Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
595,5 KB
Nội dung
50 BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho a �3 , tìm giá trị nhỏ S a a Giải: S a 8a a 24 a 10 ( )� 2 a 9 a 9 a Bài 2: a2 6a a a 12 a a 12 Giải: S a ( ) � 3 a 8 a 8 a 4 Cho a �2 , tìm giá trị nhỏ S a Bài 3: Cho a, b > a b �1 , tìm giá trị nhỏ S ab Giải: S ab 1 15 (ab ) �2 ab ab 16ab 16ab 16ab 15 ab 17 �a b � 16 � � �2 � Bài 4: Cho a, b, c> a b c � Tìm giá trị nhỏ S a 1 b2 c 2 b c a Giải: Cách 1: Cách 2: S a2 1 b2 c 2 b c a (12 42 )(a 1 1 ) �(1.a )2� a � (a ) b b b b 17 Tương tự Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư b2 1 1 � (b ); c � (c ) c c a a 17 17 Do đó: S� 4 36 (a b c ) � (a b c ) a b c a bc 17 17 17 � � 17 135 (a b c ) � � 4(a b c) 4(a b c) � � � Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương x y z �1 Chứng minh rằng: x2 1 y z � 82 y z x Giải: 1 1 (1.x ) �(12 92 )( x ) � x � (x ) y y y y 82 1 1 � ( y ); z � (z ) z z x x 82 82 9 81 S� (x y z ) � (x y z ) x y z x yz 82 82 TT : y � 80 � (x y z ) � 82 � x y z x y z� 82 � � Bài 6: Cho a, b, c > a 2b 3c �20 a Tìm giá trị nhỏ S a b c 2b c Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 12 18 16 � 12 � � 18 � � 16 � a 2b 3c � 3a � � 2b � � c �� a b c a �� b �� c � � 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13 S 4a 4b 4c Bài 7: 1 Cho x, y, z > x y z 1 Tìm giá trị lớn P 2x y z x y z x y 2z Giải: Ta có Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 1 1 �� ; ��� x y x y y z yz x y y z x y yz 16 x 2y z x 2y z �1 � 16 �x y 1� � z� TT : 1 �2 1 � 1 �1 � � � � ; � � � x y z 16 �x y z �x y z 16 �x y z � �4 4 � S � � � 16 �x y z � Bài 8: x x x 12 � � 15 � �20 � � Chứng minh với x �R , ta có � � � � � ��3x x 5x �5 � �4 � �3 � Giải: x x x x x x x x 12 � � 15 � 12 � � 15 � 20 � � 15 � 20 � � 12 � � � x � x � x � � � ��2 � � � � 2.3 ; � � � ��2.5 ; � � � ��2.4 �5 � �4 � �5 � �4 � �3 � �4 � �3 � �5 � Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh 8x y z �4 x 1 y 1 z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8x 64x x nên: x 8x 82 �3 8x.8x.82 12.4 x ; y y 82 �3 y.8 y.82 12.4 y ; z 8z 82 �3 8z.8z.82 12.4 z x y 8z �3 8x.8 y.8z 3 82.82.82 192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh x3 y3 y3 z3 z x3 �3 xy yz zx Giải: x y �xy x y � x3 y �xyz xy x y xy x y z �3xy xyz 3xy x3 y 3xy xy xy yz y3 z3 ; xy yz yz �1 1 � S 3� �3 � � xy � yz zx � � x2 y2 z2 z3 x3 zx ; yz zx zx zx 3 Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y xy 2 1 x 1 y Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: x y xy P � � � 2 1 x 1 y �x y xy � � � � � x y xy x y xy 2 1 x 1 y 1 4 P Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b3 c �ab bc ca b c a Giải: 3 4 2 2 ab bc ac Cách 1: a b c a b c �(a b c ) � ab bc ac b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac 3 a3 b c ab � 2a ; bc � b ; ca �2a Cách 2: b c a 3 a b c �2(a b c ) ab bc ac �ab bc ac b c a Bài 13: Cho x,y > x y �4 Tìm giá trị nhỏ A 3x y 4x y2 Giải: Dự đoán x = y = 3x y 3x �1 x � �2 y y � �x y � A y � � � � � �� 4x y x y 4�� � �x � �y Bài 14: 1 Cho x, y > x+y = Chứng minh P x3 y xy �4 Giải: Ta có x y x y 3xy(x+y) � x y 3xy=1 x y 3xy x y 3xy 3xy x3 y P= 4 �4 x3 y xy x y3 xy Bài 15: 1 1 Cho x, y, z > x y z Chứng minh xyz � Giải: 1 1 y z 2 1 1 �2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : �2 1 y xz ; �2 1 x 1 z 1 z yz 1 y 1 z xy 1 x 1 y Nhân vế BĐT => đpcm Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Bài 16: x y z Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn S x y z Giải: S �1 x y z 1 � 9 3 � 3 ��3 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 �x y z � Bài 17: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: 4a 5b 3c �48 a 1 b 1 c 1 4a a 1 4 a 1 a 1 �8 16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c b 1 10 �20; c 1 �12� dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 1 � � �3 � � a b c �a 2b b 2c c 2a � Giải: 1 1 1 � ; � ; � cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36 � a b c a bc Giải: 3 36 � a b c abc abc Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64 � a b c d abcd Giải: 1 16 16 16 64 � ; � a b c a b c a b c d a b c d Cần nhớ: a2 b2 c2 a b c � x y z x yz Bài 21: Với a, b, c > chứng minh rằng: � �3 �4 � � a b c �a b b c c a � Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 1 3 1 2 1 � � � ; � � � ; � a b ab a b a b b c bc b c bc c a ca Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 �1 1 � �2 � � pa pb pc �a b c � Giải: 1 2 p a p b p c a b c a b c a b c 1 1 1 �1 1 � �2 � � a b c a b c a b c a b c a b c a b c �a b c � Bài 23: Cho x, y, z> x y x �4 Tìm giá trị nhỏ P x2 y2 z2 yz zx x y Giải: x y z x y z x2 y2 z2 P � Cách1: y z z x x y 2 x y z 2 Cách 2: x2 yz y2 zx z2 x y �x; �y; �z yz zx x y x yz x yz P x y x 2 2 Bài 24: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y 3z 3z x x y 51 � 1 x 1 2y 3z Giải: y 3z 3z x x y 1 x 1 y 3z y 3z 3z x x 2y 1 1 1 1 x 1 y 3z �1 1 � x y 3z � 3 � �24 x y 3z � x y 3z � 24 51 3 21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a b �ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c � p Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: Bu- nhi -a ta có: p a p b p c � (12 12 12 )( p a p b p c ) 3(3 p p ) p Bài 27: a Cho hai số a, b thỏa mãn: a �1; b �4 Tìm giá trị nhỏ tổng A a b b Giải: 1 15b �b a � 2; b � � a b 16 � 16 � 15.4 17 � b � 16 4 4 Bài 28: Chứng minh a b �a b ab3 A 21 Giải: 2 2 2 2 2 2 4 3 � a b2 � � �(1 ) � a b a b a b �2ab a b a b �a b ab Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A ( x y 1) xy y x (Với x; y số thực dương) xy y x ( x y 1) Giải: ( x y 1) a; a � A a Có Đặt xy y x a 8a a A a �( a 9 ) a a 9 a 3 10 A 10 Bài 30: Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 �2 (b c) (c a) (a b) Giải: a b b c c a 1 (b c) (c a ) (c a ) (a b) (a b) (b c) � a b c � VT � ��0 �(b c) (c a) (a b) � (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c �3 Chứng ming 2009 �670 2 a b c ab bc ca Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 2009 2 a b c ab bc ca 1 2007 2007 � �670 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab bc ca P a b2 c a b b 2c c a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > ab bc ca (a b2 c2 ) 2 2 2 P a b c Suy P �a b c a b c2 2(a b c ) t = a2 + b2 + c2, với t 9t t t �3 P Suy P �t a=b=c=1 2t 2t 2 2 Bài 33: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 1 P = 16 x y z Giải: �1 1 1 � �y x � �z x � �z y � 21 P= x y z � � � � � � � � 16x y z 16x y z � � 16 x y � � 16 x z � �4 y z � 16 � y x z y z x � có =khi y=2x; �1 z=2y � z=4x; =>P �49/16 16 x y 4y z 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34: �23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 8x 18y x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Giải: B 8x � 2� � � �4 � 18y � 8x � � 18y � � ��8 12 23 43 x y � x�� y � �x y � Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư �1 � �1 � Dấu xảy x; y � ; � Vậy Min B 43 x; y � ; � �2 � �2 � Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng khơng vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 Giải: x 2 x 0 x 0 ( x 1)( x 2) 0 x 3x Tương tự y 3y z 3z x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – – = Bài 36: Cho a, b, c số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a b c �0 Giải: a 1 a �0 � a a �0; b b �0; c c �0 � a b c �a b c Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a b c �2 Chứng minh rằng: a2 1 97 b2 c � b c a Giải: � �2 81 � � � � �2 � 1.a ��� � a �� a � a � ; � � � b � � 16 � b 97 � 4b � � � b � � � � � b � b � ; c � c � � � c a 97 � 4c � 97 � 4a � cộng vế lại Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p �9 p a p b p c Giải: p p p 1 9 �9 hay � p a p b p c p a p b p c p a p b p c p Bài 39: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a b c ) 2abc �52 Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư abc �( a b c)( a b۳ c )(a b c) (6 2a) 2b 2c ۳2a �bc� 48 16 � 36 (a b c ) � ( a b c ) 2abc � � � � abc 24 ab bc ac 48 (1) a b2 c 2 b 2 c 2 (2) (1) and(2) a �۳� Có chứng minh 3(a b2 c ) 2abc 18 hay không? 2 dpcm Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4(a3 b3 c3 ) 15abc Giải: Có a �a (b c)2 (a b c)(a b c ) (1) , b �b2 (c a ) (b c a)(b c a ) (2) c �c (a b)2 (c a b)(c a b) (3) Dấu ‘=’ xảy � a b c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có: abc �(a b c)(b c a)(c a b) (*) Từ a b c nên (*) ۳ abc (2 2a )(2 2b)(2 2c) � 8( a b c) 8( ab bc ca) abc �0 � 9abc 8(ab bc ca) �0 � 9abc 8(ab bc ca) �8 (*) Ta có a3 b3 c3 (a b c)3 3(a b c)(ab bc ca ) 3abc 6(ab bc ca ) 3abc 3 Từ 4(a b c ) 15abc 27abc 24(ab bc ca) 32 3 9abc 8(ab bc ca) 32 (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a b3 c3 ) 15abc �3.(8) 32 Dấu “=” xảy a b c Từ giá trị nhỏ P đạt a b c Bài 41: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh �a b3 c3 3abc Giải: 10 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư *P a3 b3 c 3abc Ta có a b3 c 3abc (a b c)(a b2 c ab bc ac ) � a3 b3 c3 3abc (a b2 c ab bc ac ) (1) có abc �(a b c )(a b c)(a b c ) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 2 1 4(ab bc ca ) 8abc ۳ 6abc ab bc ca (2) 3 (1)and(2) � a b3 c 3abc �a b c ab bc ca 3 mà ab bc ca a b2 c2 2 � 1� � 1� � 1� a � �� �� b c � � � � � 3� � 3� � 3� *P a b3 c 3abc P a b2 c a2 b2 c2 P 1 6 abc �( a b c )(a b c)( a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4( ab bc ca ) 8abc � ab bc ca ) 2abc (3) P a3 b3 c 3abc ( a b c)( a b c ab bc ac) 6abc a b2 c ab bc ac 6abc a b c ab bc ca 6abc 1 ab bc ca 2abc 4 Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x y z xy yz zx xyz �8 Giải: Chứng minh xyz � x y z x y z x y z (6 x)(6 y )(6 z ) 216 72( x y z ) 24( xy yz zx) 8xyz ۳ xyz 24 ( xy yz zx) (1) mà x y z � x y z 2xy yz 2xz � x y z xy yz xz 36 3xy yz 3xz (2) Nên xyz x y z xy yz xz �24 ( xy yz zx)+ 36 3xy yz 3xz � xyz x y z xy yz xz �12 ( xy yz zx) mà x y z �3( xy yz zx) x y z 36 � xyz x y z xy yz xz �12 12 8 3 2 2 Bài 43: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 2 Cho a �1342; b �1342 Chứng minh a b ab �2013 a b Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: a 1342 b 1342 �0; a 1342 b 1342 �0; a 1342 b 1342 �0 Thật vậy: (1) a 1342 b 1342 �0 � a b 2.1342 a b 2.13422 �0 (2) a 1342 b 1342 �0 � ab 1342a 1342b 13422 �0 � a b 2.1342 a b 2.13422 ab 1342a 1342b 1342 �0 � a b ab �3.1342 a b 3.13422 2.2013 a b 3.13422 2013 a b 2013 a b 2.2013.1342 2013 a b 2013 a b 1342 1342 �2013 a b 2 Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x 3 x 1 4 x 3 2 x 3 Giải: Cách 1: Cách 2: A x 1 x 3 x 1 4 2 2 A� x 1 x 3 x 1 x 3 � � � A� 2x 8x 10 � � � x 4x 2 A� 2( x 2) � � � ( x 2) 1 2 A 4( x 2) 8( x 2) 4( x 2) 8( x 2) A 8( x 2) �8 Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca � c 1 a 1 b 1 12 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 1 x y 1 �1 3 y z z x3 Giải: x y �2xy � x y x y �2xy x y � x y �xy x y 1� x �y xy x y z ���3 x y3 z ; x y z y3 z 1 x y 3 xy x y z x ; x y z z x3 y x y z dpcm Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: a b ab �2a b 2b a 2 ab 1� � � � � 1�� 1� a b � a b � a b � a � � b � � ��2 ab a b 2a b 2b a 2� � � 4�� 4� � � Giải: a b Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 8a 1 8b 1 8c3 �1 Giải: 13 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 1 � 2 8a 2a 1 4a 2a 1 2a 4a 2a 4a 2a 1 1 ; � ; � 3 2b 1 8c 2c 1 8b 1 � VT 2 2 2a 2b 2c 2a 2b 2c Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b3 c �a b c b c a Giải: Cách 1: 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b3 c a b c a b c � �a b c b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca Cách a3 b3 c3 ab � 2a ; �bc �2� b 2; b c a ca 2c VT a b c (ab bc ca ) a b c Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 � y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 �x;��� y 1 z 1 14 y; z2 x 1 x 1 z VT x y z 4 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 3 4 ... xy yz xz �12 12 8 3 2 2 Bài 43: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 2 Cho a �1342; b �1342 Chứng minh a b ab �2013 a b Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết... y 3z � x y 3z � 24 51 3 21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a b �ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam... x3 zx ; yz zx zx zx 3 Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y xy 2 1 x 1 y Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: