Bài tập Đẳng thức lượng giác

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC b/Chứng minh cos 2.. Trường THPT Nghèn.[r]

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Tính a/ sin150 và cos150 d/ tg  b/ sin180 và cos180 c/ sin 360 và cos 360 e/ tg 37 030 ' Bài Tính cot g 440  tg 2260 cos 4060  a/  cot g 720.cot g180 cos 316 cos 288 cot g 720 b/  tg180 0 tg 162 sin108 2sin 2550 cos 188 c/  tg 368 cos 6380  cos 980 0  cos 197  cos 287 sin 3230   sin 217 cos 37 Bài Tính giá trị các biểu thức sau d/ d/ tg a/ tg 200 tg 400 tg 600 tg 800  2sin 700 b/ 2sin100  3 5 7  sin  sin c/ sin  sin 16 16 16 16 Bài Rút gọn  12  tg 3 5  tg 12 12 e/ tg 90  tg 27  tg 630  tg 810 f/ cos  16  cos 3 5 7  cos  cos 16 16 16  cos x  1  cos x  b/ 1  sin x  sin x a/ sin x sin x  cos x cos x 3 cos x  sin x  cos x Bài a/ Cho sin x  cos x  a Tính sin x.cos x sin x  cos x 3 sin x  cos x sin x  cos x   4 sin x  cos x sin x  cos x b/ Cho tgx  cot gx  a Tính c/ tgx  cot gx tg x  cot g x  2 tg x  cot g x d/      sin x  sin x   sin x  sin x sin x  cos5 x  5 sin x  cos x tg x  cot g x  3 tg x  cot g x tg x  cot g x  6 tg x  cot g x Bài a/ Cho tgx  Tính 3sin x  5sin x cos x  11sin x cos x  4sin x cos3 x  cos x A 5sin x  3sin x cos x  2sin x cos x  10sin x cos3 x  3cos x b/Cho tgx=4 Tính cos5 x  cos x sin x  cos x.sin x  5cos x.sin x  6sin x B 8sin x cos x  2sin x cos x Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số a/ sin x  cos x  sin x cos x   sin x  cos8 x  b/ sin x  cos x  cos x  4sin x   tg x  sin x  cos x  2 c/ d/    1  tg x 1  cot g x  sin x  cos x   tgx  Bài Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x      2   2   x   cos   x   2sin x a/ f x   cos   x   cos   x   cos  3  3       2   2   x   cos   x b/ f x   cos x  cos       2   2   x   sin   x c/ f x   sin x  sin      2 d/ cos x  a   cos x  cos a cos x cos a  x  m cos3 x  cos x m sin x  sin x  e/ f x   cos x sin x Bài a/Cho a sin x.sin y  b cos x.cos y  Tính S     x  k  2  1  2 a sin x  b cos x a sin y  b cos y m 2tg x  n 2tg y   b/Cho hệ m cos x  n cos  Tìm hệ thức liên hệ m và n không phụ thuộc x,y m sin x  n cos y  c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x: S  sin x  cos x  m sin x  cos x  Bài 10 sin x cos x sin10 x cos10 x     a/Cho Chứng minh 4 m n mn m n m  n  b/Cho 2tg x.tg y.tg z  tg x.tg y  tg y.tg z  tg z.tg x  Chứng minh sin x  sin y  sin z  a.cos x  3a cos x.sin x  m c/Cho  Chứng minh a.sin x  3a cos x sin x  n m  n   m  n   a 2 a1  sin 1  d/Cho a2  cos 1 sin  Chứng minh a12  a22  a32  a  cos  cos   Bài 11 Gọi  ,  là các giá trị khác x thỏa mãn hệ thức a cos x  b sin x  c Biết a  b  0;     k 2 a/.Tính sin  .sin  Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC b/Chứng minh cos    c2   b  và tg 2 a b a Bài 12 Tính a/ A  cos 200  cos 409   cos1600  cos1800 b/ B  tg 200  tg 400   tg1600  tg1800 c/ C  sin 50  sin100   sin 3600 Bài 13 Chứng minh a/ tg 6a  tg 4a  tg 2a  tg 6atg 4atg 2a b/ tg a  b   tga  tgb  tg a  b tgatgb c/ sin a  b   sin a  sin b  2sin a sin b cos a  b  sin a  b  c   tga.tgb.tgc cos a cos b cos c e/ cos a sin b  c   cos b sin c  a   cos c sin a  b   d/ tga  tgb  tgc  f/ sin a sin b  c   sin b sin c  a   sin c sin a  b   sin a  b  sin b  c  sin c  a    0 cos a cos b cos b cos c cos c cos a Bài 14 cos x  cos y  cos z sin x  sin y  sin z   m Chứng minh a/ Cho cos x  y  z  sin x  y  z  g/ cos x  y   cos  y  z   cos z  x   m b/Cho   ,   c/Cho   ,   3sin   2sin    và  Chứng minh     2 3sin 2  2sin     và sin   sin   sin     Chứng minh      2 a cos   b cos   d/ Cho    k .Chứng minh với x ta có a cos      b cos      a cos   x   b cos   x   e/ Cho m cos a  b   cos a  b  với a  b   k , k  A ; m  Chứng minh 1    m sin 2a  m sin 2b  m Bài 15 Chứng minh các đẳng thức sau  2sin x a/ 1     cot g   x  cos   x  4  4   cos x  cos x  cos x  cos x b/ cos x  cos x  c/ sin x  cos x   cos x 4 Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC d/ sin x  cos x   cos x 8 e/ sin x  cos8 x  cos8 x  cos x 8  2    f/ tgx  tg  x    tg  x    3tg x 3       2  2     g/ tgxtg  x    tg  x   tg  x    tg  x   tgx  3 3 3       Bài 16 Tính  4 5 cos a/ A  cos cos 7 0 b/ B  sin sin15 sin 750 sin 850 c/ C  cos x cos x cos x cos 2n x  2 3 n cos cos cos d/ D  cos 2n  2n  2n  2n  Bài 17 a/ Đặt S  cos x  cos x   n cos nx Chứng minh n sin x sin 2n  x  sin nx 2 với x  k 2 S x 2sin  b/Chứng minh sin 1    2n 1  2        n    ( n-1 dấu căn) 2      ( n-1 dấu căn) d/CMR sin n  2   n 4i  4n 1    n  e/   i  sin 2  sin  i   cos  2 Bài 18 Chứng minh     a/ 4sin x.sin   x  sin   x   sin x 3  3      b/ cos x cos   x  cos   x   cos x 3  3      c/ 4tgxtg   x  tg   x   tg x 3  3   2    d/ tgx  tg  x    tg  x    3tg x 3        e/ tg x  tg   x   tg   x   9tg x  3  3  c/CMR cos n  Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 19 (Áp dụng bài 18)Tính: a/ A  sin 200 sin 400 sin 800 b/ B  cos100 cos 200 cos800 c/ C  sin 20 sin180 sin 220 sin 380 sin 420 sin 580 sin 620 sin 780 sin 820 d/ D  tg 30 tg17 tg 230 tg 37 tg 430 tg 57 tg 630 tg 77 tg 830 tg 2430  2 4 5 7 8 10 11 13 tg tg tg tg tg tg tg e/ E  tg tg 27 27 27 27 27 27 27 27 27 0 0 f/ F  tg1  tg  tg   tg177 g/ G  tg 50  tg 2100   tg 800  tg 850 Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z) a/ Cho sin  sin  sin   và cos  , cos  , cos  đôi khác  x sin   y sin 2  z sin 3  sin 4   x sin   y sin   z sin 3  sin   x sin   y sin 2  z sin 3  sin 4  b/Cho cos  cos  cos   và cos  , cos  , cos  đôi khác  x cos   y cos 2  z cos 3  cos 4   x cos   y cos   z cos 3  cos   x cos   y cos 2  z cos 3  cos 4  Bài 21 Rút gọn các biểu thức sau sin x  sin13 x  sin18 x a/ A  cos8 x  cos13 x  cos18 x b/ B  sin a  2b   cos a  cos 2b c/ C  sin a  2b   sin 2a  sin b sin a  b   sin a  sin b sin a  b   cos a  cos b Bài 21 Chứng minh d/ D  a/ sin x  4sin x  6sin x  4sin x  16sin x sin x 1 b/ cos x  cos x  cos x  8sin x cos3 x 2 6 c/ cos 27  cos 630  1 d/ sin 240  sin 60  8 cos 200 e/ tg 300  tg 400  tg 500  tg 600  0 0 f/ tg  tg15  tg 27  cot g 27  cot g150  cot g 90  g/ cos120  cos180  cos150 cos 210 cos 240  Trường THPT Nghèn    1 Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 22 a/ Cho n sin x    a cos x    A aA  bB  cos      ;  Chứng minh aB  bA sin x    b cos x    B b/  1 k 1 k 1 cos k  2n  8 12 18    cos  cos  cos  sin 35 35 35 5 Bài 23 Chứng minh a/ sin a  b sin a  b   sin b  c sin b  c   sin c  a sin c  a   c/ cos b/ cos a  b sin a  b   cos b  c sin b  c   cos c  a sin c  a   c/ sin a sin b  c   sin b sin c  a   sin c sin a  b   Bài 24 Tính 2 4 6  cos  cos a/ A  cos 7  2 3  cos b/ B  cos  cos 7  5 7 11 sin sin c/ C  sin sin 24 24 24 24  7 13 19 25 sin sin sin d/ D  sin sin 30 30 30 30 30 Bài 25 Tính  A  sin a  sin 2a   sin na a/   A2  cos a  cos 2a   cos na  B  cos a  cos 2a   cos na b/  2  B2  sin a  sin 2a   sin na c/ C  tga  2tg 2a   2n tg 2n a  2n 1 cot g 2n 1 a a a a a a a d/ D  tg tga  2tg tg   2n 1 tg n tg n 1  2n tg n 2 2 a a e/ E  tga  tg   n tg n 2 2 1    f/ F  a a a cos 42 cos 4n cos n Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số nhau) r 1  2r cos y  r  a/Cho Chứng minh  2r cos x  r r 1 x y  r 1 tg tg    2  r 1  2 Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC b/Cho a,b,c đôi khác và góc  ,  ,  ,  thỏa a b c   Chứng minh tg     tg     tg     ab bc ca sin      sin      sin      a b bc ca Bài 27 cos x cos x cos x x 2a  a  a   a/Cho Chứng minh sin  a1 a2 a3 4a2 a a a a sin x sin x sin x   b/Cho Chứng minh  a1 a3 a5 a3 a1 Bài 28 a/Cho  ,  ,     k ( k nguyên) Giả sử sin  ,sin  ,sin  lập thành cấp số cộng, sin   và tg tg  Chứng minh tg , tg  , tg lập thành cấp số nhân b/Cho       và tg  cấp số cộng và tg c/Cho  ,  ,  thỏa hệ , tg   .tg có nghĩa.Chứng minh sin  ,sin  ,sin  lập thành   0        2  cos   cos   cos   sin   sin   sin    Chứng mini  ,  ,  lập thành cấp số cộng với công sai d  d/Cho       và  ,  ,  khác k  2 , k  A Chứng minh ta có     tg , tg , tg   cos  , cos  , cos    cot g  cot g  , cot g    sin  ,sin  ,sin   2 Các bài toán có liên quan với định lí Vi-et Bài Tính giá trị các biểu thức sau 1   a/ A   3 5 cos cos cos 7 1   b/ B    6 sin sin sin 7 Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC c/ C  cos 2  3 7  9 9 17 17   cos cos  cos cos d/ D  cos cos 12 12 12 12 12 12    cos  cos  cos 14 14 14 e/ E     cos cos cos 14 14 14 2 4 8  cos  cos f/ F  cos 7 Bài Tính  5 7  tg a/ A  tg  tg 18 18 18     tg b/ B  tg  tg 18 18 18 2 4 8  tg  tg c/ C  tg 18 18 18  2 3 4 tg tg d/ D  tg tg 5 5 Bài a/Giả sử tg1 , tg , tg là ba nghiệm phương tình x  ax  bx  c  cos   cos tg 1 , tg  , tg  là ba nghiệm phương trình x  cx  bx  a  Chứng minh 1      1    3  k b/Chứng minh tg  tg 410  tg 530  tg 790  tg tg 410 tg 530 tg 790  tg tg 410 tg 530  g 410 tg 530 tg 790 tg 530 tg 790 tg  tg 790 tg tg 410 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh số bổ đề quan trọng sau   k , k  A Chứng minh tgx  tgy  tgz  tgxtgytgz  x  y  z  n , n  A 1/ Cho x,y,z khác 2/ Cho x,y,z khác   k , k  A Chứng minh tgx.tgy  tgy.tgz  tgz.tgx   x  y  z     n , n  A  k , k  A Chứng minh tgx  tgy  tgz  tgxtgytgz   tgztgy  tgytgz  tgztgx 3/ Cho x,y,z khác   n , n  A 4/Chứng minh  x yz  Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC cos x  cos y  cos z  cos x cos y cos z   x yz x yz yzx zx y cos cos cos cos 0 2 2 Ứng dụng Bài Cho ab  1, bc  1, ca  1 Chứng minh a b bc c a a b bc c a     ab  bc  ca  ab  bc  ca  xyz  Bài Cho  Chứng minh  xy  yz  zx  x  1y  1 y  1z  1 z  1x  1  xy yz zx Bài Giải hệ sau    1 1 1  3  x     y     z   x y z      xy  yz  zx   Bài 4Cho xyz  và x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx Chứng minh  x2  y  z 1  x2  y  z    x y z x y z Bài Cho x+y+z=xyz Chứng minh a/  x y  1z  1 xyz b/ 3x  x3   3x   3x  x3 y  y 3z  z ( x, y , z    3x  y  3z 1  x 1  y  2  x2   y 0 xy Bài Cho x,y,z>0 và x  y  z  xyz  Chứng minh c/  xyz   x 1  y 1  z  Bài Cho xy+yz+zx=1.Chứng minh x  y  z  xyz   x y  z  Trường THPT Nghèn Lop10.com GV: Trần Nhân