toán cao cấp a3 đại học

1.2. Giới hạn và liên tục. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 3. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 5.. Đạo hàm riêng cấp 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 1.. Đạo hàm[r]

(1)

TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 30

Giảng viên: Lê Hữu Kỳ Sơn Mail: sonlhk@cntp.edu.vn

ĐIỂM QUÁ TRÌNH : 20%

THI GIỮA KỲ : 30% (TRẮC NGHIỆM) THI CUỐI KỲ : 50% (TRẮC NGHIỆM)

CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến

1.1 Các khái niệm 1.2 Giới hạn liên tục 1.3 Đạo hàm riêng vi phân

1.1 Hàm số hai biến số

- Nhiệt độ T điểm bề mặt trái đất thời điểm cho trước phụ thuộc vào kinh độ x vĩ độ y điểm này Ta xem T hàm theo hai biến x y hàm cặp (x,y) Ký hiệu

( , ) T T x y

- Thể tích V hình trụ trịn xoay phụ

thuộc vào bán kính đáy r chiều cao h

Thực tế, ta biết Khi V một hàm hai biến theo r h, và ta ký hiệu

2

V r h

Một hàm hai biến quy tắc gán cặp tập D ứng với số thực duy nhất, ký hiệu

f ( , )x y

( , )

(2)

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến  Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến Chú ý

• Trong trường hợp xét hàm số f x y( , ) mà khơng nói thêm ta hiểu MXĐ hàm số tập tất điểm

2 ( , )

M x y cho f x y( , ) có nghĩa

• Hàm có nhiều hai biến định nghĩa tương tự

Ví dụ Tính tìm miền xác định

(3,2) f

1

( , ) .

1 x y f x y

x

Ví dụ Tính tìm miền xác định

(3,2) f

2

( , ) ln .

f x y x y x

Ví dụ Tìm miền xác định miền giá trị của hàm số

2

( , ) 9 .

f x y x y

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến Biểu diễn hình học hàm hai biến số

( , , )x y z

Nếu hàm hai biến với tập xác định D, đồ thị tập hợp tất các điểm cho và

f

3 z f x y( , )

( , )x y D

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số

( , )

f x y   x y

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số

2

( , )

(3)

Ký hiệu: lim n 0

n M M hay

n n

M M

 Điểm gọi giới hạn dãy điểm

0 0, M x y

, n n n M x y

2

0 0

lim n lim n n 0

n M M n x x y y

1.2 Giới hạn liên tục

1.2.1 Giới hạn

0

0( , )0

lim , L

( ) n n

n x x

n y y

M M x y

f x y

f M L

VD 1. Tính ( , ) (0,1) 2 1 lim

x y

x

x y

Định lý (giới hạn kẹp):

0

, , ,

lim , lim , L

x x x x

y y y y

f x y g x y h x y f x y h x y

0

lim , L

x x y y

g x y

VD 2. Tính

2

2 ( , ) (0,0)x ylim

x y

x y

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 3. Tìm

( , ) (0,0)x ylim f x y( , ), với ( , ) 2

xy f x y

x y

VD 4. Tìm

2

( , ) (0,0)

sin( )

lim x y

x y x y

Xét hai dãy M x yk( , )k k k ( , )x yo o

 

1

( ) ( , ) k

k k k

f M f x y  L

Chứng minh giới hạn không tồn ( , ) ( , )lim ( , )

o o

x yx y f x y

( , ) k ( , )

k k k o o

M x y    x y Tìm giới hạn hai dãy

2

( ) ( , ) k

k k k

f M f x y   L

1

L L  giới hạn không tồn ( , ) ( , )lim ( , )

o o

x yx y f x y

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 5. Cho hàm số

2

( , ) xy

f x y

x y

Chứng tỏ

( , ) (0,0)x ylim f x y( , ) khơng tồn • Hàm số f x y( , ) liên tục M x y0( ,0 0) D

0 0

( , ) ( , )x ylimx y f x y( , ) f x y( , )

• Hàm số f x y( , ) liên tục tập D liên tục điểm thuộc D

(4)

……… VD 6. Xét liên tục

       

   

2

sin

; , 0,0 ,

1 ; , 0,0

 

 



  



 

x y x y f x y x y

x y

Ký hiệu là:

0

( , ) x

f x y hay f x yx( ,0 0) hay f( ,x y0 0) x

0

0 0 0

0 ( , ) ( , ) ( , ) lim

x x x

f x y f x y f x y

x x





 



0

0 0 0

0 ( , ) ( , ) ( , ) lim

y y y

f x y f x y f x y

y y





 



1.3 Đạo hàm riêng vi phân

1.3.1 Đạo hàm riêng cấp

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 1. Tính đạo hàm riêng hàm số:

4 3

( , ) 3

f x y x x y y xy ( 1; 2) VD 2. Tính đạo hàm riêng

2

1 ln

1

x z

x y

VD 3. Tính đạo hàm riêng z cosx

y ( ; 4)

Cho hàm số f x y( , ) xác định lân cận S M( 0, ) điểm M x y0( ,0 0)

Cho x số gia x y số gia y, hàm ( , )

f x y có tương ứng số gia:

0 0

( , ) ( , )

f f x x y y f x y

1.3.2 Vi phân cấp

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến • Nếu lân cận S M( 0, ) với số gia x, y mà số

gia f tương ứng viết dạng:

2

( ) (

, )

f A x B y O r r x y ,

A B, số phụ thuộc vào điểm 0( ,0 0)

M x y hàm f x y( , ), không phụ thuộc x, y đại lượng A x B y gọi vi phân hàm số f x y( , ) điểm M x y0( ,0 0)

• Khi đó, f x y( , ) gọi khả vi điểm M x y0( ,0 0) Ký hiệu là: df x y( , )0 0 A x B y

Nhận xét

• Xét điểm M x( 0 x y, 0 y) dịch chuyển đường qua M0 song song Ox Khi y 0:

0 0

( , ) ( , ) ( )

f f x x y f x y A x O x

/ 0

lim x( , )

x

f A A f x y

x

Tương tự, / 0 0

0

lim y( , )

y

f B B f x y

y

Suy df x y( , ) f x yx/( , ) x f x yy/( , ) y

• Xét f x y( , ) x df x y( , ) x dx x Tương tự, dy y

(5)

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến c) Định lý

• Nếu hàm số f x y( , ) có đạo hàm riêng lân cận ( ,x y0 0) đạo hàm riêng liên tục ( ,x y0 0) f x y( , ) khả vi ( ,x y0 0).

VD 1. Tính biết df(1; 1) f x y( , ) x e2 x y y5. VD 2. Tính biết df x y( , ) f x y( , ) ex2 ysin(xy2).

 Chương Hàm số nhiều biến số 1.3.3 Đạo hàm hàm hợp

( , ); ( , ); ( , ) z f u v u u x y v v x y

z f u f v

x u x v x

z f u f v

y u y v y

VD 1. Cho z euln ,v u xy v, x2 y2

, . z z x y

Tính

 Chương Hàm số nhiều biến số ( , ); ( ); ( ) z f u v u u x v v x

( ) f ( ) f ( )

z x u x v x

u v

VD 2. Cho z x y x2 , 3t2 t y, sint

( ). z t

Tính

 Chương Hàm số nhiều biến số ( ); ( , ) z f u u u x y

( , ) ( , )

u

z u

f u x y

x x

z u

f u x y

y y

VD 3. Cho z u2 u u, 3x xsiny

Tính z, z.

x y

 Chương Hàm số nhiều biến số 1.3.4 Đạo hàm riêng hàm ẩn

( , ) 0. F x y

( ) x.

y

F y x

F

VD 1. Cho x2 y2 R2.Tính y x( ).

VD 2. Cho x y2 2x y2 3x4 y 1 0. Tính y(1).

a) Trường hợp hàm ẩn biến số

 Chương Hàm số nhiều biến số

( , , ) 0. F x y z

VD 3. Cho F x y z( , , ) x2 y2 z2 R2 0. Tính z zx, y

VD 4. Cho xy z x2 y z.Tính dz.

Vậy x, y

x y z

z z

F F

z z F

F F

(6)

 Chương Hàm số nhiều biến số 1.3.5 Đạo hàm riêng cấp cao

2

2 x xx

f f

x x x

( , ) z f x y

2

;

xy

f f

f

y x x y

2

yx

f f

f

x y y x

2

2 y yy

f f

y y y

VD 1. Cho hàm sốf x y( , ) x y2 xy2.

. f

Tính đạo hàm riêng cấp

VD 2. Cho hàm số

3

( , ) y .

f x y x e x y y f

Tính đạo hàm riêng cấp (-1;1)

Giải. Ta có

/

/ 2

3 y x y y

f x e xy f x e x y y

2

//

// 2 //

// 2

6 6 12 y x y xy yx y y

f xe y

f x e xy f

f x e x y y

2

2 //

//

( 1;1)

x xy y f e f e f e

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến VD 6. Cho hàm số f x y( , ) x5 y4 x y4 Giá trị đạo hàm riêng cấp năm

(5)(1; 1) x y

f là:

A

(5)(1; 1) 480 x y

f ; B

(5)(1; 1) 480 x y

f ;

C

(5)(1; 1) 120 x y

f ; D

(5)(1; 1) 120 x y

f

Giải.fx/ 5x4 4x y3

// 20 12 x

f x x y

/// 60 24 x

f x xy

(4) 120

x y

f xy

(5)3 2 480 x y

f xy

(5)(1; 1) 480 . x y

f A

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến • Định lý Schwarz

Nếu hàm số f x y( , ) có đạo hàm riêng fxy fyx liên tục miền mở D

fxy fyx

Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921)

Khi nhỏ, ta có  x, y

 ,   0, 0 x 0, 0 y 0, 0

f x  x y   y f x y f x y  x f x y y Bài tập Tính gần số sau

  2 2

3 1, 98  8,

  3 3

2.ln 0, 05  0,95 

1.3.6 Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần

  2 2

(7)

 Chương Hàm số nhiều biến số 1.3.7 Vi phân cấp cao

Ký hiệu công thức:

2

2 2 2.

xy

x y

d f d df f dx f dxdy f dy a) Vi phân cấp

Giả sử f x y( , ) hàm khả vi với x y, biến độc lập Các số gia dx x dy, y tùy ý độc lập với x y,

nên xem số x y,

Vi phân hàm df x y( , ) gọi vi phân cấp2 hàm số f x y( , )

 Chương Phép tính vi phân hàm số nhiều biến Chú ý

• Nếu x y, biến không độc lập (biến trung gian) ( , )

x x , y y( , ) cơng thức khơng cịn Sau ta xét trường hợp x y, độc lập

2 3

( , )

f x y x y xy x y

2 (2; 1)?

d f

VD 10

Cho hàm số f x y( , ) có đạo hàm riêng đến cấp n miền mở D chứa điểm M x y0( ; )0 0

Giả sử N x( 0 x y; 0 y) D MN D Đặt dx x x x dy0, y y y0 Khai triển Taylor hàm f x y( , ) lân cận điểm M0 là:

0

( ) ( )

( , ) ( ) ( )

1! !

n

df M d f M

f x y f M O

n

Trong đó, 2

0

(x x ) (y y) 1.3.8 Công thức Taylor

 Chương Hàm số nhiều biến số  Khai triển Maclaurin

Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f x y( , ) là:

(0;0) (0;0)

( , ) (0;0) ( )

1! !

n

df d f

f x y f O

n

Trong đó, dx x dy, y, x2 y2

 Chương Hàm số nhiều biến số  Các khai triển Maclaurin hàm biến cần nhớ

1) 1 ( )

1

n n

x x x O x

x

2)

2

1 ( )

1! 2! !

n

x x x x n

e O x

n

3)

2

ln(1 ) ( )

1

n

x x x x

x O x

4)

2

cos ( )

2! 4! 6!

n

x x x

x O x

5)

3

sin ( )

1! 3! 5! !

n

x x x x

x O x

VD 1. Khai triển Taylor lân cận điểm (1; 1) hàm số ( , ) x

f x y y đến số hạng bậc hai Giải. Ta có:

• f(1;1) 1;

• df x y( , ) f x y dxx( , ) f x y dyy( , )

yxlnydx xy dyx df(1;1) dy y 1;

• 2

2 ( , ) 2

xy

x y

d f x y f dx f dxdy f dy

(8)

 Chương Hàm số nhiều biến số Vậy yx 1 (y 1) (x 1)(y 1) O( )2

,

2

(x 1) (y 1) VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số

2

( , ) cos( )

f x y x y đến số hạng bậc Giải. Ta có:

2 2

2 ( )

cos( ) ( )

2!

x y

x y O

4 2 4

1

1 ( )

2x x y 2y O ,

4

x y

VD 3. Khai triển Maclaurin hàm số z ex2siny đến số hạng bậc

Giải. Ta có:

• 2 2 2

1 ( ) ( )

2

x

e x x ;

•

3

sin

3! 5!

y y y y

Vậy 2 4 5

sin ( )

2 3! 5!

x y y

e y x x y O

• Hàm số z f x y( , ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt cực trị) M x y0( ,0 0) với điểm M x y( , ) gần khác M0 hiệu f f x y( , ) f x y( ,0 0) có dấu không đổi

1.3.9 Cực trị địa phương hàm hai biến số

VD 1. Hàm số

2 2

2

( , )

2

y y

f x y x y xy x

2 ( , ) 0, ( , )

f x y x y nên đạt cực tiểu O(0; 0) • Nếu f f x y( ,0 0) gọi giá trị cực tiểu

và M0 điểm cực tiểu z f x y( , )

• Nếu f f x y( ,0 0) gọi giá trị cực đại

M điểm cực đại z f x y( , )

a) Điều kiện cần

• Nếu hàm số z f x y( , ) đạt cực trị M x y0( ,0 0) hàm số có đạo hàm riêng thì:

0 0

( , ) ( , )

x y

f x y f x y

• Điểm M x y0( ,0 0) thỏa f x yx( , )0 0 f x yy( , )0 0 gọi điểm dừng, M0 không điểm cực trị

Định lý

 Chương Hàm số nhiều biến số b) Điều kiện đủ

Giả sử z f x y( , ) có điểm dừng M0 có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M0

Đặt A f Mx2( 0), B f Mxy( 0), C f My2( 0) Khi đó:

• Nếu

2

0

0 A

AC B

f x y( , )đạt cực tiểu M0

• Nếu

2

0

0 A

AC B

(9)

 Chương Hàm số nhiều biến số • Nếu AC B2 0 f x y( , )không đạt cực trị

0

M • Nếu AC B2 ta khơng thể kết luận

 Chương Hàm số nhiều biến số Cho hàm số f x y( , ) xác định D

Để tìm cực trị f x y( , ), ta thực bước sau: • Bước 1. Tìm điểm dừng M x y0( ,0 0) cách giải hệ:

0 0 ( , ) ( , ) x

y f x y f x y

• Bước 2. Tính A f x yx2( ,0 0), B f x yxy( ,0 0), C f x yy2( ,0 0) AC B2 • Bước 3 Dựa vào điều kiện đủ để kết luận

 Chương Hàm số nhiều biến số VD 2. Tìm điểm dừng hàm số z xy(1 x y) VD 3. Tìm cực trị hàm z x2 y2 4x 2y VD 4. Tìm cực trị hàm số z x3 y3 3xy

• Cho hàm số f x y( , ) xác định lân cận điểm 0( ,0 0)

M x y thuộc đường cong ( ) : ( , )x y Nếu điểm M0, hàm f x y( , ) đạt cực trị ta nói M0

là điểm cực trị có điều kiện f x y( , ) với điều kiện ( , )x y

• Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f x y( , ) ta dùng phương pháp khử nhân tử Lagrange

1.3.10 Cực trị địa phương có điều kiện

VD 7. Tìm điểm cực trị hàm z x y2 thỏa điều kiện:

3

x y

Giải.x y y x z x3 3x2

Ta có z 3x2 6x x 2,x • x y z đạt cực đại điểm M1( 2; 1) • x y z đạt cực tiểu điểm M2(0; 3)

Hình

a) Phương pháp khử

Từ phương trình ( , )x y 0, ta rút x y vào ( , )

f x y Sau đó, ta tìm cực trị hàm biến

 Chương Hàm số nhiều biến số b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y f, ta gọi x y

x y

f f

nhân tử Lagrange

Để tìm cực trị, ta thực bước sau: • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):

( , , ) ( , ) ( , )

L x y f x y x y

• Bước 2 Giải hệ: 0, 0, x y L L L

(10)

• Bước 3 Tính vi phân cấp M x y0( ,0 0) ứng với 0:

2

2 2

0

( ) x xy y

d L M L dx L dxdy L dy

Các vi phân dx dy, phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:

0 0

2 0

( )

( , )

( ) (2

( , ) ( , ) (

)

1)

x y

d x y x y dx x y d

dx dy

y

 Chương Hàm số nhiều biến số • Bước 4.Từ điều kiện ràng buộc (1) (2), ta có:

Nếu

( )

d L M f x y( , )đạt cực tiểu M0 Nếu d L M2 ( 0) f x y( , )đạt cực đại M0

Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813)

 Chương Hàm số nhiều biến số VD 8. Tìm điểm cực trị hàm số f x y( , ) 2x y với điều kiện x2 y2

VD 9. Tìm giá trị cực trị hàm số z x2 y2 thỏa điều kiện x2 y2 3x 4y

Cho miền D đóng có biên D: ( , )x y ( , )

f x y hàm liên tục D, khả vi D mở (có thể khơng khả vi m điểm M1, ,Mm)

Giả sử biên D trơn, nghĩa hàm khả vi

Để tìm giá trị lớn – nhỏ f D, ta thực bước sau:

• Bước 1. Tìm điểm cực trị tự N1, ,Nn D (chỉ cần tìm điểm dừng)

1.3.11 Giá trị nhỏ giá trị lớn miền đóng bị chặn

• Bước 2. Tìm điểm cực trị P1, ,Pp biên D thỏa điều kiện ( , )x y (chỉ cần tìm điểm dừng) • Bước 3. Giá trị max ( , ), ( , )

D f x y D f x y tương ứng giá trị lớn nhất, nhỏ tất giá trị sau:

1

( ), , ( m)

(11)

 Chương Hàm số nhiều biến số VD 12. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

2

( , )

f x y x y miền : 2

D x x y Giải

• Xét hàm f x y( , ) miền mở : 2

D x x y Ta có: (0; 0)

0

x y f

N

f điểm dừng thuộc D

• Xét hàm f x y( , ) : 2

D x x y

Ta có: 2 2

4

L x y x x y

2

2 (2 1)

3

4

2

x y

x x

L L L x x y

y y

Suy điểm dừng thuộc D 1 3;

P , 2 1;

P

 Chương Hàm số nhiều biến số Do ( ) 0, ( )1 9, ( )2

4

f N f P f P nên:

N(0; 0) điểm cực tiểu min( 2) 0

D x y ;

 1 3;

P điểm cực đại max( 2)

D x y

Hình 12

 Chương Hàm số nhiều biến số VD 13. Cho hàm số f x y( , ) x2 y2 xy x y

Tìm giá trị lớn nhỏ f x y( , ) miền

: 0, 0,

D x y x y

Giải. Miền D OAB với A( 3; 0), (0; 3)B • Tại đỉnh OAB hàm số khơng khả vi, ta có:

( ) 0, ( ) ( )

f O f A f B • Trong miền D, ta có:

2

0

2

x y

x y f f

y x

( 1; 1)

N điểm dừng f N( )

 Chương Hàm số nhiều biến số • Trên cạnh OA: x 0,y 0, ta có:

2

( , 0)

2 x

f x x x f x

1

;

P điểm dừng ( )1

f P • Trên cạnh OB x: 0, y 0, ta có:

2

(0, )

2 y

f y y y f y

2 0;

2

f P

 Chương Hàm số nhiều biến số • Trên cạnh AB y: x 3, x 0, ta có:

2

( , )

2 x

f x y x x f x

3

3;

2

f P Vậy max

(12)

 Chương Tích phân bội

§1 Tích phân bội hai (tích phân kép) §2 Tích phân bội ba

§3 Ứng dụng tích phân bội ………

§1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1 Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z f x y( , )

liên tục, không âm mặt trụ có đường sinh song song với Oz, đáy miền phẳng đóng D mpOxy

• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên Si, i 1;n Diện tích phần ký hiệu Si Khi đó, khối trụ cong chia thành n khối trụ nhỏ Trong phần Si ta lấy điểm

( ; ) i i i

M x y tùy ý thể tích V khối trụ là:

1 ( ; ) n

i i i

i

V f x y S

• Gọi di max ( , ) ,d A B A B Si đường kính i

S Ta có:

maxlimi 1 ( ; ) n

i i i

d i

V f x y S

 Chương Tích phân bội 1.2 Tích phân bội hai

a) Định nghĩa

• Cho hàm số f x y( , ) xác định miền D đóng bị chặn mặt phẳng Oxy

Chia miền D cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích phần Si, i 1;n

Lấy n điểm tùy ý M x yi( ;i i) Si, i 1;n Khi đó,

1 ( ; ) n

n i i i

i

I f x y S gọi tổng tích phân ( , )

f x y D (ứng với phân hoạch Si điểm chọn Mi)

 Chương Tích phân bội • Nếu giới hạn

max

lim ( , )

i

n

i i i d i

I f x y S tồn hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch Si cách chọn điểm Mi số thực I gọi tích phân bội hai hàm số f x y( , ) miền D

Ký hiệu là: ( , ) D

I f x y dS

• Chia miền D đường thẳng song song với Ox,

Oy ta Si xi yi hay dS dxdy

Vậy ( , ) ( , )

D D

I f x y dS f x y dxdy

 Chương Tích phân bội • Nếu tồn tích phân ( , )

D

f x y dxdy, ta nói hàm số ( , )

f x y khả tích miền D; f x y( , ) hàm dấu tích phân; x y biến tích phân

Nhận xét

 ( ) D

S D dxdy (diện tích miền D)

Nếu f x y( , ) 0, liên tục D thể tích hình trụ có đường sinh song song với Oz, hai đáy giới hạn mặt z 0, z f x y( , ) ( , )

D

V f x y dxdy

 Chương Tích phân bội b) Định lý

Hàm f x y( , ) liên tục miền D đóng bị chặn khả tích D

1.3 Tính chất tích phân bội hai

Giả thiết tích phân tồn

• Tính chất 1 ( , ) ( , )

D D

f x y dxdy f u v dudv

• Tính chất 2

[ ( , ) ( , )]

D D D

f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy;

( , ) ( , ) ,

D D

(13)

• Tính chất 3

Nếu chia miền D thành D D1, 2 đường cong có diện tích thì:

1

( , ) ( , ) ( , )

D D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

 Chương Tích phân bội 1.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

1.4.1 Đưa tích phân lặp a) Định lý (Fubini)

Giả sử tích phân ( , ) D

I f x y dxdy tồn tại,

1

{( , ) : , ( ) ( )}

D x y a x b y x y y x , với x [ ; ]a b cố định,

2

1 ( )

( ) ( , ) y x

y x

f x y dy tồn

Khi đó:

2

1 ( )

( )

( , ) y x

b

a y x

I dx f x y dy

 Chương Tích phân bội Tương tự, miền D là:

1

{( , ) : ( ) ( ), }

D x y x y x x y c y d

2

1 ( )

( )

( , ) x y

d

c x y

I dy f x y dx

Chú ý

1) Nếu miền D hình chữ nhật,

{( , ) : , } [ ; ] [ ; ]

D x y a x b c y d a b c d thì:

( , ) ( , ) = ( , )

b d d b

D a c c a

f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx

2) Nếu D {( , ) :x y a x b y x, ( )1 y y x2( )} f x y( , ) u x v y( ) ( ) thì:

2

1 ( )

( )

( , ) ( ) ( )

y x b

D a y x

f x y dxdy u x dx v y dy 3) Nếu D {( , ) : ( )x y x y1 x x y c2( ), y d} f x y( , ) u x v y( ) ( ) thì:

2

1 ( )

( )

( , ) ( ) ( )

x y d

D c x y

f x y dxdy v y dy u x dx

4) Nếu D miền phức tạp ta chia D thành miền đơn giản

VD 1. Cho ( , )

D

I f x y dxdy Xác định cận tích phân lặp với miền D giới hạn y 0,y ,x x a VD 2. Tính tích phân

D

I xy dxdy Trong đó, D [0; 2] [ 1; 1]

VD 3. Tính tích phân (2 ) D

I x y dxdy Trong đó, D {y x y, y 0}

VD 4. Tính tích phân D

I ydxdy, miền D

giới hạn đường y x 2,y x2

b) Đổi thứ tự lấy tích phân

2

1

( )

( , )

y x b

a y x

I dx f x y dy

2

1 ( )

( )

( , ) x y d c x y

(14)

VD 6. Đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau:

3

1

( , ) y

I dy f x y dx Giải. Ta có D x , 1y y Chiếu miền D lên Ox

D D1 D2 Ta có:

1 2,

D x y ,

2 6, 2

x

D x y

 Chương Tích phân bội Vậy

2

0

2

( , ) ( , )

x

I dx f x y dy dx f x y dy

 Chương Tích phân bội 1.4.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN a) Công thức đổi biến tổng quát

Gọi Dxy miền xác định bởi:

{( , ) : ( , ), ( , ), ( , ) }

xy uv

D x y x x u v y y u v u v D Giả sử x x u v( , ), y y u v( , ) hai hàm số có đạo

hàm riêng liên tục miền đóng bị chặn Duv mpOuv

Chú ý

( , ) 1

( , ) ( , )

( , ) u v

u v x y

x y

x x

x y J

y y

u v u v u u

x y v v

Nếu hàm f x y( , ) khả tích Dxy Jacobien

( , )

0 ( , )

u v u v

x x

x y J

y y

u v Duv

( , ) ( ( , ), ( , ))

xy uv

D D

f x y dxdy f x u v y u v J dudv

 Chương Tích phân bội VD 9. Tính tích phân ( 2)

D

I x y dxdy, với miền

D hình chữ nhật giới hạn đường thẳng:

1, 3, 2,

x y x y x y x y

 Chương Tích phân bội b) Đổi biến tọa độ cực

Trong mpOxy, xét miền D Vẽ tia OA OB, tiếp xúc với miền D

, , ,

Ox OA Ox OB

Khi đó:

1

,

OM OM OM

M D

(15)

Đặt cos

sin

x r

y r với r OM, Ox OM,

Khi đó, miền D trở thành:

1

{( , ) : ( ) ( ), }

r

D r r r r

Ta có ( , ) cos sin

sin cos

( , ) r r

r

x x

x y

J r

y y r

r

Vậy:

2

1 ( )

( )

co

( , ) ( s , sin )

xy

r

D r

r r

f x y dxdy d f rdr

 Chương Tích phân bội Chú ý

1) Đổi biến tọa độ cực thường dùng biên D đường trịn elip

2) Để tìm r1( ), ( )r2 ta thay x rcos ,y rsin vào phương trình biên D

3) Nếu cực O nằm D tia từ O cắt biên

Dtại 1 điểm thì: ( )

0

( cos , sin ) r

I d f r r rdr

 Chương Tích phân bội 4) Nếu cực O nằm biên D thì:

( )

0

( cos , sin ) r

I d f r r rdr 5) Nếu biên D elip

2

x y

a b ta đặt:

cos , sin

x ra y rb Khi đó, D trở thành hình trịn:

{( , ) : , 1}

r

D r r

Ta có Jacobien J abr và:

2

0

( cos , sin )

I ab d f ra rb rdr

 Chương Tích phân bội VD 11. Hãy biểu diễn tích phân ( , )

D

I f x y dxdy

trong tọa độ cực Biết miền D nằm ngồi đường trịn

2

1

( ) :C x y 2x nằm ( ) :C2 x2 y2 4x

 Chương Tích phân bội §2 TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1 Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)

• Giả sử ta cần tính khối lượng vật thể V không đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) điểm P x y z( , , )

( )P ( , , )x y z

• Ta chia V thành n phần tùy ý khơng dẫm lên nhau, thể tích phần Vi, i 1,n Trong Vi ta lấy điểm P x y zi( , , )i i i ký hiệu đường kính Vi di Khi đó, khối lượng V xấp xỉ:

1 ( )

n

i i

i

m P V

• Vậy

maxlimi 1 ( )

n

i i

d i

m P V (nếu giới hạn hữu hạn)

 Chương Tích phân bội 2.2 Định nghĩa tích phân bội ba

• Cho hàm số f x y z( , , ) xác định miền đo V

trong không gian Oxyz Chia miền V toán mở đầu lập tổng tích phân

1

: ( , , )

n

n i i i i

i

I f x y z V • Nếu

maxlimi 1 ( , , ) n

i i i i d i

I f x y z V tồn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền V cách chọn

điểm Pi số thực I gọi tích phân bội ba hàm số f x y z( , , ) V

Ký hiệu: ( , , ) V

(16)

• Nếu tồn tích phân, ta nói f x y z( , , ) khả tích; f x y z( , , ) hàm dấu tích phân; x y z, , biến tích phân • Hàm số f x y z( , , ) liên tục miền V bị chặn đóng

thì khả tích V Nhận xét

Nếu f V ( , , ) V

I f x y z dxdydz khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V f x y z( , , )

Đặc biệt, f x y z( , , ) I thể tích V Tích phân bội ba có tính chất tích phân kép

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT CẦU

2 2

(x a) (y b) (z c) R

Hình

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT TRỤ TRÒN

2 2

(x a) (y b) R

Hình

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT TRỤ ELIP

2

x y

a b

Hình

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT TRỤ PARABOL

2

y ax Hình

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT NÓN

2

z x y

(17)

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT PARABOLIC

2

z x y

Hình

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT PARABOLIC

2

z a x y

Hình

 Chương Một số mặt bậc hai MẶT ELIPSOID

2 2

x y z

a b c

Hình

 Chương Tích phân bội 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

2.3.1 Đưa tích phân lặp a) Chiếu miền V lên mpOxy

Giả sử miền V có giới hạn mặt z z x y2( , ), giới hạn z z x y1( , ), giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz

Gọi Dxy hình chiếu V mpOxy Khi đó:

2

1 ( , )

( , )

( , , ) ( , , )

xy

z x y

V D z x y

f x y z dxdydz dxdy f x y z dz

 Chương Tích phân bội Đặc biệt

• Nếu Dxy {( , ) :x y a x b y x, ( )1 y y x2( )} thì:

2

1

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

y x z x y

b

V a y x z x y

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

• Nếu Dxy {( , ) : ( )x y x y1 x x y2( ), c y d} thì:

2

1

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

x y z x y

d

V c x y z x y

f x y z dxdydz dy dx f x y z dz

 Chương Tích phân bội b) Chiếu miền V lên mpOxz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) hai mặt y y x z2( , ) y y x z1( , ), giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy Gọi Dxz hình chiếu V mpOxz

Khi đó:

2

1 ( , )

( , )

( , , ) ( , , )

xz

y x z

V D y x z

(18)

 Chương Tích phân bội c) Chiếu miền V lên mpOyz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) hai mặt x x y z2( , ) x x y z1( , ), giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox Gọi Dyz hình chiếu V mpOyz Khi đó:

2

1 ( , )

( , )

( , , ) ( , , )

yz

x y z

V D x y z

f x y z dxdydz dydz f x y z dx

 Chương Tích phân bội Đặc biệt Nếu miền V [ ; ] [ ; ] [ ; ]a b c d e f

( , , ) ( , , )

f

b d

V a c e

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

 Chương Tích phân bội VD 1. Tính tích phân

V

I xyzdxdydz với miền V

là hình hộp chữ nhật V [1; 2] [ 1; 3] [0; 2] A I 12; B I 24; C I 48; D I 96 VD 2. Tính tích phân lặp

2

1

(1 ) x

I dx dy z dz dựng miền lấy tích phân V

 Chương Tích phân bội • Dựng miền V:

x x x 1, y x2 y y 1, z z z

 Chương Tích phân bội VD 3. Tính tích phân

V

I ydxdydz với miền V giới hạn x y z mặt phẳng tọa độ

Giải. Chiếu miền V xuống mpOxy ta được:

1,

0

xy

x D

y x

Phương trình mặt phẳng:

1

x y z z x y

: {0 1, , }

V x y x z x y

Vậy

1

0 0

x y x

I dx ydy dz

1

0

(1 )

x

dx y x y dy

3

0

1

(1 )

(19)

2.3.2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT Giả sử x x u v w( , , ), y y u v w( , , ), z z u v w( , , ) có

đạo hàm riêng liên tục miền Vuvw đóng bị chặn khơng gian Ouvw

Nếu Jacobien ( , , )

( , , )

u v w

x x x

x y z

J y y y

u v w

z z z

( , , )

( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

uvw

V

f x y z dxdydz

f x u v w y u v w z u v w J dudvdw

 Chương Tích phân bội VD 5. Tính thể tích khối elipsoid

2 2

2

2 2

:x y z ( , , , 0)

V R a b c R

a b c

Giải. Đặt

, ,

x au y bv z cw

0

a

J b abc

c

Khi đó:

2 2

2 2 2

2 2

:x y z uvw:

V R V u v w R

a b c

 Chương Tích phân bội Vậy

uvw

V V

V dxdydz abc dudvdw

3 uvw

abcV R abc

 Chương Tích phân bội 2.3.3 Đổi biến tọa độ trụ Đặt

cos sin

x r y r z z

, r 0, [0; ] [ ; ]

Jacobien

r z

x x x

J y y y

z z z

cos sin

sin cos

0

r

J r r

Khi ta có:

cos , s

( , , )

( in , )

r z

V

V f x y

r r z r drd

z dxdyd

f d

z

VD 6. Tính 2

V

(20)

VD 7. Tính ( 2 2)

V

I x y z dxdydz với V khối hình nón giới hạn x2 y2 z2 z Giải. Chiếu V xuống Oxy ta

hình trịn Dxy giới hạn ( ) :C x2 y2 Đổi biến tọa độ trụ, ta có:

0 ,

0 1,

1,

r r z

z2 x2 y2 r2

Vậy ( 2)

r z

V

I r z rdrd dz

2 1

2

0

( )

r

d rdr r z dz

2

3

0

1

(3 )

3 d r r r dr 10

Hình

 Chương Tích phân bội 2.3.3 Đổi biến tọa độ cầu

Đặt

sin cos , sin sin , cos ,

x r y r z r

0, [0; ], [0; ]

r

Jacobien ( , , ) ( , , )

x y z J

r

2sin r

r r

x x x

y y y r

z z z

 Chương Tích phân bội Khi ta có:

2

( , , ) sin

r

V V

r

f x y z dxdydz f drd d

Với f f( , , )xyz f(rsin cos ,rsin sin ,rcos )

 Chương Tích phân bội VD 8. Tính tích phân:

2 2

V

dxdydz I

x y z

Trong

V: x2 y2 z2

Giải. Đặt

sin cos , sin sin , cos

x r y r z r

x2 y2 z2 r

1 r OM

 Chương Tích phân bội Ta có:

1 2, ,

r

V r

Vậy

2sin

r

V

r

I drd d

r

2

0

sin

(21)

 Chương Tích phân bội VD 9. Tính tích phân ( 2)

V

I x y dxdydz với V

là miền giới hạn bởi: x2 y2 z2 4,y z Giải. Đổi biến tọa độ cầu,

ta có

0

: r

r V

và x2 y2 r2sin2

32 2!! 64

. . .

5 3!! 15 Vậy 4sin3

r

V

I r drd d

2

4

0 0

sin

d r dr d

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 3.1 Tính thể tích V vật thể

Thể tích V vật thể có đường sinh song song với Oz

và hình chiếu Oxy D, hai đáy giới hạn mặt z f x y1( , ) z f x y2( , ) là:

2( , ) 1( , ) D

V f x y f x y dxdy

Thể tích vật thể là:

( )

V dxdydz

 Chương Tích phân bội VD 1. Tính thể tích V vật thể giới hạn phần hình trụ x2 y2 hai mặt phẳng

5

x y z , z Giải. Chiếu V xuống Oxy ta Miền Dxy hình trịn có biên ( ) :C x2 y2 Đặt x rcos ,y rsin Miền Dxy trở thành Dr :

, r

Vậy [(5 ) 2]

xy

D

V x y dxdy

[3 (cos sin )]

r

D

r rdrd

2

0

[3 (cos sin )]

d r rdr

0

3

(cos sin )

2 d

 Chương Tích phân đường

§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 1.1 Định nghĩa

• Giả sử đường cong L mặt phẳng Oxy có phương trình tham số x x t( ),y y t( ) với t [ ; ]a b f x y( , ) hàm số xác định L

(22)

•

• •

•

O x

y

0 t

x

1 i t

x

i t

x

n t

x L • Gọi độ dài cung thứ i si

Trên cung thứ i lấy điểm M x ti( ( ), ( ))i y ti tùy ý

i

s

•

i

M

Tổng

( )

n

n i i

i

I f M s

gọi tổng tích phân đường loại 1 hàm số ( , )

f x y đường cong L • Giới hạn

0 1

lim ( )

i

n

i i

max s i f M s tồn hữu hạn gọi tích phân đường loại 1 f x y( , ) L

 Chương Tích phân đường Ký hiệu ( , )

L

f x y ds hay ( , ) L

f x y dl

• Tích phân đường loại hàm số f x y z( , , ) đường cong L không gian, ký hiệu ( , , )

L

f x y z ds, định nghĩa tương tự

Nhận xét

Tích phân đường loại có tất tính chất tích phân xác định

Tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào chiều cung AB, nghĩa là:

AB BA

fds fds

 Chương Tích phân đường 1.2 Sự tồn tích phân đường loại a) Khái niệm đường cong trơn Đường cong L có phương

trình x x t( ), y y t( ) gọi trơn đạo hàm

( )

x t , y t( ) tồn không đồng thời

Nói cách khác, đường cong L gọi trơn điểm M L vẽ tiếp tuyến với L b) Định lý

Nếu đường cong L trơn khúc (hay đoạn) hàm số f liên tục L tích phân

L

fds tồn

 Chương Tích phân đường 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

a) Đường cong L có phương trình tham số • Nếu đường cong L mặt phẳng có phương trình

( )

x x t, y y t( ), với a t b thì: ( , ) ( ( ), ( )) 2

b

t t

L a

f x y ds f x t y t x y dt

• Nếu đường cong L khơng gian có phương trình ( )

x x t , y y t( ), z z t( ) với a t b thì:

( , , ) 2

b

t t t

L a

f x y z ds f x y z dt

Trong đó, f f x t y t z t( ( ), ( ), ( ))

 Chương Tích phân đường VD 1. Tính tích phân

L

I xds

Trong đó, L cung trịn có phương trình tham số: cos

x t, y sint,

6 t VD 2. Tính tích phân ( )

L

I x y dl Trong đó, L đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) điểm B( 2; 3) VD 4. Tính tích phân (2 )

L

I xy z ds Trong đó, L đường xoắn ốc trụ trịn xoay có phương trình tham số:

cos

(23)

 Chương Tích phân đường b) Đường cong L có phương trình tổng qt • Nếu L có phương trình y y x( ) với a x b thì:

2

( , ) ( , ( ))

b

x

L a

f x y ds f x y x y dx

• Nếu L có phương trình x x y( ) với a y b thì:

( , ) ( ( ), )

b

y

L a

f x y ds f x y y x dy

 Chương Tích phân đường Đặc biệt

• Nếu L có phương trình y với a x b thì:

( , ) ( , )

b

L a

f x y ds f x dx

• Nếu L có phương trình x với a y b thì:

( , ) ( , )

b

L a

f x y ds f y dy

 Chương Tích phân đường VD 6. Tính tích phân ( )

L

I x y ds với L OAB có đỉnh O(0; 0), (1; 0), (1; 2)A B

Giải. Ta có:

OA OB AB

I

Phương trình cạnh OAB là:

(OA y) : 0,

xO x xA 1;

 Chương Tích phân đường (OB y) : 2x, xO x xB 1; (AB x) : 1, yA y yB Suy ra:

•

1

0

1

( ) ( 0)

2 OA

x y ds x dx

•

1

2

0

3

( ) ( ) [(2 ) ]

2 OB

x y ds x x x dx

•

2

0

( ) (1 )

AB

x y ds y dy

Vậy

2 2

I

VD 7. Tính tích phân

2 81

81 C

x

I x ds

x Trong đó, C cung

2

2 1

9

x y nằm góc phần tư thứ ba

Giải. Phương trình cung C là:

1 9 , 3 0

3

y x x

 Chương Tích phân đường Vi phân cung:

2

2 81 ( )

81

x

ds y dx dx

x

Vậy

3

2

(24)

 Chương Tích phân đường c) Đường cong L tọa độ cực

• Nếu phương trình đường cong L cho tọa độ cực r r( ) với ta xem tham số Khi đó, phương trình L là:

( )cos ,

x r y r( )sin ,

• Đặt f f r( ( )cos , ( )sin )r , ta có công thức:

2

( , )

L

f x y ds f r r d

 Chương Tích phân đường VD 8. Tính tích phân 2

L

I x y ds Trong đó, L

là đường trịn có phương trình ( ) :C x2 y2 4y Đặt x rcos ,y rsin

thay vào phương trình ( )C , ta được: r sin , [0; ] Ta có: x2 y2 r

Vậy 2

0

(4 sin ) [(4 sin ) ]

I r d

2

0

4 sin (4 sin ) (4 cos ) d

16 sin d 32

 Chương Tích phân đường 1.4 Ứng dụng tích phân đường loại a) Tính độ dài cung

Độ dài l cung L L

l ds

VD 9. Tính độ dài l cung

2

: , 1;

ln

x t

L t

y t t

 Chương Tích phân đường Giải. Ta có:

3

2

1

[ ( )] [ ( )] L

l ds x t y t dt

2

3

2

1

1 2

1

t dt

t t

 Chương Tích phân đường §2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II

Chiếu F M( i), A Ai 1 i lên trục Ox Oy, ta được: • Nếu L cung AB ta chia L thành n cung nhỏ điểm chia A A A0, 1, ,An B Trên cung

1 i i

A A ta lấy điểm M x yi( ,i i) tùy ý 2.1 Bài toán mở đầu

Tính cơng sinh lực F F M( ) tác dụng lên chất điểm M x y( , ) di chuyển dọc theo đường cong L • Nếu L đoạn thẳng AB cơng sinh là:

cos ,

(25)

 Chương Tích phân đường F M( i) P M i( i) Q M j( i)

A Ai 1 i x ii y ji Khi đó, cơng W sinh là:

1

( )

n n

i i i i

i i

W W F M A A

=n ( i) i ( i) i

i

P M x Q M y

Vậy

1

lim ( ) ( )

i i

n

i i i i

max A A i

W P M x Q M y

 Chương Tích phân đường 2.2 Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ) • Cho hai hàm số P x y Q x y( , ), ( , ) xác định đường

cong L Chia L tốn mở đầu Khi đó:

1

( ) ( )

n

n i i i i

i

I P M x Q M y

gọi tổng tích phân đường loại 2 hai hàm số P x y Q x y( , ), ( , ) đường cong L

Ký hiệu là:

( , ) ( , ) L

P x y dx Q x y dy • Định nghĩa tương tự không gian Oxyz:

( , , ) ( , , ) ( , , ) L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz • Giới hạn

1 lim

i i

n max A A

I tồn hữu hạn gọi tích phân đường loại 2 P x y Q x y( , ), ( , ) L

 Chương Tích phân đường Nhận xét

Tích phân đường loại có tất tính chất tích phân xác định

Từ định nghĩa tổng tích phân, ta viết:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

AB AB AB

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

Tích phân đường loại phụ thuộc vào chiều L thay đổi chiều A Ai 1 i xi, yi đổi dấu, viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu cuối:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

AB BA

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

 Chương Tích phân đường • Định lý

Nếu hai hàm số P x y Q x y( , ), ( , ) liên tục miền mở chứa đường cong L trơn khúc tồn tích phân đường loại P x y Q x y( , ), ( , ) dọc theo L

Chú ý

Nếu L đường cong phẳng kín lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) ta dùng ký hiệu:

( , ) ( , ) L

P x y dx Q x y dy

 Chương Tích phân đường 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB

• Nếu L có phương trình x x t( ), y y t( ) thì: ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

B

A

t A

t

t B

Pdx Qdy P x t y t x Q x t y t y dt • Nếu L có phương trình x x t( ), y y t( ), z z t( ) thì:

B

A

t t t

A

t

t B

(26)

 Chương Tích phân đường b) Đường cong L có phương trình tổng qt Xét đường cong L chứa cung AB

• Nếu L có phương trình y y x( ) thì:

( , ( )) ( , ( ))

B

A

AB x

x

x Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx • Nếu L có phương trình x x y( ) thì:

( ( ), ) ( ( ), )

B

A

y

AB y

Pdx Qdy P x y y x Q xy y dy

 Chương Tích phân đường Đặc biệt

• Nếu L có phương trình y thì: ( , ) ( , ) ( , )

B

A

AB

x

P x y dx Q x y dy P x dx • Nếu L có phương trình x thì:

( , ) ( , ) ( , )

B

A

AB

y

P x y dx Q x y dy Q y dy

AB

I dx xdy Trong AB có phương trình x ,t y2 3t với A(0; 2) B(2; 5)

VD 2. Tính tích phân L

I xdx dy Trong đó, L elip

2

x y

a b lấy theo chiều dương

VD 3. Tính tích phân ( ) ( )

L

I x y dx x y dy, với

L đường nối điểm O(0; 0) với điểm A(1; 1) trường hợp:

1) L đường thẳng y x; 2) L đường cong y x2

 Chương Tích phân đường 2.4 Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) a) Xác định chiều biên

miền đa liên

Đường cong L gọi Jordan khơng tự cắt Cho miền D miền đa liên,

liên thơng, bị chặn có biên

D Jordan kín trơn khúc

Chiều dương D chiều mà di chuyển dọc theo biên ta thấy miền D nằm phía bên tay trái

 Chương Tích phân đường b) Cơng thức Green

Cho miền D (xác định mục a)

Nếu P x y( , ), Q x y( , ) đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa D thì:

( , ) ( , ) x y

D D

P x y dx Q x y dy Q P dxdy  Hệ quả

Diện tích miền D tính theo cơng thức:

1

( ) ( ) ( )

2

D D

hay

(27)

 Chương Tích phân đường VD 6. Tính diện tích hình elip

2

x y a b

Giải. Áp dụng hệ quả, ta có: 2E

S xdy ydx Phương trình tham số elip là:

cos , sin ,

x a t y b t t

Vậy

2

0

1 ( cos sin )

2

S ab t ab t dt ab

 Chương Tích phân đường VD 7. Tính diện tích hình trịn x2 y2 2y Giải. Phương trình đường trịn tọa độ cực:

( ) :C r sin , Áp dụng hệ quả, ta được:

2

4 sin 2C

S d

2.5 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân

a) Định lý

Giả sử hàm số P Q, đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở đơn liênD

Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương: 1) Py Qx, ( , )x y D

2) ( , ) ( , )

L

P x y dx Q x y dy dọc theo đường cong kín L nằm D

 Chương Tích phân đường 3) Tích phân ( , ) ( , ) ,

AB

P x y dx Q x y dy AB D, phụ thuộc vào hai đầu mút A B, mà không phụ thuộc vào

đường nối A với B

4) Biểu thức P x y dx( , ) Q x y dy( , ) vi phân toàn phần hàm u x y( , ) miền D Nghĩa là:

( , ) : ( , ) ( , ) ( , )

u x y du x y P x y dx Q x y dy

 Chương Tích phân đường b) Hệ

Nếu P x y dx( , ) Q x y dy( , ) vi phân toàn phần hàm ( , )

u x y miền mở đơn liên D thì: ( , ) ( , ) ( ) ( ) AB

P x y dx Q x y dy u B u A

VD 10. Tích phân đường sau không phụ thuộc vào đường trơn khúc nối hai điểm A B, ?

A (4 ) ( )

AB

I xy x dx y y x dy

B (4 1) ( 2 1)

AB

I xy x dx y x y dy

C (4 ) ( )

AB

I xy x dx y y x dy

D (4 1) ( 2 1)

AB

I xy x dx y x y dy

(28)

VD 11. Tính 2 2 2 2

L

x y x y

I dx dy

x y x y Biết L

đường trơn khúc nối điểm A( 1; 1) B( 2; 2) nằm miền D không chứa gốc tọa độ O

Giải. Các hàm

2

x y P

x y , 2

x y Q

x y có đạo hàm

liên tục D

2

x y

y xy x

Q P

x y

Áp dụng mục 3) định lý, ta chọn L y: x Vậy

2

1

ln

dx I

x

Giải.I u(1; 0) u(1; 1)

VD 12. Cho biết hàm số u x y( , ) xey yex 2x có vi phân tồn phần:

( y x 2) ( y x)

du e ye dx xe e dy Hãy tính

(1; 0)

(1; 1)

( y x 2) ( y x)

I e ye dx xe e dy ?

(5; 12)

2

(3; 4)

xdx ydy I

x y

Giải. Ta có:

2

2 2

1 ( )

2

xdx ydy d x y

x y x y

[ln( 2)] ln 2

2d x y d x y

u x y( , ) ln x2 y2

Vậy (5; 12) (3; 4) ln13

I u u

 Chương Tích phân đường Chú ý

Giả sử hai hàm số P Q, thỏa định lý Khi tính tích phân

2

1 ( ; )

( ; ) x y

x y

I Pdx Qdy, người ta thường tính theo đường gấp khúc song song với trục tọa độ

VD 14. Tính tích phân (3; 2)

2 (1; 1)

( )

x y dx ydy I

x y theo

một đường trơn khúc không cắt ( ) :d x y

 Chương Tích phân đường Giải. Lấy miền mở đơn liên D

chứa điểm A(1; 1), (3; 2)B không cắt ( )d

Ta có:

3

( )

x y

y

Q P

x y

Áp dụng mục 3) định lý, ta chọn:

L đoạn thẳng AC y: 1,

L đoạn thẳng CB x:

 Chương Tích phân đường Suy ra:

2

( ) ( )

AC CB

x y dx ydy x y dx ydy I

x y x y

3

2

1

2 ln3

2 10

( 1) ( 3)

x dx ydy

x y

(29)

 Chương Phương trình vi phân

§1 Khái niệm phương trình vi phân §2 Phương trình vi phân cấp

§3 Phương trình vi phân cấp cao

……… §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1 Bài tốn mở đầu

a) Bài tốn

• Tìm phương trình đường cong ( ) :C y f x( ) qua điểm M(2; 3) cho đoạn tiếp tuyến với ( )C

nằm hai trục tọa độ bị tiếp điểm chia thành hai phần ?

Nhận thấy hàm y C, C

x thỏa (*)

Thay tọa độ M vào y C

x ta

6

y x

b) Bài toán

Tìm vận tốc nhỏ để phóng vật theo phương thẳng đứng cho vật không rơi trở lại trái đất ? Cho biết lực cản không khí khơng đáng kể

Giải. Giả sử I x y( , ) ( )C , hệ số góc tiếp tuyến I là:

( ) tan PI PI ( ) y

y x y x

PA OP x (*)

Giải. Gọi khối lượng trái đất vật phóng M m, Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm vật phóng

là r, R bán kính trái đất

Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật f k.Mm2

r (k số hấp dẫn)

Phương trình chuyển động vật là:

2

2 2

.d r Mm d r M

m k k

dt r dt r (1)

Mặt khác

2

d r dv dv dr dv v dt dr dt dr

dt

2

(1) vdv k.M vdv kMdr

dr r r

2

1

2 2

kM v kM

vdv dr C

r

r (2)

Tại thời điểm t r R v v0 nên:

2 2

0

1 (2)

2 2

v kM v kM v kM

C

R r R (3)

Khi r

2

0 0

2

v kM v

R

2kM v

R

Thay giá trị k M R, , ta v0 11,2 km s/

• Cấp cao đạo hàm có phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân • Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n là:

( ) ( , , , , n )

F x y y y (*) Nếu từ (*) ta giải theo y( )n ptvp có dạng:

( )n ( , , , , (n 1))

y f x y y y

1.2 Khái niệm phương trình vi phân (ptvp) • Phương trình chứa đạo hàm vi phân

vài hàm cần tìm gọi phương trình vi phân

• Nghiệm (*) khoảng D hàm y ( )x

xác định D cho thay y ( )x vào (*) ta đồng thức D

• Phương trình vi phân có nghiệm có vơ số nghiệm sai khác số C

• Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm phương trình vi phân

• Đồ thị nghiệm y ( )x phương trình vi phân gọi đường cong tích phân

Chú ý

(30)

 Chương Phương trình vi phân §2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1 Khái niệm phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng tổng qt F x y y( , , ) (*) Nếu từ (*) ta giải theo y (*) trở thành y f x y( , )

• Nghiệm (*) có dạng y y x( ) chứa số C gọi nghiệm tổng quát Khi điều kiện y0 y x( )0 cho trước (thường gọi điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta giá trị C0 cụ thể nghiệm lúc gọi nghiệm riêng (*)

• Nghiệm thu trực tiếp từ (*) không thỏa nghiệm tổng quát gọi nghiệm kỳ dị (*)

 Chương Phương trình vi phân VD 1. Tìm hàm y y x( ) thỏa y x

Biết đường cong tích phân qua điểm M(2; 1) Giải. Ta có:

2

x

y x y x y C (1)

Thế M(2; 1) vào (1) ta

2

1

2

x

C y

 Chương Phương trình vi phân VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị ptvp y y2 Giải. Với điều kiện y 1, ta có: y y2 dy y2

dx

2

dy

dx y

, y arcsiny x C y sin(x C) (2) Nhận thấy y thỏa ptvp không thỏa (2) Vậy y nghiệm kỳ dị

 Chương Phương trình vi phân  Từ sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị

VD 3. Tìm ptvp họ đường cong y Cx2 Giải. Ta có:

2 2

y Cx y Cx

2

y y

C y x

x x

Vậy y 2y, x

x

 Chương Phương trình vi phân 2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CƠ BẢN

2.2.1 Phương trình vi phân cấp với biến phân ly

Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: ( ) ( ) (1) f x dx g y dy

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế (1) ta nghiệm tổng quát:

( ) ( )

f x dx g y dy C

VD 4. Giải phương trình vi phân 2 2

1

xdx ydy

x y

VD 5. Giải phương trình vi phân y xy y( 2) VD 7. Giải ptvp xy y y2 thỏa điều kiện (1)

2

(31)

Chẳng hạn, hàm số: ( , )

2

x y f x y

x y đẳng cấp bậc 0,

2

4

( , )

x xy f x y

x y đẳng cấp bậc 1,

2

( , )

f x y x xy đẳng cấp bậc 2.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số

Hàm hai biến f x y( , ) gọi đẳng cấp bậc n với k f kx ky( , ) k f x yn ( , )

Phương pháp giải

Bước 1. Biến đổi (2) y y

x

Bước 2. Đặt u y y u xu

x

Bước 3.(2) ( ) ( )

du dx

u xu u

u u x

( )u u x (đây ptvp có biến phân ly) b) Phương trình vi phân đẳng cấp

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp có dạng: ( , ) (2)

y f x y

Trong đó, f x y( , ) hàm số đẳng cấp bậc

 Chương Phương trình vi phân VD 8. Giải phương trình vi phân

2

x xy y y

xy

VD 9. Giải phương trình vi phân y x y

x y

với điều kiện đầu y(1)

 Chương Phương trình vi phân 2.2.3 Phương trình vi phân tồn phần

• Cho hai hàm số P x y Q x y( , ), ( , ) đạo hàm riêng chúng liên tục miền mở D, thỏa điều kiện

, ( , )

x y

Q P x y D Nếu tồn hàm u x y( , ) cho ( , ) ( , ) ( , )

du x y P x y dx Q x y dy phương trình vi phân có dạng:

( , ) ( , ) (3) P x y dx Q x y dy

được gọi phương trình vi phân tồn phần • Nghiệm tổng quát (3) u x y( , ) C Nhận xét

( , ) ( , ), ( , ) ( , )

x y

u x y P x y u x y Q x y

Phương pháp giải

Bước 1. Từ (3) ta có ux P (3a) uy Q (3b) Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:

u x y( , ) P x y dx( , ) ( , )x y C y( ) (3c) Trong đó, C y( ) hàm theo biến y

Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: ( )

y y

u C y (3d) Bước 4. So sánh (3b) (3d) ta tìm C y( ) Thay C y( ) vào (3c) ta u x y( , )

 Chương Phương trình vi phân VD 11. Cho phương trình vi phân:

2

(3y 2xy )x dx (x 6xy 3)dy (*) 1) Chứng tỏ (*) phương trình vi phân tồn phần 2) Giải phương trình (*)

Giải 1)

2

3 2

2

6

y x

P y xy x P y x

Q x y

Q x xy đpcm

2) Ta có:

2

3 2 ( )

6 ( )

x y

u P y xy x a

(32)

 Chương Phương trình vi phân ( )a u (3y2 2xy )x dx 3xy2 x y2 x2 C y( ) uy 6xy x2 C y( ) (c) So sánh (b) (c), ta được:

( ) ( )

C y C y y Vậy (*) có nghiệm 3xy2 x y2 x2 3y C

 Chương Phương trình vi phân VD 12. Giải ptvp (x y 1)dx (ey x dy) Giải. Ta có: ( )

( ) x

y y

u x y a

u e x b

2

( ) ( 1) ( )

2

x

a u x y dx xy x C y

uy x C y( ) (c) So sánh (b) (c), ta được:

( ) y ( ) y

C y e C y e Vậy phương trình có nghiệm

2

y

x xy x e C

 Chương Phương trình vi phân VD 13. Giải phương trình vi phân:

[(x y 1)ex e dxy] (ex xe dyy)

Giải. Ta có: ( 1) ( )

( )

x y

x

x y

y

u x y e e a

u e xe b

( )a u (x y e)x xey C y( ) uy ex xey C y( ) (c) So sánh (b) (c), ta C y( ) C

Vậy phương trình có nghiệm (x y e) x xey C

Bước 1. Tìm biểu thức A x( ) e p x dx( ) 2.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng:

( ) ( ) (4) y p x y q x

• Khi q x( ) (4) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp thuần nhất

 Phương pháp giải

(phương pháp biến thiên số Lagrange)

Bước 3. Nghiệm tổng quát y A x B x( ) ( ) C Bước 2. Tìm biểu thức B x( ) q x e( ) p x dx( ) dx

 Nhận xét

( ) ( )

( ) p x dx q x

B x q x e dx dx

A x  Chú ý

• Khi tính tích phân trên, ta chọn số • Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm tổng quát (4) dạng:

( ) ( ) p x dx y C x e

VD 14. Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm nghiệm tổng quát y 2y lnx x

x dạng:

A ( )

C x y

x ; B ( )

C x y

x ;

C y C x( )

x ; D

( )

C x y

x

Giải. ( ) ( ) ( )

dx

p x dx x

y C x e C x e

2 ln

2 ( )

( ) x C x

C x e A

(33)

 Chương Phương trình vi phân VD 15. Giải phương trình vi phân y x y2 thỏa điều kiện đầu

3 x

y e VD 16. Giải phương trình y ycosx e sinx VD 17. Giải phương trình y tan 2y x sin 4x

 Chương Phương trình vi phân 2.2.5 Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:

( ) ( ) (5) y p x y q x y

• Khi (5) tuyến tính cấp • Khi p x( ) q x( ) (5) pt có biến phân ly

 Chương Phương trình vi phân  Phương pháp giải (với α khác 1)

(5) y p x( )y q x( )

y y

• Bước 1. Với y 0, ta chia hai vế cho y :

1

( ) ( )

y y p x y q x

• Bước 2. Đặt z y1 z (1 )y y , ta được: (5) z (1 ) ( )p x z (1 ) ( )q x

(đây phương trình tuyến tính cấp 1)

 Chương Phương trình vi phân VD 18. Giải phương trình vi phân y y xy2

x

với điều kiện đầu x 1,y

 Chương Phương trình vi phân §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3.1 Các dạng phương trình vi phân cấp 3.1.1 Phương trình khuyết y y’

• Phương trình vi phân khuyết y y có dạng: ( ) (1)

y f x

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:

1

( ) ( ) ( )

y f x y f x dx x C

y ( )x dx C x1 ( )x C x1 C2

 Chương Phương trình vi phân VD 1. Giải phương trình vi phân y x2

VD 2. Giải ptvp y e2x với (0) 7, (0)

4

y y

3.1.2 Phương trình khuyết y

• Phương trình vi phân khuyết y có dạng: ( , ) (2) y f x y

(34)

 Chương Phương trình vi phân VD 3. Giải phương trình vi phân y x y

x

Giải. Đặt z y ta có:

y x y z 1z x

x x

1 ( )

dx x

A x e

x,

2

( )

3

B x x dx x Suy

3

1

1 1

3

C

z x C y x

x x

Vậy 1ln 2

y x C x C

VD 4. Giải pt vi phân ( 1)

1

y

y x x

x

với điều kiện y(2) 1,y(2) Giải. Đặt z y ta có:

1 ( 1)

1

pt z z x x

x

1

( )

dx x

A x e x , ( )

2

B x xdx x

 Chương Phương trình vi phân Ta có ( 1) 1

2

y x x C

3

1

(2) 3

2

y y x x x

4

2

3 3

8

x x x

y x C

4 3 1

(2)

8

x x x

y y x

 Chương Phương trình vi phân 3.1.3 Phương trình khuyết x

• Phương trình vi phân khuyết x có dạng: ( , ) (3) y f y y

• Đặt z y ta có:

dz dz dy dz

y z z

dx dy dx dy

• Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly

 Chương Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân 2yy y Giải. Đặt z y y zdz

dy

2

1

dz zdz dy

pt yz z

dy z y

2

( 1) ln( 1) ln

1

d z dy z Cy

y z

z2 Cy (*) Đạo hàm hai vế (*) theo x:

1

2zz Cy y C y C x C

Vậy y C x1 C x2 C3

VD 6. Giải phương trình vi phân y (1 )y y với điều kiện (0) 0, (0)

2

y y

Giải. Đặt z y y zdz

dy

pt zdz (1 )z y

dy

dz 2(2y 1)dy z 2y2 2y C (a) Thay 0, 0,

2

x y y vào (a)

2

(35)

 Chương Phương trình vi phân 2 2 (2 1)2

2

dy

y y y y

dx

2

(2 1)

dy dx x C

y

y (b)

Thay x 0,y vào (b) C

Vậy phương trình có nghiệm (x 1)(2y 1)

 Chương Phương trình vi phân 3.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 3.2.1 Phương trình

• Phương trình có dạng: (4)

y a y a y

1,

a a

Xét phương trình đặc trưng (4):

2

1 (5)

k a k a

Ta có trường hợp sau:

 Chương Phương trình vi phân Trường hợp 1

Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k2 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng

1 ,

k x k x

y e y e

nghiệm tổng quát là:

1

k x k x

y C e C e

Trường hợp

Phương trình (5) có nghiệm kép thực k

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 ekx, y2 xekx nghiệm tổng quát là:

1kx kx

y C e C xe

 Chương Phương trình vi phân  Trường hợp 3

• Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp:

k i

• Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

1 cos , sin

x x

y e x y e x

1cos 2sin x

y e C x C x

 Chương Phương trình vi phân VD 8. Giải phương trình vi phân y 2y 3y Giải. Phương trình đặc trưng:

2

1

2 1,

k k k k

Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng:

1 x, x

y e y e

nghiệm tổng quát y C e1x C e2 3x

 Chương Phương trình vi phân VD 9. Giải phương trình vi phân y 6y 9y Giải. Phương trình đặc trưng:

2 6 9 0 3

k k k (nghiệm kép)

3

1 x, x

y e y xe

(36)

 Chương Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân y 16y Giải. Phương trình đặc trưng:

2 2

1,2

16 16

k k i k i

0,

Vậy phương trình cho có hai nghiệm riêng: cos , sin

y x y x

nghiệm tổng quát y C1cos 4x C2sin 4x

VD 11. Giải phương trình vi phân y 2y 7y Giải. Phương trình đặc trưng k2 2k có:

2 1,2

6 6i k i

1,

1 cos , sin

x x

y e x y e x

nghiệm tổng quát:

1cos 2sin x

y e C x C x

 Chương Phương trình vi phân VD 12. Tìm nghiệm tổng quát phương trình:

0

y y y

Giải. Phương trình đặc trưng k2 k có:

1,2

1

3

2

i i k

1,

2

Vậy phương trình cho có nghiệm tổng quát:

1

3

cos sin

2

x

y e C x C x

 Chương Phương trình vi phân 3.2.2 Phương trình khơng nhất • Phương trình khơng có dạng:

1 ( ), a1, (6)

y a y a y f x a

• Để tìm C x1( ) C x2( ), ta giải hệ Wronsky:

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C x y x C x y x

C x y x C x y x f x a) Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng y x1( ), ( )y x2 (6) có nghiệm tổng qt y C x y x1( ) ( )1 C x y x2( ) ( ).2

VD 13. Giải phương trình vi phân y 2y y x (a) Giải. Xét phương trình nhất:

2

y y y (b) Ta có: k2 2k k

1 x, x

y e y xe nghiệm riêng (b) Suy ra, nghiệm tổng quát (a) có dạng:

1( ).x 2( ) x

y C x e C x xe Ta có hệ Wronsky:

1

( ) ( )

( ) ( 1) ( )

x x

e C x xe C x

e C x x e C x x

 Chương Phương trình vi phân Giải hệ định thức Crammer, ta được:

2

2 ( ) ( )

x x

C x x e C x xe

2

1 1

2 2

( ) ( ) ( 2)

( ) ( ) ( 1)

x x

C x C x dx e x x C

C x C x dx e x C

Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng qt là:

1x x

(37)

 Chương Phương trình vi phân b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT

 Phương pháp cộng nghiệm • Định lý

Nghiệm tổng quát phương trình khơng (6) tổng nghiệm tổng quát phương trình (4) với nghiệm riêng (6)

VD 14. Cho phương trình vi phân:

2 (2 )x

y y y x e (*)

1) Chứng tỏ (*) có nghiệm riêng y x e2 x 2) Tìm nghiệm tổng quát (*)

 Chương Phương trình vi phân Giải

1) VT(*) (x2 4x 2)ex 2(2x x e2) x 2x e2 x (2 x e2)x VP(*) đpcm

2) Xét phương trình y 2y 2y 0(**):

1,2

2

k k k i

Suy (**) có nghiệm tổng quát:

1

( cos sin )

x

y e C x C x Vậy (*) có nghiệm tổng quát là:

2

1

( cos sin )

x x

y x e e C x C x

VD 15. Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: sin cos

y y x x,

biết nghiệm riêng y cos 2x Giải. Phương trình y y có:

2

1

0 0,

k k k k

0

y y có nghiệm tổng quát y C1 C e2 x Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

1 x cos

y C C e x

 Chương Phương trình vi phân  Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý

Cho phương trình vi phân:

1 1( ) 2( ) (7)

y a y a y f x f x

Nếu y x1( ) y x2( ) nghiệm riêng

1 1( )

y a y a y f x , 2( ) y a y a y f x nghiệm riêng (7) là:

1( ) 2( )

y y x y x

VD 16. Tìm nghiệm tổng quát y y cos2x (*) Cho biết y y y y cos 2x có nghiệm riêng y1 x, 2 cos sin

10 10

y x x

Giải. Ta có:

2

2 cos cos

y y x y y x

Suy (*) có nghiệm riêng là:

2 cos 2 sin 2

10 10

y x x x

 Chương Phương trình vi phân Mặt khác, phương trình y y có nghiệm tổng quát y C1 C e2 x Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng qt là:

1

2 cos 2 sin 2

10 10

x

(38)

 Phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số

Xét phương trình y a y1 a y2 f x( ) (6) y a y1 a y2 (4) • Trường hợp 1:f(x) có dạng eαxPn(x)

(P xn( ) đa thức bậc n) Bước 1. Nghiệm riêng (6) có dạng:

( )

m x

n

y x e Q x

(Q xn( ) đa thức đầy đủ bậc n)

 Chương Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m:

1) Nếu khơng nghiệm phương trình đặc trưng (4) m

2) Nếu là nghiệm đơn phương trình đặc trưng (4) m

3) Nếu là nghiệm kép phương trình đặc trưng (4) m

Bước 3. Thế m x ( )

n

y x e Q x vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng cần tìm

 Chương Phương trình vi phân VD 17. Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân:

3

2 x( 1)

y y y e x

Giải. Ta có f x( ) e3x(x2 1), 3,P x2( ) x2 Suy nghiệm riêng có dạng:

3( )

m x

y x e Ax Bx C

Do nghiệm đơn phương trình đặc trưng

2 2 3 0

k k nên m

Suy nghiệm riêng có dạng y xe3x(Ax2 Bx C)

Thế y xe3x(Ax2 Bx C) vào phương trình cho, đồng thức ta được:

1, 1,

12 16 32

A B C

Vậy nghiệm riêng

12 16 32

x

y xe x x

VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân:

2 x x

y y y xe e Giải. Xét phương trình y 2y y xex (1)

Ta có f x( ) xex, 1,P x1( ) x Dạng nghiệm riêng (1) y1 x e Axm x( B) Do không nghiệm phương trình đặc trưng

2 2 1 0

k k nên m y1 e Axx( B)

 Chương Phương trình vi phân Xét phương trình y 2y y 2e x

(2) Ta có f x( ) 2e x, 1,P x0( ) Nghiệm riêng (2) có dạng y Cx em x

Do nghiệm kép phương trình đặc trưng

2 2 1 0

k k nên m y2 Cx e2 x Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy nghiệm riêng

của phương trình cho có dạng:

1 ( )

x x

(39)

 Chương Phương trình vi phân • Trường hợp

f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]

(P xn( ) đa thức bậc n, Q xm( ) đa thức bậc m)

Bước 2. Xác định s:

1) Nếu i không nghiệm phương trình đặc trưng (4) s

2) Nếu i nghiệm phương trình đặc trưng (4) s

Bước 1. Nghiệm riêng có dạng:

[ ( )cos ( )sin ]

s x

k k

y x e R x x H x x

(R x H xk( ), k( ) đa thức đầy đủ bậc k max{ ,n m})

Bước 3. Thế y x e R xs x[ ( )cosk x H xk( )sin x] vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân:

2 xcos xsin

y y y e x xe x Giải. Ta có f x( ) ex(cosx sin )x x

1, 1,n 0,m 1,k Suy nghiệm riêng có dạng:

[( )cos ( )sin ]

s x

y x e Ax B x Cx D x

Do i i khơng nghiệm phương trình đặc trưng k2 2k 3 0

nên s Vậy dạng nghiệm riêng là:

[( )cos ( )sin ]

x

y e Ax B x Cx D x

VD 20. Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân:

2 x[( 1)cos sin ]

y y y e x x x x

Giải. Ta có 1, 1,k

1 i nghiệm k2 2k 2 0 s 1 Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là:

2

[( )cos ( )sin ]

x

y xe Ax Bx C x Dx Ex F x

VD 21. Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: sin

y y x (*) Giải. Ta có k2 k i Nghiệm tổng quát y y là:

1cos 2sin

y C x C x (1) Mặt khác: 0, s 1,k

Dạng nghiệm riêng (*) y x A( cosx Bsin )x

 Chương Phương trình vi phân Thế y x A( cosx Bsin )x vào (*), ta được:

3, 0 cos

2

x

A B y x (2)

Từ (1) (2), ta có nghiệm tổng quát là:

1

3

cos sin cos

2

x

(40)

 Chương Phương trình vi phân 3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO tuyến tính với hệ số

• Phương trình tuyến tính cấp n có dạng: ( ) ( 1) ( 2)

1

+ + + + + (8)

n n n

n n

y a y a y a y a y

Trong đó, ai ,i 1,2, ,n

 Chương Phương trình vi phân • Định lý

Nếu phương trình đặc trưng (8)

1

n n n

n n

k a k a k a k a

có n nghiệm thực đơn k1, , , k2 kn 1, kn phương trình (8) có n nghiệm riêng

1

1 , , , n , n

k x k x k x k x

n n

y e y e y e y e

1

1 n n

k x k x k x k x

n n

y C e C e C e C e

Trong đó, Ci ,i 1,2, ,n

 Chương Phương trình vi phân VD 22. Giải phương trình y 2y y 2y Giải. Phương trình đặc trưng:

3 2 2 0 1, 2

k k k k k

Vậy phương trình có nghiệm riêng: x, x, x

y e y e y e

nghiệm tổng quát

2

1 x x x

y C e C e C e

VD 23. Giải phương trình vi phân y(4) 5y 4y Giải. Phương trình đặc trưng:

4 5 4 0 1, 2

k k k k

Vậy phương trình có nghiệm riêng:

2

1 x, x, x, x

y e y e y e y e

nghiệm tổng quát

2

1 x x x x

y C e C e C e C e

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	5,43 MB