Bài soạn môn Phương pháp phần tử hữu hạn

Phát biểu và chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hiệu quả địa phương yếu x của bài toán (VP).. Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ cho nghiệm hiệu quả địa phương x của bài toán (VP)[r]

BÀI SOẠN MÔN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

(Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )

Tài liệu tổng hợp từ nhóm tổng hợp lại, q trình biên soạn lại sẽ khơng tránh sai sót bạn nên đối chiếu với soạn lớp lần trước học thuộc

Câu 1: Cho X, Y hai không gian Banach, ánh xạ f X: Y xX a. Phát biểu định nghĩa đạo hàm gateaux f x

b. Cho ví dụ chứng tỏ ánh xạ f khả vi Gateaux x ánh xạ f không liên tục x

Trả lời :

a Định nghĩa : Ánh xạ : ⟶ gọi khả vi Gâteaux ∈ , tồn ( ) ∈ ℒ( ; ), cho

lim →

( + ℎ) − ( )

= ( )ℎ ∀ℎ ∈

Toán tử ( ) gọi đạo hàm Nó thường kí hiệu ( ) Chúng ta nói khả vi Gâteaux, khả vi Gâteaux ∈

b Cho ví dụ chứng tỏ ánh xạ khả vi Gâteaux ̅ ánh xạ không liên tục ̅

Xét ánh xạ : ℝ ⟶ ℝ xác định

( , ) = + ế ( , ) ≠ 0 ế ( , ) =

; ∀ = ( , ) ∈ ℝ

Khi (0, 0) = không liên tục (0,0) Thật

+ Ta có :

lim →

[( , ) ( , )] ( , )

= lim →

( ) ( ) ( ) ( ) = lim

→ = = (0, 0) (ℎ , ℎ ) ⟹ (0, 0) = (0, 0)

Xét theo a ( , 0) → (0, 0) ( = 0) ta có lim

( , ) →( , ) ( , ) = ( , lim) →( , )

=

Xét theo a ( , ) → (0, 0) ( = ) ta có lim

( , ) →( , ) ( , ) = lim → + = Vậy ( , ) không liên tục (0, 0)

Câu 2: Cho , hai không gian Banach, ánh xạ : → ∈ a. Phát biểu định nghĩa đạo hàm Fréchet f

b. Chứng minh ánh xạ khả vi Fréchet khả vi Gâteaux c. Cho ví dụ chứng tỏ ánh xạ khả vi Gâteaux không khả vi

Fréchet Trả Lời

a Định nghĩa: Ánh xạ f :X Y gọi khả vi Fréchet xX tồn ( , )

AL X Y cho

   

0

( )

lim Y

h

X

f x h f x A x h h



  



Toán tử A gọi đạo hàm Fréchet f ̅ ký hiệu f 'F x , f gọi khả vi Fréchet khả vi Fréchet điểm ̅ ∈

b Chứng minh khả vi Fréchet ̅ khả vi Gâteaux ̅ Giả sử f khả vi Fréchet ̅ Khi tồn AL X Y( , ) cho:

      ( , )

f xh  f x A x h u x h với

0

( , )

lim Y

X

u x h h 

 

  , hX

Ta chứng minh f khả vi Gâteaux ̅ Thật vậy:

   

   

0

( , )

lim f x h f x lim A x h u x h h A x h , h X h

 

 

 

 

   

     

 

Xét ánh xạ : ℝ → ℝ xác định  

3

1

4

1 2

1

( , ) (0, 0) ,

0 ( , ) (0,0)

x x

neáu x x

f x x x x

neáu x x 

 

  

 

Với (ℎ , ℎ ) ∈ ℝ ta có:

 

1 2

1

2

0

1

(0, 0) ( , ) (0, 0)

lim lim (0, 0).( , )

 

 

 

 

 

  



f h h f h h

h h h h

Vậy fG(0, 0)(0, 0)

Tuy nhiên, f không khả vi Fréchet (0, 0) Thật vậy, cho h( ,h h1 2)0 theo đường cong

2

h h Khi đó:

| (ℎ)| ‖ℎ‖ℝ =

|ℎ ℎ | ℎ + ℎ

1

ℎ + ℎ =

|ℎ | ℎ + ℎ Do

lim →

| (ℎ)| ‖ℎ‖ℝ =

1 2≠ Vậy f không khả vi Fréchet (0, 0)

Câu 3: Cho tập mở ℝ , hàm số : ⊂ ℝ → ℝ, ∈ ℝ

a. Phát biểu định lý khai triển Taylor đến cấp dạng Peano dạng Lagrange hàm

b. Khai triển Taylor đến cấp dạng Peano hàm số : ℝ → ℝ xác định

4 3

1 1 2

( , ) 2

f x x  x  x x  x tại = ( , ) Trả lời:

a Phát biểu định lý

 Khai triển Taylor dạng Peano:

tập mở không gian ℝ , điểm nằm lân cận điểm x (xx) Ký hiệu: ( )

U x

Ánh xạ : → ℝ có đạo hàm ( Fréchet ) đến cấp tập tồn o x x  cho

         

 

 

 

 

   

 

 

 

           

( )

' ''

( ) , , ,

1! 2! !

k

f x f x f x k

f x f x x x x x x x x x x x o x x

k

X tập mở không gian ℝ , điểm nằm lân cận điểm x (xx) Ký hiệu: ( )

U x : ⊂ ℝ → ℝ có đạo hàm ( Fréchet ) đến cấp + tồn c cho:

( ) [0,1]

c x  x x với  sao cho

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          



  









( )

' ''

( ) , , ,

1! 2! !

( 1)

, , ( 1)!

1 c

k

f x f x f x

f x f x x x x x x x x x x x

k

k laàn k

f

x x x x

k

k laàn

b Khai triển Taylor đến cấp dạng Peano

1

2

1

1

1

1

2

1 2

' (1,1)( 1) ' (1,1)( 1) ( , ) (1,1)

1!

'' (1,1)( 1) 2 '' (1,1)( 1)( 1) '' (1,1)( 1)

2!

fx x fx x

f x x f

fx x fx x x x fx x

  

  

     



3 2

1 2

(3) (3) (3) (3)

1 1) 1) 1) 1) 1) 1)

3!

(1,1)(   (1,1)(  (   (1,1)(  (   (1,1)( 

 fx x fx x x x fx x x x fx x

( )

o

Với 2

1

( 1) ( 1)

  x   x 

Ta có:

+ (1,1) = +

1

' 3 '

1 1

( , )4 6  (1,1) 2

x x

f x x x x x f

+ fx'2( ,x x1 2) 6x x13 226x22  fx'2(1,1)0

+ 2

1

'' ''

1 1

( , )12 12  (1,1)

x x

f x x x x x f

+ fx x''1 2( ,x x1 2) 18x x12 22  fx x''1 2(1,1) 18

+ 2

2

'' ''

1 2

( , ) 12 12  (1,1)0

x x

f x x x x x f

+ 2

2

'' ''

1 2

( , ) 12 12  (1,1)

x x

f x x x x x f

+ 3

1

(3) (3)

1 2

( , )24 12  (1,1)12

x x

+ 2

1 2

(3) (3)

1 2

( , ) 36  (1,1) 36

x x x x

f x x x x f

+ 2

1 2

(3) (3)

1 2

( , ) 36  (1,1) 36

x x x x

f x x x x f

+ 3

2

(3) (3)

1

( , ) 12 12  (1,1)

x x

f x x x f

Từ ta có:

3 2

1 1) 18 1) 1) 1) 18 1) 1) 18 1) 1) ( )

( , ) 2(    (  (   (   (  (   (  (  o 

f x x x x x x x x x x

Câu 4: Cho ⊂ ℝ , hàm số : ℝ → ℝ Xét toán ( ) : ( )0

x X

P f x



a. Phát biểu chứng minh điều kiện cần cấp cho nghiệm cực tiểu địa phương x của toán ( )P0 (Định lý 3.2.2)

b. Phát biểu chứng minh điều kiện đủ cấp cho nghiệm cực ểu địa phương chặt x toán ( )P0 (Định lý 3.2.5 i)

Trả lời:

a Định lý 3.2.2: Giả sử xint( )X điểm cực ểu địa phương ( cực đại địa phương) hàm f tập ⊂ ℝ , : → ℝ khả vi x f x( ) 0

Chứng minh:

- Nếu xlà điểm cực ểu địa phương hàm f tập ⊂ ℝ ta có y f x ( ) 0 với y hướng chấp nhận từ x

- Nếu xlà điểm cực đại địa phương hàm f tập ⊂ ℝ ta có y f x ( ) 0 với y hướng chấp nhận từ x

Vì xint( )X nên hướng từ xlà chấp nhận ta

( )

y f x   y f x( ) 0 , ∀ ∈ ℝ Suy y f x ( ) 0 , ∀ ∈ ℝ ⇒f x( ) 0

b Định lý 3.2.5i: Giả sử xint( )X giả sử f khả vi liên tục đến cấp x Nếu

( )

f x

  ( ̅) > 0, ∀ ∈ ℝ , ≠ f có điểm cực ểu địa phương chặt x

Chứng minh:

2

2

2

1

( ) ( ) ( )( ) ( )( , ) ( )

1! 2!

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2

( ) ( )( ) ( ) (*)

2

T

T

f x f x f x x x f x x x x x O x x

f x f x f x x x x x Hf x x x O x x

x x Hf x x x O x x

 

       

         

     

Vì x  x nên ( )T ( )( )

xx   xx Hf x xx 

 f x( ) f x( ) 0,  x N x( ) x x Vậy x điểm cực ểu đại phương chặt f Câu 5: Cho ⊂ ℝ , hàm vecto : ℝ → ℝ ⊂ ℝ nón lồi, đóng cho 0 C Trên ⊂ ℝ , định nghĩa quan hệ thứ tự xyx y C  Xét toán ( ) : ( )

x S

VP f x



a. Phát biểu chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hiệu địa phương yếu x của toán (VP) (Định lý 6.6.1)

b. Phát biểu chứng minh điều kiện đủ cho nghiệm hiệu địa phương x bài toán (VP) (Định lý 6.6.2)

Trả lời:

a Định lý 6.6.1: Nếu x nghiệm hiệu địa phương yếu toán (VP) với f

khả vi x Jf x y( )  int ,C  y T S x( , )

Chứng minh:

Với y T S x ( , ) { }xk S x, k  xsao cho lim k n

k

x x

y

x x



 



Bằng cách khai triển Taylor dạng Piano hàm ftrong lân cận x ta

1

( ) ( ) ( )( ) ( )

1!

k k k

f x  f x  f x x x O x  x

( k) ( ) ( )( k ) ( k )

f x f x Jf x x x O x x

      (*)

Chia hai vế (*) cho xk x ta

( )

( ) ( ) ( )

( ) k

k k

k k k

O x x

f x f x x x

Jf x

x x x x x x



 

 

  

( ) ( )

lim k ( )

k

k

f x f x

Jf x y

x x







 , y T S x( , )

Do x nghiệm hiệu địa phương yếu tốn (VP) ⊂ ℝ nón lồi, đóng, int C nón lồi nên f x( k) f x( ) intC

Do int C mở nên int Cmở, suy ℝ \−int đóng, ( ) − ( ̅)

‖ − ̅‖ ∈ ℝ \−int

( ) − ( ̅) ‖ − ̅‖

→

⎯ ( ̅) Suy ( ̅) ∈ ℝ \−int hay Jf x y( )  intC,

b Định lý 6.6.2: Với điều kiện Jf x y( )  C, y T S x( , ) \ {0}là đủ để x nghiệm hiệu địa phương toán (VP)

Chứng minh

Chứng minh phản chứng, giả sử x không nghiệm hiệu địa phương tốn (VP) Khi tồn dãy { }xk S x, k  x cho

( k) ( ) \ {0}

f x  f x  C  C(nón, đóng) Từ khai triển Taylor hàm f lân cận x ta

( ) ( ) ( )

( )

k k k

k k k

f x f x x x O x x

Jf x C

x x x x x x

  

   

   đóng

Bằng cách cho qua giới hạn k   chọn dãy { }xk ta

( )

Jf x y C với phần tử y T S x ( , ) \ {0}điều mâu thuẫn với giả thiết

Vậy Jf x y( )  C, y T S x( , ) \ {0}là đủ để x nghiệm hiệu địa phương toán (VP)

Câu Cho f : Rn R hàm số Lipschitz địa phương xRn

a. Phát biểu định nghĩa vi phân Clarke hàm số f x ký hiệu Cf  x  b. Cho f : n m

R

R  hàm véc tơ Lipschitz địa phương xRn. Phát định nghĩa Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke hàm véc tơ f x, ký hiệu Cf  x c. Các ví dụ tính vi phân Clarke Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke Trả lời:

Định nghĩa: Cho f : Rn R

 hàm số Lipschitz địa phương xRn Dưới vi phân Clarke f x :

   n   n

C

R u u x f u R

x

f    

 : , , ,



 ,

trong

0

( ) ( )

( , ) lim sup t x x

f x tu t x f x u

t 

 

 



b Cho f : n m R

R  hàm véc tơ Lipschitz địa phương xRn Phát định nghĩa Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke hàm véc tơ f x, ký hiệu Cf  x

Định nghĩa: f : n m R

R  hàm véc tơ Lipschitz địa phương xRn Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke f x định nghĩa là:

 x col f x x x x

f i i i

i C

   

 





 , ,

lim ,  n m

R R L

l ,

với  tập điểm v mà f khả vi

c Các ví dụ nh vi phân Clarke Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke  Ví dụ vi phân Clarke

  0  , 0

0,

, 0

u u

f x x f u

u u

 

   

 



R R

f :  ( n = )

Khi u0: .uu 1 Khi u0: .uu 1

1 1  

 

Vậy: C f 0 1,1

 Ví dụ Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke

       

2 2

1 2

: R ( ( , ))

, , , , 0,

F

f R f L R R

x x x f x x x x x

 

   

+ Hàm f Lipschitz x=0

   2

2 2 1

,y R x y x y x y

x       

 x1  y12 x2  y22 1 x y (  2  2

1 1 1 1

x  y  x y  x  y  x y ) Tương tự: x2  y2 2 x2  y22

+ Tính C f  x :       2 

lim , , ,

C

i i

i

f x co l f x l L R R x x



     

1 2

1 2

1 2

1 2

( , ) 0, ( , ) 0, ( )

( , ) 0,

( , ) ,

x x x x

x x x x

f x

x x x x

x x x x

                                                          0 , 0 , 0 , 0 f                                       0 , 0 , 0 , 0 co f C =                 , , ; 0    

Câu 7: Cho f :Rn Rm hàm véc tơ liên tục xRn a. Phát biểu định nghĩa tựa Jacobian véctơ x

b. Chứng minh rằng: “ Nếu f :Rn Rm hàm véc tơ liên tục khả vi

Gaateaux xRn f x  tựa – Jacobian x Ngược lại, có tựa – Jacobian đơn trị x, khả vi Gâteaux xvà fG' x f x ” c. Các ví dụ tựa-Jacobian

Trả lời:

a Phát biểu định nghĩa tựa-Jacobian véctơ x

Định nghĩa: Cho f :Rn Rm hàm véc tơ liên tục Một tập đóng khác rỗng

   n m

R R L x

f  ,

 tựa_Jacobian f x uRn,vRm, ta có:

   

  v M u

Sup u x vf x f M , ,    

b Chứng minh rằng: “ Nếu f :Rn Rm hàm véc tơ liên tục khả vi Gâteaux

n

R

x f x  tựa – Jacobian f x Ngược lại, f có tựa – Jacobian đơn trị x, f khả vi Gaateaux xvà fG' x f x ”

Chứng minh:

Vì f khả vi Gâteaux x MLRn,Rm cho:     n

t t Mu u R

x f tu x f       , lim

và '  

G

f x M

  ,uRn, vRm

      u x f v t x f tu x f v G

t ,

lim , '     

     v f  x u

t x f tu x f v G

t , ,

lim '

0 

 

 ( , ánh xạ liên tục)

Vì        

t x f v tu x f v t x f tu x f

v,    ,   ,

   , , '   , n m

G

vf  x u v f x u u R v R

     

=

  v Mu

Sup x f M ,  

với f x fG' x

Ngược lại :

                           Mu v Mu v u x vf Mu v Mu v Sup u x vf x f M x f M , , inf , , , ,         , , , ,

v Mu vf  x u vf  x u v Mu

     v,Mu  vf  x,u

Tương tự, ta có: vRm,     v Mu t x f tu x f Sup v t , lim ,         lim t

f x tu f x Sup

t



 

M

  cho     Mu u t

x f tu x f

t  

 

 ,

lim

 

'

G

M f x

 

c Các ví dụ nh tựa –Jacobian:

Ví dụ 1: Cho f :R2 R xác định f(x1,x2) x1  x2 x0,0. Ta có : f x LR2,R   R2 * R2

 Tính C f  x :

Dãy x1,x20,0, ta xét trường hợp:

+ TH1: x x1, 2 0 f x x 1, 2x1x2  f 0, 0  1, 1 

+ TH2: x1 0,x2 0 f x x 1, 2x1x2  f 0, 0  1, 1

+ TH3: x10,x2 0 fx1,x2x1 x2 f0,0  1,1 + TH4: x1 0,x2 0 f x x 1, 2 x1x2  f 0, 0  1, 1

0, 0 1, ,  1, , 1, ,    1, 1

C

f co

      

 f0,0  1,1, 1,1

Với vR, uu1,u2R2, x00,0R2

           

t vf tu

tu vf Sup t

vf tu vf

Sup u

x vf

t t

0 , ,

lim

0 lim

,

0

 

  

 



   1 2 

lim v u u

t tu tu v Sup

t  

 



Mu

v, với MLR2,RR2 và Mf x

Ta kiểm tra  

 

2 ,

, . )

,

(x u Sup vMu v R u R f

vf

x f M

  

 

  

 

 

2

1 u Sup v.Mu, v R, u R

u v

x f M

  

 

 

 

                                           , , 2 2 M v khi Mu v Sup u u v u u v VT M v khi Mu v Sup u u v u u v VT x f M x f M

VTVP

+ TH2: u1 0,u2 0:  

 vMu VP v

Sup u u v VT x f M        ,

+ TH3: u1 0,u2 0:  

 vMu VP v

Sup u u v VT x f M         ,

+ TH4: u10,u2 0:

                                , , 2 2 v VP u u v u u v VT v VP u u v u u v VT u u v VT v VP

VT  

 ,

   

 vMu

Sup u x vf thì R u R v x f M 

 

 

 , ,

   1,1, 1,1

f x

nên

 Tương tự: f x 1,1 , 1,1 tựa- Jacobian Ví dụ 2: Cho hàm vecto 2

:

f R R xác định

 

1 2

( , ) | |, | |

f x x  x x liên tục x(0, 0)có

  11

22 0, 0 a f a        

với |a11| , |a22| ; ,  R



   cố định ( , ) = ( , ), ( , ) =  |x1|, |x2|)

= + = 2

0

( , ) ( , ) ( , ) (0, 0) lim sup

t

v v f tu tu v v f t





= 1 2 1 2

0

lim sup lim sup

t t

v tu v tu v u v u

t t

 

 



   

2

11

11

22

( , )

, |a | ,|a |

f x L R R v

a

f x voi

a  

 

  

 

     

  

 

vMu =  2 11  2  2 11 2 11 22

22

0 a

v v u u v v a u a u v a u v a u

a

 

  

 

 

VP =  

11 22

1 11 22 | | ,| |

sup

a a

v a u v a u

 

 



+ TH1: ,  0 VT  ; v1, v2  0 VT VP0

1,

u u  chọn a11,a22v a u1 11 1v a u2 22 0VP  0,

u  u  chọn a11 ,a22   v a u1 11 1v a u2 22 0VP 

1 0,

u  u  chọn a11 ,a22  v a u1 11 1v a u2 22 0VP 

1 0,

u  u  chọn a11 ,a22   v a u1 11 1v a u2 22 0VP 

0 ( , )

VT VP u u u

   

+ TH2: v1, v2 <0VT  

Chọn a11,a22 cho a u11 0,a u22 0 v a u1 11 1v a u2 22 0VP 

+ TH3:

1

0,

0,

v v

v v

 

 

 



Chọn a11,a22 cho v1 u1 v2 u2 0VP 

1 11 22 11 22

1 11 22 11 22

0, chon , cho 0, u <0 VP=+

0, chon , cho 0, u VP=+

v v a a a u a

v v a a a u a

    

 

     



+ TH4:

1

0,

0,

v v

v v

 

 

 



Chọn a11,a22 cho v1 u1 v2 u2 0VP 

1 11 22 11 22

1 11 22 11 22

0, chon , cho 0, u <0 VP=+ 0, chon , cho 0, u >0 VP=+

v v a a a u a

v v a a a u a

    



     



Vậy,

1 2

( , ), ( , )

u u u v v v R

  11

11

22

0

, |a | ,|a |

a

f x voi

a  

  

 

     

  

 

Câu 8: Cho X Y, KGĐC, ánh xạ đa trị F X: 2Y ( , ) ∈

a. Phát biểu định nghĩa tương đương, dạng Limsup dạng dãy, đạo hàm contingent cấp hàm F ( , )

b. Chứng minh f X: Y khả vi Rréchet  

    '   

0, f F ,

DF x x u  f x u  u X c. Các ví dụ đạo hàm contingent cấp

Trả lời:

a Định nghĩa: X Y, hai không gian định chuẩn, F X: 2Y x y0, 0grF  Đạo hàm contingent cấp hàm F x y0, 0 định nghĩa là:

+ Dạng Limsup:     

'

'

0

0

0,

,

t u u

F x tu y DF x y u LimSup

t  

 



+ Dạng dãy:

( , ) = ∈ |∃ ↓ 0, ∃ → , ∃ ∈ ( + ) − →

= { ∈ |∃ ↓ 0, ∃( , ) → ( , ), ∀ : + ∈ ( + )}  Đạo hàm contigent cấp F x y0, 0grF tương ứng với u v1, 1X V ánh

xạ đa trị định nghĩa bởi:

+ Dạng Limsup:     

'

2 '

0 1

2

0 1

0,

, , ,

t u u

F x tu t u y tv D F x y u v u LimSup

t  

   



+ Dạng dãy:

( , , , )( )

= ∈ |∃ ↓ 0, ∃ → , ∃ ∈ ( + + ) − − →

 

    '   

0, f F ,

DF x x u  f x u  u X Định lý:

Hàm f X: Y khả vi Rréchet '    

0 F ,

x X  f x L X Y cho     '  

0 0

0

lim F Y 0

h

X

f x h f x f x h

h h



  

  

Chứng minh:

 

 0,   n 0,  n, n  , :  0 n n  n n

yDF x f x u t   u y  u y f x t y  f x t u Hay    0 '  0

n n

n F

n

f x t u f x

y f x u

t

 

 

Đặt hn t un n 0 Do giới hạn dãy nên  

' F

y f x u     '       '   

0, F 0, F

DF x y u f x u DF x y u f x u

   

Ta cần chứng minh:   0  '   '  

0

lim n n F lim F n

n n

n

f x t u f x

f x u f x u

t

 

 

 

     

     

     

     

 

'

0 0

'

0 0

'

0 0

'

0 0

lim

lim

lim

lim *

n n F n n

n

n

n n F n n Y

n

n

n n F n n Y

n X n

n n X

n F n Y

n X n

n X

f x t u f x f x t u t

f x t u f x f x t u t

f x t u f x f x t u u t u

f x h f x f x h u h









  

 

  

 

  

 

  

 

Vì VT      

'

0 0

lim n F n Y n X n X

n X

f x h f x f x h

u u VP

h

  

  

 *

  đpcm

Cho = ℝ, = ℝ , : →     2

1, ,

F x  y y y x y x  x0 0 y0 0, 00, 0, 0 grF

0,0F 0 y y1, 2 y10,y2 0

 Tính 0, (0,0) ( ) với ∈ ℝ

 1, 2 0, 0, 0   n 0,  n, 1n, 2n  , 1, 2

y y y DF u   t  u y y  u y y 0,0tny1n,y2nF0t un n hay t yn 1n,t yn 2nF t u n n

 

1

2 2

2

n n n n n n

n n n

n n n n

t y t u y u

y t u

t y t u



  

 

 



 

 



Cho n  suy

2

y u y

  

 

 

0, 0,0    1, 2 , 0

DF u y y y u y

   

 Tính (0, (0,0), 1, (1,0))( ) với ∈ ℝ Với u11,v1 1, 0    

    

2

1

0, 0, ,1, 1, , ,

yD F u y y y

 

    2

0, , , , ,

n n n n

t u y y u y y

    cho n :

    2   

1

0,0 tn 1,0 tn yn,y n F 0tn1t un n Hay tn t yn2 1n,t yn2 2nF t n t un2 n

   

2

1

2

2

2

2

n n n n n n n n

n n n

n n n n n

t t y t t u y u

y t u

t y t t u

     

 

 

 

  

 



Cho n  , ta có

2

y u y

  

 

   

     

2

1 2

0, 0, ,1, 1, , ,

D F u y y y u y

   

Câu 9: Cho X, Y KGĐC, ánh xạ đa trị : 2Y

F X  ( , ) ∈

b. Ví dụ tập biến phân cấp Trả lời:

a Định nghĩa: X, Y không gian định chuẩn, : 2Y

F X  , ( , ) ∈  Tập biến phân loại cấp định nghĩa bởi:

+ Dạng Limsup:

( , ) = lim

→ ↓

( )

(xF x0 nghĩa xx F x0,  0) + Dạng dãy:

( , ) = ∈ | ∃ ↓ 0, ∃ ∈ : → , ∃ ∈ ( ) − →

 Với v1Y, tập biến phân loại cấp ứng với v1 F ( , ) ∈ là: + Dạng Limsup:

( , , ) = lim

→ ↓

( ) − −

+ Dạng dãy:

( , , ) = ∈ | ∃ ↓ 0, ∃ ∈ : → , ∃ ∈ ( ) − − →

b Ví dụ: = ℝ, = ℝ , : ℝ → 2ℝ , ( , ) = 0, (0,0)

 

 

 

 

 

2

0,0 ,

1

, ,

1

,0 , ln

1

1, , n sin

x n n x

n

F x x

n n

x

n n



 

 

 

 

 

    

     

   

 



    

 

 

 

Tính 0, (0,0)

    

1, 0, 0,

y y y V F 0, ,   n 0, 0

n n n

n

F x

t x x y

t 

       yn  y

Trường hợp 2:   n , 

n n

n n

F x n n

x y

n t t



    

 

,

n n

y n n

t

   không tồn lim n

n y

Trường hợp 3: ln 1 1,

n

n n

n

x y

n t n



   

       

   

 ~ (Ví dụ: tn un  ,0  , ,

n   



     )

 tn

n     

  (Ví dụ:  

,

n n

t y n

n

   không tồn lim n

n y )  0 tn

n (Ví dụ:  

1

, 0,

n n

t y

n n

 

   

  )

 

    

1,0 0, 0,0

y y V F

  

Trường hợp 4: n sin1 n 1, 12 1, 12

n n n

x y

n t n t t n

 

 

       

   

1

n n

y t

 khơng có giới hạn  

    

1

1

0, 0, , 0

V F y y

  

Với = (1,0) ∈ Tính 0, (0,0), (1,0)    

 

2

0, 0, , 1, yV F

     

0

0, 1,0

0, , , n n ,

n n n n

n

F x t

t x domF x x y y y

t

 

       

Trường hợp 1: 2     

1

0 0, 0, 1,0 1,

n n n

n n

x y t

t t

     không tồn giới hạn

Trường hợp 2:     2

1

0 , , n,

n n n

n n n

n t n

x y n n t

n t t t

  

          

 

2n

n

n y

t

Trường hợp 3:  

1 1

ln ,0 ,0

n n n

n

x y t

n t n

 

   

        

    

1

,

n n

n

y t

t n

   

     

 

 

Chọn 2 2

2

1

1

1

n n

t y

n n n

n n n

  

 



 

     

 

   

 

   

   

Chọn → ∞ ⇒ = − , ∈ ℝ Trường hợp 4: sin1

n n

x

n



 

 

2 2 2

1 1

1, , n,

n n

n n n

t

y t

t n t t n

 

   

     

 

   

1

1 n

n n

n

t

y y

t





    