Toán 11: ĐT, MP không không gian, QH song song – Chinh phục giảng đường

1 Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (M CD). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD... a) Thiết diện của hình chóp[r]

(1)

CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Mở đầu hình học khơng gian

2 Các tính chất thừa nhận

3 Điều kiện xác định mặt phẳng

4 Hình chóp tứ diện

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng

Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy

Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng

Dạng Xác định thiết diện mặt phẳng với hình chóp

Dạng Dựng đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng chéo

Dạng Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng toán chứng minh giao tuyến

đi qua điểm cố định

C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

D BÀI TẬP RÈN LUYỆN

E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 11

1 Câu hỏi lý thuyết 11

2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 14

3 Thiết diện 19

4 Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 21

(2)

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 53

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 53

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian 53

2 Các định lí tính chất 53

B CÁC DẠNG TỐN 53

Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng quan hệ song song 53

Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song 55

Dạng Chứng minh bốn điểm đồng phẳng ba đường thẳng đồng qui 58

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 59

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 65

ĐÁP ÁN 94

3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 95

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 95

1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 95

2 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng 95

B CÁC DẠNG TOÁN 96

Dạng Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 96

1 Ví dụ minh họa 96

2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98

Dạng 2.Tìm giao tuyến hai mặt phẳng biết mặt phẳng song song

với đường thẳng cho trước 101

1 Các ví dụ minh họa 101

Dạng Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 103

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 105

ĐÁP ÁN 146

(3)

A Tóm tắt lí thuyết 147

1 Định nghĩa 147

2 Tính chất 147

3 Định lý Ta-lét (Thalès) 148

4 Hình lăng trụ hình hộp 148

5 Hình chóp cụt 149

B CÁC DẠNG TOÁN 150

Dạng Chứng minh hai mặt phẳng song song 150

Dạng Tìm giao tuyến mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A;

song song với mặt phẳng(γ) 151

Dạng Xác định thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước154

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 156

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 163

ĐÁP ÁN 204

5 PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN 205

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 205

B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 205

C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 206

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 207

ĐÁP ÁN 213

ÔN TẬP CHƯƠNG II 213

(4)

2 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Hình học khơng gian có đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng Quan hệ thuộc: Trong không gian:

1 Với điểmA đường thẳngdcó thể xảy hai trường hợp: ĐiểmA thuộc đường thẳng d, kí hiệuA∈d

ĐiểmA khơng thuộc đường thẳng, kí hiệuA /∈d

2 Với điểmA mặt phẳng (P) xảy hai trường hợp: ĐiểmA thuộc mặt thẳng(P), kí hiệuA∈(P)

ĐiểmA khơng thuộc đường thẳng, kí hiệuA /∈(P)

2 CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN

Tính chất thừa nhận 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất thừa nhận 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước

Tính chất thừa nhận 3: Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng

Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng

Tính chất thừa nhận 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng

Định lí Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng

3 ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG Có bốn cách xác định mặt phẳng:

Cách 1: Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng mặt phẳng, kí hiệu(ABC)

P

A B

C

(5)

P

d A

Cách 3: Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳnga, bcắt nhau, kí hiệu (a, b)

P a

b

Cách 4: Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu(a, b)

4 HÌNH CHĨP VÀ TỨ DIỆN

Định nghĩa Cho đa giác A1A2 An cho điểm S nằm mặt phẳng chứa đa giác Nối

S với đỉnhA1, A2, , Anta đượcnmiền đa giácSA1A2, SA2A3, , SAn−1An Hình gồmntam

giác đa giácA1A2A3 An gọi hình chópS.A1A2A3 An

S

P

A1

A2

A3 A4

A5

A6

Trong đó:

ĐiểmS gọi đỉnh hình chóp

Đa giácA1A2 An gọi mặt đáy hình chóp

Các đoạn thẳngA1A2, A2A3, , An−1An gọi cạnh đáy hình chóp

Các đoạn thẳngSA1, SA2, , SAn gọi cạnh bên hình chóp

Các miền tam giácSA1A2, SA2A3, , SAn−1An gọi mặt bên hình chóp

Nếu đáy hình chóp miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, .thì hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,

4!

Hình chóp tam giác cịn gọi hình tứ diện

(6)

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến

4! Điểm chung hai mặt phẳng (α) và (β) thường tìm sau

Tìm hai đường thẳnga,blần lượt thuộc (α)và(β), đồng thời chúng

nằm mặt phẳng (γ)

Giao điểmA=a∩b điểm chung (α) và(β)

A β

α γ b

a

Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy

Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng cịn lại

Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng

Tìm giao điểm đường thẳngd mặt phẳng(P) ta cần lưu ý số trường hợp sau

1 Nếu trong(P) có sẵn đường thẳng ∆cắt d M M =d∩(P)

2 Nếu trong(P) chưa có sẵn đường thẳng ∆cắt d ta thực theo bước sau

Bước Chọn mặt phẳng (Q) chứa d Bước Tìm giao tuyến ∆ = (Q)∩(P)

Bước Trong(Q) gọi M =d∩∆ Khi đó, M giao điểm d (P)

d

P Q

∆

d

P Q

M ∆

d

P Q

Dạng Xác định thiết diện mặt phẳng với hình chóp

Để xác định thiết diện hình chóp S.A1A2 An cắt mặt phẳng (α), ta tìm giao điểm mặt

phẳng(α) với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Thiết diện đa giác có đỉnh giao

(7)

hình chóp)

Trong phần xét thiết diện mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

Dạng Dựng đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng chéo

Phương pháp giải: Để dựng đường thẳng dđi qua O cắt d1; d2, ta dựng giao tuyến hai mặt

phẳng(O, d1) (O, d2), d= (O, d1)∩(O, d2)

d1

d2

d O

Dạng Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng toán chứng minh giao tuyến qua điểm cố định

Để tìm tập hợp giao điểmI hai đường thẳng thay đổi a, bta chọn

hai mặt phẳng cố định (α) (β) cắt chứa a, b Khi

I =a∩b⇒

®

I ∈a⊂(α)

I ∈b⊂(β) ⇒I ∈d= (α)∩(β)

Vậy điểm I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (α) và(β)

a

b

d I

α β

Để chứng minh đường thẳngd qua điểm cố định ta thực theo bước sau:

- Chọn điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (δ) và(γ)

- Chứng minh dlà giao tuyến hai mặt phẳng (δ) và(γ), dđi qua điểm cố định J

C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Cho hình chópS.ABCD, đáyABCDlà tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song, điểm M thuộc cạnhSA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng

(SAC) và(SBD)

1 2 (SAC)và (M BD)

(M BC) và(SAD)

3 4 (SAB) và(SCD)

(8)

1 Trong(ABCD), gọiO=AC∩BD Khi đó,

®

O ∈AC ⊂ (SAC)

O∈BD⊂ (SBD) ⇒O∈(SAC)∩(SBD) Lại cóS ∈(SAC)∩(SBD)

VậySO = (SAC)∩ (SBD) 2 VìO=AC∩BD nên

®

O ∈AC ⊂ (SAC)

O ∈BD⊂ (M BD) ⇒O∈(SAC)∩(M BD) Dễ thấy,M ∈(SAC)∩(M BD)

VậyOM = (SAC)∩(M BD)

A

B

D S

M

E

F

O

C

c) Trong(ABCD), gọiF =BC∩AD Khi đó,

®

F ∈BC⊂(M BC)

F ∈AD⊂(SAD) ⇒F ∈(M BC)∩(SAD) Mặt khác,M ∈(M BC)∩(SAD)

VậyF M = (M BC)∩(SAD)

d) Trong(ABCD) gọiE =AB∩CD, ta có

®

E∈AB⊂(SAB)

E∈CD⊂(SCD) ⇒E ∈(SAB)∩(SCD) Dễ thấy,S ∈(SAB)∩(SCD)

VậySE = (SAB)∩(SCD)

Ví dụ Cho tứ diện SABC Trên SA, SB SC lấy điểmD, E F cho DE cắt AB I,EF cắtBC tạiJ,F D cắt CAtại K Chứng minhI, J, K thẳng hàng

-Lời giải Ta có   

 

I =DE∩AB DE ⊂(DEF) AB⊂(ABC)

⇒I ∈(DEF)∩(ABC) (1) Tương tựJ =EF∩BC

⇒

®

J ∈EF ∈(DEF) J ∈BC⊂(ABC)

⇒J ∈(DEF)∩(ABC) (2)

K=DF∩AC ⇒

®

K∈DF ⊂(DEF) K∈AC⊂(ABC)

⇒K∈(DEF)∩(ABC) (3)

S

F

B D

A

J

C E

K

I

Từ (1),(2) (3) ta có I, J, K điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) nên chúng thẳng

(9)

Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCDvới đáyABCD có cạnh đối diện không song song với vàM điểm cạnh SA

1 Tìm giao điểm đường thẳngSB với mặt phẳng(M CD) 2 Tìm giao điểm đường thẳngM C mặt phẳng(SBD)

-Lời giải

1 Tìm giao điểm đường thẳngSB với mặt phẳng(M CD) Ta cóSB⊂(SAB)

Trong(ABCD) gọiE =AB∩CD Khi đó,(SAB)∩(M CD) =M E Trong(SAB), gọiN =SB∩M E VậyN =SB∩(M CD)

2 Tìm giao điểm đường thẳngM C mặt phẳng(SBD) Ta cóM C ⊂(M DE)

Dễ thấy(M DE)∩(SBD) =DN Trong(M DE), gọiK =M C∩DN VậyM C ∩(SBD) =K

S

C

D A

B M

N

E K

Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình thang vớiADlà đáy lớn vàP điểm cạnhSD

a) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P AB) hình gì?

b) GọiM, N trung điểm cạnhAB, BC Thiết diện hình chóp cắt bởi(M N P) hình gì?

-Lời giải

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB∩CD Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩EP Ta có E∈AB nên EP ⊂(ABP)⇒Q∈(ABP), đóQ=SC∩(ABP) Thiết diện tứ giác ABQP

C

D

E S

Q

P

(10)

b) Trong mặt phẳng(ABCD) gọiF, G giao điểm M N vớiAD vàCD Trong mặt phẳng(SAD) gọiH =SA∩F P

Trong mặt phẳng(SCD) gọi K=SC∩P G

Ta cóF ∈M N, F ∈(M N P) nên F P ⊂(M N P)⇒H∈(M N P) Vậy

®

H∈SA

H∈(M N P) ⇒H =SA∩(M N P)

Tương tựK =SC∩(M N P) Nên thiết diện ngũ giác QM N KP H

F

M

N G S

Q

P

B A

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thang với đáy lớn AB Một mặt phẳng (P) quay quanhAB cắt cạnhSC,SD điểm tương ứngE,F

Tìm tập hợp giao điểm I củaAF vàBE

1 2 Tìm tập hợp giao điểm J củaAE vàBF

-Lời giải 1

Phần thuận

Ta cóI =AF ∩BE ⇒

®

I ∈AF I ∈BE Lại có

®

AF ⊂(SAD)

BE ⊂(SBC) ⇒F ∈(SAD)∩(SBC) Trong(ABCD) gọiH =AD∩BC

⇒

®

H∈AD H∈BC ⇒

®

H ∈(SAD) H ∈(SBC) ⇒SH= (SAD)∩(SBC)⇒I ∈SH

Giới hạn

KhiE chạy đến C thìF chạy đếnD vàI chạy đến H KhiE chạy đến S thìF chạy đếnS vàI chạy đến S

H A

D F

B

C E I S

O J

Phần đảo

(11)

Trong(SBH)gọiE =SH∩BI đó(ABEF)là mặt phẳng quay quanh ABcắt cạnh SC,SD tạiE,F I giao điểm củaAF vàBE

Vậy tập hợp điểmI đoạnSH 2 Ta cóJ =AE∩BF ⇒

®

J ∈AE J ∈BF ⇒

®

J ∈(SAC)

J ∈(SBD) ⇒J ∈(SAC)∩(SBD) NhưngSO= (SAC)∩(SBD) nên J ∈SO

KhiE chạy đến chạy đếnC thìF chạy đến Dvà J chạy đếnO KhiE chạy đến S thìF chạy đếnS vàJ chạy đến S

Lập luận tương tự ta có tập hợp điểm J đoạnSO

Ví dụ Cho tứ diệnABCD,Olà điểm thuộc miền tam giácBCD,M điểm cạnh AB

1 Dựng đường thẳng quaM cắt cảAO vàCD

2 GọiN điểm cạnh BC cho ON không song song vớiBD Dựng đường thẳng quaN cắt AOvà DM

-Lời giải

1 Trong(BCD), gọi P =BO∩CD Trong(ABN), gọiI =P M∩AO

Đường thẳng M P đường thẳng qua M cắt cảAOvà CD

A

C O B

M

D P

I

2 Trong(BCD), gọi E=N O∩BD Trong(ABD), gọiG=DM∩AE Trong(N AE), gọi F =AO∩N G

Đường thẳng N Gchính đường thẳng quaN cắt cảAO vàDM A

C

E F

B M

N

O

(12)

D BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài Cho tứ diện ABCD,O điểm thuộc miền tam giácBCD,M điểm đoạnAO 1 Tìm giao tuyến mặt phẳng(M CD) với mặt phẳng(ABC)

2 Tìm giao tuyến mặt phẳng(M CD) với mặt phẳng(ABD)

3 GọiI,J điểm tương ứng cạnh BC vàBD cho IJ khơng song song với CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IJ M) và(ACD)

-Lời giải

1 Trong(BCD) gọiN =DO∩BC, trong(ADN) gọiP =DM∩AN ⇒

®

P ∈DM ⊂(CDM) P ∈AN ⊂(ABC) ⇒P ∈(CDM)∩(ABC) Lại cóC∈(CDM)∩(ABC) ⇒P C = (CDM)∩(ABC)

2 Tương tự, (BCD) gọiQ=CO∩BD, trong(ACQ) gọiR=CM ∩AQ

⇒

®

R∈CM ⊂(CDM) R∈AQ⊂(ABD) ⇒R∈(CDM)∩(ABD)

Mặt khác Dlà điểm chung thứ hai (M CD) và(ABD) nên DR= (CDM)∩(ABD)

B

C A

E

D

F N J

P M Q

O K

G

I

R

c) Trong (BCD) gọi E =BO∩CD,F =IJ∩CD,K =BE∩IJ Trong(ABE) gọi G=KM∩AE Có

®

F ∈IJ ⊂(IJ M)

F ∈CD ⊂(ACD) ⇒F ∈(IJ M)∩(ACD) Ta lại có

®

G∈KM ⊂(IJ M)

G∈AE⊂(ACD) ⇒G∈(IJ M)∩(ACD) Vậy F G= (IJ M)∩(ACD)

Bài Cho tứ diện SABC có D, E trung điểm AC, BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng(α)đi quaAC cắtSE, SB tạiM, N Một mặt phẳng(β)đi quaBC cắtSD, SA tương ứng tạiP vàQ

a) Gọi I =AM∩DN, J =BP∩EQ Chứng minh S, I, J, Gthẳng hàng b) Gọi K=AN ∩DM, L=BQ∩EP Chứng minh S, K, Lthẳng hàng

-Lời giải

1 Ta cóS∈(SAE)∩(SBD) (1) G=AE∩BD⇒

®

G∈AE ⊂(SAE) G∈BD⊂(SBD) ⇒

®

G∈(SAE)

G∈(SBD) (2)

I =AM ∩DN ⇒

®

I ∈DN ⊂(SBD) I ∈AM ⊂(SAE) ⇒

®

I ∈(SBD)

I ∈(SAE) (3)

J =BP ∩EQ⇒

®

J ∈BP ⊂(SBD) J ∈EQ⊂(SAE) ⇒

®

J ∈(SBD) J ∈(SAE) (4)

S

B G

E I

A D C

M N P Q

(13)

Từ (1),(2),(3) (4) ta có S, I, J, G điểm chung hai mặt phẳng (SBD) (SAE) nên chúng thẳng hàng

b) Ta có S∈(SAB)∩(SED.) (1)

K=AN∩DM ⇒

®

K ∈AM ⊂(SAB) K ∈DM ⊂(SED) ⇒

®

K ∈(SAB)

K ∈(SED) (2)

L=BQ∩EP ⇒

®

L∈BQ⊂(SAB) L∈EP ⊂(SED) ⇒

®

L∈(SAB)

L∈(SED) (3)

Từ (1),(2),(3) ta có S, K, L điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SED) nên chúng thẳng hàng

Bài Cho hình chóp tứ giácS.ABCD,M điểm cạnhSC,N cạnhBC Tìm giao điểm đường thẳngSD với mặt phẳng(AM N)

-Lời giải

Ta cóSD⊂(SCD)

Trong (ABCD), gọiE =AN ∩CD Khi đó,(SCD)∩(AM N) =M E Trong (SCD), gọiF =SD∩M E VậyF =SD∩(AM N)

S

C

D M

F

A

B N

E

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD hình bình hành tâmO GọiM, N, P ba điểm cạnhAD, CD, SO Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (M N P)

-Lời giải

S

N

E A B

O K M

T

D

P

C F H

R

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E, K, F giao điểm M N với DA, DB, DC Trong mặt phẳng(SDB) gọi H=KP ∩SB

Trong mặt phẳng(SAB) gọiT =EH∩SA Trong mặt phẳng(SBC) gọiR=F H ∩SC Ta có

®

E ∈M N

H ∈KP Suy EH⊂(M N P) Ta có

®

T ∈SA

T ∈EH Suy raT =SA∩(M N P)

(14)

Bài Cho tứ diệnABDC Hai điểmM,N nằm hai cạnh AB AC cho AM AB 6=

AN AC Một mặt phẳng(P)thay đổi chứa M N, cắt cạnhCD BDlần lượt E F

a) Chứng minhEF qua điểm cố định b) Tìm tập hợp giao điểmI củaM E N F

c) Tìm tập hợp giao điểmJ củaM F N E

-Lời giải

K

E

J F

A

M

B

C

D N

O I

a) Trong(ABC) gọiK =M N∩BC K cố định

®

K ∈M N K ∈BC ⇒

®

K ∈(M N P) K ∈(BCD) Lại cóEF = (P)∩(BCD)⇒K ∈EF

VậyEF ln qua điểm K cố định b) Phần thuận

Trong(P) gọi I =M E∩N F ⇒

®

I ∈M E⊂(M CD)

I ∈N F ⊂(N BD) ⇒I ∈(M CD)∩(N BD) GọiO=CM∩BN ⇒OD= (M CD)∩(N BD)⇒I ∈OD

Giới hạn

KhiE chạy đếnC thìF chạy đến B vàI chạy đến O Khi KhiE chạy đếnD thìF chạy đến Dvà I chạy đếnD

Phần đảo

GọiI điểm đoạnOD, trong(M CD)gọiE =M I∩CD, trong(N BD)gọiF =N I∩BDsuy ra(M N EF)là mặt phẳng quay quanhM N cắt cạnhDB,DC điểmE,F vàI =M E∩N F Vậy tập hợp điểmI đoạnOD

c) Gọi J =M F ∩N E⇒

®

J ∈M F ⊂(ADB)

J ∈N E ⊂(ACD) ⇒J ∈(ADB)∩(ACD) MàAD= (ADC)∩(ADB)

KhiE chạy đếnC thìF chạy đến B vàJ chạy đến A Khi KhiE chạy đếnD thìF chạy đến Dvà I chạy đếnD

Từ ta có tập hợp điểmJ đường thẳng AD trừ điểm đoạnAD

E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

(15)

B Qua3 điểm phân biệt có mặt phẳng

C Qua điểm không thẳng hàng có mặt phẳng

D Qua4 điểm phân biệt có mặt phẳng

-Lời giải

Mệnh đề “Qua2điểm phân biệt có mặt phẳng” sai Vì qua 2điểm phân biệt, tạo 1đường thẳng, chưa đủ điều kiện để lập mặt phẳng xác định Có vơ số mặt phẳng qua 2điểm cho

Mệnh đề “Qua3 điểm phân biệt có mặt phẳng” sai Vì trường hợp3 điểm phân biệt thẳng hàng tạo đường thẳng, có vơ số mặt phẳng qua điểm phân biệt thẳng hàng

Mệnh đề “Qua4 điểm phân biệt có mặt phẳng” sai Vì trường hợp4 điểm phân biệt thẳng hàng có vơ số mặt phẳng qua điểm trường hợp điểm mặt phẳng khơng đồng phẳng tạo khơng tạo mặt phẳng qua 4điểm

Chọn đáp án C

Câu Trong không gian, cho điểm khơng đồng phẳng Có thể xác định mặt phẳng phân biệt từ điểm cho?

A B C D

-Lời giải

Với3điểm phân biệt không thẳng hàng, ta tạo mặt phẳng xác định Khi đó, với 4điểm không đồng phẳng ta tạo tối đaC34= mặt phẳng

Chọn đáp án B

Câu Trong mặt phẳng (α), cho điểm A, B, C, D khơng có điểm thẳng hàng Điểm S khơng thuộc mặt phẳng (α) Có mặt phẳng tạo bởiS điểm nói trên?

A B C D

-Lời giải

Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) điểmA, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C24 cách chọn trong4điểmA, B, C, Dcùng với điểmS lập thành1mặt phẳng xác định Vậy số mặt phẳng tạo là6

Chọn đáp án C

Câu Cho5 điểmA, B, C, D, E khơng có4 điểm đồng phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo 3trong điểm cho?

A 10 B 12 C D 14

-Lời giải

Với3điểm phân biệt không thẳng hàng, ta ln tạo được1mặt phẳng xác định Ta cóC35 cách chọn3điểm trong5 điểm cho để tạo 1mặt phẳng xác định Vậy số mặt phẳng tạo 10

Chọn đáp án A

Câu Các yếu tố sau xác định mặt phẳng nhất?

A Ba điểm phân biệt B Một điểm đường thẳng

C Hai đường thẳng cắt D Bốn điểm phân biệt

-Lời giải

Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai Trong trường hợp3điểm phân biệt thẳng hàng có vơ số mặt phẳng chứa3 điểm thẳng hàng cho

Mệnh đề “Một điểm đường thẳng” sai Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng cho, ta có1 đường thẳng, có vơ số mặt phẳng qua đường thẳng

Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai Trong trường hợp 4điểm phân biệt thẳng hàng có vơ số mặt phẳng qua4điểm trường hợp4điểm mặt phẳng khơng đồng phẳng khơng tạo mặt phẳng qua cả4 điểm

(16)

Câu Cho tứ giác ABCD Có thể xác định mặt phẳng chứa tất đỉnh tứ giác ABCD?

A B C D

-Lời giải

4 điểmA, B, C, D tạo thành1 tứ giác, điểmA, B, C, D đồng phẳng tạo thành1 mặt phẳng mặt phẳng(ABCD)

Chọn đáp án A

A Nếu điểmA, B, C điểm chung mặt phẳng(P) (Q) thìA, B, C thẳng hàng

B Nếu A, B, C thẳng hàng (P),(Q) có điểm chung A B, C điểm chung (P) (Q)

C Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng (P) (Q) phân biệt thìA, B, C khơng thẳng hàng

D Nếu A, B, C thẳng hàng A, B là2 điểm chung (P) (Q) C điểm chung (P) và(Q)

-Lời giải

Hai mặt phẳng phân biệt không song song với chúng có giao tuyến

Mệnh đề “Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng (P) (Q) A, B, C thẳng hàng” sai Vì:

Nếu(P) và(Q) trùng mặt phẳng có vơ số điểm chung Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luậnA, B, C thẳng hàng

Mệnh đề “NếuA, B, C thẳng hàng và(P),(Q)có điểm chung A thìB, C điểm chung (P) và(Q)” sai Vì:

Có vơ số đường thẳng quaA, B, C chưa thuộc giao tuyến (P) và(Q)

Mệnh đề “Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng (P) (Q) phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng” sai Vì:

Hai mặt phẳng (P) (Q) phân biệt giao giao tuyến nhất, điểm A, B, C điểm chung của2 mặt phẳng thìA, B, C thuộc giao tuyến

Chọn đáp án D

Câu Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai?

A Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có vô số điểm chung khác

B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung

C Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung

D Hai mặt phẳng qua3 điểmA, B, C khơng thẳng hàng hai mặt phẳng trùng

-Lời giải

Nếu2mặt phẳng trùng nhau, 2mặt phẳng có vơ số điểm chung chung vô số đường thẳng

Chọn đáp án B

Câu Cho đường thẳngd1, d2, d3 không thuộc mặt phẳng cắt đôi Khẳng định

nào sau đúng?

A 3đường thẳng đồng quy

B 3đường thẳng trùng

C 3đường thẳng chứa cạnh tam giác

D Các khẳng định A, B, C sai

-Lời giải

Nếu3đường thẳng trùng chúng thuộc 1mặt phẳng

(17)

Chọn đáp án A

2 TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG

Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD(ABkCD) Khẳng định sau

sai?

A Hình chóp S.ABCDcó mặt bên

B Giao tuyến hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)là SO (O giao điểm củaAC vàBD)

C Giao tuyến hai mặt phẳng(SAD) và(SBC)là SI (I giao điểm củaAD BC)

D Giao tuyến hai mặt phẳng(SAB) và(SAD) đường trung bình củaABCD

-Lời giải

Hình chópS.ABCDcó mặt bên:(SAB),(SBC),(SCD),(SAD) điểm chung thứ hai mặt phẳng (SAC) (SBD)

®

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC)

O ∈BD⊂(SBD)⇒O ∈(SBD) ⇒ O điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)

⇒(SAC)∩(SBD) =SO

Tương tự, ta có(SAD)∩(SBC) =SI

(SAB)∩(SAD) =SA màSAkhơng phải đường trung bình hình thangABCD

Vậy “Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SAD) đường trung bình củaABCD” mệnh đề sai

S

O

I A

D C

B

Chọn đáp án D

Câu 11 Cho tứ diện ABCD GọiG trọng tâm tam giácBCD Giao tuyến mặt phẳng(ACD) và(GAB)

A AM (M trung điểm AB) B AN (N trung điểm CD)

C AH (H hình chiếu củaB CD) D AK (K hình chiếu C BD)

-Lời giải

Alà điểm chung thứ hai mặt phẳng(ACD) và(GAB) Ta cóBG∩CD=N

⇒

®

N ∈BG⊂(ABG)⇒N ∈(ABG) N ∈CD⊂(ACD)⇒N ∈(ACD)

⇒N điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(ACD)và (GAB) Vậy(ABG)∩(ACD) =AN

A

C G

B D

Chọn đáp án B

Câu 12 Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) chứa tam giácBCD.LấyE, F điểm nằm cạnh AB, AC Khi EF BC cắt I I khơng phải điểm chung hai mặt phẳng sau đây?

A (BCD) và(DEF) B (BCD) và(ABC) C (BCD)và (AEF) D (BCD) và(ABD)

(18)

ĐiểmI giao điểm EF vàBC, mà

  

 

EF ⊂(DEF) EF ⊂(ABC) EF ⊂(AEF)

⇒   

 

I = (BCD)∩(DEF) I = (BCD)∩(ABC) I = (BCD)∩(AEF)

A

I C B

E

F D

Chọn đáp án D

Câu 13 Cho tứ diệnABCD GọiM, N trung điểm củaAC, CD Giao tuyến hai mặt phẳng (M BD) và(ABN)

A đường thẳngM N

B đường thẳngAM

C đường thẳng BG (Glà trọng tâm tam giác ACD)

D đường thẳngAH (H trực tâm tam giácACD)

-Lời giải

B điểm chung thứ hai mặt phẳng(M BD) và(ABN) VìM, N trung điểm AC, CD nên suy AN, DM hai trung tuyến tam giácACD

GọiG=AN ∩DM ⇒

®

G∈AN ⊂(ABN)⇒G∈(ABN) G∈DM ⊂(M BD)⇒G∈(M BD) ⇒Glà điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(M BD)và(ABN) Vậy(ABN)∩(M BD) =BG

A

C

N

B D

M G

Chọn đáp án C

Câu 14 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểmAD vàBC Giao tuyến hai mặt phẳng (SM N) và(SAC)

A SD B SO (O tâm hình bình hànhABCD)

C SG(Glà trung điểm AB) D SF (F trung điểm CD)

-Lời giải

S điểm chung thứ hai mặt phẳng (SM N) (SAC)

GọiO=AC∩BDlà tâm hình hình hành Trong mặt phẳng(ABCD), gọi T =AC∩M N ⇒

®

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC) O ∈M N ⊂(SM N)⇒O ∈(SM N)

⇒Olà điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SM N)và(SAC) Vậy(SM N)∩(SAC) =SO

S

M

B N C

O

A D

Chọn đáp án B

Câu 15 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiI, J trung điểmSA, SB Khẳng định sau sai?

(19)

C (SBD)∩(J CD) =J D (IAC)∩(J BD) =AO (O tâm ABCD)

-Lời giải

Ta cóIJ đường trung bình tam giác SAB ⇒IJkABkCD⇒IJ kCD ⇒IJ CDlà hình thang Ta có

®

IB⊂(SAB)

IB⊂(IBC) ⇒(SAB)∩(IBC) =IB Ta có

®

J D⊂(SBD)

J D⊂(J BD) ⇒(SBD)∩(J BD) =J D

Trong mặt phẳng (IJ CD), gọiM =IC∩J D ⇒ (IAC)∩ (J BD) =M O

S

M I

B C

O A

J

D

Chọn đáp án D

Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD(ADkBC) Gọi M trung điểm CD Giao tuyến hai mặt phẳng(M SB)và (SAC)

A SI (I giao điểm AC vàBM) B SJ (J giao điểm AM vàBD)

C SO (O giao điểm AC vàBD) D SP (P giao điểm AB vàCD)

-Lời giải

S điểm chung thứ hai mặt phẳng(M SB) (SAC)

Ta có

®

I ∈BM ⊂(SBM)⇒I ∈(SBM) I ∈(AC)∈(SAC)⇒I ∈(SAC)

⇒I điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SAC) và(SAC) Vậy(M SB)∩(SAC) =SI

S

I

B C

A D

M

Chọn đáp án A

Câu 17 Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi I, K trung điểm AD B Giao tuyến của(IBC) và(KAD)

A IK B BC C AK D DK

-Lời giải

ĐiểmK trung điểm củaBC suy K∈(IBC)⇒IK ⊂(IBC) ĐiểmI trung điểm AD suy raI ∈(KAD)⇒IK ⊂(KAD) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng(IBC) (KAD) làIK

A I

C K

B D

Chọn đáp án A

Câu 18 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với Gọi giao điểm củaAC vàBD Trên cạnhSB lấy điểmM Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(ADM) và(SAC)

A SI B AE,E giao điểm DM vàSI)

C DM D DE,E giao điểm DM vàSI)

(20)

Ta cóAlà điểm chung thứ (ADM) (SAC) Trong mặt phẳng(SBD), gọi E=SI∩DM Ta có:

E∈SI màSI ⊂(SAC)suy E ∈(SAC) E∈DM màDM ⊂(ADM) suy raE ∈(ADM) Do E điểm chung thứ hai (ADM) và(SAC) VậyAE giao tuyến của(ADM) và(SAC)

S M

C D

I

A B

E

Chọn đáp án B

Câu 19 Cho tứ diện ABCDvà điểm M thuộc miền tam giác ACD GọiI J hai điểm cạnhBC vàBD choIJ không song song vớiCD Gọi H, K giao điểm củaIJ với CD củaM H vàAC Giao tuyến hai mặt phẳng(ACD) và(IJ M)

A KI B KJ C M I D M H

-Lời giải

Trong mặt phẳng(BCD), IJ cắtCD H⇒H ∈(ACD) ĐiểmH ∈IJ suy bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng Nên mặt phẳng(IJ M),

M H cắtIJ tạiH vàM H ⊂(IJ M) Mặt khác

®

M ∈(ACD)

H∈(ACD) ⇒M H ⊂(ACD) Vậy(ACD)∩(IJ M) =M H

A

I

D H

J C

M K

B

Chọn đáp án A

Câu 20 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BDlấy điểm P cho BP = 2P D Giao điểm đường thẳngCD mặt phẳng(M N P)là giao điểm

A CD vàN P B CD vàM N C CD M P D CD AP

-Lời giải

Cách Xét mặt phẳng BCD chứa CD Do N P không song song CD nên N P cắt CD E Điểm E ∈ N P ⇒ E ∈ (M N P) Vậy CD∩(M N P) E

Cách Ta có

®

N ∈BC

P ∈BD ⇒ N P ⊂ (BCD) suy N P, CD đồng phẳng Gọi E giao điểm N P CD mà N P ⊂ (M N P) suy CD∩(M N P) =E

Vậy giao điểm củaCD (M N P) giao điểm E củaN P vàCD

A

E

C N

P B

M

D

Chọn đáp án A

Câu 21 Cho tứ diệnABCD GọiE vàF trung điểm củaAB vàCD;Glà trọng tâm tam giác BCD Giao điểm đường thẳngEG mặt phẳng(ACD)

A Điểm F B Giao điểm đường thẳng EGvà AF

(21)

-Lời giải

VìGlà trọng tâm tam giác BCD,F trung điểm CD ⇒G∈(ABF)

Ta cóE trung điểm AB ⇒E∈(ABF)

Gọi M giao điểm EG AF mà AF ⊂ (ACD) suy M ∈ (ACD)

Vậy giao điểm củaEGvà (ACD) làM =EG∩AF

A

C

M G

B E

D F

Chọn đáp án B

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC Gọi I giao điểm củaAM với mặt phẳng(SBD) Mệnh đề đúng?

A IA# »=−2IM# » B IA# »=−3IM# » C IA# »= 2IM# » D IA= 2,5IM

-Lời giải

GọiO tâm hình bình hànhABCD suy O trung điểm AC NốiAM cắtSO I màSO ⊂(SBD)suy I =AM∩(SBD) Tam giácSAC cóM, Olần lượt trung điểm củaSC, AC MàI =AM∩SO suy raI trọng tâm tam giácSAC ⇒AI =

3AM ⇔IA= 2IM Điểm I nằm Avà M suy raIA# »= 2M I# »=−2IM# »

S

M

B C

O A

I

D

Chọn đáp án A

Câu 23 Cho tứ giác ABCD có AC BD giao O điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD) Trên đoạnSC lấy điểmM không trùng vớiS vàC Giao điểm đường thẳngSDvới mặt phẳng(ABM)

A Giao điểm SDvà AB

B Giao điểm SDvà AM

C Giao điểm SDvà BK (với K =SO∩AM)

D Giao điểm SDvà M K (với K=SO∩AM)

(22)

Chọn mặt phẳng phụ(SBD) chứaSD

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(SBD) (ABM) Ta cóB điểm chung thứ của(SBD)và (ABM)

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi O =AC∩BD Trong mặt phẳng (SAC), gọiK =AM∩SO Ta có:

– K∈SO màSO ⊂(SBD) suy raK ∈(SBD)

– K∈AM màAM ⊂(ABM) suy raK ∈(AM B)

Suy K điểm chung thứ hai BCD (M N P) Do (SBD)∩(ABM) =BK

Trong mặt phẳng(SBD), gọiN =SD∩BK Ta có:N ∈BK, mà BK∩(ABM) suy raN ∩(ABM) Mặt khác N ∈SD

VậyN =SD∩(ABM)

S

M N

B

C O

A

K

D

Chọn đáp án C

Câu 24 Cho bốn điểm A, B, C, S không mặt phẳng GọiI, H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểmK cho IK không song song vớiAC (K không trùng với đầu mút) Gọi E giao điểm đường thẳngBC với mặt phẳngIHK Mệnh đề sau đúng?

A E nằm ngồi đoạnBC phíaB B E nằm ngồi đoạnBC phía C

C E nằm đoạnBC D E nằm đoạnBC vàE6=B, E6=C

-Lời giải

Chọn mặt phẳng phụ(ABC) chứaBC

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (IHK) Ta có H điểm chung thứ (ABC) (IHK) Trong mặt phẳng (SAC), IK không song song với AC nên gọi F = IK∩AC Ta có:

S

B H

E

F C

K I

A

F ∈AC màAC ⊂(ABC) suy F ∈(ABC) F ∈IK mà IK ⊂(IHK) suy raF ∈(IHK)

Suy raF điểm chung thứ hai (ABC) và(IHK) Do (ABC)∩(IHK) =HF Trong mặt phẳng(ABC), gọi E=HF ∩BC Ta có:

E∈HF màHF ⊂(IHK)suy E ∈(IHK) E∈BC

Vậy E=BC∩(IHK)

Chọn đáp án D

3 THIẾT DIỆN

Câu 25 Cho tứ diện ABCD GọiM, N trung điểm cạnh AB AC, E điểm cạnh CD vớiED= 3EC.Thiết diện tạo mặt phẳng (M N E) tứ diện ABCDlà

A Tam giácM N E

(23)

C Hình bình hànhM N EF với F điểm cạnh BDmà EF kBC

D Hình thang M N EF với F điểm cạnh BD màEF kBC

-Lời giải

Tam giácABC có M, N trung điểm AB, AC Suy raM N đường trung bình tam giácABC ⇒M N kBC TừE kẻ đường thẳngdsong song vớiBC cắtBD tạiF ⇒EF kBC Do đóM N kEF suy bốn điểmM, N, E, F đồng phẳng vàM N EF hình thang

Vậy hình thangM N EF thiết diện cần tìm

A

C E F

B D

N M

Chọn đáp án D

Câu 26 Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trung điểm cạnh AB, BC Trên đường thẳngCD lấy điểmM nằm đoạnCD Thiết diện tứ diện với mặt phẳng(HKM)

A Tứ giác HKM N vớiN ∈AD

B Hình thang HKM N vớiN ∈AD vàHK kM N

C Tam giác HKL vớiL=KM∩BD

D Tam giác HKL vớiL=HM∩AD

-Lời giải

Ta cóHK, KM đoạn giao tuyến của(HKM) với (ABC) (BCD) Trong mặt phẳng (BCD), KM không song song vớiBD nên gọiL= KM∩BD

Vậy thiết diện tam giácHKL

A

M

C

D L B

H

K

Chọn đáp án C

Câu 27 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằnga(a >0) Các điểm M, N, P trung điểm củaSA, SB, SC.Mặt phẳng (M N P)cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích

A a2 B a

2

2 C

a2

4 D

a2 16

-Lời giải

GọiQlà trung điểm SD

Tam giác SAD có M, Q trung điểm SA, SD suy raM QkAD

Tam giácSBC cóN, P trung điểm củaSB, SC suy N P kBC

Mặt khácADkBC suy raM QkN P vàM Q=N P ⇒M N P Q hình vng

Khi M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (M N P) cắt SD Q M N P Q thiết diện hình chópS.ABCD với(M N P) Vậy diện tích hình vngM N P Q

SM N P Q=

SABCD

4 = a2

4

S

Q M

B C

O A

N

P

D

(24)

Câu 28 Cho tứ diện ABCD có cạnh bằnga Gọi Glà trọng tâm tam giácABC Mặt phẳng (GCD) cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích

A a

2√3

2 B

a2√2

4 C

a2√2

6 D

a2√3

-Lời giải

GọiM, N trung điểm AB, BC suy AN ∩M C =G Dễ thấy mặt phẳng(GCD) cắt đường thắng AB điểmM

Suy tam giác M CD thiết diện mặt phẳng (GCD) tứ diện ABCD

Tam giácABD đều, cóM trung điểmAB suy M D= a √

3 Tam giácABC đều, cóM trung điểm AB suy M C = a

√

A

C

N H

B

G

D M

GọiH trung điểm củaCD ⇒M H ⊥CD ⇒S∆M CD=

1

2·M H ·CD VớiM H =√M C2−HC2 =

…

M C2−CD

4 = a√2

2 VậyS∆M CD =

1 2·

a√2 ·a=

a2√2

Chọn đáp án B

Câu 29 Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh 2a GọiM, N trung điểm cạnh AC,BC,P trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng(M N P) cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích

A a

2√11

2 B

a2√2

4 C

a2√11

4 D

a2√3

-Lời giải

Trong tam giác BCD có: P trọng tâm, N trung điểm BC Suy N, P, D thẳng hàng Vậy thiết diện tam giácM N D

Xét tam giác M N D, ta có M N = AB

2 = a; DM = DN =

AD√3 = a√3

Do tam giácM N D cân tạiD

GọiH trung điểm M N suy DH⊥M N Diện tích tam giác

S4M N D =

1

2M N·DH = 2M N·

p

DM2−M H2 = a 2√11

4

A

C N P B

M

D

Chọn đáp án C

4 BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Câu 30 Cho tứ diện ABCD GọiM, N trung điểm củaAB CD Mặt phẳng (α) qua M N cắtAD, BC P vàQ BiếtM P cắtN Q tạiI Ba điểm sau thẳng hàng?

A I, A, C B I, B, D C I, A, B D I, C, D

(25)

Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD Lại có

®

I ∈M P ⊂(ABD) I ∈N Q⊂(BCD)

⇒I thuộc giao tuyến của(ABC) và(BCD) ⇒I ∈BD⇒I, B, D thẳng hàng

A

P D

C

Q N

B M

I

Chọn đáp án B

Câu 31 Cho tứ diện SABC GọiL, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC Mặt phẳng (LM N) cắt cạnh AB, BC, SC tạiK, I, J Ba điểm sau thẳng hàng?

A K, I, J B M, I, J C N, I, J D M, K, J

-Lời giải Ta có

M ∈SB suy M điểm chung của(LM N) và(SBC) I điểm chung của(LM N) và(SBC)

J điểm chung của(LM N) và(SBC)

Vậy M, I, J thẳng hàng thuộc giao tuyến của(LM N) (SBC)

S

N C

K B

J I

A

M L

Chọn đáp án B

Câu 32 Cho tứ diện ABCD GọiGlà trọng tâm tam giác BCD,M trung điểm CD,I điểm đoạn thẳngAG, BI cắt mặt phẳng(ACD) J Khẳng định sau đâysai?

A AM = (ACD)∩(ABG) B A, J, M thẳng hàng

C J trung điểm AM D DJ = (ACD)∩(BDJ)

-Lời giải

Ta cóAlà điểm chung thứ hai mặt phẳng (ACD) và(GAB) DoBG∩CD =M ⇒

®

M ∈BG⊂(ABG)⇒M ∈(ABG) M ∈CD⊂(ACD)⇒M ∈(ACD)

⇒M điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(ABG)và (ACD) ⇒(ABG)∩(ACD) =AM

Ta có   

 

BI ⊂(ABG) AM ⊂(ABM)

(ABG)≡(ABM)

⇒AM, BI đồng phẳng ⇒J =BI∩AM ⇒A, J, M thẳng hàng

A

J

C G

M I

B

Ta có

®

DJ ⊂(ACD)

DJ ⊂(BDJ) ⇒DJ = (ACD)∩(BDJ) Điểm I di động trênAG nên J khơng phải trung điểm củaAM

(26)

Câu 33 Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G điểm thuộc cạnh AB, AC, BD cho EF cắtBC tạiI, EGcắtAD H Ba đường thẳng sau đồng quy?

A CD, EF, EG B CD, IG, HF C AB, IG, HF D AC, IG, BD

-Lời giải

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳngd1, d2, d3đồng

quy ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng d1 vàd2

là điểm chung hai mặt phẳng (α) (β); đồng thời d3

là giao tuyến(α) và(β) GọiO=HF ∩IG Ta có:

O∈HF màHF ⊂(ACD) suy O∈(ACD) O∈IGmà IG⊂(BCD) suy O∈(BCD) Do O∈(ACD)∩(BCD) (1)

Mà (ACD)∩(BCD) = CD (2) Từ (1) (2), suy O ∈ CD

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy

A

F

C I

H

O D B

E

G

Chọn đáp án B

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD khơng phải hình thang Trên cạnh SC lấy điểm Gọi giao điểm đường thẳngSDvới mặt phẳng Mệnh đề sau đúng?

A Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi song song

B Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi cắt

C Ba đường thẳngAB, CD, M N đồng quy

D Ba đường thẳngAB, CD, M N thuộc mặt phẳng

-Lời giải

Gọi I = AD ∩BC Trong mặt phẳng (SBC), gọi K = BM ∩SI Trong mặt phẳng (SAD), gọi N = AK∩SD

Khi N giao điểm đường thẳng SDvới mặt phẳng(AM B) GọiO=AB∩CD Ta có:

O∈ABmàAB⊂(AM B)suy raO∈(AM B) O∈CD màCD ⊂(SCD) suy O∈(SCD) Do O∈(AM B)∩(SCD) (1)

Mà(AM B)∩(SCD) =M N (2) Từ(1)và (2), suy raO ∈M N

Vậy ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy

S

K M

I

O B

C A

N

D

Chọn đáp án C

Câu 35 Khi cắt hình chóp tứ giácS.ABCDbởi mặt phẳng, thiết diện khơngthể hình nào?

A Ngũ giác B Lục giác C Tam giác D Tứ giác

(27)

Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm mặt (SAB), (SBC), (SCD),(SAD)và (ABCD) nên thiết diện tứ giác có tối đa5 cạnh Do thiết diện khơng thể hình lục giác

C D

S

A B

Chọn đáp án B

Câu 36 Cho hai đường thẳng avàb Điều kiện sau đủ để kết luận avà bchéo nhau?

A avàb khơng nằm mặt phẳng

B avàb khơng có điểm chung

C avàb hai cạnh tứ diện

D avàb nằm hai mặt phẳng phân biệt

-Lời giải

avàb khơng nằm mặt phẳng thìavà blà hai đường thẳng chéo

Chọn đáp án A

Câu 37 Tứ diện ABCD có cạnh?

A B C D

-Lời giải

Ta thấy tứ diệnABCD có cạnh

C

D A

B

Chọn đáp án B

Câu 38 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

B Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung

C Hai đường thẳng khơng song song chéo

D Hai đường thẳng không cắt khơng song song chéo

-Lời giải

Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo song song

Hai đường thẳng không song song chéo cắt trùng Hai đường thẳng không cắt không song song chéo trùng Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung câuđúng

Chọn đáp án B

Câu 39 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnha Các điểmE vàF trung điểm củaC0B0 vàC0D0 Tính diện tích thiết diện khối lập phương cắt mặt phẳng (AEF)

A 7a

2√17

24 B

a2√17

4 C

a2√17

8 D

7a2√17 12

(28)

Thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (AEF) ngũ giác AKEF H

Ta chia ngũ giácAKEF H thành hai phần: hình thang cânEF HK đáy EF tam giác AHK cân tạiA Khi đóSAKEF H =SEF HK+S4AHK

Vì4J D0H v4ADH (g−g) ⇒ D

0H DH =

D0J DA =

1 Suy raD0H =

3DD =

3a

A B

D0 C0

D C

B0 I K J M H E F A0

Tính diện tích4AHK

Xét4ADH vng tạiD, ta có AH2=AD2+DH2=a2+4a

2

9 = 13a2

9 ⇒AH = a√13

3 Ta cóHK=B0D0 =a√2

Do nửa chu vi4AHK làp= AH+AK+HK

2 =

2√13 + 3√2 Khi đóS4AHK=

p

p(p−AH)(p−AK)(p−HK) = a

2√17

6

Tính diện tích hình thangEF HK KẻF M ⊥HK Ta cóEF =

2B

0D0 = a

√ 2 DoEF HK hình thang cân nên HM =

2(HK−EF) =

Ç

a√2−a √ 2 å = a √ Xét4HD0F vuông tạiD0, ta có HF2 =HD02+D0F2 = a

2 + a2 = 13a2 36 Xét4F M H vuông M, ta có F M2=F H2−M H2 = 13a

2

36 − a2

8 = 17a2

72 ⇒F M = a√34

12

VậySEF HK =

F M ·(EF +HK)

2 =

Ç

a√2 +a √

2

å

a√34 12

2 =

a2√17

Vậy diện tích ngũ giác AKEF H làSAKEF H =S4AHK+SEF HK =

a2√17 +

a2√17 =

7a2√17 24

Chọn đáp án A

Câu 40

Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằng2 GọiGlà trọng tâm tam giácABC Cắt tứ diện mặt phẳng(GCD) Tính diện tích thiết diện

A √3 B 2√3 C √2 D

√ D B G A C

(29)

Thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng(GCD) là∆N CD CóAM =CN = AB

√ =

√ ⇒AG=

3AM = 2√3

3

Xét∆DGAvng Gcó:DG=√DA2−AG2 =

√ NênS∆N CD =

1

2DG·CN = √

2

D

B G

A C

N M

Chọn đáp án C

Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm củaBC, CD, SA Mặt phẳng(M N P) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện

A Tam giác B Lục giác C Ngũ giác D Tứ giác

-Lời giải

GọiI, J giao đường thẳngM N vàAB, AD GọiF giao điểm đường thẳngSB vàP I GọiE giao điểm đường thẳngSD vàP J Khi thiết diện hình chópS.ABCDcắt mặt phẳng(M N P)là ngũ giác M N EP F

S

B

D J

E

C

I P

F A

N

M

Chọn đáp án C

Câu 42 Hãy chọn mệnh đề đúngtrong mệnh đề sau

A Nếu mặt phẳng cắt hai đường thẳng song song mặt phẳng cắt đường thẳng lại

B Hai mặt phẳng qua hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng

C Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song đường thẳng cắt đường thẳng cịn lại

D Hai mặt phẳng có điểm chung cắt theo giao tuyến qua điểm chung

-Lời giải

Ta có tính chất sau: Nếu mặt phẳng cắt hai đường thẳng song song mặt phẳng cắt đường thẳng cịn lại

Chọn đáp án A

Câu 43 Cho hai đường thẳng phân biệt a;b mặt phẳng(α) Hãy chọn mệnh đềđúngtrong mệnh đề sau

A Nếuak(α) vàbk(α) akb B Nếu ak(α) b⊥(α) a⊥b

C Nếu ak(α) vàb⊥athì b⊥(α) D Nếuak(α) b⊥a thìbk(α)

-Lời giải - Với

®

ak(α)

bk(α) achưa song song vớib, khia,bcùng nằm mặt phẳng chúng cắt nhau⇒ đáp án sai

- Với

®

ak(α)

b⊥a b chưa vng góc với(α), b nằm mặt phẳng vớia thìbk(α) ⇒ đáp án sai

- Với

®

ak(α)

(30)

- Với

®

ak(α)

b⊥(α) ⇒a⊥b⇒ đáp án

Chọn đáp án B

Câu 44 Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cạnh a Gọi I,J trung điểm CA,CB.K điểm cạnh SA choKA= 2KS Thiết diện mặt phẳng(IJ K) với hình chóp có diện tích

A a

2√51

144 B

5a2√51

288 C

5a2√51

144 D

a2√51 288

-Lời giải

K

B J

C S

A I

H

Thiết diện hình thang cân IJ HK có Đáy lớnIJ = a

2 Đáy nhỏHK= a

3

Cạnh bênHJ2 =BH2+BJ2−2BH·BJ·cos 60◦ = 13a2 36 Chiều caoh2 =HJ2−

ÅIJ−HK

2

ã2

= 13a

2

36 − a2

144 = 51a2

144 ⇒h= a√51

12 Vậy diện tích thiết diện làS= (HK+IJ)h

2 =

5a2√51 144

Chọn đáp án C

Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành Gọi M,N,P trung điểm củaBC,CD,SA Mặt phẳng(M N P) cắt hình chóp theo thiết diện hình

A Tam giác B Lục giác C Ngũ giác D Tứ giác

-Lời giải

GọiI,J giao đường thẳngM N vàAB, AD

GọiF =SB∩P I;E =SD∩P J

Khi thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (M N P)là ngũ giác M N EP F

A

B C

D M

N S

F

I

P

E

J

(31)

Câu 46 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hànhABCD Giao tuyến hai mặt phẳng(SAD) và(SBC)là đường thẳng song song với đường thẳng sau đây?

A AC B BD C AD D SC

-Lời giải

Do BC k AD nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) đường thẳng qua điểm S song song với AD

S

A

D C

B

Chọn đáp án C

Câu 47 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm AD BC Giao tuyến (SM N) (SAC) là:

A SK (K trung điểm củaAB) B SO (O tâm hình bình hànhABCD)

C SF (F trung điểm CD) D SD

-Lời giải

Ta cóS∈(SM N)∩(SAC) (1) Trong mặt phẳng(ABCD), gọiO=AC∩BD Suy raO điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SM N) và(SAC) (2) Từ (1) (2) suy SO giao tuyến hai mặt phẳng (SM N) (SAC)

S

M

B C

O N

D A

Chọn đáp án B

Câu 48 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC; G trọng tâm 4BCD Khi đó, giao điểm đường thẳngM Gvà mp (ABC)

A ĐiểmA

B Giao điểm đường thẳngM Gvà đường thẳng AN

C Điểm N

D Giao điểm đường thẳngM Gvà đường thẳng BC

(32)

Trong mặt phẳng(AN D) :AN ∩M G=E E∈AN, AN ⊂(ABC)⇒E ∈(ABC) E∈M G

⇒E=M G∩(ABC)

Vậy giao điểm đường thẳngM Gvà mặt phẳng (ABC)là E,(E =AN ∩M G)

A

B D

M

E

G C N

Chọn đáp án B

Câu 49 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC’ = 30◦ Mặt

phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn thẳng SA M cho SM = 2M A Diện tích thiết diện (P) hình chópS.ABC

A 25

9 B

14

9 C

16

9 D

-Lời giải

QuaM dựng mặt phẳng song song với (ABC) cắtSB, SC N, P Khi M N

AB = SM

SA =

3 Tương tự ta có N P BC =

2 3,

M P AC =

2 4ABC 4M N P đồng dạng với tỉ số

k=

3 ⇒S∆U N P =

4

6S∆ABC = 9·

1

2 ·AB·AC·sinBAC = 16

9

S

N

B A

M

C P

Chọn đáp án C

Câu 50 Hình chóp tam giác có số cạnh

A B C D

-Lời giải

Xét hình chóp tam giác S.ABC có cạnh SA,SB,SC,AB, BC CA Vậy hình chóp có số cạnh là6

A B

C S

Chọn đáp án B

(33)

A B 12 C 20 D

-Lời giải

Hình chóp tứ giác có4 cạnh bên 4cạnh đáy nên có cạnh

Chọn đáp án A

Câu 52 Hình chóp tam giác có số cạnh

A B C D

-Lời giải

Xét hình chóp tam giác S.ABC có cạnh SA,SB,SC,AB, BC CA Vậy hình chóp có số cạnh là6

A B

C S

Chọn đáp án B

Câu 53 Hình chóp tứ giác có tất cạnh?

A B 12 C 20 D

-Lời giải

Hình chóp tứ giác có4 cạnh bên 4cạnh đáy nên có cạnh

Chọn đáp án A

Câu 54 Cho tứ diệnS.ABC Trên cạnhSA, SB, AC lấy điểmD, E, F choDE vàAB khơng song song Tìm giao điểm M củaBC (DEF)

A M với M =DF ∩BC B M vớiM =DE∩BC

C M với M =N F ∩BC, N =DE∩AB D M vớiM =EF ∩BC

-Lời giải

Do DE không song song AB nên DE∩AB = N ⇒ N ∈(DEF)

GọiM =N F ∩BC ⇒

®

M ∈N F M ∈BC (1) Mặt khácN F ⊂(DEF) (2)

Từ (1) (2) suy M = BC ∩ (DEF) với M = N F ∩BC, N =DE∩AB

C

A F S

E

B N

D

M

Chọn đáp án C

Câu 55 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA= 1, SB= 2, SC = Gọi Glà trọng tâm tam giácABC Mặt phẳng(P) qua trung điểm củaSGcắt cạnh SA, SB, SC tạiA0, B0, C0 Tính giá trị nhỏ biểu thức T =

SA02 +

1 SB02 +

1 SC02

A

18 B C

18

7 D

49 36

(34)

GọiM trung điểm BC M0 =SM ∩(P), Ta chứng minh SB

SB0 + SC SC0 =

SM SM0

DựngBE kCF kB0C0 ⇒M trung điểm củaEF Khi SB

SB0 = SE SM0

SC SC0 =

SF SM0

⇒ SB SB0 +

SC SC0 =

SE+SF SM0 =

SM SM0

Một cách tương tự áp dụng vào tam giácSAM ta có SA SA0 +

2SM SM0 =

3SG SI Khi

SA0 + SB0 +

3 SC0 =

3SG

SI = (với I trung điểm SG)

B S C M B0 C0 E F M0

Ta có36≤ + 22+ 32

Å

1 SA02 +

1 SB02 +

1 SC02

ã

⇒ SA02 +

1 SB02 +

1 SC02 ≥

36 14 =

18

Chọn đáp án C

Câu 56 Khối lăng trụ bát giác có tất đỉnh?

A B 16 C 24 D 12

-Lời giải

Khối lăng trụ bát giác có16 đỉnh

Chọn đáp án B

Câu 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm AB, AD vàGlà trọng tâm tam giác SBD Mặt phẳng(M N G) cắtSC điểm H Tính SH

SC

A

5 B

1

4 C

1

3 D

2

-Lời giải

GọiO tâm hình bình hành ABCD,I giao điểm củaM N vàAC

Ta có IG cắt SC H

®

H ∈IG⊂(M N G)

H ∈SC ⇒ H = SC∩(M N G)

Xét tam giác SOC có I,G, H thẳng hàng suy theo định lý Menelaus ta IO

IC · GS GO ·

HC HS = Mà IO

IC = 3,

GS

GC = suy HC HS =

3 Vậy

SH SC = A M G B C D S H I O N

Chọn đáp án A

Câu 58 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 3a,ASB’ = CSB’ = 60◦,CSA’ = 90◦ Gọi G

trọng tâm tam giácABC Tính độ dài đoạn thẳngSG

A a √

5

3 B

a√15

3 C

a√7

3 D a √

3

(35)

Tam giác SAB nên AB = a, tam giác SAC vuông S nên AC=a√10

Áp dụng định lý hàm sốcosvào tam giácSBC tính đượcBC =a√7 GọiM trung điểm AC, ta có SM = AC

2 = a√10

2 Xét4ABC :BM = a

√

2 ⇒ BG= 3BM =

a√6

Xét4SBM :SB2+BM2 =SM2 nên tam giác SBM vuông tạiB Xét4SBG:

SG2 =SB2+BG2 =a2+2a

2

3 = 5a2

3 ⇒SG= a√15

3 A S C B M G

Chọn đáp án B

Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành M, N trung điểm AB, SC I giao điểm củaAN với(SBD),J giao điểm củaM N với(SBD) Tính tỉ số IB

IJ

A B C

2 D

11

-Lời giải

Gọi O = AC ∩BD, SO∩AN = I Suy I = AN∩(SBD) Trong mặt phẳng(ABN), gọiBI∩ M N =J hay M N∩(SBD) =J

Xét tam giác SAC có AN, SO trung tuyến nênI trọng tâm tam giácSAChay AI

AN = Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IAB với M, J, N thẳng hàng: N I

N A · M A M B ·

J B

J I = ⇔

3· 1 ·

J B

J I = hay J B

J I = suy IB IJ =

A M I B O J C D N S

Chọn đáp án A

Câu 60 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SD, N trọng tâm giácSAB Đường thẳng M N cắt mặt phẳng(SBC) điểm I Tính tỉ số IN

IM

A

4 B

1

3 C

1

2 D

2

-Lời giải

GọiE trung điểm củaAB F giao điểm DE với BC Khi đó(SDE)∩(SBC) =SF

Trong tam giác F CD có EB đường trung bình nên E trung điểmDF Khi tam giác SDF có F M, SE trung tuyến SN

SE =

(36)

Mặt khác, theo I giao điểm củaM N với (SBC) nên I trùng vớiF, hay IN IM =

2

Chọn đáp án D

Câu 61 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật tâmO, điểm M nằm cạnhSB cho SM =

3SB Giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (M AC) nằm đường thẳng sau đây?

A Đường thẳngM C B Đường thẳngM O C Đường thẳngM A D Đường thẳng AC

-Lời giải

Trong (SBD) gọiI =SD∩OM Khi đó,I =SD∩(AM C)

A B

C D

O S

I

M

Chọn đáp án B

Câu 62 Cho tứ diện ABCD GọiG trọng tâm tam giácBCD, M trung điểm CD, I điểm đoạn thẳngAG Đường thẳng BI cắt mặt phẳng(ACD) tạiJ Khẳng định sau đâysai?

C DJ = (ACD)∩(BDJ) D J trung điểm củaAM

-Lời giải

Trong mặt phẳng(AM B) nốiBI cắtAM tạiJ ⇒J =BI∩(ACD) J trung điểm AM khẳng định sai

Thật giả sử J trung điểm AM Gọi N trung điểm BM , K trung điểmJ M,KN cắtAG H

Khi đóAJ =

3AK ⇒IH = 2AI GN

GB =

4 ⇒GH = 4GI Cộng vế ta

4GI = 2AI ⇒

AI AG =

3 DoI trênAG nên khẳng định sai

A

D

C M G N

B I

J K

H

Chọn đáp án D

Câu 63 Cho tứ diện ABCDvàM, N, P nằm cạnh AB, AC, AD mà không trùng với đỉnh tứ diện Thiết diện tứ diệnABCD cắt mặt phẳngM N P là:

A Một tam giác B Một ngũ giác C Một đoạn thẳng D Một tứ giác

-Lời giải

Thiết diện tứ diện ABCDkhi cắt mặt phẳng (M N P) tam giác 4M N P

Chọn đáp án A

Câu 64 Cho hình lăng trụABC.A0B0C0 Cắt hình lăng trụ mặt phẳng ta thiết diện Số cạnh lớn thiết diện thu bao nhiêu?

A B C D

(37)

Lăng trụ cho có tất 5mặt nên số cạnh thiết diện không quá5

GọiM,N,R điểm cạnhBC,AB,B0C0 cho3M B=M C,N A=N B,3P C0=P B0 Khi thiết diện lăng trụ ABC.A0B0C0 cắt mặt phẳng (M N P) hình ngũ giác M N P QR

A

C

M

B0

Y R Q

A0 X

B

C0 P

N

Chọn đáp án A

Câu 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm củaSB, SD, OC Gọi giao điểm (M N P)với SAlà K Tỉ số KS

KA

A

5 B

1

3 C

1

4 D

1

-Lời giải

Trong (SBD) có M N∩SO=H Trong (SAC) có P H∩SA=K ⇒(M N P)∩SA tạiK

Ta có M N đường trung bình tam giác SBD nên H trung điểm SO ⇒ P H đường trung bình tam giác SOC ⇒P KkSC⇒ KS

KA = P C P A =

1

S

A

K

B

D C N

H M

O P

Chọn đáp án B

Câu 66 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0, gọi M trung điểmCD, (P) mặt phẳng qua M song song vớiB0Dvà CD0 Thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P)là hình gì?

A Ngũ giác B Tứ giác C Tam giác D Lục giác

-Lời giải

Trong (CDD0C0), kẻ đường thẳng qua M song songCD0 cắtDD0, C0D0 E, F

Trong (CDA0B0), kẻ đường thẳng qua M song songB0DcắtB0C, A0B0 H, K

Trong (A0B0C0D0),KF cắtB0C0, A0D0 tạiI, J Trong (BCC0B0),IH cắtBC tạiG

Thiết diện ngũ giácM EJ IG

B B0

A0

I

J

H

G C0

D0

E

M D

F

K

(38)

Câu 67 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, I trung điểm củaSA Thiết diện hình chóp S.ABCDcắt mặt phẳng (IBC)

A Tam giácIBC B Hình thang IJ BC (J trung điểm SD)

C Hình thang IGBC (G trung điểm củaSB) D Tứ giácIBCD

-Lời giải

B C

S

D J

A I

Ta cóIJ kADkBC suy bốn điểmB, C, J, I nằm mặt phẳng IBC Thiết diện hình thang IJ BC

Chọn đáp án B

Câu 68 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM, N vàP trung điểm cạnhSA,BC,CD Hỏi thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (M N P)là hình gì?

A Hình ngũ giác B Hình tam giác C Hình tứ giác D Hình bình hành

-Lời giải

Trong(ABCD), gọiK, I giao điểm N P vớiAB AD

Trong(ABS), gọiRlà giao điểm củaM K vớiSB Trong(SAD), gọiQlà giao điểm củaM I vớiSD Thiết diện tạo (M N P) cắt hình chóp ngũ giácM QP N R

I

B

S

A R

K

Q

C N

P M

D

Chọn đáp án A

Câu 69 Hình chóp tứ giác có số cạnh

A B C D 12

-Lời giải

Số cạnh hình chóp có đáy đa giácnđỉnh 2ncạnh Nên hình chóp tứ giác có8 cạnh

Chọn đáp án B

Câu 70 Khi cắt hình chóp tứ giácS.ABCDbởi mặt phẳng, thiết diện khơngthể hình nào?

A Ngũ giác B Lục giác C Tam giác D Tứ giác

(39)

Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm mặt (SAB), (SBC), (SCD),(SAD)và (ABCD) nên thiết diện tứ giác có tối đa5 cạnh Do thiết diện khơng thể hình lục giác

C D

S

A B

Chọn đáp án B

A avàb khơng nằm mặt phẳng

B avàb khơng có điểm chung

C avàb hai cạnh tứ diện

D avàb nằm hai mặt phẳng phân biệt

-Lời giải

avàb khơng nằm mặt phẳng thìavà blà hai đường thẳng chéo

Chọn đáp án A

Câu 72 Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (P) hình chữ nhật Mệnh đề sau mệnh đề ?

A Tứ diện tứ diện

B Tứ diện có bốn đường cao đồng quy

C Ba cạnh tứ diện chung đỉnh vng góc đơi

D Một cặp cạnh đối diện tứ diện phải vng góc

-Lời giải

Khơng làm tính tổng quát, giả sử (P) ∩(BCD) = M N; (P) ∩ (ABD) =N P; (P)∩(ACD) =P Qvà (P)∩(ABC) =M Q Thiết diện tứ diệnABCDcắt mặt phẳng(P)là hình chữ nhậtM N P Q, suy raM N kP Q

Vì (P)∩(BCD) = M N; (P)∩(ACD) = P Q; (ACD)∩(BCD) = CD màM N kP Qnên suy CDkM N kP Q (1) Chứng minh tương tự, ta suy raABkM QkP N (2) Mặt khác, M N P Q hình chữ nhật nên M Q ⊥ M N nên từ (1) (2)⇒M Q⊥CD⇒CD⊥AB

Vậy hai cạnh đối diện tứ diện làCD vàABphải vng góc với A

B

C M D

N P

Q

Chọn đáp án D

Câu 73 Trong không gian cho bốn điểm khơng đồng phẳng Có thể xác định mặt phẳng phân biệt từ điểm cho?

A B C D

-Lời giải

Vì điểm khơng đồng phẳng tạo thành tứ diện mà tứ diện có mặt

Chọn đáp án B

A avà bkhông nằm mặt phẳng B a vàbkhơng có điểm chung

C avà blà hai cạnh tứ diện D a vàbnằm hai mặt phẳng phân biệt

-Lời giải

B sai vìavà bcó thể song song

C saivì avàbcó thể cắt

D sai vìavà bcó thể song song

(40)

Câu 75 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớnAD Gọi M, hai trung điểm AB, CD Gọi (P) mặt phẳng quaM N cắt mặt bên (SBC) theo giao tuyến Thiết diện của(P) hình chóp

A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thang D Hình vng

-Lời giải

Giả sử mặt phẳng(P)cắt (SBC) theo giao tuyếnP Q

Khi doM N kBC nên theo định lý ba giao tuyến song song đồng quy áp dụng cho ba mặt phẳng(P);(SBC);(ABCD)thì ta ba giao tuyếnM N;BC;P Qđơi song song

Do thiết diện hình thang

S

A

B M

Q

D

C N P

Chọn đáp án C

Câu 76 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Giao tuyến (SAB) (SCD) là:

A Đường SO vớiO tâm hình bình hành B Đường thẳng qua S cắt AB

C Đường thẳng quaS song song vớiAD D Đường thẳng quaS song song với CD

-Lời giải

Xét hai mặt phẳng(SAB) và(SCD), ta có: 

   

   

S ∈(SAB)∩(SCD) AB⊂(SAB)

CD ⊂(SCD) ABkCD

⇒(SAB)∩(SCD) =SxkABkCD

x

S

A B

C D

Chọn đáp án D

Câu 77 Trong không gian cho ba hình dưới, hình hình biểu diễn hình tứ diện?

(H1) (H2) (H3)

A Khơng có hình B Chỉ có hình (H1)

C Chỉ có hình (H1),(H2) D Cả ba hình(H1),(H2),(H3)

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 78 Trong không gian, tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác

A Tập rỗng

B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

D Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác trực tâm tam giác

-Lời giải

(41)

Câu 79 Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD hình

bình hành Cắt hình chóp mặt phẳng(M N P), đóM,N,P trung điểm cạnhAB,AD,SC Thiết diện nhận là:

A Lục giác B Tam giác

C Tứ giác D Ngũ giác

-Lời giải

Trong mặt phẳng đáy(ABCD)gọiM N∩CD =D1,M N∩

BC=B1

Khi mặt phẳng (SBC) B1P ∩SB = E

trong mặt phẳng(SCD) D1P ∩SD=K

Vậy thiết diện ngũ giác M EP KN

Chọn đáp án D

S

E A

C N

B B1

D D1

M

P K

Câu 80 Tìm khẳng định saitrong khẳng định sau:

A Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung

B Nếu ba điểm phân biệtM,N,P thuộc hai mặt phẳng phân biệt chúng thẳng hàng

C Hai mặt phẳng có điểm chung chúng cịn có vơ số điểm chung khác

D Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung

-Lời giải

Chọn đáp án A

Câu 81 Trong mặt phẳng(α), cho bốn điểmA,B,C,Dtrong khơng có ba điểm thẳng hàng Điểm S khơng thuộc mặt phẳng (α) Có mặt phẳng tạo S hai bốn điểm nói trên?

A B C D

-Lời giải

S

B C

D A

Có6 mặt phẳng là:(SAB),(SBC),(SCD),(SAD),(SAC),(SBD)

Chọn đáp án A

Câu 82 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A Qua2 điểm phân biệt có mặt phẳng

B Qua3 điểm phân biệt có mặt phẳng

C Qua điểm khơng thẳng hàng có mặt phẳng

D Qua4 điểm phân biệt có mặt phẳng

-Lời giải

Mệnh đề “Qua2điểm phân biệt có mặt phẳng” sai Vì qua 2điểm phân biệt, tạo 1đường thẳng, chưa đủ điều kiện để lập mặt phẳng xác định Có vơ số mặt phẳng qua 2điểm cho

Mệnh đề “Qua3 điểm phân biệt có mặt phẳng” sai Vì trường hợp3 điểm phân biệt thẳng hàng tạo đường thẳng, có vơ số mặt phẳng qua điểm phân biệt thẳng hàng

(42)

Chọn đáp án C Câu 83 Trong khơng gian, cho điểm khơng đồng phẳng Có thể xác định mặt phẳng phân biệt từ điểm cho?

A B C D

-Lời giải

Với3điểm phân biệt không thẳng hàng, ta tạo mặt phẳng xác định Khi đó, với 4điểm khơng đồng phẳng ta tạo tối đaC34= mặt phẳng

Chọn đáp án B

Câu 84 Trong mặt phẳng (α), cho điểmA, B, C, D khơng có điểm thẳng hàng Điểm S không thuộc mặt phẳng (α) Có mặt phẳng tạo bởiS điểm nói trên?

A B C D

-Lời giải

Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) điểmA, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C24 cách chọn trong4điểmA, B, C, Dcùng với điểmS lập thành1mặt phẳng xác định Vậy số mặt phẳng tạo là6

Chọn đáp án C

Câu 85 Cho5điểmA, B, C, D, Etrong khơng có4điểm đồng phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo 3trong điểm cho?

A 10 B 12 C D 14

-Lời giải

Với3điểm phân biệt không thẳng hàng, ta tạo được1mặt phẳng xác định Ta cóC35 cách chọn3điểm trong5 điểm cho để tạo 1mặt phẳng xác định Vậy số mặt phẳng tạo 10

Chọn đáp án A

Câu 86 Các yếu tố sau xác định mặt phẳng nhất?

A Ba điểm phân biệt B Một điểm đường thẳng

C Hai đường thẳng cắt D Bốn điểm phân biệt

-Lời giải

Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai Trong trường hợp3điểm phân biệt thẳng hàng có vơ số mặt phẳng chứa3 điểm thẳng hàng cho

Mệnh đề “Một điểm đường thẳng” sai Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng cho, ta có1 đường thẳng, có vơ số mặt phẳng qua đường thẳng

Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai Trong trường hợp 4điểm phân biệt thẳng hàng có vơ số mặt phẳng qua4điểm trường hợp4điểm mặt phẳng khơng đồng phẳng không tạo mặt phẳng qua cả4 điểm

Chọn đáp án C

Câu 87 Cho tứ giác ABCD Có thể xác định mặt phẳng chứa tất đỉnh tứ giác ABCD?

A B C D

-Lời giải

4 điểmA, B, C, D tạo thành1 tứ giác, điểmA, B, C, D đồng phẳng tạo thành1 mặt phẳng mặt phẳng(ABCD)

Chọn đáp án A

A Nếu điểmA, B, C điểm chung mặt phẳng(P) (Q) thìA, B, C thẳng hàng

B Nếu A, B, C thẳng hàng (P),(Q) có điểm chung A B, C điểm chung (P) (Q)

C Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng (P) (Q) phân biệt thìA, B, C khơng thẳng hàng

D Nếu A, B, C thẳng hàng A, B là2 điểm chung (P) (Q) C điểm chung (P) và(Q)

-Lời giải

(43)

Mệnh đề “Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng (P) (Q) A, B, C thẳng hàng” sai Vì:

Nếu(P) và(Q) trùng mặt phẳng có vơ số điểm chung Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luậnA, B, C thẳng hàng

Mệnh đề “NếuA, B, C thẳng hàng và(P),(Q)có điểm chung A thìB, C điểm chung (P) và(Q)” sai Vì:

Có vơ số đường thẳng quaA, B, C chưa thuộc giao tuyến (P) và(Q)

Mệnh đề “Nếu điểm A, B, C điểm chung mặt phẳng (P) (Q) phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng” sai Vì:

Hai mặt phẳng (P) (Q) phân biệt giao giao tuyến nhất, điểm A, B, C điểm chung của2 mặt phẳng thìA, B, C thuộc giao tuyến

Chọn đáp án D

Câu 89 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai?

A Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác

B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung

C Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung

D Hai mặt phẳng qua3 điểmA, B, C khơng thẳng hàng hai mặt phẳng trùng

-Lời giải

Nếu2mặt phẳng trùng nhau, 2mặt phẳng có vơ số điểm chung chung vô số đường thẳng

Chọn đáp án B

Câu 90 Cho đường thẳng d1, d2, d3 không thuộc mặt phẳng cắt đôi Khẳng định

nào sau đúng?

A 3đường thẳng đồng quy

B 3đường thẳng trùng

C 3đường thẳng chứa cạnh tam giác

D Các khẳng định A, B, C sai

-Lời giải

Nếu3đường thẳng trùng chúng thuộc 1mặt phẳng

Nếu đường thẳng chứa cạnh tam giác tạo điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3đỉnh tam giác), chúng lập thành mặt phẳng xác định,3đường thẳng thuộc 1mặt phẳng

Chọn đáp án A

Câu 91 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD(ABkCD) Khẳng định sau

sai?

A Hình chóp S.ABCDcó mặt bên

B Giao tuyến hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)là SO (O giao điểm củaAC vàBD)

C Giao tuyến hai mặt phẳng(SAD) và(SBC)là SI (I giao điểm củaAD BC)

D Giao tuyến hai mặt phẳng(SAB) và(SAD) đường trung bình củaABCD

(44)

Hình chópS.ABCDcó mặt bên:(SAB),(SBC),(SCD),(SAD) điểm chung thứ hai mặt phẳng (SAC) (SBD)

®

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC)

O ∈BD⊂(SBD)⇒O ∈(SBD) ⇒ O điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)

⇒(SAC)∩(SBD) =SO

Tương tự, ta có(SAD)∩(SBC) =SI

(SAB)∩(SAD) =SA màSAkhơng phải đường trung bình hình thangABCD

Vậy “Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SAD) đường trung bình củaABCD” mệnh đề sai

S

O

I A

D C

B

Chọn đáp án D

Câu 92 Cho tứ diện ABCD GọiG trọng tâm tam giácBCD Giao tuyến mặt phẳng(ACD) và(GAB)

A AM (M trung điểm AB) B AN (N trung điểm CD)

C AH (H hình chiếu củaB CD) D AK (K hình chiếu C BD)

-Lời giải

Alà điểm chung thứ hai mặt phẳng(ACD) và(GAB) Ta cóBG∩CD=N

⇒

®

N ∈BG⊂(ABG)⇒N ∈(ABG) N ∈CD⊂(ACD)⇒N ∈(ACD)

⇒N điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(ACD)và (GAB) Vậy(ABG)∩(ACD) =AN

A

C G

B D

Chọn đáp án B

Câu 93 Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) chứa tam giácBCD.LấyE, F điểm nằm cạnh AB, AC Khi EF BC cắt I I khơng phải điểm chung hai mặt phẳng sau đây?

A (BCD) và(DEF) B (BCD) và(ABC) C (BCD)và (AEF) D (BCD) và(ABD)

-Lời giải

ĐiểmI giao điểm EF vàBC, mà

  

 

EF ⊂(DEF) EF ⊂(ABC) EF ⊂(AEF)

⇒   

 

I = (BCD)∩(DEF) I = (BCD)∩(ABC) I = (BCD)∩(AEF)

A

I C B

E

F D

Chọn đáp án D

Câu 94 Cho tứ diệnABCD GọiM, N trung điểm củaAC, CD Giao tuyến hai mặt phẳng (M BD) và(ABN)

A đường thẳngM N

(45)

C đường thẳng BG (Glà trọng tâm tam giác ACD)

D đường thẳngAH (H trực tâm tam giácACD)

-Lời giải

B điểm chung thứ hai mặt phẳng(M BD) và(ABN) VìM, N trung điểm AC, CD nên suy AN, DM hai trung tuyến tam giácACD

GọiG=AN ∩DM ⇒

®

G∈AN ⊂(ABN)⇒G∈(ABN) G∈DM ⊂(M BD)⇒G∈(M BD) ⇒Glà điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(M BD)và(ABN) Vậy(ABN)∩(M BD) =BG

A

C

N

B D

M G

Chọn đáp án C

Câu 95 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểmAD vàBC Giao tuyến hai mặt phẳng (SM N) và(SAC)

A SD B SO (O tâm hình bình hànhABCD)

C SG(Glà trung điểm AB) D SF (F trung điểm CD)

-Lời giải

S điểm chung thứ hai mặt phẳng (SM N) (SAC)

GọiO=AC∩BDlà tâm hình hình hành Trong mặt phẳng(ABCD), gọi T =AC∩M N ⇒

®

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC) O ∈M N ⊂(SM N)⇒O ∈(SM N)

⇒Olà điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SM N)và(SAC) Vậy(SM N)∩(SAC) =SO

S

M

B N C

O

A D

Chọn đáp án B

Câu 96 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiI, J trung điểmSA, SB Khẳng định sau sai?

A IJ CD hình thang B (SAB)∩(IBC) =IB

C (SBD)∩(J CD) =J D (IAC)∩(J BD) =AO (O tâm ABCD)

-Lời giải

Ta cóIJ đường trung bình tam giác SAB ⇒IJkABkCD⇒IJ kCD ⇒IJ CDlà hình thang Ta có

®

IB⊂(SAB)

IB⊂(IBC) ⇒(SAB)∩(IBC) =IB Ta có

®

J D⊂(SBD)

J D⊂(J BD) ⇒(SBD)∩(J BD) =J D

Trong mặt phẳng (IJ CD), gọiM =IC∩J D ⇒ (IAC)∩ (J BD) =M O

S

M I

B C

O A

J

D

Chọn đáp án D

(46)

Giao tuyến hai mặt phẳng(M SB)và (SAC)

A SI (I giao điểm AC vàBM) B SJ (J giao điểm AM vàBD)

C SO (O giao điểm AC vàBD) D SP (P giao điểm AB vàCD)

-Lời giải

S điểm chung thứ hai mặt phẳng(M SB) (SAC)

Ta có

®

I ∈BM ⊂(SBM)⇒I ∈(SBM) I ∈(AC)∈(SAC)⇒I ∈(SAC)

⇒I điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SAC) và(SAC) Vậy(M SB)∩(SAC) =SI

S

I

B C

A D

M

Chọn đáp án A

Câu 98 Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi I, K trung điểm AD B Giao tuyến của(IBC) và(KAD)

A IK B BC C AK D DK

-Lời giải

ĐiểmK trung điểm củaBC suy K∈(IBC)⇒IK ⊂(IBC) ĐiểmI trung điểm AD suy raI ∈(KAD)⇒IK ⊂(KAD) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng(IBC) (KAD) làIK

A I

C K

B D

Chọn đáp án A

Câu 99 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với Gọi giao điểm củaAC vàBD Trên cạnhSB lấy điểmM Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(ADM) và(SAC)

A SI B AE,E giao điểm DM vàSI)

C DM D DE,E giao điểm DM vàSI)

-Lời giải

Ta cóAlà điểm chung thứ (ADM) (SAC) Trong mặt phẳng(SBD), gọi E=SI∩DM Ta có:

E∈SI màSI ⊂(SAC)suy E ∈(SAC) E∈DM màDM ⊂(ADM) suy raE ∈(ADM) Do E điểm chung thứ hai (ADM) và(SAC) VậyAE giao tuyến của(ADM) và(SAC)

S M

C D

I

A B

E

Chọn đáp án B

Câu 100 Cho tứ diệnABCDvà điểmM thuộc miền tam giác ACD GọiI vàJ hai điểm cạnhBC vàBD choIJ không song song vớiCD Gọi H, K giao điểm củaIJ với CD củaM H vàAC Giao tuyến hai mặt phẳng(ACD) và(IJ M)

A KI B KJ C M I D M H

(47)

Trong mặt phẳng(BCD), IJ cắtCD H⇒H ∈(ACD) ĐiểmH ∈IJ suy bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng Nên mặt phẳng(IJ M),

M H cắtIJ tạiH vàM H ⊂(IJ M) Mặt khác

®

M ∈(ACD)

H∈(ACD) ⇒M H ⊂(ACD) Vậy(ACD)∩(IJ M) =M H

A

I

D H

J C

M K

B

Chọn đáp án A

Câu 101 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng GọiM, N trung điểm AC vàBC Trên đoạn BDlấy điểm P cho BP = 2P D Giao điểm đường thẳngCD mặt phẳng(M N P)là giao điểm

A CD vàN P B CD vàM N C CD M P D CD AP

-Lời giải

Cách Xét mặt phẳng BCD chứa CD Do N P không song song CD nên N P cắt CD E Điểm E ∈ N P ⇒ E ∈ (M N P) Vậy CD∩(M N P) E

Cách Ta có

®

N ∈BC

P ∈BD ⇒ N P ⊂ (BCD) suy N P, CD đồng phẳng Gọi E giao điểm N P CD mà N P ⊂ (M N P) suy CD∩(M N P) =E

Vậy giao điểm củaCD (M N P) giao điểm E củaN P vàCD

A

E

C N

P B

M

D

Chọn đáp án A

Câu 102 Cho tứ diện ABCD Gọi E F trung điểm AB CD; G trọng tâm tam giácBCD Giao điểm đường thẳngEGvà mặt phẳng (ACD)

A Điểm F B Giao điểm đường thẳng EGvà AF

C Giao điểm đường thẳng EGvàAC D Giao điểm đường thẳngEGvà CD

(48)

VìGlà trọng tâm tam giác BCD,F trung điểm CD ⇒G∈(ABF)

Ta cóE trung điểm AB ⇒E∈(ABF)

Gọi M giao điểm EG AF mà AF ⊂ (ACD) suy M ∈ (ACD)

Vậy giao điểm củaEGvà (ACD) làM =EG∩AF

A

C

M G

B E

D F

Chọn đáp án B

Câu 103 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm củaSC Gọi I giao điểm củaAM với mặt phẳng(SBD) Mệnh đề đúng?

A IA# »=−2IM# » B IA# »=−3IM# » C IA# »= 2IM# » D IA= 2,5IM

-Lời giải

GọiO tâm hình bình hànhABCD suy O trung điểm AC NốiAM cắtSO I màSO ⊂(SBD)suy I =AM∩(SBD) Tam giácSAC cóM, Olần lượt trung điểm củaSC, AC MàI =AM∩SO suy raI trọng tâm tam giácSAC ⇒AI =

3AM ⇔IA= 2IM Điểm I nằm Avà M suy raIA# »= 2M I# »=−2IM# »

S

M

B C

O A

I

D

Chọn đáp án A

Câu 104 Cho tứ giác ABCD có AC BD giao O điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD) Trên đoạnSC lấy điểmM không trùng vớiS vàC Giao điểm đường thẳngSDvới mặt phẳng(ABM)

A Giao điểm SDvà AB

B Giao điểm SDvà AM

C Giao điểm SDvà BK (với K =SO∩AM)

D Giao điểm SDvà M K (với K=SO∩AM)

(49)

Chọn mặt phẳng phụ(SBD) chứaSD

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(SBD) (ABM) Ta cóB điểm chung thứ của(SBD)và (ABM)

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi O =AC∩BD Trong mặt phẳng (SAC), gọiK =AM∩SO Ta có:

– K∈SO màSO ⊂(SBD) suy raK ∈(SBD)

– K∈AM màAM ⊂(ABM) suy raK ∈(AM B)

Suy K điểm chung thứ hai BCD (M N P) Do (SBD)∩(ABM) =BK

Trong mặt phẳng(SBD), gọiN =SD∩BK Ta có:N ∈BK, mà BK∩(ABM) suy raN ∩(ABM) Mặt khác N ∈SD

VậyN =SD∩(ABM)

S

M N

B

C O

A

K

D

Chọn đáp án C

Câu 105 Cho bốn điểm A, B, C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm củaSA, AB Trên SC lấy điểm K cho IK không song song với AC (K không trùng với đầu mút) GọiE giao điểm đường thẳngBC với mặt phẳngIHK Mệnh đề sau đúng?

A E nằm ngồi đoạnBC phíaB B E nằm ngồi đoạnBC phía C

C E nằm đoạnBC D E nằm đoạnBC vàE6=B, E6=C

-Lời giải

Chọn mặt phẳng phụ(ABC) chứaBC

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (IHK) Ta có H điểm chung thứ (ABC) (IHK) Trong mặt phẳng (SAC), IK không song song với AC nên gọi F = IK∩AC Ta có:

S

B H

E

F C

K I

A

F ∈AC màAC ⊂(ABC) suy F ∈(ABC) F ∈IK mà IK ⊂(IHK) suy raF ∈(IHK)

Suy raF điểm chung thứ hai (ABC) và(IHK) Do (ABC)∩(IHK) =HF Trong mặt phẳng(ABC), gọi E=HF ∩BC Ta có:

E∈HF màHF ⊂(IHK)suy E ∈(IHK) E∈BC

Vậy E=BC∩(IHK)

Chọn đáp án D

Câu 106 Cho tứ diệnABCD Gọi M, N trung điểm cạnh ABvà AC, Elà điểm cạnh CD vớiED= 3EC.Thiết diện tạo mặt phẳng (M N E) tứ diện ABCDlà

A Tam giácM N E

B Tứ giác M N EF vớiF điểm cạnh BD

(50)

-Lời giải

Tam giácABC có M, N trung điểm AB, AC Suy raM N đường trung bình tam giácABC ⇒M N kBC TừE kẻ đường thẳngdsong song vớiBC cắtBD tạiF ⇒EF kBC Do đóM N kEF suy bốn điểmM, N, E, F đồng phẳng vàM N EF hình thang

Vậy hình thangM N EF thiết diện cần tìm

A

C E F

B D

N M

Chọn đáp án D

Câu 107 Cho tứ diệnABCD GọiH, K trung điểm cạnhAB, BC Trên đường thẳngCD lấy điểmM nằm đoạnCD Thiết diện tứ diện với mặt phẳng(HKM)

A Tứ giác HKM N vớiN ∈AD

B Hình thang HKM N vớiN ∈AD vàHK kM N

C Tam giác HKL vớiL=KM∩BD

D Tam giác HKL vớiL=HM∩AD

-Lời giải

Ta cóHK, KM đoạn giao tuyến của(HKM) với (ABC) (BCD) Trong mặt phẳng (BCD), KM không song song vớiBD nên gọiL= KM∩BD

Vậy thiết diện tam giácHKL

A

M

C

D L B

H

K

Chọn đáp án C

Câu 108 Cho hình chóp tứ giác S.ABCDcó cạnh đáy a(a >0) Các điểm M, N, P trung điểm củaSA, SB, SC.Mặt phẳng (M N P)cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích

A a2 B a

2

2 C

a2

4 D

a2 16

-Lời giải

GọiQlà trung điểm SD

Tam giác SAD có M, Q trung điểm SA, SD suy raM QkAD

Tam giácSBC cóN, P trung điểm củaSB, SC suy N P kBC

Mặt khácADkBC suy raM QkN P vàM Q=N P ⇒M N P Q hình vng

Khi M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (M N P) cắt SD Q M N P Q thiết diện hình chópS.ABCD với(M N P) Vậy diện tích hình vngM N P Q

SM N P Q=

SABCD

4 = a2

4

S

Q M

B C

O A

N

P

D

Chọn đáp án C

(51)

A a

2√3

2 B

a2√2

4 C

a2√2

6 D

a2√3

-Lời giải

GọiM, N trung điểm AB, BC suy AN ∩M C =G Dễ thấy mặt phẳng(GCD) cắt đường thắng AB điểmM

Suy tam giác M CD thiết diện mặt phẳng (GCD) tứ diện ABCD

Tam giácABD đều, cóM trung điểmAB suy M D= a √

3 Tam giácABC đều, cóM trung điểm AB suy M C = a

√

A

C

N H

B

G

D M

GọiH trung điểm củaCD ⇒M H ⊥CD ⇒S∆M CD=

1

2·M H ·CD VớiM H =√M C2−HC2 =

…

M C2−CD

4 = a√2

2 VậyS∆M CD =

1 2·

a√2 ·a=

a2√2

Chọn đáp án B

Câu 110 Cho tứ diện đềuABCD có độ dài cạnh 2a GọiM, N trung điểm cạnh AC,BC,P trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng(M N P) cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích

A a

2√11

2 B

a2√2

4 C

a2√11

4 D

a2√3

-Lời giải

Trong tam giác BCD có: P trọng tâm, N trung điểm BC Suy N, P, D thẳng hàng Vậy thiết diện tam giácM N D

Xét tam giác M N D, ta có M N = AB

2 = a; DM = DN =

AD√3 = a√3

Do tam giácM N D cân tạiD

GọiH trung điểm M N suy DH⊥M N Diện tích tam giác

S4M N D =

1

2M N·DH = 2M N·

p

DM2−M H2 = a 2√11

4

A

C N P B

M

D

Chọn đáp án C

Câu 111 Cho tứ diệnABCD GọiM, N trung điểm ABvà CD Mặt phẳng (α)qua M N cắtAD, BC P vàQ BiếtM P cắtN Q tạiI Ba điểm sau thẳng hàng?

A I, A, C B I, B, D C I, A, B D I, C, D

(52)

Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD Lại có

®

I ∈M P ⊂(ABD) I ∈N Q⊂(BCD)

⇒I thuộc giao tuyến của(ABC) và(BCD) ⇒I ∈BD⇒I, B, D thẳng hàng

A

P D

C

Q N

B M

I

Chọn đáp án B

Câu 112 Cho tứ diệnSABC GọiL, M, N điểm cạnhSA, SB vàAC choLM không song song với AB, LN không song song với SC Mặt phẳng (LM N) cắt cạnh AB, BC, SC tạiK, I, J Ba điểm sau thẳng hàng?

A K, I, J B M, I, J C N, I, J D M, K, J

M ∈SB suy M điểm chung của(LM N) và(SBC) I điểm chung của(LM N) và(SBC)

J điểm chung của(LM N) và(SBC)

Vậy M, I, J thẳng hàng thuộc giao tuyến của(LM N) (SBC)

S

N C

K B

J I

A

M L

Chọn đáp án B

Câu 113 Cho tứ diệnABCD GọiGlà trọng tâm tam giácBCD,M trung điểmCD,I điểm đoạn thẳngAG, BI cắt mặt phẳng(ACD) J Khẳng định sau đâysai?

C J trung điểm AM D DJ = (ACD)∩(BDJ)

-Lời giải

Ta cóAlà điểm chung thứ hai mặt phẳng (ACD) và(GAB) DoBG∩CD =M ⇒

®

M ∈BG⊂(ABG)⇒M ∈(ABG) M ∈CD⊂(ACD)⇒M ∈(ACD)

⇒M điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(ABG)và (ACD) ⇒(ABG)∩(ACD) =AM

Ta có   

 

BI ⊂(ABG) AM ⊂(ABM)

(ABG)≡(ABM)

⇒AM, BI đồng phẳng ⇒J =BI∩AM ⇒A, J, M thẳng hàng

A

J

C G

M I

B

Ta có

®

DJ ⊂(ACD)

DJ ⊂(BDJ) ⇒DJ = (ACD)∩(BDJ) Điểm I di động trênAG nên J trung điểm củaAM

(53)

Câu 114 Cho tứ diệnABCD GọiE, F, G điểm thuộc cạnhAB, AC, BD choEF cắtBC tạiI, EGcắtAD H Ba đường thẳng sau đồng quy?

A CD, EF, EG B CD, IG, HF C AB, IG, HF D AC, IG, BD

-Lời giải

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳngd1, d2, d3đồng

quy ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng d1 vàd2

là điểm chung hai mặt phẳng (α) (β); đồng thời d3

là giao tuyến(α) và(β) GọiO=HF ∩IG Ta có:

O∈HF màHF ⊂(ACD) suy O∈(ACD) O∈IGmà IG⊂(BCD) suy O∈(BCD) Do O∈(ACD)∩(BCD) (1)

Mà (ACD)∩(BCD) = CD (2) Từ (1) (2), suy O ∈ CD

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy

A

F

C I

H

O D B

E

G

Chọn đáp án B

Câu 115 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDkhơng phải hình thang Trên cạnhSC lấy điểm Gọi giao điểm đường thẳngSDvới mặt phẳng Mệnh đề sau đúng?

A Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi song song

B Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi cắt

C Ba đường thẳngAB, CD, M N đồng quy

D Ba đường thẳngAB, CD, M N thuộc mặt phẳng

-Lời giải

Gọi I = AD ∩BC Trong mặt phẳng (SBC), gọi K = BM ∩SI Trong mặt phẳng (SAD), gọi N = AK∩SD

Khi N giao điểm đường thẳng SDvới mặt phẳng(AM B) GọiO=AB∩CD Ta có:

O∈ABmàAB⊂(AM B)suy raO∈(AM B) O∈CD màCD ⊂(SCD) suy O∈(SCD) Do O∈(AM B)∩(SCD) (1)

Mà(AM B)∩(SCD) =M N (2) Từ(1)và (2), suy raO ∈M N

Vậy ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy

S

K M

I

O B

C A

N

D

Chọn đáp án C

Câu 116 Cho tứ diện ABCD.GọiI,J K trung điểm AC, BC vàBD.Giao tuyến hai mặt phẳng(ABD)và (IKJ) đường thẳng

A KD B KI

C qua K song song vớiAB D Khơng có

(54)

Ta có

  

 

(IJ K)∩(ABD) =K IJ ⊂(IJ K), AB⊂(ABD) IJ kAB

⇔ (IJ K)∩(ABD) =KM kIJkAB

A

D M

K

C I

B J

Chọn đáp án C

Câu 117 Các yếu tố sau xác định mặt phẳng nhất?

A Ba điểm B Một điểm đường thẳng

C Hai đường thẳng cắt D Bốn điểm

-Lời giải

Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng

Sửa lại cho đúng: Một điểm đường thẳng không chứa điểm

Chọn đáp án C

Câu 118 Cho tam giác ABC,lấy điểmI cạnh AC kéo dài Mệnh đề sau làsai?

A A∈(ABC) B I ∈(ABC) C (ABC)≡(BIC) D BI 6⊂(ABC)

-Lời giải

Ta cóI ∈(ABC), B∈(ABC)⇔BI 6⊂(ABC) B C

A I

Chọn đáp án D

Câu 119 Cho tam giácABC Có thể xác định mặt phẳng chứa tất đỉnh tam giác ABC?

A B C D

-Lời giải

Ta cóABC tam giác ⇔ba điểmA, B, C khơng thẳng hàng Vậy

có mặt phẳng chứaA, B, C B

A C

Chọn đáp án D

Câu 120 Trong không gian cho bốn điểm khơng đồng phẳng, xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ điểm đó?

A B C D

-Lời giải

Giả sử bốn điểm tứ diện ABCD Có mặt phẳng là:

(ABC), (ABD), (ACD), (BCD) A

B

(55)

Chọn đáp án B Câu 121 Cho hình chóp S.ABCD với đáy tứ giác ABCD có cạnh đối không song song Giả sử AC∩BD=O vàAD∩BC =I Giao tuyến hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)là

A SC B SB C SO D SI

  

 

(SAC)∩(SBD) =S O ∈AC ⊂(SAC) O ∈BD⊂(SBD)

⇔(SAC)∩(SBD) =SO

S

O B

C

I D

A

Chọn đáp án C

Câu 122 Cho hình chópS.ABCDvới đáy tứ giácABCD.Thiết diện mặt phẳng(α) tùy ý với hình chóp khơng thể

A Lục giác B Ngũ giác C Tứ giác D Tam giác

-Lời giải

Hình chóp tứ giác có tất mặt nên thiết diện lục giác

Chọn đáp án A

ĐÁP ÁN

(56)

BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Cho hai đường thẳngavàb khơng gian Có trường hợp sau xảy đối vớia vàb

Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b, theo kết tronh hình học phẳng ta có ba khả sau

avà b cắt điểm M, ta kí hiệu a∩b=M

avà b song song với nhau, ta kí hiệu akb

avà b trùng nhau, ta kí hiệu a≡b

Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa cảa b, ta nói avà b hai đường thẳng chéo

2 CÁC ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT

1 Trong không gian, qua điểm cho trước không nằm đường thẳnga có đường thẳng song song vớia

2 Nếu ba mặt phẳng phân biệt đơi cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng qui đơi song song

3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng 4 Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song

c

a b

γ α

β

c

a

b γ α

β

d1

d2

d α

β

B CÁC DẠNG TỐN

Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng quan hệ song song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng(α) và(β) có điểm chungM chứa hai đường thẳng

song song dvà d0 giao tuyến (α) (β) đường thẳng qua M song song với dvà d0

(57)

-Lời giải

S

A

B C

D

Ta có     

   

AB⊂(SAB) CD ⊂(SCD) ABkCD

S ∈(SAB)∩(SCD)

⇒(SAB)∩(SCD) =dkABkCD, S∈d

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình thang với cạnh đáy làAB vàCD Gọi I, J trung điểm cạnhAD vàBC Glà trọng tâm tam giác SAB Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(SAB) và(IJ G)

-Lời giải

S

A

D I

M

C B N

J E

G

Ta cóABCD hình thang vàI, J trung điểm củaAD, BC nên IJ//AB

Vậy     

   

G∈(SAB)∩(IJ G) AB⊂(SAB) IJ ⊂(IJ G) ABkIJ

⇒(SAB)∩(IJ G) =M N vớiM N quaGvà song songABvớiM ∈SA, N ∈

SB

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình thang với cạnh đáy làAB vàCD Gọi I, J trung điểm cạnhAD vàBC vàG trọng tâm tam giácSAB Tìm điều kiện củaAB vàCD để thiết diện (IJ G) hình chóp hình bình hành

(58)

S

A

D I

M

C B N

J E

G

Dễ thấy thiết diện tứ giác M N J I

Do G trọng tâm tam giác SAB M N k AB nên M N AB =

SG SE =

2

3 (E trung điểm AB) ⇒M N =

3AB Lại có IJ =

2(AB+CD) Vì M N k IJ nên M N IJ hình thang, M N IJ hình bình hành M N =IJ ⇔

3AB=

2(AB+CD)⇔AB= 3CD

Vậy để thết diện hình bình hành AB= 3CD

Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta làm theo cách sau

1 Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng dùng phương pháp chứng minh hai đường

thẳng song song mặt phẳng

2 Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba

3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng

(nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

4 Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang với đáy lớnAB GọiM, N trung điểm củaSA vàSB Khẳng định sau

(59)

S

N M

I

A

D

B P

C

E

Ta cóM N đường trung bình tam giácSAB nên M N kAB Lại cóABCD hình thang ⇒ABkCD

Vậy

®

M N kAB

CDkAB ⇒M N kCD

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang với đáy lớnAB GọiM, N trung điểm củaSA vàSB GọiP giao điểm SC và(ADN),I giao điểm AN DP Khẳng định sau làđúng?

-Lời giải

S

N M

I

A

D

B P

C

E

Trong (ABCD) gọiE =AD∩BC, (SCD) gọiP =SC∩EN Ta cóE∈AD⊂(ADN) ⇒EN ⊂(AN D)⇒P ∈(ADN)

VậyP =SC∩(ADN) DoI =AN ∩DP ⇒

®

I ∈AN I ∈DP ⇒

®

I ∈(SAB)

I ∈(SCD) ⇒SI = (SAB)∩(SCD)

Ta có     

  

AB⊂(SAB) CD ⊂(SCD)

(60)

Ví dụ Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với đáyADvàBC BiếtAD=a, BC=b GọiI vàJ trọng tâm tam giácSADvàSBC Mặt phẳng(ADJ)cắtSB, SC tạiM,N Mặt phẳng(BCI) cắtSA, SD P, Q Khẳng định sau làđúng?

-Lời giải

S

A P

E

B C

J

D Q

I

N F M

K

Ta cóI ∈(SAD)⇒I ∈(SAD)∩(IBC)

Vậy     

   

AD⊂(SAD) BC ⊂(IBC) ADkBC

(SAD)∩(IBC) =P Q

⇒P QkADkBC (1)

Tương tựJ ∈(SBC)⇒J ∈(SBC)∩(ADJ)

Vậy     

   

AD⊂(ADJ) BC ⊂(SBC) ADkBC

(SBC)∩(ADJ) =M N

⇒M N kADkBC (2)

Từ(1)và (2)suy M N kP Q

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết AD =a, BC =b Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng(ADJ) cắtSB,SC tạiM,N Mặt phẳng(BCI) cắt SA,SDtại P,Q Giải sử AM cắtBP E; CQcắtDN tạiF TínhEF theo a, b

-Lời giải

S

A P

E

B C

J

D Q

I

N F M

(61)

Ta cóE=AM∩BP ⇒

®

E∈(AM N D)

E∈(P BCQ) ;F =DN ∩CQ⇒

®

F ∈(AM N D) F ∈(P BCQ) Do EF = (AM N D)∩(P BCQ) Mà

®

ADkBC

M N kP Q ⇒EF kADkBC kM N kP Q TínhEF:

GọiK=CP ∩EF ⇒EF =EK+KF Ta cóEKkBC ⇒ EK

BC = P E

P B (1),P M kAB⇒ P E EB =

P M AB Mà P M

AB = SP SA =

2 ⇒

P E EB =

2 Từ(1)suy EK

BC = P E P B =

P E P E+EB =

1 +EB

P E =

5 ⇒EK= 5BC =

2 5b Tương tựKF =

5a VậyEF =EK+KF =

5(a+b)

Dạng Chứng minh bốn điểm đồng phẳng ba đường thẳng đồng qui

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b qua hai

trong bốn điểm chứng minha, b song song cắt nhau, A, B, C, D thc mp(a, b)

Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui ngồi cách chứng minh §1, ta chứng minh

a, b, c giao tuyến hai ba mặt phẳng (α), (β), (δ) có hai giao tuyến cắt

nhau Khi theo tính chất giao tuyến ba mặt phẳng ta đượca, b, c đồng qui

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh bênSA,SB,SC vàSD Chứng minh M E ,N F ,SO đồng qui

-Lời giải

S

A M

N

B

C O

D E

F I

Trong (SAC) gọiI =M E∩SO, dễ thấy I trung điểm củaSO, suy F I đường trung bình tam giácSOD

VậyF I kOD

Tương tự ta cóN I kOB nên N, I, F thẳng hàng hayI ∈N F

Vậy minhM E ,N F ,SO đồng qui

(62)

-Lời giải

S

A M

N

B

C O

D E

F I

DoM E∩N F =I nên M E N F xác định mặt phẳng Suy raM, N, E, F đồng phẳng C BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài Cho tứ diệnABCD GọiM, N trung điểm cạnhAB vàAC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(DM N) và(BCD)

-Lời giải

DoM, N trung điểm củaAB, ACnênM N kBC Khi

    

   

D∈(DM N)∩(DBC) M N ⊂(DM N) BC ⊂(DBC) M N kBC

Vậy(DM N)∩(DBC) =dkM N kBC vớiD∈d

B

C

D A

M N

Bài Cho hình chópS.ABC GọiG1, G2 trọng tâm tam giác SBC vàSAB

1 Chứng minhG1G2 kAC

2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(BG1G2)và (ABC)

(63)

a) Chứng minhG1G2 kAC

GọiM, N trung điểm củaAB, BC DoG1, G2 trọng

tâm tam giácSBC SAB nên SG1

SN = 3;

SG2

SM = ⇒

SG1

SN = SG2

SM ⇒G1G2kM N Mặt khác, lại có G1G2 kAC

b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(BG1G2)và (ABC)

Vì     

   

B ∈(BG1G2)

G1G2 ⊂(BG1G2)

AC ⊂(ABCD) G1G2 kAC

⇒(BG1G2)∩(ABCD) =dkACkG1G2

A

B

C

D S

N M

G2

G1

d

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(SAB) và(SCD)

2 Gọi M điểm cạnh SC Xác định giao điểm N SD với (ABM) Tứ giác ABM N hình gì?

3 Giả sửI =AN ∩BM Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định khiM chạy cạnh SC

-Lời giải

B

A

C

D S

M N

I

d

a) Ta có

    

   

S ∈(SAB)∩(SCD) ABkCD

AB⊂(SAB) CD ⊂(SCD)

⇒(SAB)∩(SCD) =dkABkCD vớiS ∈d

b) Ta có

    

   

M ∈(SCD)∩(ABM) ABkCD

AB⊂(ABM) CD⊂(SCD)

(64)

Trong mặt phẳng(SCD), gọiN =d0∩SD Suy raN =SD∩(ABM) DoM N kAB nên tứ giácABM N hình thang

c) Gọi∆ = (SAD)∩(SBC) thì∆là đường thẳng cố định Mặt khác,

I =AN ∩BM ⇒

®

I ∈AN ⊂(SAD)

I ∈BM ⊂(SBC) ⇒I ∈(SAD)∩(SBC)⇒I ∈∆

Từ đó,I điểm cố định

Bài Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnhSA, SB, SC, SD

1 Chứng minhM N P Q hình bình hành

2 GọiI điểm cạnhBC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IM N)

-Lời giải

a) Ta cóM N kAB;M N =

2AB P QkCD;P Q=

2CD Từ đó, suy M N =P Qvà M N kP Q

VậyM N P Q hình bình hành b) Ta có

    

   

I ∈(IM N)∩(ABCD) AB⊂(ABCD)

M N ⊂(IM N) ABkM N

⇒(IM N)∩(ABCD) =IJ kABkM N với J ∈AD Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(IM N)là hình thang

M N IJ B

A

C

D S

M N

P Q

I

J

Bài Cho tứ diệnABCD GọiI, J trung điểm củaBC vàBD,E điểm thuộc cạnhAD (E khácA vàD)

1 Xác định thiết diện tứ diện với(IJ E)

2 Tìm vị trí điểm E ADsao cho thiết diện hình bình hành

3 Tìm điều kiện tứ diệnABCD vị trí điểmE ADsao cho thiết diện hình thoi

-Lời giải a) Ta có

  

 

F ∈(IJ F)∩(ACD) IJ ⊂(IJ F), CD⊂(ACD) IJ kCD

⇒(IJ F)∩(ACD) =F E kCD k IJ

Thiết diện tứ giácIJ EF

b) Để thiết diện IJ EF hình bình hành thìIJ k=EF màIJ k= 2CD nênEF k=

2CD, hayEF đường trung bình tam giácACD ứng với cạnhCD, E trung điểm AD

c) Để thiết diện IJ EF hình thoi trước tiên phải hình bình hành, E trung điểm AD

Mặt khácIJ EF hình thoi thìIJ =IF, màIJ =

2CD, IF = 2AB⇒ AB=CD

Vậy điều kiện để thiết diện hình thoi tứ diện ABCD có AB =CD vàE trung điểm củaAD

B

C

D A

I

J E F

(65)

1 Hãy xác định điểmI ∈AC vàJ ∈DN cho IJ kBM 2 TínhIJ theo a

-Lời giải

a) Trong(BCD), từDkẻ đường thẳng song song với BM cắtBC tạiK NốiK vàN cắtAC tạiI Trong (IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt DN J

Khi đóIJ kBM

B

C

D A

M N

K

H

I J

b) DoBM đường trung bình tam giácCKD nên KD= 2BM = 2·a √

3 =a

√ GọiH trung điểm BC Khi

HN kAC⇒ N K N I =

KH HC =

3HC HC = ⇒N K= 3N I ⇒KD= 3IJ ⇒IJ =

3KD= a√3

3

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang Một mặt phẳng(α)cắt cạnhSA, SB, SC vàSD điểmM, N, P, Q

1 Giả sửM N∩P Q=I,AB∩CD =E Chứng minhI, E, S thẳng hàng 2 Giả sử∆ = (IBC)∩(IAD) và∆⊂(α) Chứng minhM QkN P kABkCD

-Lời giải

a) Ta có SE = (SAB) ∩ (SCD) I = M N ∩ P Q ⇒

®

I ∈M N ⊂(SAB)

I ∈P Q⊂(SCD) ⇒ I ∈ (SAB)∩(SCD), hay I ∈ SE b) Vì 

   

   

I ∈(IAD)∩(IBC) AD//BC

AD⊂(IAD) BC ⊂(IBC)

⇒(IAD)∩(IBC) = ∆kABkDC, I ∈∆

Mặt khác theo giả thiết∆⊂(α)nên     

   

∆⊂(α) BC⊂(SBC) ∆kBC

(α)∩(SBC) =N P

⇒N P k

BCk∆

A

E

D S

B C

M N

I P

Q

Tương tự ta có M QkADk∆ Vậy M QkN P kBC kADk∆ Bài Cho hình chópS.ABCD có đáy hình thang vớiADkBC GọiM điểm di động tứ giác ABCD Qua M vẽ đường thẳng song song với SA, SB cắt mặt (SBC) và(SAD) N, P

(66)

2 Tìm tập hợp điểmM cho M N·M P lớn

-Lời giải

a) Gọi E = AM ∩BC, F =BM ∩AD Từ M kẻ đường thẳng song song vớiSA, SBlần lượt cắtSE, SF N, P ThìN, P điểm cần dựng

b) Ta có M N SA = EM EA, M P SB = F M F B =

AM AE nên M N SA + M P SB = EM EA + AM

EA = Theo BĐT Cauchy ta có M N·M P =SA·SB·M N

SA · M P

SB ≤ SA·SB

4 Å M N SA + M P SB ã2

= SA·SB Vậy M N ·M P = SA·SB

4 M N SA = M P SB =

2 hay M trung điểm AE BF, tập hợp điểm M đường trung bình hình thangABCD

A B C D S F E M P N Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với đáyAD=avàBC=b GọiM, N, P trung điểm cạnh AB, CD vàSB

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(ADP) (SBC)

2 Tìm độ dài đoạn giao tuyến của(ADP)và (SM N)nằm bên hình chóp

-Lời giải

a) Ta có         

P ∈(ADP)∩(SBC) ADkBC

AD⊂(ADP) BC ⊂(SBC)

⇒(ADP)∩(SBC) =P QkADkBC, Q∈SC b) Gọi I =AP ∩SM, J =DQ∩SN Khi

IJ= (ADP)∩(SM N)

Dễ thấyI, J trọng tâm tam giác SAB SCD Gọi K=IJ∩P D, ta có IJ=IK+KJ suy

IK AD =

P I P A =

1

3 ⇒IK = 3AD=

1 3a Tương tự

J K P Q =

DI DQ =

2

3 ⇒J K = 3P Q=

2 ·

1 2BC=

1 3b VậyIJ =IK +KJ =

3(a+b)

A B C D S P Q M N I J Bài 10 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD hình bình hành GọiI, J trọng tâm tam giác SAB SAD M điểm cạnh SA choM A= 2M S Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng(M IJ)

(67)

Kéo dài M I cắt ABtại K, kéo dàiM J cắtAD L

Ta có(M IJ)∩(SAB) =M K;(M IJ)∩(SAD) =M L;(M IJ)∩ (ABCD) =KL

Vậy mặt phẳng(M IJ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tam giácM KL

S M I J A B C D L K Bài 11 Cho hình chóp S.ABC, M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song vớiSA, SB vàSC cắt mặt(SBC),(SCA),(SAB) điểmA0, B0, C0

1 Nêu cách dựng điểmA0, B0, C0 2 Chứng minh M A

0 SA +

M B0 SB +

M C0

SC có giá trị khơng đổi M di động tam giácABC 3 Xác định vị trí M để tíchM A0·M B0·M C0 lớn

-Lời giải

S C0 B0 A0 A B C E F I M

1 GọiE =AM∩BC, trong(SAE) vẽ đường thẳng quaM song song vớiSAcắtSE tạiA0 thìA0 điểm cần dựng

Các điểmB0, C0 dựng tương tự 2 Ta cóM A0kSA nên M A

0 SA =

M E AE =

SM BC

SABC

(1) Tương tự M B

0 SB =

IM IM =

SM AC

SABC

(2); M C SC =

F M F C =

SM AB

SABC

(3) Cộng đẳng thức (1), (2) (3) ta M A

0 SA +

M B0 SB +

M C0 SC = 3 Ta có

M A0·M B0·M C0 =SA·SB·SC·M A

0 SA ·

M B0 SB ·

M C0

SC ≤SA·SB·SC

ÖM A0

SA + M B0

SB + M C0

SC

è3

= SA·SB·SC

27

Đẳng thức xảy M A SA +

M B0 SB +

M C0 SC = ⇒ EM EA = IM IB = F M

(68)

ABC

Vậymax (M A0·M B0·M C0) =SA·SB·SC 27

Bài 12 Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng (α) cắt bốn cạnhAB, BC, CD, DAlần lượt M, N, P.Q Chứng minh M A·N B ·P C ·QD ≤ AB·BC·CD·AD

16 Khi đẳng thức xảy M N P Q hình gì?

-Lời giải

DoM, N, E, F đồng phẳng nên theo đinh lí Menelauyt khơng gian ta có M A

M B · N B N C ·

P C P D ·

QD QA = Do

(M A.N B.P C.QD)2 =

= (M A.N B.P C.QD) (M B.N C.P D.QA)(1) Theo BĐT Cauchy ta có

M A.M B≤

ÅM A+M B

2

ã2

= AB

2

4 N B.N C ≤

ÅN B+N C

2

ã2

= BC

2

4 P C.P D≤

ÅP C +P D

2

ã2

= CD

2

4 QD.QA≤

ÅQD+QA

2

ã2

= AD

2

4

D Q

M A

B N

P C Nhân theo vế BĐT kết hợp với (1) thu được:

M A·N B·P C·QD≤ AB·BC·CD·AD

16

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

C Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt khơng song song chéo

D Hai đường thẳng phân biệt không chéo cắt song song

-Lời giải

Hai đường thẳng khơng có điểm chung chúng song song (khi chúng đồng phẳng) chéo (khi chúng không đồng phẳng)

Chọn đáp án A

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác

B Hai đường thẳng song song chúng không điểm chung

C Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng

D Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng

-Lời giải

Mệnh đề “Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác” sai trường hợp đường thẳng cắt chúng có điểm chung

Mệnh đề “Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác” sai hai đường thẳng song song chúng đồng phằng khơng có điểm chung

Mệnh đề “Hai đường thẳng song song chúng khơng đồng phẳng” sai hai đường thẳng song song chúng đồng phằng điểm chung

Chọn đáp án D

(69)

B Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba trùng

C Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với trùng

D Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng nằm hai mặt phẳng song song

-Lời giải

Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với trùng

Chọn đáp án C

A Hai đường thẳng chéo chúng có điểm chung

B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo

C Hai đường thẳng song song với chúng mặt phẳng

D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng phân biệt hai đường thẳng chéo

-Lời giải

Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo chúng có điểm chung” sai hai đường thẳng chéo chúng khơng có điểm chung

Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với chúng mặt phẳng” sai xảy trường hợp hai đường thẳng cắt trùng

Mệnh đề “Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng phân biệt hai đường thẳng chéo nhau” sai xảy trường hợp hai đường thẳng song song

Chọn đáp án B

Câu Cho hai đường thẳng chéo nhauavàb LấyA, BthuộcavàC, Dthuộcb Khẳng định sau nói hai đường thẳngAD vàBC?

A Có thể song song cắt B Cắt

C Song song với D Chéo

-Lời giải

Theo giả thiết, avàb chéo nhau⇒avà bkhông đồng phẳng Giả sửAD vàBC đồng phẳng

NếuAD∩BC =I ⇒I ∈(ABCD)⇒I ∈(a;b)

Màa vàbkhơng đồng phẳng, đó, khơng tồn điểm I NếuADkBC ⇒avàb đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết) Vậy điều giả sử sai Do ADvà BC chéo

A

B

C D a

b

Chọn đáp án D

Câu Cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ) có (α)∩(β) =d1;(β)∩(γ) =d2;(α)∩(γ) =d3 Khi

đó ba đường thẳng d1, d2, d3

A đôi cắt B đôi song song

C đồng quy D đôi song song đồng quy

-Lời giải

Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyền đồng quy đôi song song

Chọn đáp án D

Câu Trong không gian, cho đường thẳnga, b, c, biếtakb,avàcchéo Khi hai đường thẳng bvà c

A trùng chéo B cắt chéo

C chéo song song D song song trùng

-Lời giải

Giả sửbkc⇒cka(mâu thuẫn với giả thiết)

(70)

Câu Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, ctrong akb Khẳng định sau

sai?

A Nếu akcthì bkc

B Nếu ccắt athìc cắtb

C Nếu A∈avà B∈bthì ba đường thẳng a, b, AB mặt phẳng

D Tồn mặt phẳng qua avàb

-Lời giải

Nếuccắt athìc cắtbhoặc cchéo b

Chọn đáp án B

Câu Cho hai đường thẳng chéo a, b điểm M a b Có nhiều đường thẳng qua M cắt cảavàb?

A B C D Vô số

-Lời giải

GọiP mặt phẳng tạo đường thẳng avà M; Qlà mặt phẳng tạo đường thẳngb vàM

Giả sửclà đường thẳng quaM cắt avàb ⇒

®

c∈P

c∈Q ⇒c=P ∩Q

Vậy có đường thẳng qua M cắt cảavàb

c

a

b M

P

Q

Chọn đáp án A

Câu 10 Trong không gian, cho đường thẳng a, b, cchéo đơi Có nhiều đường thẳng cắt đường thẳng ấy?

A B C D Vô số

-Lời giải

GọiM điểm nằm a

Giả sử dlà đường thẳng qua M cắt b c Khi đó, d giao tuyến mặt phẳng tạo M b với mặt phẳng tạo bởiM c

Với điểm M ta đường thẳngd

Vậy có vơ số đường thẳng cắt đường thẳnga, b, c

Chọn đáp án D

Câu 11 Cho tứ diệnABCD GọiI, J trọng tâm tam giácABC vàABD Chọn khẳng định khẳng định sau?

A IJ song song vớiCD B IJ song song vớiAB

C IJ chéo CD D IJ cắtAB

-Lời giải

GọiM, N trung điểm BC, BD

⇒M N đường trung bình tam giácBCD⇒M N kCD (1) I, J trọng tâm tam giácABC vàABD⇒ AI

AM = AJ AN =

2 ⇒ IJkM N (2)

Từ(1)và (2)suy IJ kCD

A

D

B I C

J N

M

Chọn đáp án A

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có AD khơng song song với BC.GọiM, N, P, Q, R, T trung điểmAC, BD, BC, CD, SA, SD.Cặp đường thẳng sau song song với nhau?

A M P RT B M Qvà RT C M N vàRT D P QvàRT

(71)

Ta có: M, Q trung điểm củaAC, CD ⇒M Qlà đường trung bình tam giácCAD⇒M QkAD(1)

Ta có: R, T trung điểm SA, SD ⇒ RT đường trung bình tam giácSAD⇒RT kAD(2)

Từ(1),(2) suy ra:M QkRT

S

M N B

P A

R

D Q T

C

Chọn đáp án B

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành Gọi I, J, E, F trung điểm SA, SB, SC, SD.Trong đường thẳng sau, đường thẳng không song song vớiIJ?

A EF B DC C AD D AB

-Lời giải

Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình tam giác SAB) EF kCD (tính chất đường trung bình tam giác SCD)

MàCD kAB (đáy hình bình hành) ⇒CDkABkEF kIJ

S

F

B C

A J

D I

Chọn đáp án C

Câu 14 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng AB P, Q hai điểm phân biệt thuộc đường thẳngCD Xét vị trí tương đối hai đường thẳngM P, N Q

A M P kN Q B M P ≡N Q C M P cắtN Q D M P, N Qchéo

-Lời giải

Xét mặt phẳng(ABP)

Ta có:M, N thuộcAB⇒M, N thuộc mặt phẳng(ABP) Mặt khác:CD∩(ABP) =P

Mà:Q∈CD⇒Q /∈(ABP) ⇒M, N, P, Q không đồng phẳng

A

C

B D

M N

P Q

Chọn đáp án D

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành Gọidlà giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Khẳng định sau đúng?

A dquaS song song vớiBC B dqua S song song với DC

C dquaS song song vớiAB D dqua S song song với BD

(72)

Ta có   

 

(SAD)∩(SBC) =S

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC) ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =SxkADkBC (với d≡Sx)

S

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 16 Cho tứ diện ABCD GọiI J theo thứ tự trung điểm AD vàAC, G trọng tâm tam giácBCD Giao tuyến hai mặt phẳng(GIJ) (BCD) đường thẳng

A qua I song song với AB B qua J song song vớiBD

C qua Gvà song song vớiCD D quaGvà song song với BC

  

 

(GIJ)∩(BCD) =G IJ ⊂(GIJ), CD⊂(BCD) IJ kCD

⇒(GIJ)∩(BCD) =GxkIJkCD

A

B G C

J

D I

Chọn đáp án C

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi (ACI) trung điểm củaAD vàBC vàG trọng tâm tam giácSAB Giao tuyến của(SAB) và(IJ G)

A SC B đường thẳng qua S song song vớiAB

C đường thẳng qua Gvà song song với DC D đường thẳng quaG cắtBC

-Lời giải

Ta có:I, Jlần lượt trung điểm củaADvàBC⇒IJlà đường trung bình hình thangABCD⇒ IJ kAB k CD

Gọid= (SAB)∩(IJ G)Ta có:Glà điểm chung hai mặt phẳng(SAB) (IJ G)

Mặt khác:

®

(SAB)⊃AB; (IJ G)⊃IJ ABkIJ

⇒Giao tuyếndcủa(SAB)và(IJ G)là đường thẳng qua Gvà song song với ABvà IJ

S

G

C D

A I

P

B J Q

Chọn đáp án C

Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SA.Thiết diện hình chóp S.ABCDcắt mặt phẳng (IBC)

A Tam giácIBC B Hình thang IBCJ (J trung điểm SD)

C Hình thang IGBC (G trung điểmSB) D Tứ giácIBCD

(73)

Ta có   

 

(IBC)∩(SAD) =I

BC ⊂(IBC), AD⊂(SAD) BC kAD

, suy ra(IBC)∩(SAD) =IxkBCkAD Trong mặt phẳng(SAD):

IxkAD,gọi Ix∩SD=J ⇒IJ kBC

Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (IBC) hình thangIBCJ

S

A I

B C

D J

Chọn đáp án B

Câu 19 Cho tứ diện ABCD, M vàN trung điểmAB vàAC.Mặt phẳng(α)qua M N cắt tứ diệnABCD theo thiết diện đa giácT Khẳng định sau đúng?

A T hình chữ nhật

B T tam giác

C T hình thoi

D T tam giác hình thang hình bình hành

-Lời giải

A

B

M

C

D K N

A

B

M

C

I D

N

J

Trường hợp(α)∩AD=K Suy raT tam giácM N K Do A C sai

Trường hợp(α)∩(BCD) =IJ,vớiI ∈BD, J∈CD;I, J không trùngD.Suy raT tứ giác

Chọn đáp án D

Câu 20 Cho hai hình vng ABCDvàCDIS khơng thuộc mặt phẳng cạnh bằng4.Biết tam giác SAC cân S, SB= 8.Thiết diện mặt phẳng (ACI)và hình chóp S.ABCDcó diện tích

A 6√2 B 8√2 C 10√2 D 9√2

-Lời giải

GọiO=SD∩CI; N =AC∩BD

⇒O, N trung điểm củaDS, DB⇒ON =

2SB= Thiết diện mp(ACI) hình chóp S.ABCD tam giác OCA

Tam giác SAC cân S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA ⇒CO=AO(cùng đường trung tuyến của2đỉnh tương ứng) ⇒ 4OCAcân tạiO⇒S4OCA =

1

2ON·AC= 2·4·4

√

2 = 8√2

S I

A B

D N C

O

Chọn đáp án B

Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD Gọi M, N trung điểm củaSA SB.GọiP giao điểm SC (AN D).Gọi I giao điểm củaAN vàDP.Hỏi tứ giácSABI hình gì?

(74)

-Lời giải

GọiE=AD∩BC, P =N E∩SC Suy raP =SC∩(AN D) Ta có S điểm chung thứ hai mặt phẳng (SAB) (SCD); I = DP ∩AN ⇒ I điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SAB) và(SCD)

Suy raSI = (SAB)∩(SCD)

MàABkCD⇒SI kABkCD VìM N đường trung bình tam giácSABvà chứng minh đường trung bình tam giácSAI nên suy SI =AB

VậySABI hình bình hành

S I

M

B

C P A

N

D E

Chọn đáp án A

Câu 22 Cho tứ diệnABCD.Các điểmP, Qlần lượt trung điểm củaAB vàCD;điểmRnằm cạnh BC cho BR= 2RC.GọiS giao điểm mặt phẳng(P QR) cạnhAD.Tính tỉ số SA

SD

A B C

2 D

1

-Lời giải

A

S P

C

Q

D B

R

I

GọiI giao điểm củaBD vàRQ NốiP vớiI,cắt ADtại S Xét tam giácBCD bị cắt bởiIR,ta có DI

IB · BR RC ·

CQ

QD = 1⇔ DI

IB ·2·1 = 1⇔ DI IB =

1 Xét tam giácABD bị cắt bởiP I, ta có AS

SD · DI IB ·

BP

P A = 1⇔ SA SD·

1

2 ·1 = 1⇔ SA SD =

Chọn đáp án A

Câu 23 Cho tứ diệnABCD ba điểmP, Q, Rlần lượt lấy ba cạnhAB, CD, BC.ChoP RkAC CQ= 2QD Gọi giao điểm củaAD và(P QR) làS.Chọn khẳng định đúng?

A AD= 3DS B AD= 2DS C AS = 3DS D AS =DS

(75)

A S P C Q D B R I

GọiI giao điểm củaBD vàRQ NốiP vớiI,cắt ADtại S Ta có DI

IB · BR RC ·

CQ

QD = mà CQ

QD = suy DI IB · BR RC = ⇔ DI IB = 2· RC BR VìP R song song vớiAC suy RC

BR = AP P B ⇒

DI IB =

1 ·

AP P B Lại có SA

SD· DI IB ·

BP

P A = 1⇒ SA SD ·

1 2·

AP P B ·

BP

P A = 1⇔ SA

SD = 2⇒AD= 3DS

Chọn đáp án A

Câu 24 GọiGlà trọng tâm tứ diệnABCD.GọiA0 trọng tâm tam giácBCD.Tính tỉ số GA GA0

A B C

3 D

1

-Lời giải

A M G C D A0 B E

GọiE trọng tâm tam giác ACD, M trung điểm củaCD NốiBE cắtAA0 Gsuy Glà trọng tâm tứ diện

Xét tam giácM AB, có M E M A =

M A0 M B =

1

3 suy A

0E kAB⇒ A0E AB =

1 Khi đó, theo định lí Talet suy A

0E AB =

A0G AG =

1 ⇒

GA GA0 =

Chọn đáp án B

Câu 25 Cho tứ diện ABCD có tam giácBCDkhông cân GọiM, N trung điểm AB, CD Glà trung điểm đoạn M N Gọi A1 giao điểm củaAG (BCD) Khẳng định sau

đây đúng?

A A1 tâm đường tròn tam giác BCD B A1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD

C A1 trực tâm tam giác BCD D A1 trọng tâm tam giác BCD

(76)

A

M

G

C P

N

D B

A1

Mặt phẳng(ABN)cắt mặt phẳng(BCD) theo giao tuyếnBN MàAG⊂(ABN) suy AGcắt BN điểm A1

QuaM dựng M P kAA1 với P ∈BN CóM trung điểm AB suy P trung điểm BA1 ⇒BP =

P A1 (1)

Tam giácM N P có M P kGA1 Glà trung điểm M N

⇒A1 trung điểm củaN P ⇒P A1 =N A1 (2)

Từ(1), (2) suy BP =P A1 =A1N ⇒

BA1

BN =

3 Mà N trung điểm CD, đó, A1 trọng tâm tam giácBCD

Chọn đáp án D

Câu 26 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểmM củaBC, song song vớiBDvà SC hình gì?

A Tam giác B Ngũ giác C Lục giác D Tứ giác

-Lời giải

GọiN, P, Rlần lượt trung điểm CD, SD vàSB GọiI giao điểm củaAC vàM N

TừI kẻ IQ song song vớiSC

Ta cóM RkIQkN P kSC⇒(M N P QR)kSC (1) Ta cóM N kBD⇒(M N P QR)kBD (2)

Từ(1)và (2)ta thiết diện cần tìm ngũ giác M N P QR

A

B C

D

M

N S

P R

Q

I

Chọn đáp án B

A Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt song song

B Hai đường thẳng không nằm mặt phẳng chéo

C Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

D Hai đường thẳng khơng có điểm chung song song với

-Lời giải

“Hai đường thẳng điểm chung chéo nhau” sai hai đường thẳng song song “Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt song song” sai hai đường thẳng chéo

“Hai đường thẳng không nằm mặt phẳng chéo nhau”

“Hai đường thẳng khơng có điểm chung song song với nhau” sai hai đường thẳng chéo

(77)

Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thang vớiAD kBC Giao tuyến (SAD) (SBC)

A Đường thẳng quaS song song vớiAB B Đường thẳng qua S song song với AC

  

 

S ∈(SAD)∩(SBC) BC kAD

BC ⊂(SBC); AD⊂(SAD)

Suy giao tuyến của(SAD) và(SBC) đường thẳng qua S song song với AD

C

D S

A B

Chọn đáp án C

Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm thuộc đoạn SB (M khác S B) Mặt phẳng(ADM)cắt hình chóp S.ABCDtheo thiết diện

A Hình bình hành B Tam giác C Hình chữ nhật D Hình thang

®

M ∈(ADM)∩(SBC) ADkBC

⇒(ADM)∩(SBC) =M xkADkBC Trong mặt phẳng(SBC), gọiN =M x∩SC

Do đó,ADN M thiết diện S.ABCD cắt mặt phẳng(ADM) VìADkM N vàM N < AD nên ADN M hình thang

C B N

M A

D

S

Chọn đáp án D

Câu 30 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Gọi M, N, K trung điểm CD, CB, SA Gọi H giao điểm AC M N Giao điểm SO với (M N K) điểm E Hãy chọn cách xác định điểmE bốn phương án sau

A E giao M N vàSO

B E giao KN SO

C E giao KH SO

D E giao KM vàSO

A

B C

D M K

S

H O N

(78)

Trong (SAC) :KH∩SO ≡E suy SO∩(M N K)≡E

A

B

E

C

D M K

S

H O N

Chọn đáp án C

Câu 31 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành Giao tuyến (SAB) và(SCD)

A Đường thẳng quaS song song vớiAB B Đường thẳng qua S song song với BD

C Đường thẳng quaS song song vớiAD D Đường thằng quaS song song với AC

-Lời giải

Ta có ABk CD AB ⊂(SAB),CD ⊂(SCD) nên giao tuyến

(SAB)và (SCD) đường thẳng quaS song song với AB S

A

B C

D

Chọn đáp án A

Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD, đáyABCD hình bình hành Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và(SBC)là đường thẳng song song với đường thẳng sau đây?

A AC B DC C AD D BD

  

 

S∈(SAD)∩(SBC) ADkBC

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)

⇒ (SAD)∩(SBC) =d, dđi qua Svà dkADkBC

S

D C

A B

d

Chọn đáp án C

Câu 33 Cho tứ diệnABCDcóM,N hai điểm phân biệt cạnhAB Mệnh đề sau đúng?

A CM vàDN chéo B CM DN cắt

C CM vàDN đồng phẳng D CM DN song song

(79)

Giả sử CM DN đồng phẳng Khi đó, ta có A, B thuộc mặt phẳng(M N DC), suy A,B,C,D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD tứ diện

VậyCM DN chéo

M N

C

B D

A

Chọn đáp án A

Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành Lấy hai điểm M N hai cạnh SB, SD cho SM = 2M B; SN = 2N D, đường thẳng SC cắt mặt phẳng (AM N) C0 Tính tỉ số k= SC

0 SC

A k=

4 B k=

3 C k=

3 D k=

-Lời giải

A O

B C

S

M

C0 N

D G

Gọi O tâm hình bình hành ABCD, G giao điểm củaM N SO Dễ thấy G trọng tâm tam giácSAC, suy SC

0 SC =

1

Chọn đáp án D

Câu 35 Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt đôi theo ba giao tuyến d1, d2, d3, d1 song

song vớid2 Khi vị trí tương đối d2 vàd3

A chéo B cắt C song song D trùng

-Lời giải

Đây nội dung hệ định lý ba giao tuyến Sách Giáo Khoa

Chọn đáp án C

Câu 36 Nếu ba đường thẳng không nằm mặt phẳng đôi cắt

A ba đường thẳng tạo thành tam giác B ba đường thẳng đồng quy

C ba đường thẳng trùng D khơng có ba đường thẳng

-Lời giải

Nếu ba đường thẳng không nằm mặt phẳng đơi cắt ba đường thẳng đồng quy

Chọn đáp án B

Câu 37 Tìm mệnh đề saitrong mệnh đề sau

(80)

B Tồn nhât đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng

C Hai đường thẳng song song đồng phẳng

D Hai đường thẳng khơng đồng phẳng khơng có điểm chung

-Lời giải

Mệnh đề "Tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng" sai điểm thuộc đường thẳng cho khơng tồn đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước

Chọn đáp án A

Câu 38 Ba mặt phẳng phân biệt cắt đơi ba giao tuyến chúng có vị trí tương đối?

A B C D

-Lời giải

Ba mặt phẳng phân biệt cắt đơi ba giao tuyến song song đồng quy

Chọn đáp án B

Câu 39 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang, gọiO giao điểm hai đường chéoAC vàBD BiếtABkCD vàAB =

2CD GọiN trung điểm cạnhSB vàP giao điểm đường thẳng DN với mặt phẳng(SAC) Tính tỉ số P O

P S

A

5 B

3

7 C

2

7 D

3

-Lời giải

DựngOK kSB,K∈DN Suy P O

P S = OK SN =

OK N B =

DO DB Mà AB

CD = ⇒

OB OD =

3 Suy P O

P S =

D

P

C O K

S

A

B N

Chọn đáp án A

Câu 40 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm củaAB, AC,E điểm cạnhCD choED= 3EC Thiết diện tạo mặt phẳng (M N E) tứ diệnABCD

A Tam giácM N E

B Hình thang M N EF với F điểm cạnh BD choEF kBC

C Tứ giác M N EF vớiF điểm cạnh BD

D Hình bình hànhM N EF với F điểm cạnh BDsao cho EF kBC

-Lời giải

•Thiết diện tứ giác M N EF

•M N kEF vàM N 6=EF nênM N EF hình thang

B

D F

A

C

M

E N

Chọn đáp án B

Câu 41 Cho tứ diện ABCD Điểm M thuộc cạnh BC cho M C = 2M B, điểmN, P trung điểm củaBD, AD GọiQ giao điểm củaAC với mặt phẳng(M N P),tính tỉ số QC

(81)

A QC QA =

3

2 B QC QA =

5

2 C QC

QA = D QC QA =

1

-Lời giải

QM giao tuyến mặt phẳng (M N P) với mặt phẳng(ABC) Và doN P kAB nên QM kAB.Suy

QC QA =

M C M B =

A

N

C M

B

P

D Q

Chọn đáp án C

Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, ADk BC,AD = 2BC Gọi M trung điểmSA Mặt phẳng(M BC) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện

A hình bình hành B tam giác

C hình tứ giác (khơng hình thang) D hình thang (khơng hình bình hành)

-Lời giải

Gọi N giao SD mặt phẳng (M BC) Do mặt phẳng (M BC) (SAD) chứa hai đường song song BC AD, nên giao tuyến chúng song song với hai đường đó, tứcM N k AD.Suy raN trung điểm củaSD

Khi đó,M N đường trung bình tam giácSAD, suy M N =

2AD=BC.Vậy, thiết diệnBCN M hình bình hành

S

B C

M

A D

N

Chọn đáp án A

Câu 43 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trọng tâm hai tam giác ABC ACD Khi ta có

A M N cắtBC B M N kBD C M N cắtAD D M N kCD

-Lời giải

GọiI trung điểm đoạnAC ⇒ DN DI =

BM BI =

2 ⇒M N kBD

I A

B C

D

N

M

Chọn đáp án B

Câu 44 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với

B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt

C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với

(82)

-Lời giải

Mệnh đề “ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng thứ ba vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai ” mệnh đề

Chọn đáp án D

Câu 45 Cho tứ diệnABCD GọiM vàN trung điểmAB vàAC,E điểm cạnhCD với ED= 3EC Thiết diện tạo mặt phẳng(M N E) tứ diện ABCD

A Tam giácM N E

-Lời giải

M N trung điểm AB AC nên M N k BC M N =

2BC

QuaE kẻ đường thẳng song song vớiBC, cắtBDtạiF thìEF kM N Ta có EF

BC = DE DC =

3

4 ⇒EF =

4BC > M N

Vậy thiết diện tạo mặt phẳng(M N E) tứ diệnABCD là hình thangM N EF

A

C B

M

D N

F

E

Chọn đáp án D

Câu 46 Trong không gian cho đường thẳng∆và điểmO khơng nằm trong∆ QuaO có đường thẳng song song với∆?

A B C D Vô số

-Lời giải

QuaO có đường thẳng song song với∆

Chọn đáp án C

Câu 47 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo cắt

B Hai đường thẳng phân biệt không song song chéo

C Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng chéo

D Hai đường thẳng phân biệt thuộc hai mặt phẳng khác chéo

-Lời giải

Hai đường thẳng nằm mặt phẳng có ba vị trí tương đối là: song với nhau, trùng cắt Do hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng chéo

Chọn đáp án C

Câu 48 Cho hai đường thẳng phân biệt avàb khơng gian Có vị trí tương đối giữaavà b?

A B C D

-Lời giải

Hai đường thẳng phân biệtavàbtrong khơng gian có3vị trí tương đối: Cắt nhau, chéo song song với

Chọn đáp án A

Câu 49 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J K trung điểm AC, BC BD Giao tuyến hai mặt phẳng(ABD)và (IJ K) đường thẳng

A KD B qua K song song với AB

C KI D quaI song song vớiJ K

(83)

Ta có điểmK điểm chung hai mặt phẳng (ABD)và (IJ K) Mặt khác ta cóIJ kAB,IJ ⊂(IJ K),AB⊂(ABD)

Suy giao tuyến hai mặt phẳng(ABD)và(IJ K)là đường thẳng qua điểmK song song vớiAB

B

C

D A

I

J

K

x

Chọn đáp án B

Câu 50 Cho ba đường thẳng đôi chéo Mệnh đề mệnh đề sau

A Không có đường thẳng cắt ba đường thẳng cho

B Có hai đường thẳng cắt ba đường thẳng cho

C Có vơ số đường thẳng cắt ba đường thẳng cho

D Có đường thẳng cắt ba đường thẳng cho

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 51 Trong không gian cho hai đường thẳng song song avà b Kết luận sau đúng?

A Nếuc cắtathì cvàb chéo B Nếu ckathìckbhoặcc≡b

C Nếu c vàachéo thìc vàb chéo D Nếucvàa cắt thìc vàb cắt

-Lời giải

Cho hai đường thẳngavàbsong song, đường thẳngc song song vớiathìcsong song trùng với b

Chọn đáp án B

Câu 52 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang, đáy lớn CD GọiM trung điểm cạnhSA,N giao điểm cạnhSB mặt phẳng(M CD) Mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A M N SDcắt B M N kCD

C M N SC cắt D M N vàCD chéo

-Lời giải

Hai mặt phẳng(SAB)và(M CD)lần lượt chứa hai đường thẳng song songAB,CD vàM N giao tuyến chúng nên M N kCD

A D

M

C

B N S

Chọn đáp án B

Câu 53 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình bình hành GọiGlà trọng tâm tam giác ABC M trung điểm SC GọiK giao điểm SDvới mặt phẳng(AGM) Tính tỉ số KS

KD

A

2 B

1

3 C D

(84)

Gọi N, P giao điểm AG với CB, CD ta có K=P M∩SD GọiLlà trung điểm củaKDthìCLkM K Suy raK trung điểm củaSL Do vậyKD= 2KS, hay KS

KD =

A

B

G

C

D

P

L K

M S

N

Chọn đáp án A

A Hai đường thẳng không song song chéo

C Hai đường thẳng khơng cắt khơng song song chéo

D Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

-Lời giải

Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng không nằm mặt phẳng khơng có điểm chung

Chọn đáp án B

Câu 55 Cho tứ diện ABCDcó cạnh a Gọi G1, G2 trọng tâm tam giácBCDvà

ACDvà Glà giao điểm AG1 BG2 Tính diện tích tam giác GAB

A a

2√3

8 B

3a2√2

8 C

3a2√3

8 D

a2√2

-Lời giải

GọiM, H trung điểm CD, AB Ta cóAM =BM = a

√

2 nên4ABM cân tạiM, suy raM H ⊥AB, dẫn tớiM H =√AM2−AH2=

…

3a2 −

a2 =

a√2 Diện tích4ABM làSABM =

AB·HM =

a2√2 Lại có M G1

M B = M G2

M A =

3 ⇒G1G2 kAB⇒ BG GG2

= AB G1G2

= Dẫn tới SABG=

3

4SABG2 =

2SABM = a2√2

8

A

D B

H

M C G

G1

G2

Chọn đáp án D

Câu 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M, N trung điểm cạnh AB SC Gọi I, J theo thứ tự giao điểm AN, M N với mặt phẳng (SBD) Tính k =

IA IN +

J M J N

A k= B k= C k= D k=

(85)

Gọi O giao điểm AC BD, SO giao tuyến (SBD) (SAC) nên I giao điểm củaAN vàSO

Vì O, N trung điểm AC, SC nên I trọng tâm tam giác SAC, suy IA

IN =

GọiK giao điểm M C BD, SK giao tuyến (SBD) (SM C) nên J giao điểm M N vàSK

VìO, M trung điểm AC, AB nênK trọng tâm tam giácABC, suy raCK = 2M K

GọiG trung điểm KC N Glà đường trung bình 4SKC nên SK k N G Lại có K trung điểm M G nên J trung điểm M N hay J M

J N = Vậyk=

S

A B

O K M

G D

I

N

C J

Chọn đáp án D

Câu 57 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua trung điểmM củaBC, song song vớiBDvà SC hình gì?

A Tam giác B Ngũ giác C Lục giác D Tứ giác

-Lời giải

GọiN, P, Rlần lượt trung điểm CD, SD vàSB GọiI giao điểm củaAC vàM N

TừI kẻ IQ song song vớiSC

Ta cóM RkIQkN P kSC⇒(M N P QR)kSC (1) Ta cóM N kBD⇒(M N P QR)kBD (2)

Từ(1)và (2)ta thiết diện cần tìm ngũ giác M N P QR

A

B C

D

M

N S

P R

Q

I

Chọn đáp án B

A Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt song song

B Hai đường thẳng không nằm mặt phẳng chéo

C Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

D Hai đường thẳng khơng có điểm chung song song với

-Lời giải

“Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo nhau” sai hai đường thẳng song song “Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt song song” sai hai đường thẳng chéo

“Hai đường thẳng khơng nằm mặt phẳng chéo nhau”

“Hai đường thẳng khơng có điểm chung song song với nhau” sai hai đường thẳng chéo

Chọn đáp án B

Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thang vớiAD kBC Giao tuyến (SAD) (SBC)

A Đường thẳng quaS song song vớiAB B Đường thẳng qua S song song với AC

(86)

Ta có   

 

S ∈(SAD)∩(SBC) BC kAD

BC ⊂(SBC); AD⊂(SAD)

Suy giao tuyến của(SAD) và(SBC) đường thẳng qua S song song với AD

C

D S

A B

Chọn đáp án C

Câu 60 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm thuộc đoạn SB (M khác S B) Mặt phẳng(ADM)cắt hình chóp S.ABCDtheo thiết diện

A Hình bình hành B Tam giác C Hình chữ nhật D Hình thang

®

M ∈(ADM)∩(SBC) ADkBC

⇒(ADM)∩(SBC) =M xkADkBC Trong mặt phẳng(SBC), gọiN =M x∩SC

Do đó,ADN M thiết diện S.ABCD cắt mặt phẳng(ADM) VìADkM N vàM N < AD nên ADN M hình thang

C B N

M

A

D

S

Chọn đáp án D

Câu 61 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Gọi M, N, K trung điểm CD, CB, SA Gọi H giao điểm AC M N Giao điểm SO với (M N K) điểm E Hãy chọn cách xác định điểmE bốn phương án sau

A E giao M N vàSO

B E giao KN SO

C E giao KH SO

D E giao KM vàSO

A

B C

D M K

S

H O N

(87)

Trong (SAC) :KH∩SO ≡E suy SO∩(M N K)≡E

A

B

E

C

D M K

S

H O N

Chọn đáp án C

Câu 62 Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt theo giao tuyến đường thẳng d Đường thẳng a song song với hai mặt phẳng(P),(Q) Khẳng định sau đúng?

A a,dtrùng B a,dchéo C asong song d D a,dcắt

-Lời giải

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng

Chọn đáp án C

Câu 63

Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành tâm O GọiM, N, K trung điểm củaCD, CB,SA H giao điểm AC M N Giao điểm SO với (M N K) điểm E Hãy chọn cách xác định điểm E bốn phương án sau

A E giao M N vớiSO

B E giao KN với SO

C E giao KH với SO

D E giao KM vớiSO

O

D M C

S

H

B N K

A E

-Lời giải

GọiE=KH∩SO⇒

®

E∈KH⊂(KM N)

E∈SO ⇒E =SO∩(KM N)

Chọn đáp án C

Câu 64 Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) sẽ:

A Song song với hai đường thẳng

B Song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

C Trùng với hai đường thẳng

D Cắt hai đường thẳng

-Lời giải Theo lý thuyết

Chọn đáp án B

Câu 65 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

C Hai đường thẳng phân biệt không cắt khơng song song chéo

D Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo cắt song song

-Lời giải

(88)

Chọn đáp án A Câu 66 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác

B Hai đường thẳng song song chúng không điểm chung

C Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng

D Hai đường thẳng chéo chúng không đồng phẳng

-Lời giải

Mệnh đề “Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác” sai trường hợp đường thẳng cắt chúng có điểm chung

Mệnh đề “Hai đường thằng có điểm chung chúng có vơ số điểm chung khác” sai hai đường thẳng song song chúng đồng phằng khơng có điểm chung

Mệnh đề “Hai đường thẳng song song chúng không đồng phẳng” sai hai đường thẳng song song chúng đồng phằng khơng có điểm chung

Chọn đáp án D

Câu 67 Cho hai đường thẳng chéo a b Lấy A, B thuộc a C, D thuộc b Khẳng định sau nói hai đường thẳngAD vàBC?

A Có thể song song cắt B Cắt

C Song song với D Chéo

-Lời giải

Theo giả thiết, avàb chéo nhau⇒avà bkhông đồng phẳng Giả sửAD vàBC đồng phẳng

NếuAD∩BC =I ⇒I ∈(ABCD)⇒I ∈(a;b)

Màa vàbkhông đồng phẳng, đó, khơng tồn điểm I NếuADkBC ⇒avàb đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết) Vậy điều giả sử sai Do ADvà BC chéo

A

B

C D a

b

Chọn đáp án D

Câu 68 Trong không gian, cho đường thẳnga, b, c, biếtakb,avàcchéo Khi hai đường thẳng bvà c

A trùng chéo B cắt chéo

C chéo song song D song song trùng

-Lời giải

Giả sửbkc⇒cka(mâu thuẫn với giả thiết)

Chọn đáp án B

Câu 69 Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, ctrong đóakb Khẳng định sau

sai?

A Nếu akcthì bkc

B Nếu ccắt athìc cắtb

C Nếu A∈avà B∈bthì ba đường thẳng a, b, AB mặt phẳng

D Tồn mặt phẳng qua avàb

-Lời giải

Nếuccắt athìc cắtbhoặc cchéo b

Chọn đáp án B

Câu 70 Cho hai đường thẳng chéo a, b điểm M a b Có nhiều đường thẳng qua M cắt cảavàb?

A B C D Vô số

(89)

GọiP mặt phẳng tạo đường thẳng avà M; Qlà mặt phẳng tạo đường thẳngb vàM

Giả sửclà đường thẳng quaM cắt avàb ⇒

®

c∈P

c∈Q ⇒c=P ∩Q

Vậy có đường thẳng qua M cắt cảavàb

c

a

b M

P

Q

Chọn đáp án A

Câu 71 Trong không gian, cho đường thẳng a, b, cchéo đơi Có nhiều đường thẳng cắt đường thẳng ấy?

A B C D Vô số

-Lời giải

GọiM điểm nằm a

Giả sử dlà đường thẳng qua M cắt b c Khi đó, d giao tuyến mặt phẳng tạo M b với mặt phẳng tạo bởiM c

Với điểm M ta đường thẳngd

Vậy có vơ số đường thẳng cắt đường thẳnga, b, c

Chọn đáp án D

Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC.GọiM, N, P, Q, R, T trung điểmAC, BD, BC, CD, SA, SD.Cặp đường thẳng sau song song với nhau?

A M P RT B M Qvà RT C M N vàRT D P QvàRT

-Lời giải

Ta có: M, Q trung điểm củaAC, CD ⇒M Qlà đường trung bình tam giácCAD⇒M QkAD(1)

Ta có: R, T trung điểm SA, SD ⇒ RT đường trung bình tam giácSAD⇒RT kAD(2)

Từ(1),(2) suy ra:M QkRT

S

M N B

P A

R

D Q T

C

Chọn đáp án B

Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành Gọi I, J, E, F trung điểm SA, SB, SC, SD.Trong đường thẳng sau, đường thẳng không song song vớiIJ?

A EF B DC C AD D AB

-Lời giải

Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình tam giác SAB) EF kCD (tính chất đường trung bình tam giác SCD)

MàCD kAB (đáy hình bình hành) ⇒CDkABkEF kIJ

S

F

B C

A J

D I

Chọn đáp án C

(90)

A M P kN Q B M P ≡N Q C M P cắtN Q D M P, N Qchéo

-Lời giải

Xét mặt phẳng(ABP)

Ta có:M, N thuộcAB⇒M, N thuộc mặt phẳng(ABP) Mặt khác:CD∩(ABP) =P

Mà:Q∈CD⇒Q /∈(ABP) ⇒M, N, P, Q không đồng phẳng

A

C

B D

M N

P Q

Chọn đáp án D

A dquaS song song vớiBC B dqua S song song với DC

C dquaS song song vớiAB D dqua S song song với BD

  

 

(SAD)∩(SBC) =S

⇒(SAD)∩(SBC) =SxkADkBC (với d≡Sx)

S

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 76 Cho tứ diện ABCD GọiI J theo thứ tự trung điểm AD vàAC, G trọng tâm tam giácBCD Giao tuyến hai mặt phẳng(GIJ) (BCD) đường thẳng

A qua I song song với AB B qua J song song vớiBD

C qua Gvà song song vớiCD D quaGvà song song với BC

  

 

(GIJ)∩(BCD) =G IJ ⊂(GIJ), CD⊂(BCD) IJ kCD

⇒(GIJ)∩(BCD) =GxkIJkCD

A

B G C

J

D I

Chọn đáp án C

Câu 77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi (ACI) trung điểm củaAD vàBC vàG trọng tâm tam giácSAB Giao tuyến của(SAB) và(IJ G)

A SC B đường thẳng qua S song song vớiAB

C đường thẳng qua Gvà song song với DC D đường thẳng quaG cắtBC

(91)

Ta có:I, Jlần lượt trung điểm củaADvàBC⇒IJlà đường trung bình hình thangABCD⇒ IJ kAB k CD

Gọid= (SAB)∩(IJ G)Ta có:Glà điểm chung hai mặt phẳng(SAB) (IJ G)

Mặt khác:

®

(SAB)⊃AB; (IJ G)⊃IJ ABkIJ

⇒Giao tuyếndcủa(SAB)và(IJ G)là đường thẳng qua Gvà song song với ABvà IJ

S

G

C D

A I

P

B J Q

Chọn đáp án C

Câu 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SA.Thiết diện hình chóp S.ABCDcắt mặt phẳng (IBC)

A Tam giácIBC B Hình thang IBCJ (J trung điểm SD)

C Hình thang IGBC (G trung điểmSB) D Tứ giácIBCD

  

 

(IBC)∩(SAD) =I

BC ⊂(IBC), AD⊂(SAD) BC kAD

, suy ra(IBC)∩(SAD) =IxkBCkAD Trong mặt phẳng(SAD):

IxkAD,gọi Ix∩SD=J ⇒IJ kBC

Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (IBC) hình thangIBCJ

S

A I

B C

D J

Chọn đáp án B

Câu 79 Cho tứ diện ABCD, M vàN trung điểmAB vàAC.Mặt phẳng(α)qua M N cắt tứ diệnABCD theo thiết diện đa giácT Khẳng định sau đúng?

A T hình chữ nhật

B T tam giác

C T hình thoi

D T tam giác hình thang hình bình hành

-Lời giải

A

B

M

C

D K N

A

B

M

C

I D

N

J

Trường hợp(α)∩AD=K Suy raT tam giácM N K Do A C sai

Trường hợp(α)∩(BCD) =IJ,vớiI ∈BD, J∈CD;I, J không trùngD.Suy raT tứ giác

(92)

Câu 80 Cho hai hình vng ABCDvàCDIS khơng thuộc mặt phẳng cạnh bằng4.Biết tam giác SAC cân S, SB= 8.Thiết diện mặt phẳng (ACI)và hình chóp S.ABCDcó diện tích

A 6√2 B 8√2 C 10√2 D 9√2

-Lời giải

GọiO=SD∩CI; N =AC∩BD

⇒O, N trung điểm củaDS, DB⇒ON =

2SB= Thiết diện mp(ACI) hình chóp S.ABCD tam giác OCA

Tam giác SAC cân S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA ⇒CO=AO(cùng đường trung tuyến của2đỉnh tương ứng) ⇒ 4OCAcân tạiO⇒S4OCA =

1

2ON·AC= 2·4·4

√

2 = 8√2

S I

A B

D N C

O

Chọn đáp án B

Câu 81 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD Gọi M, N trung điểm củaSA SB.GọiP giao điểm SC (AN D).Gọi I giao điểm củaAN vàDP.Hỏi tứ giácSABI hình gì?

A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thoi

-Lời giải

GọiE=AD∩BC, P =N E∩SC Suy raP =SC∩(AN D) Ta có S điểm chung thứ hai mặt phẳng (SAB) (SCD); I = DP ∩AN ⇒ I điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(SAB) và(SCD)

Suy raSI = (SAB)∩(SCD)

MàABkCD⇒SI kABkCD VìM N đường trung bình tam giácSABvà chứng minh đường trung bình tam giácSAI nên suy SI =AB

VậySABI hình bình hành

S I

M

B

C P A

N

D E

Chọn đáp án A

Câu 82 Cho tứ diệnABCD.Các điểmP, Qlần lượt trung điểm củaAB vàCD;điểmRnằm cạnh BC cho BR= 2RC.GọiS giao điểm mặt phẳng(P QR) cạnhAD.Tính tỉ số SA

SD

A B C

2 D

1

-Lời giải

A

S P

C

Q

D B

R

(93)

GọiI giao điểm củaBD vàRQ NốiP vớiI,cắt ADtại S Xét tam giácBCD bị cắt bởiIR,ta có DI

IB · BR RC ·

CQ

QD = 1⇔ DI

IB ·2·1 = 1⇔ DI IB =

1 Xét tam giácABD bị cắt bởiP I, ta có AS

SD · DI IB ·

BP

P A = 1⇔ SA SD·

1

2 ·1 = 1⇔ SA SD =

Chọn đáp án A

Câu 83 Cho tứ diệnABCD ba điểmP, Q, Rlần lượt lấy ba cạnhAB, CD, BC.ChoP RkAC CQ= 2QD Gọi giao điểm củaAD và(P QR) làS.Chọn khẳng định đúng?

A AD= 3DS B AD= 2DS C AS = 3DS D AS =DS

-Lời giải

A S P C Q D B R I

GọiI giao điểm củaBD vàRQ NốiP vớiI,cắt ADtại S Ta có DI

IB · BR RC ·

CQ

QD = mà CQ

QD = suy DI IB · BR RC = ⇔ DI IB = 2· RC BR VìP R song song vớiAC suy RC

BR = AP P B ⇒

DI IB =

1 ·

AP P B Lại có SA

SD· DI IB ·

BP

P A = 1⇒ SA SD ·

1 2·

AP P B ·

BP

P A = 1⇔ SA

SD = 2⇒AD= 3DS

Chọn đáp án A

Câu 84 GọiGlà trọng tâm tứ diệnABCD.GọiA0 trọng tâm tam giácBCD.Tính tỉ số GA GA0

A B C

3 D

1

-Lời giải

A M G C D A0 B E

GọiE trọng tâm tam giác ACD, M trung điểm củaCD NốiBE cắtAA0 Gsuy Glà trọng tâm tứ diện

Xét tam giácM AB, có M E M A =

M A0 M B =

1

3 suy A

0E kAB⇒ A0E AB =

1 Khi đó, theo định lí Talet suy A

0E AB =

A0G AG =

1 ⇒

GA GA0 =

(94)

Câu 85 Cho tứ diện ABCD có tam giácBCDkhơng cân GọiM, N trung điểm AB, CD Glà trung điểm đoạn M N Gọi A1 giao điểm củaAG (BCD) Khẳng định sau

đây đúng?

A A1 tâm đường tròn tam giác BCD B A1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD

C A1 trực tâm tam giác BCD D A1 trọng tâm tam giác BCD

-Lời giải

A

M

G

C P

N

D B

A1

Mặt phẳng(ABN)cắt mặt phẳng(BCD) theo giao tuyếnBN MàAG⊂(ABN) suy AGcắt BN điểm A1

QuaM dựng M P kAA1 với P ∈BN CóM trung điểm AB suy P trung điểm BA1 ⇒BP =

P A1 (1)

Tam giácM N P có M P kGA1 Glà trung điểm M N

⇒A1 trung điểm củaN P ⇒P A1 =N A1 (2)

Từ(1), (2) suy BP =P A1 =A1N ⇒

BA1

BN =

3 Mà N trung điểm CD, đó, A1 trọng tâm tam giácBCD

Chọn đáp án D

Câu 86 Cho tứ diện ABCD.GọiM, N trung điểm AB, AC;E điểm cạnh CD với ED= 3EC.Thiết diện tạo mặt phẳng(M N E) tứ diện ABCD

A Tam giácM N E

-Lời giải

Ta có E điểm chung hai mặt phẳng (M N E) (BCD) Lại có 

 

 

M N ⊂(M N E) BC ⊂(BCD) M N kBC

⇔ Giao tuyến hai mặt phẳng (M N E) và(BCD) đường thẳngdđi qua điểm E song song với BC M N

A

D N

C E M

B F

Trong mặt phẳng(BCD), gọiF =d∩BC Khi thiết diện tạo mặt phẳng (M N E)và tứ diệnABCD hình thang M N EF với F điểm cạnh BD màEF kBC

Chọn đáp án D

Câu 87 Cho hai đường thẳng avàb.Điều kiện sau đủ kết luậnavà bchéo nhau?

A avàb khơng có điểm chung

B avàb hai cạnh hình tứ diện

(95)

D avàb không nằm mặt phẳng

-Lời giải

Sửa lại cho đúng:avà bkhơng có điểm chung không đồng phẳng Sửa lại cho đúng:avà blà hai cạnh đối hình tứ diện Sai avàb song song

Chọn đáp án D

Câu 88 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Có cạnh hình lập phương chéo với đường chéo AC0 hình lập phương?

A B C D

-Lời giải

Các cạnh chéo với đường chéo AC0 hình lập phương là:

A0B0, A0D0, DD0, CD, BC, BB0 A

0 D0

B C

A B0

D C0

Chọn đáp án D

Câu 89 Cho hai đường thẳng phân biệt avàb khơng gian Có vị trí tương đối giữaavà b?

A B C D

-Lời giải

Hai đường thẳng phân biệt a b không gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo

Chọn đáp án B

Câu 90 Cho hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng Có vị trí tương đối hai đường thẳng đó?

A B C D

-Lời giải

Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song

Chọn đáp án B

A Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng phân biệt chéo

B Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

C Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung

D Hai đường thẳng phân biệt không song song chéo

-Lời giải

Theo định nghĩa hai đường thẳng chéo B mệnh đề

Chọn đáp án C

Câu 92 Cho hai đường thẳngavàbchéo Có mặt phẳng chứaavà song song vớib?

A B C D Vô số

-Lời giải

Hai đường thẳng avàb chéo có mặt phẳng chứaavà song song vớib

Chọn đáp án B

Câu 93 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 GọiI, J trọng tâm tam giác ABC vàA0B0C0.Thiết diện tạo mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ cho

A Tam giác cân B Tam giác vng C Hình thang D Hình bình hành

(96)

Kéo dài AI cắtBC tạiM, suy M trung điểmBC

Ta có     

   

(AIJ)∩ A0B0C0 =J AI ⊂(AIJ)

A0J ⊂ A0B0C0 AI kA0J

⇔(AIJ)∩(A0B0C0) =A0J

Trong mặt phẳng(A0B0C0), gọiM0 =A0J ∩B0C0 Khi thiết diện tứ giácAA0J I, tứ giác có

®

A0M0 kAM AA0kM M0 ⇔ AA0J I hình bình hành

A0 C0

J

M0 B0

B I A

M C

Chọn đáp án D

Câu 94 Tìm mệnh đề mệnh đề sau

A Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng chéo

B Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt chéo

C Hai đường thẳng phân biệt khơng song song chéo

D Hai đường thẳng phân biệt thuộc hai mặt phẳng khác chéo

-Lời giải Chọn A

Đáp án B sai: hai đường thẳng song song Đáp án C sai: hai đường thẳng cắt

Đáp án D sai: hai đường thẳng song song cắt

Chọn đáp án A

Câu 95 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành Giao tuyến hai mặt phẳng(SAD)và (SBC) đường thẳng song song với đường thẳng đây?

A AC B BD C AD D SC

-Lời giải Ta có   

 

(SAD)∩(SBC) =S

⇔(SAD)∩(SBC) =SxkADkBC

S x

B C

A

D

Chọn đáp án C

Câu 96 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành Giả sửM thuộc đoạn thẳng SB.Mặt phẳng(ADM) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện hình gì?

A Hình tam giác B Hình thang C Hình bình hành D Hình chữ nhật

  

 

(ADM)∩(SBC) =M AD⊂(ADM), BC ⊂(SBC) AD//BC

⇔ (ADM)∩(SBC) = M N kADkBC vớiN ∈SC

S

B C

A

M N

(97)

Tứ giácAM N D có M N kAD⇔AM N D hình thang

Chọn đáp án B

ĐÁP ÁN

(98)

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳngavà mặt phẳng(P) Căn vào số điểm chung đường thẳng mặt phẳng ta có ba trường hợp sau

a) Đường thẳnga mặt phẳng(P) khơng có điểm chung, tức a∩(P) =∅⇔ak(P)

α

d

b) Đường thẳngavà mặt phẳng (P) có điểm chung, tức a∩(P) =A⇔acắt(P) tạiA

α

M d

c) Đường thẳng avà mặt phẳng(P) có hai điểm chung, tức a∩(P) ={A, B} ⇔a⊂(P)

α

d

2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG

Định lí Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng

nào trong(P) thìa song song với (P)

Tức a6⊂(P) akd⊂(P)⇒ak(P)

Định lí Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt

(P) cắt theo giao tuyến song song với a

Tức

  

 

ak(P) a⊂(Q) (Q)∩(P) =d

⇒akd

α

β

b a

Hệ Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng

Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến (nếu có) chúng song song với đường thẳng

Tức   

 

(P)∩(Q) =d (P)ka (Q)ka

(99)

Dạng Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp

Để chứng minh đường thẳng dsong song với mặt phẳng(α) ta chứng minhdkhông nằm trong(α)

song song với đường thẳng anào nằm (α)

1 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Cho tứ diệnABCD cóGlà trọng tâm tam giácABD Trên đoạnBC lấy điểmM cho M B= 2M C Chứng minh đường thẳngM Gsong song với mặt phẳng (ACD)

-Lời giải

M

A

G

B

N

D

C

GọiN trung điểm AD Ta có: BG BN =

2

3 (VìGlà trọng tâm tam giác ABD) Theo giả thiết, ta có:M B= 2M C ⇒ BM

BC = Tam giácBCN có BG

BN = BM

BC =

3 ⇒M GkCN MàM G6⊂(ACD),CN ⊂(ACD)⇒M Gk(ACD)

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N,P trung điểm cạnhSD,CD,BC

1 Chứng minh đường thẳngOM song song với mặt phẳng(SAB),(SBC) 2 Chứng minh đường thẳngSP song song với mặt phẳng (OM N)

(100)

D

S

O A

M

B

P

N C

I

1 Tam giác SBD có OB = OD M S = M D nên OM đường trung bình tam giác SBD ⇒OM kSB

MàOM khơng chứa mặt phẳng (SAB) và(SBC)nên OM k(SAB) vàOM k(SBC) 2 Trong mặt phẳng(ABCD), gọi I giao điểm củaON vàDP

Tam giácBCDcó OB =OD vàN C =N D nên ON đường trung bình tam giácBCD ⇒I trung điểm củaDP

Tam giácSDP cóM S =M D vàIP =ID nên IM đường trung bình tam giácSDP ⇒IM k SP

MàSP 6⊂(OM N),IM ⊂(OM N)⇒SP k(OM N)

Ví dụ Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường chéo AC, BF lấy hai điểm M,N cho AM

AC = BN

BF =k (k6= 0, k 6= 1) Mặt phẳng(α)chứa đường thẳngM N, song song với đường thẳngAB, cắtAD vàAF tạiM0 N0 Chứng minh đường thẳngM0N0 song song với mặt phẳng(DEF)

-Lời giải

D

N F

N0

M0

B M

C E

A

(101)

Tam giácACD có M M0 kCD ⇒ AM

0 AD =

AM

AC =k(1) Tam giácABF có N N0kAB⇒ AN

0 AF =

BN

BF =k (2) Từ(1)và (2), ta có: AM

0 AD =

AN0

AF =k⇒M

0N0 kDF.

MàM0N0 6⊂(DEF),DF ⊂(DEF)⇒M0N0 k(DEF) 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD GọiM N trung điểm SA SC Chứng minh M N k(ABCD)

-Lời giải

Xét tam giácSAC có M, N trung điểm SA, SC Suy raM N kAC nênM N kmp(ABCD)

S

A M

B

C D N

Bài Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành,M vàN hai điểm SA,SB cho SM

SA = SN SB =

1

3 Chứng minh M N song song (ABCD)

-Lời giải

Theo định lí Talet, ta có SM SA =

SN

SB suy raM N song song với ABMà AB nằm mặt phẳng (ABCD) suy M N k(ABCD)

S

A

M

B C

N D

Bài Cho tứ diệnABCD GọiGlà trọng tâm tam giácABD,Qthuộc cạnhABsao choAQ= 2QB, P trung điểm AB Chứng minh GQk(BCD)

-Lời giải

GọiM trung điểm BD

VìGlà trọng tâm tam giác ABD⇒ AG AM =

2 ĐiểmQ∈AB cho AQ= 2QB ⇔ AQ

AB = Suy AG

AM = AQ

AB ⇒GQkBD

Mặt khácBD nằm mặt phẳng (BCD) suy GQk(BCD)

A

D

G

C

M B P

Q

Bài Cho tứ diệnABCD GọiM,N,P,Q,R,S theo thứ tự trung điểm cạnhAC,BD,AB, CD,AD,BC Chứng minh:M, R, S, N đồng phẳng

(102)

Theo tính chất đường trung bình tam giác ta có P SkACkQR suy P, Q, R, S đồng phẳng

Tương tự, ta có đượcP M kBC kN Qsuy P, M, N, Qđồng phẳng VàN RkCDkSN suy raM, R, S, N đồng phẳng

A

S B

P

N

D

Q

C R

M

Bài Cho tứ diện ABCD Gọi H điểm nằm tam giác ABC, (α) mặt phẳng qua H song song vớiAB vàCD Thiết diện của(α) tứ diện hình gì?

-Lời giải

QuaH kẻ đường thẳng(d) song songAB cắt BC, AC tạiM, N Từ N kẻ N P song song vớ CD (P ∈ CD) Từ P kẻ P Q song song với AB (Q∈BD)

Ta cóM N kP QkAB suy raM, N, P, Q đồng phẳng ABk(M N P Q) Suy raM N P Q thiết diện (α) tứ diện

Vậy tứ diện hình bình hành

A

B P

D Q

M C

N H

Bài Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có cạnh đáy 10 M điểm SA cho SM

SA = Một mặt phẳng(α) qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo tứ giác, tính diện tích tứ giác

-Lời giải

Ta có(α)kABvàCDmàA, B, C, Dđồng phẳng suy ra(α)k(ABCD) Giả sử(α)cắt mặt bên (SAB),(SBC),(SCD),(SDA)lần lượt điểmN, P, Q vớiN ∈SB, P ∈SC, Q∈SD

Suy ra(α)≡(M N P Q)

Khi đóM N kAB⇒M N đường trung bình tam giácSAB ⇒ SM

SA = M N

AB = Tương tự, ta có N P

BC = P Q CD =

QM DA =

2 vàM N P Q hình vng

Suy raSM N P Q= Å

2

ã2

SABCD=

4

9SABCD =

9.10.10 = 400

9

S

A M

B C

N P

Q D

Bài Cho hình chópS.ABCDcó ABCD hình thang cân đáy lớn AD GọiM, N hai trung điểm củaAB vàCD, (P) mặt phẳng quaM N cắt mặt bên (SBC) theo giao tuyến Thiết diện của(P) hình chóp hình gì?

(103)

Xét hình thangABCD, có M, N trung điểm AB, CD Suy raM N đường trung bình hình thangABCD⇒M N kBC Lấy điểmP ∈SB, quaP kẻ đường thẳng song song vớiBC cắtBC tạiQ

Suy (P)∩(SBC) =P Q nên thiết diện (P) hình chóp tứ giác M N QP cóM N kP QkBC Vậy thiết diện hình thangM N QP

S

A M

P

B C

D N Q

Bài Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành tâm O Gọi M điểm thuộc cạnh SA (không trùng với S hoặcA) (P) mặt phẳng qua OM song song với AD Thiết diện của(P) hình chóp hình gì?

-Lời giải

QuaM kẻ đường thẳng M N kADvà cắt SDtại N ⇒M N kAD

Qua O kẻ đường thẳngP Qk AD cắtAB, CD Q, P ⇒ P QkAD

Suy M N k P Q k AD đồng phẳng ⇒ (P) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình thangM N P Q

S

A

B C

O

D P Q

N M

Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I, J thuộc cạnh AD, BC cho IA = 2ID J B = 2J C Gọi (P) mặt phẳng quaIJ song song vớiAB Thiết diện của(P) tứ diện ABCDhình gì?

-Lời giải

Giả sử(P) cắt mặt tứ diện (ABC) và(ABD) theo hai giao tuyến J H vàIK

Ta có(P)∩(ABC) =J H, (P)∩(ABD) =IK (ABC)∩(ABD) =AB,(P) IK kAB

Theo định lí Thalet, ta có J B J C =

HA

HC = suy HA HC =

IA

ID ⇒IH kCD MàIH ∈(P)

Suy raIH song song với mặt phẳng (P)

Vậy (P) cắt mặt phẳng (ABC), (ABD) theo giao tuyến IH, J K với IH kJ K

Do đó, thiết diện (P) tứ diệnABCD hình bình hành

A

B

J H

D K

C

I

(104)

Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng biết mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước

Phương pháp: Cho đường thẳng avà mặt phẳng (P) song song

với Nếu mặt phẳng(Q) chứa avà cắt (P) theo giao tuyến

b thìb song song với a a

b

Q

P

1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình thang, đáy lớn AD Gọi I trung điểm củaSB Gọi(P) mặt phẳng quaI, song song với SDvàAC

1 Tìm giao tuyến mặt phẳng của(P) và(SBD) 2 Tìm giao tuyến mặt phẳng của(P) và(ABCD)

-Lời giải

1 Ta có:   

 

I ∈(P)∩(SBD) (P)kSD

SD⊂(SBD)

⇒(P)∩(SBD) =Ixtrong IxkSD GọiIx∩BD=K⇒(P)∩(SBD) =IK

2 Ta có:   

 

K∈(P)∩(ABCD) (P)kAC

AC⊂(ABCD)

⇒(P)∩(SBD) =Ky KykAC GọiKy∩AD=E, Ky∩CD=F

⇒(P)∩(SBD) =EF

I

K E

F A

B C

D S

Ví dụ Cho tứ diện ABCD,M điểm thuộc cạnh AC Gọi (P) mặt phẳng quaM song song vớiAB vàCD Tìm giao tuyến (P) với mặt phẳng(BCD)

-Lời giải

Tìm giao tuyến của(P) với(ABC) Ta có:

  

 

M ∈(P)∩(ABC) (P)kAB

AB⊂(ABC)

⇒(P)∩(ABC) =M x đóM xkAB GọiM x∩BC =N ⇒(P)∩(ABC) =M N Tìm giao tuyến của(P) với(BCD)

Ta có:   

 

N ∈(P)∩(ABC) (P)kCD

CD⊂(BCD)

⇒(P)∩(BCD) =N y đóN ykCD GọiN y∩BD=P ⇒(P)∩(BCD) =N P

P M

N A

B

C

D

(105)

Ví dụ Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnhSC,(P) mặt phẳng chứaA, M song song vớiBD

1 Xác định điểmE, F giao điểm (P)với cạnh SB, SD Tìm tỉ số diện tích 4SM E với 4SBC tỉ số diện tích của4SM F với4SCD

2 Gọi K giao điểm M E với CB, J giao điểm M F với CD Chứng minh ba điểmK, A, J nằm đường thẳng song song vớiEF.Tính tỉ số EF

KJ

-Lời giải

F M

E

A B

C D

S

O I

J

K

1 GọiAC∩BD=O SO∩AM =I

Ta có:   

 

I ∈(P)∩(SBD) (P)kBD

BD⊂(SBD)

⇒(P)∩(SBD) =Ixtrong IxkBD GọiIx∩SB=E, Ix∩SD=F

⇒E, F giao điểm SB SDvới (P)

2 VìI =AM ∩SO màAM, SO đường trung tuyến của4SAC nên I trọng tâm4SAC Ta có: SE

SB = SF SD =

SI SO =

2 Do đó:

S4SM E

S4SBC

= SM SC

SE SB =

1

2 =

1 S4SM F

S4SCD

= SM SC

SF SD =

1

2 =

1

3 Ta cóK, A, J ba điểm chung hai mặt phẳng(P) (ABCD) nên chúng nằm giao tuyến d= (P)∩(ABCD) VìBDk(P) vàBD⊂(ABCD) nêndkBD⇒dkEF

Khi đó: EF BD =

SI SO =

2

3;KJ = 2BD ( VìE, F trọng tâm của4SCK,4SCJ) Suy EF

KJ =

(106)

1 Chứng minh(P) chứa đường thẳng cố định

2 Tính tổng bình phương cạnh 4SM N AM =x Tìm x để tổng đạt giá trị bé

-Lời giải

x

M

N A

B

C S

t

1 Ta có:   

 

S∈(P)∩(SBC) (P)kBC

BC⊂(SBC)

⇒(P)∩(SAB) =St đóStkBC

Mặt khác:S, BC cố định nênStcố định Vậy (P) chứa đường thẳngStcố định

2 Vì   

 

(P)kBC BC⊂(ABC) (P)∩(ABC) =M N

⇒M N kBC

Vì tam giácABC nên 4AM N cạnh bằngx Ta có:4SAM =4SAN ⇒SM =SN

Xét4SAM ⇒SM2=SA2+AM2−2SA.AM.cos 60◦ ⇒SM2 =a2+x2−2ax.1

2 =a

2+x2−ax.

Tổng bình phương cạnh làS=SM2+SN2+M N2 = 2a2+ 3x2−2ax ⇒S= 3x−a

3

+5a

2

3 Suy raS ≥ 5a

2

3 ⇒minS= 5a2

3 ⇔x= a

Dạng Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng

Cho hình chópS.A1A2 An mp(α)

Nếu (α) cắt mặt hình chóp (α) cắt mặt theo đoạn thẳng gọi đoạn

giao tuyến của(α) với mặt

Các đoạn giao tuyến nối tiếp tạo thành đa giác phẳng gọi thiết diện

Như vậy, muốn tìm thiết diện hình chóp với (α), ta tìm đoạn giao tuyến (nếu có)

Đa giác tạo đoạn giao tuyến thiết diện cần tìm Sử dụng thêm định lý:

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa d cắt mặt phẳng (α)

(107)

Ví dụ Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật tâmO, M trung điểm củaOC, mặt phẳng(α) quaM song song vớiSA vàBD Thiết diện hình chóp với mặt phẳng(α)

-Lời giải

Trong mặt phẳng(ABCD)quaM kẻ đường thẳng song song vớiBD, cắt BC N cắt CD Q

Trong mặt phẳng (SAC) qua M kẻ đường thẳng song song vớiSA, cắt SC tạiP Khi ta có:

(α)∩(ABCD) =N Q, (α)∩(SBC) =N P, (α)∩(SCD) = P Q

Do đó:(α)∩S.ABCD=N P Q Vậy thiết diện tam giácN P Q

A

D S

B

C P

M

O N

Q

Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi(α) mặt phẳng qua trung điểm cạnh AC, song song với AB vàCD Tìm thiết diện tứ diệnABCD cắt bởi(α)

-Lời giải

GọiI, J, L, K trung điểm củaAC, BC, BD, AD Ta có: (α)∩(ABC) =IJ

(α)∩(BCD) =J L (α)∩(ABD) =LK (α)∩(ACD) =IK

Do đó,(α)∩(ABCD) =IJ LK Dễ thấyIJ LK hình bình hành

A

B L

C I K

D J

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình thoi Gọi E, F trung điểm củaSA, SB ĐiểmM thuộc cạnh BC Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi(M EF)

-Lời giải

Dễ thấyEF kAB, mặt phẳng(ABCD)quaM kẻ đường thẳng song song vớiAB cắtAD tạiN Ta có:

(M EF)∩(SBC) =M F (M EF)∩(SAB) =EF (M EF)∩(SAD) =EN (M EF)∩(ABCD) =M N

Do đó,(M EF)∩S.ABCD=M N EF

Vậy thiết diện hình thangM N EF, hai đáy M N vàEF

A

D S E

B

C F

M N

Ví dụ Cho hình vngABCDcạnha, tâmO GọiSlà điểm nằm ngồi mặt phẳng(ABCD) choSB =SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM =x Mặt phẳng (α) qua M song song với SA, BD cắt SO, SB, AB N, P, Q ChoSA =a, tính diện tích M N P Q theo avà x, biết N M ⊥M Q

(108)

Do   

 

(α)kBD BD⊂(ABO) (α)∩(ABO) =M Q

⇒ M Q k BD Tương tự, ta có N P k BD,

M N kSA vàP QkSA Vậy tứ giác M N P Qcó hai cặp cạnh đối song song với nhau, suy raM N P Q hình bình hành

DoN M ⊥M Qnên M N P Q hình chữ nhật

DoM N P Q hình chữ nhật nênSM N P Q=M N.M Q(1)

Xét tam giác AQM có Ab=Q“= 45◦, Mc= 90◦ ⇒ ∆AQM vuông cân Vậy M Q=AM =x

Xét tam giácSAO, ta cóM N kSA⇒ M N SA =

OM

OA Từ suy M N =SA.OM

OA =a a√2

2 −x a√2

2

=a−x√2

ThayM Q vàM N vào (1), ta cóSM N P Q=

1 √

2.x √

2Äa−x√2ä

A B

S P

Q D

C I N

M O

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

A Hai mặt phẳng khơng cắt song song

B Hai mặt phẳng song song với đường thẳng cắt

C Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng

D Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt phẳng

-Lời giải

Trong khơng gian, hai mặt phẳng có3vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song với Vì vậy,2mặt phẳng khơng cắt song song trùng nhau⇒A mệnh đề sai

Hai mặt phẳng song song với đường thẳng chúng song song với (hình vẽ)⇒ B mệnh đề sai

Ta có:ak(P), ak(Q) nhưng(P) và(Q)vẫn song song với Mệnh đề C tính chất nên C

a

P

Q

Chọn đáp án C

Câu Trong điều kiện sau, điều kiện kết luậnmp(α)kmp(β)?

A (α)k(γ) và(β)k(γ) ((γ) mặt phẳng đó)

B (α)kavà (α)kb vớia, b hai đường thẳng phân biệt thuộc(β)

C (α)kavà (α)kb vớia, b hai đường thẳng phân biệt song song với(β)

D (α)kavà (α)kb vớia, b hai đường thẳng cắt thuộc(β)

-Lời giải

a b α

β

Hình

a b

α β

Hình

(109)

(α)kavà(α)kb với a, blà hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) (α) và(β) cắt (hình 1)⇒ Loại B

(α)kavà(α)kbvớia, blà hai đường thẳng phân biệt song song với(β) thì(α) và(β) cắt (hình 2)⇒ Loại C

Chọn đáp án D

A Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với đường thẳng nằm (α) song song với(β)

B Nếu hai mặt phẳng (α) (β) song song với đường thẳng nằm (α) song song với đường thẳng nằm trong(β)

C Nếu hai đường thẳng phân biệt avà bsong song nằm hai mặt phẳng (α) (β) phân biệt thìak(β)

D Nếu đường thẳngdsong song vớimp(α)thì song song với đường thẳng nằm mp(α)

-Lời giải

a

b α

β

Hình

b a

α

β

Hình

d

α

Hình

Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với hai đường thẳng thuộc (α) và(β) chéo (Hình 1)⇒Loại B Nếu hai đường thẳng phân biệt avàbsong song nằm hai mặt phẳng (α) (β) phân biệt hai mặt phẳng (α) (β) cắt (Hình 2) ⇒ Loại C Nếu đường thẳng dsong song với mp(α) chéo với đường thẳng nằm (α) (Hình 3)

Chọn đáp án A

Câu Cho hai mặt phẳng song song (α) (β), đường thẳng ak (α) Có vị trí tương đối avà (β)?

A B C D

-Lời giải

Trong khơng gian, đường thẳng mặt phẳng có3vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm mặt phẳng.ak(α) mà(α)k(β)⇒avà(α) khơng thể cắt Vậy cịn2 vị trí tương đối

Chọn đáp án B

Câu Cho hai mặt phẳng song song(P)và(Q) Hai điểmM, N thay đổi (P) và(Q).GọiI trung điểm M N.Chọn khẳng định

A Tập hợp điểm I đường thẳng song song cách đều(P) (Q)

B Tập hợp điểm I mặt phẳng song song cách (P)và (Q)

C Tập hợp điểm I mặt phẳng cắt (P)

D Tập hợp điểm I đường thẳng cắt(P)

(110)

Ta có:I trung điểm củaM N ⇒Khoảng cách từIđến(P)bằng khoảng cách từI đến (Q)⇒ Tập hợp điểmI mặt phẳng song song cách (P) và(Q)

Q P

M

I

N

Chọn đáp án B

Câu Trong điều kiện sau, điều kiện kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

A akb vàb⊂(P) B akb vàbk(P)

C ak(Q) (Q)k(P) D a⊂(Q) vàb⊂(P)

-Lời giải

Ta có: a k b b ⊂ (P) suy a k (P) a ⊂ (P) ⇒ Loại A a k b b k (P) suy a k (P) a⊂(P)⇒ Loại B.ak(Q)và (Q)k(P) suy raak(P) hoặca⊂(P)⇒ Loại C

Chọn đáp án D

A Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì akb

B Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì avàb chéo

C Nếu akbvà a⊂(α), b⊂(β) thì(α)k(β)

D Nếu (γ)∩(α) =a, (γ)∩(β) =bvà(α)k(β) akb

-Lời giải

Nếu(α) k(β) a⊂(α), b⊂(β) akb a chéo b⇒ A, B sai Nếu akb a⊂(α), b⊂(β) (α)k(β) hoặc(α)và (β) cắt theo giao tuyến song song với avàb

Chọn đáp án D

Câu Cho đường thẳnga⊂(P)và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề sau đúng?

A (P)k(Q)⇒akb B akb⇒(P)k(Q)

C (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P) D a vàbchéo

-Lời giải

Với đường thẳnga⊂(P) đường thẳng b⊂(Q) Khi (P)k(Q)⇒akb hoặca, bchéo ⇒ A sai

Khi akb⇒(P)k(Q) hoặc(P),(Q) cắt theo giao tuyến song song với avàb⇒B sai avàb chéo nhau, song song cắt nhau⇒ D sai

Chọn đáp án C

Câu Hai đường thẳnga vàb nằm trongmp(α).Hai đường thẳng a0 b0 nằm mp(β).Mệnh đề sau đúng?

A Nếuaka0 bkb0 thì(α)k(β) B Nếu (α)k(β)thì aka0 vàbkb0

C Nếu akb vàa0kb0 thì(α)k(β) D Nếuacắtbvà aka0, bkb0 (α)k(β)

-Lời giải

a0 b a

b0

∆

α

β

Hình

a

a0 α

β

(111)

Nếuaka0 vàbkb0 thì(α)k(β) hoặc(α) cắt(β)(Hình 1) ⇒A sai Nếu (α)k(β)thì aka0 hoặca, a0 chéo (Hình 2)⇒ B sai

Nếuakbvà a0 kb0 (α)k(β) hoặc(α) cắtCC0.(Hình 1) ⇒C sai

Chọn đáp án D

Câu 10 Cho hai mặt phẳng(P) và(Q) cắt theo giao tuyến∆.Hai đường thẳngpvàq nằm trong(P)và (Q).Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A p vàq cắt B p q chéo

C p vàq song song D Cả ba mệnh đề sai

-Lời giải

Ta cópvà q cắt nhau, song song, chéo (hình vẽ)

q p

∆

q p

∆ q

p

∆

Chọn đáp án D

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm củaSA, SD AB.Khẳng định sau đúng?

A (N OM) cắt(OP M) B (M ON)k(SBC)

C (P ON)∩(M N P) =N P D (N M P)k(SBD)

-Lời giải

Ta cóM N đường trung bình tam giácSADsuy raM N kAD (1)

VàOP đường trung bình tam giácBAD suy raOP kAD (2) Từ(1),(2) suy raM N kOP kAD⇒M, N, O, P đồng phẳng Lại cóM P kSB, OP kBC suy ra(M N OP)k(SBC)hay(M ON)k (SBC)

S

D C

O

B M

P N

A

Chọn đáp án B

Câu 12 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành tâmO Tam giácSBD Một mặt phẳng(P)song song với(SBD) qua điểmI thuộc cạnhAC (không trùng vớiAhoặcC) Thiết diện (P) hình chóp hình gì?

A Hình hình hành B Tam giác cân C Tam giác vuông D Tam giác

-Lời giải

Gọi M N đoạn thẳng giao tuyến mặt phẳng (P) mặt đáy (ABCD) Vì (P) k (SBD),(P) ∩(ABCD) = M N (SBD) ∩ (ABCD) =M N suy raM N kBD

Lập luận tương tự, ta có

(P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyếnN P vớiN P kSD (P) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P vớiM P kSB Vậy tam giácM N P đồng dạng với tam giácSBDnên thiết diện (P) hình chópS.ABCDlà tam giác M N P

S

O I

D N A

B M P

C

(112)

Câu 13 Cho hình chópS.ABC có đáy tam giácABC thỏa mãnAB=AC = 4,BAC’ = 30◦.Mặt phẳng

(P) song song với (ABC) cắt đoạn SA M cho SM = 2M A Diện tích thiết diện (P) hình chópS.ABC bao nhiêu?

A 16

9 B

14

9 C

25

9 D

-Lời giải Ta có S∆ABC =

1

2 ·AB ·AC ·sinBAC’ =

2 ·4·4·sin 30

0 = 4. Gọi

N, P giao điểm mặt phẳng (P) cạnh SB, SC Vì (P) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có SM

SA = SN SB = SP SC = Khi đó(P)cắt hình chópS.ABC theo thiết diện tam giácM N P đồng dạng với tam giácABC theo tỉ số k=

3

VậyS∆M N P =k2·S∆ABC =

Å2

3

ã2

·4 = 16 S A M C N B P

Chọn đáp án A

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang cân với cạnh bênBC = 2,hai đáy AB= 6, CD = 4.Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) cắt cạnh SA M cho SA = 3SM Diện tích thiết diện của(P) hình chóp S.ABCDbằng bao nhiêu?

A √

3

9 B

2√3

3 C D

7√3

-Lời giải

S C P D B A M Q N C D

A H K B

GọiH, K hình chiếu vng góc củaD, C AB ABCD hình thang cân⇒

®

AH=BK;CD =HK

AH+HK+BK =AB ⇒BK =

Tam giác BCK vng K, có CK = √BC2−BK2 = √22−12 = √3. Suy diện tích hình thang

ABCD làSABCD=CK·

AB+CD =

√

3·4 + =

√

GọiN, P, Q giao điểm củaP cạnh SB, SC, SD.Vì(P)k(ABCD)nên theo định lí Talet, ta có M N

AB = N P BC = P Q CD = QM AD =

Khi đó(P) cắt hình chóp theo thiết diệnM N P Q có diện tích SM N P Q=k2·SABCD =

5√3

Chọn đáp án A

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = Gọi(P) mặt phẳng qua O song song với(SAB) Thiết diện (P) hình chóp S.ABCD có diện tích

A 5√5 B 6√5 C 12 D 13

(113)

QuaO kẻ đường thẳngdsong songAB cắtBC, AD P, Q Kẻ P N song song với SB(N ∈SB), kẻ QM song song với SA(M ∈SA) Khi (M N P Q) k (SAB) ⇒ thiết diện (P) hình chópS.ABCDlà tứ giác M N P Q

Vì P, Q trung điểm BC, AD suy N, M trung điểm SC, SD Do M N đường trung bình tam giác SCD ⇒ M N = CD

2 = AB

2 = Và N P = SB

2 = 3; QM = SA

2 = 3⇒N P =QM ⇒M N P Q hình thang cân

S

N

C P

D Q B

A M

Hạ N H, M K vng góc với P Q.Ta cóP H =KQ⇒P H =

2(P Q−M N) = Tam giácP HN vng, cóN H =√5

Vậy diện tích hình thangM N P Q làSM N P Q=N H·

P Q+N M =

√

Chọn đáp án B

A Hình lăng trụ có cạnh bên song song

B Hai mặt đáy hình lăng trụ nằm hai mặt phẳng song song

C Hai đáy lăng trụ hai đa giác

D Các mặt bên lăng trụ hình bình hành

-Lời giải

Xét hình lăng trụ có đáy đa giác (tam giác, tứ giác, ), ta thấy hình lăng trụ ln có cạnh bên song song Hai mặt đáy hình lăng trụ nằm hai mặt phẳng song song Hai đáy lăng trụ hai đa giác (tam giác, tứ giác, ) Các mặt bên lăng trụ hình bình hành có hai cạnh hai cạnh bên hình lăng trụ, hai cạnh lại thuộc hai đáy song song

Chọn đáp án C

Câu 17 Trong mệnh sau, mệnh đề sai?

A Các cạnh bên hình lăng trụ song song với

B Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành

C Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành

D Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác

-Lời giải

Các mặt bên hình lăng trụ hình hình hành, chúng hình lăng trụ có đáy tam giác

Chọn đáp án C

Câu 18 Trong mệnh sau, mệnh đề đúng?

A Các cạnh bên hình chóp cụt đơi song song

B Các cạnh bên hình chóp cụt hình thang

C Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng

D Cả mệnh đề sai

-Lời giải

Xét hình chóp cụt có đáy đa giác (tam giác, tứ giác, ) ta thấy rằng: Các cạnh bên hình chóp cụt đơi cắt Các mặt bên hình chóp cụt hình thang cân Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng

Chọn đáp án C

A Trong hình chóp cụt hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng

B Các mặt bên hình chóp cụt hình thang

C Các mặt bên hình chóp cụt hình thang cân

D Đường thẳng chứa cạnh bên hình chóp cụt đồng quy điểm

(114)

Với hình chóp cụt, mặt bên hình chóp cụt hình thang

Chọn đáp án C

Câu 20 Cho hình lăng trụABC.A0B0C0.GọiM, N trung điểm củaBB0 vàCC0.Gọi∆là giao tuyến hai mặt phẳng(AM N) (A0B0C0).Khẳng định sau đúng?

A ∆kAB B ∆kAC C ∆kBC D ∆kAA0

  

 

M N ⊂(AM N) B0C0 ⊂ A0B0C0 M N kB0C0

−

→ ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (AM N) và(A0B0C0) song song vớiM N B0C0 Suy ∆kBC

A0 C0

A

B B0

C M

N

∆

Chọn đáp án C

Câu 21 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0.GọiH trung điểm củaA0B0.Đường thẳngB0C song song với mặt phẳng sau đây?

A (AHC0) B (AA0H) C (HAB) D (HA0C)

-Lời giải

GọiM trung điểm AB suy raM B0 kAH

⇒M B0k(AHC0) (1)

VìM H đường trung bình hình bình hànhABB0A0 suy raM H song song bằngBB0 nên M H song song bằngCC0

⇒ M HC0C hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0) (2) Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0)

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

Câu 22 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi H trung điểm A0B0.Mặt phẳng (AHC0) song song với đường thẳng sau đây?

A CB0 B BB0 C BC D BA0

-Lời giải

Gọi M trung điểm AB suy M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0) (1)

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

Câu 23 Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1.Trong khẳng định sau, khẳng định nàosai?

(115)

C ABk(A1B1C1) D AA1B1B hình chữ nhật

-Lời giải

Vì mặt bênAA1B1B hình bình hành, cịn hình chữ nhật nếuABC.A1B1C1 hình lăng trụ đứng

Chọn đáp án D

Câu 24 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0.Khẳng định làsai?

A ABCD hình bình hành

B Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy

C (ADD0A0)k(BCC0B0)

D AD0CB hình chữ nhật

-Lời giải

Dựa vào hình vẽ tính chất hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng:

Hình hộp có đáyABCD hình bình hành

Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt tâm củaAA0C0C, BDD0B0

Hai mặt bên(ADD0A0),(BCC0B0) đối diện song song với

AD0 vàCB hai đường thẳng chéo suy raAD0CB khơng phải hình chữ nhật

B C

A0 D0

B0

A D

C0

Chọn đáp án D

Câu 25 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bênAA0, BB0, CC0, DD0 Khẳng định

sai?

A (AA0B0B)k(DD0C0C) B (BA0D0)k(ADC0)

C A0B0CD hình bình hành D BB0D0D tứ giác

-Lời giải

Dựa vào hình vẽ tính chất hình hộp, ta thấy rằng: Hai mặt bên(AA0B0B) và(DD0C0C) đối diện, song song với

Hình hộp có hai đáy (ABCD),(A0B0C0D0) hình bình hành ⇒ A0B0 = CD A0B0 k CD suy A0B0CD hình hình hành

BD k B0D0 suy B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D tứ giác

Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt C0D suy (BA0D0) không song song với mặt phẳng (ADC0)

B C

A0 D0

B0

A D

C0

Chọn đáp án B

Câu 26 Nếu thiết diện lăng trụ tam giác mặt phẳng đa giác đa giác có nhiều cạnh?

A cạnh B cạnh C cạnh D 6cạnh

-Lời giải

Đa giác thiết diện lăng trụ tam giác mặt phẳng có nhiều cạnh với cạnh thuộc mặt hình lăng trụ tam giác

Chọn đáp án C

Câu 27 Nếu thiết diện hình hộp mặt phẳng đa giác đa giác có nhiều cạnh?

(116)

Vì hình hộp hình lăng trụ có đáy tứ giác có6 mặt nên thiết diện hình hộp mặt phẳng đa giác có nhiều nhất6 cạnh

Chọn đáp án C

Câu 28 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 GọiI trung điểm AB Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện hình gì?

A Tam giác B Hình thang C Hình bình hành D Hình chữ nhật

  

 

B0D0 ⊂ IB0D0 BD⊂(ABCD) B0D0 kBD

−

→ Giao tuyến của(IB0D0) với (ABCD) đường thẳngdđi qua I song song với BD Trong mặt phẳng (ABCD), gọiM =d∩AD−→IM kBDkB0D0 Khi thiết diện tứ giácIM B0D0 tứ giác hình thang

A0 M D0

B C

D C0 I

B0

A

Chọn đáp án B

Câu 29 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi(α) mặt phẳng qua cạnh hình hộp cắt hình hộp theo thiết diện tứ giácT Khẳng định sau đúng?

A T hình chữ nhật B T hình bình hành

C T hình thoi D T hình vng

-Lời giải

Giả sử mặt phẳng (α) qua cạnh AB cắt hình hộp theo tứ giác T Gọi d đường thẳng giao tuyến (α) mặt phẳng (A0B0C0D0) Ta chứng minh đượcAB kdsuy tứ giác T hình bình hành

B C

A0 D0

B0

A D

C0

d

Chọn đáp án B

Câu 30 Cho hình chóp cụt tam giácABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng tạiAvàA0 có AB A0B0 =

1 Khi tỉ số diện tích S∆ABC

S∆A0B0C0

A

2 B

1

4 C D

-Lời giải

Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy S∆ABC

S∆A0B0C0

=

2·AB·AC

2 ·A

0B0·A0C0

= AB A0B0 ·

AC A0C0 =

1

A C

A0

B

B0 C0

Chọn đáp án B

Câu 31 Khẳng định sau đúng?

A Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác hình lăng trụ

(117)

C Hình lăng trụ có đáy đa giác hình lăng trụ

D Hình lăng trụ tứ giác hình lập phương

-Lời giải

Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác hình lăng trụ

Chọn đáp án A

Câu 32 Xét mệnh đề sau (1) Hình hộp hình lăng trụ;

(2) Hình lập phương hình hộp đứng có đáy hình vng; (3) Hình hộp có mặt đối diện nhau;

(4) Hình lăng trụ có mặt bên hình bình hành; (5) Hình lăng trụ có tất mặt bên Số mệnh đề mệnh đề

A B C D

-Lời giải

Các mệnh đề(1),(3)và (4)đúng

Chọn đáp án D

Câu 33 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD, BC theo thứ tự lấy điểm M, N cho M A AD = N C

CB =

3 Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng M N song song với CD Khi thiết diện tứ diệnABCD cắt mặt phẳng (P)

A hình bình hành B hình thang với đáy lớn gấp lần đáy nhỏ

C hình thang với đáy lớn gấp 3lần đáy nhỏ D tam giác

-Lời giải

QuaM, kẻ đường thẳng song song vớiCD cắtAC E QuaN, kẻ đường thẳng song song với CD cắtBD tạiF Khi đóM E kN F kCD và(P)≡(M EN F)

Ta có   

 

N F CD =

BN BC =

2 M E

CD = AM

AD =

⇒N F = 2M E

Vậy thiết diện củaABCDcắt bởi(P)là hình thangM EN F, đáy lớnN F gấp lần đáy nhỏM E

A

M

C N

F B

E

D

Chọn đáp án B

Câu 34 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 GọiI trung điểm AB Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện

A hình bình hành B hình thang C hình chữ nhật D tam giác

  

 

B0D0 ⊂(IB0D0) BD⊂(ABCD) BDkB0D0

nên giao tuyến của(IB0D0)với(ABCD)là đường thẳngIE quaI song song với BD(E∈AD)

VìIEkB0D0 nên thiết diện hình thangIED0B0

A A0

D0

B B0

C0

C D

I E

Chọn đáp án B

(118)

Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnha Xét tứ diện AB0CD0 Cắt tứ diện mặt phẳng qua tâm hình lập phương song song với mặt phẳng (ABC) Tính diện tích thiết diện thu

A0 D0

A

B C

B0 C0

D

A a

2

3 B

2a2

3 C

a2

2 D

3a2

-Lời giải

Gọi I tâm hình lập phương ⇒ I trung điểm AC0

Gọi(P)là mặt phẳng quaI song song với(ABC) Khi (P) cắt đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 trung điểm M,N,P,Q

Khi đóM N =P Q= 2AC =

a√2 N P =M Q=

2B

0D0 = a

√ 2

Do đó, thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua tâm hình lập phương song song với mặt phẳng (ABC) hình thoi M N P Qcạnh a

√ 2 Mặt khácN Q=M P =BC =a Diện tích hình thoiM N P Q làS=

2N Q·M P = a2

2

A0 D0

A

B C

B0

I M

C0

D P N

Q

Chọn đáp án C

Câu 36 Cho bốn mệnh đề sau

(1) Nếu hai mặt phẳng(α)và(β) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng(α) song song với(β)

(2) Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với (3) Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

(4) Tồn hai đường thẳng song song mà đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo cho trước

Trong mệnh đề có mệnh đềsai?

A B C D

-Lời giải

Mệnh đề(1) mệnh đề

Mệnh đề(2) mệnh đề sai hai đường thẳng chéo

Mệnh đề(3) mệnh đề sai hai đường thẳng song song khơng có điểm chung

Mệnh đề(4) mệnh đề sai tồn hai đường thẳng cả4 đường thẳng đồng phẳng (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy có3 mệnh đềsai

(119)

Câu 37 Một hình lăng trụ có 11 cạnh bên hình lăng trụ có tất cạnh?

A 31 B 30 C 22 D 33

-Lời giải

Hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên suy đáy đa giác có11 đỉnh⇒ đa giác đáy có11 cạnh Vậy hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên có 11 + 11·2 = 33 cạnh

Chọn đáp án D

Câu 38 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Tìm mệnh đề saitrong mệnh đề sau

A (ABB0A0)k(CC0D0D) B Diện tích hai mặt bên

C AA0kCC0 D Hai mặt phẳng đáy song song với

-Lời giải

Mệnh đềsai “Diện tích hai mặt bên nhau”

Chọn đáp án B

Câu 39 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K trọng tâm 4ABC, 4ACC0 4AB0C0 Mặt phẳng sau song song với(IJ K)?

A (BC0A) B (AA0B) C (BB0C) D (CC0A)

-Lời giải

GọiM, N, P trung điểm BC,CC0 B0C0 Ta có AK

AP = AJ AN =

AI AM =

2

Suy ra(IJ K)k(M N P) hay (IJ K)k(BB0C) P

B I B0

M J A0

A

C0

C N K

Chọn đáp án C

Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng cạnha, tam giác SAB Gọi M điểm cạnh AD cho AM =x, x ∈ (0;a) Mặt phẳng (α) qua M song song với (SAB) cắt cạnhCB, CS, SD tạiN, P, Q Tìmx để diện tích M N P Qbằng 2a

2√3

9

A 2a

3 B

a

4 C

a

2 D

a

(120)

Ta có     

(α)k(SAB)

(SAB)∩(SAD) =SA M ∈(α)∩(SAD)

⇒(α)∩(SAD) =M QkSA vớiQ∈SD

  

 

(α)k(SAB)

(SAB)∩(ABCD) =AB M ∈(α)∩(ABCD)

⇒ (α)∩(ABCD) = M N k AB vớiN ∈BC

  

 

(α)k(SAB)

(SAB)∩(SCB) =SB N ∈(α)∩(SBC)

⇒ (α)∩(SBC) = N P k SB với

P ∈SC D

Q

A

P S E

B N C

M

Suy thiết diện hình chóp S.ABCDcắt mặt phẳng (α) tứ giácM N P Q

Ta có         

(α)∩(SCD) =P Q (SCD)∩(ABCD) =CD (ABCD)∩(α) =M N CDkM N

⇒ P Q, M N, CD đôi song song Khi M N P Q hình thang với

đáy lớnCD Hơn ta có

  

 

M N kAB P N kSB M QkSA

⇒M N P÷ =ABS’= 60◦ vàN M Q÷ =BAS’= 60◦

Do dó tứ giácM N P Q hình thang cân Ta có P Q

CD = SQ SD =

AM

AD ⇒P Q=AM =x

Suy ra∆EM N cạnhavà∆EP Qlà tam giác cạnhx Khi

SM N P Q=S∆EM N −S∆EP Q=

a2√3 −

x2√3 Theo giả thiếtSM N P Q=

2a2√3 ⇔

a2√3 −

x2√3 =

2a2√3

9 ⇔x= a Vậy giá trị xcần tìm a

3

Chọn đáp án D

Câu 41 Cho hai mặt phẳng (P) và(Q)song song với Mệnh đề sau sai?

A Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) thìdkd0

B Mọi đường thẳng qua điểm A∈(P) song song với(Q) nằm trong(P)

C Nếu đường thẳng ∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q)

D Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P)

-Lời giải

Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) dvàd0 song song chéo

Mọi đường thẳng qua điểmA∈(P) song song với(Q) nằm (P)là mệnh đề Nếu đường thẳng∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q) (tính chất mặt phẳng song song)

Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P) mệnh đề

Chọn đáp án A

Câu 42 Cho đường thẳnganằm mặt phẳng(α)và đường thẳngbnằm mặt phẳng(β) Mệnh đề sau sai?

A (α)k(β)⇒akb B (α)k(β)⇒ak(β)

C (α)k(β)⇒bk(α) D a vàbhoặc song song chéo

(121)

Nếu(α)k(β) ngồi trường hợpakb thìavà bcó thể chéo

Chọn đáp án A

Câu 43 Lăng trụ tam giác có mặt?

A B C D

Chọn đáp án D

Câu 44 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi G, G0 trọng tâm tam giác ABC, A0B0C0 M điểm cạnhAC cho AM = 2M C Mệnh đề sau sai?

A GG0 k(ACC0A0) B GG0 k(ABB0A0)

C Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0) D (M GG0)k(BCC0B0)

-Lời giải

VìG,G0 trọng tâm tam giácABC,A0B0C0 nên ta cóGG0 k (ACC0A0),GG0 k(ABB0A0),GG0 k(BCC0B0)

GọiN trung điểm BC, ta có AG GN =

AM

M C = 2nên suy M GkCN ⇒ M Gk(BCC0B0)

Từ GG0 k (BCC0B0) M Gk (BCC0B0) ta có (M GG0) k (BCC0B0) Do vậyM G0 k(BCC0B0)

Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)”

A0

B0

C0 G0

A

B

C G

M N

Chọn đáp án C

Câu 45 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi G, G0 trọng tâm tam giácABC A0B0C0,M điểm cạnhAC cho AM = 2M C Mệnh đề sau sai?

-Lời giải

Ta cóGG0kAA0 M GkBC nên GG0 k(ACC0A0) mệnh đề đúng, GG0 k(ABB0A0)là mệnh đề đúng, (M GG0)k(BCC0B0)là mệnh đề đúng,

Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)là mệnh đề sai

B0

N0

M G0

N B

G A

A0

C C0

Chọn đáp án C

Câu 46 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 GọiM trung điểm củaAB, mặt phẳng(M A0C0)cắt cạnhBC tạiN Tính tỉ số k= M N

A0C0 A k=

2 B k=

3 C k=

3 D k=

(122)

Ba mặt phẳng phân biệt(ABCD),(ACC0A0),(M A0C0)đôi cắt theo ba giao tuyếnAC,A0C0 vàM N Theo tính chất hình hộp ta có ACkA0C0 nên M N kAC kA0C0

Lại cóM trung điểm củaABnên M N đường trung bình tam giácABC

Vì M N = 2AC=

1 2A

0C0 ⇒k= M N A0C0 =

1

A0 D0

B N C

A B0

M

C0

D

Chọn đáp án A

Câu 47 Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi song song Hai đường thẳng d, d0 cắt ba mặt phẳng tạiA, B, C vàA0, B0, C0 (B nằm giữaAvàC,B0 nằm giữaA0 vàC0) Giả sửAB= 5,BC = 4, A0C0 = Tính độ dài hai đoạn thẳng A0B0,B0C0

A A0B0 = 10, B0C0 = B A0B0 = 8, B0C0 = 10

C A0B0 = 12, B0C0 = D A0B0 = 6, B0C0 = 12

-Lời giải Ta có AB

A0B0 = BC B0C0 =

AB+BC A0B0+B0C0 =

AC A0C0 ⇒A

0B0 = 10, B0C0 = 8.

Chọn đáp án A

Câu 48 Trong không gian, cho mệnh đề sau

I Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với

II Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng

III Nếu đường thẳng asong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) asong song với (P)

IV Qua điểmA khơng thuộc mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng song song với (α) Số mệnh đề

A B C D

-Lời giải

Xét mệnh đề ta có

I “Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với nhau” mệnh đề sai, hai đường thẳng chéo

II “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” mệnh đề sai, hai mặt phẳng song song

III “Nếu đường thẳngasong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm mặt phẳng(P) thìasong song với (P)” mệnh đề sai, đường thẳngavẫn nằm mặt phẳng (P)

IV “Qua điểmA không thuộc mặt phẳng(α), kẻ đường thẳng song song với(α)” mệnh đề sai, có vơ số đường thẳng qua điểmA song song với(α)

Vậy mệnh đề mệnh đề nêu

Chọn đáp án B

Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD với đáy hình thang ABCD, ADk BC,AD = 2BC Gọi E trung điểmAD O giao điểm AC BE, I điểm thuộc đoạn OC (I khác O C) Mặt phẳng (α)qua I song song với(SBE) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện

A Một hình tam giác

B Một hình thang

(123)

D Một hình bình hành

  

 

(α)k(SBE)

(SBE)∩(ABCD) =BE (α)∩(ABCD) =Ix ⇒IxkBE

⇒IxcắtBC tạiM,AD tạiQ Ta có

  

 

(α)k(SBE) (α)∩(SBC) =M x (SBE)∩(SBC) =SB ⇒M xkSB ⇒M xcắtSC tạiN Ta có

  

 

(α)k(SBE) (α)∩(SAD) =Qx (SBE)∩(SAD) =SE ⇒QxkSE ⇒Qxcắt SDtại P

S

A N

E Q

P

M

B C

D O

I

Tứ giácBCDE hình bình hành ⇒CDkBE kM Q⇒CDk(α) Ta có

  

 

CD k(α) CD ⊂(SCD) (SCD)∩(α) =P N ⇒CDkP N ⇒M QkP N

Vậy thiết diện tạo mặt phẳng (α)với hình chóp S.ABCDlà hình thang M N P Q

Chọn đáp án B

Câu 50 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành GọiA0,B0,C0,D0 trung điểm cạnhSA, SB, SC, SD.Tìm mệnh đề mệnh đề sau

A A0B0 k(SBD) B A0B0 k(SAD) C (A0C0D0)k(ABC) D A0C0 kBD

-Lời giải

Ta cóA0C0 kAC⇒(A0C0D0)k(ABC)

A

B A0

B0

C

D C0

D0

S

Chọn đáp án C

Câu 51 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0cạnha GọiMlà trung điểm củaAB,N tâm hình vng AA0D0D Tính diện tích thiết diện hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 tạo mặt phẳng(CM N)

A a

2√14

4 B

3a2√14

2 C

3a2

4 D

a2√14

(124)

D0 C0

E A0

A M B

D

B0

C Q

F

P N

Thiết diện hình vẽ Tứ giácCQP M hình thang có CM = a

√

2 ,P M = a√13

6 ,P Q= a√10

3 ,CQ= a√13

3 Suy raM F =P Q= a

√ 10

3 ,CF =P M = a√13

6 Ta cóSCM P Q= 3SCM F

SCM F =

p

p(p−CM)(p−CF)(p−M F) vớip= CM +M F +F C

2 Thay giá trị cạnh ta có SCM F =

…

7 72a

2⇒S

CM P Q =

a2√14

Chọn đáp án A

Câu 52 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Mệnh đề sau mệnh đềsai?

A (BA0C0)k(ACD0) B (ADD0A0)k(BCC0B0)

C (BA0D)k(CB0D0) D (ABA0)k(CB0D0)

®

BA0kCD0

A0C0 kAC ⇒(BA

0C0)k(ACD0).

®

ADkBC

AA0kBB0 ⇒(ADD

0A0)k(BCC0B0).

®

BDkB0D0

A0DkB0C ⇒(BA

0D)k(CB0D0).

A D

B A0

C B0

C0 D0

Mặt khácB0∈(ABA0)∩(CB0D0)⇒ (ABA0)k(CB0D0) mệnh đề sai

Chọn đáp án D

Câu 53 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Mệnh đề sau sai?

A (ABCD)k(A0B0C0D0) B (AA0D0D)k(BCC0B0)

C (BDD0B0)k(ACC0A0) D (ABB0A0)k(CDD0C0)

-Lời giải Ta thấy

  

 

(ABCD)k(A0B0C0D0) (AA0D0D)k(BCC0B0) (ABB0A0)k(CDD0C0)

luôn

và hai mặt phẳng(BDD0B0),(ACC0A0) cắt

A0 D0

C0 B0

A D

(125)

Chọn đáp án C Câu 54 Cho đường thẳng athuộc mặt phẳng (P) đường thẳngb thuộc mặt phẳng (Q) Mệnh đề sau đâyđúng?

A akb⇒(P)k(Q) B (P)k(Q)⇒akb

-Lời giải

(P) k (Q) suy (P) (Q) khơng có điểm chung Mặt khác a ∈ (P) nên a (Q) khơng có điểm chung Suy raak(Q) Tương tự ta có bk(P)

Chọn đáp án C

Câu 55 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 Mặt phẳng(AB0D0)song song với mặt phẳng sau đây?

A (BDA0) B (A0C0C) C (BDC0) D (BCA0)

-Lời giải

Mặt phẳng(AB0D0) song song với mặt phẳng (BDC0)

Thật vậy, ta có AB0 k DC0 AD0 k BC0, có điều cần chứng minh

D C

D0 C0

B B0

A A0

Chọn đáp án C

A (BA0C0) B (C0BD) C (BDA0) D (ACD0)

-Lời giải

Ta cóBDB0D0 hình bình hành nên BDkB0D0 Tương tự ta có AD0 kBC0

Từ suy BDk(AB0D0) vàBC0k(AB0D0) Vậy(AB0D0)k(C0BD)

D

C B0

A0

C0

D0

A

B

Chọn đáp án B

Câu 57 Cho tứ diện ABCDcó AB= 6,CD = Cắt tứ diện mặt phẳng song song vớiAB,CD để thiết diện thu hình thoi Cạnh hình thoi

A 31

7 B

18

7 C

24

7 D

15

(126)

Gọi M, N, P, Q giao điểm mặt phẳng chứa thiết diện với cạnhAC,BC,BD,AD, theo giả thiết tứ giácM N P Qlà hình thoi

Cũng từ giả thiết ta suy raP Qk M N k AB, M QkN P kCD nên ta có CM

AC = M N

AB , AM

AC = M Q

CD ⇒

AC−CM AC =

M Q CD ⇔ 1−CM

AC = 1− M N

AB = M Q

CD = M N

CD ⇒ M N =

1 AB +

1 CD

= 1 +

1

= 24

Vậy cạnh hình thoi cần tìm 24

A Q

C

N M

B P D

Chọn đáp án C

A dquaS song song vớiAB B dqua S song song với BC

C dquaS song song vớiDC D dqua S song song với BD

-Lời giải Có

    

   

S∈(SAD)∩(SBC) AD⊂(SAD)

BC⊂(SBC) ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =dkADkBC dđi quaS

d

B C

D S

A

Chọn đáp án B

Câu 59 Cho tứ diện SABC Gọi I trung điểm đoạn AB, M điểm di động đoạn AI QuaM vẽ mặt phẳng (α) song song với(SIC) Thiết diện tạo (α)với tứ diện SABC

A hình thoi B tam giác cân tạiM C tam giác D hình bình hành

(127)

S

A

B

C M

I

N P

Trong mặt phẳng(SAB), qua M kẻ đường thẳng song song vớiSI cắtSA P Trong mặt phẳng(ABC), qua M kẻ đường thẳng song song vớiIC cắtAC tạiN Thiết diện tam giácM N P Ta có

M P SI =

M N

CI ⇒M P =M N (vì SI =CI)

Vậy thiết diện tam giácM N P cân M

Chọn đáp án B

Câu 60 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 điểmM nằm hai điểmAvà B Gọi(P)là mặt phẳng quaM song song với mặt phẳng(AB0D0) Mặt phẳng(P)cắt hình hộp theo thiết diện hình gì?

A Hình ngũ giác B Hình lục giác C Hình tam giác D Hình tứ giác

-Lời giải

Nhận thấy(BC0D)k(AB0D0)⇒(BC0D)k(AB0D0)k(P) (1) Do(1), ta giả sử(P)cắtBB0tạiN, suy ra(P)∩(ABB0A0)≡M N, kết hợp với (AB0D0)∩(ABB0A0) ≡ AB0 suy M N k AB0, suy raN thuộc cạnh BB0

Tương tự, giả sử(P)∩(B0C0)≡P suy ra(P)∩(BCC0B0)≡N P Kết hợp với(1)suy N P kBC0

Tương tự,(P)∩(C0D0)≡Q cho P QkB0D0;(P)∩DD0≡G cho QGkC0D;(P)∩AD≡H cho GH kAD0

Từ suy thiết diện lục giácM N P QGH

B C

N

P H

G D A

M

B0

C0 Q D0 A0

Chọn đáp án B

Câu 61 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, AC∩BD = O, A0C0 ∩B0D0 = O0 M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CC0 Khi thiết diện mặt phẳng (M N P) cắt hình lập phương hình

A Tam giác B Từ giác C Ngũ giác D Lục giác

(128)

Ta có M N k AC nên (M N P)∩(ACC0A0) = P x k AC k M N, gọi Q=P x∩AA0, P x∩OO0 =I MàP trung điểm củaCC0 nên Q, I trung điểm AA0, OO0 Xét mặt phẳng (BDD0B0) gọi IJ ∩B0D0 = H Theo tính chất đối xứng hình lập phương J trung điểm BOnên H trung điểm củaD0O0

(M N P) k AC k A0C0 nên (M N P)∩(A0B0C0D0) = Hy k A0C0 GọiE=Hy∩A0D0, F =Hy∩C0D0 Khi thiết diện lục giácM N P F EQ

B0

A M

Q

O

B N C

O0

J

D F

I

P

A0 E D0

H C0

Chọn đáp án D

Câu 62 Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Trong không gian hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung

B Trong không gian hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với

C Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với

D Trong khơng gian hình biểu diễn góc phải góc

-Lời giải

Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng không nằm mặt phẳng Do mệnh đề "Trong khơng gian hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung"

Chọn đáp án A

Câu 63 Cho tứ diện ABCD ĐiểmM thuộc đoạnAC (M khácA,M khácC) Mặt phẳng(α)đi quaM song song vớiAB AD Thiết diện của(α)với tứ diện ABCD hình gì?

A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình vng D Hình chữ nhật

-Lời giải

Trong mặt phẳng(ACD) kẻM N kAD, N ∈CD Trong mặt phẳng(ABC) kẻ M P kAB, P ∈BC

Từ suy ra(α)≡(M N P) Mà thiết diện (M N P)và tứ diện ABCD tam giácM N P

C

N P

B D

M A

Chọn đáp án A

Câu 64 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N,P theo thứ tự trung điểm củaSA,SDvàAB Khẳng định sau đúng?

(129)

®

M N kAD (đường trung bình 4SAD)

OP kAD (đường trung bình4BAD) ⇒ M N k OP ⇒O, N, M, P nằm mặt phẳng

®

M N kADkBC ⊂(SBC) OM kSC⊂(SBC)

⇒(OM N)k(SBC) A

B

M

P

D N

S

O

C

Chọn đáp án B

Câu 65 Cho tứ diện ABCD cạnh a G trọng tâm tam giác ABC Cắt tứ diện mặt phẳng (P) quaGvà song song với mặt phẳng (BCD) diện tích thiết diện bao nhiêu?

A a

2√3

4 B

a2√3

18 C a2√3

16 D a2√3

9

-Lời giải

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G song song vớiBC cắtAC, AB H, K

Trong mặt phẳng(ACD) kẻ đường thẳng qua H song song vớiCD cắt ADtại I

Thiết diện cần tìm làKHI

∆KHI v∆BCD theo tỉ số đồng dạng Do SKHI =

4

9SBCD =

a2√3

4 = √

3a2

9

A

B

C

D G

H

K I

Chọn đáp án D

Câu 66 Cho tứ diện SABC Gọi I trung điểm cạnh AB,M điểm di động đoạn thẳng AI Gọi(α) mặt phẳng qua điểmM đồng thời song song với mặt phẳng(SIC) Thiết diện tứ diện SABC cắt mặt phẳng(α)

A hình thoi B tam giác cân M

C tam giác D hình bình hành

-Lời giải

QuaM kẻ đường thẳng song song với SI cắtSA tạiP QuaM kẻ đường thẳng song song với IC cắtAC N Thiết diện củaS.ABC cắt bởi(α) tam giácM N P Ta có M P

SI = AM

AI = M N

CI = AN AC =

N P SC, Suy ra4M N P v4ICS

Mà4ICS cân tạiS (không đều) nên tam giácM N P cân tạiM không

A

B

C

I

S

M

N P

(130)

Câu 67 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình thang ABCD,AB//CD,AB = 2CD M điểm thuộc cạnhAD,(α) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAB) Biết diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(α)

3 diện tích tam giácSAB Tính tỉ số x= M A M D

A x=

2 B x= C x=

2 D x=

-Lời giải

A Q

M

B P

C D

N H

K S

Ta có   

 

(α)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB M ∈(α)∩(ABCD)

suy giao tuyến (α) (ABCD) đường thẳng qua M

song songAB, đường thẳng cắtBC N Tương tự giao tuyến của(α) và(SBC) đường thẳng qua N song song SB cắtSC tạiP, giao tuyến (α) và(SCD)là đường thẳng qua P song song CD cắtSD tạiQ Thiết diện củaS.ABCD cắt bởi(α) hình thang M N P Q

Đặt CD=a, ta có P Q CD =

SQ SD =

AM AD =

x

x+ ⇔P Q= ax x+ Trong hình thangABCD ta có M N = x

x+ 1CD+

x+ 1AB=

a(x+ 2) x+

Gọi K hình chiếu củaS lên AB, H giao M N CK, P H kSK P H⊥M N, thêm P H

SK = CH CK =

DM DA =

1 x+ Ta có SM N P Q

SABC

= (P Q+M N)P H SK·AB =

1

x+ Theo giả thiết x+ =

2

3 ⇔x=

Chọn đáp án A

Câu 68 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành Gọidlà giao tuyến hai mặt phẳng(SAD) và(SBC) Khẳng định sau khẳng định đúng?

A dđi qua S song song vớiBD B dđi qua S song song với BC

C dđi qua S song song vớiAB D dđi qua S song song với DC

-Lời giải Vì

  

 

S∈(SAD)∩(SBC)

nên d= (SAD)∩(SBC)là đường thẳng quaS song song vớiBC

A

B C

D

S d

Chọn đáp án B

Câu 69 Cho tứ diệnABCD.GọiG1, G2, G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD.Phát

biểu sau đúng?

(131)

C (G1G2G3)k(BCA) D (G1G2G3) khơng có điểm chung(ACD)

-Lời giải

GọiM, N, P trung điểm BC, CD, BD Khi đó: SG1

SM = SG2

SN = SG3

SP = ⇒G1G2kM N, ⇒G1G3 kM P

Suy ra(G1G2G3)k(BCD)

A

B

C

D

M N

P G1 G2

G3

Chọn đáp án B

A Hai mặt phẳng phân biệt không song song cắt

B Nếu hai mặt phẳng song song đường thẳng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng

C Nếu hai mặt phẳng (P) và(Q) chứa hai đường thẳng song song song song với

D Hai mặt phẳng song song với đường thẳng song song với

-Lời giải

Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối : song song, cắt nhau, trùng Do đó, hai mặt phẳng phân biệt khơng song song cắt

Chọn đáp án A

Câu 71 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB0, BC Mặt phẳng (DM N) cắt hình hộp theo thiết diện hình

A Lục giác B Ngũ giác C Tam giác D Tứ giác

-Lời giải

A0

C0

A

N C

B0

E

F

B M

G

D0

D

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi E giao điểm N D AB

Trong mặt phẳngABB0A0, gọiF,Glần lượt giao điểm EM vớiBB0,AA0 Khi mặt phẳng(DM N) cắt hình hộp theo thiết diện tứ giácN F GD

Chọn đáp án D

(132)

B Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ

-Lời giải

Chọn đáp án A

A B C D

-Lời giải

Chọn đáp án D

CB =

-Lời giải

Ta có   

 

N F CD =

BN BC =

2 M E

CD = AM

AD =

⇒N F = 2M E

A

M

C N

F B

E

D

Chọn đáp án B

  

 

A A0

D0

B B0

C0

C D

I E

(133)

Câu 76

A0 D0

A

B C

B0 C0

D

A a

2

3 B

2a2

3 C

a2

2 D

3a2

-Lời giải

a√2 N P =M Q=

2B

0D0 = a

√ 2

2N Q·M P = a2

2

A0 D0

A

B C

B0

I M

C0

D P N

Q

Chọn đáp án C

(2) Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với (3) Trong không gian hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo

A B C D

-Lời giải

(134)

A 31 B 30 C 22 D 33

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

Chọn đáp án B

-Lời giải

AP = AJ AN =

AI AM =

2

B I B0

M J A0

A

C0

C N K

Chọn đáp án C

Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: lethuhang2712@gmail.com)

Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD=a, AB= b Mặt bên(SAD) tam giác Mặt phẳng(α) qua điểmM cạnhABvà song song với cạnhSA,BC Mặt phẳng(α)cắt CD, SC, SBlần lượt N, P, Q Đặtx=AM(0< x < b) Giá trị lớn diện tích thiết diện tạo (α)và hình chóp S.ABCDlà

A a

2√3

6 B

a2√3

12 C a2√3

3 D

a2√3

2

-Lời giải

(α)kSA vàBC nên (α)k(SAD)⇒M QkSA, N P kSD Ta cóM N kP QkADkBC

Theo định lý Talét hình thangABCD ta có BM

BA = CN CD.(1) Theo định lý Talét trong4SAB ta có

BM BA =

BQ BS =

M Q SA (2) Theo định lý Talét trong4SCD ta có

CN CD =

CP CS =

P N SD.(3)

B Q

M

S

P

N C

(135)

Từ (1), (2), (3) suy raM Q=N P = b−x

b a;P Q= x

b2a;M N =a+ x ba Suy thiết diện hình thang cân

Std =

1

2(M N+P Q)

M Q2−

ÅM N −P Q

2

ã2

=

Åab+ax

b + 2ax

b

ã

a2(b−x)2 b2 −

a2(b−x)2 4b2 =

1 ·

a(b+ 3x) b ·

a√3(b−x) 2b = a

2√3

12b2 (3x+b)(3b−3x)≤

a2√3 12b2

Å3x+b+ 3b−3x

2 ã2 = a √ 3 Vậy diện tích lớn thiết diện a

2√3

3 x= b

Chọn đáp án C

Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng) cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 Trên cạnhAB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng quaM song song với mặt phẳng (ACD0) Đặt AM

AB =k,0 < k <1 Tìmk để thiết diện hình hộp mặt phẳng(P) có diện tích lớn

A k=

2 B k=

4 C k=

4 D k=

-Lời giải

A M B

J

D0 C0

R Q D B0 N K P A0 C S

Trong mặt phẳng(ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song vớiAC cắtDB,BC tạiE,N Trong mặt phẳng(BDD0), qua E kẻ đường thẳng song song với OD0 cắtB0D0 tạiF

Trong mặt phẳng(A0B0C0D0), quaF kẻ đường thẳng song song vớiAC cắtA0D0,D0C0 R,Q Trong mặt phẳng(AA0DD0)qua R kẻ đường thẳng song song vớiAD0 cắtAA0 tạiS

Trong mặt phẳng(CC0D0D), quaQ kẻ đường thẳng song song vớiCD0 cắtCC0 P Vậy thiết diện lục giácM N P QRS

Do mặt đối diện hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diệnM N P QRS song song và3 cặp cạnh song song với cạnh tam giácACD0 Các tam giácJ KI,ACD0,RQI,J M S, N KP đồng dạng

⇒ M J M N =

M A M B =

N C N B =

N K N M =

P C P C0 =

P K P Q =

QD0 QC0 =

QI

(136)

Suy tam giácRQI,J M S,N KP (gọi diện tích chúng làS1 diện tích tam giác

J KI,ACD0 làS2,S)

Ta có S1 S =

Å

J M AC

ã2

=

Å

AM DC

ã2

=

Å

AM AB

ã2

=k2 ⇒S1 =k2S

S2

S =

Å

J K AC

ã2

=

Å

J M+M K AC

ã2

= (k+ 1)2⇒S2 = (k+ 1)2S

Diện tích thiết diện

Std =S2−3S1 = 2S(−k2+k+

1 2)≤

3S Dấu đẳng thức xảy khik=

2

Chọn đáp án A

Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm củaSA, SD AB Khẳng định sau đúng?

A (N OM) cắt(OP M) B (M ON)//(SBC)

C (P ON)∩(M N P) =N P D (N M P)//(SBD)

-Lời giải

Xét hai mặt phẳng(M ON) và(SBC) Ta có:OM//SC vàON//SB

MàBS∩SC=C vàOM∩ON =O Do (M ON)//(SBC)

B

A

C D O

S

M

N

P

Chọn đáp án B

Câu 84 Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A (AA0B0B) song song với(CC0D0D) B Diện tích hai mặt bên bất ki

C AA0 song song vớiCC0 D Hai mặt phẳng đáy song song với

-Lời giải

A0 D0

A

B C

B0 C0

D

Đáp án B

Chọn đáp án B

A Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt(P) và(Q) (P) và(Q) song song với

B Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước

C Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng(Q)

D Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (Q)

(137)

Chọn đáp án C Câu 86 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án B

Câu 88 Cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ) có (α)∩(β) =d1;(β)∩(γ) =d2;(α)∩(γ) =d3 Khi

-Lời giải

Chọn đáp án D

D Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt phẳng

-Lời giải

Trong không gian, hai mặt phẳng có3vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song với Vì vậy,2mặt phẳng khơng cắt song song trùng nhau⇒A mệnh đề sai

a

P

Q

Chọn đáp án C

Câu 90 Trong điều kiện sau, điều kiện kết luận mp(α)kmp(β)?

(138)

-Lời giải

a b α

β

Hình

a b

α β

Hình

Trong trường hợp: (α) k (γ) (β) k (γ) ((γ) mặt phẳng đó) (α) (β) trùng ⇒ Loại A

Chọn đáp án D

-Lời giải

a

b α

β

Hình

b a

α

β

Hình

d

α

Hình

Chọn đáp án A

Câu 92 Cho hai mặt phẳng song song (α) và(β), đường thẳng ak(α) Có vị trí tương đối củaavà (β)?

A B C D

-Lời giải

(139)

Chọn đáp án B Câu 93 Cho hai mặt phẳng song song (P) và(Q) Hai điểmM, N thay đổi (P) và(Q).Gọi I trung điểm củaM N Chọn khẳng định

-Lời giải

Q P

M

I

N

Chọn đáp án B

Câu 94 Trong điều kiện sau, điều kiện kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 96 Cho đường thẳnga⊂(P) đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề sau đúng?

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 97 Hai đường thẳngavàbnằm trongmp(α).Hai đường thẳnga0 vàb0 nằm mp(β).Mệnh đề sau đúng?

(140)

a0 b a

b0

∆

α

β

Hình

a

a0 α

β

Hình

Chọn đáp án D

-Lời giải

q p

∆

q p

∆ q

p

∆

Chọn đáp án D

-Lời giải

S

D C

O

B M

P N

A

Chọn đáp án B

Câu 100 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO.Tam giácSBDđều Một mặt phẳng(P)song song với(SBD) qua điểmI thuộc cạnhAC (không trùng vớiAhoặcC) Thiết diện (P) hình chóp hình gì?

A Hình hình hành B Tam giác cân C Tam giác vng D Tam giác

(141)

S

O I

D N A

B M P

C

Chọn đáp án D

Câu 101 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 102 Trong mệnh sau, mệnh đề nàosai?

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

(142)

  

 

−

A0 C0

A

B B0

C M

N

∆

Chọn đáp án C

Câu 106 Cho hình lăng trụABC.A0B0C0 Gọi H trung điểm A0B0 Mặt phẳng(AHC0) song song với đường thẳng sau đây?

-Lời giải

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

Câu 107 Cho hình lăng trụABC.A1B1C1.Trong khẳng định sau, khẳng định nàosai?

A (ABC)k(A1B1C1) B AA1 k(BCC1)

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 108 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0.Khẳng định làsai?

C (ADD0A0)k(BCC0B0)

(143)

B C

A0 D0

B0

A D

C0

Chọn đáp án D

Câu 109 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 có cạnh bênAA0, BB0, CC0, DD0.Khẳng định

sai?

-Lời giải

B C

A0 D0

B0

A D

C0

Chọn đáp án B

Câu 110 Nếu thiết diện lăng trụ tam giác mặt phẳng đa giác đa giác có nhiều cạnh?

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 112 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 Gọi I trung điểm AB.Mặt phẳng(IB0D0)cắt hình hộp theo thiết diện hình gì?

(144)

Ta có   

 

−

A0 M D0

B C

D C0 I

B0

A

Chọn đáp án B

Câu 113 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi (α) mặt phẳng qua cạnh hình hộp cắt hình hộp theo thiết diện tứ giácT Khẳng định sau đúng?

-Lời giải

B C

A0 D0

B0

A D

C0

d

Chọn đáp án B

Câu 114 Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng A A0 có AB

A0B0 =

2.Khi tỉ số diện tích

S∆ABC

S∆A0B0C0

A

2 B

1

4 C D

-Lời giải

S∆A0B0C0 =

1

2·AB·AC

2 ·A

0B0·A0C0

= AB A0B0 ·

AC A0C0 =

1

A C

A0

B

B0 C0

Chọn đáp án B

Câu 115 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,BAC’ = 30◦ Mặt

phẳng(P) song song với (ABC) cắt đoạnSA M choSM = 2M A Diện tích thiết diện (P) hình chóp S.ABC bao nhiêu?

A 16

9 B

14

9 C

25

9 D

(145)

Ta có S∆ABC =

1

2 ·4·4·sin 30

0 = 4. Gọi

SA = SN SB =

SP SC =

2 Khi đó(P)cắt hình chópS.ABC theo thiết diện tam giácM N P đồng dạng với tam giácABC theo tỉ số k=

3

Å2

3

ã2

·4 = 16

S

A M

C N

B P

Chọn đáp án A

Câu 116 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB= 6, CD= 4.Mặt phẳng (P) song song với(ABCD) cắt cạnh SAtại M cho SA= 3SM Diện tích thiết diện (P) hình chópS.ABCDbằng bao nhiêu?

A √

3

9 B

2√3

3 C D

7√3

-Lời giải

S

C P

D

B A M

Q

N

C D

A H K B

®

AH=BK;CD =HK

Tam giác BCK vuông K, có CK = √BC2−BK2 = √22−12 = √3. Suy diện tích hình thang

ABCD làSABCD=CK·

AB+CD =

√

3·4 + =

√

GọiN, P, Q giao điểm củaP cạnh SB, SC, SD.Vì(P)k(ABCD)nên theo định lí Talet, ta có M N

AB = N P BC =

P Q CD =

QM AD =

1

5√3

Chọn đáp án A

Câu 117 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình bình hành có tâmO, AB = 8,SA =SB = Gọi(P) mặt phẳng qua O song song với(SAB) Thiết diện (P) hình chóp S.ABCD có diện tích

A 5√5 B 6√5 C 12 D 13

(146)

2 = AB

2 = Và N P = SB

2 = 3; QM = SA

S

N

C P

D Q B

A M

P Q+N M =

√

Chọn đáp án B

Câu 118 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi H trung điểm A0B0 Đường thẳng B0C song song với mặt phẳng sau đây?

-Lời giải

⇒M B0k(AHC0) (1)

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

A Nếu hai mặt phẳng(α) và(β) song song với đường thẳng nằm trong(α) song song với(β)

B Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với đường thẳng nằm (α) song song với đường thẳng nằm trong(β)

C Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) (α)và (β) song song với

D Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước

-Lời giải

Đáp án B, C sai Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song với chéo

Đáp án D sai qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước ta vẽ vô số đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước

Chọn đáp án A

Câu 120 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AC, BD, AB, CD, AD,BC.Bốn điểm sau không đồng phẳng?

A P, Q, R, S B M, P, R, S C M, R, S, N D M, N, P, Q

(147)

Dễ thấy(M P R)k(BCD),màS ∈(BCD)⇔S /∈(M P R)

VậyM, P, R, S không đồng phẳng A

R

D

C N S

B P

M

Q

Chọn đáp án B

A Nếu(α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β) akb B Nếu ak(α) bk(β) akb

C Nếu (α)k(β) vàa⊂(α) thìak(β) D Nếuakbvàa⊂(α), b⊂(β) (α)k(β)

Câu 122 Trong khơng gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β).Có vị trí tương đối (α)và (β)?

A B C D

-Lời giải

Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt(α) và(β) có hai vị trí tương đối là: cắt hay song song

Chọn đáp án B

Câu 123 Cho tứ diện SABC Gọi I trung điểm đoạn AB, M điểm di động đoạn AI QuaM vẽ mặt phẳng (α) song song với(SIC).Thiết diện tạo (α) với tứ diện SABC

A Tam giác cân tạiM B Tam giác C Hình bình hành D Hình thoi

-Lời giải

Gọi N, P nằm cạnh SA, AC cho

®

M N kSI M P kIC ⇔(M P N)k(SIC)⇔(M N P)≡(α)

Vậy thiết diện tam giácM N P

Tứ diện SABC nên tam giácSIC cân I Ngoài ta có AM

AI = M P

IP = M N

M P ⇔M N =M P Suy tam giácM N P cân M

S

P C

B A

M I N

Chọn đáp án A

Câu 124 Cho tứ diện đềuSABC cạnh bằnga.GọiI trung điểm đoạnAB,M điểm di động đoạnAI QuaM vẽ mặt phẳng (α)song song với(SIC).Tính chu vi thiết diện tạo bởi(α) với tứ diện SABC, biết AM =x

A xÄ1 +√3ä B 2xÄ1 +√3ä C 3xÄ1 +√3ä D Khơng tính

(148)

Để ý hai tam giác M N P SIC đồng dạng với tỉ số AM AI = 2x

a ⇒

CM N P

CSIC

= 2x

a ⇔ CM N P =

2x

a (SI+IC+SC) = 2x

a

Ç

a√3 +

a√3 +a

å

= 2xÄ√3 + 1ä

S

P C

B A

M I N

Chọn đáp án B

Câu 125 Cho hình bình hànhABCD.GọiBx, Cy, Dz đường thẳng song song với quaB, C, D nằm phía mặt phẳng(ABCD)đồng thời khơng nằm mặt phẳng(ABCD) Một mặt phẳng quaA cắt Bx, Cy, Dz tạiB0, C0, D0 vớiBB0 = 2, DD0 = Khi độ dàiCC0 bao nhiêu?

A B C D

-Lời giải

GọiOlà tâm hình bình hànhABCD.Dựng đường thẳng qua O song song BB0 cắt B0D0 tạiO0

Theo cách dưng trên, ta có OO0 đường trung bình hình thangBB0D0D⇔OO0 = BB

0+DD0 =

Ngồi ta có OO0 đường trung bình tam giác ACC0 ⇔CC0 = 2OO0 =

C0

O0

B0

C

A B

O D D0

Chọn đáp án D

Câu 126 Cho hình vng ABCD tam giác đềuSAB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M điểm di động đoạnAB.QuaM vẽ mặt phẳng(α) song song với(SBC) Thiết diện tạo bởi(α) hình chópS.ABCD hình gì?

A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình thang D Hình vng

-Lời giải

Lần lượt lấy điểmN, P, Q thuộc cạnh CD, SD, SAthỏa M N k BC, N P kSC, P QkAD

Suy (α) ≡(M N P Q) (α)k(SBC) Theo cách dựng thiết diện hình thang

C

D N

S

O

B P

Q

A

M

Chọn đáp án C

(149)

A Đường thẳng song song vớiAB B Nửa đường thẳng

C Đoạn thẳng song song với AB D Tập hợp rỗng

-Lời giải

Lần lượt lấy điểmN, P, Qthuộc cạnhCD, SD, SAthỏa M N k BC, N P k SC, P Q k AD Suy (α) ≡ (M N P Q) (α)k(SBC)

Vì I = M Q∩N P ⇔

®

I, S∈(SCD)

I, S∈(SAB) ⇔ I nằm đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng(SAB) và(SCD) Khi

®

M ≡B ⇒I ≡S

M ≡A⇒I ≡T vớiT điểm thỏa mãn tứ giácABST hình bình hành

C

D N

S

O Q I T

B P

A

M

Vậy quỹ tích cần tìm đoạn thẳng song song vớiAB

Chọn đáp án C

ĐÁP ÁN

(150)

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa Hai mặt phẳng(α) và(β)gọi song song với chúng khơng có điểm chung, kí hiệu(α)k(β)

Hệ

Cho hai mặt phẳng song song (α) (β) Nếu đường thẳng d nằm trong(α)thì dk(β)

α

β

d

2 TÍNH CHẤT

Định lí

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt a b

song song với mặt phẳng(β) (α)k(β)

α

β

a b M

Định lí

Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước, có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho

α

β

A

Hệ Nếu đường thẳngdsong song với mặt phẳng (α) qua dcó mặt phẳng song song với(α)

Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song với mặt phẳng thứ ba song song với

Hệ Cho điểmA không nằm mặt phẳng(α) Mọi đường thẳng quaA song song với (α)đều nằm mặt phẳng quaA song song với(α)

(151)

Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với

a b

β α

γ

Hệ

Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng

A

A0

B

B0 a

b

β α

3 ĐỊNH LÝ TA-LÉT (THALÈS)

Định lí

Ba mặt phẳng đơi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

C

C0 B

B0 d

A A

0

d0

R Q

P

4! Nếu hai cát tuyến dvà d0 cắt 3 mặt phẳng song song(P) k(Q)k(R) lần lượt giao điểm

A, B, C A0, B0, C0 AB

A0B0 = BC B0C0 =

CA C0A0

4 HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

(152)

Cho hai mặt phẳng (α) k (α0) Trong (α) cho đa giác lồi A1A2 An Qua điểm A1, A2, , An ta dựng

đường song song với cắt(α0) A01, A02, , A0n Hình tạo thành hai đa giác A1A2 An, A01A02 A0n

cùng với hình bình hànhA1A2A02A01,A2A3A03A02, ,

AnA1A01A0n gọi hình lăng trụ ký hiệu

A1A2 An.A01A02 A0n

Hai đa giácA1A2 An,A01A02 A0n gọi hai

mặt đáy (bằng nhau) hình lăng trụ

Các đoạn thẳng A1A01, A2A02, , AnA0n gọi

cạnh bên hình lăng trụ

Các hình bình hành A1A2A02A01, A2A3A03A03, ,

AnA1A01A0n gọi mặt bên hình lăng trụ

Các đỉnh hai đa giác đáy gọi cácđỉnh hình lăng trụ

A1

A01

A2 A3

A4

A5

A02 A

0

3

A04

A05

α α0

Tính chất

Các cạnh bên hình lăng trụ song song Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy sau:

Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác

Hình hộp Lăng trụ ngũ giác

Hình lăng trụ có đáy tam giác gọi làhình lăng trụ tam giác Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi làhình hộp

5 HÌNH CHĨP CỤT

Định nghĩa Cho hình chóp S.A1A2 An Một mặt phẳng(P) song song với mặt đáy hình

chóp khơng qua đỉnh cắt cạnh SA1, SA2, , SAn A01, A02, , A0n Hình tạo

thành hai đa giácA01A02 A0n,A1A2 Anvà tứ giác A1A2A02A01,A2A3A03A30, ,AnA1A01A0n

gọi làhình chóp cụt

ĐáyA1A2 An hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt

(153)

S

A01

A02 A

0

3

A04

A05

A1

A2

A3

A4

A5

P

Tính chất

Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ lệ cặp cạnh tương tứng

Các mặt bên hình thang

Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy tại1 điểm

Dạng Chứng minh hai mặt phẳng song song

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:

Phương pháp

Trên mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng lại

  

 

a⊂(α), b⊂(α) a∩b=M ak(β), bk(β)

⇒(α)k(β)

a b

β α

Phương pháp

Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ

®

(α)6= (β)

(α)k(γ),(β)k(γ) ⇒(α)k(β) β α

γ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, gọi M, N trung điểm củaSA,SD Chứng minh(OM N)k(SBC)

(154)

Ta cóM, O trung điểm SA,AC nên OM đường trung bình tam giácSAC ứng với cạnh SC, đóOM kSC

Vậy

®

OM kSC

SC⊂(SBC) ⇒OM k(SBC) (1) Tương tự, ta cóN,O trung điểm củaSD,BD nên N O đường trung bình tam giác SBD ứng với cạnhSB đóON kSB

Vậy

®

ON kSB

SB ⊂(SBC ⇒ON k(SBC) (2) Từ (1) (2) ta có

  

 

OM k(SBC) ON k(SBC) OM ∩ON =O

⇒(OM N)k(SBC)

S

B C

O

D A

M N

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành GọiA0,B0,C0,D0 trung điểm cạnhSA, SB, SC, SD.Chứng minh (A0C0D0)k(ABCD)

-Lời giải

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta tìm mặt phẳng đường thẳng cắt song song với mặt phẳng cịn lại

Dễ thấy

®

A0C0 kAC A0D0 kAD ⇒

®

A0C0 k(ABCD) A0D0 k(ABCD) ⇒(A

0C0D0)k(ABCD).

A

B A0

C

D C0

D0 S

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M,N trung điểm củaSA vàCD

Chứng minh hai mặt phẳng(M N O) và(SBC) song song

-Lời giải

Ta cóM trung điểm SA,O trung điểm AC ⇒M O đường trung bình4SAC

⇒M OkSC

Tương tựON kBC Do (OM N)k(SBC)

S

B C

O

D N A

M

Dạng Tìm giao tuyến mặt phẳng(α) với mặt phẳng(β) biết(α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ)

(155)

Sử dụng tính chất

  

 

(α)k(β) (γ)∩(α) =a (γ)∩(β) =b

⇒akb

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâmH Mặt phẳng (P) quaH song song với(SAB) Tìm giao tuyến

1 Mặt phẳng(P) mặt phẳng(ABCD) 2 Mặt phẳng(P) mặt phẳng(SBC)

-Lời giải

A S

F

B E

K

C

D H

1 Giao tuyến mặt phẳng(P) mặt phẳng(ABCD) 

 

 

(P)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB (P)∩(ABCD) =H

⇔(P)∩(ABCD) =EF với   

 

EF qua H EF kAB

E ∈BC, F ∈AD

2 Giao tuyến mặt phẳng(P) mặt phẳng(SBC) 

 

 

(P)k(SAB)

(SBC)∩(SAB) =SB (P)∩(SBC) =E

⇔(P)∩(ABCD) =EK với

®

EK∩SC=K EKkSB

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM điểm trênAB Gọi(α) măt phẳng quaM song song với (SBC) Tìm giao tuyến của(α) với cắt mặt hình chóp

(156)

M Q

A S

P

B C

D N

Ta có:   

 

(α)k(SBC)

(SBC)∩(ABCD) =BC (α)∩(ABCD) =M

⇔(α)∩(ABCD) =M N với

®

M N∩CD =N M N kBC 

 

 

(α)k(SBC)

(SBC)∩(SCD) =SC (α)∩(SCD) =N

⇔(α)∩(SCD) =N P với

®

N P ∩SD=P N P kSC 

 

 

(α)k(SBC)

(SBC)∩(SAB) =SB (α)∩(SAB) =M

⇔(α)∩(SAB) =M Qvới

®

M Q∩SA=Q M QkBC

Suy ra, (P)∩(SAD) =P Q

Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 Gọi M,N, P trung điểm cạnh AB,AD,A0D0 Xác định giao tuyến (M N P) mặt(A0B0C0D0),(AA0B0B)

-Lời giải

A

B

B0

A0 M

Q

D

D0 N

C

C0 P

Ta có:

M,N,P trung điểm cạnhAB,AD,A0D0 Suy

®

M N kBDkB0D0

(157)

Khi   

 

(M N P)k(BDD0B0)

(BDD0B0)∩(A0B0C0D0) =B0D0 (M N P)∩(A0B0C0D) =P

⇔(M N P)∩(A0B0C0D0) =P Qvới

®

P Q∩A0B0=Q P QkB0D0

Suy ra(M N P)∩(ABB0A0) =M Q

Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 Xác định giao tuyến mặt phẳng (H, d) mặt phẳng (ABC) H trung điểm A0B0, d giao tuyến hai mặt phẳng(AB0C0) mặt phẳng(A0BC)

-Lời giải

M

A F C

B

B0

N

A0 H

E

C0

Ta cóAB0∩A0B =M,AC0∩A0C=N Khi (AB0C0)∩(A0BC) =M N =d Vậy(H, d) = (HM N)

Ta có

®

HM kBB0

M N kB0C0 ⇒(HN M)k(BB 0C0C).

KẻHM cắt ABtại E Khi đó: 

 

 

(HM N)k(BB0C0C) (BB0C0C)∩(ABC) =BC (HM N)∩(ABC) =E

⇔(HM N)∩(ABC) =EF với

®

EF ∩AC =F

EF kB0C0 kBC Dạng Xác định thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước

Trong khơng gian cho hình chóp lăng trụ S Xác định thiết diện chóp cắt mặt phẳng(α)

đi qua điểm I cho trước song song với mặt phẳng (β) cho trước

Ta xác định đường thẳng d⊂(β)

Vì (α)k(β) nên (α)kd Do (α) giao với mặt phẳng chứad theo giao tuyếnakd

Suy (α) = (I, a)

Ta tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng (I, a) với mặt chóp lăng trụ S

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng(α) di động song song với mặt phẳng(SBD) qua điểm I đoạnAC

1 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) 2 Tính diện tích thiết diện theoa, b vàx=AI

(158)

M K

H P

L N

S

B C

D A

I

1 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) TH1:I ∈OA Ta có

 



(α)k(SBD)

(ABD)∩(SBD) =BD I ∈(α)∩(ABD)

⇒(α)∩(ABD) =M N

vớiM N quaI M N kBD

Tương tự (α) cắt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P song song với SB, cắt (SAD) theo đoạn giao tuyếnN P kSD

Thiết diện tam giác đềuM N P (vì đồng dạng với tam giác đềuSBD)

TH2:I ∈OC Ta có thiết diện tam giác HKLcó cạnh tương ứng song song với cạnh tam giácSBD

TH3:I =O, thiết diện tam giác SBD 2 Tính diện tích thiết diện theoa, b vàx=AI

Ta cóS4BCD =

b2√3 TH1:I ∈OA ⇔0< x < a

2

S4M N P

S4BCD

=

ÅM N

BD

ã2

DoM N kBD, ta có M N BD =

AI AO =

2x a Suy raS4M N P =

b2x2√3 a2

TH2:I ∈OC ⇔ a

2 < x < a S4HKL

S4BCD

=

ÅHL

BD

ã2

Do HLkBD, ta có HL BD =

CI CO =

2(a−x) a Suy raS4M N P =

b2(a−x)2√3 a2

TH3:I =O, thiết diện tam giác SBD có S= b

2√3

4

Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Hai điểm M, N nằm hai cạnhAD, CC0 cho AM

M D = CN

N C0 Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua M N song song với (ACB0)

(159)

Gọi I điểm AA0 cho AI IA0 =

AM

M D suy IM k A

0D suy ra IM kCB0

Ta lại có AI IA0 =

CN

N C0 suy IN kAC suy (M N I)k (ACB

0), đó M N k(ACB0)

QuaM kẻ M E kAC; qua N kẻ N F kB0C0, qua F kẻ F K kA0C0 Đa giácM EN F KI thiết diện cần tìm

A0 I A

D0 M

D E C

K B0

C0 F

N B

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiG1,G2,G3lần lượt trọng tâm

tam giácSAB,ABC,SBD GọiM điểm thuộc đường thẳng G2G3 Chứng minhG1M k(SBC)

-Lời giải

A

B C

D S

O G1

G2

G3

N M

GọiO tâm hình bình hànhABCD N trung điểm AB, suy G1∈SN,G2∈CM,G3 ∈SO

DoG1,G2 trọng tâm tam giácSAB,ABC nên ta có:

   

  

N G1

M S = N G2

M C = ⇒ G1G2 kSC (Định lý Ta-lét trong∆N SC)

⇒ G1G2k(SBC)

DoG2,G3 trọng tâm tam giácABC,SBDnên ta có:

   

  

OG2

OB = OG3

OS = ⇒ G2G3 kSB (Định lý Ta-lét ∆SOB)

⇒ G2G3k(SBC)

Ta có:

®

G1G2k(SBC)

G2G3k(SBC)

⇒ (G1G2G3)k(SBC)

(160)

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO GọiM,N trung điểm củaSA vàCD

1 Chứng minh hai mặt phẳng(OM N) và(SBC) song song với

2 GọiI trung điểm củaSD,J điểm trên(ABCD)và cách đềuAB,CD Chứng minhIJ song song với(SAB)

3 Giả sử hai tam giácSAD,ABC cân A Gọi AE AF đường phân giác tam giácACD vàSAB Chứng minh EF song song với(SAD)

-Lời giải

1 Chứng minh(OM N)k(SBC)

DoON,OM theo thứ tự đường trung bình tam giácBCDvà SAC nên OM kBC,ON kSC Hơn nữa, ON,OM không chứa (SBC) Do ON k(SBC),OM k(SBC)

Mặt khác,OM∩ON =O nên (OM N)k(SBC) 2 Chứng minhIJ k(SAB)

Trong mặt phẳng(ABCD),OvàJcách hai đường thẳng song song AB CD nên OJ k AB k CD Hơn nữa,OJ không chứa trong(SAB) Do đó, OJ k (SAB)

M

B

D

N J

O

C A

S

I

Mặt khác,OI đường trung bình tam giácSBDnên OI kSB Do đó, OJ k(SAB)

Mặt phẳng(OIJ) chứa hai đường thẳng cắt song song với(SAB) nên(OIJ)k(SAB) Hơn nữa,IJ ⊂(OIJ) Vì vậy,IJk(SAB)

3 Chứng minh EF k (SAD) Theo tính chất đường phân giác ta có

ES EB =−

AS AB

F D F C =−

AD

AC (?) Mặt khác, tam giácSAD vàABC cân Anên

AS =AD AB=AC (??) Từ (?) (??) suy

ES EB =

F D F C

Suy raEF,SD,BC song song với mặt phẳng DoSD⊂(SAD),BCkAD nên BCk(SAD)

VậyEF k(SAD)

E

B

D F O

C A

S

Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang có AB k CD AB = 2CD, I giao điểm củaAC vàBD GọiM trung điểm củaSD,E trung điểm đoạnCM vàGlà điểm đối xứng củaE qua M,SE cắtCD K Chứng minh (IKE)k(ADG)

(161)

DoCE=M E=M Gnên CE=

3CG (1)

Mặt khác (

‘

BAI =’DCI, (so le trong), ‘

AIB =’CID, (đối đỉnh)

Do 4ABI v4CDI, (g-g) Khi CI

IA = CD AB =

1 hay

CI CA =

1

3 (2) Từ (1) (2) suy

EI kGA (?)

C K D

B

M

E

A S

G

I

Hơn nữa, tứ giác SGDE có SM =M D vàEM =M G, nên tứ giác SGDE hình bình hành Do

SEkGD hay EK kGD (??)

Từ (?) (??) suy ra(IEK)k(ADG)

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO Gọi M,N,P trung điểm SA,SDvà SB

1 Chứng minh (M N P)k(ABCD) 2 Chứng minh (OM N)k(SBC)

-Lời giải

A

M

B C

P D

N

D

O S

1 Chứng minh(M N P)k(ABCD) Ta có

®

M N kAD, (do M N đường trung bình của4SAD) AD⊂(ABCD)

Suy raM N k(ABCD) Ta lại có

®

N P kAB, (do N P đường trung bình của4SAB) AB⊂(ABCD)

Suy raN P k(ABCD)

(162)

2 Chứng minh(OM N)k(SBC)

Ta cóM N kAD, (M N đường trung bình của∆SAD) vàADkBC, (doABCDlà hình bình hành) nên M N kBC

MàBC ⊂(SBC)nên M N k(SBC)

Ta lại cóOM kSC, (doOM đường trung bình của∆SAC) MàSC ⊂(SBC) nên OM k(SBC)

Mặt khác(M N, OM ⊂(OM N) Vậy(OM N)k(SBC)

Bài Cho tứ diệnABCD gọi M,N trung điểm cạnh AB vàCD, E điểm chia BC theo tỉ số BE

BC =

1 Trên đoạn thẳngAM lấy điểmH Tìm giao tuyến mặt phẳng(P) quaH song song với mặt phẳng(M N E) Tìm giao tuyến

1 Mặt phẳng(P) mặt phẳng(BCD) 2 Mặt phẳng(P) mặt phẳng(ABD)

-Lời giải

A

B M

H

D F

G

C E

K

N L

1 Giao tuyến mặt phẳng(P) mặt phẳng(BCD) Ta có:

  

 

(P)k(M N E)

(M N E)∩(ABC) =M E (P)∩(ABC) =H

⇔(P)∩(ABC) =HK với

®

HK∩BC=K HK kM E

Khi đó:   

 

(P)k(M N E)

(M N E)∩(BCD) =EN (P)∩(BCD) =K

⇔(P)∩(BCD) =KL với

®

KL∩CD=L KLkEN

2 Giao tuyến mặt phẳng(P) mặt phẳng(ABD) Ta có :

®

EN kBD

M ∈(M N E)∩(SBD) ⇒(M N E)∩(SBD) =M F với

®

M F ∩AD=F M F kBD Khi đó:

  

 

(P)k(M N E)

(M N E)∩(ABD) =M F (P)∩(ABD) =H

⇔(P)∩(ABD) =HG với

®

HG∩AD=G HGkM F

(163)

1 Mặt phẳng(α)và mặt phẳng (ABC)

2 Mặt phẳng(α)và mặt phẳng (SAC)

-Lời giải

S

O I A

G

E M

C F

B J

1 Tìm giao tuyến mặt phẳng(IEF) mặt phẳng(ABC) GọiM F =AO∩BC

Ta có:   

 

(α)k(SBC)

(SAM)∩(SBC) =SM (α)∩(SAM) =I

⇔(α)∩(SAM) =Ix với

®

Ix∩SA=G

Ix∩AM =J IxkSM Do đó,

  

 

(α)k(SBC)

(ABC)∩(SBC) =SM (α)∩(ABC) =J

⇔(α)∩(ABC) =EF với   

 

EF quaJ

E∈AB, F ∈AC EF kSM

2 Tìm giao tuyến mặt phẳng(IEF) mặt phẳng(SAC) Ta có:

  

 

(α)k(SBC)

(SAB)∩(SBC) =SB (α)∩(SAB) =E

⇔(α)∩(SAB) =EG với

®

G∈SA EGkSB

Bài Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hànhABCD GọiM,N,E trung điểm cạnh AB,AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Mặt phẳng qua K song song với M N E cắt SB, AD tạiP,Q Tìm giao tuyến mặt phẳng(KP Q) mặt phẳng(SAD)

(164)

S

O

M

K x

D J

A

E

C

B P

F N

Q I

R GọiO tâm hình bình hànhABCD Suy ra(SBD)∩(SAC) =SO

GọiI =M N∩AC;J =AI ∩SO 

   

   

(M N E)∩(SBD) =I M N kBD

M N ⊂(M N E) BD⊂(SBD)

⇒

®

(M N E)∩(SBD) =J x J xkBD

GọiF =J x∩SB,(α) mặt phẳng quaK song song với (M N E) 

 

 

(α)∩(SAB) =K (α)k(M N E)

(M N E)∩(SAB) =M F

⇒(α)∩(SAB) =KP kM F vớiP ∈SB Tương tự ta có(α)∩(ABCD) =KQkM N vớiQ∈AD

Ta có:KQ∩SA=R⇒(KP Q)∩(SAD) =QR

Bài Cho hình chópS.ABCDđáy hình bình hành tâm O có AC=a,BD=b Tam giác SBDlà tam giác Một mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (SBD)và qua điểm I đoạn AO

1 Tìm giao tuyến mặt phẳng(α) với mặt phẳng(SAB),(SAD),(ABCD) 2 Tính diện tích hình phẳng tạo giao tuyến

-Lời giải

S

A P

D

B

O

C I

M

N

(165)

  

 

(α)k(SBD)

(ABCD)∩(SBD) =BD I ∈(α)∩(ABCD)

⇔(α)∩(ABCD) =M N với

®

M N quaI

M N kBD vớiM ∈AB,N ∈AD Tương tựα cắtSAB theo giao tuyếnM P kSB cắt(SAD)theo giao tuyếnN P kSDvớiP ∈SA

2 Tính diện tích hình phẳng tạo giao tuyến

Ta có tam giácM N P tam giác đồng dạng với tam giác đềuSBD Ta cóSSBD=

BD2√3 =

b2√3

4 I ∈OA⇔0< x < a Khi SM N P

SBCD

=

Å

M N BD

ã2

DoM N kBD, ta có: M N

BD = AI AO =

2x

a ⇒SM N P =

b2√3

Å

2x a

ã2

= b

2x2√3

a2

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD có AD k BC, AD = 2BC Gọi E trung điểmADvàO giao điểm củaAC vàBE;I điểm di động cạnhAC khác Acà C QuaI vẽ mặt phẳng(α) song song với(SBE) Tìm thiết diện tạo bởi(α) hình chópS.ABCD

-Lời giải

HD: TH1: I ∈ OA, (α) k (SBE) nên (α) k BE (α) k SO, suy (α) cắt (ABE) theo giao tuyến M N k BE, M N qua I, (α) cắt (SAC) theo giao tuyến EI k SO, EI qua I Thiết diện tam giác EM N

TH2:I ∈OC, thiết diện hình thang HKLP(HKkLP kBE kCD)

TH3:I =O thiết diện tam giácSBE

Bài 10 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 GọiO tâm hình bình hànhABCD;K trung điểm C0D0;E trung điểm B0O Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua điểm K song song mặt phẳng(EA0C0)

-Lời giải

HD: Ta có BOO0B0 hình bình hành, đóE =BO0∩B0O, suy (EA0C0) = (BA0C0) Mặt phẳng (P) qua K song song với BA0C0 Từ K kẻ đường thẳng song song với A0C0 cắt A0D0, C0B0, A0B0 M, N, P Từ P kẻ đường thẳng song song A0B cắt AA0, AB, BB0 I, J, Q Nối Q vàN cắt BC tạiS, cắt CC0 tạiR Thiết diện lục giácKM IJ SR có cạnh đối song song với Bài 11 Cho hình chópS.ABCD có đáy hình thang, đáy lớnAB= 3a,AD=CD =a Mặt bên(SAB) tam giác cân đỉnhS vớiSA= 2a, gọiM điểm thuộc cạnh AD Mặt phẳng(α) quaM song song với(SAB) Xác định thiết diện chóp với mặt phẳng (α) Thiết diện hình gì?

-Lời giải

HD: QuaM kẻ M N kAB, từN kẻ N P kSB, từM kẻ M QkSA Thiết diện hình thang cânM N P Q

Bài 12 Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giácBCD Gọi O trung điểm đoạn thẳng AG Thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua O song song với mặt phẳng (ABC) tam giác M N P GọiS1,S2 diện tích hai tam giácM N P vàABC Tính tỉ số

S1

S2

(166)

HD: Ta có M N =

6BC nên S1

S2

= 25

36 A

B

C

D

G O

I J

P

N M

Bài 13 Cho hình chópS.ABC cóM điểm di động cạnhSAsao cho SM

SA =k, với0< k <1, k∈R Gọi(α) mặt phẳng quaM song song với mặt phẳng(ABC) Tìmk để mặt phẳng(α)cắt cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích nửa diện tích tam giácABC

-Lời giải

Thiết diện tam giácM N P Ta có: SM N P

SABC

= M N AB

M P AC =k

2 =

2 Vậyk=

√ 2

S

A

B

C M

N

P

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

A Hai mặt phẳng không cắt song song

C Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng

-Lời giải

a

P

Q

Chọn đáp án C

Câu Trong điều kiện sau, điều kiện kết luậnmp(α)kmp(β)?

A (α)k(γ) và(β)k(γ) ((γ) mặt phẳng đó)

(167)

a b α

β

Hình

a b

α β

Hình

Chọn đáp án D

-Lời giải

a

b α

β

Hình

b a

α

β

Hình

d

α

Hình

Chọn đáp án A

Câu Cho hai mặt phẳng song song (α) (β), đường thẳng ak (α) Có vị trí tương đối avà (β)?

A B C D

-Lời giải

Trong khơng gian, đường thẳng mặt phẳng có3vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm mặt phẳng.ak(α) mà(α)k(β)⇒avà(α) khơng thể cắt Vậy cịn2 vị trí tương đối

Chọn đáp án B

Câu Cho hai mặt phẳng song song(P)và(Q) Hai điểmM, N thay đổi (P) và(Q).GọiI trung điểm M N.Chọn khẳng định

(168)

-Lời giải

Q P

M

I

N

Chọn đáp án B

Câu Trong điều kiện sau, điều kiện kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu Cho đường thẳnga⊂(P)và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề sau đúng?

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu Hai đường thẳnga vàb nằm trongmp(α).Hai đường thẳng a0 b0 nằm mp(β).Mệnh đề sau đúng?

(169)

a0 b a

b0

∆

α

β

Hình

a

a0 α

β

Hình

Chọn đáp án D

-Lời giải

q p

∆

q p

∆ q

p

∆

Chọn đáp án D

-Lời giải

S

D C

O

B M

P N

A

Chọn đáp án B

Câu 12 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình bình hành tâmO Tam giácSBD Một mặt phẳng(P)song song với(SBD) qua điểmI thuộc cạnhAC (khơng trùng vớiAhoặcC) Thiết diện (P) hình chóp hình gì?

(170)

S

O I

D N A

B M P

C

Chọn đáp án D

Câu 13 Cho hình chópS.ABC có đáy tam giácABC thỏa mãnAB=AC = 4,BAC’ = 30◦.Mặt phẳng

(P) song song với (ABC) cắt đoạn SA M cho SM = 2M A Diện tích thiết diện (P) hình chópS.ABC bao nhiêu?

A 16

9 B

14

9 C

25

9 D

-Lời giải Ta có S∆ABC =

1

2 ·4·4·sin 30

0 = 4. Gọi

SA = SN SB =

SP SC =

2 Khi đó(P)cắt hình chópS.ABC theo thiết diện tam giácM N P đồng dạng với tam giácABC theo tỉ số k=

3

Å2

3

ã2

·4 = 16

S

A M

C N

B P

Chọn đáp án A

Câu 14 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang cân với cạnh bênBC = 2,hai đáy AB= 6, CD = 4.Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) cắt cạnh SA M cho SA = 3SM Diện tích thiết diện của(P) hình chóp S.ABCDbằng bao nhiêu?

A √

3

9 B

2√3

3 C D

7√3

-Lời giải

S

C P

D

B A M

Q

N

C D

A H K B

®

AH=BK;CD =HK

Tam giác BCK vng K, có CK = √BC2−BK2 = √22−12 = √3. Suy diện tích hình thang

ABCD làSABCD=CK·

AB+CD =

√

3·4 + =

√

(171)

ta có M N AB =

N P BC =

P Q CD =

QM AD =

1

5√3

Chọn đáp án A

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = Gọi(P) mặt phẳng qua O song song với(SAB) Thiết diện (P) hình chóp S.ABCD có diện tích

A 5√5 B 6√5 C 12 D 13

-Lời giải

2 = AB

2 = Và N P = SB

2 = 3; QM = SA

S

N

C P

D Q B

A M

P Q+N M =

√

Chọn đáp án B

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

A Các cạnh bên hình chóp cụt đôi song song

-Lời giải

(172)

đôi cắt Các mặt bên hình chóp cụt hình thang cân Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 20 Cho hình lăng trụABC.A0B0C0.GọiM, N trung điểm củaBB0 vàCC0.Gọi∆là giao tuyến hai mặt phẳng(AM N) (A0B0C0).Khẳng định sau đúng?

  

 

−

A0 C0

A

B B0

C M

N

∆

Chọn đáp án C

Câu 21 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0.GọiH trung điểm củaA0B0.Đường thẳngB0C song song với mặt phẳng sau đây?

-Lời giải

⇒M B0k(AHC0) (1)

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

Câu 22 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi H trung điểm A0B0.Mặt phẳng (AHC0) song song với đường thẳng sau đây?

(173)

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

Câu 23 Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1.Trong khẳng định sau, khẳng định nàosai?

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 24 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0.Khẳng định làsai?

C (ADD0A0)k(BCC0B0)

-Lời giải

B C

A0 D0

B0

A D

C0

Chọn đáp án D

Câu 25 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bênAA0, BB0, CC0, DD0 Khẳng định

sai?

-Lời giải

B C

A0 D0

B0

A D

(174)

Chọn đáp án B Câu 26 Nếu thiết diện lăng trụ tam giác mặt phẳng đa giác đa giác có nhiều cạnh?

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 28 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 GọiI trung điểm AB Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp theo thiết diện hình gì?

  

 

−

A0 M D0

B C

D C0 I

B0

A

Chọn đáp án B

Câu 29 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi(α) mặt phẳng qua cạnh hình hộp cắt hình hộp theo thiết diện tứ giácT Khẳng định sau đúng?

-Lời giải

B C

A0 D0

B0

A D

C0

d

Chọn đáp án B

Câu 30 Cho hình chóp cụt tam giácABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng tạiAvàA0 có AB A0B0 =

1 Khi tỉ số diện tích S∆ABC

S∆A0B0C0

A

2 B

1

4 C D

(175)

S∆A0B0C0 =

1

2·AB·AC

2 ·A

0B0·A0C0

= AB A0B0 ·

AC A0C0 =

1

A C

A0

B

B0 C0

Chọn đáp án B

Câu 31 Khẳng định sau đúng?

-Lời giải

Chọn đáp án A

A B C D

-Lời giải

Chọn đáp án D

CB =

-Lời giải

Ta có   

 

N F CD =

BN BC =

2 M E

CD = AM

AD =

⇒N F = 2M E

A

M

C N

F B

E

D

Chọn đáp án B

(176)

Ta có   

 

A A0

D0

B B0

C0

C D

I E

Chọn đáp án B

Câu 35

A0 D0

A

B C

B0 C0

D

A a

2

3 B

2a2

3 C

a2

2 D

3a2

-Lời giải

a√2 N P =M Q=

2B

0D0 = a

√ 2

2N Q·M P = a2

2

A0 D0

A

B C

B0

I M

C0

D P N

Q

Chọn đáp án C

(177)

A B C D

-Lời giải

Chọn đáp án B

A 31 B 30 C 22 D 33

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

Chọn đáp án B

-Lời giải

AP = AJ AN =

AI AM =

2

B I B0

M J A0

A

C0

C N K

Chọn đáp án C

Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vuông cạnha, tam giác SAB Gọi M điểm cạnh AD cho AM =x, x ∈ (0;a) Mặt phẳng (α) qua M song song với (SAB) cắt cạnhCB, CS, SD tạiN, P, Q Tìmx để diện tích M N P Qbằng 2a

2√3

9

A 2a

3 B

a

4 C

a

2 D

a

(178)

Ta có     

(α)k(SAB)

(SAB)∩(SAD) =SA M ∈(α)∩(SAD)

⇒(α)∩(SAD) =M QkSA vớiQ∈SD

  

 

(α)k(SAB)

(SAB)∩(ABCD) =AB M ∈(α)∩(ABCD)

⇒ (α)∩(ABCD) = M N k AB vớiN ∈BC

  

 

(α)k(SAB)

(SAB)∩(SCB) =SB N ∈(α)∩(SBC)

⇒ (α)∩(SBC) = N P k SB với

P ∈SC D

Q

A

P S E

B N C

M

Suy thiết diện hình chóp S.ABCDcắt mặt phẳng (α) tứ giácM N P Q

Ta có         

(α)∩(SCD) =P Q (SCD)∩(ABCD) =CD (ABCD)∩(α) =M N CDkM N

⇒ P Q, M N, CD đơi song song Khi M N P Q hình thang với

đáy lớnCD Hơn ta có

  

 

M N kAB P N kSB M QkSA

⇒M N P÷ =ABS’= 60◦ vàN M Q÷ =BAS’= 60◦

Do dó tứ giácM N P Q hình thang cân Ta có P Q

CD = SQ SD =

AM

AD ⇒P Q=AM =x

Suy ra∆EM N cạnhavà∆EP Qlà tam giác cạnhx Khi

SM N P Q=S∆EM N −S∆EP Q=

a2√3 −

x2√3 Theo giả thiếtSM N P Q=

2a2√3 ⇔

a2√3 −

x2√3 =

2a2√3

9 ⇔x= a Vậy giá trị xcần tìm a

3

Chọn đáp án D

Câu 41 Cho hai mặt phẳng (P) và(Q)song song với Mệnh đề sau sai?

A Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) thìdkd0

B Mọi đường thẳng qua điểm A∈(P) song song với(Q) nằm trong(P)

C Nếu đường thẳng ∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q)

D Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P)

-Lời giải

Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) dvàd0 song song chéo

Mọi đường thẳng qua điểmA∈(P) song song với(Q) nằm (P)là mệnh đề Nếu đường thẳng∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q) (tính chất mặt phẳng song song)

Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P) mệnh đề

Chọn đáp án A

Câu 42 Cho đường thẳnganằm mặt phẳng(α)và đường thẳngbnằm mặt phẳng(β) Mệnh đề sau sai?

A (α)k(β)⇒akb B (α)k(β)⇒ak(β)

C (α)k(β)⇒bk(α) D a vàbhoặc song song chéo

(179)

Nếu(α)k(β) ngồi trường hợpakb thìavà bcó thể chéo

Chọn đáp án A

Câu 43 Lăng trụ tam giác có mặt?

A B C D

Chọn đáp án D

Câu 44 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi G, G0 trọng tâm tam giác ABC, A0B0C0 M điểm cạnhAC cho AM = 2M C Mệnh đề sau sai?

-Lời giải

VìG,G0 trọng tâm tam giácABC,A0B0C0 nên ta cóGG0 k (ACC0A0),GG0 k(ABB0A0),GG0 k(BCC0B0)

GọiN trung điểm BC, ta có AG GN =

AM

M C = 2nên suy M GkCN ⇒ M Gk(BCC0B0)

Từ GG0 k (BCC0B0) M Gk (BCC0B0) ta có (M GG0) k (BCC0B0) Do vậyM G0 k(BCC0B0)

Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)”

A0

B0

C0 G0

A

B

C G

M N

Chọn đáp án C

Câu 45 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi G, G0 trọng tâm tam giácABC A0B0C0,M điểm cạnhAC cho AM = 2M C Mệnh đề sau sai?

-Lời giải

Ta cóGG0kAA0 M GkBC nên GG0 k(ACC0A0) mệnh đề đúng, GG0 k(ABB0A0)là mệnh đề đúng, (M GG0)k(BCC0B0)là mệnh đề đúng,

Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)là mệnh đề sai

B0

N0

M G0

N B

G A

A0

C C0

Chọn đáp án C

Câu 46 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 GọiM trung điểm củaAB, mặt phẳng(M A0C0)cắt cạnhBC tạiN Tính tỉ số k= M N

A0C0 A k=

2 B k=

3 C k=

3 D k=

(180)

Ba mặt phẳng phân biệt(ABCD),(ACC0A0),(M A0C0)đôi cắt theo ba giao tuyếnAC,A0C0 vàM N Theo tính chất hình hộp ta có ACkA0C0 nên M N kAC kA0C0

Lại cóM trung điểm củaABnên M N đường trung bình tam giácABC

Vì M N = 2AC=

1 2A

0C0 ⇒k= M N A0C0 =

1

A0 D0

B N C

A B0

M

C0

D

Chọn đáp án A

Câu 47 Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi song song Hai đường thẳng d, d0 cắt ba mặt phẳng tạiA, B, C vàA0, B0, C0 (B nằm giữaAvàC,B0 nằm giữaA0 vàC0) Giả sửAB= 5,BC = 4, A0C0 = Tính độ dài hai đoạn thẳng A0B0,B0C0

A A0B0 = 10, B0C0 = B A0B0 = 8, B0C0 = 10

C A0B0 = 12, B0C0 = D A0B0 = 6, B0C0 = 12

-Lời giải Ta có AB

A0B0 = BC B0C0 =

AB+BC A0B0+B0C0 =

AC A0C0 ⇒A

0B0 = 10, B0C0 = 8.

Chọn đáp án A

Câu 48 Trong không gian, cho mệnh đề sau

I Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với

II Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng

III Nếu đường thẳng asong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) asong song với (P)

IV Qua điểmA không thuộc mặt phẳng (α), kẻ đường thẳng song song với (α) Số mệnh đề

A B C D

-Lời giải

Xét mệnh đề ta có

I “Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với nhau” mệnh đề sai, hai đường thẳng chéo

II “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” mệnh đề sai, hai mặt phẳng song song

III “Nếu đường thẳngasong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm mặt phẳng(P) thìasong song với (P)” mệnh đề sai, đường thẳngavẫn nằm mặt phẳng (P)

IV “Qua điểmA không thuộc mặt phẳng(α), kẻ đường thẳng song song với(α)” mệnh đề sai, có vô số đường thẳng qua điểmA song song với(α)

Vậy khơng có mệnh đề mệnh đề nêu

Chọn đáp án B

Câu 49 Cho hình chóp S.ABCD với đáy hình thang ABCD, ADk BC,AD = 2BC Gọi E trung điểmAD O giao điểm AC BE, I điểm thuộc đoạn OC (I khác O C) Mặt phẳng (α)qua I song song với(SBE) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện

A Một hình tam giác

B Một hình thang

(181)

D Một hình bình hành

  

 

(α)k(SBE)

(SBE)∩(ABCD) =BE (α)∩(ABCD) =Ix ⇒IxkBE

⇒IxcắtBC tạiM,AD tạiQ Ta có

  

 

(α)k(SBE) (α)∩(SBC) =M x (SBE)∩(SBC) =SB ⇒M xkSB ⇒M xcắtSC tạiN Ta có

  

 

(α)k(SBE) (α)∩(SAD) =Qx (SBE)∩(SAD) =SE ⇒QxkSE ⇒Qxcắt SDtại P

S

A N

E Q

P

M

B C

D O

I

Tứ giácBCDE hình bình hành ⇒CDkBE kM Q⇒CDk(α) Ta có

  

 

CD k(α) CD ⊂(SCD) (SCD)∩(α) =P N ⇒CDkP N ⇒M QkP N

Vậy thiết diện tạo mặt phẳng (α)với hình chóp S.ABCDlà hình thang M N P Q

Chọn đáp án B

Câu 50 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành GọiA0,B0,C0,D0 trung điểm cạnhSA, SB, SC, SD.Tìm mệnh đề mệnh đề sau

A A0B0 k(SBD) B A0B0 k(SAD) C (A0C0D0)k(ABC) D A0C0 kBD

-Lời giải

Ta cóA0C0 kAC⇒(A0C0D0)k(ABC)

A

B A0

B0

C

D C0

D0

S

Chọn đáp án C

Câu 51 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0cạnha GọiMlà trung điểm củaAB,N tâm hình vng AA0D0D Tính diện tích thiết diện hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 tạo mặt phẳng(CM N)

A a

2√14

4 B

3a2√14

2 C

3a2

4 D

a2√14

(182)

D0 C0

E A0

A M B

D

B0

C Q

F

P N

Thiết diện hình vẽ Tứ giácCQP M hình thang có CM = a

√

2 ,P M = a√13

6 ,P Q= a√10

3 ,CQ= a√13

3 Suy raM F =P Q= a

√ 10

3 ,CF =P M = a√13

6 Ta cóSCM P Q= 3SCM F

SCM F =

p

p(p−CM)(p−CF)(p−M F) vớip= CM +M F +F C

2 Thay giá trị cạnh ta có SCM F =

…

7 72a

2⇒S

CM P Q =

a2√14

Chọn đáp án A

Câu 52 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Mệnh đề sau mệnh đềsai?

A (BA0C0)k(ACD0) B (ADD0A0)k(BCC0B0)

C (BA0D)k(CB0D0) D (ABA0)k(CB0D0)

®

BA0kCD0

A0C0 kAC ⇒(BA

0C0)k(ACD0).

®

ADkBC

AA0kBB0 ⇒(ADD

0A0)k(BCC0B0).

®

BDkB0D0

A0DkB0C ⇒(BA

0D)k(CB0D0).

A D

B A0

C B0

C0 D0

Mặt khácB0∈(ABA0)∩(CB0D0)⇒ (ABA0)k(CB0D0) mệnh đề sai

Chọn đáp án D

Câu 53 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Mệnh đề sau sai?

A (ABCD)k(A0B0C0D0) B (AA0D0D)k(BCC0B0)

C (BDD0B0)k(ACC0A0) D (ABB0A0)k(CDD0C0)

-Lời giải Ta thấy

  

 

(ABCD)k(A0B0C0D0) (AA0D0D)k(BCC0B0) (ABB0A0)k(CDD0C0)

luôn

và hai mặt phẳng(BDD0B0),(ACC0A0) cắt

A0 D0

C0 B0

A D

(183)

Chọn đáp án C Câu 54 Cho đường thẳng athuộc mặt phẳng (P) đường thẳngb thuộc mặt phẳng (Q) Mệnh đề sau đâyđúng?

A akb⇒(P)k(Q) B (P)k(Q)⇒akb

-Lời giải

(P) k (Q) suy (P) (Q) khơng có điểm chung Mặt khác a ∈ (P) nên a (Q) khơng có điểm chung Suy raak(Q) Tương tự ta có bk(P)

Chọn đáp án C

A (BDA0) B (A0C0C) C (BDC0) D (BCA0)

-Lời giải

Mặt phẳng(AB0D0) song song với mặt phẳng (BDC0)

Thật vậy, ta có AB0 k DC0 AD0 k BC0, có điều cần chứng minh

D C

D0 C0

B B0

A A0

Chọn đáp án C

A (BA0C0) B (C0BD) C (BDA0) D (ACD0)

-Lời giải

Ta cóBDB0D0 hình bình hành nên BDkB0D0 Tương tự ta có AD0 kBC0

Từ suy BDk(AB0D0) vàBC0k(AB0D0) Vậy(AB0D0)k(C0BD)

D

C B0

A0

C0

D0

A

B

Chọn đáp án B

Câu 57 Cho tứ diện ABCDcó AB= 6,CD = Cắt tứ diện mặt phẳng song song vớiAB,CD để thiết diện thu hình thoi Cạnh hình thoi

A 31

7 B

18

7 C

24

7 D

15

(184)

Gọi M, N, P, Q giao điểm mặt phẳng chứa thiết diện với cạnhAC,BC,BD,AD, theo giả thiết tứ giácM N P Qlà hình thoi

Cũng từ giả thiết ta suy raP Qk M N k AB, M QkN P kCD nên ta có CM

AC = M N

AB , AM

AC = M Q

CD ⇒

AC−CM AC =

M Q CD ⇔ 1−CM

AC = 1− M N

AB = M Q

CD = M N

CD ⇒ M N =

1 AB +

1 CD

= 1 +

1

= 24

Vậy cạnh hình thoi cần tìm 24

A Q

C

N M

B P D

Chọn đáp án C

A dquaS song song vớiAB B dqua S song song với BC

C dquaS song song vớiDC D dqua S song song với BD

-Lời giải Có

    

   

S∈(SAD)∩(SBC) AD⊂(SAD)

BC⊂(SBC) ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =dkADkBC dđi quaS

d

B C

D S

A

Chọn đáp án B

Câu 59 Cho tứ diện SABC Gọi I trung điểm đoạn AB, M điểm di động đoạn AI QuaM vẽ mặt phẳng (α) song song với(SIC) Thiết diện tạo (α)với tứ diện SABC

A hình thoi B tam giác cân tạiM C tam giác D hình bình hành

(185)

S

A

B

C M

I

N P

Trong mặt phẳng(SAB), qua M kẻ đường thẳng song song vớiSI cắtSA P Trong mặt phẳng(ABC), qua M kẻ đường thẳng song song vớiIC cắtAC tạiN Thiết diện tam giácM N P Ta có

M P SI =

M N

CI ⇒M P =M N (vì SI =CI)

Vậy thiết diện tam giácM N P cân M

Chọn đáp án B

Câu 60 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 điểmM nằm hai điểmAvà B Gọi(P)là mặt phẳng quaM song song với mặt phẳng(AB0D0) Mặt phẳng(P)cắt hình hộp theo thiết diện hình gì?

A Hình ngũ giác B Hình lục giác C Hình tam giác D Hình tứ giác

-Lời giải

Nhận thấy(BC0D)k(AB0D0)⇒(BC0D)k(AB0D0)k(P) (1) Do(1), ta giả sử(P)cắtBB0tạiN, suy ra(P)∩(ABB0A0)≡M N, kết hợp với (AB0D0)∩(ABB0A0) ≡ AB0 suy M N k AB0, suy raN thuộc cạnh BB0

Tương tự, giả sử(P)∩(B0C0)≡P suy ra(P)∩(BCC0B0)≡N P Kết hợp với(1)suy N P kBC0

Tương tự,(P)∩(C0D0)≡Q cho P QkB0D0;(P)∩DD0≡G cho QGkC0D;(P)∩AD≡H cho GH kAD0

Từ suy thiết diện lục giácM N P QGH

B C

N

P H

G D A

M

B0

C0 Q D0 A0

Chọn đáp án B

Câu 61 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, AC∩BD = O, A0C0 ∩B0D0 = O0 M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CC0 Khi thiết diện mặt phẳng (M N P) cắt hình lập phương hình

A Tam giác B Từ giác C Ngũ giác D Lục giác

(186)

Ta có M N k AC nên (M N P)∩(ACC0A0) = P x k AC k M N, gọi Q=P x∩AA0, P x∩OO0 =I MàP trung điểm củaCC0 nên Q, I trung điểm AA0, OO0 Xét mặt phẳng (BDD0B0) gọi IJ ∩B0D0 = H Theo tính chất đối xứng hình lập phương J trung điểm BOnên H trung điểm củaD0O0

(M N P) k AC k A0C0 nên (M N P)∩(A0B0C0D0) = Hy k A0C0 GọiE=Hy∩A0D0, F =Hy∩C0D0 Khi thiết diện lục giácM N P F EQ

B0

A M

Q

O

B N C

O0

J

D F

I

P

A0 E D0

H C0

Chọn đáp án D

Câu 62 Chọn mệnh đề mệnh đề sau:

A Trong khơng gian hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung

B Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với

C Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với

D Trong khơng gian hình biểu diễn góc phải góc

-Lời giải

Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng không nằm mặt phẳng Do mệnh đề "Trong khơng gian hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung"

Chọn đáp án A

Câu 63 Cho tứ diện ABCD ĐiểmM thuộc đoạnAC (M khácA,M khácC) Mặt phẳng(α)đi quaM song song vớiAB AD Thiết diện của(α)với tứ diện ABCD hình gì?

A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình vng D Hình chữ nhật

-Lời giải

Trong mặt phẳng(ACD) kẻM N kAD, N ∈CD Trong mặt phẳng(ABC) kẻ M P kAB, P ∈BC

Từ suy ra(α)≡(M N P) Mà thiết diện (M N P)và tứ diện ABCD tam giácM N P

C

N P

B D

M A

Chọn đáp án A

Câu 64 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N,P theo thứ tự trung điểm củaSA,SDvàAB Khẳng định sau đúng?

(187)

®

M N kAD (đường trung bình 4SAD)

OP kAD (đường trung bình4BAD) ⇒ M N k OP ⇒O, N, M, P nằm mặt phẳng

®

M N kADkBC ⊂(SBC) OM kSC⊂(SBC)

⇒(OM N)k(SBC) A

B

M

P

D N

S

O

C

Chọn đáp án B

Câu 65 Cho tứ diện ABCD cạnh a G trọng tâm tam giác ABC Cắt tứ diện mặt phẳng (P) quaGvà song song với mặt phẳng (BCD) diện tích thiết diện bao nhiêu?

A a

2√3

4 B

a2√3

18 C a2√3

16 D a2√3

9

-Lời giải

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G song song vớiBC cắtAC, AB H, K

Trong mặt phẳng(ACD) kẻ đường thẳng qua H song song vớiCD cắt ADtại I

Thiết diện cần tìm làKHI

∆KHI v∆BCD theo tỉ số đồng dạng Do SKHI =

4

9SBCD =

a2√3

4 = √

3a2

9

A

B

C

D G

H

K I

Chọn đáp án D

Câu 66 Cho tứ diện SABC Gọi I trung điểm cạnh AB,M điểm di động đoạn thẳng AI Gọi(α) mặt phẳng qua điểmM đồng thời song song với mặt phẳng(SIC) Thiết diện tứ diện SABC cắt mặt phẳng(α)

A hình thoi B tam giác cân M

C tam giác D hình bình hành

-Lời giải

QuaM kẻ đường thẳng song song với SI cắtSA tạiP QuaM kẻ đường thẳng song song với IC cắtAC N Thiết diện củaS.ABC cắt bởi(α) tam giácM N P Ta có M P

SI = AM

AI = M N

CI = AN AC =

N P SC, Suy ra4M N P v4ICS

Mà4ICS cân tạiS (không đều) nên tam giácM N P cân tạiM không

A

B

C

I

S

M

N P

(188)

Câu 67 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình thang ABCD,AB//CD,AB = 2CD M điểm thuộc cạnhAD,(α) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAB) Biết diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(α)

3 diện tích tam giácSAB Tính tỉ số x= M A M D

A x=

2 B x= C x=

2 D x=

-Lời giải

A Q

M

B P

C D

N H

K S

Ta có   

 

(α)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB M ∈(α)∩(ABCD)

suy giao tuyến (α) (ABCD) đường thẳng qua M

song songAB, đường thẳng cắtBC N Tương tự giao tuyến của(α) và(SBC) đường thẳng qua N song song SB cắtSC tạiP, giao tuyến (α) và(SCD)là đường thẳng qua P song song CD cắtSD tạiQ Thiết diện củaS.ABCD cắt bởi(α) hình thang M N P Q

Đặt CD=a, ta có P Q CD =

SQ SD =

AM AD =

x

x+ ⇔P Q= ax x+ Trong hình thangABCD ta có M N = x

x+ 1CD+

x+ 1AB=

a(x+ 2) x+

Gọi K hình chiếu củaS lên AB, H giao M N CK, P H kSK P H⊥M N, thêm P H

SK = CH CK =

DM DA =

1 x+ Ta có SM N P Q

SABC

= (P Q+M N)P H SK·AB =

1

x+ Theo giả thiết x+ =

2

3 ⇔x=

Chọn đáp án A

Câu 68 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành Gọidlà giao tuyến hai mặt phẳng(SAD) và(SBC) Khẳng định sau khẳng định đúng?

A dđi qua S song song vớiBD B dđi qua S song song với BC

C dđi qua S song song vớiAB D dđi qua S song song với DC

-Lời giải Vì

  

 

S∈(SAD)∩(SBC)

nên d= (SAD)∩(SBC)là đường thẳng quaS song song vớiBC

A

B C

D

S d

Chọn đáp án B

Câu 69 Cho tứ diệnABCD.GọiG1, G2, G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD.Phát

biểu sau đúng?

(189)

C (G1G2G3)k(BCA) D (G1G2G3) khơng có điểm chung(ACD)

-Lời giải

GọiM, N, P trung điểm BC, CD, BD Khi đó: SG1

SM = SG2

SN = SG3

SP = ⇒G1G2kM N, ⇒G1G3 kM P

Suy ra(G1G2G3)k(BCD)

A

B

C

D

M N

P G1 G2

G3

Chọn đáp án B

A Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song cắt

B Nếu hai mặt phẳng song song đường thẳng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng

C Nếu hai mặt phẳng (P) và(Q) chứa hai đường thẳng song song song song với

D Hai mặt phẳng song song với đường thẳng song song với

-Lời giải

Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối : song song, cắt nhau, trùng Do đó, hai mặt phẳng phân biệt khơng song song cắt

Chọn đáp án A

Câu 71 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB0, BC Mặt phẳng (DM N) cắt hình hộp theo thiết diện hình

A Lục giác B Ngũ giác C Tam giác D Tứ giác

-Lời giải

A0

C0

A

N C

B0

E

F

B M

G

D0

D

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi E giao điểm N D AB

Trong mặt phẳngABB0A0, gọiF,Glần lượt giao điểm EM vớiBB0,AA0 Khi mặt phẳng(DM N) cắt hình hộp theo thiết diện tứ giácN F GD

Chọn đáp án D

(190)

-Lời giải

Chọn đáp án A

A B C D

-Lời giải

Chọn đáp án D

CB =

-Lời giải

Ta có   

 

N F CD =

BN BC =

2 M E

CD = AM

AD =

⇒N F = 2M E

A

M

C N

F B

E

D

Chọn đáp án B

  

 

A A0

D0

B B0

C0

C D

I E

(191)

Câu 76

A0 D0

A

B C

B0 C0

D

A a

2

3 B

2a2

3 C

a2

2 D

3a2

-Lời giải

a√2 N P =M Q=

2B

0D0 = a

√ 2

2N Q·M P = a2

2

A0 D0

A

B C

B0

I M

C0

D P N

Q

Chọn đáp án C

A B C D

-Lời giải

(192)

A 31 B 30 C 22 D 33

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

Chọn đáp án B

-Lời giải

AP = AJ AN =

AI AM =

2

B I B0

M J A0

A

C0

C N K

Chọn đáp án C

Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: lethuhang2712@gmail.com)

Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD=a, AB= b Mặt bên(SAD) tam giác Mặt phẳng(α) qua điểmM cạnhABvà song song với cạnhSA,BC Mặt phẳng(α)cắt CD, SC, SBlần lượt N, P, Q Đặtx=AM(0< x < b) Giá trị lớn diện tích thiết diện tạo (α)và hình chóp S.ABCDlà

A a

2√3

6 B

a2√3

12 C a2√3

3 D

a2√3

2

-Lời giải

(α)kSA vàBC nên (α)k(SAD)⇒M QkSA, N P kSD Ta cóM N kP QkADkBC

Theo định lý Talét hình thangABCD ta có BM

BA = CN CD.(1) Theo định lý Talét trong4SAB ta có

BM BA =

BQ BS =

M Q SA (2) Theo định lý Talét trong4SCD ta có

CN CD =

CP CS =

P N SD.(3)

B Q

M

S

P

N C

(193)

Từ (1), (2), (3) suy raM Q=N P = b−x

b a;P Q= x

b2a;M N =a+ x ba Suy thiết diện hình thang cân

Std =

1

2(M N+P Q)

M Q2−

ÅM N −P Q

2

ã2

=

Åab+ax

b + 2ax

b

ã

a2(b−x)2 b2 −

a2(b−x)2 4b2 =

1 ·

a(b+ 3x) b ·

a√3(b−x) 2b = a

2√3

12b2 (3x+b)(3b−3x)≤

a2√3 12b2

Å3x+b+ 3b−3x

2 ã2 = a √ 3 Vậy diện tích lớn thiết diện a

2√3

3 x= b

Chọn đáp án C

Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng) cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 Trên cạnhAB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng quaM song song với mặt phẳng (ACD0) Đặt AM

AB =k,0 < k <1 Tìmk để thiết diện hình hộp mặt phẳng(P) có diện tích lớn

A k=

2 B k=

4 C k=

4 D k=

-Lời giải

A M B

J

D0 C0

R Q D B0 N K P A0 C S

Trong mặt phẳng(ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song vớiAC cắtDB,BC tạiE,N Trong mặt phẳng(BDD0), qua E kẻ đường thẳng song song với OD0 cắtB0D0 tạiF

Trong mặt phẳng(A0B0C0D0), quaF kẻ đường thẳng song song vớiAC cắtA0D0,D0C0 R,Q Trong mặt phẳng(AA0DD0)qua R kẻ đường thẳng song song vớiAD0 cắtAA0 tạiS

Trong mặt phẳng(CC0D0D), quaQ kẻ đường thẳng song song vớiCD0 cắtCC0 P Vậy thiết diện lục giácM N P QRS

Do mặt đối diện hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diệnM N P QRS song song và3 cặp cạnh song song với cạnh tam giácACD0 Các tam giácJ KI,ACD0,RQI,J M S, N KP đồng dạng

⇒ M J M N =

M A M B =

N C N B =

N K N M =

P C P C0 =

P K P Q =

QD0 QC0 =

QI

(194)

Suy tam giácRQI,J M S,N KP (gọi diện tích chúng làS1 diện tích tam giác

J KI,ACD0 làS2,S)

Ta có S1 S =

Å

J M AC

ã2

=

Å

AM DC

ã2

=

Å

AM AB

ã2

=k2 ⇒S1 =k2S

S2

S =

Å

J K AC

ã2

=

Å

J M+M K AC

ã2

= (k+ 1)2⇒S2 = (k+ 1)2S

Diện tích thiết diện

Std =S2−3S1 = 2S(−k2+k+

1 2)≤

3S Dấu đẳng thức xảy khik=

2

Chọn đáp án A

Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm củaSA, SD AB Khẳng định sau đúng?

A (N OM) cắt(OP M) B (M ON)//(SBC)

C (P ON)∩(M N P) =N P D (N M P)//(SBD)

-Lời giải

Xét hai mặt phẳng(M ON) và(SBC) Ta có:OM//SC vàON//SB

MàBS∩SC=C vàOM∩ON =O Do (M ON)//(SBC)

B

A

C D O

S

M

N

P

Chọn đáp án B

Câu 84 Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A (AA0B0B) song song với(CC0D0D) B Diện tích hai mặt bên bất ki

C AA0 song song vớiCC0 D Hai mặt phẳng đáy song song với

-Lời giải

A0 D0

A

B C

B0 C0

D

Đáp án B

Chọn đáp án B

A Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt(P) và(Q) (P) và(Q) song song với

B Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước

C Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng(Q)

D Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (Q)

(195)

Chọn đáp án C Câu 86 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án B

Câu 88 Cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ) có (α)∩(β) =d1;(β)∩(γ) =d2;(α)∩(γ) =d3 Khi

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

a

P

Q

Chọn đáp án C

Câu 90 Trong điều kiện sau, điều kiện kết luận mp(α)kmp(β)?

(196)

-Lời giải

a b α

β

Hình

a b

α β

Hình

Chọn đáp án D

-Lời giải

a

b α

β

Hình

b a

α

β

Hình

d

α

Hình

Chọn đáp án A

Câu 92 Cho hai mặt phẳng song song (α) và(β), đường thẳng ak(α) Có vị trí tương đối củaavà (β)?

A B C D

-Lời giải

(197)

Chọn đáp án B Câu 93 Cho hai mặt phẳng song song (P) và(Q) Hai điểmM, N thay đổi (P) và(Q).Gọi I trung điểm củaM N Chọn khẳng định

-Lời giải

Q P

M

I

N

Chọn đáp án B

Câu 94 Trong điều kiện sau, điều kiện kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

-Lời giải

Chọn đáp án D

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 96 Cho đường thẳnga⊂(P) đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề sau đúng?

-Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 97 Hai đường thẳngavàbnằm trongmp(α).Hai đường thẳnga0 vàb0 nằm mp(β).Mệnh đề sau đúng?

(198)

a0 b a

b0

∆

α

β

Hình

a

a0 α

β

Hình

Chọn đáp án D

-Lời giải

q p

∆

q p

∆ q

p

∆

Chọn đáp án D

-Lời giải

S

D C

O

B M

P N

A

Chọn đáp án B

Câu 100 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO.Tam giácSBDđều Một mặt phẳng(P)song song với(SBD) qua điểmI thuộc cạnhAC (không trùng vớiAhoặcC) Thiết diện (P) hình chóp hình gì?

(199)

S

O I

D N A

B M P

C

Chọn đáp án D

Câu 101 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

-Lời giải

Chọn đáp án C

(200)

  

 

−

A0 C0

A

B B0

C M

N

∆

Chọn đáp án C

Câu 106 Cho hình lăng trụABC.A0B0C0 Gọi H trung điểm A0B0 Mặt phẳng(AHC0) song song với đường thẳng sau đây?

-Lời giải

A C

M

A0

H

B0 B

C0

Chọn đáp án A

Câu 107 Cho hình lăng trụABC.A1B1C1.Trong khẳng định sau, khẳng định nàosai?

-Lời giải

Chọn đáp án D

Câu 108 Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0.Khẳng định làsai?

C (ADD0A0)k(BCC0B0)