Tam thức bậc hai - Từ một kết quả đơn giản đến các bài thi học sinh giỏi

Ở đây, trong bài viết này, chúng tôi xin được giới thiệu cùng các bạn một tính chất khá đặc biệt của tam thức bậc 2 mà từ tính chất này với một cách sử dụng khéo léo, ta có thể giải được[r]

MATH AND YOUTH MAGAZINE TAM THỨC BẬC HAI - TỪ MỘT KẾT QUẢ ĐƠN GIẢN ĐẾN CÁC BÀI THI HỌC SINH GIỎI Tam thức bậc hai đã không còn xa lạ gì với học sinh phổ thông học môn toán Những tính chất đẹp và đặc trưng nó đã sử dụng hiệu nhiều lĩnh vực khác toán học Những tính chất đó đã giới thiệu nhiều bài viết khác trên các tạp chí toán học tuổi trẻ, toán tuổi thơ, Ở đây, bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu cùng các bạn tính chất khá đặc biệt tam thức bậc mà từ tính chất này với cách sử dụng khéo léo, ta có thể giải các bài bất đẳng thức thi Olympic toán quốc tế khá dễ dàng Tính chất đó chính là Ví dụ Cho các số không âm a; b; c; d thỏa mãn a + b + c + d = 1: Chứng minh (Nguyễn Minh Đức, IMO Shorlist) LỜI GIẢI Đặt x = ab;thì ta có thức ta trở thành b) Nếu a max f f (x1 ); f (x2 )g : max f f (x1 ); f (x2 )g : f (x) a +b +c 2ca2 + b3 + c3 5abc = f (a): f (2c) = (b c)(b2 + bc 9c2 ) (b c)(4c2 + 2c c 8c2 ) = 2c2 (b c) 0; f (b) = b + c Vậy nên f (a) 2 3b c = b (b 2c) + c(c 27 a+b a+b ; ; c; d 2 : a+b a+b ; ; c; d 2 0; 176 abcd = < : 27 27 Trường hợp Nếu a = b; d = 0; thì ta có 176 abcd = abc 27 a2 (1 2a) + a(1 hay 2a)2 1)2 (22a2 44 + a2 (1 27 27 11a + 2) 2a ; 0: : 27 và bất p 11a Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng 11a: Vậy bài toán đã cho giải b ) < 0: = 2a)2 ; 22a2 + 2 a+b+c Trường hợp Nếu a = b; c = d; thì ta có c = đẳng thức đã cho trở thành (4a và : hay nói cách khác, ta cần xét bất đẳng thức đã cho trường hợp a = b ab = là đủ Bằng cách lập luận tương tự, ta suy ta cần xét bất đẳng thức đã cho trường hợp c = d cd = 0: Từ đó, cách kết hợp lập luận trên, ta đến ta cần xét các trường hợp sau Trường hợp Nếu b = d = 0; đó bất đẳng thức là hiển nhiên vì c; thì abc+bcd +cda+dab b Ta thấy f (a) là tam thức bậc với hệ số cao là 2c > 0; nên theo định lý 1a với chú ý 2c a b; ta có f (a) max f f (2c); f (b)g : Lại có (a + b)2 max P(a + b; 0; c; d); P 5abc: LỜI GIẢI Không tính tổng quát, giả sử a từ giả thiết, ta có 2c a b c: Suy 5abc f (0); f abc + bcd + cda + dab (Toán học tuổi trẻ) a3 + b3 + c3 max max P(a + b; 0; c; d); P Ví dụ Cho các số a; b; c [1; 2] : Chứng minh 0: Và vậy, ta cần chứng minh Chứng minh kết này khá dễ dàng nên dành cho bạn đọc Kết trên có ý nghĩa khá quan trọng bất đẳng thức, chẳng hạn, để chứng minh f (x) = ax2 + bx + c m với x [x1 ; x2 ] thì theo kết trên, ta cần xét bất đẳng thức này x = x1 và x = x2 là đủ Tính chất này ứng dụng khá nhiều phương pháp dồn biến để chứng minh bất đẳng thức, phương pháp mà đã không còn xa lạ với nhiều bạn đọc yêu toán Bây chúng ta đến số ví dụ để minh họa cho tính chất đẹp này 27 Đây là tam thức bậc với hệ số cao là nên theo kết trên, ta có P(a; b; c; d) thì với x [x1 ; x2 ] ; ta có f (x) và bất đẳng Do đó, ta đặt P(a; b; c; d) = abc + bcd + cda + dab 176 27 abcd thì ta thấy kết trên tương đương với thì với x [x1 ; x2 ] ; ta có f (x) (a+b)2 ; x 176 cd x + cd(a + b) 27 f (x) = c + d Định lý Trong tam thức f (x) = ax2 + bx + c; a) Nếu a 176 + abcd: 27 27 abc + bcd + cda + dab Ví dụ Cho a; b; c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh và bất đẳng thức ta chứng minh a2 b(a b) + b2 c(b c) + c2 a(c a) 0: (IMO 1983) c VÕ QUỐC BÁ CẨN, ĐHYD CẦN THƠ Lop10.com MATH AND YOUTH MAGAZINE LỜI GIẢI Do tính hoán vị vòng quanh, ta có thể giả sử Nên ta cần chứng minh a c b (nhưng ta lại không thể giả sử ngược lại là a b (c b)(c3 a2 b) (a c)(c3 b3 ) c!); đó ta có + 0; c c 2 a b(a b) = b(a b)(a c) + bc(2a c)(a b) hay bc(2a c)(a b): f (a) = c3 a2 b + (a c)(b2 + bc + c2 ) 0: Như vậy, ta cần chứng minh Ta thấy f (a) là tam thức bậc với hệ số cao b(2a c)(a b) + b2 (b c) + ca(c a) 0; là b < 0; mà c a b + c; nên theo định lý 1b; ta có hay f (a) = (2b c)a (2b c)(b+c)a+b 0:Nếu c 2b; f (a) f f (c); f (b + c)g : Lại có thì f (a) là tam thức bậc với hệ số cao không dương, f (c) = c2 (c b) 0; nên theo định lý 1b; ta có f (a) f f (b + c); f (c)g : Lại có f (b + c) = b3 > 0; và f (c) = b(b c)2 nên bất đẳng thức và đúng trường hợp này Nếu 2b c; thì ta có f (b + c) = c3 b(b + c)2 + b(b2 + bc + c2 ) = c(c2 b2 ) 0: 2 (2b c)a = (2b c)(a c) + c(2b c)(2a c) Nên f (a) và bất đẳng thức ta chứng minh Đẳng c(2b c)(2a c): thức xảy và a = b = c: Lời kết Các bạn thấy đấy, có cái thật đơn giản Nên ta cần chứng minh ta biết áp dụng chúng cách sáng tạo và khéo léo thì c(2b c)(2a c) (2b c)(b + c)a + b3 0: có thể biến cái đơn giản đó thành phương pháp, kỹ thuật giúp ta có thể giải các bài toán khó mà Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì trước mắt là phục vụ cho các kỳ thi học sinh giỏi Bài viết trên còn nhiều thiếu sót và cần hoàn thiện thêm, chúng c(2b c)(2a c) (2b c)(b + c)a + b3 3 tôi mong nhận trao đổi góp ý cùng các bạn đọc = (2b c)(c b)a + c 2bc + b gần xa! Cuối cùng, để kết thúc bài viết này, xin nêu lên (2b c)(c b)c + c3 2bc2 + b3 số bài tập mà ta có thể áp dụng tính chất đẹp này để giải = b(b c)2 0: Cho a; b; c; d [0; 1] : Chứng minh Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy và a = b = c: a2 b + b2 c + c2 d + d a ab2 bc2 cd da2 : 27 Ví dụ Cho a; b; c là độ dài cạnh tam giác Chứng Cho a; b; c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh minh c a b + b2 + c2 0: a2 b c a a b c c a b + + + + + 1: b c a a b c (Moldova TST, 2006) (Vasile Cirtoaje, Old And New Inequalities I) LỜI GIẢI Do tính hoán vị vòng quanh, ta có thể giả sử a c b; đó ta có thể viết bất đẳng thức đã cho các Cho a; b; c là độ dài cạnh tam giác Chứng dạng tương đương sau minh a2 b c + c3 b c2 + c2 a b2 c + b a b)(c3 a2 b) (a + bc (c b)(c3 a2 b) (a + c Bây giờ, ta để ý (c (a c)(c2 a a b3 ) c)(c2 a ab c)(c2 a a = (a = c3 b b2 b3 ) 0; a2 b2 c2 + + b2 c2 a2 0: (a c) c2 (a c)(c3 c 125 + 131abcd: (Phạm Kim Hùng) b3 a Cho các số không âm x; y; z: Tìm số k lớn cho bất đẳng thức sau đúng b3 c b3 ) : Cho các số không âm a; b; c; d thỏa mãn a+b+c+d = Chứng minh (1 + 3a)(1 + 3b)(1 + 3c)(1 + 3d) c) c2 1 + + a2 b2 c2 (Walker, American Monthly Magazine) 0; b3 ) a2 + b2 + c2 x3 +y3 +z3 +k(xy2 +yz2 +zx2 ) : (k +1)(x2 y+y2 z+z2 x): (Mongolia TST, 2008) c VÕ QUỐC BÁ CẨN, ĐHYD CẦN THƠ Lop10.com MATH AND YOUTH MAGAZINE Võ Quốc Bá Cẩn Sinh viên lớp YY0647A1, trường ĐHYD Cần Thơ Địa chỉ: C65 khu dân cư Phú An, phường Phú Thứ, quận Cái Răng, thành phố Cần Thơ Điện thoại: 01687 149 971 c VÕ QUỐC BÁ CẨN, ĐHYD CẦN THƠ Lop10.com