯˜a ch´u.ng minh d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng Pf(X) c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m thu c Vˆ a.y

f c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t gi´a tri riˆeng thu c Do d¯´ o, n´o c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t khˆong gian ˆo’n

d¯i.nh mˆo.t chiˆe` u 2

V´ı du : Ph´ep quay m˘a.t ph˘a’ng R2 xung quanh gˆ

o´c to.a d¯ˆo mˆo.t g´oc ϕ c´o ma trˆa.n co so.’ ch´ınh t˘a´c l`a

A=

 

 cosϕ −sinϕ

sinϕ cosϕ

  . D- a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a ph´ep quay n`ay l`a

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

cosϕ−X −sinϕ sinϕ cosϕ−X

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯

= (cosϕ−X)2+ sin2ϕ =X2 −2 cosϕX+

Biˆe.t th´u.c ∆0 = cos2ϕ−1 = −sin2ϕ < 0 nˆe´uϕ 6=kπ V`ı thˆe´, ph´ep quay m˘

a.t ph˘a’ng

R2 xung quanh gˆo´c to.a d¯ˆo mˆo.t g´ocϕ khˆong c´o v´ecto riˆeng nˆe´u ϕ6=kπ. Tuy nhiˆen, nˆe´u ta x´et tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f cu’a C2 c˜ung c´o ma trˆ

a.n l`a A co so.’ ch´ınh t˘a´c, th`ı d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’af c˜ung l`a d¯a th´u.c n´oi trˆen Vˆa.y f c´o hai gi´a tri riˆeng ph´u.c l`aλ1,2 = cosϕ±isinϕ Dˆ˜ thˆa´y r˘a`nge

  

±i

 

 l`a c´ac v´ecto riˆeng cu’a f ´u.ng v´o.i c´ac gi´a tri riˆeng n´oi trˆen.

3 Tu. d¯ˆ` ng cˆo a´u ch´eo ho´a d¯u.o. c

Ch´ung ta vˆa˜n gia’ su.’ V l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto trˆen tru.`o.ng K

D

Go.i A∈M(n×n,K) l`a ma trˆa.n cu’a f mˆo.t co so.’ bˆa´t k`y cu’a V T`u d¯i.nh ngh˜ıa ta suy r˘a`ng f l`a ch´eo ho´a d¯u.o. c nˆe´u v`a chı’ nˆe´u c´o mˆo.t ma trˆa.n kha’ nghi.ch C ∈M(n×n,K) choC−1AC l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo N´oi c´ach kh´ac,f l`a ch´eo ho´a d¯u.o. c nˆe´u v`a chı’ nˆe´u A d¯ˆ`ng da.ng (trˆeno K) v´o.i mˆo.t ma trˆa.n ch´eo.

D- i.nh ngh˜ıa 3.2 Ma trˆa.n A∈ M(n×n,K) d¯ˆ`ng da.ng (trˆeno K) v´o.i mˆo.t ma trˆa.n ch´eo d¯u.o. c go.i l`ach´eo ho´a d¯u.o. c (trˆen K)

Theo d¯i.nh ngh˜ıa, A ch´eo ho´a d¯u.o. c nˆe´u v`a chı’ nˆe´u mo.i ma trˆa.n d¯ˆo`ng da.ng v´o.i n´o c˜ung ch´eo ho´a d¯u.o. c.

Viˆe.c t`ım mˆo.t co so.’ (nˆe´u c´o) cu’aV gˆ`m to`o an nh˜u.ng v´ecto riˆeng cu’a f d¯u.o. c go.i l`a viˆe.c ch´eo ho´a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f.

Viˆe.c t`ım mˆo.t ma trˆa.n kha’ nghi.ch C (nˆe´u c´o) cho C−1AC l`a mˆ

o.t ma trˆa.n ch´eo d¯u.o. c go.i l`a viˆe.c ch´eo ho´a ma trˆa n A.

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay s˜e cho mˆo.t d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u’ cho su ch´eo ho´a

D

- i.nh l´y 3.3 Gia’ su.’ α1, , αk l`a c´ac v´ecto riˆeng cu’a tu d¯ˆ`ng cˆo a´u f :V →V ´u.ng

v´o.i nh˜u.ng gi´a tri riˆeng d¯ˆoi mˆo.t kh´ac nhau λ1, , λk Khi d¯´o, c´ac v´ecto. α1, , αk

d

¯ˆo c lˆa p tuyˆe´n t´ınh.

Ch´u.ng minh: D- i.nh l´y d¯u.o c ch´u.ng minh b˘a`ng quy na.p theo k.

V´o.ik = 1, v´ecto riˆengα1 = 0, nˆ6 en hˆe chı’ gˆo`m mˆo.t v´ecto.α1 d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Gia’ su.’ quy na.p r˘a`ng d¯i.nh l´y d¯˜a d¯u.o c ch´u.ng minh cho hˆe gˆo`mk−1 v´ecto Bˆay gi`o ta gia’ su.’ c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh

a1α1+· · ·+akαk = 0,

trong d¯´o a1, , ak ∈K T´ac d¯ˆo.ng f v`ao hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c trˆen, ta nhˆa.n d¯u.o c

a1f(α1) +· · ·+akf(αk) =a1λ1α1+· · ·+akλkαk =

Nhˆan d¯˘a’ng th´u.c th´u nhˆa´t v´o.i λk rˆ`i tr`o u v`ao d¯˘a’ng th´u.c th´u hai, ta c´o

Theo gia’ thiˆe´t quy na.p, c´ac v´ecto.α1, , αk−1 d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, cho nˆen

a1(λ1−λk) =· · ·=ak−1(λk−1−λk) =

T`u d¯´o, doλi−λk 6= (i= 1, , k−1), nˆen

a1 =· · ·=ak−1 =

Thay c´ac gi´a tri d¯´o v`ao d¯˘a’ng th´u.c d¯ˆa`u tiˆen, ta thu d¯u.o c akαk = V`ı v´ecto riˆeng

αk6= 0, nˆen ak =

T´om la.ia1 =· · ·=ak−1 =ak = D- iˆe` u n`ay ch´u.ng to’ hˆe v´ecto.α1, , αk l`a mˆo.t

hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. 2

Hˆe qua’ 3.4 Gia’ su.’ V1, , Vk l`a c´ac khˆong gian riˆeng cu’a tu d¯ˆ`ng cˆo a´u f :

V → V ´u.ng v´o.i nh˜u.ng gi´a tri riˆeng d¯ˆoi mˆo.t kh´ac nhau λ1, , λk Khi d¯´o, tˆo’ng

V1+· · ·+Vk l`a mˆo t tˆo’ng tru c tiˆe´p.

Ch´u.ng minh: Theo d¯i.nh l´y trˆen

Vi∩(

X

j6=i

Vj) ={0},

v´o.i mo.i i= 1, , k Vˆa.y, tˆo’ng V1+· · ·+Vk l`a mˆo.t tˆo’ng tru c tiˆ e´p 2

Hˆe qua’ 3.5 (i) Nˆe´u dimV =n v`a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f :V →V c´on gi´a tri riˆeng d¯ˆoi mˆo t kh´ac nhau, th`ıf ch´eo ho´a d¯u.o. c.

(ii) Nˆe´u ma trˆa n A∈M(n×n,K) c´o n gi´a tri riˆeng d¯ˆoi mˆo.t kh´ac trong K, th`ıA ch´eo ho´a d¯u.o. c trˆen K.

Ch´u.ng minh: Go.i α1, , αn l`a hˆe gˆo`m n v´ecto riˆeng ´u.ng v´o.i n gi´a tri riˆeng d¯ˆoi

Nhˆa.n x´et: Hˆe qua’ n´oi trˆen chı’ nˆeu mˆo.t d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u’, m`akhˆong pha’i l`a d¯iˆ` u kiˆe.ne cˆ` na cho su. ch´eo ho´a Thˆa.t vˆa.y, tu d¯ˆ `ng cˆo a´u f =idV c´o gi´a tri riˆeng λ= v´o.i bˆo.i

n, nhu.ng idV d¯u.o.ng nhiˆen ch´eo ho´a d¯u.o c

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay l`a mˆo.t th´ai cu c kh´ac cu’a d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u’ cho su ch´eo ho´a N´o chı’ r˘a`ng mo.i ph´ep chiˆe´u lˆen mˆo.t khˆong gian n`ao d¯´o d¯ˆe` u ch´eo ho´a d¯u.o. c, m˘a.c d`u c´ac ph´ep chiˆe´u n`ay chı’ c´o thˆe’ c´o c´ac gi´a tri riˆeng b˘a`ng ho˘a.c 1, thu.`o.ng l`a v´o.i bˆo.i rˆa´t l´o.n D- i.nh l´y n`ay c˜ung d¯ˆo`ng th`o.i cho mˆo.t tiˆeu chuˆa’n d¯ˆe’ nhˆa.n biˆe´t c´ac ph´ep chiˆe´u

D- i.nh l´y 3.6 Gia’ su.’ tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f :V → V c´o t´ınh chˆa´t f2 =f Khi d¯´o f ch´eo

ho´a d¯u.o. c.

Ch´u.ng minh: D- ˘a.t U =Imf v`aW =Kerf Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng V =U ⊕W v`a f = prU l`a ph´ep chiˆe´u t`u.V lˆen U theo phu.o.ng W Tru.´o.c hˆe´t, nh˘a´c la.i r˘a`ng

U v`a W l`a c´ac khˆong gian f-ˆo’n d¯i.nh Gia’ su’ α ∈ U ∩W V`ı α ∈ W, nˆen f(α) = M˘a.t kh´ac α ∈ U = Imf, nˆen α = f(β) v´o.i β n`ao d¯´o thuˆo.c V Ta c´o f(α) = f(f(β)) = f2(β) =f(β) =α Kˆe´t ho. p hai su kiˆ e.n trˆen, ta c´oα=f(α) = 0. Vˆa.y U∩W ={0}

Mˆo˜i v´ecto.γ ∈V d¯ˆ` u c´e o thˆe’ phˆan t´ıch

γ =f(γ) + (γ−f(γ)), d¯´o f(γ)∈U v`aγ−f(γ)∈W Thˆa.y vˆa.y,

f(γ−f(γ)) = f(γ)−f2(γ) = f(γ)−f(γ) = T´om la.i, ta d¯˜a ch´u.ng minh r˘a`ng V =U⊕W

Gia’ su.’ (e1, , em) l`a mˆo.t co so.’ cu’aU, (o.’ d¯ˆaym= nˆe´uU ={0}) Trong phˆ` na

trˆen ta d¯˜a chı’ r˘a`ng f|U =idU V`ı thˆe´ c´ac v´ecto.e1, , em d¯ˆ` u l`e a v´ecto riˆeng cu’a

Gia’ su.’ (em+1, , en) l`a mˆo.t co so.’ cu’a W, (o.’ d¯ˆay n−m= nˆe´u W ={0}) V`ı

W =Kerf, nˆen c´ac v´ecto.em+1, , end¯ˆ` u l`e a v´ecto riˆeng cu’af ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆeng

b˘a`ng

Bo.’ i v`ıV =U⊕W, cho nˆen (e1, , em, em+1, , en) l`a mˆo.t co so.’ cu’aV gˆ`m to`o an

nh˜u.ng v´ecto riˆeng cu’af D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`af ch´eo ho´a d¯u.o. c. 2 D

- i.nh l´y sau d¯ˆay d¯u.a d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ cho su. ch´eo ho´a

D

- i.nh l´y 3.7 Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´uf cu’aK-khˆong gian v´ecto.nchiˆ` ue V ch´eo ho´a d¯u.o. c nˆe´u v`a chı’ nˆe´u hai d¯iˆ` u kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o c thoa’ m˜an:e

(i) D- a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a f c´o d¯u’ nghiˆe.m tru.`o.ng K:

Pf(X) = (−1)n(X−λ1)s1· · ·(X−λm)sm,

trong d¯´o λ1, , λm l`a c´ac vˆo hu.´o.ng d¯ˆoi mˆo t kh´ac trong K.

(ii) rank(f−λiidV) =n−si (v´o.i i= 1, , m)

Ch´u.ng minh: Gia’ su.’ f ch´eo ho´a d¯u.o. c Cu thˆe’ ho.n, gia’ su.’ ma trˆa.n cu’a f mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o cu’a V l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo D v´o.i s1 phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo

b˘a`ng λ1, , sm phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘`nga λm, d¯´oλ1, , λm d¯ˆoi mˆo.t kh´ac

nhau, v`an =s1 +· · ·+sm Khi d¯´o

Pf(X) =PD(X) = (λ1−X)s1· · ·(λm−X)sm

= (−1)n(X−λ1)s1· · ·(X−λm)sm.

Nhˆa.n x´et r˘a`ng ma trˆa.n (D−λiEn) l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo, v´o.isi phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng

ch´eo b˘a`ng λi−λi = 0, c´ac phˆ` n tu.a ’ c`on la.i b˘a`ng λj −λi 6= (v´o.i j 6=in`ao d¯´o) V`ı

thˆe´

rank(f−λiidV) = rank(D−λiEn) = n−si,

Ngu.o. c la.i, gia’ su’ c´ ac d¯iˆ` u kiˆe.n (i) v`a (ii) d¯u.o c thoa’ m˜an X´et khˆong gian cone riˆeng cu’a f u.ng v´´ o.i gi´a tri riˆeng λi : Vi =Ker(f −λiidV) (i= 1, , m) Ta c´o

dimVi = dimKer(f −λiidV) = n−rank(f−λiidV) = si.

Theo Hˆe qua’ 3.4, tˆo’ng V1 +· · · +Vm l`a mˆo.t tˆo’ng tru c tiˆ e´p, v´o.i sˆo´ chiˆ` u b˘e a`ng

s1+· · ·+sm =n Vˆa.y tˆo’ng d¯´o b˘a`ng to`an bˆo khˆong gian V:

V =V1⊕V2⊕ · · · ⊕Vm.

Lˆa´y mˆo.t co so.’ bˆa´t k`y (ei1, , eisi) cu’a Vi (v´o.i i= 1, , m) Khi d¯´o (e11, , e1s1, ,

em1, , emsm) l`a mˆo.t co so.’ cu’a V gˆ`m to`o an nh˜u.ng v´ecto riˆeng cu’a f Nhu vˆa.y f

ch´eo ho´a d¯u.o. c. 2

4 Tu. d¯ˆ` ng cˆo a´u l˜uy linh

Khˆong pha’i bˆa´t k`y tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u n`ao c˜ung ch´eo ho´a d¯u.o. c Tuy thˆe´, v´o.i nh˜u.ng gia’ thiˆe´t nhe., ngu.`o.i ta c´o thˆe’ d¯u.a ma trˆa.n cu’a mˆo.t tu d¯ˆo`ng cˆa´u vˆe` mˆo.t da.ng rˆa´t gˆa`n v´o.i da.ng ch´eo, d¯u.o c go.i l`a da.ng chuˆa’n t˘a´c Jordan D- ˆo´i v´o.i mˆo˜i tu d¯ˆo`ng cˆa´u, da.ng n`ay d¯u.o. c x´ac d¯i.nh nhˆa´t, sai k´em th´u tu cu’a c´ac khˆo´i kh´ac trˆen d¯u.`o.ng ch´eo Cho f : V → V l`a mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u cu’a V Gia’ su.’ ta c´o phˆan t´ıch V = V1⊕ · · · ⊕Vr, d¯´o mˆo˜iVi l`a mˆo.t khˆong gian f-ˆo’n d¯i.nh Gia’ su’ thˆem r˘ a`ng

d¯ˆay, d¯u.o. c go.i l`a tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a c´ac ma trˆa n J1, , Jr :

J1⊕ · · · ⊕Jr :=

                    

J1 | |

−− . −− .

0 | J2 |

−− . −− .

. . . .

. −−

0 | Jr

                    

.

Trong tiˆe´t n`ay, ch´ung ta s˜e nghiˆen c´u.u mˆo.t l´o.p c´ac tu d¯ˆo`ng cˆa´u f m`a ma trˆa.n cu’a n´o mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o c´o da.ng ch´eo khˆo´i nhu trˆen, v´o.i c´ac khˆo´i Ji thˆa.t

“d¯o.n gia’n” D- ´o l`a l´o.p c´ac tu d¯ˆo`ng cˆa´u lu˜y linh

D

- i.nh ngh˜ıa 4.1 (i) Tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u ϕ cu’a K-khˆong gian v´ecto.V d¯u.o. c go.i l`a l˜uy linh nˆe´u c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng k cho ϕk = Nˆe´u thˆem v`ao d¯´o ϕk−1 6= 0,

th`ık d¯u.o. c go.i l`abˆa c l˜uy linh cu’a ϕ.

(ii) Co so.’ (e1, , en) cu’a V d¯u.o c go.i l`a mˆo.t co so.’ xyclic d¯ˆo´i v´o.i ϕ nˆe´u ϕ(e1) =

e2, ϕ(e2) =e3, , ϕ(en) =

(iii) Khˆong gian v´ecto conU cu’a V d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tkhˆong gian xyclicd¯ˆo´i v´o.i ϕ nˆe´u U c´o mˆo.t co so.’ xyclic d¯ˆo´i v´o.i ϕ.

Nhˆa.n x´et r˘a`ng mˆo˜i tu d¯ˆ `ng cˆo a´u lu˜y linh d¯ˆ` u c´e o gi´a tri riˆeng nhˆa´t b˘a`ng 0. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ ϕ c´o bˆa.c lu˜y linh b˘a`ng k Theo d¯i.nh ngh˜ıa, tˆo`n ta.i v´ecto. α choϕk−1(α)6= v`aϕk(α) = Nhu thˆe´β =ϕk−1(α) ch´ınh l`a mˆo.t v´ecto riˆeng cu’a ϕ u.ng v´´ o.i gi´a tri riˆeng b˘a`ng Ngu.o c la.i, gia’ su.’α l`a mˆo.t v´ecto riˆeng cu’a ϕ ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆeng λ Ta c´o ϕ(α) =λα, d¯´o ϕk(α) =λkα V`ık l`a bˆa.c lu˜y linh cu’a ϕ nˆen ϕk = Do d¯´o λkα = V`ıα l`a mˆ

Ho.n n˜u.a, (e1, , en) l`a mˆo.t co so.’ xyclic d¯ˆo´i v´o.i ϕ nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ma trˆa.n cu’a

ϕ co so.’ n`ay c´o da.ng

                

0 0 0 0 0 0 . . . . . 0 0 0

                

.

D- i.nh l´y 4.2 Gia’ su.’ ϕ l`a mˆo t tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u l˜uy linh cu’a khˆong gian v´ecto h˜u.u ha n chiˆ` ue V Khi d¯´o, V phˆan t´ıch d¯u.o. c th`anh tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a c´ac khˆong gian con xyclic d¯ˆo´i v´o.iϕ Ho.n n˜u.a, v´o.i mˆo˜i sˆo´ nguyˆen du.o.ng s, sˆo´ khˆong gian con s chiˆ` ue xyclic d¯ˆo´i v´o.i ϕ trong mo i phˆan t´ıch nhu thˆe´ l`a khˆong d¯ˆo’i, v`a b˘a`ng

rank(ϕs−1)−2rank(ϕs) + rank(ϕs+1)

Ch´u.ng minh: Go.i k l`a bˆa.c l˜uy linh cu’a ϕ D- ˘a.t Vi = ϕk−i(V), ta thu d¯u.o c d˜ay

khˆong gian v´ecto lˆ`ng nhau:o

V =Vk ⊃Vk−1 ⊃ · · · ⊃V1 ⊃V0 ={0}.

Ta s˜e xˆay du. ng c´ac khˆong gian v´ecto Vij v´o.i 1≤j ≤i≤k c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(1) ϕ|Vj n :V

j n

∼

=

→Vnj−1 (n >1, j = 1,2, , n−1), (2) Ker(ϕ|Vn) =V

1

1 ⊕V22⊕ · · · ⊕Vnn (1≤n≤k),

(3) Vn =⊕1≤j≤i≤nVij (1≤n≤k).

Ta d¯˘a.tV1

Gia’ su.’ d¯˜a xˆay du. ng d¯u.o c c´ac khˆong gian Vij v´o.i ≤ j ≤ i < n thoa’ m˜an c´ac t´ınh chˆa´t n´oi trˆen V`ıϕ|Vn :Vn →Vn−1 l`a mˆo.t to`an ´anh, nˆen c´o thˆe’ cho.n c´ac khˆong gian Vn1, , Vnn−1 cho

ϕ|Vj n :V

j n

∼

=

→Vnj−1, (j = 1, , n−1)

Tiˆe´p theo, ta cho.nVnn l`a mˆo.t phˆa` n b`u tuyˆe´n t´ınh cu’aKer(ϕ|Vn−1) trongKer(ϕ|Vn) Nhu vˆa.y, ta c´o

Ker(ϕ|Vn) = Ker(ϕ|Vn−1)⊕V

n n

= V11⊕V22⊕ · · · ⊕Vnn. Khi d¯´o, c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯˘a’ng th´u.c sau b˘a`ng quy na.p theo n:

Vn= (⊕nj=1−1V

j

n)⊕(⊕1≤j<i<nVij)⊕Ker(ϕ|Vn) Kˆe´t ho. p hai d¯˘a’ng th´u.c o.’ trˆen ta thu d¯u.o. c

Vn =⊕1≤j≤i≤nV j i .

Nhu vˆa.y ho khˆong gian conVij v´o.i 1≤j ≤i≤k d¯˜a d¯u.o. c xˆay du. ng b˘a`ng quy na.p theo i.

X´et d˜ay c´ac khˆong gian v´ecto

Vkj →∼= Vkj−1 → · · ·∼= →∼= Vjj+1→∼= Vjj →0,

trong d¯´o c´ac m˜ui tˆen d¯ˆ` u chı’ c´e ac ha.n chˆe´ cu’a d¯ˆo`ng cˆa´uϕ Nhˆa.n x´et r˘a`ng mˆo˜i v´ecto e6= trongVkj d¯u.o. c d¯˘a.t tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t khˆong gian xyclic (k−j+ 1) chiˆ` ue d¯ˆo´i v´o.i ϕ, v´o.i mˆo.t co so.’ xyclic gˆo`m c´ac v´ecto sau d¯ˆay:

(e, ϕ(e), , ϕk−j(e))

Do d¯´o

V =Vk =⊕kj=1(V

j k ⊕V

j

k−1⊕ · · · ⊕V

j j)

l`a tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n khˆong gian xyclic d¯ˆo´i v´o.i ϕ.

Gia’ su.’ V = ⊕iWi l`a mˆo.t phˆan t´ıch cu’a V th`anh tˆo’ng tu c tiˆe´p cu’a c´ac khˆong

gian xyclic d¯ˆo´i v´o.i ϕ V`ı mˆo˜i Wi d¯ˆ` u l`e a mˆo.t khˆong gian ϕ-ˆo’n d¯i.nh, cho nˆen

rank(ϕ) =X

i

rank(ϕ|Wi)

Nˆe´u Wi l`a mˆo.t khˆong gianm chiˆ` u xyclic d¯ˆe o´i v´o.i ϕ th`ı dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng

rank(ϕs|Wi) =

    

m−s nˆe´u s ≤m, nˆe´u s > m. T`u d¯´o

rank(ϕs−1|Wi)−2rank(ϕ

s|

Wi) + rank(ϕ

s+1|

Wi) =

    

1 nˆe´u s =m, nˆe´u s 6=m. V`ı thˆe´, v´o.i mˆo˜i sˆo´ nguyˆen du.o.ngs,

rank(ϕs−1)−2rank(ϕs) + rank(ϕs+1)

ch´ınh l`a sˆo´ khˆong gian s chiˆ` u xyclic d¯ˆe o´i v´o.i ϕ trong mo.i phˆan t´ıch cu’a V 2

5 Ma trˆa.n chuˆa’n t˘a´c Jordan cu’a tu d. ¯ˆ` ng cˆo a´u Bˆay gi`o ta gia’ su.’ f : V → V l`a mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u bˆa´t k`y, khˆong nhˆa´t thiˆe´t l˜uy linh V´o.i mˆo˜iλ ∈K, ta x´et tˆa.p

Rλ ={α ∈V :∃m =m(α) cho (f−λidV)m(α) = 0}.

D- ´o l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto con, bo.’i v`ı n´o l`a ho p cu’a mˆo.t d˜ay c´ac khˆong gian v´ecto lˆ`ng v`o ao

Rλ = ∞

[

m=1

V`ıf giao ho´an v´o.i f−λidV, cho nˆenRλ l`a mˆo.t khˆong gian ˆo’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´o.if.

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u α∈Rλ th`ı c´o m >0 cho (f−λidV)m(α) = Do d¯´o

(f −λidV)mf(α) =f(f−λidV)m(α) = f(0) = 0.

Nhˆa.n x´et r˘a`ngRλ 6={0}nˆe´u v`a chı’ nˆe´u λl`a mˆo.t gi´a tri riˆeng cu’af Thˆa.t vˆa.y,

nˆe´u λ l`a mˆo.t gi´a tri riˆeng cu’a f, th`ı khˆong gian riˆeng Pλ = Ker(f −λidV) l`a

mˆo.t khˆong gian cu’aRλ: Pλ ⊂Rλ Ngu.o c la.i, gia’ su’.α ∈Rλ\{0}, cho.nm l`a sˆo´

nguyˆen du.o.ng nho’ nhˆa´t cho (f−λidV)m(α) = Khi d¯´oβ = (f−λidV)m−1(α)6=

0 l`a mˆo.t v´ecto riˆeng cu’a f u.ng v´´ o.i gi´a tri riˆeng λ, bo.’ i v`ı (f −λidV)(β) =

D- i.nh ngh˜ıa 5.1 Gia’ su.’ λ l`a mˆo.t gi´a tri riˆeng cu’a f.

(a) Rλ d¯u.o c go.i l`a khˆong gian riˆeng suy rˆo ng ´u.ng v´o.i gi´a tri riˆengλ.

(b) dimPλ v`a dimRλ d¯u.o c go.i tu.o.ng ´u.ng l`asˆo´ chiˆ` u h`ınh ho.ce v`asˆo´ chiˆ` u d¯a.i sˆo´e

cu’a gi´a tri riˆeng λ.

Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay gia’i th´ıch mˆo.t phˆa` n ´y ngh˜ıa cu’a nh˜u.ng thuˆa.t ng˜u n`ay

Mˆe.nh d¯ˆe` 5.2 Nˆe´u λ l`a mˆo t gi´a tri riˆeng cu’a tu d. ¯ˆ`ng cˆo a´u f : V → V th`ıdimRλ

b˘a`ng bˆo.i cu’a λ xem nhu nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a f.

Ch´u.ng minh: Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a khˆong gian riˆeng suy rˆo.ng, d¯ˆo`ng cˆa´u (f −λidV)|Rλ l`a lu˜y linh Do d¯´o, ´ap du.ng D- i.nh l´y 4.2 cho (f −λidV)|Rλ, ta c´o thˆe’ cho.n mˆo.t co so.’ cu’aRλ cho co so.’ d¯´o ma trˆa.n cu’af|Rλ c´o da.ng ch´eo khˆo´i, v´o.i c´ac khˆo´i trˆen d¯u.`o.ng ch´eo c´o da.ng

                

λ 0 0 λ 0 λ 0 . . . . . 0 λ 0 0 λ

                

T`u d¯´o suy d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’af|Rλ l`a

Pf|Rλ(X) = (λ−X)dimRλ.

Theo Mˆe.nh d¯ˆe` 1.6, ta c´o

Pf(X) = Pf|Rλ(X)Pf¯(X)

= (λ−X)dimRλP

¯

f(X),

trong d¯´o ¯f l`a d¯ˆ`ng cˆo a´u ca’m sinh bo.’ if trˆen khˆong gian thu.o.ngV /Rλ V`ı thˆe´, nˆe´u

go.i s l`a bˆo.i cu’a λ xem nhu nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a f, th`ı dimRλ ≤s.

Gia’ su.’ pha’n ch´u.ng dimRλ < s Khi d¯´o λ l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a Pf¯(X) Go.i

[α] ∈V /Rλ l`a mˆo.t v´ecto riˆeng cu’a ¯f u.ng v´´ o.i gi´a tri riˆeng λ Khi d¯´o ¯f[α] =λ[α].

Ngh˜ıa l`a c´o v´ecto.β ∈ Rλ cho f(α) =λα+β Do d¯´oβ = (f −λidV)(α) ∈Rλ

V`ı thˆe´, c´o sˆo´ nguyˆen m cho (f −λidV)m(α) = 0, ngh˜ıa l`a α ∈ Rλ D- iˆe` u n`ay

mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t [α]6= V /Rλ, v`ı d¯´o l`a mˆo.t v´ecto riˆeng

T´om la.i, ta c´o dimRλ =s. 2

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay l`a mˆo.t tˆo’ng qu´at ho´a cu’a Hˆe qua’ 3.5

D- i.nh l´y 5.3 (Da.ng chuˆa’n Jordan cu’a ma trˆa.n cu’a tu d¯ˆ `ng cˆo a´u tuyˆe´n t´ınh) Gia’ su.’ tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u f cu’a K-khˆong gian v´ecto. n chiˆ` ue V c´o d¯a th´u.c d¯˘a c tru.ng Pf(X) phˆan t´ıch d¯u.o c th`anh c´ac nhˆan tu.’ tuyˆe´n t´ınh trong K[X], t´u.c l`a

Pf(X) = (−1)n(X−λ1)s1· · ·(X−λm)sm,

trong d¯´o λ1, , λm l`a nh˜u.ng vˆo hu.´o.ng d¯ˆoi mˆo t kh´ac trong K Khi d¯´o, V phˆan

t´ıch d¯u.o. c th`anh tˆo’ng tru. c tiˆe´p c´ac khˆong gian riˆeng suy rˆo ng ´u.ng v´o.i nh˜u.ng gi´a tri riˆeng λ1, , λm:

V =Rλ1 ⊕ · · · ⊕Rλm,

tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a c´ac khˆo´i Jordan cˆa´p s c´o da ng

Js,λk =

                

λk 0 0

1 λk 0

0 λk 0

. . . . . 0 λk

0 0 λk

                

.

Sˆo´ khˆo´i Jordan cˆa´p s v´o.i phˆ` n tu.a ’ λk trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘a`ng

rank(f −λkidV)s−1−2rank(f −λkidV)s+ rank(f −λkidV)s+1.

Ma trˆa n n`ay d¯u.o. c x´ac d¯i.nh nhˆa´t bo’ i. f sai kh´ac th´u tu. s˘a´p xˆe´p c´ac khˆo´i Jordan trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh.

Ma trˆa.n n´oi d¯i.nh l´y trˆen d¯u.o c go.i l`a ma trˆa n da ng chuˆa’n Jordan cu’a tu.. d¯ˆ`ng cˆo a´u f

Ch´u.ng minh: Ta s˜e ch´u.ng minh d¯i.nh l´y theo nhiˆe` u bu.´o.c

Bu.´o.c 1: Gia’ su.’ λ 6= µ l`a c´ac gi´a tri riˆeng cu’a f V`ı c´ac d¯ˆ`ng cˆo a´u (f −λidV) v`a

(f −µidV) giao ho´an v´o.i nhau, nˆen ta c´o d¯ˆ`ng cˆo a´u

(f −λidV)|Rµ :Rµ→Rµ.

Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng d¯´o l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u V`ıRµ h˜u.u ha.n chiˆe` u, cho nˆen chı’ cˆ` na

ch´u.ng minh d¯ˆ`ng cˆo a´u n´oi trˆen l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u Gia’ su.’ pha’n ch´u.ng tˆo`n ta.i v´ecto α∈Rµ\ {0} cho (f−λidV)(α) = Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a khˆong gian riˆeng

suy rˆo.ng, c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng m cho

β = (f−µidV)m−1(α) 6= 0,

(f−µidV)(β) = (f−µidV)m(α) =

V`ı c´ac d¯ˆ`ng cˆo a´u (f −λidV) v`a (f −µidV) giao ho´an v´o.i nhau, cho nˆen

(f −λidV)(β) = (f−λidV)(f −µidV)m−1(α)

Kˆe´t ho. p hai d¯˘a’ng th´u.c trˆen ta c´o f(β) =λβ =µβ V`ıλ6=µ, nˆen d¯˘a’ng th´u.c trˆen dˆa˜n t´o.i β = Mˆau thuˆa˜n n`ay b´ac bo’ gia’ thiˆe´t pha’n ch´u.ng

Bu.´o.c 2: Ta ch´u.ng to’ r˘a`ngRλ1+· · ·+Rλm l`a mˆo.t tˆo’ng tru

c tiˆe´p trongV D- ˆe’ l`am d¯iˆ` u d¯´e o, ta ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i αi ∈Rλi \ {0}, hˆe v´ecto (α1, , αm) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Kh˘a’ng d¯i.nh d¯´o hiˆe’n nhiˆen d¯´ung v´o.i m = Gia’ su.’ qui na.p d¯iˆe` u d¯´o d¯´ung v´o.i m−1 X´et mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh bˆa´t k`y Pmi=1aiαi = v´o.i c´ac hˆe sˆo´ai ∈ K

Cho.n sˆo´ nguyˆen du.o.ng k cho (f −λmidV)k(αm) = T´ac d¯ˆo.ng (f −λmidV)k

v`ao hai vˆe´ cu’a r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh n´oi trˆen, ta thu d¯u.o c

mX−1

i=1

ai(f −λmidV)k(αi) = 0,

trong d¯´o, theo Bu.´o.c 1, c´ac v´ecto.βi = (f −λmidV)k(αi) d¯ˆ` u kh´e ac khˆong Rλi v´o.i mo.i i= 1, , m−1 Do d¯´o, theo gia’ thiˆe´t qui na.p, c´ac v´ecto d¯´o d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, ngh˜ıa l`a

a1 =· · ·=am−1 =

Thay c´ac gi´a tri n`ay v`ao r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh ban d¯ˆa` u, ta c´oamαm = T`u d¯´o, v`ı

αm 6= 0, nˆenam = Vˆa.y hˆe v´ecto (α1, , αm) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Bu.´o.c 3: V =Rλ1 ⊕ · · · ⊕Rλm

Thˆa.t vˆa.y, theo Mˆe.nh d¯ˆe` 5.2, dimRλi =si Do d¯´o, d¯iˆ` u pha’i ch´e u.ng minh d¯u.o c suy t`u d¯˘a’ng th´u.c sau

dim (Rλ1 ⊕ · · · ⊕Rλm) =

m

X

i=1

si =n= dimV.

Bu.´o.c 4: Bo.’ i v`ı (f−λkidV) lu˜y linh trˆen Rλk, cho nˆen theo D- i.nh l´y 4.2 th`ıf|Rλk c´o ma trˆa.n da.ng chuˆa’n Jordan mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o cu’a Rλk M˘a.t kh´ac, V = Rλ1 ⊕ · · · ⊕Rλm, cho nˆenf c´o ma trˆa.n da.ng chuˆa’n Jordan mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o cu’a V

Rλi l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u V`ı thˆe´, ta c´o

rank(f −λkidV)|Rs−λi1−2rank(f−λkidV)|sRλi + rank(f −λkidV)|sR+1λi =

Kˆe´t ho. p d¯iˆ` u n`e ay v´o.i d¯˘a’ng th´u.cV =Rλ1⊕· · ·⊕Rλm v`a mˆo.t lˆa` n n˜u.a ´ap du.ng D- i.nh l´y 4.2, ta thˆa´y mo.i ma trˆa.n da.ng chuˆa’n Jordan cu’a f, sˆo´ khˆo´i Jordan cˆa´p s v´o.i phˆ` n tu.a ’ λk trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh b˘a`ng

rank(f−λkidV)s−1−2rank(f−λkidV)s+ rank(f−λkidV)s+1

= rank(f−λkidV)|Rs−λk1 −2rank(f −λkidV)|sRλk + rank(f −λkidV)|sR+1λk.

V`ı sˆo´ n`ay nhu d¯ˆo´i v´o.i mo.i ma trˆa.n da.ng chuˆa’n Jordan cu’af, cho nˆen hai ma trˆa.n nhu vˆa.y chı’ kh´ac th´u tu cu’a c´ac khˆo´i Jordan trˆen d¯u.`o.ng ch´eo 2

Mˆo.t tru.`o.ng ho p riˆeng quan tro.ng cu’a d¯i.nh l´y trˆen l`a hˆe qua’ sau d¯ˆay

Hˆe qua’ 5.4 Nˆe´u K l`a mˆo t tru.`o.ng d¯´ong d¯a.i sˆo´ (ch˘a’ng ha.n K = C), th`ı mo i tu.. d

¯ˆ`ng cˆo a´u cu’a mˆo t K-khˆong gian v´ecto d¯ˆ` u c´e o ma trˆa n da ng chuˆa’n Jordan trong mˆo t co so.’ n`ao d¯´o cu’a khˆong gian. 2

V´ı du : T`ım da.ng chuˆa’n Jordan trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c cu’a ma trˆa.n sau d¯ˆay

A=

         

3 −4

4 −5 −2

0 −2

0 −1

         

.

L`o.i gia’i: Tru.´o.c hˆe´t ta t`ım d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a A:

det(A−XE4) =

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

3−X −4

4 −5−X −2

0 3−X −2

0 −1−X

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

D

- a th´u.c n`ay c´o d¯u’ nghiˆe.m thu cλ1 =λ2 = 1, λ3 =λ4 =−1 Vˆa.y, ma trˆa.n A d¯ˆ`ngo

da.ng trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c v´o.i mˆo.t ma trˆa.n Jordan J C´ac khˆo´i Jordan cu’a ma trˆa.n J n`ay c´o c´ac phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘a`ng ho˘a.c−1, v`a c´o cˆa´p tˆo´i d¯a b˘a`ng (l`a bˆo.i cu’a c´ac gi´a tri riˆeng v`a −1) V´o.i λ1 =λ2 = 1, ta c´o

rank(A−1E4) = rank

         

2 −4

4 −6 −2

0 −2

0 −2

         

= rank

         

1 −2

2 −3 −1

0 −1

0 −1

          = 3,

bo.’ i v`ı ma trˆa.n n`ay suy biˆe´n, v`a c´o d¯i.nh th´u.c cˆa´p o.’ g´oc tr´ai trˆen kh´ac Ho.n n˜u.a,

rank(A−1E4)2 = rank

         

1 −2

2 −3 −1

0 −1

0 −1

         

= rank

         

−3 −4 −4 −5

0 0

0 0

          = 2,

bo.’ i v`ı hai h`ang cuˆo´i cu’a ma trˆa.n b˘a`ng 0, v`a d¯i.nh th´u.c cˆa´p o.’ g´oc tr´ai trˆen kh´ac Nhu thˆe´, sˆo´ khˆo´i Jordan cˆa´p cu’a ma trˆa.n Jordan J v´o.i phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘a`ng l`a

rank(A−1E4)0−2rank(A−1·E4)1+ rank(A−1·E4)2 = 4−6 + =

Kˆe´t ho. p d¯iˆ` u d¯´e o v´o.i su. kiˆe.n λ= l`a nghiˆe.m k´ep cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a A, ta suy J ch´u.a d¯´ung mˆo.t khˆo´i Jordan cˆa´p v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘a`ng Tu.o.ng tu. , v´o.i λ3 =λ4 =−1, ta c´o

rank(A+ 1E4) = rank

         

4 −4

4 −4 −2

0 −2

0

         

= rank

         

2 −2

2 −2 −1

0 −1

0

bo.’ i v`ı d¯´o l`a mˆo.t ma trˆa.n suy biˆe´n v`a d¯i.nh th´u.c cˆa´p o.’ g´oc pha’i du.´o.i cu’a n´o kh´ac Tiˆe´p theo,

rank(A+ 1E4)2 = rank

         

2 −2

2 −2 −1

0 −1

0

         

= rank

         

0 −2 0 −1 0 −2 0 −1

          =

Nhu thˆe´, sˆo´ khˆo´i Jordan cˆa´p cu’a ma trˆa.n Jordan J v´o.i phˆ` n tu.a ’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘a`ng -1 l`a

rank(A+ 1E4)0−2rank(A+ 1·E4)1+ rank(A+ 1·E4)2 = 4−6 + =

T`u d¯´o, v`ıλ = −1 l`a nghiˆe.m k´ep cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a A, ta suy ra J ch´u.a d¯´ung mˆo.t khˆo´i Jordan cˆa´p v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo b˘a`ng −1

T´om la.i, da.ng chuˆa’n Jordan cu’a ma trˆa.n A l`a

J =          

1 0

1 0

0 −1 0 −1

          .

B`ai tˆa.p

1 T`ım gi´a tri riˆeng v`a v´ecto riˆeng cu’a c´ac tu d¯ˆo`ng cˆa´u c´o ma trˆa.n sau d¯ˆay mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o cu’a khˆong gian:

(a)       

2 −1 −3 −1 −2

       , (b)       

4 −5 −7 −9

(c)       

1 −3 −2 −6 13 −1 −4

     

, (d)       

1 −3 4 −7 −7

      , (e)          

1 0 0 0 0 0 0

          , (f)          

3 −1 0

1 0

3 −3 −1 −1

          .

2 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u tu d¯ˆo`ng cˆa´uϕ cu’a khˆong gian v´ecto.n chiˆ` ue V c´on gi´a tri riˆeng kh´ac v`a ψ l`a mˆo.t tu d¯ˆ `ng cˆo a´u giao ho´an v´o.i ϕ, th`ı mˆo˜i v´ecto riˆeng cu’a ϕ c˜ung l`a mˆo.t v´ecto riˆeng cu’aψ v`aψ c´o mˆo.t co so.’ gˆo`m to`an v´ecto riˆeng cu’a n´o

3 X´ac d¯i.nh xem nh˜u.ng tu d¯ˆo`ng cˆa´u d¯u.o c cho bo.’i c´ac ma trˆa.n sau mˆo.t co so.’ n`ao d¯´o cu’a khˆong gian v´ecto.V c´o ch´eo ho´a d¯u.o. c khˆong Nˆe´u c´o, h˜ay x´ac d¯i.nh co so.’ d¯´o ma trˆa.n cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u c´o da.ng ch´eo v`a x´ac d¯i.nh ma trˆa.n n`ay.

(a)       

−1 −1 −3 −1

−3

       , (b)       

6 −5 −3 −2 −2 −2

       , (c)          

1 1

1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

          , (d)          

4 −3 −8 −12 −3 2

4 Cho ma trˆa.n cˆa´p n

A=

             

0 0 . . . . 0 0

             

.

T`ım ma trˆa.n kha’ nghi.ch T cho B =T−1AT l`a mˆo.t ma trˆa.n ch´eo, v`a t`ım B.

5 Ma trˆa.n A c´o c´ac vˆo hu.´o.ng a1, a2, , an n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng ch´eo th´u hai (theo

th´u tu. t`u h`ang mˆo.t t´o.i h`ang n) c`on tˆa´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’ kh´ac b˘a`ng T`ım d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’e A ch´eo ho´a d¯u.o. c.

6 T`ım gi´a tri riˆeng v`a v´ecto riˆeng cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u x´ac d¯i.nh bo.’i ph´ep d¯a.o h`am khˆong gian v´ecto c´ac d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c c´ o bˆa.c khˆong vu.o t qu´a n. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u ´ıt nhˆa´t mˆo.t hai ma trˆa.nA v`aB kha’ nghi.ch, th`ı

c´ac ma trˆa.n t´ıch AB v`a BA d¯ˆ`ng da.ng v´o.i T`ım v´ı du vˆeo ` c´ac ma trˆa.n A, B cho AB khˆong d¯ˆ`ng da.ng v´o.io BA.

8 T`ım tˆa´t ca’ c´ac ma trˆa.n chı’ d¯ˆo`ng da.ng v´o.i ch´ınh n´o m`a thˆoi.

9 Ma trˆa.n B nhˆa.n d¯u.o c t`u ma trˆa.n A b˘a`ng c´ach d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac h`ang i v`a j d¯ˆ`ng th`o o.i d¯ˆo’i chˆo˜ c´ac cˆo.t i v`a j T`ım ma trˆa.n khˆong suy biˆe´n T cho B =T−1AT.

10 Ch´u.ng minh r˘a`ng ma trˆa.nA d¯ˆ`ng da.ng v´o.i ma trˆa.no B nhˆa.n d¯u.o c t`u.Ab˘a`ng ph´ep d¯ˆo´i x´u.ng qua tˆam cu’a n´o

c´ac ma trˆa.n sau d¯ˆo`ng da.ng: A=          

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

. . . an1 an2 ann

         

v`a B =

         

ai1i1 ai1i2 ai1in ai2i1 ai2i2 ai2in

. . .

aini1 aini2 ainin

          .

C´ac ma trˆa.n sau d¯ˆay c´o d¯ˆo`ng da.ng v´o.i hay khˆong ? 12 A=       

3 −5 −10 −3

      

v`a B =

      

6 20 −34 32 −51 20 −32

       . 13 A =       

4 −15 −5 −4

     

, B =       

1 −3 −2 −6 13 −1 −4

     

, C =       

−13 −70 119 −4 −19 34 −4 −20 35

      .

14 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac hˆe sˆo´ cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a ma trˆa.nA c´o thˆe’ mˆo ta’ nhu sau:

|A−XE|= (−X)n+c1(−X)n−1+c2(−X)n−2 +· · ·+cn,

trong d¯´ock l`a tˆo’ng cu’a tˆa´t ca’ c´ac d¯i.nh th´u.c ch´ınh cˆa´pk cu’a ma trˆa.n A.

(Mˆo.t d¯i.nh th´u.c d¯u.o c go.i l`a ch´ınh nˆe´u c´ac chı’ sˆo´ h`ang v`a c´ac chı’ sˆo´ cˆo.t cu’a n´o tr`ung nhau.)

15 Gia’ su.’ p > l`a bˆo.i cu’a λ0 xem nhu nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a ma

trˆa.n vuˆongA cˆa´pn Go.ir l`a ha.ng cu’a ma trˆa.n (A−λ0E) Ch´u.ng minh r˘a`ng

16 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o A−1 b˘a`ng nghi.ch d¯a’o cu’a c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.nA (kˆe’ ca’ bˆo.i).

17 Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n A2 b˘a`ng b`ınh phu.o.ng cu’a c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n A (kˆe’ ca’ bˆo.i).

18 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u λ1, , λn l`a c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n A v`a f(X) l`a

mˆo.t d¯a th´u.c th`ıf(λ1), , f(λn) l`a c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n f(A).

19 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u Av`a B l`a c´ac ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p th`ı c´ac d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng cu’a c´ac ma trˆa.n AB v`aBA tr`ung

20 T`ım c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n xyclic

A=              

a1 a2 a3 an

an a1 a2 an−1

an−1 an a1 an−2

. . . . a2 a3 a4 a1

              .

21 T`ım c´ac gi´a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n cˆa´p n sau d¯ˆay

A=              

0 −1 0 0 −1 0 −1 0 . . . . . .

0 0

              .

T`ım da.ng chuˆa’n Jordan cu’a c´ac ma trˆa.n sau d¯ˆay: 22 (a)       

2 −15 1 −5 −6

       , (b)       

1 −3 −2 −6 13 −1 −4

(c)       

1 −3 4 −7 −7

     

, (d)       

a 0 a a a

     

 (v´o.i a6= 0)

23 (a)          

3 −1 0

1 0

3 −3 −1 −1

          , (b)          

3 −4

4 −5 −2

0 −2

0 −1

          . 24              

1 −1 0 0 −1 0 0 −1 0 . . . . . .

0 0

              . 25              

1 0 0 . . . . . n

              . 26                 

0 a 0 0 a 0 0 a . . . . . 0 0 a a 0

27              

a a12 a13 a1n

0 a a23 a2n

0 a a3n

. . . .

0 0 a

              ,

trong d¯´oa12a23· · ·an−1n6=

28 Gia’ su.’ K l`a mˆo.t tru.`o.ng d¯´ong d¯a.i sˆo´ Ch´u.ng minh r˘a`ng ma trˆa.n A v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ K l`a l˜uy linh (t´u.c l`a Ak = v´o.i mˆ

o.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng k n`ao d¯´o) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u tˆa´t ca’ c´ac gi´a tri riˆeng cu’a n´o b˘a`ng 0.

29 Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i ma trˆa.n l˜uy linh kh´ac d¯ˆe` u khˆong ch´eo ho´a d¯u.o. c. 30 T`ım da.ng chuˆa’n Jordan cu’a ma trˆa.nl˜uy d¯˘a’ngA(t´u.c l`a ma trˆa.n v´o.i t´ınh chˆa´t

A2 =A).

31 Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i ma trˆa.n d¯ˆo´i ho. p A (t´u.c l`a ma trˆa.n v´o.i t´ınh chˆa´t A2 = E) d¯ˆ` u d¯ˆe `ng da.ng v´o.i mˆo.t ma trˆa.n ch´eo T`ım da.ng cu’a c´ac ma trˆa.no

ch´eo d¯´o

32 Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i ma trˆa.n tuˆ` n ho`a an A (t´u.c l`a ma trˆa.n v´o.i t´ınh chˆa´t Ak=E, v´o.i mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng k n`ao d¯´o) d¯ˆ` u d¯ˆe `ng da.ng v´o.i mˆo.t ma trˆa.no ch´eo T`ım da.ng cu’a c´ac ma trˆa.n ch´eo d¯´o.

33 Cho A l`a mˆo.t khˆo´i Jordan cˆa´pn

A=          

a 0 a . . . . 0 a

Ch´u.ng minh r˘a`ng gi´a tri cu’a d¯a th´u.c f(X) thay X = A d¯u.o. c hco bo’ i cˆong th´u.c sau d¯ˆay

f(A) =

         

f(a) f01!(a) f002!(a) f((nn−−1)1)!(a) f(a) f01!(a) f((nn−−2)2)!(a)

. . . .

0 0 f(a)

          .

34 T`ım da.ng chuˆa’n Jordan cu’a b`ınh phu.o.ng cu’a mˆo.t khˆo´i Jordan v´o.i n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh

35 T`ım da.ng chuˆa’n Jordan cu’a ma trˆa.n sau d¯ˆay v´o.i cˆa´p n≥3

A=          

a 0 a . . . . . 0 a

          .

36 Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i ma trˆa.n vuˆong v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ mˆo.t tru.`o.ng d¯´ong d¯a.i sˆo´ d¯ˆe` u c´o thˆe’ viˆe´t th`anh t´ıch cu’a hai ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng m`a mˆo.t hai ma trˆa.n ˆa´y khˆong suy biˆe´n.

37 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u ma trˆa.n A c´o da.ng d¯u.`o.ng ch´eo khˆo´i

A=          

A1

0 A2

. . . 0 As

          ,

trong d¯´oA1, A2, , As l`a c´ac ma trˆa.n vuˆong, v`a f(X) l`a mˆo.t d¯a th´u.c cu’a ˆa’n

X th`ı

f(A) =

         

f(A1)

0 f(A2)

. . .

0 f(As)

38 Cho A l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’ mˆo.t tru.`o.ng d¯´ong d¯a.i sˆo´K Go.iλ1, λ2, , λn l`a c´ac gi´a tri riˆeng (kˆe’ ca’ bˆo.i) cu’aA Ch´u.ng minh

Chu.o.ng V

KH ˆONG GIAN V´ECTO. EUCLID

Cˆa´u tr´uc khˆong gian v´ecto cho ph´ep diˆ˜n d¯a.t c´ac kh´ai niˆe.m nhu d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´ne t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, tˆa.p sinh, ha.ng, co so.’ v`a toa d¯ˆo., khˆong gian k chiˆ` u (d¯u.`e o.ng th˘a’ng, m˘a.t ph˘a’ng) Tuy nhiˆen cˆa´u tr´uc n`ay chu.a cho ph´ep n´oi d¯ˆe´n c´ac kh´ai niˆe.m mang nˆo.i dung h`ınh ho.c nhiˆe` u ho.n nhu.d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto.v`ag´oc gi˜u.a hai v´ecto D- ˆe’ diˆe˜n d¯a.t nh˜u.ng kh´ai niˆe.m n`ay, ngu.`o.i ta cˆa`n cˆa´u tr´uc khˆong gian v´ecto Euclid

C´ac khˆong gian v´ecto loa.i d¯˘a.c biˆe.t n`ay khˆong d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o c trˆen mˆo.t tru.`o.ng co so.’ t`uy ´y V`ı thˆe´ hˆ` u nhu to`a an bˆo chu.o.ng n`ay ta chı’ x´et c´ac khˆong gian v´ecto (trˆen tru.`o.ng sˆo´) thu. c Tiˆe´t cuˆo´i cu’a chu.o.ng s˜e d¯u.o. c d`anh d¯ˆe’ x´et nh˜u.ng thay d¯ˆo’i cˆ` n thiˆe´t chuyˆe’n sang khˆa ong gian v´ecto ph´u.c

1 Khˆong gian v´ecto Euclid

Nh˘a´c la.i r˘a`ng, h`ınh ho.c so cˆa´p, t´ıch vˆo hu.´o.ng cu’a hai v´ecto d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa b˘a`ng t´ıch cu’a d¯ˆo d`ai hai v´ecto d¯´o v`a cˆosin cu’a g´oc xen gi˜u.a ch´ung Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng, ngu.o. c la.i, d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc xen gi˜u.a hai v´ecto c´o thˆe’ biˆe’u thi qua t´ıch vˆo hu.´o.ng Ngu.`o.i ta nhˆa.n thˆa´y r˘a`ng, d¯ˆe’ d¯u.a nh˜u.ng kh´ai niˆe.m n`ay v`ao c´ac khˆong gian v´ecto tr`u.u tu.o. ng, viˆe.c tru c tiˆ e´p tr`u.u tu.o. ng ho´a c´ac kh´ai niˆe.m d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc xen gi˜u.a hai v´ecto kh´o ho.n nhiˆ` u so v´e o.i viˆe.c tr`u.u tu.o ng ho´a kh´ai niˆe.m t´ıch vˆo hu.´o.ng V`ı thˆe´, tru.´o.c hˆe´t ch´ung ta nghiˆen c´u.u kh´ai niˆe.m t´ıch vˆo hu.´o.ng Rˆo`i su.’ du.ng n´o d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc xen gi˜u.a hai v´ecto

d¯u.o. c go.i l`a song tuyˆe´n t´ınh nˆe´u n´o tuyˆe´n t´ınh d¯ˆo´i v´o.i t`u.ng biˆe´n cˆo´ d¯i.nh biˆe´n c`on la.i Mˆo˜i h`am song tuyˆe´n t´ınh nhu thˆe´ d¯u.o c go.i l`a mˆo.t da ng song tuyˆe´n t´ınh trˆen E.

D- i.nh ngh˜ıa 1.1 (i) Da.ng song tuyˆe´n t´ınhη:E×E →R d¯u.o. c go.i l`ad¯ˆo´i x´u.ng nˆe´u

η(α, β) =η(β, α), ∀α, β ∈E. (ii) η d¯u.o. c go.i l`a du.o.ng nˆe´u

η(α, α)≥0, ∀α∈E. (iii) η d¯u.o. c go.i l`a x´ac d¯i.nh du.o.ng nˆe´u n´o du.o.ng v`a

η(α, α) = 0 ⇔ α =

(iv) Mˆo.t da.ng song tuyˆe´n t´ınh, d¯ˆo´i x´u.ng v`a x´ac d¯i.nh du.o.ng trˆen E d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tt´ıch vˆo hu.´o.ngtrˆenE

T´ıch vˆo hu.´o.ng trˆen khˆong gian E thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a h·,·i: h·,·i: E×E → R

(α, β) 7→ hα, βi.

Sˆo´ thu. c hα, βi d¯u.o. c go.i l`a t´ıch vˆo hu.´o.ng cu’a hai v´ecto.α v`a β Nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.ne d¯ˆe’ h·,·il`a mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng d¯u.o c liˆe.t kˆe nhu sau:

T´ınh song tuyˆe´n t´ınh hα1+α2, βi = hα1, βi+hα2, βi,

haα, βi = ahα, βi,

hα, β1+β2i = hα, β1i+hα, β2i,

hα, aβi = ahα, βi, T´ınh d¯ˆo´i x´u.ng hα, βi = hβ, αi, T´ınh x´ac d¯i.nh du.o.ng hα, αi ≥ 0,

D

- i.nh ngh˜ıa 1.2 Khˆong gian v´ecto thu. c E c`ung v´o.i mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng trˆen E d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto Euclid.

V´ı du 1.3 (a) Khˆong gian c´ac v´ecto tu. d¯˜a ho.c o’ h`ınh ho.c so cˆa´p l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto Euclid v´o.i t´ıch vˆo hu.´o.ng thˆong thu.`o.ng

hα, βi=|α||β|cos6 (α, β)

(b) Gia’ su.’ E l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto thu c n chiˆ` u v`e a (e1, e2, , en) l`a mˆo.t co

so.’ cu’a n´o C´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng trˆen E nhu sau Nˆe´u α =Pixiei, β =

P

iyiei, th`ı ta d¯˘a.t

hα, βi=

n

X

i=1

xiyi.

N´oi riˆeng, nˆe´uE =Rn v`a (e1, e2, , en) l`a co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’aRn, th`ı t´ıch vˆo

hu.´o.ng cu’a hai v´ecto.α =

              x1 . . . xn               , β =               y1 . . . yn              

d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa l`a

hα, βi=

n

X

i=1

xiyi.

N´o d¯u.o. c go.i l`a t´ıch vˆo hu.´o.ng ch´ınh t˘a´c trˆen Rn Nhˆ

a.n x´et r˘a`ng theo c´ach n`ay mˆo˜i co so.’ cu’a E cho ph´ep x´ac d¯i.nh trˆen E mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng Hai t´ıch vˆo hu.´o.ng x´ac d¯i.nh bo’ i hai co so ’ kh´ac th`ı n´oi chung kh´ac

(c) Gia’ su.’ E =C[a, b] l`a khˆong gian c´ac h`am thu. c liˆen tu.c trˆen [a, b] Cˆong th´u.c hf, gi=

Z b

a

f(x)g(x)dx, f, g∈C[a, b]

Mˆo˜i khˆong gian v´ecto F cu’a khˆong gian v´ecto Euclid E d¯u.o. c trang bi mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng, l`a thu he.p cu’a t´ıch vˆo hu.´o.ng d¯˜a cho trˆenE V`ı thˆe´F c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto Euclid N´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.tkhˆong gian v´ecto Euclid con cu’a E.

Bˆay gi`o ta d¯i.nh ngh˜ıa d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc gi˜u.a hai v´ecto mˆo.t khˆong gian v´ecto Euclid

D

- i.nh ngh˜ıa 1.4 Gia’ su.’ E l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto Euclid v´o.i t´ıch vˆo hu.´o.ng h·,·i Khi d¯´o, d¯ˆo d`ai (hay chuˆa’n) cu’a v´ecto.α∈E l`a sˆo´ thu. c khˆong ˆam |α|=

q

hα, αi Nhˆa.n x´et r˘a`ng, ngu.o c la.i, t´ıch vˆo hu.´o.ng c˜ung d¯u.o c ho`an to`an x´ac d¯i.nh bo.’i d¯ˆo d`ai v´ecto Thˆa.t vˆa.y

hα, βi=

2{|α+β|

2− |α|2 − |β|2}.

D

- ˆe’ d¯i.nh nghi˜a d¯u.o c g´oc gi˜u.a hai v´ecto., ta cˆa`n mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.5 (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Cauchy-Schwarz)

|hα, βi| ≤ |α||β|, ∀α, β ∈E.

Ch´u.ng minh: Ta c´ohtα+β, tα+βi ≥0,∀t∈R. Hay l`a t2hα, αi+ 2thα, βi+hβ, βi ≥0,∀t ∈R.

Vˆe´ tr´ai l`a mˆo.t tam th´u.c bˆa.c hai d¯ˆo´i v´o.i t N´o khˆong ˆam v´o.i mo.i gi´a tri cu’a t, cho nˆen

∆0 =hα, βi2− hα, αihβ, βi ≤0 T`u d¯´o

hα, βi2 ≤ hα, αihβ, βi. Khai c˘an hai vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c, ta c´o

|hα, βi| ≤

q

hα, αi

q

Trong Rn v´o.i t´ıch vˆo hu.´o.ng ch´ınh t˘a´c, bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen c´o da.ng |Xn

i=1

xiyi| ≤

v u u tXn

i=1

x2

i

v u u tXn

i=1

y2

i, ∀xi, yi ∈R.

D- i.nh ngh˜ıa 1.6 G´oc gi˜u.a hai v´ecto kh´ac khˆong α v`a β d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i 6 (α, β) v`a d¯u.o. c x´ac d¯i.nh nhˆa´t bo’ i c´ ac d¯iˆ` u kiˆe.n saue

    

cos6 (α, β) = h|αα,β||βi|, 0≤6 (α, β)≤π.

Ta coi g´oc gi˜u.a v´ecto v`a mˆo.t v´ecto kh´ac l`a khˆong x´ac d¯i.nh

D- i.nh ngh˜ıa 1.7 Hai v´ecto α, β ∈ E d¯u.o. c go.i l`a vuˆong g´oc (hay tru. c giao) v´o.i nhau, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`aα ⊥β, nˆe´u

hα, βi=

Nhu vˆa.y, hα, βi= nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ho˘a.c l`a ´ıt nhˆa´t mˆo.t hai v´ecto.α, β b˘a`ng 0, ho˘a.c l`a6 (α, β) = π2

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.8 (D- i.nh l´y Pythagore) Nˆe´u α ⊥β, th`ı |α+β|2 =|α|2+|β|2.

Ch´u.ng minh: Ta c´o

hα+β, α+βi=hα, αi+ 2hα, βi+hβ, βi. V`ıα⊥β, cho nˆenhα, βi= Do d¯´o|α+β|2 =|α|2+|β|2. 2

C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a d¯ˆo d`ai v´ecto d¯u.o c liˆe.t kˆe mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay

(iii) (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam gi´ac)

|α+β| ≤ |α|+|β|, ∀α, β ∈E.

Ch´u.ng minh: C´ac phˆ` n (i) v`a a (ii) d¯u.o. c suy t`u d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯ˆo d`ai v´ecto (iii) Theo bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Cauchy-Schwarz ta c´o

|α+β|2 = hα+β, α+βi=hα, αi+ 2hα, βi+hβ, βi ≤ |α|2 + 2|α||β|+|β|2 = (|α|+|β|)2. 2

Khoa’ng c´ach t`u v´ecto.α t´o.i v´ecto.β d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau: d(α, β) =|α−β|.

H`am khoa’ng c´ach c´o nh˜u.ng t´ınh chˆa´t co ba’n sau d¯ˆay: (i) d(α, β)≥0, ∀α, β ∈E,

d(α, β) = 0 ⇔ α=β. (ii) d(α, β) = d(β, α) ∀α, β ∈E. (iii) (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam gi´ac)

d(α, γ)≤d(α, β) +d(β, γ) ∀α, β, γ ∈E.

D- i.nh ngh˜ıa 1.10 (i) Hˆe v´ecto (e1, , ek) cu’a khˆong gian v´ecto Euclid E d¯u.o c

go.i l`a mˆo.thˆe tru c giao. nˆe´u c´ac v´ecto cu’a hˆe d¯ˆoi mˆo.t vuˆong g´oc v´o.i nhau, t´u.c l`a

hei, eji= 0, nˆe´u i6=j.

(ii) Hˆe v´ecto (e1, , ek) d¯u.o c go.i l`a mˆo.thˆe tru c chuˆ. a’nnˆe´u n´o l`a mˆo.t hˆe tru c giao

v`a mˆo˜i v´ecto cu’a hˆe d¯ˆe` u c´o d¯ˆo d`ai b˘a`ng 1, t´u.c l`a hei, eji=

    

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.11 (i) Mˆo˜i hˆe tru c giao khˆong ch´u.a v´ecto.0 d¯ˆ` u d¯ˆe o c lˆa p tuyˆe´n t´ınh. (ii) Nˆe´u hˆe v´ecto.(e1, , ek)l`a tru c giao v`a khˆong ch´u.a v´ecto.0, th`ı hˆe.(|ee11|, ,|eek

k|) l`a tru. c chuˆa’n.

Ch´u.ng minh: (i) Gia’ su.’ (e1, , ek) l`a mˆo.t hˆe tru c giao v` a khˆong ch´u.a v´ecto

Gia’ su.’ c´o mˆo.t r`ang buˆo.c tuyˆe´n t´ınh

a1e1+· · ·+akek =

Nhˆan vˆo hu.´o.ng hai vˆe´ v´o.i ek, v`a su.’ du.ng gia’ thiˆe´tej ⊥ej v´o.i i6=j, ta c´o:

0 =ha1e1+· · ·+akek, eki = a1he1, eki+· · ·+akhek, eki

= akhek, eki.

V`ıek 6= 0, nˆenhek, eki>0 Do d¯´oak = T`u d¯´o ta thu d¯u.o c r`ang buˆo.c

a1e1+· · ·+ak−1ek−1 =

L˘a.p la.i lˆa.p luˆa.n trˆen v´o.i k d¯u.o. c thay bo’ i k−1, ta thu d¯u.o. c ak−1 = Cuˆo´i c`ung

ta thu d¯u.o. c

a1 =a2 =· · ·=ak=

Vˆa.y hˆe (e1, , ek) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

(ii) Ta c´o h ei

|ei|

, ej |ej|

i=

|ei||ej|

hei, eji=

    

0, nˆe´u i6=j, 1, nˆe´u i=j.2

Mˆo.t co so.’ cu’a E d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t hˆe tru c chuˆ a’n d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t co so.’ tru. c chuˆa’n D- i.nh l´y sau d¯ˆay n´oi lˆen t´ınh phˆo’ biˆe´n cu’a co so.’ tru c chuˆa’n

D

Ch´u.ng minh: D- i.nh l´y d¯u.o c ch´u.ng minh b˘a`ng ph´ep tru. c giao ho´a Shmidt.

Gia’ su.’ (α1, , αn) l`a mˆo.t co so.’ bˆa´t k`y cu’a khˆong gian v´ecto Euclid E Tru c

giao ho´a Shmidt l`a ph´ep du. ng mˆo.t co so.’ tru c giao (e1, , en) cu’a E v´o.i t´ınh chˆa´t

sau

L(e1, , ek) = L(α1, , αk), (k= 1,2, , n)

Sau d¯´o, ta chuˆa’n ho´a (e1, , en) d¯ˆe’ thu d¯u.o c mˆo.t co so.’ tru c chuˆa’n cu’a E.

Ta d¯˘a.te1 =α1 Nhu thˆe´L(e1) =L(α1) Gia’ su.’ d¯˜a xˆay du ng d¯u.o c hˆe tru c giao

(e1, , ei−1) cho

L(e1, , ek) = L(α1, , αk), (k = 1,2, , i−1)

Tiˆe´p theo, ta t`ım ei du.´o.i da.ng

ei =λi1e1+· · ·+λii−1ei−1+αi,

trong d¯´oλi1, , λii−1l`ai−1 sˆo´ thu c d¯u.o c x´ac d¯i.nh bo.’ii−1 d¯iˆ` u kiˆe.ne ei ⊥e1, , ei ⊥

ei−1 T´u.c l`a

            

hei, e1i = λi1he1, e1i+hαi, e1i =

. . .

hei, ei−1i = λii−1hei−1, ei−1i+hαi, ei−1i =

Hˆe n`ay c´o nghiˆe.m nhˆa´t λik =−

hαi, eki

hek, eki

(k= 1,2, , i−1)

V`ıαi khˆong n˘a`m khˆong gian L(e1, , ei−1) =L(α1, , αi−1), cho nˆen

ei =λi1e1+· · ·+λii−1ei−1+αi 6=

Ho.n n˜u.a, theo d¯˘a’ng th´u.c trˆen αi ∈ L(e1, , ei), v`a ei ∈ L(e1, , ei−1, αi) =

L(α1, , αi) Kˆe´t ho p d¯iˆ` u d¯´e o v´o.i gia’ thiˆe´t L(e1, , ei−1) = L(α1, , αi−1), ta

c´o

Qu´a tr`ınh n`ay tiˆe´p diˆ˜n cho t´o.ie i= n Hˆe gˆo`m n v´ecto tru. c giao e1, , en sinh

khˆong gian n chiˆ` ue E Vˆa.y hˆe d¯´o l`a mˆo.t co so.’ tru c giao cu’a E Cuˆo´i c`ung, chuˆa’n ho´a co so.’ tru. c giao n`ay nhu d¯˜a l`am o.’ phˆ` n (ii) cu’a mˆe.nh d¯ˆea ` tru.´o.c, ta thu d¯u.o. c

mˆo.t co so.’ tru c chuˆa’n cu’aE. 2

V´ı du : Tru. c giao ho´a hˆe v´ecto sau d¯ˆay khˆong gian R4 v´o.i t´ıch vˆo hu.´o.ng

(d¯i.nh ngh˜ıa nh`o co so.’) ch´ınh t˘a´c:

α1 = (1,0,0,0),

α2 = (2,1,0,0),

α3 = (3,2,1,0),

α4 = (4,3,2,1)

L`o.i gia’i: Ta d¯˘a.t e1 = α1 = (1,0,0,0) V´ecto th´u hai d¯u.o c t`ım du.´o.i da.ng

e2 =λ21e1+α2, d¯´o

λ21 =−h

α2, e1i

he1, e1i

=−1.2

1.1 =−2

Vˆa.y e2 =−2e1 +α2 = −2(1,0,0,0) + (2,1,0,0) = (0,1,0,0) V´ecto th´u ba d¯u.o c

t`ım du.´o.i da.ng e3 =λ31e1+λ32e2+α3, d¯´o

λ31=−

hα3, e1i

he1, e1i

=−1.3

1.1 =−3, λ32=−h

α3, e2i

he2, e2i

=−1.2

1.1 =−2

Vˆa.y e3 =−3e1−2e2+α3 = (0,0,1,0) Tu.o.ng tu ,e4 =λ41e1+λ42e2+λ43e3+α4,

trong d¯´o

λ41=−

hα4, e1i

he1, e1i

=−1.4

1.1 =−4, λ42=−

hα4, e2i

he2, e2i

=−1.3

1.1 =−3, λ43=−h

α4, e3i

he3, e3i

=−1.2

T´om la.i, hˆe (e1, e2, e3, e4) ch´ınh l`a co so.’ ch´ınh t˘a´c cu’a R4

Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay cho thˆa´y co so.’ tru. c chuˆa’n gi´up cho viˆe.c t´ınh t´ıch vˆo hu.´o.ng d¯u.o. c dˆ˜ d`ang.e

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.13 Gia’ su.’ (e1, , en) l`a mˆo t co so.’ tru c chuˆa’n cu’a khˆong gian v´ecto.

Euclid E Khi d¯´o, nˆe´u α =Piaiei, v`a β =

P

ibiei, th`ı

hα, βi=a1b1+· · ·+anbn.

Ch´u.ng minh: Do t´ınh song tuyˆe´n t´ınh cu’a t´ıch vˆo hu.´o.ng, ta c´o hα, βi=hX

i

aiei,

X

j

bjeji=

X

i,j

aibjhei, eji.

V`ı (e1, , en) l`a mˆo.t co so.’ tru c chuˆa’n, cho nˆen

hα, βi=X

i

aibihei, eii=

X

i

aibi. 2

D- i.nh ngh˜ıa 1.14 Gia’ su.’ U v`aV l`a c´ac khˆong gian v´ecto cu’a khˆong gian v´ecto EuclidE.

(i) Ta n´oi v´ecto α ∈ E vuˆong g´oc (hay tru. c giao) v´o.i U, v`a viˆe´t α ⊥ U, nˆe´u α ⊥uv´o.i mo.i u∈U.

(ii) Ta n´oi U vuˆong g´oc (hay tru. c giao) v´o.i V, v`a viˆe´t U ⊥V, nˆe´u u⊥v, ∀u∈U,∀v ∈V.

Do t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng cu’a t´ıch vˆo hu.´o.ng, nˆe´uU ⊥V th`ıV ⊥U Khi d¯´oU∩V ={0} Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u α ∈U ∩V th`ıhα, αi= 0, d¯´o α = Khi d¯´o, tˆo’ng U +V l`a mˆo.t tˆo’ng tru. c tiˆe´p, U⊕V N´o d¯u.o. c go.i l`a tˆo’ng tru. c giao cu’a U v`aV, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a U ⊕⊥V

Gia’ su.’ U1, , Ukl`a c´ac khˆong gian cu’aEd¯ˆoi mˆo.t tru c giao v´ o.i nhau: Ui ⊥Uj

v´o.i i6=j Dˆ˜ thˆa´y r˘a`nge Ui ⊥(

P

j6=iUj), cho nˆen

Ui∩(

X

j6=i

Uj) ={0}, (i= 1, , k)

D

- i.nh ngh˜ıa 1.15 Tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a c´ac khˆong gian d¯ˆoi mˆo.t tru c giao v´ o.i nhauU1, , Uk d¯u.o c go.i l`a mˆo.ttˆo’ng tru c giao, v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`aU1⊕⊥· · · ⊕⊥Uk

Nˆe´u (e1, , en) l`a mˆo.t co so.’ tru c chuˆa’n cu’aE th`ıE phˆan t´ıch d¯u.o c th`anh tˆo’ng

tru. c giao

E =L(e1)⊕⊥· · · ⊕⊥L(en)

D- i.nh ngh˜ıa 1.16 Gia’ su.’ U l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a E Khi d¯´o U⊥={α∈E|α⊥U}

d¯u.o. c go.i l`a phˆ` n b`a u tru. c giaocu’a U E.

Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ngU⊥ c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a E.

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.17 Gia’ su.’ U l`a mˆo t khˆong gian v´ecto cu’a khˆong gian v´ecto Euclid h˜u.u ha n chiˆ` ue E Khi d¯´o, (U⊥)⊥ =U, v`a E c´o thˆe’ phˆan t´ıch th`anh tˆo’ng tru. c giao E =U ⊕⊥U⊥.

Ch´u.ng minh: Cho.n mˆo.t co so.’ tru c giao (e1, , em) cu’a U, v`a bˆo’ sung n´o d¯ˆe’ c´o

mˆo.t co so.’ (e1, , em, αm+1, , αn) cu’a E ´Ap du.ng ph´ep tru c giao ho´ a Shmidt cho

co so.’ d¯´o, ta thˆa´ymv´ecto d¯ˆ` u cu’a co so.a ’ khˆong thay d¯ˆo’i, bo.’ i v`ı ch´ung d¯˜a tru. c giao s˘a˜n rˆo`i Kˆe´t qua’ l`a ta thu d¯u.o. c mˆo.t co so.’ tru c giao (e1, , em, em+1, , en) cu’a E.

C´ac v´ecto.em+1, , en tru c giao v´o.i mˆo˜i phˆa` n tu.’ co so.’ (e1, , em) cu’aU, cho

nˆen ch´ung tru. c giao v´o.i U V`ı thˆe´, em+1, , en ∈U⊥

Ho.n n˜u.a, nˆe´u α l`a mˆo.t v´ec to bˆa´t k`y cu’a U⊥, ta x´et khai triˆe’n cu’a n´o theo co so.’ (e1, , en) cu’aE: α=a1e1+· · ·+anen Do t´ınh tru c giao cu’a co so.’ n´oi trˆen, ta

thu d¯u.o. c:

a1 = h

α, e1i

he1, e1i

= 0, , am = h

α, emi

hem, emi

=

Hˆe qua’ l`a α biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (em+1, , en) Kˆe´t ho p d¯iˆ` u n`e ay v´o.i viˆe.c

T`u d¯´o, lˆa.p luˆa.n tu.o.ng tu ta thˆa´y: nˆe´u β ⊥ U⊥, th`ıβ biˆe’u thi tuyˆe´n t´ınh qua (e1, , em), t´u.c l`aβ ∈U Nhu vˆa.y, (U⊥)⊥ =U

Cuˆo´i c`ung, ta c´o phˆan t´ıch tru. c giao

E =L(e1, , em)⊕⊥L(em+1, , en) =U ⊕⊥U⊥. 2

Bˆay gi`o ta tro.’ la.i v´o.i chu’ d¯ˆe` khoa’ng c´ach khˆong gian v´ecto Euclid Khoa’ng c´ach t`u tˆa.p con A t´o.i tˆa.p con B cu’a E d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

d(A, B) = inf

α∈A,β∈Bd(α, β).

N´oi riˆeng, nˆe´u A chı’ gˆ`m mˆo o.t phˆa` n tu.’ α th`ı ta s˜e k´y hiˆe.u d¯o.n gia’n d({α}, B) bo.’ i d(α, B) Nhu vˆa.y

d(α, B) = inf

β∈Bd(α, β).

Tˆa.p α+U = {α+u|u ∈ U}, d¯´o U l`a mˆo.t khˆong gian v´ecto cu’a E d¯u.o. c go.i l`aph˘a’ng song song v´o.i U v`a d¯i qua α Ta s˜e x´et tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t khi A v`aB l`a nh˜u.ng ph˘a’ng song song v´o.i c´ac khˆong gian v´ecto U v`aV

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.18 Gia’ su.’ α−β =v+v⊥, d¯´o v ∈V, v⊥∈V⊥ Khi d¯´o d(α, β+V) =|v⊥|.

Tˆo’ng qu´at ho.n, nˆe´u α−β =t+t⊥, d¯´o t∈(U+V), t⊥ ∈(U+V)⊥, th`ı d(α+U, β+V) =|t⊥|.

Ch´u.ng minh: R˜o r`ang d(α, β+V) l`a mˆo.t tru.`o.ng ho p d¯˘a.c biˆe.t cu’ad(α+U, β+V) v´o.i U ={0} Theo d¯i.nh ngh˜ıa

d(α+U, β+V) = inf

u∈U,v∈V d(α+u, β+v) = u∈U,vinf∈V |α−β+u−v|.

D

- ˘a.t u−v =t0 ∈(U +V) Ta c´o

V`ı (α−β −t⊥+t0) = t+t0 ∈(U +V), nˆen t⊥ ⊥(α−β−t⊥+t0) Theo d¯i.nh l´y Pythagore, ta c´o

|α−β+t0|2 =|t⊥|2+|α−β−t⊥+t0|2 ≥ |t⊥|2.

V`ı thˆe´d(α+U, β+V) = inft0∈(U+V)|α−β+t0| =|t⊥| Gi´a tri nho’ nhˆa´t n`ay d¯a.t

d¯u.o. c v´o.i t0 =−t 2

V´ı du : Trong khˆong gian R4 v´o.i t´ıch vˆo hu.´o.ng ch´ınh t˘a´c, t`ım khoa’ng c´ach t`u

α= (2,4,−4,2) t´o.i ph˘a’ng B x´ac d¯i.nh bo’ i hˆe phu.o.ng tr`ınh x+ 2y+z−t= 1,

x+ 3y+z−3t=

L`o.i gia’i: R˜o r`ang β = (0,1,−1,0) ∈ B Vˆa.y B = β +V, d¯´o V l`a khˆong gian c´ac nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t

x+ 2y+z−t= 0, x+ 3y+z−3t=

Do d¯´o,V⊥ l`a khˆong gian sinh bo.’ i hai v´ecto hˆe sˆo´ cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh trˆen: V⊥ = L((1,2,1,−1),(1,3,1,−3)) Gia’ su.’ α−β = (2,3,−3,2) = v +v⊥, d¯´o v ∈ V, v⊥∈V⊥ Khi d¯´o v⊥ th`u.a nhˆa.n phˆan t´ıch

v⊥=r(1,2,1,−1) +s(1,3,1,−3) = (r+s,2r+ 3s, r+s,−r−3s) V`ı thˆe´, v´ecto

v = α−β−v⊥= (2,3,−3,2)−(r+s,2r+ 3s, r+s,−r−3s) = (2−r−s,3−2r−3s,−3−r−s,2 +r+ 3s)

thoa’ m˜an hˆe phu.o.ng tr`ınh x´ac d¯i.nh V T´u.c l`a