50 bài tập về bất ĐẲNG THỨC trần văn lập

50 BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho a �3 , tìm giá trị nhỏ S  a  a Giải: S a 8a a 24 a 10  (  )� 2  a 9 a 9 a Bài 2: a2 6a a a 12 a a 12 Giải: S  a    (   ) �  3    a 8 a 8 a 4 Cho a �2 , tìm giá trị nhỏ S  a  Bài 3: Cho a, b > a  b �1 , tìm giá trị nhỏ S  ab  Giải: S  ab  1 15  (ab  ) �2 ab  ab 16ab 16ab 16ab 15 ab 17 �a  b � 16 � � �2 �  Bài 4: Cho a, b, c> a  b  c � Tìm giá trị nhỏ S  a  1  b2   c  2 b c a Giải: Cách 1: Cách 2: S  a2  1  b2   c  2 b c a (12  42 )(a  1 1 ) �(1.a  )2� a  � (a  ) b b b b 17 Tương tự Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư b2  1 1 � (b  ); c  � (c  ) c c a a 17 17 Do đó: S�  4 36 (a  b  c    ) � (a  b  c  ) a b c a bc 17 17 17 � � 17 135 (a  b  c  ) � � 4(a  b  c) 4(a  b  c) � � � Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương x  y  z �1 Chứng minh rằng: x2  1  y   z  � 82 y z x Giải: 1 1 (1.x  ) �(12  92 )( x  ) � x  � (x  ) y y y y 82 1 1 � ( y  ); z  � (z  ) z z x x 82 82 9 81 S� (x  y  z    ) � (x  y  z  ) x y z x yz 82 82 TT : y   � 80 � (x  y  z  ) � 82 � x y z x y z� 82 � � Bài 6: Cho a, b, c > a  2b  3c �20 a Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c    2b c Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 12 18 16 � 12 � � 18 � � 16 �    a  2b  3c  � 3a  � � 2b  � � c  �� a b c a �� b �� c � � 20 3.2.2  2.2.3 2.4 52 S 13 S  4a  4b  4c   Bài 7: 1 Cho x, y, z > x  y  z  1 Tìm giá trị lớn P  2x  y  z  x  y  z  x  y  2z Giải: Ta có Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 1 1  �� ; ��� x y x y y z yz x y y z x y yz 16 x  2y  z x  2y  z �1 � 16 �x y 1� � z� TT : 1 �2 1 � 1 �1 � � �  � ; � �  � x  y  z 16 �x y z �x  y  z 16 �x y z � �4 4 � S � �   � 16 �x y z � Bài 8: x x x 12 � � 15 � �20 � � Chứng minh với x �R , ta có � � � � � ��3x  x  5x �5 � �4 � �3 � Giải: x x x x x x x x 12 � � 15 � 12 � � 15 � 20 � � 15 � 20 � � 12 � � � x � x � x � � � ��2 � � � �  2.3 ; � � � ��2.5 ; � � � ��2.4 �5 � �4 � �5 � �4 � �3 � �4 � �3 � �5 � Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh 8x  y  z �4 x 1  y 1  z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8x  64x  x nên: x  8x  82 �3 8x.8x.82  12.4 x ; y  y  82 �3 y.8 y.82  12.4 y ; z  8z  82 �3 8z.8z.82  12.4 z x  y  8z �3 8x.8 y.8z  3 82.82.82  192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh  x3  y3  y3  z3  z  x3   �3 xy yz zx Giải: x  y �xy  x  y  �  x3  y �xyz  xy  x  y   xy  x  y  z  �3xy xyz  3xy  x3  y 3xy   xy xy yz  y3  z3 ;   xy yz yz �1 1 � S  3�   �3 � � xy � yz zx � � x2 y2 z2  z3  x3 zx ;   yz zx zx zx 3 Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   x  y    xy  2  1 x  1 y  Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải:  x  y    xy  P � � � 2  1 x  1 y �x  y   xy � � � � �  x  y   xy   x  y    xy  2  1 x  1 y  1 4 P Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b3 c   �ab  bc  ca b c a Giải: 3 4 2 2 ab  bc  ac  Cách 1: a  b  c  a  b  c �(a  b  c ) �  ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac 3 a3 b c  ab � 2a ;  bc � b ;  ca �2a Cách 2: b c a 3 a b c   �2(a  b  c )  ab  bc  ac �ab  bc  ac b c a Bài 13: Cho x,y > x  y �4 Tìm giá trị nhỏ A  3x   y  4x y2 Giải: Dự đoán x = y = 3x   y 3x �1 x � �2 y y � �x  y � A      y  �  � �   � � �� 4x y x y 4�� � �x � �y Bài 14: 1 Cho x, y > x+y = Chứng minh P  x3  y  xy �4  Giải: Ta có  x  y  x  y  3xy(x+y) � x  y  3xy=1 x  y  3xy x  y  3xy 3xy x3  y P=   4  �4  x3  y xy x  y3 xy Bài 15: 1 1 Cho x, y, z >  x   y   z  Chứng minh xyz � Giải: 1 1 y z  2   1  1   �2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : �2 1 y xz ; �2  1 x  1 z  1 z yz  1 y   1 z  xy  1 x 1 y Nhân vế BĐT => đpcm Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Bài 16: x y z Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn S  x   y   z  Giải: S �1 x y z 1 � 9    3 �    3  ��3  x 1 y 1 z 1 x y  z 3 4 �x  y  z  � Bài 17: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: 4a 5b 3c   �48 a 1 b 1 c 1 4a  a  1  4    a  1    a  1   �8   16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c   b  1   10 �20;   c  1   �12� dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 1 � �   �3 �   � a b c �a  2b b  2c c  2a � Giải: 1 1 1   � ;   � ;   � cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36   � a b c a bc Giải:    3 36   �  a b c abc abc Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64    � a b c d abcd Giải: 1 16 16 16 64   � ;  � a b c a b c a b c d a b c d Cần nhớ: a2 b2 c2  a  b  c    � x y z x yz Bài 21: Với a, b, c > chứng minh rằng: � �3   �4 �   � a b c �a  b b  c c  a � Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 1 3 1 2 1  � �  � ;  � �  � ;  � a b ab a b a b b c bc b c bc c a ca Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 �1 1 �   �2 �   � pa pb pc �a b c � Giải: 1 2      p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c  1 1 1 �1 1 �      �2 �   � a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c �a b c � Bài 23: Cho x, y, z> x  y  x �4 Tìm giá trị nhỏ P  x2 y2 z2   yz zx x y Giải:  x  y  z   x  y  z   x2 y2 z2 P    � Cách1: y  z z  x x  y 2 x  y  z  2 Cách 2:  x2 yz y2 zx z2 x y  �x;  �y;  �z yz zx x y x yz x yz  P x y x 2 2 Bài 24: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y  3z  3z  x  x  y  51   � 1 x 1 2y  3z Giải: y  3z  3z  x  x  y    1 x 1 y  3z y  3z  3z  x  x  2y   1 1 1 1 x 1 y  3z �1 1 �   x  y  3z   �   3 � �24  x  y  3z � x  y  3z  �  24 51 3  21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a  b  �ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p  a  p  b  p  c � p Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: Bu- nhi -a ta có: p  a  p  b  p  c � (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c )  3(3 p  p )  p Bài 27: a Cho hai số a, b thỏa mãn: a �1; b �4 Tìm giá trị nhỏ tổng A  a   b  b Giải: 1 15b �b a  � 2; b � � a b 16 � 16 � 15.4 17 � b � 16 4 4 Bài 28: Chứng minh a  b �a b  ab3 A 21 Giải: 2 2 2 2 2 2 4 3 �  a    b2  � � �(1  ) � a  b    a  b   a  b  �2ab  a  b   a  b �a b  ab Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A ( x  y  1) xy  y  x  (Với x; y số thực dương) xy  y  x ( x  y  1) Giải: ( x  y  1)  a; a  � A  a  Có Đặt xy  y  x a 8a a A  a �( a 9 ) a a 9 a 3 10 A 10 Bài 30: Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2   �2 (b  c) (c  a) (a  b) Giải: a b b c c a    1 (b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) (a  b) (b  c) � a b c � VT  �   ��0 �(b  c) (c  a) (a  b) � (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c �3 Chứng ming 2009  �670 2 a b c ab  bc  ca Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 2009  2 a  b  c ab  bc  ca 1 2007 2007     �  �670 2 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c   a  b  c Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab  bc  ca P  a  b2  c  a b  b 2c  c a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > ab  bc  ca  (a  b2  c2 ) 2 2 2  P a b c Suy P �a  b c   a  b  c2 2(a  b  c ) t = a2 + b2 + c2, với t  9t t t     �3     P  Suy P �t  a=b=c=1 2t 2t 2 2 Bài 33: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 1 P = 16 x  y  z Giải: �1 1 1 � �y x � �z x � �z y � 21 P=     x  y  z �   � �  �  �  � �  � 16x y z 16x y z � � 16 x y � � 16 x z � �4 y z � 16 � y x z y z x  � có =khi y=2x;  �1 z=2y  � z=4x; =>P �49/16 16 x y 4y z 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34:  �23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  8x   18y  x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Giải: B  8x  � 2� � � �4 �  18y   � 8x  � � 18y  � �  ��8  12  23  43 x y � x�� y � �x y � Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư �1 � �1 � Dấu xảy  x; y   � ; � Vậy Min B 43  x; y   � ; � �2 � �2 � Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng khơng vượt Chứng minh x2 + y2 + z2  Giải:  x 2  x  0 x  0  ( x  1)( x  2) 0  x 3x  Tương tự y 3y  z 3z   x2 + y2 + z2  3( x + y +z) –  – = Bài 36: Cho a, b, c số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a  b  c �0 Giải:  a  1  a   �0 � a  a  �0; b  b  �0; c  c  �0 � a  b  c �a  b  c   Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c �2 Chứng minh rằng: a2  1 97  b2   c  � b c a Giải: � �2 81 � � � � �2 � 1.a  ���  � a  �� a  � a � ; � � � b � � 16 � b 97 � 4b � � � b � � � � � b  � b � ; c  � c � � � c a 97 � 4c � 97 � 4a � cộng vế lại Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p   �9 p a p b p c Giải: p p p 1 9   �9 hay   �  p a p b p c p a p b p c p a  p b  p c p Bài 39: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a  b  c )  2abc �52 Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư abc �( a b c)( a b۳ c )(a b c) (6 2a)  2b   2c  ۳2a �bc� 48 16 � 36  (a  b  c ) � ( a b c ) 2abc � � � � abc 24  ab bc ac  48 (1) a  b2  c 2  b 2  c 2 (2) (1) and(2)  a �۳� Có chứng minh 3(a  b2  c )  2abc  18 hay không? 2 dpcm Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  4(a3  b3  c3 )  15abc Giải: Có a �a  (b  c)2  (a  b  c)(a  b  c ) (1) , b �b2  (c  a )  (b  c  a)(b  c  a ) (2) c �c  (a  b)2  (c  a  b)(c  a  b) (3) Dấu ‘=’ xảy � a  b  c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có: abc �(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) (*) Từ a  b  c  nên (*) ۳ abc (2  2a )(2  2b)(2  2c) �  8( a  b  c)  8( ab  bc  ca)  abc �0 �  9abc  8(ab  bc  ca) �0 � 9abc  8(ab  bc  ca) �8 (*) Ta có a3  b3  c3  (a  b  c)3  3(a  b  c)(ab  bc  ca )  3abc   6(ab  bc  ca )  3abc 3 Từ 4(a  b  c )  15abc  27abc  24(ab  bc  ca)  32  3 9abc  8(ab  bc  ca)  32 (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a  b3  c3 )  15abc �3.(8)  32  Dấu “=” xảy a  b  c  Từ giá trị nhỏ P đạt a  b  c  Bài 41: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh �a  b3  c3  3abc  Giải: 10 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư  *P  a3  b3  c  3abc Ta có a  b3  c  3abc  (a  b  c)(a  b2  c  ab  bc  ac ) � a3  b3  c3  3abc  (a  b2  c  ab  bc  ac ) (1) có abc �(a  b  c )(a  b  c)(a  b  c )  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  2 1  4(ab  bc  ca )  8abc ۳ 6abc   ab  bc  ca  (2) 3 (1)and(2) � a  b3  c  3abc �a  b  c    ab  bc  ca  3 mà ab bc ca   a  b2  c2  2 � 1� � 1� � 1� a � �� �� b  c � � � � � 3� � 3� � 3� *P  a  b3  c  3abc P  a b2 c a2 b2 c2  P 1 6 abc �( a  b  c )(a  b  c)( a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4( ab  bc  ca )  8abc  � ab  bc  ca )  2abc  (3) P  a3  b3  c  3abc  ( a  b  c)( a  b  c  ab  bc  ac)  6abc  a  b2  c  ab  bc  ac  6abc   a  b  c    ab  bc  ca   6abc 1    ab  bc  ca  2abc     4 Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx  xyz �8 Giải: Chứng minh xyz �  x  y  z   x  y  z   x  y  z   (6  x)(6  y )(6  z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz ۳ xyz 24  ( xy  yz  zx) (1) mà  x  y  z   � x  y  z  2xy  yz  2xz  � x  y  z  xy  yz  xz  36  3xy  yz  3xz (2) Nên xyz  x  y  z  xy  yz  xz  �24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  yz  3xz � xyz  x  y  z  xy  yz  xz  �12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z  �3( xy  yz  zx)  x  y  z 36 � xyz  x  y  z  xy  yz  xz �12   12  8 3 2 2 Bài 43: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 2 Cho a �1342; b �1342 Chứng minh a  b  ab �2013  a  b  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau:  a  1342    b  1342  �0;  a  1342   b  1342  �0; a  1342  b  1342 �0 Thật vậy: (1)  a  1342    b  1342  �0 � a  b  2.1342  a  b   2.13422 �0 (2)  a  1342   b  1342  �0 � ab  1342a  1342b  13422 �0 � a  b  2.1342  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  1342 �0 � a  b  ab �3.1342  a  b   3.13422  2.2013  a  b   3.13422  2013  a  b   2013  a  b   2.2013.1342  2013  a  b   2013  a  b  1342  1342  �2013  a  b  2 Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   x  1   x  3   x  1 4  x  3 2  x  3 Giải: Cách 1: Cách 2: A   x  1   x  3   x  1 4 2 2 A�  x  1  x  3  x  1   x  3 � � �  A� 2x  8x  10 � � �  x  4x   2 A� 2( x  2)  � � �  ( x  2)  1 2 A  4( x  2)  8( x  2)   4( x  2)  8( x  2)  A  8( x  2)  �8 Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca   � c 1 a 1 b 1 12 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 1 x  y  1  �1 3  y  z  z  x3 Giải: x  y �2xy �  x  y   x  y  �2xy  x  y  � x  y �xy  x  y  1� x �y xy  x y z ���3  x  y3 z ; x  y  z  y3  z 1 x  y 3 xy  x  y  z  x ; x  y  z  z  x3 y x y z dpcm Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng:  a  b  ab �2a b  2b a 2  ab 1� � � � � 1�� 1�   a  b � a  b  �  a  b  � a  � � b � � ��2 ab  a  b   2a b  2b a 2� � � 4�� 4� � � Giải:  a  b Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1  8a  1  8b  1  8c3 �1 Giải: 13 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 1 �   2  8a  2a  1  4a  2a  1 2a   4a  2a  4a  2a  1 1 ; � ; � 3 2b  1  8c 2c  1  8b 1 � VT  2 2 2a  2b  2c  2a   2b   2c   Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b3 c   �a  b  c b c a Giải: Cách 1: 2 a2  b2  c2   a2  b2  c2   a b3 c a b c  a  b  c       �  �a  b  c b c a ab bc ca ab  bc  ca ab  bc  ca Cách a3 b3 c3 ab � 2a ; �bc �2� b 2; b c a ca 2c VT  a b c  (ab bc ca ) a b c Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2   � y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 �x;��� y 1 z 1 14 y; z2 x 1 x 1 z VT  x y z 4 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 3 4 ... xy  yz  xz �12   12  8 3 2 2 Bài 43: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 2 Cho a �1342; b �1342 Chứng minh a  b  ab �2013  a  b  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết...  y  3z � x  y  3z  �  24 51 3  21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a  b  �ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam... x3 zx ;   yz zx zx zx 3 Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   x  y    xy  2  1 x  1 y  Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư Giải: