TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH. TỔ: TOÁN[r]
(1)TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH
TỔ: TỐN
Gv: PHẠM THU AN
(2)Bài : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(3)Ơn tập
Tìm giới hạn dãy số sau: a)
b)
c)
d) e)
Tìm giới hạn hàm số sau :
ĐS: a) ; b) ; c) 3/4 d) Âm vô cực ; e) -1/2
6 lim n n 5.4 lim n n n n lim n n n
lim( n 5n 2)
lim( n n n)
2 3 2 1 ) lim 1 2 6 ) lim 4
) lim ( 2 3 5)
2 7 ) lim 1 1 ) lim 5 2 x x x x x x a x x b x
c x x
(4)Nội dung:
I- Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
1.1 Định nghĩa 1
1.2 Định lí giới hạn hữu hạn
1.3 Giới hạn bên
Định nghĩa 2
II-Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực:
Định nghĩa 3
III-Giới hạn vô cực hàm số:
3.1 Định nghĩa 4
3.2 Một vài giới hạn đặc biệt
(5)I- Giới hạn hữu hạn hàm số điểm: 1.1 Định nghĩa 1:
Cho khoảng K chứa x0 và hàm số y= f(x) xác định K hoặc K\ {x0} Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn thuộc K\
{x0}và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: Hay khi
K thay cho khoảng
lim ( )
x x f x L f x( ) L x x0
(6)Bài toán:
Cho hàm số dãy số tùy ý thỏa Tìm
Ta có:
Vậy
Ta gọi hàm số có giới hạn x dần tới
Kí hiệu :
Nhận xét 1: (với c số)
I- Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
1.1 Định nghĩa 1: 1 ( )
1 x y f x
x
( )xn
1 lim n n x x
lim ( )f xn
2 1 ( 1)( 1)
( )
1
n n n
n n
n n
x x x
f x x
x x
(xn 1)
lim ( ) lim(f xn xn 1) lim( ) lim(1) 1 2 xn
2 1 ( ) x f x x 1 lim 2 1 x x x
0 0
lim ; lim
(7)1.2 Định lí giới hạn hữu hạn
Nhắc lại: Định lý giới hạn hữu hạn dãy số
0
0
( )
lim (nÕu )
( )
x x
f x L
M g x M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
a) Giả sử lim ( ) lim ( ) Khi
x x f x L x x g x M
0
0 vµ lim ( )
x x
L f x L
0
0
b) NÕu ( ) lim ( ) ,
x x
f x f x L
Định lí
a) Nếu lim un = a lim vn = b thì: *lim(un+ vn) = a + b *lim(un- vn) = a – b
*lim(un.vn) = a.b
* ( )
b) Nếu un với n lim un = a
a I- Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
lim n n
u a v b
lim un a
(8)0
0
( )
lim (nÕu ) ( )
x x
f x L
M g x M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
a) Giả sử lim ( ) lim ( ) Khi
x x f x L x x g x M
0
0 vµ lim ( )
x x
L f x L
0
0
b) NÕu ( ) lim ( ) ,
x x
f x f x L
Bài giải
2
3
2
Cho hµm sè ( ) T×m lim ( )
x
x
f x f x
x
VÝ dô
2
2
2
lim(3 4)
3 4
lim ( ) lim
2 3 lim(2 3)
x x x x x x f x x x
2 2 2
2 2 2
lim 3 lim 4 lim 3.lim lim 4 3.2 4
2
lim 2 lim3 lim 2.lim lim 3 2.2 3
x x x x x x x x x x
(9)3 3 8 1
2 3 3
. . Bài giải 0 ( )
lim (nÕu ) ( )
x x
f x L
M
g x M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
a) Giả sử lim ( ) lim ( ) Khi
x x f x L x x g x M
0
0 vµ lim ( )
x x
L f x L
0
0
b) NÕu ( ) lim ( ) ,
x x
f x f x L
2
Cho hàm số ( ) Tìm lim ( )
x
x x
f x f x
x
VÝ dô
2
3
8 lim ( ) lim
(10)Bài giải
Ta có:
ĐS: -2
Nhận xét 2: Để tìm P(x) Q(x) hai đa thức thỏa
Ta thường biến đởi sau:
Và phân tích tiếp u(x) v(x) dùng định lý giới hạn
Nhắc lại: Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm
2
TÝnh lim
x
x x
x
VÝ dô
2 5 4 1 lim x x x x 1 4 1 ( )( ) lim x x x x 4
lim( )
x x 3
2 1
TÝnh lim
x
x
x x
VÝ dô
0
( )
lim ( ) x x P x Q x 0
( ) va` Q(x )
P x
0 0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x u x
P x u x
Q x x x v x v x
2
ax bx c x x1, thi` ax2 bx c a x x x x ( 1)( 2)
0 ( )
(11)Giải
Ghi chú:
Có biểu thức liên hợp (và ngược lại) Có biểu thức liên hợp (và ngược lại)
1
3 2
1
Cho hàm số ( ) Tìm lim ( )
x
x
f x f x
x
VÝ dô
1
1
1
3 ( 2)( 2)
lim lim
1 ( 1)( 3 2)
( 1) lim
( 1)( 2)
1
lim
4
x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
A B A B
(12)Nhận xét 3: Tìm U(x) V(x) hai hàm số có chứa (hoặc hai)
Ta sẽ nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp
Sau làm xuất khử biểu thức chung tử mẫu
0
( )
lim ( )
x x
U x V x
0
( ) va` V(x )
U x
2 2
6
4
1
4
Cho hµm sè ( ) T×m li )
:
m (
x
x
f x x
D
f x
S
VÝ dô
0 ( )
(13)Cho khoảng K chứa x0 và hàm số y= f(x) xác định K K\ {x0} Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn thuộc K\{x0}và xn → x0, ta có f(xn) → L
Kí hiệu: Hay
0
0
( )
lim (nÕu ) ( )
x x
f x L
M g x M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( ) ;
x x f x g x L M
0
a) Giả sử lim ( ) lim ( ) Khi
x x f x L x x g x M
0
0 vµ lim ( )
x x
L f x L
0
b) NÕu ( ) vµ lim ( ) , th×
x x
f x f x L
Định nghĩa
Định lí
Củng cố
0
lim ( )
(14)Nhận xét 2: Để tìm P(x) Q(x) hai đa thức thỏa Ta thường biến đởi sau:
Và phân tích tiếp u(x) v(x) dùng định lý giới hạn
Nhận xét 3: Tìm U(x) V(x) hai hàm số có chứa (hoặc hai)
Ta sẽ nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp
Sau làm xuất khử biểu thức chung tử mẫu
Nhận xét 1: (với c
hằng số) Củng cố
0
( )
lim ( )
x x
P x Q x
0
( ) va` Q(x )
P x
0 0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x u x
P x u x
Q x x x v x v x
( )0
0
0
( )
lim ( )
x x
U x V x
0
( ) va` V(x )
U x 0
( ) 0
0 0
lim ; lim
(15)Bài tập trắc nghiệm nhanh a) Tìm
b) Tìm
Đáp án C
Đáp án C
Củng cố
3
lim( 1) ?
x x x
.10 .13 .1
A B C D
2
8 lim
2
1
.0 B.1 C D
24
x
x x x A
(16)Dặn dò:
(17)Kết thúc học