TÍNH ĐIỂM: Thí sinh sẽ được 6 điểm cho mỗi câu trả lời đúng, 1,5 điểm cho mỗi câu hỏi không trả lời và 0 điểm cho mỗi câu trả lời sai.. Đề thi gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm.[r]
(1)INSTRUCTIONS
1 DO NOT OPEN THIS BOOKLET UNTIL YOUR COMPETITION MANAGER TELLS YOU
2 This is a 25-question multiple-choice exam Each question is followed by answers marked A, B, C, D, and E Only one of these is correct
3 Mark your answer to each problem on the AMC 10 Answer Sheet with a #2 pencil Check the blackened circles for accuracy and erase errors and stray marks completely Only answers properly marked on the answer sheet will be graded You must use and submit the original answer sheets provided by the MAA AMC Photocopies will not be scored.
4 SCORING: You will receive points for each correct answer, 1.5 points for each problem left unanswered, and points for each incorrect answer
5 Only scratch paper, graph paper, rulers, compasses, protractors, and erasers are allowed as aids No calculators, smartwatches, phones, or computing devices are allowed No problems on the exam will require the use of a calculator
6 Figures are not necessarily drawn to scale
7 Before beginning the exam, your competition manager will ask you to record certain information on the answer form
8 When your competition manager gives the signal, begin working on the problems You will have 75 minutes to complete the exam
9 When you finish the exam, sign your name in the space provided at the top of the Answer Sheet
© 2019 Mathematical Association of America
The Committee on the American Mathematics Competitions reserves the right to disqualify scores from a school if it determines that the required security procedures were not followed Students who score well on this AMC 10 will be invited to take the 37th annual American Invitational Mathematics Examination (AIME) on Wednesday, March 13, 2019, or Thursday, March 21, 2019 More details about the AIME are on the back page of this exam booklet.
American Mathematics Competitions 20th Annual
AMC 10B
(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)Questions and comments about problems and solutions for this exam should be sent to:
amchq@maa.org
Send questions and comments about administrative arrangements to: amcinfo@maa.org
or
MAA American Mathematics Competitions P.O Box 471
Annapolis Junction, MD 20701
The problems and solutions for this AMC 10 were prepared by MAA’s Subcommittee on the AMC 10/AMC 12 Exams, under the direction of the co-chairs
Jerrold W Grossman and Carl Yerger.
2019 AIME
The 37th annual AIME will be held on Wednesday, March 13, 2019, with the alternate on Thursday, March 21, 2019 It is a 15-question, 3-hour, integer-answer exam You will be in-vited to participate if you achieve a high score on this competition Top-scoring students on the AMC 10/12/AIME will be selected to take the 48th Annual USA Mathematical Olympiad (USAMO) on April 17–18, 2019
(9)**Administration On An Earlier Date Will Disqualify Your School’s Results**
1 All the information needed to administer this exam is contained in the AMC 10/12 Teacher’s Manual PLEASE READ THE MANUAL BEFORE FEBRUARY 13, 2019
2 Your PRINCIPAL or VICE PRINCIPAL must verify on the AMC 10/12 COMPETITION CERTIFICATION FORM (found on maa.org/amc under ‘AMC 10/12’) that you followed all rules associated with the administration of the exam.
3 Answer sheets must be returned to the MAA AMC office the day after the competition Ship with appropriate postage using a trackable method FedEx or UPS is strongly recommended.
4 The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this exam during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity of the results Dissemination via phone, email, or digital media of any type during this period is a violation of the competition rules.
2019
AMC 10B
DO NOT OPEN UNTIL WEDNEsDAy, February 13, 2019
MAA Partner Organizations
We acknowledge the generosity of the following organizations in supporting the MAA AMC and Invitational Competitions:
Patron’s Circle Akamai Foundation Innovator’s Circle The D E Shaw Group
Two Sigma Winner’s Circle
MathWorks Tudor Investment Corporation
Achiever’s Circle Art of Problem Solving
Jane Street Capital
Sustainer’s Circle American Mathematical Society
Ansatz Capital
Army Educational Outreach Program Collaborator’s Circle American Statistical Association
Casualty Actuarial Society
Conference Board of the Mathematical Sciences Mu Alpha Theta
(10)NỘI QUY PHỊNG THI
© 2019 Mathematical Association of America
scores from a school if it determines that the required security procedures were not followed
Students who score well on this AMC 10 will be invited to take the 37th annual American Invitational Mathematics Examination
More details about the AIME are on the back page of this exam booklet. Kì thi học sinh giỏi tốn Hoa Kì
AMC 10B
American Mathematics Competition 10B
Thứ Tư, Ngày 13 tháng 2, 2019
3
4 TÍNH ĐIỂM: Thí sinh điểm cho câu trả lời đúng, 1,5 điểm cho câu hỏi không trả lời điểm cho câu trả lời sai
Đề thi gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm Mỗi câu hỏi có đáp án đánh dấu A, B, C, D E Trong có đáp án xác
5
6 Hình vẽ đề thi không thiết vẽ tỉ lệ
8
Lần thứ 20
Khi kết thúc thời gian làm bài, ký tên vào khoảng trống định phiếu trả lời trắc nghiệm
Bạn có 75 phút để hồn thành thi sau giám thị tuyên bố bắt đầu thời gian làm
Trước bắt đầu thi, giám thị yêu cầu bạn điền thông tin cá nhân vào phiếu trả lời
Dùng bút chì đánh dấu đáp án cho câu hỏi Phiếu trả lời AMC 10 Kiểm tra đáp án đánh dấu tẩy lỗi sai phiếu trả lời
Chỉ đáp án đánh dấu cách phiếu trả lời tính điểm
Thí sinh phải sử dụng nộp phiếu trả lời cung cấp MAA AMC Các phiếu trả lời photo không chấp nhân.
Trong phịng thi, thí sinh phép dùng giấy nháp, thước kẻ, compa, thước đo đọ tẩy Máy tính cầm tay KHƠNG phép sử dụng Khơng câu hỏi thi yêu cầu sử dụng máy tính
(11)MAA AMC10
1
1 Alicia có hai bình đựng nước Bình thứ chứa lượng nước
6
bình, bình thứ hai rỗng Bạn đổ tồn nước từ bình thứ sang bình thứ hai Khi bình thứ hai chứa lượng nước
4 bình Hỏi tỉ lệ
thể tích bình nhỏ với thể tích bình lớn bao nhiêu?
(A) 5
8 (B) (C) (D) 10 (E) 11 12
2 Cho khẳng định: “Nếu n không số nguyên tố n – 2 số nguyên tố” Giá trị n phản ví dụ khẳng định trên?
(A) 11 (B) 15 (C) 19 (D) 21 (E) 27
3 Ở trường phổ thơng có 500 học sinh, người ta thấy 40% học sinh nam biết chơi nhạc; 30% học sinh nữ khơng biết chơi nhạc Biết có 46,8% học sinh tồn trường khơng biết chơi nhạc Hỏi có học sinh nữ biết chơi nhạc?
(A) 66 (B) 154 (C) 186 (D) 220 (E) 266
4 Những đồ thị phương trình dạng ax + by = c với a, b, c tạo thành cấp số cộng qua điểm chung Tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ bao nhiêu?
(A) (-1,2) (B) (0,1) (C) (1,-2) (D) (1,0) (E) (1,2)
5 Tam giác ABC nằm góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Lấy điểm A’, B’ C’ đối xứng với điểm A, B C qua đường thẳng y = x Giả sử không đỉnh tam giác ABC nằm đường thẳng y = x Hỏi khẳng định đây, khẳng định không đúng?
(A) Tam giác A’B’C’ nằm góc phần tư thứ
(B) Tam giác ABC tam giác A’B’C’ có diện tích
(C) Hệ số góc đường thẳng AA’ –1
(D) Hệ số góc đường thẳng AA’ đường thẳng CC’ giống
(E) Đường thẳng AB đường thẳng A’B’ vng góc
6 Cho số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức (n+1)! +(n+2)! = 440.n!
Hỏi tổng chữ số n bao nhiêu?
(12)MAA AMC10
2
7 Mỗi kẹo cửa hàng có giá số nguyên đồng Casper có vừa đủ tiền để mua 12 kẹo đỏ, 14 kẹo xanh lá, 15 kẹo xanh da trời n kẹo tím Một kẹo tím có giá 20 đồng Hỏi giá trị nhỏ n bao nhiêu?
(A) 18 (B) 21 (C) 24 (D) 25 (E) 28
8 Cho hình vng bốn hình tam giác Mỗi tam giác có cạnh nằm cạnh hình vng cho độ dài cạnh đỉnh thứ ba tam giác trùng với tâm hình vng Phần diện tích nằm hình vng nằm ngồi hình tam giác tơ xám Hỏi diện tích phần tơ xám bao nhiêu?
(A) (B) 12− 4√3 (C) 3√3
(D) 4√3 (E) 16 − 4√3
9 Cho hàm số f(x) = ⌊|𝑥|⌋ − |⌊𝑥⌋| với số thực x, với ⌊𝑟⌋ số nguyên lớn nhỏ số thực r Tập giá trị hàm số f(x) là?
(A) {-1,0} (B) Tập hợp số nguyên không dương (C) {-1,0,1}
(D) {0} (E) Tập hợp số nguyên không âm
10 Trên mặt phẳng, lấy hai điểm A B cách 10 đơn vị độ dài Có điểm C nằm mặt phẳng cho chu vi ∆𝐴𝐵𝐶 50 đơn vị độ dài diện tích ∆𝐴𝐵𝐶 100 đơn vị diện tích?
(13)MAA AMC10
3
11 Có hai bình đựng số lượng viên bi, viên bi có màu xanh da trời màu xanh Trong bình thứ nhất, tỉ lệ số viên bi màu xanh da trời với số viên bi màu xanh 9:1 Trong bình thứ hai, tỉ lệ số viên bi màu xanh da trời với số viên bi màu xanh 8:1 Có tổng cộng 95 viên bi màu xanh hai bình Hỏi bình thứ nhiều bình thứ hai viên bi màu xanh da trời?
(A) (B) 10 (C) 25 (D) 45 (E) 50
12 Tổng chữ số số nguyên dương nhỏ 2019 viết hệ số lớn bao nhiêu?
(A) 11 (B) 14 (C) 22 (D) 23 (E) 27
13 Tổng tất số thực x thỏa mãn điều kiện trung vị tập hợp số 4, 6, 8, 17 x với trung bình cộng số bao nhiêu?
(A) -5 (B) (C) (D)15
4 (E) 35
4
14 Số 19! viết hệ thập phân 121 6T5 100 40M 832 H00 với T, M H
biểu diễn cho chữ số chưa biết Giá trị T + M + H bao nhiêu?
(A) (B) (C) 12 (D) 14 (E) 17
15 Hai tam giác vuông T1 T2 có diện tích Một cạnh tam
giác T1 trùng với cạnh tam giác T2 cạnh khác tam giác T1
cũng trùng với cạch khác tam giác T2 Hỏi bình phương tích độ dài hai
cạnh lại T1 T2 bao nhiêu?
(A) 28
3 (B) 10 (C) 21
2 (D) 32
3 (E) 12
16 Trong ∆𝐴𝐵𝐶 có góc C vuông, điểm D nằm cạnh AB điểm E nằm cạnh BC cho AC = CD, DE = EB tỉ lệ độ dài AC : DE = : 3 Hỏi tỉ lệ độ dài AD : BD bao nhiêu?
(A) : (B) : √5 (C) : (D) : √5 (E) :
17 Một bóng đỏ bóng xanh ném ngẫu nhiên độc lập vào hộp đánh số nguyên dương cho xác suất để bóng rơi vào hộp đánh số k
là 2−𝑘 với k = 1, 2, 3,… Hỏi xác suất để bóng đỏ ném vào hộp đánh số cao bóng xanh bao nhiêu?
(A) 1
(14)MAA AMC10
4
18 Một buổi sáng Henry định tập thể hình, phịng tập cách nhà bạn 2km Khi Henry
4 đường từ nhà tới phòng tập bạn đổi ý
nhà Khi Henry
4đường từ nơi bạn đổi ý nhà bạn lại đổi ý
đi tới phòng tập Nếu Henry đổi ý
4 đường từ vị trí bạn đổi
ý tới nhà phịng tập cuối bạn gần qua lại hai điểm A B Hỏi hai điểm A B cách km?
(A) 2
3 (B) (C) 1
5 (D) 1
4 (E) 1
19 Gọi S tập hợp tất số nguyên dương ước 100000 Hỏi có tích khác hai phần tử phân biệt tập hợp S?
(A) 98 (B) 100 (C) 117 (D) 119 (E) 121
20 Trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm B C cho AB = BC = CD = 2 hình Ba nửa đường trịn AEB, BFC CGD có bán kính nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AD với đường kính nằm đoạn thẳng AD Ba nửa đường tròn tiếp xúc với đường EG lần lượt E, F G Vẽ đường tròn tâm F, bán kính Phần diện tích nằm bên hình trịn nằm ngồi nửa đường trịn tơ xám biểu diễn dạng sau:
𝑎
𝑏 𝜋 − √𝑐 + 𝑑,
Với a, b, c d số nguyên dương a, b số nguyên tố Hỏi tổng a + b + c + d có giá trị bao nhiêu?
(15)MAA AMC10
5
21 Debra tung liên tiếp đồng xu đồng chất ghi lại số lần mặt úp, số lần mặt ngửa hai lần ngửa liên tiếp hai lần úp liên tiếp dừng lại Hỏi xác suất để bạn tung hai lần ngửa liên tiếp cho bạn nhìn thấy lần úp thứ hai trước nhìn thấy lần ngửa thứ hai?
(A) 1
36 (B) 24 (C) 18 (D) 12 (E)
22 Raashan, Sylvia Ted chơi trò chơi sau Mỗi bạn bắt đầu với đồng, sau 15 giây có tiếng chuông, bạn bạn tiền đồng thời cho ngẫu nhiên hai bạn lại đồng Hỏi xác suất để sau tiếng chng thứ 2019, bạn có đồng bao nhiêu? Ví dụ Raashan Ted, bạn định cho Sylvia đồng Sylvia định cho Ted đồng Như sau kết thúc tiếng chng thứ nhất, Raashan có đồng, Sylvia có đồng Ted có đồng Ở lượt thứ hai, Raashan khơng cịn tiền Sylvia Ted cho người đồng Khi kết thúc vòng thứ hai, bạn có số tiền giống kết thúc vòng thứ
(A) 1
7 (B) (C) (D) (E)
23 Điểm A(6,13) điểm B(12,12) nằm đường tròn 𝜔 mặt phẳng tọa độ Oxy Biết tiếp tuyến đường tròn 𝜔 A B cắt điểm nằm trục Ox Hỏi diện tích hình trịn 𝜔 bao nhiêu?
(A) 83𝜋
8 (B) 21𝜋 (C) 85𝜋 (D) 43𝜋 (E) 87𝜋
24 Cho dãy số xác định x0 = 5
𝑥𝑛+1=
𝑥𝑛2+ 5𝑥𝑛+
𝑥𝑛+
Với tất số nguyên n không âm Gọi m số nguyên dương bé cho
𝑥𝑚≤ +
1 220
Hỏi m thuộc khoảng đây?
(A) [9, 26] (B) [27, 80] (C) [81, 242]
(D) [243, 728] (E) [729, ∞]
25 Có dãy gồm số số có độ dài 19 cho dãy bắt đầu kết thúc số 0, khơng chứa hai số cạnh không chứa ba số cạnh nhau?
(A) 55 (B) 60 (C) 65 (D) 70 (E) 75
(16)-Questions and comments about problems and solutions for this exam should be sent to:
amchq@maa.org
Send questions and comments about administrative arrangements to: amcinfo@maa.org
or
MAA American Mathematics Competitions P.O Box 471
Annapolis Junction, MD 20701
The problems and solutions for this AMC 10 were prepared by MAA’s Subcommittee on the AMC 10/AMC 12 Exams, under the direction of the co-chairs
Jerrold W Grossman and Carl Yerger.
2019 AIME
The 37th annual AIME will be held on Wednesday, March 13, 2019, with the alternate on Thursday, March 21, 2019 It is a 15-question, 3-hour, integer-answer exam You will be in-vited to participate if you achieve a high score on this competition Top-scoring students on the AMC 10/12/AIME will be selected to take the 48th Annual USA Mathematical Olympiad (USAMO) on April 17–18, 2019
(17)**Administration On An Earlier Date Will Disqualify Your School’s Results**
1 All the information needed to administer this exam is contained in the AMC 10/12 Teacher’s Manual PLEASE READ THE MANUAL BEFORE FEBRUARY 13, 2019
2 Your PRINCIPAL or VICE PRINCIPAL must verify on the AMC 10/12 COMPETITION CERTIFICATION FORM (found on maa.org/amc under ‘AMC 10/12’) that you followed all rules associated with the administration of the exam.
3 Answer sheets must be returned to the MAA AMC office the day after the competition Ship with appropriate postage using a trackable method FedEx or UPS is strongly recommended.
4 The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this exam during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity of the results Dissemination via phone, email, or digital media of any type during this period is a violation of the competition rules.
2019
AMC 10B
DO NOT OPEN UNTIL WEDNEsDAy, February 13, 2019
MAA Partner Organizations
We acknowledge the generosity of the following organizations in supporting the MAA AMC and Invitational Competitions:
Patron’s Circle Akamai Foundation Innovator’s Circle The D E Shaw Group
Two Sigma Winner’s Circle
MathWorks Tudor Investment Corporation
Achiever’s Circle Art of Problem Solving
Jane Street Capital
Sustainer’s Circle American Mathematical Society
Ansatz Capital
Army Educational Outreach Program Collaborator’s Circle American Statistical Association
Casualty Actuarial Society
Conference Board of the Mathematical Sciences Mu Alpha Theta
(18)ĐÁP ÁN KÌ THI
KÌ THI TỐN HỌC HOA KỲ AMC10/12 NĂM HỌC 2018 – 2019
AMC10B
1 D 6 C 11 A 16 A 21 B
2 E 7 B 12 C 17 C 22 B
3 B 8 B 13 A 18 C 23 C
4 A 9 A 14 C 19 C 24 C
5 E 10 A 15 A 20 E 25 C
AMC12B
1 D 6 A 11 D 16 A 21 B
2 E 7 A 12 D 17 D 22 C
3 E 8 A 13 C 18 C 23 C
4 C 9 B 14 C 19 B 24 C