Các đối đạo hàm trong công thức (1) và (2) là những mở rộng tự nhiên của toán tử đạoamàm liên hợp của ánh xạ đa trị khả vi.[r]
(1)1
BÀI SOẠN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO
CAO HỌC CẦN THƠ KHÓA 19
(Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.wordpress.com )
Câu 1: Phát biểu chứng minh định lý đối ngẫu cho giới hạn dãy tập Phát biểu: Giả sử dãy nón lồi đóng khơng gian Banach đó:
lim inf = ( _ lim sup )
Chứng minh:
(⇒) Chứng minh: lim inf ⊂ ( _ lim sup )
Giả sử ∈ lim inf có dạng = lim , ∈ ∈ _ lim sup Để chứng minh ∈ _ lim sup ta cần chứng minh 〈 , 〉 ≤
Thật vậy:
Theo định nghĩa =*yếu-lim với ∈ nên 〈 , 〉 ≤
Cho → ∞ ta 〈 , 〉 ≤
(⇐) Chứng minh: ( _ lim sup ) ⊂ lim inf
Chứng minh phản chứng, giả sử ∈ ( _ lim sup ) ∉ lim inf
Khi có > dãy con, ký hiệu cho ( + )⋂ = ∅, ∀ Trong hình cầu đơn vị mở
Cố định Theo định lý tách có ∈ ∗, ‖ ‖ = 1, cho:
∈
〈 , 〉 ≤ inf〈 , + 〉 = 〈 , 〉 − ‖ ‖ = 〈 , 〉 −
Vì nón nên ∈
∈
〈 , 〉 =
Do hình cầu đ.vị đóng ∗ compact *-yếu nên ∃ dãy hội tụ *-yếu đến Theo định nghĩa giới hạn ∈ _ lim sup Mà ∈ ( _ lim sup ) nên 〈 , 〉 ≤
Mặt khác ≤ 〈 , 〉 − Cho → ∞ ta ≤ 〈 , 〉 −
Suy ≤ 〈 , 〉 ≤ (vô lý)
Câu 2: Định nghĩa nh liên tục ánh xạ đa trị không gian topo Phát biểu chứng minh đặc trưng nh nửa liên tục qua nghịch ảnh qua “nửa giới hạn”
(2)2
Ánh xạ đa trị nửa liên tục (usc) ∈ với lân cận ảnh ( ) tồn > cho ( , ) ⊂
Ánh xạ đa trị nửa liên tục (lsc) ∈ với ∀ mở: ∩ ( ) ≠ ∅, ∃ > 0, ∀ ∈ ( , ), ( ′) ∩ ≠ ∅
Ánh xạ đa trị liên tục vừa nửa liên tục trên, vửa nửa liên tục
2 Phát biểu đặc trưng nh nửa liên tục qua nghịch ảnh:
(i) lsc ⇔ nghịch ảnh tập mở có giao với ( ) khác ∅ lân cận (ii) Do lsc nghịch ảnh tập mở mở
(iii) Giả sử tập đóng Khi usc ⇔ nghịch ảnh tập đóng tập đóng
Chứng minh:
Chứng minh (i): lsc ⇔ nghịch ảnh tập mở có giao với ( ) khác
∅ lân cận
(⇒) G.sử lsc nghĩa với ∀ mở: ∩ ( ) ≠ ∅, ∃ > 0, ∀ ∈ ( , ), ( ′) ∩ ≠ ∅
Ta cần chứng minh ( ) lân cận Thật vậy:
Ta có: ∀ ∈ ( , ), ( ) ∩ ≠ ∅ ⇒ ∈ ( ) ⇒ ( , ) ⊂ ( ) ⇒ ( ) mở Vậy ( ) lân cận
(⇐) Giả sử ∀ mở: ∩ ( ) ≠ ∅ ( ) lân cận Ta chứng minh lsc Thật vậy:
Do ( ) lân cận nên ∃ > 0: ( , ) ⊂ ( )
Suy ∀ ′ ∈ ( , ) ′ ∈ ( ) hay ( ) ∩ ≠ ∅
Vậy lsc
Chứng minh (ii): lsc nghịch ảnh tập mở mở Theo chứng minh câu (i) ta suy trực ếp (ii)
Chứng minh (iii): usc nghịch ảnh tập đóng tập đóng
(⇒) Giả sử usc tập đóng Ta CM ( ) đóng hay \ ( ) mở Thật vậy:
Xét ∈ \ ( ) ⇒ ( ) ∈ \ mở
Do usc nên tồn > 0, ( , ) cho ( , ) ⊂ \
(3)3
Suy ( , ) ⊂ \ ( ) ⇒ \ ( ) mở Vậy ( ) đóng
(⇐) Giả sử nghịch ảnh tập đóng tập đóng Ta chứng minh usc Thật vậy:
Xét tập mở \ đóng ⇒ ( \ ) đóng ⇒ \ ( \ ) mở Mặt khác \ ( \ ) = ( ) nên ( ) mở
Vậy nhân tập mở mở nên usc
3 Phát biểu đặc trưng nh nửa liên tục qua nửa giới hạn:
(i) ( , ) ∈ ⇔ ∈ lim
→ sup ( ′)
(ii) lsc ∈ ( ) ⊂ lim
→ sup ( ′)
Chứng minh:
Chứng minh (i): ( , ) ∈ ⇔ ∈ lim
→ sup ( ′)
∈ lim
→ sup ( ′) có nghĩa tồn → , ∈ ( ) cho lim ( , ) = Điều
này có nghĩa ( , ) ∈ ( , ) → ( , ) Do ( , ) ∈
Chứng minh (ii): lsc ∈ ( ) ⊂ lim
→ sup ( ′)
Giả sử ( ) ⊄ lim
→ sup ( ′)
Vì VP tập đóng nên có ∈ ( ) lân cận cho ∩ lim
→ sup ( ) = ∅
Điều có nghĩa tồn → , ∀ ∈ ( ) ↛ Do khơng lsc
Câu 3: Phát biểu chứng minh địnhy ý giới nội ánh xạ đa trị
Phát biểu: Giả sử họ trình lồi đóng: ↝ , giới nội theo điểm, tức là:
∀ ∈ , ∃ ∈ ( ), sup‖ ‖ < +∞
Khi họ giới nội đều, tức sup‖ ‖ < +∞
Chứng minh:
Xét họ phiếm hàm: ( ) ≔ inf
∈ ( )‖ ‖ ≡ (0, ( ))
(4)4
Do Lipschitz nên ta có > để
( ) ⊂ ( ) + ‖ − ‖ ⇒ 0, ( ) ≥ 0, ( ) − ‖ − ‖
Lấy = ta (*) Vậy lsc
Gọi ( ) ≔ sup (x) , ∀ hàm hữu hạn (theo gt)
Ta có , lồi, dương lsc Do phải thỏa điều kiện Lipschitz Suy ( ) ≤ ‖ ‖ với >
Vậy sup (0, ( )) ≡ ( ) ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ < +∞
Câu 4: Phát biểu chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland
Phát biểu: giả sử X không gian mêtric đủ, : → ∪ {+∞} phiếm hàm lsc bị chặn Cho ∈ > Khi tồn ̅ ∈ để
(i) ( ̅) + ( , ̅) ≤ ( )
(ii) ∀ ≠ ̅, ( ̅) < ( ) + ( , ̅)
Chứng minh:
Không nh tổng quát ta coi ( ) ≥ = Ta xác định a.xạ đa trị : ↝ sau:
( ) ≔ { ∈ : ( ) + ( , ) ≤ ( )}
Khi kết luận định lý viết lại là: (i) ̅ ∈ ( ) ( ̅ “tốt hơn” )
(ii) ∀ ≠ ̅, ∉ ( ̅) (không có điểm khác tốt ̅)
Do lsc nên ( ) + ( , ) lsc ∀ : ( ) đóng ( ) ≠ ∅ ∈ ( )
Ngồi ∈ ( ) ⇒ ( ) ⊂ ( )
Thật vậy, ∉ ( ) ⊂ ( ) ( ) =
Nếu ( ) hữu hạn từ ∈ ( ), ∈ ( ) ta có
( ) + ( , ) ≤ ( ) (1) ( ) + ( , ) ≤ ( ) (2)
Lấy (1)+(2) ta
( ) + ( ) + ( , ) ≤ ( ) + ( ) ( ) + ( , ) ≤ ( )
(5)5
Bây ta đặt ( ) ≔ inf
∈ ( ) ( ) , ∀ ∈
Thì
( , ) ≤ ( ) − ( ) ≤ ( ) − ( ), ∀ ∈ ( )
Do
( ) ≤ 2( ( ) − ( ))
Ta lập dãy { }, = 0,1,2, … cho ∈ ( ), ( ) ≤ ( ) +
Do ( ) ⊂ ( ) nên ( ) ≥ ( )
Vì
0 ≤ ( ) − ( ) ≤
Dãy tập ( ) thắt lại có ( ) ≤ 2( ( ) − ( )) → nên theo định lý Cantor ta có
( ) = { ̅}
Từ ta suy (i): ̅ ∈ ( ) Hơn ̅ ∈ ( ), ∀ nên ( ̅) ⊂ ( ), ∀
Suy ( ̅) = ̅ ta có (ii)
Câu 5: Phát biểu nhiều tốt định nghĩa tương đương cho nón ếp xúc đã học Chứng minh tương đương định nghĩa cho loại nón
giả sử KGĐC, ⊂ ∈
1 Nón Con ngent là:
( ) ≔ ∈ : lim → ( ) = (1)
( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ } (2) ( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } (3) ( ) ≔ lim
→
−
ℎ (4)
( ) ≔ −
ℎ (5)
( ) ≔
ℎ( − ) + (6)
Chứng minh:
(6)6
( ) ≔ lim
→
−
ℎ = ∈ : lim
→ ,
−
ℎ = = ∈ : lim
→
(ℎ , − )
ℎ =
= ∈ : lim
→
( + ℎ , )
ℎ =
= ∈ : lim
→
( + ℎ ) ℎ =
CM: (2) ⇔ (3)
( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ } = ∈ : ∃ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )
ℎ ∈
= { ∈ : ∃ℎ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ }
Với = + ( )
CM: (3) ⇔ (1)
( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } = { ∈ : ∃ℎ → , ∃ → , ∀ , ( + ℎ ) = 0}
= ∈ : ∃ℎ → , ∃ → , ∀ , ( + ℎ )
ℎ =
= ∈ : ∃ → , ∀ , lim
→
( + ℎ )
ℎ =
= ∈ : lim
→
( + ℎ )
ℎ =
CM: (4) ⇔ (6)
( ) ≔ lim
→
−
ℎ = ∈ : = lim
→ , ∈
−
ℎ = ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], , −
ℎ < = ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], ∈ −
(7)7
= ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], ∈ −
ℎ + (0, ) = ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], ∈ −
ℎ +
=
ℎ( − ) +
CM: (5) ⇔ (6)
( ) ≔ −
ℎ
= −
ℎ ,
=
ℎ( − ) +
2 Nón gần hay nón trung gian là:
( ) ≔ ∈ : lim
→
( )
= (1)
( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ } (2) ( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } (3) ( ) ≔ lim
→
−
ℎ (4)
( ) ≔
ℎ( − ) + (5)
Chứng minh:
CM: (4) ⇔ (1)
( ) ≔ lim
→
−
ℎ = ∈ : lim
→ ,
−
ℎ = = ∈ : lim
→
(ℎ , − )
ℎ =
= ∈ : lim
→
(ℎ , − )
ℎ =
= ∈ : lim
→
(ℎ + , )
(8)8
= ∈ : lim
→
( + ℎ ) ℎ =
CM: (4) ⇔ (5) ( ) ≔ lim
→
−
ℎ = ∈ : = lim
→ , ∈
−
ℎ = ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], , −
ℎ < = ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], ∈ −
ℎ , = ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], ∈
ℎ( − ) + (0, ) = ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], ∈1
ℎ( − ) +
=
ℎ( − ) +
CM: (2) ⇔ (3)
( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ } = ∈ : ∀ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )
ℎ ∈
= { ∈ : ∀ℎ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ }
Với = + ( )
CM: (3) ⇔ (1)
( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } = { ∈ : ∀ℎ → , ∃ → , ∀ , ( + ℎ ) = 0}
= ∈ : ∀ℎ → , ∃ → , ∀ , lim
→
( + ℎ )
ℎ =
= ∈ : lim
→
( + ℎ )
ℎ =
3 Nón Clarke hay nón ếp xúc circa là:
( ) ≔ ∈ : lim
→ , →
( + ℎ )
(9)9
( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → , ∀ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ (3) ( ) ≔ lim
→ , →
− ′
ℎ (4)
( ) ≔
ℎ( − ) +
,| | ,
(5)
Chứng minh:
CM: (4) ⇔ (1)
( ) ≔ lim
→ , →
−
ℎ = ∈ : lim
→ , → ,
− ′ ℎ = = ∈ : lim
→ , →
(ℎ , − ′)
ℎ =
= ∈ : lim
→ , →
( + ℎ , )
ℎ =
= ∈ : lim
→ , →
( + ℎ )
ℎ =
CM: (4) ⇔ (5) ( ) ≔ lim
→ , →
−
ℎ = ∈ : = lim
→ , ∈
−
ℎ = ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , , −
ℎ < = ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , ∈ −
ℎ , = ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , ∈1
ℎ( − ) + (0, ) = ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , ∈1
ℎ( − ) +
=
ℎ( − ) +
,| | ,
(10)
10
( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → , ∀ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ = ∈ : ∀ℎ → , ∀ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )
ℎ ∈
= ∈ : ∀ℎ → , ∀ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈
Với = + ( )
CM: (3) ⇔ (1)
( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → , ∀ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ = ∈ : ∀ℎ → , ∀ → , ∃ → , ∀ , ( + ℎ ) =
= ∈ : ∃ → , ∀ , lim
→ , →
( + ℎ )
ℎ = = ∈ : lim
→ , →
( + ℎ )
ℎ =
Câu 6: Chứng minh nón Clarke ln lồi Chứng minh nh chất nón Phát biểu chứng minh quan hệ nón lồi
1 Chứng minh nón Clarke ln lồi
Ta có ( ) nón Để CM ( ) lồi ta cần CM , ∈ ( ) + ∈ ( )
Thật vậy:
Vì ∈ ( ) nên với ℎ → , → , ∃ → , ∀ , = + ℎ ∈
Rõ ràng → ∈ ( ) nên tồn → cho + ℎ ∈
Ta có: + ℎ = + ℎ + ℎ = + ℎ ( + ), ∀
Mà + → + nên + ∈ ( )
Vậy nón Clarke ln lồi
2 Chứng minh nh chất nón Clarke
CM: ( ) + ( ) ⊂ ( )
Giả sử ∈ ( ), ∈ ( ) Ta cần CM + ∈ ( )
Vì ∈ ( ) nên tồn ℎ → , ∃ → , cho = + ℎ ∈ , ∀
Rõ ràng → ∈ ( ) nên tồn → cho +ℎ ∈ , ∀
Ta có +ℎ = + ℎ + ℎ = + ℎ ( + ) ∈
(11)11
CM ( ) + ( ) ⊂ ( )
Chứng minh tương tự phần
3 Phát biểu chứng minh quan hệ nón lồi
Phát biểu: Nếu tập lồi ∈ ( ) = ( ) = ( ) = ( )
Chứng minh:
Vì ( ) đóng ta có ( ) ⊂ ( ) ⊂ ( ) ⊂ ( ) Nên ta cần chứng minh ( ) ⊂ ( )
Thật
Giả sử ∈ ( ) ≡ − ℎ
Khi có ∈ ℎ > để =
Với ℎ → , → Ta đặt =
Rõ ràng → + ℎ = + ( − ) = − + ∈ , ∀ , < ℎ ≤
ℎ (vì lồi nên) Vậy ∈ ( )
Câu 7: Phát biểu chứng minh nh chất nón ếp xúc tập ảnh (trong quan hệ với tập gốc)
Phát biểu: giả sử , KGĐC, ⊂ , : → ánh xạ đơn trị khả vi tập mở chứa Khi với ∈
(i) ′( ) ( ) ⊂ ( )( ( ))
(ii) ′( ) ( ) ⊂ ( )( ( ))
Chứng minh:
Vì tương đương nên ta cần chứng minh (i)
Giả sử ∈ ( ) tức ∃ℎ → , ∃ → , ∀ , = + ℎ ∈
Do = ( − )
Với ∀ ta có ( ) ∈ ( ) ( ) = ( ) + ℎ ( ) + ( − ) = ( ) + ℎ ( ) −
ℎ +
(12)12
Vì ( ) + ( )→ ( ) nên theo định nghĩa nón ếp xúc ta có ( ) ∈ ( )( ( ))
Suy ′( ) ( ) ⊂ ( )( ( )) (đpcm)
Câu 8: Phát biểu nhiều tốt định nghĩa tương đương cho ba loại đạo hàm của ánh xạ đa trị Chứng minh tương đương ba định nghĩa loại
1 Đạo hàm Con gent
Cho , KGĐC, : ↝ Đạo hàm ngent ( , ) ∈ kí hiệu ( , )
là ánh xạ đa trị từ vào có đồ thị ( , ) = ( , )
Trường hợp ≔ ánh xạ đơn trị đạo hàm ( , ( )) ( ) = ( , ( ))
Các định nghĩa tương đương
∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) (1) ∈ ( , )( ) ⇔ ∀ , , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , + ℎ
∈ ( + ℎ ) (2) ∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )
∈ + ℎ + (ℎ ) (3) ∈ ( , )( ) ⇔ lim
→ inf→ ,
( + ℎ ) −
ℎ = (4)
Chứng minh
Chứng minh (1)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) ∈
⇔ ∃ℎ → , ∃ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )
Chứng minh (2)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ∀ , , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , ( , ) + ℎ( , ) ∈
⇔ ∀ , , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , + ℎ ∈ ( + ℎ )
Chứng minh (3)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ∃ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) + (ℎ ) ∈
⇔ ∃ℎ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ + ℎ + (ℎ )
(13)13
∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −
ℎ ⇔ lim
→ , → ,
( + ℎ ) −
ℎ =
2 Đạo hàm gần
Cho , KGĐC, : ↝ ∈ ( ) Đạo hàm gần ( , ) ∈ kí hiệu
( , ) ánh xạ đa trị từ vào có đồ thị ( , ) ≔ ( , )
Trường hợp ≔ ánh xạ đơn trị đạo hàm ( , ( )) ( ) = ( , ( ))
Các định nghĩa tương đương
∈ ( , )( ) ⇔ ∀ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )(1) ∈ ( , )( ) ⇔ ∀ , , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ ∈ + , + ℎ
∈ ( + ℎ ) (2) ∈ ( , )( ) ⇔ lim sup
→ , →
, ( + ℎ ) −
ℎ = (3)
Chứng minh:
Chứng minh (1)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ∀ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) ∈
⇔ ∀ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )
Chứng minh (2)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )
⇔ ∀ , , ∀ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , ( , ) + ℎ( , ) ∈ ⇔ ∀ , , ∀ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , + ℎ ∈ ( + ℎ )
Chứng minh (3)
∈ ( , )( ) ⇔ ∀ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) ⇔ ∀ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −
ℎ ⇔ lim sup
→
inf
→ ,
( + ℎ ) −
ℎ =
(14)14
Cho , KGĐC, : ↝ ∈ ( ) Đạo hàm Clarke ( , ) ∈ kí hiệu
( , ) ánh xạ đa trị từ vào có đồ thị ( , ) ≔ ( , )
Trường hợp ≔ ánh xạ đơn trị đạo hàm ( , ( )) ( ) ≔ ( , ( ))
Các định nghĩa tương đương
∈ ( , )( ) ⇔ ∀ℎ → , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ
∈ ( + ℎ ) (1) ∈ ( , )( ) ⇔ ∀ , , ∃ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∀( , ) ∈ ( , , ), ∃ ∈ + , ∃
∈ + , ′ + ℎ ∈ ( ′ + ℎ ) (2) ∈ ( , )( ) ⇔ lim sup
→ ,( , )→ ( , )
inf
→ ,
( + ℎ ) −
ℎ = (3)
Chứng minh:
Chứng minh (1)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )
⇔ ∀ℎ → , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) ∈ ⇔ ∀ℎ → , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )
Chứng minh (2)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ∀ , , ∃ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∀( , ) ∈ ( , , ), ∃ ∈ + , ∃
∈ + , ( , ) + ℎ( , ) ∈
⇔ ∀ , , ∃ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∀( , ) ∈ ( , , ), ∃ ∈ + , ∃ ∈ + , ′ + ℎ ∈ ( ′ + ℎ )
Chứng minh (3)
∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )
⇔ ∀ℎ → , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) ⇔ ∀ℎ → , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −
ℎ
⇔ lim sup
→ ,( , )→ ( , )
inf
→ ,
( + ℎ ) −
ℎ =
Câu 9: Chứng minh công thức đạo hàm hiệu ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị
Phát biểu: Giả sử , KGĐC, : → (đơn trị), : ↝ : ↝ ánh xạ đa trị xác định
( ) ≔ ( ) − ( ), ∀ ∈
Nếu khả vi Fre’chet ∈ ∀ ∈ ( ),
(15)15
Chứng minh:
(⇒) Giả sử ∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) ≡ ( + ℎ ) − ( + ℎ )
Vì khả vi Fre’chet nên ta có
( + ℎ ) = ( ) + ( )(ℎ ) + (ℎ ) = ( ) + ℎ ( )( ) + ℎ ( )( − ) + (ℎ )
= ( ) + ℎ ( )( ) + ℎ ( )( − ) + (ℎ ) ℎ = ( ) + ℎ ( )( ) + ℎ (ℎ )
Ở (ℎ ) → → ∞ Do thay vào biểu thức
( + ℎ ) − − ℎ ∈ ( + ℎ )
Ta
( ( ) − ) + ℎ ( )( ) − + (ℎ ) ∈ ( + ℎ )
Điều có nghĩa
( )( ) − ∈ ( , ( ) − )( ) ⇔ ∈ ( )( ) − ( , ( ) − )( ) (⇐) Giả sử ∈ ( )( ) − ( , ( ) − )( )
⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ( ) − ), ( ) − + ℎ ∈ ( + ℎ )
Lấy ( + ℎ ) cộng vào hai vế nhân với (-1) ta
( + ℎ ) − ( ( ) − + ℎ ) ∈ ( + ℎ ) − ( + ℎ )
Suy
( ( ) + ℎ ( )( ) + ℎ (ℎ )) − ( ( ) − + ℎ ) ∈ ( + ℎ ) ⇔ + ℎ ( ( )( ) + (ℎ ) − ) ∈ ( + ℎ )
Mà ( )( ) + (ℎ ) − → ( )( ) + − ( ( )( ) − ) =
Nên + ℎ ∈ ( + ℎ ) hay ∈ ( , )( )
Câu 10: Phát biểu chứng minh mệnh đề công thức giải ch cho đạoh àm Con ngent Phát biểu mệnh đề: Giả sử : ↝ ( , ) ∈
(i) ∈ ( , )( ) ⇔ lim
→ inf→ , =
(16)16
∈ ( , )( ) ⇔ lim
→ inf ,
( + ℎ ) −
ℎ =
(iii) Nếu hữu hạn chiều ( , ) = ( , ) Lipschitz khơng gian vớicúng số Lipschitz
Chứng minh:
Chứng minh (i)
∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −
ℎ ⇔ lim
→ , → ,
( + ℎ ) −
ℎ =
Chứng minh (ii)
(⇒) Do giả thiết nh Lipschitz, với ℎ ‖ − ‖ đủ nhỏ ta có
( + ℎ ) ⊂ ( + ℎ ) + (ℎ‖ − ‖) Do , ( + ℎ ) − ℎ ≥ , ( + ℎ ) − ℎ + (ℎ‖ − ‖) ℎ
Nếu ∈ ( , )( )
0 = lim
→ , → , ( + ℎ ) − ℎ ≥ lim → , → − (ℎ‖ − ‖) ℎ , ( + ℎ ) − ℎ = lim → , → , ( + ℎ ) −
ℎ ≥
Suy lim
→ , → ,
( )
=
(⇐) Hiển nhiên ta ln có lim
→ , → inf ( ) ≤ →lim, ≡ inf ( ) Chứng minh (iii)
* Lấy ∈ ta chứng minh ( , )( ) ≠
Thật vậy:
Do nh Lipschitz , ∀ ∈ ( ), ∀ℎ đủ nhỏ, ∈ ( ) ⊂ ( + ℎ ) + ℎ‖ ‖
Do có ∈ ( + ℎ ) cho điểm ≔ phải thuộc tập ℎ‖ ‖
Vì tập Compact nên trích đượcd ãy ≔ hội tụ đến điểm Mà + ℎ = ∈ ( + ℎ ), ∀
Do ∈ ( , )( ) tập ( , )( ) ≠
* Để CM ( , ) _ ℎ ta xét , ∈ phải m ∈ ( , )( ) để ‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖
Ta có:
∈ ( , ) ⇔ ∃ℎ → , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )
(17)17
‖ − ( + ℎ )‖ ≤ ℎ ‖ − ‖ ⇔ −
ℎ − ≤ ‖ − ‖ (∗)
Mà dãy , giới nội nên dãy giới nội chứa dãy (vẫn lý hiệu ) hội tụ đến Ta thấy
+ ℎ −
ℎ = ∈ ( + ℎ )
Nên ∈ ( , ) Cho → ∞ từ (*) ta
‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖
Câu 11: Định nghĩa vi phân qua giới hạn vi phân liên quan mà em biết Định nghĩa đối đạo hàm Mordukhovich đối đạo hàm liên quan Liên quan đến khái niệm này , em có bình luận so sánh gì?
1 Định nghĩa vi phân qua giới hạn
Tập hợp ( ̅) ≔ lim
→ ̅ ↓
sup ( ) gọi vi phân qua giới hạn (hay vi phân Mordukhovich) Như ∗ ∈ ( ̅) ⇔ ∃ → ̅, → , ∗ ∈ ( ) cho ∗→ ∗
Trong ( ̅) nh qua vi phân Fre’chet ( ) với > lấy đủ bé lấy đủ gần ̅
2 Dưới vi phân Fre’chet
Cho không gian Banach, : → ℝ hàm nhận giá trị tập số thực suy rộng, hữu hạn ̅ Với > 0, đặt
( ) ≔ ∗ ∈ ∗: lim inf → ̅
( ) − ( ̅) − 〈 ∗, − ̅〉
‖ − ̅‖ ≥ −
- Các phần tử tập hợp VT công thức gọi -dưới vi phân Fre’chet ̅
- Tập hợp ( ̅) ≔ ( ̅) gọi vi phân Fre’chet ̅
- Rõ ràng ( ̅) ⊂ ( ̅), ∀ ≥
- Tập hợp ( ̅) ≔ − (− )( ̅) gọi vi phân Fre’chet ̅
3 Dưới vi phân Proximal
Vecto ∗ ∈ ∗ đgl proximal (hay gradient gần kề) ̅ ∃ ≥ 0 cho
lim inf
→ ̅
( ) − ( ̅) − 〈 ∗, − ̅〉
‖ − ̅‖ ≥ −
Tức tồn ≥ > cho ( ) − ( ̅) ≥ 〈 ∗, − ̅〉 − ‖ − ̅‖ , ∀ ∈ ( ̅, )
(18)18
4 Định nghĩa đối đạo hàm Mordukhovich
Xét ánh xạ đa trị : ⇉ KG Banach Đặt
≔ { ∈ : ( ) ≠ ∅} ℎ ≔ {( , ) ∈ × : ∈ ( )}
Đối đạo hàm Fre’chet đối đạo hàm qua giới hạn (hay đối đạo hàm Mordukhovich)
( ̅, ) ∈ ℎ tương ứng cho công thức sau:
∗ ( ̅, )( ∗) ≔ ∗ ∈ ∗: ( ∗, − ∗) ∈ ( ̅, ) (1) ∗ ( ̅, )( ∗) ≔ ∗ ∈ ∗: ( ∗, − ∗) ∈ ( ̅, ) (2)
- Nếu ( ) = { ( )} ánh xạ đơn trị ta viết ∗ ( ̅) thay cho ∗ ( ̅, ( ̅)) ∗ ( ̅)
thay cho ∗ ( ̅, ( ̅))
- Nếu tương ứng khả vi Fre’chet khả vi chặt ̅ đối đạo hàm nh sau
∗ ( ̅, )( ∗) ≔ ( ̅) ∗( ∗), ∀ ∗ ∈ ∗ ∗ ( ̅, )( ∗) ≔ ( ̅) ∗( ∗), ∀ ∗ ∈ ∗
- Với ∀ ∗ ∈ ∗ ∗ ( ̅, )( ∗) ∗ ( ̅, )( ∗) tập có phần tử
- Nếu khả vi chặt ̅ ∗ ( ̅)( ∗) = ∗ ( ̅)( ∗) = ( ̅) ∗( ∗), ∀ ∗ ∈ ∗ Nhận xét: