Đề tài Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán bằng nhiều cách

Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v… +Khi gi¶i ®­îc bµi to¸n råi th× dõng l¹i, kh«ng tiÕp tôc t×m tßi khai t[r]

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª Xu©n Th¾ng Ph¸t triÓn t­ cho häc sinh th«ng qua gi¶i bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch I.Lý chọn đề tài Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em thường: +Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán nào ? Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng các hệ các bất đẳng thức côsi, bunhiacopski ,v…v… +Khi gi¶i ®­îc bµi to¸n råi th× dõng l¹i, kh«ng tiÕp tôc t×m tßi khai th¸c, biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán nhiều cách, từ đó có thÓ suy bµi to¸n tæng qu¸t Để khắc phục hạn chế trên, định hướng các em tư lôgíc Tôi mạnh dạn đưa mét vµi kinh nghiÖm nhá bµi viÕt nµy hy väng c¸c em häc tËp hiÖu qu¶ h¬n II BiÖn ph¸p thùc hiÖn §Ó lµm ®­îc viÖc nµy cÇn cã nhiÒu viÖc ph¶i lµm Thø nhÊt: yªu cÇu vµ rÌn luyÖn cho häc sinh n¾m v÷ng c¸c lý thuyÕt c¬ b¶n nh­ côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và các cách chứng minh thông thường Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hướng cho các em phân tích c¸c bµi to¸n b»ng c¸ch tr¶ lêi c©u hái: -Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy dấu không? Nếu xảy thì thì các số hạng phải thoả mãn điều kiện nào Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết bµi to¸n Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức bất đẳng thức quen thuéc Thø t­: Sau khuyÕn khÝch c¸c em gi¶i bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch, nhiÒu c«ng cô C«ng viÖc nµy rÊt cã lîi cho t­ còng nh­ kh¶ n¨ng tæng hîp kiÕn thøc cña c¸c em III Ph¹m vi nghiªn cøu Sáng kiến này thực các lớp khối trường THPT Triệu Sơn IV Néi dung Thùc hiÖn néi dung b»ng gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch qua bµi to¸n sau qua bµi to¸n sau Cho số dương a,b,c Chứng ming a2 b2 c2 abc    (1) bc ca ab Trường THPT Triệu Sơn Lop10.com S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª Xu©n Th¾ng V Thùc hiÖn Cách 1(áp dụng bất đẳng thức côsi) x  b  c §Æt  y  c  a  x  y  z  2a  b  c   p z  a  b  víi p=a+b+c Suy ra:a=p-x; b=p-y;c=p-z.Do đó 1  p  x  p  y 2  p  x 2 1 1 p p  p      p  x  y  z  x y z 2 x y z 1 1 1 1  p       x  y  z      áp dụng bất đẳng thức côsi cho bất đẳng x y z x y z   thøc cuèi ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Cách 2(áp dụng bất đẳng thức côsi) áp dụng bât đẳng thức côsi cho hai số Tương tự ta có a2 b  c ; bc ta cã a2 bc   2a bc b2 ca c2 ab   b;  c ca ab Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có a2 b  c b2 ca c2 ab      abc bc ca ab ChuyÓn vÕ rót gän ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh a2 b2 c2 abc    bc ca ab Cách 3(biến đổi tương đương) Cộng hai bất đẳng thức (1) với biểu thức a+b+c ta có a2 b2 c2 3(a  b  c)   abc  bc ca ab  a b c    (2) bc ca ab (2) là bất đẳng thức quen thuộc và là bất đẳng thức đúng tứ đó suy điều phải chứng minh Cách 4:(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski) áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski cho hai dãy số sau Trường THPT Triệu Sơn Lop10.com S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª Xu©n Th¾ng a2 b2 c2 ; ; ; a  b ; b  c ; c  a  Ta cã bc ca ab  a  a2 b2 c2 b c (   )  b  c  c  a  a  b    bc  ca  a  b  bc ca ab ca ab  bc   a  b  c  Từ đó suy đpcm Cách 5:(Biến đổi tương đương) a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2 a bc b ca c2 ab       0 bc ca ab 2 4a  b  c  4b  c  a  4c  a  b      0(3) 4b  c  4c  a  4a  b  Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö r»ng: a  b  c   a  b  a  c  b  c;4a  b  c   0;4c  a  b   2 Tõ ®©y ta cã 4a  b  c  4a  b  c  Tương tự ta có:  4b  c  4a  c  2 4c  a  b  4c  a  b  KÕt hîp víi (3) ta cã:  4a  b  4a  c  2 2 2 2 2 VT1  4a  b  c   4b  c  a   4c  a  b   a  b   b  c   c  a   4a  c  4c  a  Tõ ®©y suy ®iÒu ph¶i chøng minh 4a  c  4c  a  Cách 6: (áp dụng bất đẳng thức trêbứsép) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö r»ng a  b  c ta cã a b c   bc ca ab áp dụng bất đẳng thức trêbưsep cho hai hãy số dương trên ta có: a  b  c (  a2 a b c b2 c2     )  3   bc ca ab bc ca ab MÆt kh¸c theo chøng minh trªn ta cã a b c    Tõ ®©y suy ®iÒu ph¶i chøng minh bc ca ab Cách 7:(áp dụng bất đẳng thức trêbứsep) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö r»ng: Trường THPT Triệu Sơn Lop10.com S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª Xu©n Th¾ng a  b  c  a2  b2  c2 ; 1   áp dụng bất đẳng thức trêbưsep cho hai hãy bc ca ab số dương cùng chiều trên ta có: a  b 1 c  c 1 a  a 1 b )  3 ba c  cb a  ac b   b2  c2 (   Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacopski ta có a  b 1 c  c 1 a  a 1 b )  13 a  b  c   b 1 c  a 1 b  c 1 a   a  b  c a  b  b  c  c  a     bc ca ab  b2  c2 (   áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: a  b  b  c  c  a  1    9 bc ca ab Từ đó suy điều phải chứng minh Cách 8:(áp dụng bất đẳng thức côsi) áp dụng bất đẳng thức côsi cho dãy số sau: a  b; b  c; c  a và a  b  b  c  c  a  33 a  b b  c c  a  1 ; ; ta cã ab bc ca 1 1    33 a  b b  c c  a  ab bc ca Nhân hai vế bất đẳng thức trên ta được: 1  abc abc abc  2a  b  c      9 ab bc ca ab bc ca c a b a b   c        a  b  c   a  b  c  ab bc ac 2 ab bc ac Nh©n vµo rót gän ta cã ®pcm C¸ch 9: Ta cã 2a  b  c    4a 2  4a b  c   b  c    4a  4a b  c   b  c  2 4a  4a  b  c  bc 4b 4c  4b  c  a ;  4c  b  a  Tương tự ta có: ca ba  Céng vÕ víi vÕ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Trường THPT Triệu Sơn 4 Lop10.com S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lª Xu©n Th¾ng VI KÕt qu¶ thùc hiÖn Đây là phần khó thực trên đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết thu tương đối khả quan KÕt qu¶ nh­ sau Giái Khèi 10 25% Khèi 11 27% Kh¸ 31% 25% TB 10% 11% YÕu 26% 29% KÐm 18% 8% Trên đây là môt số kinh nghiệm có quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn Rất mong quan tâm đóng góp ý kiến các đồng chí để bµi viÕt nµy ®­îc hoµn thiÖn h¬n TriÖu s¬n 10/5/2008 Lª Xu©n Th¾ng Trường THPT Triệu Sơn Lop10.com