Chương III. §1. Hệ tọa độ trong không gian

Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo ⃗ OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY.2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.[r]

CHUYÊN ĐỀ1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng (a ; b) Ta có: a) Điều kiện đủ:

- f’(x) > khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến khoảng (a ; b) - f’(x) < khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) b) Điều kiện cần.

- f(x) đồng biến khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) khoảng (a ; b) - f(x) nghịch biến khoảng (a ; b) ⇒f '(x)≤0 khoảng (a ; b) 2/ Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

- Tìm TXĐ hàm số

- Tính y’, giải phương trình y’ = - Lập bảng xét dấu y’

- Sử dụng điều kiện đủ tính đơn điệu để kết luận

 Chú ý: Trong điều kiện đủ, f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) kết luận  Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c

Nếu Δ<0 f(x) ln dấu a

Nếu Δ=0 f(x) ln dấu a ∀x ≠ − b 2a

Nếu Δ>0 f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau: x - ∞ x1 x2 + ∞

f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a

 Đặc biệt: +

f(x)≥0∀x∈R⇔ a>0 Δ≤0 ¿{

(a0)

+

f(x)≤0∀x∈R⇔ a<0 Δ≤0 ¿{

(a0)

+ af(α)<0⇔f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 < α < x2 BÀI TẬP

1 Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số

a) y = + 3x – x2 b) y = 2x3 – 6x + c) y = - x

3

−3x2+7x+1 d) y = x3 + 3x + 1 e) y =

3 x 3−2x2

+x −3 f) y = x4 – 2x2 + g) y = -x4 + 2x2 – h) y = x4 + x2 k) y = 31x− x+1 l) y = x −x+11 m) y = x

2 − x+1

x −1 n) y = x + x p) y =

√

4− x2 q) y =

√

x2− x −20 r) y = x +

√

1− x2 s) y = x +

√

x2−1 Tìm m để hàm số sau đồng biến R

a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – ĐS : −2

3≤ m≤1 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – ĐS:m = 3, Tìm m để hàm số sau nghịch biến TXĐ

a) y = −x

3 +(m−2)x

+(m−8)x+1 ĐS: −1≤ m≤4 b) y = (m−1)x3

3 +mx

2

b) y = mxx+− m+10m nghịch biến khoảng xác định hàm số ĐS : −5 2<m<2 Chứng minh :

a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến

[

0;π

3

]

nghịch biến

[

π 3; π

]

b) Hàm số y = tanx – x đồng biến khoảng ¿

Định m để hàm số y=x3+3x2+mx+m nghịch biến khoảng có độ dài

 D=R

 y '=3x2+6x+m Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài ⇔y ' ≤0

|

x1− x2

|

=1

2

9 3

4 /

4

m m

m m

S P

  

 

     

 

  



2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

* Quy tắc tìm cực trị y = f(x) Quy tắc 1:

1 Tìm TXĐ

2 Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = f’(x) khơng xác định Lập bảng biến thiên

4 Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị *Quy tắc

1.Tìm TXĐ

Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) nghiệm Tính f”(x) f”(xi)

4, Dựa vào dấu f”(xi) suy tính chất cực trị xi BÀI TẬP

1 Tìm điểm cực trị hàm số

a) y = x2 – 3x – b) y = 2x3 – 3x2 + c) y = −1 3x

3+4x

d) y = x3 – 3x2 +3x e) y =

2 x

−4x2−1 f) y = −1 x

4

+x2 g) y = x3(1 – x)2 h) y = x −2 x+1 k) y = 2x

x −2 l) y = x +

x m) y = x

−2x+2

x −1 n ) y =

x2−3x x+1 p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x [ ; π ]

2 Tìm m để hàm số :

a) y = x3 – 2mx2 + có cực đại cực tiểu ĐS : m 0 b) y = m

3 x

3−2x2+(3m+1)x −1

có cực đại cực tiểu ( có cực trị) ĐS : −4

3<m<1;m≠0 c) y = x

2

−mx+2

x −1 có cực đại cực tiểu ĐS : m < d) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS : m > 0 e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1 f) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 1 g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2 h) y = x

2

+mx+1

x+m đạt cực đại x = ĐS : m = -3 k) y =

x2−mx+m−1

x+1 đạt cực tiểu x =

3 Cho hàm số y = x2+2x

x −1 (1) a) Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

4 Cho hàm số y= x3 2x2 x1 (1) a) Tìm hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1). b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

3.1.Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s [a;b]: + Tính y’

+ Tìm nghiệm y/ = ( có ) giả sử phương trình có nghiệm thuộc (a;b) x1 , x2,…,xn

+ Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) ………y(xn) + So sánh giá trị vừa tính

max y

[a;b] số lớn nhất, min y[a;b] số nhỏ nhất.

3.2.Phương pháp tìm GTLN GTNN hàm số TXĐ (a;b) hoặc



a b;



: + Tìm TXÐ trường hợp chưa biết TXĐ

+ Tìm đạo hàm y/ Tìm nghiệm y/ =0 ( có )

+Lập BBT: bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ

3.3 Phương pháp tìm GTLN GTNN hàm số lượng giác : PP đổi biến số BÀI TẬP

1 Tìm GTLN GTNN ( có) hàm số

a) y = x3 – 3x2 + đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 đoạn [-4 ; 4] c) y = x4 – 2x2 + đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + đoạn [1 ; 4]

e) y = x + 1x khoảng (0 ; + ∞¿ f) y = x -

x khoảng (0 ; 2] g) y = x+1

x −1 đoạn [2 ; 5] h) y = 2x

+5x+4

x+2 đoạn [0 ; 3] k) y =

√

6−3x đoạn [-1 ; 1] l) y =

√

100− x2 doạn [-8 ; 6] m) y = (x + 2)

√

1− x2 n) y = x+1

√

x2+1 doạn [1 ; 2] p) y = x +

√

4− x

2 q) y =

√

3+x+

√

6− x y=2 x 5 x (CĐ 2014) r) y =

√

2 cos 2x+4 sinx

[

0;π

2

]

s) y = 2sinx - 43sin3x [0; π] u) y = sin2x + 2sinx – t) y = cos22x - sinxcosx + 4 o) y = sin4x + cos2x + v) y = x – sin2x

[

−π2 ;π

]

2

1

w)f (x) x x 4x x

   

(TN 2014) Trong hình chữ nhật có chu vi 40 cm, xác định hình chữ nhật có diên tích lớn

3 Tính độ dài cạnh hình chữ nhật có chu vi nhỏ hình chữ nhật có diện tích 48cm2. 4.Tìm giá trị m để GTNN hàm số

2

( )

1

x m m

f x

x

 



 đoạn [0;1] -2 (TN 2012) 4 ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.

a) Công thức chuyển hệ tọa độtheo vec tơ: ⃗OI=(x

0; y0) :

¿ x=X+x0 y=Y+y0

¿{ ¿

b) Phương trình đường cong hệ tọa độ IXY: Y = f(X + x0 ) – y0 BÀI TẬP

1 Xác định đỉnh I (P) : y = x2 – x + Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo ⃗

OI viết phương trình (P) hệ tọa độ IXY

2 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) hàm số cho biết hoành độ điểm I nghiệm phương trình f’’(x) =

b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ phép tịnh tiến theo ⃗OI viết phương trình (C) hệ tọa độ IXY Từ suy I tâm đối xứng (C)

3 Cho đường cong (C) : y = -

5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. a) Tiệm cận đứng.Nếu

x → x+0¿f

(x)=+∞ ;lim x → x0

−

f(x)=+∞ lim

¿

x → x+0¿f

(x)=− ∞;lim x→ x0

−

f(x)=− ∞ lim

¿

đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng (C)

b) Tiệm cận ngang Nếu x →lim

+∞f(x)=y0 x →− ∞lim f(x)=y0 đg thẳng y = y0 tiệm cận ngang của(C)

c) Tiệm cận xiên Nếu lim

x →+∞

[

f(x)−(ax+b)

]

=0 x →− ∞lim

[

f(x)−(ax+b)

]

=0 đường thẳng y = ax + b

( a 0¿ tiệm cận xiên (C) BÀI TẬP. 1.Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số a) y = 3x −2

2x+1 b) y = x+3

x2−4 c) y =

x −5

− x+3 d) y =

x2− x+1

− x2+4 e) y = x+2

√

x2−1

Tìm tiệm cận đứng tiệm cận xiên đồ thị hàm số. a) y = x – +

x −1 b) y =

x2

x+1 c) y =

3x2−2x +4

2x+1 d) y = x + x

x2−1

BÀI TẬP TỰ GIẢI Câu 1. Cho hàm số y m x mx m x

3

1 ( 1) (3 2)

3

    

(1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định nó. ĐS:m2

Câu 2. Cho hàm số y x 33x2 mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( ;0)  ĐS: m3

Câu 3. Chohàmsốy2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1.Tìmm để HSĐB khoảng (2;) ĐS:m1

Câu 4. Chohàmsốy x 3(1 ) m x2(2 m x m)  2.Tìm m để HSĐB trên



0;



ĐS: m

5

Câu 5. Cho hàm số y x 33x2mx m –2 (m tham số) có đồ thị(Cm) Xác định m để (Cm)

có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành. ĐS m3

Câu 6. Cho hàm số yx3(2m1)x2 (m2 3m2)x (m tham số) có đồ thị (Cm)

Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung ĐS 1<m<2 Câu 7. Cho hàm số

3

1

(2 1) 3

y x  mx  m x

(m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm)

có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Đ S: m>1/2 m1

Câu 8. Cho hàm số y x 3 3x2 mx2 (m tham số) có đồ thị (Cm).Xác định m để (Cm) có điểm cực đại

và cực tiểu cách đường thẳng y x 1 ĐS: m=0

Câu 9. Cho hàm số y x 3 3mx24m3 (m tham số) có đồ thị (Cm).Xác định m để (Cm) có

điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x ĐS m

2

Câu 10. Cho hàm số y x m x m x

3

1 ( 1) 3( 2)

3

     

, với m tham số thực.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x x1, cho x12x2 1. ĐS

 

m 19 73

16 .