Giáo án dạy thêm lớp 10 Toán

Tập giá trị của hàm số Phương pháp + Điều kiện có nghiệm của phương trình + Dùng bất đẳng thức + Dùng bảng biến thiên Phương pháp 1... GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG..[r]

GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG Vấn đề Phương pháp véc tơ A Lý thuyết - Quy tắc điểm Cho điểm A,B,C ta có    AB  BC  AC (Chèn giữa)    AC  AB  BC (Chèn gốc)    AB  CB  AC (Chèn ngọn) - Quy tắc hình bình hành Cho hbh ABCD    AB  AD  AC - Quy tắc trung điểm     IB  Cho đoạn thẳng AB I là trung điểm AB  IA   Và MA  MB  2MI M - Quy tắc trọng tâm      GB  GC  Cho tam giác ABC G là trọng tâm tam giác GA   Và MA  MB  MC  3MG M - Tích véc tơ với số    a  kb  a, b cùng phương     a, b cùng hướng k > a, b ngược hướng k <       a, b không cùng phương thì tồn cặp x,y cho c  xa  yb với c - M chia AB theo tỉ số k   Cho điểm A,B,M MA  k MB thì A,B,M thẳng hàng với |k| = MA MB Và k > thì M nằm ngoài AB Nếu k < thì A nằm AB Nếu k  =-1 thì M là trung điểm   Với điểm O OM    OA  kOB (M,A,B thẳng hàng ) 1 k Chú ý : AB  O thì A trùng B B Bài tập ứng dụng Dạng Chứng minh dẳng thức véc tơ, tìm điểm thoã mãn đẳng thức Bài : Cho điểm A,B,C,D bất kỳ I,J là trung điểm Ab và CD     IJ a) Chứng minh AC  BD      OA  OB  OC  OD  O b)Xác định điểm O cho     c) M là điểm CMR MA  MB  MC  MD  4MG Bài 2: Cho tam giác ABCvà A’,B’,C’  lần lượt là trung điểm BC,CA,AB với M      chứng minh MA  MB  MC  MA '  MB '  MC ' Có nhận xét gì trọng tâm tam giác trên - 1Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG Bài 3: Cho tam giác ABC , G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G    3       b) Gọi M là trung điểm BC CMR MH   ( AB  AC )     c)Tìm điểm N cho NA  NB  3NC  a) CMR : AH  AC  AB và CH   ( AB  AC )         BL : a) G là trung điểm HB  AG  AH  HB  AH  AG  AB      Gọi M là trung điểm BC AG  AM  ( ( AC  AB))  AG  ( AC  AB) 3 Thay vào ta có điều phải chứng minh    CH   ( AB  AC ) CMTT       b) M là trung điểm BC ta có HM  ( HB  HC )  ( AG  AB  CH ) thay vào ta có 2 đpcm    BTVN: 1)Cho điểm phân biệt A,B tìm điểm K cho 3KA  KB  2) Cho tam giác ABC H là điểm đối xứng với trọng tâm G qua B    AH  BH  CH  a) Chứng minh       b) CMR AB  ( AC  AH ) , AC  (5 AG  AH ) Dạng Chứng Minh điểm thẳng hàng , đồng quy    MA  MB  MC  MD Thì AB, CD có chung trung điểm Chú ý : Nếu    AB  k AC thì A,B,C thẳng hàng Bài  1: Cho tam giác ABC , I,J là điểm xác định       IA  3IC  , JA  JB  JC  CMR I, J ,B thẳng hàng         HD: Ta CM IA  3IC - JA  JB  3JC   IJ  JB  => I , J , B thẳng hàng Bài Cho điểm A, B, C, D và I,J,K,L,M,N là trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA,AC,BD CMR các đoạn thẳng IK, JL,MN cắt trung điểm đường      N là trung điểm AD : AN  ( AB  AD)      => AM  AN  ( AB  AC  AD)   I là trung điểm AB : AI  AB    K là trung điểm CD : AK  ( AC  AD) HD: M là trung điểm AC : AM  AC - 2Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG           TTự : AJ  AL  ( AB  AC  AD) => AI  AK  ( AB  AC  AD) Từ đó ta có AM + AN = AI + AK =ẠJ+ AK => ĐPCM Bài : Cho tam giác ABCD gọi O,H,G ,I là tâm đường tròn ngoại tiếp , trực tâm , trọng tâm,tâm đương tròn qua trung điểm cạnh    a) Chứng minh HA  HB  HC  HO b) CMR H, G ,O thẳng hàng , ( HG = GO ) c) CMR H, G, O, I thẳng hàng Bài tập nhà : Cho tam giác ABC có trọng tâm G , O là điểm tuỳ ý , Gọi M, N , P là các điểm đx với O qua các trung điểm I, J, K các cạnh BC, CA, AB a) CMR AM, BN , CP đồng quy H b) CMR O , H , G thẳng hàng HD: a) Trong tam giác ABC và OMN có Ị là đường trung bình nên    AB  2 IJ và MN  IJ => ABMN là hình bình hành nên AM, BN cắt trung điểm đường Tương tự AM cắt CP trung điểm đường => chùng đồng quy H      OC  2OI  OM => c) Vì I là trung điểm BC  nên OB      MA  MB  MC  MA  MI  MH     MA  MB  MC  3MG G là trọng tâm ta có => điểm thẳng hàng Dạng Tìm tập hợp điểm thoã mãn đặng thức véc tơ Phương pháp :   AM  kV đó k là số thực Nếu là hệ thức véc tơ thì ta biến đổi đưa dạng :  thay đổi ; V ; là véc tơ không đổi Như tập hợp điểm M là đường thẳng qua A  // với giá V  Nếu là hệ thức độ dài tổng véc tơ thì rút gọn tổng đó đưa dạng | AM | = l với A có định , llà độ dài cho sẵn Chú ý : Nếu AM  , A có định thì M trùng A Nếu MA = MB ( A,B cố định ) thì M thuộc đường trung trực AB Nếu MA = k ( k > , A cố định thì tập hợp M là đường tròn tâm A bán kính R = k Bài1 : Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoã mãn các trường hợp sau    a) MA  MB HD Vì A khác B nên không tồn M để MA  MB => tập rỗng      MB  MC  : HDGọi G là trọng tâm thì M trùng G b) MA     c) | MA  MB || MA  MC |    HD : Gọi E , F là trung điểm AB và AC ta có 2ME  ( MA  MB) và    MF  ( MA  MC ) => ME = MF => Tập hợp M là đường trung trực EF Bài : Cho tam giác ABC và số thực không âm l tìm tập hợp M cho    | MA  MB  MC | l - 3Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG HD : l = M trùng G l > tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính R = l/3 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A M là điểm tam giác có hình chiếu xuống BC,CA,AB theo thứ tự D,E,F     a) Tìm tập hợp các điểm M biết | MD  ME  MF | cùng phương với BC     b) Tìm tập hợp M biết | MD  ME  MF || MA | HD :      a)Ta có MD  ME  MF = MD  MA gọi I là trung điểm AD         ta cóMD  MA = MI Để MD  ME  MF cùng phương với BC thì MI cùng  phương với BC => MI //BC mà I là trung điểm PQ với PQ là đường trung bình tam giác ABC => M thuộc PQ nên tập hợp M là đoạn PQ ( M nằm tromg tam giác b) Dựng đường cao AH cắt MI M’ Thì  AM’DM là hình bình hành nên ta có           MM '  MI  MD  ME  MF = MM ' | MD  ME  MF || MA | thì MA = MM’ = M’D => M thuộc trung trực AM’ Mặt khác MA = MM’ = M’D  hai tam giác cân AMM’ và MM’B , gọi L là trung điểm AM’  AL = 1/2AM = 1/2LH => AL = 1/3 AH hay LH = 2/3 AH Nên quỹ tích M là đoạn thẳng PQ song song và cách BC khoảng 2/3 AH Bài tập nhà Cho  tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M cho    a) | 3MA  2MB  MC | t AC t là số thực thay đổi      b) | MA  MB  MC | | MB  MC | Dạng Bài toán tâm tị cự Bài toán 1: Cho điểm A,B và số thực x,y cho x + y  #  1)Chứng minh tồn cho : x IA + y IB = điểm I  2) chứng minh với M ta có x MA + y MB = (x + y ) MI       HD: 1)Từ x IA + y IB =  ( x  y ) AI  y AB   AI  y  AB => có I x y 2) Từ suy   Chú ý : +) x IA + y IB = gọi là tâm tị cự điểm với hai số (x,y) x = y # thì I là trung điểm AB x # , y = thì I trùng A      MA + y MB = (x + y ) MI x = y thì MA + MB = MI +) x      x MA + y MB = (x + y ) MI là công thức mở rộng MA + MB = MI Bài toán Cho điểm A,B,C và số thực x,y , z cho x + y + z #   IA + y IB + z IC = 1) CMR tồn điểm I cho x     MA + y MB + z MC = (x + y + z) MI 2) CMR  với M ta có x         IA HD: 1) x + y IB + z IC = x IA + y( IA  AB) + z( IA  AC ) = - 4Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG    y AB  z AC  IA = => I x yz 2) CMTT BT1 Chú ý : Điểm I trên gọi là tâm tị cự - Nếu A,B,C không thẳng hàng và x = y = z # thì I trùng với trọng tâm G - Nếu x = y = , z # thì I trùng C - Nếu # , z = Thì I là trung điểm AB  x = y   - x MA  + y MB + z MC = (x + y + z) MI x = y = z # thì nó là biểu thức    MA + MB + MC = MI Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M cho     | 3MA  MB  MC || MB  MA | HD là đường tròn tâm I bán kính AB/2 Bài : Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c ,CMR tâm đường tròn nội tiếp I là tâm tị cự đỉnh A,B,C với số a,b,c HD : Vẽ HBH IB’CA’ ta có IC = IA’ + IB’ (1) Theo ta lét A,C/IB = CC1/BC1 ( C1 ,B1 là chân đường phân giác hạ từ A và B) Hay IB’/IB = CC1/BC1 Theo định lý đường phân giác ta có CC1/BC1 = AC/AB = b/c   => IB’ + b/cIB => IB ' = -b/c IB (4)   Tương tự ta có IA ' = -a/c IA (5)    Thay 4,5 vào ta có a IA + b IB + c IC = ĐPCM - 5Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG Vấn đề 2:HÀM SỐ I.Kiến thức Cho hàm số y = f(x) TXĐ: D = { x  R| y tồn tại} là các giá trị làm cho f(x) có nghĩa TGT I = { y  R| x tồn } là các giá trị hàm số đạt x  D làm cho hàm số có nghĩa Sự biến thiên Với x1 , x2  D f ( x1 )  f ( x2 ) > hàm số đồng biến x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) < hàm số nghịc biến x1  x2 Tính chẵn lẻ, tính đối xứng +)Hàm số y = f(x) lẻ  D là tập đối xứng với  x  D => -x  D và f(-x) = - f(x) +)Hàm số y = f(x) chẵn  D là tập đối xứng với  x  D => -x  D và f(-x) = f(x) Đồ thị Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua Oy, Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua O II Bài tập A Tập xác định Ví dụ Tìm tập xác định các hàm số a) y = | x | 1 b) y = x2 c) y = | x  |  | x2  2x | x2  x  1 HD: a) D = R\(-1;1) b) D = R vì x2 – x + > với x c) D = R vì |x-2| + |x2+ 2x| = vô nghiệm Bài tập nhà Tìm tập xác định cá hàm số sau a) y = x  x 1 b) y = mx  (m  3) x  tuỳ theo m x 1 B Tập giá trị hàm số Phương pháp +) Điều kiện có nghiệm phương trình +) Dùng bất đẳng thức +) Dùng bảng biến thiên Phương pháp Điều kiện có nghiệm phương trình xem y là tham số Bài tập 1: Tìm tập giá trị các hàm số sau x2  t  2t  a) y = – 2x + b) y = c) y = x 1 t t 3 HD: a) TGT I = [0; +  ) x2  b) y =  x2 - yx+ – y = ( x  1) x 1 x2 - 6Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG       x   f (1)  Phương trình này có nghiệm   ĐS: (-  ; -2 - 2 ) U ( - + 2 ; +  ) c) I = [2/11;2] BTVN : tìm giá trị NN hàm số y = (x – 1)(x – 5)(x – 6)(x – 2) Tìm giá trị LN hàn số y = x2 + 2x + 3  2x  x Phương pháp : Dùng bất đẳng thức ( x  0) x2 f(x) = x3 + ( x  (0 ; +  ) x VD :Tìm giá trị NN hàm số f(x) = x2 + Tìm giá trị NN hàm số HD a) Áp dụng cô si cho số x2 và 3/x2 GTNN củ f(x) = x =  3 1 x + x + + + 2 3x 3x 1 Dấu xảy x3 = 2 3x GTNN hàm số là 5 x = 108 b) f(x) = 1 Áp dụng cốsi cho số x3 và 2 3x 3x C Tính chẵn lẻ hàm số Bài tập Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau a) f(x) = x10 – x8 + x6 – x4 + x2 - |x| + – 1/x2 + 1/x4 b) f(x) = c) f(x) = | x  1|  | x  1| | x  1|  | x  1| x  3x  x2  1  xkhi.x  d) f(x) =   x  1khi.x  HD: a) chẵn , b) lẻ , c chẵn , d chẵn - 7Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG D Điểm cố định Bài toán : Cho họ đường cong Cm y = f(x,m) (*) m là tham số Tìm các điểm cố định mà họ đường cong qua Nếu pt (*) có nghiệm với m hay đường cong họ luôn qua M đó M là điểm cố định họ Cm PP tìm B1 : Gọi (x0;y0) là điểm cố định , Biến đổi phương trình đồ thị phương trình theo m và xem x0 ,y0 là tham số B2: Cho tất các hệ số B3: Giải hệ này để tìm x, y B4 : KL ( Hệ có bao nhiêu nghiệm thì có nhiêu điểm cố định ) VD1: Cho hàm số y = mx2 + 3(m + 1)x + 2m + Tìm điểm cố định mà họ đồ thị luôn qua ĐS: (-1;2) và (-2;-1) VD2 : Cho hàm số y = x3 – 3(m+ 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) có đồ thi (Cm) a)Chứng minh m thay đổi (Cm) luôn qua điểm cố định b) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn ĐS: a) (2;0) b) hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình x3 – 3(m+ 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) = Vì đồ thị luôn qua điểm (2;0) nên phương trình (1) có nghiệm x = Ta có (1)  (x – 2)[x2 – (3m+1)x + 2m(m+ 1) ] =  x = v x = m + 1v x = 2m Để đồ thị cắt Ox điểm phân biệt có hoàng độ lớn thì m+ 1> và 2m > và m + # , 2m #  m > ½ và m # VD3: Cho hàm số y = x  (6  m) x  mx  ĐS: (0 ; 2) BTVN Cho hàm số : y = (m+ 3)x3 – 3(m+ 3)x2 - 6(m + 1)x + m + ( m là tham số ) Chứng minh đồ thị luôn qua điểm cố định thẳng hàng E Tương giao: Cho hàm số y = f(x) , y = g(x) Tìm mối tương giao chúng PP1 Dùng đồ thị - 8Lop10.com - GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG PP2 : Dùng nghiệm phương trình Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình f(x) = g(x) Phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có nhiêu điểm chung VD : Cho pẩbol y = -x2 + 4x – a)Vẽ parabol b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình -x2 + 4x – + 2m = ) Tìm m để đường thẳng (d): y = 3m cắt parabol hai điểm phân biệt A, B cho AB = HD vì y = 3m là đường thẳng song song với Ox nên AB = |xA – xB| ĐS: x = , x = VD2 : Cho đồ thị ( C) hàm số x2 y= Tìm m để dường thẳng (d) : y = mx cắt đồ thị ( C) điểm phân x  x2 biêt HD : TXĐ : D = R Phương trình hoành độ giao điểm d và C là x2 = mx x2  x  x[mx2 + (m – 1)x – 2m ] = suy x = mx2 + (m – 1)x – 2m = Muốn có nghiệm phân biệt thì mx2 + (m – 1)x – 2m = có nghiệm phân biệt thoã mãn khác 0,-2,1 ĐS: m # VD3 : Cho hàm số y = x3 – 3x + 12 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng (d) : qua M (3;20) có hệ số góc m cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt HD : Phương trình đường thẳng d : y = m(x – 3) + 20 Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình (x – 3) ( x2 + 3x + – m) = Để (d) cắt (C ) điểm phân biệt và đa thức f(x) = x2 + 3x + – m có nghiệm phân biệt khác   > và f(3) #  m > 15/4 và m # 24 x  3x  VD: Cho hàm số y = có đồ thi (C ) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ 2x  thị (C ) điểm phân biệt A, B cho AB = HD: ĐT y = m cắt (C ) hai điểm phân biệt A(x1,m) , B(x2;m)  x  3x  =m 2x  có nghiệm phân biệt x1, x2 #   >  m< -3/2 v m > ½ Mặt khác AB =  | x1 – x2| = ( Dùng vi ét ) AB2 =  (x1 – x2)2 = => 4m2 + 4m – =  m = m= 1  2 (loại) - 9Lop10.com - 1  2 (nhận ) GIÁO ÁN DẠY THÊM LÓP 10 GV : NGUYỄN NGỌC HOÀNG - 10 Lop10.com