Tự học hình học không gian – Chinh phục giảng đường

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.. Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia đƣợc thành các khối tứ diện.. b) Mỗi[r]

(1)

Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang

MỤC LỤC

HÌNH ĐA DIỆN

A – KIẾN THỨC CHUNG

I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

II HAI HÌNH BẲNG NHAU

III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

IV KHỐI ĐA DIỆN LỒI 4

V KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

B – BÀI TẬP

THỂ TÍCH HÌNH CHĨP 28

A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT 28

B – BÀI TẬP 29

HÌNH CHĨP ĐỀU 29

HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY 35

HÌNH CHĨP CĨ MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY 42

HÌNH CHĨP KHÁC 50

TỈ SỐ THỂ TÍCH 64

B - BÀI TẬP 64

HÌNH LĂNG TRỤ 76

B – BÀI TẬP 77

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG 77

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN 91

KHOẢNG CÁCH 98

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT 98

B – BÀI TẬP 100

I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 100

II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƢỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG 114

GÓC 125

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 125

(2)

Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang

HÌNH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG

I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1 Khái niệm hình đa diện

Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình khơng gian đƣợc tạo số hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất

a) Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có một cạnh chung

b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi là mặt hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh của hình đa diện (H)

Ngƣời ta gọi hình hình đa diện

Nói cách tổng qt: Hình đa diện (gọi tắt đa diện) (H) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất Mỗi đa giác nhƣ đƣợc gọi mặt đa diện Các đỉnh cạnh đa giác theo thứ tự đƣợc gọi đỉnh, cạnh đa diện

2 Khái niệm khối đa diện

Khối đa diện phần không gian giới hạn bới hình đa diện (H), kể hình đa diện

Những điểm khơng thuộc khối đa diện đƣợc gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện nhƣng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện đƣợc gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm đƣợc gọi miền trong, tập hợp điểm đƣợc gọi miền ngoài khối đa diện

(3)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang Khối đa diện (H) hợp hình đa diện (H) miền

II HAI HÌNH BẲNG NHAU

1 Phép dời hình không gian khối đa diện

 Trong không gian quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi là phép biến hình khơng gian

 Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý

Nhận xét:

 Thực liên tiếp phép dời hình đƣợc phép dời hình

 Phép dời hình biến đa diện thành  H đa diện  H' , biến đỉnh, cạnh, mặt đa diện  H thành đỉnh, cạnh, mặt tƣơng ứng đa diện  H'

a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v phép biến hình biến điểm M thành M’ cho MM'v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến

điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng chung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) đƣợc gọi mặt phẳng đối xứng (H)

c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O đƣợc gọi tâm đối xứng (H)

d) Phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình điểm thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ cho d trung trực MM’ Phép đối xứng qua đƣờng thẳng d đƣợc gọi phép đối xứng qua trục d

Nếu phép đối xứng qua đƣờng thẳng d biến hình (H) thành nó d đƣợc gọi trục đối xứng (H)

2 Hai hình

Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Nhận xét

 Hai đa diện đƣợc gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện

(4)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện    H1 , H2 , cho  H 1  H2 khơng có điểm chung ta nói chia đƣợc khối đa diện (H) thành hai khối đa diện  H 1  H2 , hay lắp ghép đƣợc hai khối đa diện  H 1  H2 với để đƣợc khối đa diện (H)

Ví dụ Xét khối lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phƣơng theo thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện chia điểm lại khối lập phƣơng làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, nhƣ có hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Khi ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’

Tƣơng tự ta chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ AA’B’D’

Nhận xét: Một khối đa diện ln phân chia đƣợc thành khối tứ diện IV KHỐI ĐA DIỆN LỒI

Khối đa diện (H) đƣợc gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) đƣợc gọi đa diện lồi (Hình 2.1)

(5)

Công thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ-C+M=2 V KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Quan sát khối tƣ diện (Hình 2.2.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung ba mặt Đối với khối lập phƣơng (Hình 2.2.2), ta thấy mặt

hình vng, đỉnh đỉnh chung ba mặt Những khối đa diện nói đƣợc gọi khối đa diện

Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh

b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt

Khối đa diện gọi khối đa diện loiaj {p;q}

Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác

Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5}

Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo theo thứ tự đƣợc gọi khối đa diện đều, khối lập phƣơng, khối tám mặt đều, khối mƣời hai mặt đều, khối hai mƣơi mặt

Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phƣơng Khối tám mặt

đều

Khối mƣời hai mặt

Khối hai mƣơi mặt

Nhận xét:

 Hai khối đa diện có số mặt có cạnh

 Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện

(6)

Kứ diện {3, 3}

Khối Lập Phƣơng 12 {4, 3}

Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4}

Khối Mƣời Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}

(7)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang B – BÀI TẬP

Câu 1: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. Chỉ có năm loại hình đa diện

B. Hình hộp chữ nhật có diện tích mặt hình đa diện

C. Trọng tâm mặt hình tứ diện đỉnh hình tứ diện

D. Hình chóp tam giác hình đa diện Hƣớng dẫn giải:

+ Trong khơng gian ba chiều, có khối đa diện lồi, chúng khối đa diện (xem chứng minh bài) có tất mặt, cạnh góc đỉnh

Tứ diện Khối lập phƣơng

Khối bát diện

Khối mƣời hai mặt

Khối hai mƣơi mặt => A

+ Hình chóp tam giác hình tứ diện → D

+ Hình hộp chữ nhật có diện tích mặt khối lập phƣơng → B

+ Trọng tâm mặt hình tứ diện khơng thể đỉnh hình tứ diện → C sai Chọn đáp án C

Câu 2: Hình đa diện dƣới khơng có tâm đối xứng?

A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phƣơng D Lăng trụ lục giác Chọn đáp án A

Câu 3: Khái niệm sau với khối chóp?

A là hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh B là phần khơng gian đƣợc giới hạn hình chóp hình chóp

C là phần khơng gian đƣợc giới hạn hình chóp

D là khối đa diện có hình dạng hình chóp Hƣớng dẫn giải:

Nhiều độc giả nhầm khái niệm hình chóp khối chóp Nên khoanh ý A Tuy nhiên bạn nên phân biệt rõ ràng hình chóp khối chóp nói chung, hay hình đa diện khối đa diện nói riêng

+ Hình đa diện hình đƣợc tạo số hữu hạn đa giác thoả mãn hai tính chất:

a, Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b, Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác

+ Khối đa diện phần không gian đƣợc giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Vậy đọc vào đáp án ta thấy ý A khái niệm hình chóp Ý B khái niệm khối chóp Ý C mệnh đề bị thiếu, ý D sai

Chọn đáp án B

Câu 4: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung

A. Năm cạnh B Bốn cạnh C Ba cạnh D Hai cạnh Hƣớng dẫn giải:

Đúng theo lý thuyết SGK Các em xem thêm dạng tốn khối đa diện sách hình học lớp 12 (các tập 1,2,3,4 trang 25 5,6 trang 26)

(8)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang

Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dƣới để sau điền vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:

“Số cạnh hình đa diện ln……….số đỉnh hình đa diện ấy” A nhỏ B nhỏ C lớn D bằng

Chọn đáp án C

Câu 6: Mệnh đề sau mệnh đề ?

A Tồn đa diện có mặt đa giác không

B Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD hình chóp đa diện

C Nếu đa diện mà đỉnh đỉnh chung mặt tổng số đỉnh phải là số chẵn

D Nếu lăng trụ tam giác ABC A B C lăng trụ đa diện ’ ’ ’ Hƣớng dẫn giải:

Đa diện có tất mặt đa giác

Không tồn đa diện có đỉnh, chóp S.ABCD lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ đa diện

Nếu đỉnh đỉnh chung mặt đỉnh chung cạnh Giả sử số đỉnh đa diện n số cạnh phải

2

n

(vì cạnh đƣợc tính lần), n chẵn Chọn đáp án C

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Nhận định sau khơng : A Hình chóp S.ABCD có cạnh bên

B Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng đáy tâm đáy C ABCD hình thoi

D Hình chóp có cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc Hƣớng dẫn giải:

Nhắc lại kiến thức: Hình chóp đa giác đều: hình chóp có đáy đa giác hình chiếu đỉnh xuống đáy trùng với tâm đáy Nhƣ hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD hình chiếu S xuống đáy tâm hình vng ABCD

Câu 8: Trong không gian cho hai vectơ u v Với M điểm bất kỳ, ta gọi M1 ảnh M qua phép Tu M2 ảnh M1 qua phép Tv, Khi phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 là:

A Phép tịnh tiến theo vectơ uv B Phép tịnh tiến theo vectơ u

C Phép tịnh tiến theo vectơ v D Một phép biến hình khác Hƣớng dẫn giải:

Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ

   

1

1 2

1 2 

    

     



   

u

v

T M M MM u

MM M M u v MM u v

T M M M M v

Nhƣ vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 phép tịnh tiến theo vectơ uv Chọn đáp án A

Câu 9: Có phép tịnh tiến biến đƣờng thẳng thành nó?

A Khơng có B 1 C 2 D Vô số

(9)

Câu 10: Trong không gian cho hai đƣờng thẳng a b song song với Có phép tịnh tiến biến đƣờng thẳng a thành đƣờng thẳng b?

A Khơng có B 1 C 2 D Vô số

Chọn đáp án D

Câu 11: Trong không gian cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Khơng có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

B Có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

C Có hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) D Có vơ số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) Chọn đáp án D

Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC A’B’C’ (

' '; ' '; ' '

  

AB A B AC A C BC B C ) Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Không thể thực phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

B Tồn phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

C Có nhiều hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

D Có thể thực vơ số phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Hƣớng dẫn giải:

Trƣớc hết ta nhận thấy rằng, muốn thực đƣợc phép tịnh tiến biến ABC thành A B C phải có điều kiện, hai tam giác ABC ' ' ' A’B’C’ ơhair nằm hai mặt phẳng song song (hoặc trùng nhau) ABA B AC' ', A'C'

Khi phép tịnh tiến theo vectơ uA A' biến A B C thành' ' ' ABC phép tịnh tiến theo vectơ

'



v A A biến A B C thành ' ' ' ABC Nhƣ có hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác

Câu 13: Cho hình lập phƣơng ABCD A’B’C’D’ Gọi I, J lần lƣợt trung điểm cạnh AD, BC Phép tịnh tiến theo vectơ

2



u AD biến tam giác A J thành tam giác 'I

A C’CD B CD’P với P trung điểm B’C’ C KDC với K trung điểm A’D’ D DC’D’

Hƣớng dẫn giải:

Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ

2



u AD Ta có

  ,   ,  ' 

T I D T J C T A K

Vậy TA J'I  KDC Chọn đáp án C

(10)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 10

A Một phép biến hình khác B Phép đồng

C Phép tịnh tiến D Phép đối xứng qua mặt phẳng

Gọi I, J lần lƣợt trung điểm

   

 

1,   ,  

MM M M I J

Ta có:

   

1 1

1 2

2

 

  

D M M MM IM

D M M M M M J

Suy ra:

 

2 2 1 2 

MM IM M J IJ u (Không đổi) Vậy M2 ảnh M qua phép tịnh tiến u Chọn đáp án D

Câu 15: Trong khơng gian tam giác có mặt phẳng đối xứng?

A 1 B 2 C 3 D 4

Trong không gian, với tam giác ABC có bốn mặt phẳng đối xứng Đó là: Ba mặt phẳng trung trực ba cạnh mặt phẳng chứa ABC

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có kích thƣớc a, b, c a b c Hình hộp  chữ nhật có mặt đối xứng

A 1 B 2 C 3 D 4

Hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có mặt đối xứng, mặt phẳng trung trực AB, AD, AA’

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với (ABCD) Hình chóp có mặt đối xứng nào?

A Khơng có B SAB  C SAC  D SAD  Hƣớng dẫn giải:

Ta có: BDSAC O trung điểm BD Suy  SAC mặt  phẳng trung trực BD Suy SAC mặt đối xứng hình chóp,  mặt phẳng

Câu 18: Trong không gian cho hai điểm I J phân biệt Với điểm M ta

gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm D , I M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm DJ Khi hợp thành D I D biến điểm M thành điểm J M2

A Phép đối xứng qua mặt phẳng B Phép tịnh tiến

(11)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 11 Hƣớng dẫn giải:

Ta có:

  1 12

I

D M M MM IM

 1   2

J

D M M M M M J

Do đó:

 

12 1 2

MM IM M J IJ (không đổi)

Vậy M2 ảnh M qua phep tịnh tiến theo vectơ u 2IJ Chọn đáp án B

Câu 19: Trong hình dƣới đây, hình khơng có tâm đối xứng

A Hình hộp B Hình lăng trụ tứ giác C Hình lập phƣơng D Tứ diện

 Hình hộp có tâm đối xứng giao điểm bốn đƣờng chéo

 Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phƣơng hình hộp đặc biệt nên có tâm đối xứng

 Tứ diện khơng có tâm đối xứng

Thật vậy, giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng O

Nhận thấy đỉnh A,B,C,D tâm đối xứng tứ diện ABCD, nên ảnh A qua đối xứng tâm O ba đỉnh cịn lại, DO A B O trung điểm AB, nhƣng trung điểm AB tâm đối xứng ABCD

Câu 20: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng

A 1 B 2 C 3 D 4

Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng là:

SAC , SBD , SMN  , SIJ , với M, N, I, J lần lƣợt trung điểm

AB, CD, DA, BC Chọn đáp án D

Câu 21: Cho hình lập phƣơng ABCD A’B’C’D’ tâm O (tâm đối xứng) Ảnh đoạn thẳng A’B qua

phép đối xứng tâm DO đoạn thẳng

A DC ' B CD ' C DB' D AC '

Hƣớng dẫn giải: Ta có

 '  ;   '

O O

D A C D B D

Do

 'B ' O

D A CD

(12)

Câu 22: Trong không gian cho hai đƣờng thẳng song song a b Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm D , a M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm D Khi hợp thành b



a

D D biến điểm M thành điểm b M2

A Phép đối xứng trục B Phép đối xứng qua mặt phẳng C Phép đối xứng tâm D Phép tịnh tiến

Gọi I, J lần lƣợt trung điểm MM M M1, 1 2

Các điểm M M M I J, 1, 2, , nằm mặt phẳng (P) vng góc với a b I J

Ta có:

   

1

1 2

2

  

I

J

D M M MM IM

D M M M M M J

Suy ra: MM2 2IM1M J1 2IJ u (không đổi) Chọn đáp án D

Câu 23: Trong không gian cho hai hai mặt phẳng     vng góc với Với điểm M ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng tâm D ,  M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm D Khi

hợp thành DD biến điểm M thành điểm M2

A Phép tịnh tiến B Phép đối xứng qua mặt phẳng C Phép đối xứng tâm D Phép đối xứng trục

Gọi I, J, O lần lƣợt trung điểm MM M M MM1, 2, ( với  

1  

MM I  ,M M1 2    J  )

Ta có: IO/ /M M1 2 nên IO  , gọi a giao tuyến     IOa Oa Suy hai điểm M

2

M đối xứng qua đƣờng thẳng a

Vậy hợp thành DD biến điểm M thành điểm M2 phép đối xứng qua đƣờng thẳng a

Câu 24: Tứ diện có trục đối xứng

A Khơng có B 1 C 2 D 3

Tứ diện có ba trục đối xứng ba đƣờng thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối Chọn đáp án D

Câu 25: Hình chóp tứ giác có trục đối xứng?

(13)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 13 Hƣớng dẫn giải:

Hình chóp tứ giác có trục đối xứng trục đƣờng tròn ngoại tiếp đáy Chọn đáp án B

Câu 26: Hình vng có trục đối xứng?

A 2 B 3 C 4 D 5

Trong không gian, hình vng có trục đối xứng, là:

 Hai đƣờng thẳng chứa hai đƣờng chéo AC, BD

 Đƣờng thẳng qua trung điểm AB, CD đƣờng thẳng qua trung điểm AD BC

 Trục ngoại tiếp đƣờng tròn ngoại tiếp hình vng Chọn đáp án D

Câu 27: Tìm mệnh đề mệnh đề sau

A Nếu hình H có trục đối xứng có tâm đối xứng

B Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng

C Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng có tâm đối xứng

D Nếu hình H có mặt đối xứng có tâm đối xứng nằm mặt đối xứng có tâm đối xứng

 Hình chóp tứ giác có trục đối xứng, nhƣng khơng có tâm đối xứng Nhƣ A sai

 Hình chóp S.ABCD có SAABCD có mặt phẳng đối xứng  SAC, nhƣng hình chóp khơng có trục đối xứng Nhƣ B sai

 Hình chóp tứ giác có mặt đối xứng có trục đối xứng, nhƣng khơng có tâm đối xứng Nhƣ C sai

Câu 28: Cho bát diện Các khẳng định là: Bát diện có 12 cạnh

2 Bát diện có đỉnh

3 Bát diện có cạnh a nội tiếp mặt cầu có bán kính

2

 a

R

4 Ghép hai khối tứ diện ta đƣợc khối bát giác

A 1; B 3; C 1; D 1; 3;

Bát diện có đỉnh Ngồi ghép hai tứ diện khơng đem đƣợc kết Chọn đáp án C

Câu 29: Hình đa diện hình vẽ có mặt?

A 6 B 10 C 12 D 11

(14)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 14 Đếm đáy hình chóp có mặt mặt lăng trụ mặt đáy Vậy có 11 mặt

Câu 30: Cho bốn hình sau Mệnh đề sau sai :

A Khối đa diện A khối đa diện

B Cả khối đa diện A, B, C, D khối đa diện lồi

C Khối đa diện C khối đa diện lồi

D Khối đa diện B khối đa diện lồi

Khối đa diện A có đỉnh nên đa diện Khối đa diện D khối đa diện lồi

Khối đa diện B,C khối đa diện lồi Chọn đáp án B

Câu 31: Hình sau khơng phải hình đa diện ?

Phân tích: Ta nhớ lại kiến thức hình đa diện nhƣ sau:

Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:

a Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung

b Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác

Ta thấy hình A vi phạm tính chất thứ hai điều kiện để có hình đa diện Ta thấy cạnh cạnh chung hai đa giác mà cạnh chung bốn đa giác

Chọn đáp án A

Câu 32: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề sai ?

A Lắp ghép hai khối hộp đƣợc khối đa diện lồi

(15)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 15

C Khối hộp khối đa diện lồi

D Khối lăng trụ tam giác khối đa diện lồi Hƣớng dẫn giải:

Lắp ghép khối hộp chƣa đƣợc khối đa diện lồi Chọn đáp án A

Câu 33: Khối đa diện loại {3;4} khối có :

A Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt B Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt C Số đỉnh D Số cạnh

Câu 34: Hình chóp tứ giác có số mặt phẳng đối xứng là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 35: Trong khẳng định sau, khẳng định ?

A Hình lập phƣơng có nhiều mặt phẳng đối xứng

B Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt

C Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh

D Hình bát diện có cạnh Chọn đáp án B

Câu 36: Vật thể vật thể sau khối đa diện

A B

C D

Câu 37: Số đỉnh hình bát diện ?

A Mƣời hai B Tám C Mƣời D Sáu

+ Hình bát diện hình có dạng nhƣ hình bên: + Nên số đỉnh sáu

(16)

A B C D

Câu 39: Cho hình đa diện Tìm khẳng định sai khẳng định sau:

A Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh B Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt

C Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D Mỗi mặt có ba cạnh Chọn đáp án C

Câu 18: Hình dƣới khơng phải hình đa diện?

Hình Hình Hình Hình

A Hình B Hình C Hình D Hình Chọn đáp án B

Câu 40: Trong hình bát diện số cạnh gấp lần số đỉnh

A

3 B

3

2 C 2 D 3

Hình bát diện có 12 cạnh đỉnh Nên số cạnh gấp lần số đỉnh Chọn đáp án C

Câu 41: Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh ?

A B C D 4

Ta có hình vẽ hình bát diện nhƣ sau: Chọn đáp án D

Câu 42: Khối đa diện loại  5;3 có tên gọi là:

A Khối lập phƣơng B Khối bát diện

C Khối mƣời hai mặt D Khối hai mƣơi mặt Hƣớng dẫn giải:

Dễ nhận biết khối đa diện loại  5;3 khối mƣời hai mặt Chọn đáp án C

Câu 43: Trong mệnh đề sau, chọn mệnh đề Trong khối đa diện thì:

A Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt B Hai cạnh có điểm chung

(17)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 17 Xét hình lập phƣơng ABCD A B C D AB//A’B’: câu B) sai ’ ’ ’ ’

ABCD // A’B’C’D’: câu C) D) sai Vậy câu A) Chọn đáp án A

Câu 44: Nếu ba kích thƣớc khối chữ nhật tăng lên lần thể tích tăng lên:

A 4 lần B 16 lần C 64 lần D 192 lần Hƣớng dẫn giải:

43= 64 nên Chọn đáp án C

Câu 45: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành.Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành khối tứ diện

A B 3 C 2 D 6

Vậy ta có khối tứ diện : SABC SACD, Ta chọn đáp án C

Câu 46: Hình bát diện có mặt phẳng đối xứng

A 2 B 4 C 6 D 9

(18)

Quy luật tìm mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên từ trung điểm cạnh mà tìm Đảm bảo chọn mp đối xứng điểm cịn dƣ phải chia phía Ví dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng điểm S S' điểm dƣ lại phải đối xứng qua ABCD Nếu chọn SBS'D cịn điểm dƣ A C đối xứng qua SBS'D,

Câu 47: Có thể chia khối lập phƣơng ABCD A B C D thành khối tứ diện mà     tứ diện có bốn đỉnh thuộc tập điểm A B C D A B C D, , , , , , ,   ?

A Sáu B Vô số C Hai D Bốn

+ Chia khối lập phƣơng ABCD A B C D thành khối lăng trụ     ABC A B C    ADC A D C   

+ Xét khối lăng trụ ABC A B C nối đƣờng nhƣ hình vẽ sau    Hai khối tứ diện ABCA C BCA ,  chúng đối xứng với qua mặt phẳng BCA 

Hai khối tứ diện C BCA C BB A    , chúng đối xứng với qua mặt phẳng A BC  

Nhƣ khối lăng trụ ABC A B C đƣợc chia thành khối tứ diện   

, ,

     

ABCA C BCA C BB A

+ Làm tƣơng tự nhƣ với khối lăng trụ ADC A D C ta chia    đƣợc khối tứ diện

+ Vậy, ta chia khối lập phƣơng thành khối tứ diện Chọn đáp án A

Câu 48: Thể tích khối đa diện tạo hình sau là:

A 328cm3 B 456cm3 C 584cm3 D 712cm3

V’ khối lớn có đáy 14cmx15cm V’’ khối nhỏ có đáy 8cmx8cm

Thể tích khối cần tìm V = V’ - V’’= 584 cm3 Chọn đáp án C

Câu 49: Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A B, điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳngMCD và NAB ta chia khối tứ diện cho thành khối tứ diện: 

A AMCN, AMND, BMCN, BMND B AMCN, AMND, AMCD, BMCN

(19)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 19 Ta có hình vẽ:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy MN giao tuyến hai mặt phẳng (MCD) (NAB), ta thấy tứ diện cho đƣợc chia thành bốn tứ diện ACMN AMND BMNC BMND, , ,

Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vuông A, B AB=BC=a, AD=2a;

( )



SA ABCD Nhận định sau

A SCD vuông B SCD cân C SCD D SCD vuông cân Hƣớng dẫn giải:

( ) (1)

  

SA ABCD SA CD

Gọi trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng

Do đó:

45



ACI (*)

Mặt khác, tam giác CID tam giác vuông cân I =>BCI 450(**)

( )

CD SAC CDSC SCD vuông Chọn đáp án A

Câu 51: Một hình hộp chữ nhật có đƣờng chéo thể tích lớn bằng:

A 3 B 3 C 9 D 6

Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật a;b;c Khi đó: a2b2 c2 9 V abc Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ngay:

3 2 2 2

3

   

     

 

a b c

V abc a b c

Vậy thể tích lớn 3 hình hộp hình lập phƣơng Chọn đáp án A

Câu 52: Số mặt phẳng đối xứng tứ diện là:

(20)

Tứ diện có mặt phẳng đối xứng mặt phẳng tạo cạnh với trung điểm cạnh đối diện

Câu 53: Hình lập phƣơng có mặt phẳng đối xứng ?

A 6 B 7 C 8 D 9

Hình lập phƣơng ABCD A’B’C’D’ có mặt phẳng đối xứng

 Ba mặt phẳng trung trực cạnh AB, AD, AA’

 Sáu mặt phẳng chứa đƣờng chéo hình lập phƣơng

Câu 54: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Về phía ngồi khối chóp ta ghép thêm khối chóp tứ diện có cạnh a, cho mặt khối tứ diện trùng với mặt khối chóp cho Hỏi khối đa diện lập thành có mặt?

(21)

Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ tam giác nên có mặt

Câu 55: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C Về phía ngồi khối lăng trụ ta ghép thêm ' ' ' khối lăng trụ tam giác với khối lăng trụ cho, cho hai khối lăng trụ có chung mặt bên Hỏi khối đa diện lập thành có cạnh?

A B 12 C 15 D 18

Hƣớng dẫn giải: Chọn đáp án B

Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ đứng tứ giác nên có 12 cạnh

Câu 56: Trong khối đa diện dƣới đây, khối có số cạnh số lẻ?

A Khối chóp; B Khối tứ diện;

C Khối hộp; D Khối lăng trụ Hƣớng dẫn giải:

 Khối chóp n- giác có tổng số cạnh 2n

 Khối tứ diện có cạnh

 Khối hộp có 12 cạnh

 Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ số cạnh 3n, số lẻ

Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh ' ' ' số lẻ

Câu Trong khối đa diện dƣới đây, khối có số mặt ln số chẵn?

A Khối lăng trụ; B Khối chóp;

C Khối chóp cụt; D Khối đa diện Hƣớng dẫn giải:

 Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ có số mặt n2 số lẻ

(22)

 Khối chóp n-giác với n số chẵn, số mặt n1 một số lẻ

Ví dụ: Hình chóp S ABCD có đáy tứ giá số mặt

 Khối chóp cụt: Tƣơng tự nhƣ khối lăng trụ Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt

 Trong khơng gian ba chiều, có khối đa diện đều, chúng khối đa diện có tất mặt, cạnh góc đỉnh Chúng đƣợc giới thiệu hình dƣới đây:

Năm khối đa diện

Tứ diện Khối lập phƣơng Khối tám mặt Khối mƣời hai mặt

Khối hai mƣơi mặt

Tên chúng gọi theo số mặt khối tƣơng ứng 4, 6, 8, 12, 20 Các khối có số mặt chẵn

Câu 57: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Khối tứ diện có cạnh B Khối lập phƣơng có 12 cạnh

C Số cạnh khối chóp chẵn D Khối mặt có cạnh Hƣớng dẫn giải:

Vì khối mặt có tất 12 cạnh

Ta nhắc lại nhƣ sau: Mỗi khối đa diện xác định bới ký hiệu {p, q} p = số cạnh mặt (hoặc số đỉnh mặt)

q = số mặt gặp đỉnh (hoặc số cạnh gặp đỉnh)

(23)

Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q}

Khối diện {3, 3}

Khối Lập Phƣơng 12 {4, 3}

Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4}

Khối Mƣời Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}

Khối Hai Mƣơi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5}

Lời bình: Ta dùng phƣơng pháp loại trừ nhƣ sau

A Khối tứ diện có cạnh

Đúng có cạnh bên + cạnh đáy Nhƣ tổng

B Khối lập phƣơng có 12 cạnh

Đúng có cạnh bên + mặt đáy (mỗi mặt cạnh) Vậy tổng 12

C Số cạnh khối chóp chẵn Đúng Ta lấy ví dụ sau

Chóp tam giác có cạnh, chóp tứ giác có cạnh,…

Câu 58: Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng?

A 2M 3C B 3M 2C C 3M 5C D 2M C

Vì mặt tam giác có M mặt, nên số cạnh 3M Nhƣng cạnh cạnh chung hai mặt nên

2

 M

(24)

Câu 59: Trong khối đa diện lồi mà đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh Đ số mặt hệ thức sau đúng?

A 3Đ=2C B 3Đ=C C 4Đ=3C D C=2Đ

Vì có Đ đỉnh, mà đỉnh có cạnh chung nên số cạnh 3Đ Mà cạnh có đỉnh nên ta có

3

 D

C Vậy 2C3D Chọn đáp án A

Câu 60: Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, mặt Vậy khối đa diện có cạnh?

A 12 B 15 C 18 D 20

Áp dụng định lí Ơle: Đ C M   2 10    C C 15 Chọn đáp án B

Câu 61: Khối 12 mặt {mỗi mặt ngũ giác đều} có cạnh?

A 16 B 18 C 20 D 30

Vì mặt ngũ giác có M mặt {M=12} Nhƣng cạnh cạnh chung hai mặt nên 5.12 30

2

 M  

C

Câu 62: Khối 20 mặt {mỗi mặt tam giác đều} có cạnh?

A 16 B 18 C 20 D 30

Vì mặt tam giác có M mặt {M=20} Nhƣng cạnh cạnh chung hai mặt nên 3.20 30

2

 

C

Câu 63: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln nhau;

B Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh nhau;

C Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh

D Tơn hình đa diện có số cạnh số mặt Hƣớng dẫn giải:

A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln Mệnh đề sai

(25)

B Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh Là mệnh đề

Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác

C, D xảy Nên mệnh đề sai

Câu 64: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số cạnh hình đa diện

A Lớn B lớn

C lớn D lớn Hƣớng dẫn giải:

Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh Câu 65: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

Số đỉnh, mặt hình đa diện ln

A Lớn B lớn

C lớn D lớn Hƣớng dẫn giải:

Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh số mặt

Câu 66: Cho đa diện (H) có tất mặt tam giác Khẳng định sau đúng?

A Tổng mặt (H) số chẵn

B Tổng mặt (H) gấp đối tổng số đỉnh (H)

C Tổng số cạnh (H) số không chia hết cho

D Tổng số cạnh (H) gấp đôi tổng số mặt (H) Hƣớng dẫn giải:

Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Ta có: 3M 2C Suy M số chẵn

Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD

 Tổng mặt (chẵn)

 Tổng mặt 4, tổng đỉnh Nhƣ vậy, tổng mặt gấp đơi tổng số đỉnh của, nên mệnh đề sai

 Tổng cạnh 6, số chia hết cho Nhƣ câu C sai

 Tổng số cạnh 6, tổng mặt Nhƣ tổng cạnh gấp đôi tổng mặt đƣợc

Câu 67: Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đơi số đỉnh

A Khối 20 mặt B Khối lập phƣơng

C Khối bát diện D Khối 12 mặt Hƣớng dẫn giải:

(26)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 26 Chọn đáp án C

Câu 68: Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số đỉnh số mặt

A Khối 12 mặt B Khối lập phƣơng

C Khối bát diện D Khối tứ diện Hƣớng dẫn giải:

Khối tứ diện có số mặt số đỉnh Chọn đáp án D

Câu 69: Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh?

A 3 B 4 C 6 D 5

Ta thấy đỉnh đỉnh chung cạnh

Ví dụ: Xét đỉnh B, B đỉnh chung cạnh: BA, BS, BC, BS’

Câu 70: Cho khối đa diện Khẳng định sau sai

A Số đỉnh khối lập phƣơng B Số mặt khối tứ diện

C Khối bát diện loại {4;3} D Số cạnh báy diện 12 Hƣớng dẫn giải:

Khối bát diện loại {3;4} Chọn đáp án C

Câu 71: Cho khối chóp có đáy n-giác Mệnh đề sau đúng?

A Số mặt khối chóp 2n B Số cạnh khối chóp n+2

C Số đỉnh số mặt n+1 D Số đỉnh khối chóp 2n+1 Hƣớng dẫn giải:

Hình chóp tam giác có mặt đỉnh Hình chóp tứ giác có mặt đỉnh Chọn đáp án C

Câu 72: Khối đa diện lồi có số mặt nhiều là:

A 12 B 30 C 8 D 20

(27)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 27 Đa diện lồi có số mặt nhiều đa diện 20 mặt có 30 cạnh

Câu 73: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh

B Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác

C Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh

D Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh Chọn đáp án C

Câu 74: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A Hình lập phƣơng đa diện

B Tứ diện đa diện lồi

C Hình hộp đa diện lồi

D Hình tạo hai tứ diện chung đáy ghép với nau đa diện lồi Hƣớng dẫn giải:

Hình lập phƣơng chắn chắn đa diện nên mệnh đề A Tứ diện đa diện lồi mệnh đề

(28)

THỂ TÍCH HÌNH CHĨP

A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Nếu khối chóp cho có chiều cao h diện tích đáy B thể tích tính theo cơng thức

2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chƣa biết chiều cao ta phải xác định đƣợc vị trí chân đƣờng cao đáy

a) Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao cạnh bên

b) Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy c) Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao mặt bên vng góc đáy

d) Chóp chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy

e) Chóp có hình chiếu vng góc đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao từ đỉnh tới hình chiếu

Chú ý: Các cơng thức tính diện tích đáy

a) Tam giác:

 

  

 ABC vuông A:

 ABC đều, cạnh a:

b) Hình vng cạnh a: S = a2 (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thƣớc) d) Hình bình hành ABCD: S = đáy  cao =

e) Hình thoi ABCD:

f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác ABCD có hai đƣờng chéo vng góc:

1

V B.h

3



a b c

1 1

S a.h b.h c.h

2 2

   S 1bcsin A 1ca.sin B 1ab sin C

2 2

  

abc S

4R

 Spr S p p a  p b p c    2SAB.ACBC.AH

2

a

S



AB.AD.sinBAD

S AB.AD.sinBAD AC.BD

2

 

 

1

S a b h

2

 

1

S AC.BD

2

(29)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 29 B – BÀI TẬP

HÌNH CHĨP ĐỀU Câu 1: Thể tích (cm3) khối tứ diện cạnh

3cm :

A

3 B

2

81 C

2

81 D

3 18

Gọi cạnh tứ diện a Dễ dàng tinh đƣợc V = a3

12 Thay a =

3 ta đƣợc V = 2

81

Câu 2: Thể tích khối bát diện cạnh a là:

A

3

a B

6

a C 3

2

a D

6

a

Thề tích khối chóp tứ giác có cạnh a tích V1=

2

a

Mà thể tích khối bát diện 2V1 Do thể tích khối bát diện V=

2

a

Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp Ai Cập đƣợc xây dựng vào khoảng 2500 năm trƣớc Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m Thế tích V khối chóp là?

A V 2592100m3 B V 7776300m3 C V 2592300m3 D V 3888150m3 Hƣớng dẫn giải:

+ Thể tích kim tự tháp Kê - ốp 1.147.2302 2592100 3

 

V m

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tất cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A

6

a

B

3

a

C

3 a

D

3

a

Gọi H giao điểm AC BD Do S.ABCD chóp nên SO (ABCD)

Theo giả thiết ta có SAOSBOSCO SDO 600

Trong tam giác OBS ta có tan 600

2

  a a

SO OB

Thể tích khối chóp 6

3 3

 ABCD  

a

V S SO a a

Câu 5: Một khối chóp tam giác có cạnh bên b, chiều cao h Khi thể tích khối chóp là:

A 3( 2)

4 b h b B

2

3

( )

4 b h h C

2

3

( )

8 b h h D

2

3

( )

12 b h

(30)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 30 Gọi M trung điểm BC hinh chóp S.ABC H hình

chiếu S mặt phẳng (ABC) Khi AH= b2 h , 2 AM= 2

2 b h Gọi x cạnh tam giác ABC suy

2

2 2

3 3

3( )

2 2



 x  b h  x   

AM x b h

Diện tích tam giác ABC:

 2

2

3 3

( )

4



 b h  SABC  

S V b h h

Câu 6: Tính thể tích khối chóp S.ABCD có tất cạnh

A

2 B C D 2

Gọi O tâm ABCD, ta có 1.1

3

 ABCD  

V SO S

Câu 7: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 600 Thể tích khối chóp bằng:

A 3 12 a B 3 a C 3 36 a D 3 18 a

3

tan

12 12



 a  a

V nên

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABCD, cạnh đáy a Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích V hình chóp S.ABC

A 3  a V B 3 a V C 3 12  a V D 3 24  a V

Gọi điểm nhƣ hình vẽ Theo đề suy SIA600

Ta có 3

2

 a   a   a

AI HI SH

Vậy 3 24  a V

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có ABa , SA=a 2 Gọi M, N, P lần lƣợt trung điểm của cạnh SA, SB CD Tính thể tích V tứ diện AMNP

A

3

6 36

 a

V B

3

6 48

 a

V C

3

3 48

a

V D

3

6 12

 a

V

(31)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 31 Gọi O tâm đáy ABCD Tính đƣợc SO=

2

a

VAMNP=

1

4VABSP=

8VABCD=

2

1

8 3SO AB

Chọn đáp án

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a , góc mặt bên mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

A

4

3

a

B

3

a

C

2

3

a

D

2

3

a

Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm CD Khi SO đƣờng cao hình chóp, góc SMO góc mặt bên mặt đáy hình chóp

0

2

.tan 60

2

 AD  a    

OM a SO OM a Suy

 2

1

3 3

  

S ABCD ABCD

a

V S SO a a

Câu 11: Khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Khi độ dài đƣờng cao h khối chóp là:

A h 3a B

2

a

h C

2

a

h D ha

2

2 2

2

 

    

 

a a

h SO a

Câu 12: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, P, Q lần lƣợt

trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Cho biết diện tích tứ giác MNPQ 1, tính thể tích tứ diện ABCD

A 11

24



V B 2

3



V C

24



V D 11

6



V

Ta chứng minh đƣợc MNPQ hình vng, suy cạnh tứ diện 2, 2

3



V

(32)

A

2



V a B

3

2

 a

V C

3

2

 a

V D

3

2

 a

V

Gọi đỉnh hình chóp tứ giác nhƣ hình vẽ bên đặt cạnh AB2x Khi SOx 2,OH x suy

3



SH x Vậy xa Khi

3

1

3

 a

V SO AB

Câu 14: Để làm hình chóp tứ giác từ tơn hình vng có cạnh 1 3, ngƣời ta cắt tôn theo tam giác cân

, , ,

MAN NBP PCQ QDMsau gị tam giác ABN BCP CDQ DAM, , , cho bốn đỉnh M N P Q, , , trùng nhau(hình vẽ)

Biết rằng, góc đỉnh tam giác cân 1500 Tính thể tích V khối chóp tạo thành

A

24

 

V B

3



V C 52 30

3

 

V D

3



V

+

15

 

AMN DMQ AMD600 MAD

Vì hình chóp tứ giác tạo thành có tất cạnh MA Trong đó, 0 1 3

2sin 75



  



MN

MA

+ Dễ dàng chứng minh đƣợc rằng:

“Một khối chóp tứ giác có tất cạnh x tích

2

 x

V ”

+ Với x

3



V

Câu 15: Trong thi làm đồ dùng học tập bạn Bình lớp 12S2 trƣờng THPT trƣng Vƣơng làm hình chóp tứ giác bằng cách lấy tơn hình vng MNPQ có cạnh a, cắt mảnh tơn theo tam giác cân MAN; NBP; PCQ; QDM sau gị tam giác ANB; BPC; CQD; DMA cho bốn đỉnh M;N;P;Q trùng (như hình)

thể tích lớn khối chóp

A 36 a

B

3

24

a

C

3

4 10 375

a

D

(33)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 33 Gọi cạnh hình vng ABCD x đƣờng cao mặt bên

là: SM=

2



a x

suy chiều cao phối chóp SO =

1

2 2

2 a  ax Vậy V =

2

1

2 2

6x a  ax lập bbt

suy V lớn x = 2

5

a

Ta tìm maxV =

3

4 10 375

a

Câu 16: Cho hình chóp lục giác SABCDEF có SA5;AB3 Tính thể tích khối chóp SABCDE

A 45 B 18 C 54 D 15

Lƣu ý lục giác ABCDEF lục giác giống nhƣ xếp tam giác AOB theo chiều kim đồng hồ Ta cần xác định hai yếu tố:

Chiều cao (để ý tam giác AOB nên OAAB3):

2

5

     

h SO SA OA

Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE lần diện tích tam giác AOB nên ta có:

 

2

1 45

5 sin 60

2

 AOB  

S S AB

Do đó, ta có: 1 45 15

3

  

V Sh h

Câu 17: Ngƣời ta gọt khối lập phƣơng gỗ để lấy khối tám mặt nội tiếp (tức khối có đỉnh tâm mặt khối lập phƣơng) Biết cạnh khối lập phƣơng a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó:

A.

3 a

B.

3 a

C.

3 12 a

D.

3 a

Dựng đƣợc hình nhƣ hình bên

+ Thấy đƣợc thể tích khối cần tính lần thể tích hình chóp S.ABCD

+ Nhiệm vụ tìm thể tích S.ABCD

+ ABCD hình vng có tâm O đồng thời hình chiếu S lên mặt đáy

2

 a

SO ; BD cạnh hình lập phƣơng a Suy cạnh

của hình vng

2



ABCD a

3

1 1 2

3 2 12

  

     

  

S ABCD

a

V Sh a

3 đa diên

6

 

khôi S ABCD

a

(34)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 34 Chọn đáp án B

Câu 18: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đƣờng thẳng SA mặt phẳng

ABC 60  Gọi A, B, C tƣơng ứng điểm đối xứng  A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, A B C ,    A BC ,  B CA ,  C AB ,  AB C ,   BA C ,   CA B  

A.

2 3

a

B. 2 3a3 C.

3

a

D.

3

4 3

a

Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S ABC :

Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a

3

CH a Góc đƣờng thẳng SA mặt phẳng (ABC)

60

2

1 3

60 S

3 12

  o      

S ABC ABC

a a

SCH SH a V H S a

3 ' ' ACS

2

2 2.4

3

 B ACA C  B  S ABC 

a

V V V V

Cách 2: Ta tích khối chóp S ABC là:

3

3 12

 S ABC

a

V

Diện tích tam giác SBC là:

2

39 12

SBC 

a

S

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là: 

 

,

13

 a

d A SBC

Tứ giác BCB C hình chữ nhật có hai đƣờng chéo ' ' cắt trung điểm đƣờng

Có ' ' 39

3 3

 a   a   a

SB BB B C

Diện tích BCB C là:' '

2 ' '

39

 BCB C

a

S

Thể tích khối mặt cần tìm là:   

3 ' '

1

2 ,

3

 BCB C 

a

V d A SBC S

Cách (Tham khảo lời giải Ngọc HuyềnLB)

Thể tích khối bát diện cho ' ' ' 2.4 '. . 8.1

 A B C BC  A SBC  S ABC  ABC

V V V V SG S

Ta có: SA ABC; SAG60 Xét SGA vuông G :

tan SAG SG  SG AG.tan SAG a

AG

Vậy

2

1 3

8

3

 ABC  

a a

V SG S a

(35)

HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH VNG GĨC VỚI ĐÁY

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA, BC, BD đơi vng góc với nhau:

BA = 3a, BC =BD = 2a Gọi M N lần lƣợt trung điểm AB AD Tính thể tích khối chóp

C BDNM

A

8



V a B

3

 a

V C

3

2

 a

V D 

V a

Khối chóp C BDNM có CB đƣờng cao nên tích

1

 BDNM

V BC S ,

+ BD2a

+ Tứ giác BDNM hình thang vng B, M MN đƣờng trung bình tam giác ABD nên có diện tích:

3

( )

( ) 2

2 2

 

  

BDNM

a

a a

MN BD BM a

S (đvtt)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình cữ nhật, SA vng góc với mặt đáy (ABCD),

,

 

AB a AD a Góc cạnh bên SB mặt phẳng (ABCD) 450 Thể tích hình chóp S.ABCD

A

6 18

a

B

2

a

C 3 a

D

3 a Hƣớng dẫn giải:

3

1

.2

3 3

 ABCD   a

V SA S a a a

Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAa vng góc với đáy, M trung điểm SD Thể tích khối chóp MACD là:

A a

B 12 a

C 36 a

D a3

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng đáy nửa khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy suy thể tích khối chóp MACD là:

3

1 1

2 12

  

MACD SACD SABCD

V V V a

(36)

A 11

12 a B

3 12 a

C 3

12 a D

3

15 12 a

SB tạo với đáy góc

45 nên SAABa Áp dụng cơng thức Hê rơng, có

   

   

ABC

S p p AB p AC p BC

2

 

  

 

 

AB BC CA

p

    

2

11

1 5 5

4

a           a

(sử dụng máy tính để tính biểu thức dấu căn)

Suy

1 11

3 12

 

S ABC ABC

V SA S a

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SC  Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3



V B

6



V C V  D 15

3



V

Đƣờng chéo hình vng AC

Xét tam giác SAC, ta có SA SC2AC2  Chiều cao khối chóp SA

Diện tích hình vng ABCD SABCD  12

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

1

3

 

S ABCD ABCD

V S SA (đvtt)

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a 2, SA vng góc với mp đáy Góc tạo (SBC) mặt đáy 300 Thể tích S.ABC

A

2

a

B

2

a

C a

D

3

2

a

Xét ABC vuông A

BC2 = AB2 + AC2  BC2 =  

2 

a a  BC = a

  

AH BC AB AC AH AB AC

BC =

a a

a AH =

6

a

Góc tạo (SBC) (ABC) góc SHA Tan 300 = SA

AH => SA = AH.tan30

0

=

3

a

3=

2

a

A C

S

300

a

(37)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 37 VS.ACB=

1

3 SA2 AB AC=

1

3

a

a a =

3 a Chọn đáp án C

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA3a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có 2a

 

AB BC , góc

120



ABC Tính thể tích khối chóp cho

A VS ABC. 3a3 B VS ABC. 2a3 C VS ABC. a3 D

3

2

3

 S ABC

a V

Ta có

.sin120

2

ABC  

S BA BC a Vậy

1

.S

3 

 

S ABC ABC

V SA a

Câu 8: Cho hình chop S.ABCD có SC(ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh a 3và

120



ABC Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chop S ABCD

A

3 12

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Hƣớng dẫn giải: Kẻ SK AB thì:

 

(SAB),(ABCD) (SK,CK) 45

    

CK AB ABC

0 0

0

2

3

120 60 sin 60

2

.tan 45 (1)

2 3

S sin120 (2)

2

    

  

 

ABCD

a

ABC ABC CB

a

SC CK

a AB BC

Từ (1) (2)

3

1 3

V S

3

 S ABCD  SC ABCD  a

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh ABa AD, a 2,

 



SA ABCD góc SC đáy 600 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

A 2a3 B 3 2a3 C 3a3 D 6a 3

Theo ta có, SAABCD , nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) 

   

, , 60

 

SC ABCD  SC AC SCA Xét ABC vng B, có

2 2

2

    

AC AB BC a a a

Xét SAC vng A, có SAABCDSA AC

A

B

C

(38)

Ta có:

tanSCA SA SA AC.tanSCA AC.tan 60 a 33a AC

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:

1

.3 2

3

  

S ABCD ABCD

V SA S a a a a

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi tâm O, ABa 5;AC4 ,a SO2 2a Gọi M trung điểm SC Biết SO vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp M.OBC

A

2 2a B

2a C

3

2

a

D 4a3

Để tính đƣợc thể tích khối hình chóp M.OBC ta cần tính đƣợc diện tích đáy OBC khoảng cách từ M đến đáy

Kẻ MH / /SO H  OC , SOABCDMH ABCDMHOBC  Nên d M OBC ; MH Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:

1

2

   

MH MC

MH a

SO SC

Do ACBD nên O AB2AO2  5a2 2a a

Diện tích đáy 1

.2

2

  

OBC

S OB OC a a a

Thể tích khối chóp cần tính

3

1

3 3

 OBC  

a

V MH S a a

Câu 11: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh ABa A, Da , SAABCD góc SC đáy 600 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

A 2a3 B 6a 3 C 3a3 D 3 2a3

 



SA ABCD nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) Xét ABC vuông B, có

2 2

2

    

AC AB BC a a a

Xét SAC vuông A, SAABCDSA AC Ta có:

0

tanSCA SA SAAC.tanSCA AC.tan 60 a 33a AC

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD

1

.3 2

3

  

S ABCD ABCD

V SA S a a a a

(39)

A

3

2

a

V B

3

 a

V C

3

6

 a

V D

3

2

a

V

Vì SAABCD nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) 

 

   

, , 45

 SC ABCD  SC AC SCA

Tam giác SAC vuông A nên:

0

sinSCA SA SASC.sinSCA2 sin 45a  2a SC

2

 

ABCD

S AB a

Vậy 1 2

3 3

 ABCD  

V S SA a a a

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh BC = a 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Thể tích khối chóp S.ABC theo a

A

3

2

 S ABC

a

V ; B

3

2

 S ABC

a

V ; C

3

2

 S ABC

a

V ; D

3

2 12

 S ABC

a V

* Ta có : AB = a 3, (SBC)  (ABC) = BC Gọi M trung điểm BC

AM  BC (  ABC cân A) SM  BC (

( SM)



ABC

AM hc 

((SBC),(ABC))(SM AM, )SMA45o

*  ABC vuông cân A có,BC = a  AB = BC = a AM =

2

a

 S ABC

2 2

   

a

AB AC a a

*  SAM vng A có AM=

2

a

, M 450 

.tan 45

 o  a

SA AB

*

2

1

3 2 12

  

S ABC ABC

a a a

V S SA

(40)

A VS ABC. a3 B

3 ABC  S a V C ABC  S a V D  S ABC a V

Ta có SAABC nên AB hình chiếu SB mặt phẳng   

30

 

ABC SBA Gọi G

trung điểm BC, ta có        

BC AM

BC SAM SAM

BC SA mặt phẳng trung trực BC SM hình chiếu SB  

45

   

SAM BSM SBC vuông cân S Ta có

 ,  2,

  B SC      

SM BC d SM a SB SC a BC a

Tam giác SBA vuông A, ta có sin 300 2

  a

SA SB

Trong tam giác vng SAM, ta có:

2 2 2

2

 

     

 

a a

AM SM SA a

Vậy 6   S ABC a

V BC AM SA

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a , SA vuông góc với ABCD  SA2a Gọi I trung điểm SC Mlà trung điểm DC Tính thể

tích khối chóp I OBM

A 24  a V B 3 24  a V C 3 24 a V D 24 a

Ta có: / /   

  IO SA IO ABCD SA ABCD

IO SAa

Diện tích OBM :

2

1 2

sin135

2 2 2

  a a  a

S OM OB

Tính thể tích khối chóp I OBM :

1

3  24

  

I OBM OBM

a a

V S IO a

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 1200, SA vng góc với (ABCD) Gọi M, I lần lƣợt trung điểm BC SB, góc SM (ABCD) 600 Khi thể tích khối chóp IABCD

A a B 3 a C 3 a D 3 a

Ta có SA(ABCD) nên AM hình chiếu SM mặt phẳng (ABCD) SM ABCD;( )SMA 600

(41)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 41 Mà M trung điểm BC nên 3

2

 AB a

AM

Khi 3

tan tan 60

2

 SA   a  a

SMA SA

AM

Thể tích khối chóp I.ABCD .  ;( ) 



I ABCD ABCD

V d I ABCD S

 

1

;( )

6 

 d I ABCD SABCD  SA S ABC  a Chọn đáp án B

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) góc đƣờng thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB)

30 Gọi M trung điểm SA, (P) mặt phẳng qua M vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt cạnh SB, SC, SD lần lƣợt N, E, F Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF

A

2 36

a

B

2 72

a

C

2 18

a

D

2

a

Từ giả thiết ta có:     300

 

BC AB

BC SAB BSC

BC SA góc SC với mp (SAB)

Từ đó: 2

.cot 30 3,

    

SB BC a SA SB AB a

  

SB P E nên thể tích khối chóp S.MNEF đƣợc xác định bởi:

3

 MNEF

V S SE

Do SA AC SA ACa 2, nên SAC vuông cân A

 SEM vuông cân E

2

SE SM  a Ta có:

 

    ,



   

   



  

MN CS SC P

MN SBC MN NE MN SB

MN BC BC SAB

2

1

2 6 24

SMNE  MN NE a a a

Hoàn toàn tƣơng tự ta có MF EF

2

24 12

  

MEF MNEF

a a

S S

Vậy

3

1

3 72

 MNEF  a

V S SE (đvtt)

(42)

HÌNH CHĨP CĨ MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A 15 a B a C 15 a D a

Ta có

( ) 60

  

SA ABCD SCA

0 2

.tan 60 (2 ) 15

SA AC  a  a a

3

1 15

.2 15

3

 V a a a  a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B,

2

  

AB BC AD a

Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ACD

A  S ACD a V B  S ACD a V C  S ACD a V D  S ACD a V

Ta chứng minh đƣợc tam giác ACD vuông cân C

2

 

CA CD a , suy

ACD 

S a

Gọi H trung điểm AB tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy, suy SH ABCD 

và

2

 a

SH Vậy

3  S ACD a S

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Các mặt phẳng (SAB), (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích V hình chóp S.ABCD

A  a V B  a V C  a V D 3 a V

Theo đề ta có 30



SCA ACa suy

3

 a

SA Vậy

3

6

a

V

(43)

Kẻ SH BC SAC  ABC nên  SH ABC  Gọi I, J hình chiếu H AB BC

,

SJ AB SJBC

Theo giả thiết

45

 

SIH SJH

Ta có: SHI  SHJ HI HJ nên BH đƣờng phân giác ABC từ suy H trung điểm AC

3

1

2 12

   a SABC  ABC  a

HI HJ SH V S SH

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Thể tích khối chóp S.ABM bằng:

A.

3 12

a

B

3 18

a

C

3 24

a

D

3 36

a

Diện tích đáy :

2

a

S , chiều cao

3

 a

h ,

3

18 36

   S ABC 

S ABC S ABM

a V a

V V

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, gọi M, N lần lƣợt trung điểm AD, DC Hai mặt phẳng (SMC), (SNB) vng góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy góc

60 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A 16 15

5 a B

3

16 15

15 a C

3

15a D 15

3 a

Gọi H giao CM BN SH ABCD  Chứng minh đƣợc CHNB H

2

5

   



BC BC a

BH

BN BC CN

0 15

.tan 60

5

SH BH  a

3

1 16 15

3

 S ABCD  ABCD 

a

V SH S

(44)

A

8

a

B

9 a

C

9 a

D

Gọi H,I lần lƣợt trung điểm AB CD

Do tam giác SAB cân S nên: SH AB mà (SAB)(ABCD)do đó:

SH(ABCD)SH CD H, I CD Do đó: CD(SHI), kẻ HKSI,CDHK

Do ta có: HK(SCD)HKd(h,(SCD))d(AB,(SCD))a

   

I

CD ( ) SI (SCD),(ABCD) , 60

(SCD) (ABCD)

  

      

  



H CD

SHI CD HI SI SHI

CD

Trong tam giác HKI có 0

sin 60

 HK  a 

HI BC

Trong tam giác HIS có

.tan 60

 

SH HI a Diện tích ABCD là:

2

3

 

ABCD

a

S BC

Thể tích S.ABCD là:

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SBa 3và mặt bên (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N lần lƣợt trung điểm AB, BC Khi thể tích khối chóp S.MBND là:

A

3

a

B a3

C

3

a

D a3

Gọi chiều cao khối chóp.Vì tam giác SAB vuông S

2

 h a

Diện tích tứ giác BMDN là:

2 

  

BMDN ABCD NCD

S S S a

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, tam giác BCD vuông cân D nằm mặt phẳng vng góc với ABC Tính thể tích V khối tứ diện  ABCD

A

3

 a

V B

3

12

 a

V C

3

 a

V D

3

3 24

 a

V

(45)

Dựng AH BC,

ABC  BCDAHBCD

Ta có, ABC

2

AH a

1

2

 

BCD

a

S DH BC

Vậy

3

1

3 24

 

ABCD BCD

a

V AH S

Câu 10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

12

a

V C

3

 a

V D

3

3 24

 a

V

Hƣớng dẫn giải: Dựng SH  AB,

SAB  ABCDSH ABCD Ta có, SAB

2

SH a

 ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB30 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

a

V C

3

 a

V D



V a Hƣớng dẫn giải:

Dựng SH  AB,

SAB  ABCDSH ABCD Ta có, SHA vng H:

sinSAH  SH SH SA.sinSAH a

SA

2

 ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 12:Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, tam giác BCD cân D nằm mặt phẳng vng góc với ABC Biết  AD hợp với mặt phẳng ABC góc 

(46)

A

3

 a

V B

3

12

 a

V C

3

 a

V D

3

3 24

 a

V

Hƣớng dẫn giải: Dựng AH BC,

ABC  BCDAH BCD Ta có, ABC

2

 AH  a

 

  

DH BC DH ABC

 

; 60

 AD ABC HAD

Xét tam giác AHD vuông H : tanHAD HD AH

3 tan

2

HD AH HAD a

Vậy

3

1

3

 

ABCD ABC

a

V HD S

Câu 13:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAB nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB60 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

 a

V C

3

2

 a

V D



Dựng SH AB,

SAB  ABCDSH ABCD Ta có, SHA vuông H:

SA

2

 ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 14:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD BC, 2AB2 ,a tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB60 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp

S ABCD

A

3

 a

V B

3

 a

V C

3

2

 a

V D



(47)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 47 Dựng SH AC,

SAC  ABCDSH ABCD Ta có, SHA vng H:

SA

2

 ABCD

S a

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, CAD300, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, SAB60 , SA2 a Tính thể tích V khối chóp

S ABCD

A

12

 a

V B

3

a

V C

3

2

 a

V D



Dựng SH  AB,

SAB  ABCDSH ABCD

Ta có, SAB tam giác nên

2

 a

SH

Do ABCD hình thoi cạnh a

30



CAD

nên BAD Suy

2

3

2

4

 

ABCD

a a

S

Vậy

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD biết ABCD hình thang vng A D; AB = 2a;

 

AD DC a Tam giác SAD vuông S Gọi I trung điểm AD Biết (SIC) (SIB) vuông góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

A 3 a

B a

C

3

a

D

3

a

Ta có (SIC) (SIB) vng góc với (ABCD) nên SI vng góc với (ABCD)

Tam giác ASD vng S nên SI =1/2 AD=a/2

 

1

2a

3 2

 a   a

V a a

(48)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 48 Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy, ABa AD, 2a Khoảng cách hai đƣờng thẳng AB SD a Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A

3 a

B

3a C

a D

3

3 a

gọi O giao điểm đƣờng chéo đáy hình chóp

Theo ta có

       

     

 

   



  



SAC ABCD

SBD ABCD SO ABCD

SA SAC SBD

;

       

/ /  ,  ,  ,

AB DC d AB SD d AB SCD d B SCD

Ta có   

 

 , 

,  

d B SCD DB

d O SCD DO nên   

2 ,

2

 a

d O SCD

Vì O chân đƣờng cao hình chóp nên ta có cách dựng khoảng cách từ O đẻn mặt phẳng SCD  nhƣ sau: Kẻ OH CD OK, SHthì ta có  , 

2

  a

OK d O SCD

Áp dụng hệ thực lƣợng vào tam giác SOH vng O ta có 12  12  2 SOa

OK SO OH

Thể tích hình cần tính 2

3

 

V a a a a

Câu 18: Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; biết ABAD2a ,



CD a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp

S ABCD

A

3

a

B

3

3 15

a

C

3

3 15

a

D

3 5

a

Nhƣ nhắc câu trƣớc hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD) nên

 



SI ABCD nên SI đƣờng cao S ABCD Kẻ IK BC K Khi ta chứng minh đƣợc

   

 

; 60

 

SKI SBC ABCD Ta vẽ hình phẳng mặt đáy Ta có M ADBC ta chứng minh đƣợc CD đƣờng tủng bình tam giác ABM Khi

   2

4 ; 5;

    

AM a BM a a a IM a

Ta có KMI ~AMB

3

.2

2 5

 IM  IK IK  a a a

BM AB a ,

0 3

.tan 60

5

  a  a

(49)

 

1 3 15

2

3 5

 a   a

V a a a

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đƣờng chéo AC 2 ,a BD2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB)

4

a

, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

A

3

a

B 3 a

C

7

a

D 3a3 Hƣớng dẫn giải:

+Từ giả thiết AC 2a 3;BD2a AC BD, vuông góc với trung điểm O đƣờng chéo Ta có tam giác ABO vng O AOa 3; BOa ,

do

60



ABD

Hay tam giác ABD

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng SOABCD 

+Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH AB

3



DH a ; OK/ /DH

2

  a

OK DH OK ABABSOK 

+Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OISK ; ABOI OI SAB , hay OI khoảng  cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông O, OI đƣờng cao 12 12 12

2

   SO a

OI OK SO

Diện tích đáy: SABCD 4SABO2.OA OB 2 3a ; 2 Đƣờng cao hình chóp

2

 a

SO Thể tích khối chóp S ABCD :

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V S SO

(50)

HÌNH CHĨP KHÁC

Câu 1: Cho hình chóp tam giác có đƣờng cao 100 cm cạnh đáy 20 cm, 21 cm, 29 cm Thể tích hình chóp

A

6000cm B

6213cm C

7000cm D

7000 cm Hƣớng dẫn giải:

Nửa chu vi tam giác đáy 20 21 29 35

 

 

P

Áp dụng công thức Hê-rơng ta có diện tích đáy B 35 35 20 35 21 35 29      210 Thể tích khối chóp cần tìm 1.210.100 7000

3

  

V B h cm

Câu 2: Cho hình chóp SABCD tích 48, đáy ABCD hình thoi Các điểm M, N, P, Q lần lƣợt thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA = 2SM, SB = 3SN, SC = 4SP, SD = 5SQ Thể tích khối chóp S.MNPQ

A

5 B

4

5 C

6

5 D

8

1 24



SMNP SABC

V V ,

40



SMPQ SACD

V V

1

.24 24

24 40

VSMNPQ   

Câu 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có ASBCSB60 ,o CSA90 ,o SASBSC2a Tính thể tích khối chóp S ABC

A

6

a

B

2

3

a

C

2

3

a

D

2

a

Ta có tam giác ABC vng B, Hai tam giác SAB SBC Vì SASBSC2a Hình chiếu S trùng với tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông B nên hình chiếu trung điểm H AB

   

2

2 1

3,

2 3

 a      a

SH a AB a V a a

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB; AC; AD tạo với góc 600 Biết AB2a ;AC3a ;



AD a Tính thể tích ABCD

A

2 12

a

B

2

a C

2a D

4a

(51)

Đây toán điển hình hình học khơng gian Mấu chốt tốn nằm việc lấy thêm điểm để tính tốn

Lấy điểm M, N, P lần lƣợt thuộc đoạn AB, AC, AD cho AM AN APa Suy tứ diện AMNP tứ diện có độ dài cạnh a Đến toán trở dạng đơn giản Ta dễ dàng tính đƣợc thể tích AMNP

3

2 12

a

Lại có:

2.3.4 24 24 2

     

ABCD

ABCD AMNP

AMNP

V AB AC AD

V V a

V AM AN AP

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Lấy điểm A’ cạnh SA cho

1 '

3



SA SA Mặt phẳng qua A’ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC, SD lần lƣợt B’, C’, D’ Khi thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:

A

3

V

B

9

V

C

27

V

D

81

V

Gọi thể tích VS.ABCD =

1

3 2a h ha

Với Sđáy =

2a ha h chiều cao hính chóp S.ABCD

VS.A’B’C’D’ = '

1

' ' 2a h ha mà:

1 '

3



h h, '

3



a a, '

3



a a

h h

Nên VS.A’B’C’D’ = VS.ABCD

27

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đƣờng chéo AC2 ;a BD2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB)

4

a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A a3 B

3 a

C

3

a

D

3

2

a

Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có:

1

; 3; ;

2

( )

   

   

a

DH AB DH a OK DH OK DH

OK AB AB SOK

Gọi I hình chiếu O lên SK ta có:

; ( )

   

OI SK AB OI OI SAB , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông O, OI đƣờng cao

2 2

1 1

2

   SO a

OI OK SO

(52)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 52 Đƣờng cao hình chóp AS

2

 a

O

Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

1

.2

3

 a a

V a

Câu 7:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnha , 17

2

a

SD , hình chiếu vng góc H S lên mặt ABCD trung điểm đoạn  AB Tính chiều cao khối chóp H SBD theo a

A.

5

a

B.

7

a

C. 21

5

a

D. 3a

5

Ta có SHD vng H

2 2

2 17

3 2                        a a

SH SD HD a a

Cách Ta có  ,   , 

2

  a

d H BD d A BD

Chiều cao chóp H SBD

 

   

  2 2 , , ,

6.2

4 . 4.5        

SH d H BD d H SBD

SH d H BD

a a a a a a a

Cách 3

3

 ABCD 

S ABCD SH S a  . . . . 3

2 12

   

H SBD A SBD S ABC S ABCD

V V V V a

Tam giác SHB vuông H

2

2 2 13

3

4

SB SH HB  a a  a

Tam giác SBD có 13; 2; 17

2

 a  a

SB BD a SD 

2

4 SBD 

a

S

   

,

5



 S HBD 

SBD

V a

d H SBD S

Cách Gọi I trung điểm BD Chọn hệ trục Oxyz với OH Ox; HI Oy; HB Oz; HS Ta có H0;0;0; 0; ;0

2

 

 

 

a

B ; S0;0;a 3; ;0;0       a I

Vì SBD  SBI 

  :2 2

3

       

x y z

SBD x y z a

a a a

Suy   

3

2.0 2.0

3 3 , 4        a a d H SBD

(53)

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, AB = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA Góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích V hình chóp S ABCD

A

3

 a

V B

3

 a

V C

3

 a

V D

3

3 12

 a

V

Gọi H trung điểm OASH ABCD  Vẽ HECD E HE/ /AD

Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD

  

CD SHE nên góc (SCD) (ABCD) góc

60



ABC

3

4

  a

HE AD

0 3

.tan 60

4

  a

SH HE

3

1

3

 

S ABCD ABCD

a

V SH S

Câu 9: Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh

4



SA , tất cạnh lại Tính thể tích khối chóp S ABCD

A 3 39

32 B

39

96 C

39

32 D

39 16

Gọi OACBDSOBD AO, OB

Đặt AC2x

ta có SO2SB2OB2AB2OB2OA2x2

Áp dụng CT đƣờng trung tuyến:

2 2

2 / 16 25

2 4 64

 

SA SC  AC    a  

SO x x

2

5 39

, 2

8 4

  x AC  BD BO AB AO  +) 

2 25

16

    

AC SC AC SAC vuông S +) Kẻ

2

5

   



SA SC

SH AC SH

SA SC

Do BDSO BD, ACBD(SAC)AH(ABCD)

1 1 39 39

3 4 32

     

S ABCD

V SH AC BD

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có ABC vng B BAa BC, 2 ,a DBC cho biết góc mặt phẳng (ABC) (DBC) 300 Xét câu:

(54)

H B

D

C A S

(II)

3

 ABCD

a V

Hãy chọn câu

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả sai D Cả Hƣớng dẫn giải:

  

DH ABC , kẻ DEBC

EBEC (do tam giác đều), BCHEDEH 300

Trong : HE 2a 3a

2 2

 

   

 

DHE

Gọi I trung điểm AC

2

 a 

IE HE IE nên nói H trung điểm AC sai: (I) sai

Trong : 3.1

2

DHE DH a a

3 D

1 3

.2a

3 2

 

ABC

a a

V a (II)

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, góc ABC 60 Cạnh bên

2



SD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD điểm  H thuộc đoạn BD cho



HD HB Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

24



V B 15

24



V C 15

8



V D 15

12



V

Vì ABC 60 nên tam giác ABC Suy

2



BO ; BD2BO 3; 3

4

 

HD BD

Trong tam giác vuông SHD , ta có

2

  

SH SD HD

Diện tích hình thoi ABCD



 

ABCD ABC

S S

Vậy . 15

3 24

 

S ABCD ABCD

V S SH (đvtt)

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a, BAD600 Gọi H trung điểm IB SH vng góc vớiABCD Góc SC  ABCD bằng

45 Tính thể tích khối chóp S AHCD

A 35

32 a B

3

39

24 a C

3

39

32 a D

3

35 24 a

(55)

3

2 4 3

2

2 4

  BCD  

AHCD AHD

ABCD ABCD ABCD

S

S S

S S S ,

3



SAHCD SABCD

V V

Mặt khác ta có

60

 

BAD tam giác ABD đều, nên

4

     a

AB BD AD a IH Khi

2

2 13

4

 

       

   

a a a

HC IH IC Khi 13

4

  a

SH HC (do

45



SCH nên tam giác SCH vuông cân H)

3

1 13 3 39

.SH.S

3 4 32

 SAHCD ABCD  

a a a

V a

Câu 13:Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC  SB2 a Tính thể tích V khối chóp S ABC

A 3  a

V B

3

3 24

 a

V C

3

5

 a

V D

3 12  a V

Xét tam giác SBH vuông 2 15

:

2

   a

H SH SB BH

2  ABC a S Vậy  

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC SA hợp với đáy góc 

60 Tính thể tích V khối chóp

S ABC A 3  a

V B

3

3 24

 a

V C

3

5

 a

V D

3 12  a V

Do     

; 60

   

SH ABC SA ABC SAH

Xét tam giác SAH vuông : tan

  a

H SH AH SAH

2  ABC a S Vậy  

S ABC ABC

a

V SH S

(56)

Câu 15: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC SB hợp với đáy góc 

60 Tính thể tích V khối chóp

S ABC A 3  a

V B

3

3 24

 a

V C

3

 a

V D

3 12  a V

Do     

; 60

   

SH ABC SB ABC SBH

Xét tam giác SBH vuông : tan

  a

H SH BH SBH

và  ABC a S Vậy  

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 16: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC trung điểm BC  SAB hợp với đáy góc 

45 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A 3 16  a

V B

3

16

 a

V C

3

 a

V D

3 12  a V

Do HK ABABSHKABSK

   

 

; 45

 SAB ABC SKH

Gọi M trung điểm 3,

2

   a

AB HK CM

tam giác SHK vuông cân

4

   a

H SH HK

và  ABC a S Vậy 16  

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm  H cạnh BC cho CH 2HB SB, hợp với đáy góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

12

 a

V B

3

 a

V C

3

 a

V D

3 12  a V

(57)

Do     

; 60

   

SH ABC SB ABC SBH

Xét tam giác SBH vuông : tan 3

  a

H SH BH SBH

và

2

3

 ABC

a

S

Vậy

3

1

3 12

 

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 18: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm  H cạnh BC cho HC2BH SA, hợp với đáy góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

12

 a

V B

3

7 12

 a

V C

3

 a

V D

3

 a

V

Do     

; 60

   

Xét tam giác AHB:

2

2 2

2 cos

9

    a

AH AB BH AB BH ABH

7

AH a

Xét tam giác SAH vuông

21

: tan

3

  a

H SH AH SBH

2

3

 ABC

a

S

Vậy

3

1

3 12

 

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm  H cạnh BC cho HC2BH, tam giác SAH vng cân Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

3

21 36

 a

V B

3

7 12

 a

V C

3

 a

V D

3

 a

V

(58)

Do     

; 60

   

Xét tam giác AHB:

2

2 2

2 cos

9

    a

AH AB BH AB BH ABH

7

 AH  a

Do tam giác SAH vuông cân H nên SH AH

3

 ABC

a

S

Vậy

3

1 21

3 36

 

S ABC ABC

a

V SH S

Câu 20: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm  H cạnh BC cho HC2BH, SAB hợp với đáy góc

60 Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

3

3 24

 a

V B

3

3 12

 a

V C

3

 a

V D

3

 a

V

Gọi M trung điểm AB Dựng / /

 

HK AB HK CM

1

3

 a

HK CM Ta có

 

  

AB SHK AB SK

   

 

; 60

 SAB ABC SKH Xét tam giác SKH vuông

: tan

2

 a

H SH KH SKH

2

3

 ABC

a

S

Vậy

3

1

3 24

 

S ABC ABC

a

V SH S

(59)

A

4



V B

2



V C

2



V D

4



V

Đáp án : Phƣơng án C Lời giải:

+

2 2

0

1

cos 60

2 2.1.2

   

SA SB AB    

ASB ASB

SA SB

+

2 2

0

4

cos 60

2 2.2.3

   

 SB SC BC    

BSC BSC

SB SC

+

2 2

0

9

cos 60

2 2.3.1

   

 SC SA CA    

CSA CSA

SC SA

+ Trên SB lấy trung điểm D SC lấy E cho

1



SE SC

+ Khi SADE tứ diện cạnh 1 thể tích

12

 SADE

V

+ Mặt khác,

6

   

SADE

V SD SE

V

V SB SC

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB cho HB = 2HA Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) góc Khoảng cách từ trung điểm K HC đến mặt phẳng (SCD) là:

A. 13

2

a

B 13

4

a

C a 13 D. 13

8

a

 

   

,  ,  60

SC ABCD SC CH SCH

2

3

13 39

; tan 60

3

1 1 39 1 39

( )

3 3 3 18

1 39

2 36

    

 

        

 

   

SHDC HDC ABCD AHD BHC

CKSD

CKSD CHSD

CHSD

a a

HC BH BC SH HC

a a a a

V SH S SH S S S a a a

V a

V V

V

Tính độ dài cạnh SD, SC Khi đó:

 

2

,

2 3 13

3

   KSDC 

SDC K SDC

SDC

a V a

S d

S

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác SAB tam giác cân đỉnh S Góc đƣờng thẳng SA mặt phẳng đáy

45 , góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách hai đƣờng thẳng CD SA a

0

(60)

A

8

3

a

B

3

4

3

a

C

2

3

a

D

3

a

+ Gọi H hình chiếu vng góc S lờn mặt đáy, M trung điểm AB tam giác SAB cân S nên SM vng góc với AB kết hợp với SH vng góc với đáy suy AB vng góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta đƣợc: SA ABCD,( )SAH 450SASH

+

 

   

( ), , 60

2

3

  

 

SAB ABCD SM MH SMH

SM SH

+ Từ điểm N kẻ NP vng góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đƣờng thẳng SA CD suy

6



NP a Ta có

2

3

      

SH MN NP SM SH AB a SH AB a SH a

+ Trong tam giác SAM ta có

2

2 2

2

3

    SH   

SA AM SM SH a SH a

2

1 3.8

3 3

  

S ABCD ABCD

a a a

V SH S

Câu 24: Cho mặt phẳng  P chứa hình vng ABCD Trên đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng

 P A, lấy điểm M Trên đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng P C lấy điểm N (N phía với M so với mặt phẳng  P ) Gọi I trung điểm MN Thể tích tứ diện MNBD ln tích đƣợc cơng thức sau ?

A

3

 IBD

V AC S B

3

 BDN

V AC S C

3

 BMN

V BD S D

3

 MBD

V BD S

Hƣớng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau:

Gọi O giao điểm AC BD Suy IO song song với AM, suy IO vng góc với mặt phẳng ABCD

OI AC

Mà ACBD OI; BD đƣờng thẳng cát thuộc mặt phẳng IBD Khi  ACIBD ; hay  AOIBD  Ta có MN giao với IBD I 

 

 ; 

;

 d M IBD  IM 

d N IBD IN

 

1

2

 MIBD    

MIBD NIBD MNBD

NIBD

V

V V V

V

Mặt khác  2

3

 

MIBD IBD IBS

AC

V AO D S Từ (1) (2)

1

3

(61)

Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB AC5 ,a BC6a mặt bên tạo với đáy góc

60 Hãy tính thể tích V khối chóp đó?

A V 2a3 B V 6a3 C V 12a3 D V 18a3

Kẻ SOABC  OD OE OF, , lần lƣợt vng góc với

, ,

BC AC AB Theo định lí ba đƣờng vng góc ta có

, ,

  

SD BC SE AC SF AB (nhƣ hình vẽ)

Từ suy

60

  

ABC ABC ABC Do tam giác vuông

, ,

SDO SEO SFO Từ suy ODOEOF Vậy O là tâm đƣờng trịn nội tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên OA vừa đƣờng phân giác, vừa đƣờng cao, vừa đƣờng trung tuyến Suy A O D, , thẳng hàng D trung điểm BC Suy AD AB2BD2  16a2 4a

Gọi p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đƣờng trịn nội tiếp

Khi

.6 12

2

ABC    

S a a a pr ar Suy

2



r a

Do 3

.tan 60

  a

SO OD Vậy VS ABC 6 3a 3

Câu 26: Cho hình chóp S.ABC, có tất mặt bên tạo với đáy góc , hình chiếu đỉnh thuộc miền tam giác ABC Biết AB3 ,a BC4a AC5a Khi thể tích V khối chóp BC ?

A V 2a3tan B V 2a3cos C V 6a3tan D V 6a3cot

Phân tích : cần xác định đƣờng cao Việc tƣởng trừng nhƣ đơn gian nhƣng khơng tinh ý lại trở nên khó khăn Mấu chốt tốn la tất mặt phẳng bên tạo với đáy góc



Ta có tốn phụ sau:

Nếu tất mặt bên tạo với đáy góc chân đƣờng cao tâm nội tiếp mặt đáy

Công thức cần dùng S= p p.( a p)( b)(pc)  p r 6a2 Hay 6a2=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác)

Chiều caor.tan a.tan Vậy tan 2 tan3

3

   

V a a a

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có AC2BD4a , cạnh bên SAa 5, hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H cạnh AC cho

4

 AC

AH , M hình chiếu vng góc C SA Tính thể tích khối chóp SMBC theo a

A.

3

15 a

B.

3 a

C.

3

3 a

D. 2a3

(62)

2

3

2

4

.sin sin

5

5 10 60 15

  

      

   

    

SAC SMC

B SAC S ABCD

B SMC

SH SA AH a

AH a

AM AC MCA AC ASH AC

SA

AM S

S AS

V V SH AC BD a

V

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều,

 

SC SD a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Gọi I trung điểm AB; J trung điểm CD Gọi H hình chiếu S (ABCD) Qua H kẻ đƣờng thẳng song song với AB, đƣờng thẳng cắt DA CB kéo dài M,N Các nhận định sau

(1) Tam giác SIJ tam giác có SIJ tù (2) sin

3



SIH

(3) MSN góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD) (4) cos

3



MSN

Chọn đáp án đúng: Hƣớng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có IJ=a;

2

2 2 11

3

4

   a  a

SJ SC JC a

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có

 

2 2

2

3 11

4

cos

2

0 3

 

 

    

a a

a

IJ IS SJ

SIJ

IJ IS a

a

a a

Suy ra, tam giác SIJ tam giác có SIJ tù Từ giả thiết tam giác SAB tam giác

SCD cân đỉnh S, ta có H thuộc IJ I nằm HJ tức tam giác vuông SHI có 90



H , góc I nhọn cos I cos cos

2

 SIH   SIJ  ( SIJ SIH kề bù)

6 sin

3



SIH

Từ giả thiết giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD) đƣờng thẳng d qua S song song với AD

Theo định lý ba đƣờng vng góc ta có SNBC SM, ADSM d SN;  d MSN góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD), MN = AB = a

(63)

2

,

2 4

 a  a    a a  a 

SH HM SM SH HM SN

Theo định lý cosin cho tam giác SMN cân S có

2 2

2

2 2

2

3

1

4

cos

3

2

4

 

   

a a a

a

SM SN MN

MSN

a a

SM SN Chọn đáp án D

Câu 29: Tính thể tích V khối chóp S ABC có độ dài cạnh SABC5 ,a SB AC6a

 

SC AB a

A 35

2



V a B 35

2



V a C V 2 95 a3 D V 2 105 a 3

Qua đỉnh tam giác ABC, vẽ đƣờng thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi cắt tạo thành tam giác MNP nhƣ hình vẽ

Dễ thấy tứ diện S.MNP tứ diện vuông đỉnh S . .

4



S ABC S MNP

V V

Đặt xSM y, SN z, SP, ta có:

     

2 2 2

2

2 2

2

2 2

4 76

4 24

120

    

 

    

 

  

  



x y a x a

y z a y a

z a

z x a

3

1

2 95

4 24

VS ABC  VS MNP  xyz a

S

M

N

P B

(64)

TỈ SỐ THỂ TÍCH A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT

* Cho khối chóp S.ABC, A'SA, B'SB, C'SC * MSC, ta có:

B - BÀI TẬP

Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ lần lƣợt trung điểm SA, SB, SC; tỷ số thể tích hai khối chóp SA’B’C’ SABC là:

A 1

4 B

1

6 C

1

10 D

1

Sử dụng công thức ' ' '

' ' '

8

 

S A B C

S ABC

V SA SB SC

Câu 2: Cho hàm số S.ABC Trên cạnh SA, SB, SC lần lƣợt lấy điểm A', B', C' cho '



SA SA

; ' ; '

2

 

SB SB SC SC Gọi V V' lần lƣợt thể tích khối chóp S.ABCD S'.A'B'C' Khi tỷ số V'

V là:

A 1

8 B

1

12 C

1

6 D

1 16

Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích ta có

' ' ' ' 1 1

2 12

  

V SA SB SC

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi A', B', C', D' theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C'D' S.ABCD ?

A 1

2 B

1

3 C

1

4 D

1

SABC SA 'B'C'

V SA.SB.SC

V SA '.SB'.SC '

SABC SA 'B'C'

V SA.SB.SM SM

V  SA.SB.SC  SC

C

B A

S

A'

B' C'

A

C

B S

(65)

Ta thấy hình chóp S.ABCD S.A'B'C'D' Có chung chiều cao kẻ từ đỉnh S xuống đáy Vậy để tìm tỉ số khoảng cách cần tìm tỉ số diện tích đáy mà ta có hình vẽ nhƣ sau:

Ta thấy

2 'B'C'D'

2

' '.A'B'

2 2

A ABCD

a a

S  A D     S

 

' ' ' '

2

 A B C D 

ABCD

V V

Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự trung điểm SA SB SC, , Đặt  MNPABC SABC

V k

V Khi

giá trị k

A

7 B

7

8 C 8 D

1

Ta có 1

2 2

  

SMNP

SABC

V SM SN SP

V SA SB SC

7

8



 MNPABC  SABC SMNP   SMNP

SABC SABC SABC

V V V V

V V V

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành, M trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lƣợt P Q.Khi tỉ số thể tích khối SAPMQ khối SABCD :

A

9 B

1

8 C

1

3 D

2

Vì mp song song với BD nên PQ song song với BD Gọi O tâmhình bình hành ABCD Suy luận đƣợc SO,AM, PQ đồng qui G G trọng tâm tam giác SAC

Suy luận đƣợc tỉ số=

3

 

SQ SP

SD SB ;

Chứng minh đƣợc tỉ số thể tích :

 

SAQM SAPM

SADC SABC

V V

V V ;

Suy đƣợc: 1

3



  



SAQM SAPM SAPMQ

SADC SABC SABCD

V V V

Câu 6: Cho hình chóp S ABC M , trung điểm SB, điểm N thuộc SC thỏa SN2NC Tỉ số

S AMN

S ABC

V

A

6 B

1

5 C

1

4 D

1 3

Hƣớng dẫn giải: Chọn đáp án A.

1 1

2

  

S AMN

S ABC

V SM SN

(66)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 66 Câu 7: Cho khối tứ diện OABC với OA OB OC, , vng góc đơi

, ,

  

OA a OB a OC a Gọi M, N lần lƣợt trung điểm hai cạnh AC BC, Thể tích khối tứ diện OCMN tính theo a bằng:

A

3 a

B

a C 3 a D a Hƣớng dẫn giải:

1   COMN COAB

V CM CN

V CA CB

3

1 1

4 4

VCOMN  VCOAB  OB OC OAa (dvtt) Chọn đáp án D

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD tích 48 ABCD hình thoi Các điểm M, N, P, Q lần lƣợt điểm đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: SA2SM SB, 3SN; SC4SP SD; 5SQ

Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A

5 B C D

Lƣu ý cơng thức tỉ lệ thể tích dùng cho chóp tam giác chung đỉnh tƣơng ứng tỉ lệ cạnh Ta có:

 SMQP  

SMNP

SABC SADC

V

V SM SN SP SM SQ SP

V V SA SB SC SA SD SC

1 1 1

2

 

1 1 1 1

2 2

   

       

 

SMNPQ SMNP SMQP

SABCD SABC SADC

V V V

3

1

5

VSMNPQ   

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng cân B, ACa 2,SAa SAABC  Gọi G trọng tâm SBC, mặt phẳng   qua AG song song vsơi BC cắt SC, SB lần lƣợt M, N Thể tích khối chóp S.AMN

A 27 a B a C 27 a D 27 a Hƣớng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông BAC AB 2AB BC a

Gọi I trung điểm BC, G trọng tâm tam giác SBC

Nên

3



SG

SI mà MN song song với BC suy

2

  

SM SN SG

SC SB SI

Do

4 9     S AMN

S AMN S ACB

S ACB

V SM SN

V V

V SC SB

Mặt khác

3

1 1

3 

  

S ABC ABC

a

V SA S a a

Suy

3

4

9 27

  

S AMN S ACB

a a

V V

Câu 10: Cho khối chóp S ABC Lấy A', B' lần lƣợt thuộc SA, SB cho 2SA'3 ' ; 3A A SB'B B'

Tỉ số thể tích hai khối chóp ' 'S A B C S ABC là:

A

20 B

2

15 C

1

6 D

3 10

(67)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 67 36

5. 4=

3 20

Câu 11: Hình chop SACB có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA=a, ACa 2, AB=3a Gọi M,N hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Đặt  SAMN

SABC

V k

V , giá trị k

A

30 B

1

3 C

1

30 D

1

Hƣớng dẫn giải: Ta có k SM SN

SB SC



SAC vuông A, có AN SC N nên

2

1

2

 

     



 

SN SC SA SN SA SN

CN CA SC

CN CS CA Tƣơng tự

2

1

9 10

   

SM SA SM

BM AB SB

1 1

3 10 30

 k 

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có cạnh BA BC BD, , đơi vng góc với

3 ,

  

BA a BC BD a Gọi M N lần lƣợt trung điểm AB AD Tính thể tích khối chóp

C BDNM

A V 8a3 B

3

 a

V C

3

2

 a

V D V a3

3

1 1

2

3

1 1

4

3

  

    

   

ABDC BCD

AMNC

AMNC ABDC

ABDC

BDNM ABDC AMNC

V AB S a a a a

V AM AN AC

V V a

V AB AD AC

a

V V V

Chọn đáp án C.

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SB G trọng tâm tam giác SBC Gọi V, V’ lần lƣợt thể tích khối chóp M.ABC G.ABD, tính tỉ số

'

V V

A

'2

V

V B

4 ' 3

V

V C

5 '

V

V D '2

V V

Vì tam giác ABC ABD có diện tích nên   

 

 , 

' ,  2

d M ABCD

V MC

V d G ABCD GC

Câu 14: Cho khối chóp S.ABC Trên đoạn SA, SB, SC lần lƣợt lấy ba điểm A', B', C’ cho

1 1

' ; ' ; '

2

  

(68)

A 1

2 B

1

6 C

1

12 D

1 24

Hƣớng dẫn giải: Ta có: ' ' '

' ' ' 1 1

2 24

  

S A B C

S ABC

V SA SB SC

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D SA vng góc với mặt đáy

(ABCD); AB2a, ADCDa Góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy (ABCD) 60o Mặt phẳng (P) qua CD trọng tâm G tam giác SAB cắt cạnh SA, SB lần lƣợt M, N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp S ABCD

A . 14 .

27



S CDMN S ABCD

V V B . .

27



S CDMN S ABCD

V V

C

10 27

 S ABCD

S CDMN

V

V D

2

 S ABCD S CDMN

V

Đặt V VS ABCD. , ta có: VS.CDA 1VS.ABCD; VS.ABC 1VS.ABCD

3

 

Mặt phẳng (P) qua CD trọng tâm G tam giác SAB cắt cạnh SA, SB lần lƣợt M, N Khi MN AB

SM SN

SA  SB 3

Ta có:

2

2 2

3

2

3 27

    

 

     

  S CDM

S CDM S CDA

S CDA

S MNC

S MNC S ABC

S ABC

V SC SD SM

V V V

V SC SD SA

V SM SN SC

V V V

V SA SB SC

Bởi vậy: . . . 14

9 27 27

    

S CDMN S CDM S MNC

V V V V V V

Câu 16: Cho tứ diện ABCD Gọi B’ C’ lần lƣợt thuộc cạnh AB AC thỏa 3 AB'AB 3AC' AC Khi tỉ số thể tích hai khối tứ diện  AB C D' '

ABCD

V k

V bằng:

A

3



k B k 9 C

6



k D

9



k

Áp dụng toán tỉ số thể tích

9



k

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC Gọi M,N,P tƣơng ứng trung điểm SA,BC AB Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh S, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số

2

V V

A. B 1 C 1

3 D

1

(69)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 69 Do (MNP) (SAC) có M điểm chung AC//PN

Từ M kẻ MQ//AC(QSC)=> (MNP) cắt SC Q Ta có:

1

 

SABC SMPBNQ AMQCNP

V V

V V V

) V

 AMQCNP VMAPN VMANC VMQCN

1 1

( ;( )) ( ;( ))

2 2

1 (A;(SBC))    ABC ABC SBC

d S ABC S d S ABC S

d S

1

1 1 1

( ) V

8 2

   SABC  VSABC VSMPBNQ  VSABC V 

V

Câu 18: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cúa SA, SB Tỉ số thể tích

?  S CDMN S CDAB V V

A

2 B

3

C

8 D

1

3

2



  



  

S CDMN S CDM S CMN S CDM S CMN

S CDAB S ACD S ABC S ACD S ABC

V V V V V

SM SM SN

SA SA SB

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B Biết SA vng góc với mặt phẳng (ABC), ABa BC, a 3,SAa Một mặt phẳng   qua A vng góc SC H cắt SB K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a

A AHK 20  S a V B 30  S AHK a V C 60  S AHK a V D 90  S AHK a V

Ta có   

            

AK SC AK

AK BC BC SAB , suy

 

  

AK SBC AK SB

Vì SAB vng cân A nên K trung điểm SB Ta có:

 

S AHK

S ABC

V SA SK SH SH

V SA SB SC SC Ta có

2 2

  

AC AB BC a

2

5

  

SC AC SA a ,

2

.SC

5

  

SH SH SA

SC SC SC

S

M N

A B C D A M S Q C B

(70)

1

2 10

 S AHK  

S ABC

V SH

V SC , lại có

3

1

3

 

S ABC

a

V SA AB BC

Vậy 60  S AHK a V

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau;

AB = a 3, AC = 2a AD = 2a Gọi H, K lần lƣợt hình chiếu A DB DC, . Tính thể tích V tứ diện AHKD

A 3

21

V  a B 3



V a C 3

21



V a D 3

7



V a

Ta có :

2

2 2

1 D

2     D AHK D ABC

V SA SK DH DH B AD

V SA SC DB DB AD AB

2

1

2

   a a a

1 1

3 3

  

D ABC ABC

a

V DA S a a a

Suy

3

4

21

 

AHKD D AHK

a

V V

Câu 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V với đáy hình bình hành Gọi C’ trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AC’ song song với BD cắt cạnh SB,SD lần lƣợt B’; D’ Khi thể tích khối chóp S.A’B’C’D’

A

3

V

B 2

3 V C V D V Hƣớng dẫn giải:

Phân tích: Để giải đƣợc tốn em cần dựng đƣợc mặt phẳng qua AC’ song song với BD sau tìm giao điểm với cạnh SB, SD

Để dựng đƣợc mặt phẳng qua AC’ song song với BD ta làm nhƣ sau: Gọi O giao điểm AC BD, gọi I giao điểm SO AC’ Qua I kẻ B’D’ song song với BD, ta có mặt phẳng cần tìm mặt phẳng (AD’C’B’)

Ta dễ dàng nhận thấy I trọng tâm tam giác SAC nên

3



SI

SO

Theo định lí Ta lét ta có ' '

3

SD SI SB

SD  SO SB 

Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác (tứ diện) ta có: ' ' ' ' 1

3

  

SAD C

SADC

V SA SD SC

' ' ' ' 1

3

  

SAB C

SABC

V SA SB SC

Mà

2

 

SADC SABC SABCD

V V V nên ' ' ' ' ' ' ' 1.2.1

2

   

SAD C B SAD C SAB C SABCD

V

V V V V

(71)

Câu 22: Cho tứ diện ABCD có DA1,DAABC  ABC tam giác đều, có cạnh Trên cạnh DA DB DC, , lấy điểm M, N, P mà 1, 1,

2

  

DM DN DP

DA DB DC Thể tích tứ diện MNPD

bằng:

A

12



V B

12



V C V

96

 D

96



V

D

1 3

.1

3 12

 

ABC

V

1

2

  

DMNP

DABC

V DM DN DP

V DA DB DC

1 3

8 12 96

VDMNP  Chọn đáp án C

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác SABCD, M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD cắt SB, SD N, K Tính tỉ số thể tích khối S.ANMK khối chóp S.ABCD

A

2 B

9 C

3 D

Trong mặt phẳng (SAC) gọi G giao điểm AM SO Ta có G trọng tâm tam giác SAC Trong mp(SBD) kẻ đƣờng thẳng qua G song song với BD cắt SB,SD N K

Gọi VS ANMK. VS ANM. VS AKM. Ta có :

2 1

3

  

S ANM

S ABC

V SN SM

V SB SC

1

3

VS ANM  VS ABC  VS ABCD

2 1

3

  

S AKM

S ADC

V SK SM

V SD SC

1

3

VSAKM  VSADC  VSABCD

1



S ANMK S ABCD

V V

Câu 24: Cho chóp tứ giác SABCD Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC cắt SB SC SD, ,

’, ’, ’

B C D Biết AB = a, '

3



SB

SB Tính thể tích V tứ diện SAB’C’D’

A.

2



V a B

14



V a C 28

3



V a D.

3

6 18

 a

V

Chọn đáp án D.

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc (SCD) (ABCD) 450 Gọi H K lần lƣợt trung điểm SC SD Thể tích khối chóp S.AHK là:

A

24

a

B 12 a

C a

(72)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 72 Hƣớng dẫn: (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy SAABCD 

   

 

, 45

 SCD ABCD SDA SAADa

2

1

.S

3 

  

S ACD SCD

a a

V SA a

3

1

4 24

    

S AHK

S AHK S ACD

S ACD

V SH SK a

V V

V SC SD

Câu 26: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm cạnh SC N điểm thuộc cạnh SD cho SN2ND Tính tỉ số thể tích k hai đa diện SABMN khối chóp S ABCD

A

6



k B

12



k C

3



k D

6



k

+ Do ABCD hình bình hành nên

1

ABC  ADC  S ABC  S ADC  S ABCD

S S V V V

+ Ta có

1

1 2 4

2

    

S ABM S ABM S ABM

S ABC S ABCD

S ABCD

V SM V V

V SC V V

và

2 1

1 3 2 6

2

    

S ANM S ANM S ANM

S ADC S ABCD

S ABCD

V SN SM V V

V SD SC V

V

+ Suy

1 5

4 12 12



      

S ABM S ANM S ABM S ANM SABMN

S ABC S ADC S ABCD S ABCD

V V V V V

V V V V

+ Vậy

12



k

Câu 27: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ M trung điểm CC’ Gọi khối đa diện (H) phần lại khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau cắt bỏ khối chóp M.ABC Tỷ số thể tích (H) khối chóp M.ABC là:

A 1

6 B C

1

5 D

Gọi M trung điểm CC’ Theo ta có: ABC '

2

 

M C ABC

V V aVC ABC' 2a

Ta lại có ' ' ' '

1

2

 

C ABC AA B C

V V a nên ta có  H VAA B C' ' 'VMABC' 2.2a a 5a Vậy  

5



M ABC H V

(73)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 73 A 3

8

V

B 8

3 V C V D V Hƣớng dẫn giải:

Ta có:  ;   1



QBMN BMN

V d Q BMN S Rõ ràng ta nhận

thấy hình tứ diện QBMN hình hộp ABCDA B C D có ' ' ' ' chiều cao Nên ta tìm tỉ lệ BMN

ABCD

S

Ta có SABCD SDMN SABM SBNC SBMN SBMN SABCDSDMN SAMBSBNC Mặt khác ta có 1 1;

2

  

DMN DMN

ABCD ADC

S S

1 1

2 2

ABM ABM

ABCD ABD

S S

S  S  

Tƣơng tự

4

 BNC

ABCD

S

S ,

1 1

1

8 4

 

    

  ABCD

SBMN S 3 2

8 BMN ABCD S S  

Từ (1) (2) suy 3 8

 

QBMN

ABCD V

8

VQBMN V Chọn đáp án C

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V Lấy điểm A’ cạnh SA cho

1 '

3



SA SA Mặt phẳng qua A’ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, , lần lƣợt B’, C’, D’ Khi thể tích chóp S.A’B’C’D’ bằng?

A V B V C 27 V D 81 V

Vì A B C D' ' ' ' / / ABCDA B' '/ /AB B C, ' '/ /BC C D, ' '/ /CD

Mà: ' ' ' '

3

    

SA SB SC SD

SA SB SC SD Gọi V V lần lƣợt 1, VS ABC ,VS ACD

Ta có: V1V2 V

' ' '

27 27

S A B C

S A B C S ABC

V SA SB SC V

V

V  SA SB SC   

' ' '

27 27

   

S A C D

S A C D S ACD

V SA SC SD V

V

V SA SC SD

Vậy

' ' ' ' ' ' ' ' '

27 27



   

S A BC D S A B C S A C D

V V V

Câu 30: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (MB’D’) chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A. 12 B. 17 C. 24 D. 17

(74)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 74 + Lập thiết diện khối hộp qua mặt phẳng

(MB’D’) Thiết diện chia khối hộp thành hai phần có AMN.A’B’D’

+ Lấy N trung điểm AD → MN đƣờng trung bình tam giác ABD

MN / /BD

 MN 1.BD

2



=> MN / / B'D' MN 1.B' D '



=> M,N,B’,D’ đồng phẳng với nhau=> Thiết diện MNB’D’

Nhận thấy AMN.A’B’D’ hình đa diện đƣợc tách từ K.A’B’D’ ( K giao điểm MB’,ND’ AA’) + Áp dụng định lý Ta lét ta có :

KA KM KN MN

KA 'KB'KD ' B' D ' 2,

K.AMN K.A 'B'D'

V KA KM KN

V  KA ' KB' KD '8

AMN.A 'B'D' K.A 'B'D'

7 1 1

V V KA '.A'B'.A'D' 2AA '.A ' B'.A ' D '

8 8 24

     Shình hộp

 Tỷ lệ phần

17

Chọn đáp án B.

Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh SA SD, Mặt phẳng( ) chứa MN cắt cạnh SB, SC lần lƣợt Q, P Đặt SQ x

SB , V thể 1

tích khối chóp S MNQP , V thể tích khối chóp S ABCD Tìm x để 1

2



V V

A 33

4

  

x B x C

2



x D 41

4

  

x

(HS tự vẽ hình) Ta có . .

2

 

S ABD S BCD

V

V V , V1 VS MNQ VS NPQ

+) Vì MN//BC nên PQ//BC SP  SQ  x

SC SB

+)

4

 

S MNQ

S ABD

V SM SN SQ x

V SA SD SB

4

2

VS MNQ  x VS MNQ  x

V V ;

1

2

 

S NPQ

S BCD

V SN SQ SP

x

V SD SB SC

2

4

VS NPQ  x

V

+) Ta có:

2

1

1 1

2



 VS MNQ VS NPQ   x x 

V V

V Suy đáp án

Câu 32: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SAABCD góc hai mặt ; phẳng (SBD) (ABCD) 60o Gọi M, N lần lƣợt trung điểm SB SC, Thể tích hình chóp S.ADNM bằng:

A

a

B 3

a

C 3

8 a

D

6

(75)

- Diện tích đáy

-Tỉ số tỉ số

-Vì nên

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AK cắt cạnh SB, SD lần lƣợt M, N Gọi V, V’ lần lƣợt thể tích khối S.ABCD S.AMKN Tỉ số V'

V có giá trị nhỏ là:

A 1

5 B

3

8 C

1

3 D

1

Hƣớng dẫn giải: Hs tự vẽ hình

Đặt ; ' . .    1

4

    S AMK  S ANK  

SM SN V

x y V V V x y

SB SD

Mặt khác ' . .  2

4

 S AMN  S MNK 

xy

V V V V

Từ (1) (2) có: x  y  3xy

 

1 1

, , 1

3 3 2

'

,

4

 

               

   

 

    

  

x SN x

y y x y x x

x SD x

V x

x

V x

Xét hàm số  

 

3

1

4

 

    

  

x

f x x

x F(x) đạt GTNN

1 3

Câu 34: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lƣợt M, N, P, Q Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lƣợt hình chiếu M, N, P, Q mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM: SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn

A.

2 B.

2

3 C.

3

4 D.

1

Hƣớng dẫn giải: + Áp dụng định lý talet

Đặt SM k

SA Áp dụng định lý Talet Tam giác SAD

có MN//AD

MN SM

k MN k.AD

AD  SA   

(76)

B

h

.AB

   

MQ SM

k MQ k

AB SA Kẻ đƣờng cao SH hình chóp

Áp dụng định lý Talet Tam giác SAH có MM’//SH

 

'

1 '

       

MM AM SM

k MM k SH

SH SA SA

   

' ' ' ' ' D

VMNPQ M N P Q MN MQ MM A AB SH k k Vhinh chopk k

V 1

   

k k k

Câu 35: Cho khối tứ diện tích V Gọi V thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V

V



A

2

V V



 B

4

V V



 C

3

V V



 D

8

V V

  Hƣớng dẫn giải:

Ta có

1

A QEP B QMF C MNE D NPF A QEP B QMF C MNE D NPF

V V V V V V V V V

V

V V V V V V

   



     

1 1 1 1 1 1 1

1

2 2 2 2 2 2 2

     

HÌNH LĂNG TRỤ A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Thể tích khối lăng trụ: V= B.h

với B diện tích đáy, h chiều cao

Q P

N M

D

C B

A

(77)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 77 2) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

với a, b, c ba kích thƣớc

3) Thể tích khối lập phƣơng: V = a3

với a độ dài cạnh

B – BÀI TẬP

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Câu 1: Thể tích (cm3) khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy cạnh bên 2cm là:

A

2 B

3

2 C D

2

Dễ dàng tính đƣợc V =

2

Câu 2: Thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên 2a là: A

3

2

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

2

3

.AA '

4

 ABC  

a a

V S a nên chọn C

Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABC A B C   có đáy ABC tam giác vuông B.AB = 2a, BC = a,

 

AA a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C    A

3

2

3

a

B

3

a

C 4a3 D 2a3

3

1

' 3

2



 ABC  

V S AA a a a a

Câu 4: Gọi V thể tích hình lập phƣơng ABCD A B C D ' ' ' ' V thể tích tứ diện 1 A ABD' Hệ thức sau ?

A V 6V1 B V 4V1 C V 3V1

D V 2V1 Hƣớng dẫn giải:

(78)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 78 Ta có V SABCD.AA'; 1 '

3

 ABD

V S AA

Mà

1

1 '

6

2

'

3

   ABD 

ABD ABCD

ABD

V S AA

S S

V

S AA

1

 V V

Chú ý nhiều độc giả tƣ nhanh nên xét tỉ số diện tích đáy mà quên với khối chóp cịn tích với

3 nữa, nhanh chóng chọn ý D sai Vì thế, nhanh nhƣng cần phải

xác bạn Chọn đáp án A

Câu 5: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’

2 2a Thể tích khối lập phƣơng ABCD.A'B'C'D' là:

A

2 2a B 2a3 C

2a D a3

Để tính đƣợc thể tích hình lập phƣơng ta cần biết cạnh hình lập phƣơng đó, từ liệu diện tích mặt chéo A’ACC’ ta tính đƣợc cạnh hình lập phƣơng

Gọi cạnh hình lập phƣơng x suy

' '

A C x Diện tích mặt chéo A’ACC’

2  

x x a x a Thể tích hình lập phƣơng V x3 2 2a3

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 45o.Thể tích lăng tru là:

A

2

a

B

3

a

C a3 D.

2

a

Hƣớng dẫn giải: - ABC450

- AC AB 22aAB 2ABBCAA'a

-

'

2

 

V AB BC AA a

Câu 7: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA1 Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

A

3

3 12

 a

V B

3

3 24

a

V C

3

a

V D

3

a

(79)

ABC tam giác cạnh a nên có diện tích

2

3

 ABC

a S

Ta có AA1

2

  a

AM

Hai tứ diện MABC MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB MA1B nên tích nhau, suy

1

3

1

3 24

  

M BCA M ABC ABC

a

V V AM S

Câu 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a Gọi N, I lần lƣợt trung điểm AB, BC; góc hai mặt phẳng (C’AI) (ABC) 60o Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?

A 32 3a3 B 32 a

C

3

3 32

a

D

3

a

Ta có C AI'  , ABCCIC60o

Mặt khác tan ' ' ' tan '

2

CC   a

CIC CC CI CIC

CI

Ta có

2

1 3

4 4 16

  

ANI ABC

a a

S S

3

'

1 3

'

3 2 32

 C NAI  NAI  

a a a

V CC S

Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác ABC vng cân ’ ’ ’ B BA, BCa A B, ’

tạo với (ABC) góc 600 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: ’ ’ ’ A

3

a

B

3

a

C 3a 3 D a

Góc A”B đáy góc

Vậy thể tích lăng trụ : Chọn đáp án A

Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a    A BC   hợp với mặt đáy ABC góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

A

3 12

a

B

3 24

a

C

3 24

a

D

5 24

a

0

' 60 , '

ABA  AA a

2

ABC

a

S 

3

'

2

ABC

a

(80)

B C B' C' M A A'

Gọi M trung điểm cạnh BC Ta có SAABC AM hình chiếu vng góc A M ABC , nên  A BC  , ABC góc 

0

30

 

A MA

Xét A MA vuông A Ta có

3

.tan tan 30

2

   a  a

A A AM A MA

2

1 3

2

 a  a

S a

Vậy

2

1 3

3 24

     

A ABC ABC

a a a

V S A A

Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác cạnh ' ' ' a Mặt phẳng AB C tạo với ' ' mặt đáy góc

60 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' '

A

3

 a

V B

3

4

 a

V C

3

a

V D

3

8

 a

V

Vì ABC A B C lăng trụ đứng nên ' ' ' AA'ABC  Gọi M trung điểm B C , tam giác ' ' A B C ' ' ' Nên suy A M' B C ' '

Khi    

60  AB C' ' , A B C' ' '  AM A M, '  AMA ' Tam giác AA M' , có

3 '

2

a

A M ; ' ' tan '

2

  a

AA A M AMA

Diện tích tam giác

2 ' ' '

3

A B C 

a S Vậy 3 ' 

 ABC 

a

V S AA (đvtt) Chọn đáp án D

Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=3a, BC= , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ

A a B a C a D 6 a

2

1

.3

2 2

ABC   

a

S AB BC a a

Đƣờng cao /

AA  ABtan 60o 3a

Vậy

2

/

.AA 3

2



 ABC  

a a

V S a

(81)

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A, ACa,

0

60



ACB Đƣờng chéo BC' mặt bên (BB'C'C) tạo với mặt phẳng mp AA C C góc 30 ' '  Tính thể tích khối lăng trụ theo a là:

A 34

3



V a B V a3 C 32

3



V a D

3



V a

Tính đƣợc AB = a 3; SABC =

3

a

; Góc AC’B = 300 nên AC’ = 3a Pitago cho tam giác vuông ACC’ tính đƣợc CC’ = 2a Từ đóV a3 Chọn đáp án B

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vng A, ' ' '

, 60

 

AC a ACB Đuòng chéo B’C mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a

A

15

a

B a3 C

3

15 12

a

D

15 24

a

Vì A B' 'ACC suy ' ' '30

B CA góc tạo đƣờng chéo BC’ mặt bên (BB’C’C) mặt phẳng (AA’C’C) Trong tam giác ABC ta có

sin 60

 a

AB AB

Mà AB A B' 'A'B'a

Trong tam giác vng A’B’C’ ta có: ' ' 0 tan 30

 A B 

A C a

Trong tam giác vuông A’AC ta có: 2

' '  2

AA A C AC a

Vậy

2

3

'.S 2

2



  

LT ABC

a

V AA a a

Chọn đáp án B.

Câu 15: Hình lập phƣơng ABCD A B C D có độ dài đƣờng chéo a Khi thể tích khối tứ diện ’ ’ ’ ’ AA’B’C’

A 3

a

B

3 18

a

C

3

a

D

2 18

a Hƣớng dẫn giải:

Gọi x cạnh hình lập phƣơng ta có AA'2A C' '2 AC'2

2 2

( 2)

 

x x a  x a/

V=

3 ' ' '

1

'

3 A B C 6 18

a

S AA x

(82)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 82 Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ABa BC, 2 ,a AA'a Lấy điểm M cạnh AD cho AM 3MD Tính thể tích khối chóp M.AB’C

A

3 '

2

 M AB C

a

V B

3 '

4

 M AB C

a

V C

3 '

3



M AB C a

V D

3 '

3



M AB C a V

Thể tích khối chóp M.AB’C thể tích khối chóp B’.AMC Ta có :

2

3

4

AMC  ADC 

a

S S

Do

3 ' ' AMC

3

 

M AB C B

a

V V

Câu 17: Khối lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ tích

a Tính độ dài A’C

A A C' a B A C' a C A C' a D A C' 2a

Ta có: A C'  AB2AD2 AA'2

Mà

', '

   

AB AD AA V AB AD AA a

, , '

  

AB a AD a AA a Suy A C' a

Câu 18: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ Tính thể tích V hình lập phƣơng biết khoảng cách từ trung điểm I AB đến mặt phẳng A’B’CD

2 a

A

3

 a

V B V a3 C V 2a3 D V a3

Gọi điểm nhƣ hình vẽ bên IH I J' Đặt cạnh



AB x suy

2

 x  a  

IH x a Vậy V a3

(83)

Câu 19: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BCD’)

2

a

Tính thể tích hình hộp theo a

A V a3 B

3

21

a

V C V a3 D

3

 a

V

Gọi H hình chiếu A lên cạnh A’B

3

' '

2

AH  A BCD AH a

Gọi AA' x Áp dụng hệ thức cạnh đƣờng cao tam giác AA’B:

2 2 2

1 1 1

'

    

AH AA AB a x a

2

3

x  a  x a

3 ' ' ' ' '  

ABCD A B C D

V AA AB AD a a a a

Câu 20: Ngƣời ta gọt khối lập phƣơng gỗ để lấy khối tám mặt nội tiếp ( tức khối cố đỉnh tâm mặt khối lập phƣơng) Biết cạnh khối lập phƣơng a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó:

A a

B 12 a

C a

D a Hƣớng dẫn giải:

Tính tính đƣợc cạnh hình bát diện a

Thể tích hình bát diện có cạnh a

3

3 2

3

 

 

 

 

a

a V

nên

Nhận xét: Ta có cơng thức tính thể tích hình bát diện cạnh x

3

2

 x

V

Câu 21: Đƣờng chéo hình hộp chữ nhật d, góc đƣờng chéo mặt đáy , góc nhọn hai đƣờng chéo đáy  Thể tích hình hộp là:

A os2 sin sin

2d c    B

3

1

os sin sin

3d c   

C d3sin2cos sin  D 1 3sin2 os sin

2d c  

Tính đƣợc: cos D=1 cos

   

BD d O d DD'dsin

Tính đƣợc : cos sin cos sin

2 2

 

    

(84)

Tính đƣợc: 2

cos os

2



   

BC BD CD d c …

Câu 22: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy ' ' ' a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( 'A BC)

2

a

Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

A

2 16

a

B

3

48

a

C

3

3 12

a

D

3

16

a

Hƣớng dẫn giải: HS tự vẽ hình

Đặt chiều cao lăng trụ h gọi M trung điểm BC ta có hệ thức

 

2

2 2 2 2

1 1 4 6

, '     3 3      4  16

a a a a

h V S h

d A A BC h AM h a a a

Câu 23: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a , mặt phẳng () cắt cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lƣợt M, N,P,Q Biết AM=

3a, CP =

5a Thể tích khối đa diện

ABCD.MNPQ là: A 11

30a B

3 a

C

3 a

D 11

15a

Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I thuộc đoạn OO’

Ta có: 11

2 30



 AM CP   a

OI a

Gọi O1 điểm đối xứng O qua I : OO1=2OI =

11

15a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’

Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lƣợt

A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp

ABCD.A B1C1D1 Vậy V(ABCD MNPQ)=V(

MNPQ.A1 B1C1D1) =

2

1 1 1

1 11

( )

2V ABCD A B C D  2a OO 30a

Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ,

60



D và SA vng góc với

ABCD Biết thể tích khối chóp  S ABCD a

Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng

SBC 

A

5

 a

k B

5



k a C

5

 a

k D

3



k a Hƣớng dẫn giải:

Diện tích đáy

2

3

 ABCD

a S

A

B

C

D

A’

B’ C’

D’ M

N

P

Q . O

(85)

3

2

3

1 2

3 3

2

    

a

V B h B SA SA a

a

   

       BC AM BC SAM BC SA

   



BC SBC

Từ  1   2  SAM  SBC 

SAM SBCSM Kẻ AH SM AH d A SBC ,  Xét SAM vuông A Ta có

2 2 2

1 1

3 3

    

AH SA AM a a a

2

2 3

5

AH  a AH  k a Chọn đáp án B

Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh bàng    a Mặt bên  

ABB A có diện tích a2 Gọi M N, lần lƣợt trung điểm A B A C ,  Tính tỉ số thể tích hai khối chóp A AMN  A ABC 

A

   A AMN A ABC V

V B

   A AMN A ABC V

V C

   A AMN A ABC V

V D

   A AMN A ABC V V

Hƣớng dẫn giải: Ta có :

       A AMN A ABC

V A M A N

V A B A C

M trung điểm A B

2     A M A B

N trung điểm củaA C 

2     A N A C

1 1

2

    A AMN A ABC V V

Câu 26: Cho lăng trụ tam giác ABCD A B C có tất cạnh a M trung điểm cạnh ' ' '

AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với CB’, cắt cạnh BC, CC’, AA’ lần lƣợt N, E, F Xác định N, E, F tính thể tích khối chóp C MNEF

A 128 a B 128 a C 21 128 a D 128 a Hƣớng dẫn giải:

Xác định N E D, , Gọi I, J lần lƣợt trung điểm BC, CC’ Khi mp (AIJ)B C' Suy mp (P) qua M song song mặt phẳng mp(AIJ) Do MN AI NE, IJ;EF AJ

Tính thể tích khối chóp C.MNEF Thấy ENC góc mặt phẳng (P) mp(ABC) Tứ giác MNCA hình chiếu vng góc tứ giác MNEF mp(ABC)

Suy ( ) ( )

cos

 dt MNCA

dt MNEF

(86)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 86 Ta có

2

3

, ( )

4



 a

ENC dt ABC

Suy ra:

2

3

( ) ( ) 4 32

( )

1 32

cos

4

 

   

a a

dt ABC dt BMN a

dt MNEF

Mặt khác ( , ( )) 3

4

 a  a

d C mp MNFEF

Gọi V thể tích khối chóp C.MNEF, ta có:

2

1 7

3 32 128

 a a  a

V

Câu 27: Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy hình thoi diện tích S ’ ’ ’ ’ 1, tứ giác ACC’A’ BDD’B’ có diện tích lần lƣợt S2, S3 Thể tích khối hộp ABCD A B C D tính theo S ’ ’ ’ ’ 1, S2, S3 ?

A

2 S S S

B 1 2 3

3 S S S C

1 3 S S S

D

2 S S S Hƣớng dẫn giải:

Gọi đáy hình hộp có độ dài đƣờng chéo ACa BD, b đƣờng cao hình hộp ’ ’

AA BB c Suy đƣợc 1

2



S ab ; S2  AC.AA' ac;

2 2 '

2

    a b c

S BD BB bc S S S

Thể tích khối hộp là:

2 2

1

2 2

   a b c  S S S

V S c abc

Câu 28: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng tích V Để diện tích tồn phần lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ bằng:

A V

B 3V2 C 3V D V Hƣớng dẫn giải:

Gọi x h, lần lƣợt cạnh đáy chiều cao lăng trụ Có V x h2  h V2 x

3

2 2 3 2

2 4 2  2.3

         

 

tp

V V V V V

S x xh x x x V

x x x x x

Dấu “=” xảy  V  

x x V

x

Câu 29: Cho hình lập phƣơngABCD A B C D Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phƣơng thành ’ ’ ’ ’ phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn :

A 1

3 B

1

6 C

1 D

2 10

Nhìn vào hình vẽ ta thấy phần hình lập phƣơng ABCD A B C D chia mặt phẳng ’ ’ ’ ’

(87)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 87 Tỉ lệ cần tính '

' ' ' ' ' 

 BCC D

ABCD A B C D BCC D

V T

V V

Giả sử hình lập phƣơng có cạnh

' ' ' ' 1 VABCD A B C D  

Hình chóp BCC’D có đáy tam giác vng cân DCC’, đỉnh B, đƣờng cao BC

' '

1 1

.1.1.1

3

VBCC D BC SDCC   ,

1

6

1 5 10

1

  



T

Câu 30: Cho hình lập phƣơng ABCD A B C D I trung điểm BB’ Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập ' ' ' ' phƣơng thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:

A 1:3 B 7:17 C 4:14 D 1:2

Coi nhƣ khối lập phƣơng có cạnh

Để giải toán này, ta phải xác định thiết diện cắt mặt phẳng DIC'

Lấy M trung điểm AB IM đƣờng trung bình tam giác ABB’ nên IM / /AB'/ /DC '

Suy bốn điểm I M C D, , ' thuộc mặt phẳng C ID '  Thiết diện cắt mặt phẳng DIC' tứ giác C DMI ' Phần tích nhỏ khối đa diện C IBMDC '

Để thuận tiện tính tốn ta chia khối thành phần tứ diện IMBD hình chóp DIBCC’

1 1 1 1

.1

3 2 24

   

IMBD BDM

V IB S IB DA MB

 

' '

1 1 1 1

' 1

3 2 2

 

      

 

D IBCC IBCC

V DC S DC IB CC BC

Suy thể tích khối tích nhỏ ' 1

24 24

    

n IMBD DIBCC

V V V

Thể tích phần lớn ' ' ' ' 17

24 24

    

l ABCDA B C D n

V V V

Vậy tỉ lệ cần tìm V Vn: l 7 :17

Nhận xét: Đây tốn khó địi hỏi khả dựng hình xác định điểm phù hợp thí sinh Có số bạn xác định thiết diện gặp khó khăn việc tính thể tích phần chưa chia khối thể tích thành hình nhỏ để tính cho phù hợp

Câu 31: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’CD’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài phía A’ lấy điểm M cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C’D’ Tính giá trị nhỏ MN?

A 3a B 2a C 3a D 2a

Đây toán sử dụng phƣơng pháp tọa độ hóa Đối với việc tọa độ hóa Đối với việc tọa độ hóa việc quan trọng cẩn thận xác

(88)

MD NC cắt '  ADD A theo giao tuyến ' ' MD' cắt

(BCC B' ') theo giao tuyến CN MD'/ /CN Lại có MD'(0; ;a am NC); '(0;an a; )

Suy    

 

a a m an

m

a n a n a

Có MN2 AB2BN2AM2a2m2n2

2 2

2

   

 

       

 

   

 

 



an n an a

MN n a

n a n a

n an a

MN

n a

Xét hàm số

2

( )  



n an a

f n

n a 0;

Ta đƣợc MN đạt giá trị nhỏ 3a n2a Chọn đáp án A

Câu 32: Ngƣời ta muốn xây bồn chứa nƣớc dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp lần lƣợt m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao cm Hỏi ngƣời ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nƣớc? (Giả sử lƣợng xi măng cát không đáng kể )

A 1182 viên; 8800 lít B 1180 viên; 8820 lít

C 1180 viên; 8800 lít D 1182 viên; 8820 lít Hƣớng dẫn giải:

Gọi V thể tích hình hộp chữ nhật, có

5.1.2 10

 

V m

Ta có VH 0,1.4,9.20,98m3 VH' 0,1.1.20, 2m3

Do

' 0,98 0, 1,18

   

H H

V V m Mà thể tích viên gạch

0, 2.0,1.0,05 0,001m

 

G

V

Nên số viên gạch cần sử dụng là: ' 1,18

1180 0,001



 

H H

G

V V

V viên gạch

Thể tích thực bồn VB10 1,18 8,82m3VB 8820dm3 8820l Chọn đáp án B

(89)

A 9,6 triệu đồng B 10,8 triệu đồng C 8,4 triệu đồng D 7,2 triệu đồng Hƣớng dẫn giải:

Theo hình vẽ ta có xyh3,

2

1,6

2 1,6

    

h x x y y

x

Tổng diện tích mặt bể cá

2 2

1,6 6, 4

2 4 12

           

S xy xh yh x x x

x x x x x

Đẳng thức xảy x1

Vậy tổng diện tích tối thiểu 12 m2, suy số tiền tối thiểu cần 9,6 triệu Chọn đáp án A

Câu 34: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp nhôm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng nhƣ hình vẽ dƣới để đƣợc hình lăng trụ khuyết đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?

A. x20 B. x15 C. x25 D. x30

Ta có PN60 2 x , gọi H trung điểm PN suy AH  60x900

      

1

60 60 900 60 15 225

2

ANP       

S x x x x f x , chiều cao khối lăng trụ

khơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max f(x) max

  45 20    

' 20, 20 100 3, 15

15 225

 

     



x

f x x f f

x

 

max f x 100 x20 Chọn đáp án A

Câu 35: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích  3

V m , hệ số k cho trƣớc (k- tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x y h, , 0 lần lƣợt chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x y h, , 0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu x,y,h lần lƣợt

A.  

   

3

3 2

2

2 2

2 ; ;

4

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

B.  

   

3

3 2

2

2 2

; ;

4

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

C.  

   

3

3 2

2

2 2

; ;

4

 

  



k V kV k k V

x y h

(90)

D.  

   

3

3 2

2

2 2

; ;

4

 

  



k V kV k k V

x y h

k k

Gọi x y h x y h, ,  , , 0  lần lƣợt chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k   h h kx

x     x2

V V

V xyh y

xh k

Nên diện tích tồn phần hố ga là:

2 1

2 2x x

x



    k V 

S xy yh h k

k

Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ  

2

4



 k V

x

k

Khi

 

3 2

2

2 ,

4

2



 



k k V

kV

y h

k

(91)

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN

Câu 1: Cho khối lăng trụ tam giácABC A B C tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích ' ' ' khối tứ diện AB C C là: ' '

A 12,5 (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 7,5 (đơn vị thể tích) D 5 (đơn vị thể tích)

Khi ta so sánh trực tiếp đƣợc, nhiên ta suy luận nhanh nhƣ sau: Khối B'ABC có chung đƣờng cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC)

chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC A'B'C' Do '

' ' '

1

 B ABC

ABCA B C

V V

Tƣơng tự ta có ' ' ' ' ' '

1

 AA B C

ABCA B C

V

V ,

' ' ' ' ' ' 'C

1 30

10

3

VAB C C  VABCA B C VAB C  

Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 300 có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ

A 340 B 336 C 274 D 124

Ta có : SABC  21(21 13)(21 14)(21 15)   84 Gọi O hình chiếu A’ (ABC)

'

A AO vuông O cho ta :

'  '.sin 30 4

A O AA

Vậy : VABC A B C ' ' ' 84.4336 Chọn đáp án B

Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên AA C C tạo với đáy góc ' '  450 Thể tích khối lăng trụ bằng:

A

3 ' ' '

3 32

 ABC A B C

a

V B

3 ' ' '

3 16

 ABC A B C

a

V C

3 ' ' '

3

 ABC A B C

a

V D

3 ' ' '

3

 ABC A B C

a V

Gọi H trung điểm AB  ’A H ABC  Vẽ HKAC K  góc A’KH = 45°

3

; 60 '

2 4

 AB  a   a    a

AH HK AH sin A H HK

2

' ' '

3 3

'

4 16

  

ABC A B C ABC

a a a

V A H S

(92)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 92 Chọn đáp án B

Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có

3; , 30

  

AC a BC a ACB Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc

60 mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho BC=3BH mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A

9 a

B 19

4 a

C

9

a

D

Từ giả thiết, áp dụng định lí cosin tam giác AHC ta tính đƣợc AH=a

Do ( ' ) ( ) ( ) ' 600

( ' ) ( )

 

   

 



A BC ABC

AH ABC A AH

A AH ABC

Do AA' H vuông H =>

'  ( ';( )) tan 60 

A H d A ABC AH a

3

' ' '

1

( ',( )) sin 30

2

VABC A B C SABCd A ABC  a a a  a

Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' ' A ABC hình chóp tam giác cạnh đáy ' ABa Biết độ dài đoạn vng góc chung AA' BC

4

a

Tính thể tích khối chóp A BB C C ' ' '

A

5 18

a

B

3

3 18

a

C

3 18 a

D

3

15 18

a

Gọi O tâm đáy ABC M trung điểm cạnh BC Hạ MNA A Do ' BC( 'A AM) nên MN đoạn vuông góc chung A’A BC

4

MN  a Ta có

2

3 3

; ;

2 3

 a   a    a

AM AO AM AN AM MN

Hai tam giác A’OA MNA đồng dạng nên

' ' ' ' ' ' '

2

'

3 '

2 3

'

3 3 18

   

  

  

A BB C C A B C ABC A ABC ABC

ABC

A O AO MN AO a

A O

MN AN AN

V V V A O S

a a a

A O S

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABCA B C tích 48cm' ' ' M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh CC’, BC B’C’, thể tích khối chóp 'A MNP

A 24cm3 B 16

3 cm

(93)

C 16 cm3 D 8 cm3 Hƣớng dẫn giải:

Ta có

' ' ' '

1

.48 16

3

  

A ABC ABCA B C

V V cm

3

' ' ' ' ' ' ' 48 16 32

VA BCC B VABCA B C VA ABC    cm

Mặt khác

3 ' ' ' ' ' '

1 1

.32

4 4

    

MNP BCC B A MNP A BCC B

S S V V cm

Câu 7: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu C’ ’ ’ ’ (ABC) trung điểm I BC Góc AA’ BC 30 o Thể tích khối lăng trụ ABC A B C : ’ ’ ’

A a

B a

C

3

a

Do AA ' song song với CC nên góc ' AA' BC góc CC ' BC Nên

0

' tan 30

2

a  a

C I Vậy:

2

3

6

a a a

V

Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng ' ' ' góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '

A a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Gọi H, M, I lần lƣợt trung điểm đoạn AB, AC, AM Theo giả thiết, A H' ABC BM, AC Do IH đƣờng trung bình tam giác ABM nên IH/ /BMIH AC Ta có: ACIH AC, A H' ACIA'

Suy góc (ABC) (ACC’A’) A'IH450

0

' tan 45

2

    a

A H IH IH MB

Thể tích lăng trụ là:

3

1 3

' a

2 2

   a a  a

V B h BM AC A H

(94)

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

2

a

Gọi I giao điểm AH BC Theo giả thiết H trực tâm tam giác đề ABC nên AH đƣờng cao H lả trọng tâm tam giác ABC

Nên 2 3

3 3

  a  a

AH AI

Do AH'(ABC) nên

' 60

A AH A H' AH Trong tam giác vng HA’A có

0

' tan 60

3

  a 

AH AH a

Thể tích khối chóp

3 ' ' '

1

.A'H

2

  

ABC A B C ABC

a

V S a a a

Câu 10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng 450 Hình chiếu a mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm A’B’ Tính thê tích V khối lăng trụ theo a

A

3

 a

V B

3

a

V C

3

3 16

a

V D

3

3 24

a

V

Gọi H trung điểm A’B, theo đề ta suy :

 ' ' ' 

AH A B C

0

' 45

 AA H  ' tan 450

 a

AH A H

Vậy

3

 a

V

Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a,BCD1200 '

 a

AA

Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

A

12



V a B

3



V a C

9



V a D

6



V a

Hƣớng dẫn giải: Gọi O ACBD

Từ giả thuyết suy A O' ABCD 

0

.sin120

2

 

ABCD

a

S BC CD

(95)

2 2 49

' '

4

AC a A O A A AO  a a  a Suy

' ' ' ' 3

ABCD A B C D

V a

Câu 12: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD hình vuông cạnh ’ ’ ’ ’ a , tam giác A’AC là tam giác nằm mặt phẳng vng với đáy Tính thể tích V khối lăng trụ

’ ’ ’ ’ ABCD A B C D

A

3

6

a

V B

3

6

 a

V C

3

6

 a

V D

3

6

a

V

+ Gọi H trung điểm AC Do A AC tam giác nên  A H AC

+ Mặt khác, A AC   ABCD theo giao tuyến AC nên  A H ABCD hay  A H đƣờng cao

của lăng trụ

+ Ta có

2



  a

AC a A H

+ Vậy

3

6

2

 ABCD  a

V AH S

Câu 13: Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh a, đỉnh A’ cách điểm ’ ’ ’

, ,

A B C Mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích

2

3

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’

A

3

a

B

3 16

a

C

3 12

a

D

3

a

Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trùng với trọng tâm O tam giác ABC

Gọi H hình chiếu vng góc B lên AA’, Khi (P) (BCH) Gọi M trung điểm BC MH  AA’ góc A AM' nhọn, H nằm AA’ Thiết diện lăng trụ cắt (P) tam giác BCH

ABC cạnh a nên 3,

2 3

 a   a

AM AO AM

Theo

2

3 3

8

    

BCH

a a a

S HM BC HM

A

B

C

C’ B’

A’

’ H

(96)

2

2 3

4 16

   a  a  a

AH AM HM

Do hai tam giác A’AO MAH đồng dạng nên A O'  HM

AO AH suy

3

'

3 3

 AO HM  a a  a

A O

AH a

Thể tích khối lăng trụ:

3

1 3

' '

2 12

 ABC  

a a a

V A O S A O AM BC a

Câu 14: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Thể tích lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 theo a là:

A

3

a

B

3

a

C

3

a

Ta có V Bh

+ Diện tích đáy B = 3a2

+ Ta có h = A1O ( O giao điểm AC BD)

+ Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) góc OIA1 600 I trung điểm AD

+ Ta có 1 , 1 90 ,0 , 1

2

A OI A OI  OI a A Oa Vậy V =

3

a

Câu 15: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a, góc cạnh bên mặt 1 1 1 phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng A BC1 1thuộc đƣờng thẳng B C Thể 1 tích khối lăng trụ ABC A B C bằng: 1 1 1

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3 16

a

Do AH A B C nên góc1 1 1 AA H góc 1 AA và1 A BC1 1, theo giả thiết góc AA H 1

0

30 Xét tam giác vng AHA1 có AA =a, góc 1

0 30

2

   a

AA H AH

1 1 1

2

3

2

  

ABCA B C A B C

a a a

V AH S

Câu 16: Cho hình hộp với mặt hình thoi cạnh a , góc nhọn 600 Khi thể tích

khối hộp là: A

3

 a

V B

3

2

 a

V C

3

a

V D

3

2

 a

V

(97)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Tốn Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 97 Giả sử khối hộp cps C D D' ' 120 ; '0 A D D' 1200

0 60



ADC

Khi AD'CD'DD'a suy D ACD tứ diện ' Gọi H trọng tâm tam giác ACD

2

3

' '

3

 a    

DH D H DD DH a

Vậy

2

3 2

'

2

 ABCD  a  a

V S D H a

Câu 17: Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông cân ' ' ' B AC, 2a Hình chiếu vng góc A'lên mặt phẳng ABC trung điểm  H cạnh AC , đƣờng thẳngA B' tạo với mặt phẳng ABC góc 

45 Cho phát biểu sau:

(1)

' ' '  ,

ABC A B C

V a  2 A B' B C' ,  3 BB'a 3,  4 ABa 2;

Số phát biểu là:

A B 2 C 3 D 4

Gọi trung điểm Có

Có hình chiếu vng góc lên

Suy

Do đó:

 Chứng minh (chỉ chứa

Ta có:

Suy hình thoi

Và

Kết luận: Từ (1) (2) suy ra

Câu 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, N lần lƣợt thuộc cạnh bên AA’, CC’ cho MAMA' NC4NC Gọi G trọng tâm tam giác ABC '

Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ A’BCN, khối tứ diện tích nhỏ nhất?

A Khối A’BCN B Khối GA’B’C’ C Khối ABB’C’ D Khối BB’MN Hƣớng dẫn giải:

H ACA H' ABC

2

AC a

ABBC  a

 2

1

2

ABC

S AB BC a a

  

2 AC

HB a HB

'

A B ABC

' 45 ' tan 45

A BH A H HB a

    

2 ' ' ' '

ABC A B C ABC

V S A Ha aa

' '

A BB C A B'  P  P B C'

2

'

BB AA  AH HA A

' '

ABB A A B'  AB' 1 

   

'

' '

AC A H

AC A BH AC A B

AC BH

 

   

 



   

' ' ' '

(98)

+ Nhận thấy khoảng cách từ G A xuống mặt phẳng (A’B’C’) ( G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’)

' ' ' ' ' '

GA B C A A B C

V V

Mà VA A B C ' ' 'VABB C' '(Do hình chóp có đáy AA’B’ ABB’ diện tích nhau;chung đƣờng cao hạ từ C’)

' ' ' ' ' VGA B C VABB C

=> Khơng khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ → Loại B,C + So sánh Khối A’BCN Khối BB’MN

Nhận thấy khoảng cách từ M A’ xuống mặt BBCC’ → Khối A’BCN Khối BB’MN có đƣờng cao hạ từ M A’ Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN

=> Khối A’BCN < Khối BB’MN => Khối A’BCN có diện tích nhỏ Chọn đáp án A

Câu 19: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy là60 Tính thể tích khối lăng trụ

A 27

8



V a B 3

4



V a C 3

2



V a D 9

4a

Ta có ABCDEF lục giác nên góc đỉnh 120 ABC tam giác cân B, DEF tam giác cân E

2

1

.sin120

2

   

ABC DEF

a

S S a a

2

2 .cos

  

AC AB BC AB BC B

2

 

    

 

a a a a a

2

3

  

ACDF

S AC AF a a a

2 2

2

3 3

3

4

      

ABCDEF ABC ACDF DEF

a a a

S S S S a

3

' 60 ' '.sin 60

2

      a

B BH B H BB

KHOẢNG CÁCH

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng + Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng a

d(M, ) = MH, , H hình chiếu M  2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

+ Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng ()

3

'

4

ABCDEF

a

VBH S a  a

B

C D

E A

F F' A'

E'

D' C'

B'

(99)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 99 , H hình chiếu O ()

Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O () tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với ()

- Tìm giao tuyến  (P) ()

- Kẻ OH   ( ) Khi Cách Sử dụng cơng thức thể tích

Thể tích khối chóp Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S

Cách Sử dụng phép trƣợt đỉnh

Kết Nếu đƣờng thẳng  song song với mặt phẳng () M, N 

Kết Nếu đƣờng thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I M, N  (M, N khơng trùng với I)

Đặc biệt: + M trung điểm NI + I trung điểm MN Cách Sử dụng tính chất tứ diện vuông

Cơ sở phƣơng pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vng O ( ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC)

Cách Sử dụng phƣơng pháp tọa độ

Cơ sở phƣơng pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng cơng thức sau:

+ với ,

+ với  đƣờng thẳng qua A có vectơ phƣơng

+ với đƣờng thẳng qua có vtcp

3 Khoảng cách từ đƣờng thẳng đến mặt phẳng song song với + d(, ()) = d(M, ()), M điểm nằm 

+ Việc tính khoảng cách từ đƣờng thẳng  đến mặt phẳng () đƣợc quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song

+ d((), ) = d(M, ), M điểm nằm ()

+ Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song đƣợc quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

5 Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo

+ Đƣờng thẳng  cắt a, b vng góc với a, b gọi đƣờng vng góc chung a, b + Nếu  cắt a, b I, J IJ đƣợc gọi đoạn vng góc chung a, b

+ Độ dài đoạn IJ đƣợc gọi khoảng cách a, b

+ Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo khoảng cách hai đƣờng thẳng với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng song song với

d(O, ( )) OH

H d(O, ( )) OH

1 3V

V S.h h

3 S

  

d(M;( )) d(N;( ))

d(M; ( )) MI

d(N; ( )) NI

  

1

d(M;( )) d(N;( ))

2

  

d(M;( )) d(N;( ))

OAOB, OBOC, OCOA

2 2

1 1

OH OA OB OC

0 0 2

Ax By Cz D

d(M;( ))

A B C

  

 

  M(x ; y ; z ) ( ) : Ax0 0  By Cz  D

MA u

d(M, )

u



  u

u u '.AA ' d( , ')

u u '

   

 ' A ' u '

(100)

+ Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng

* Đặc biệt

+ Nếu ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đƣờng cao IH Khi

+ Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD

I – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, ABa AD, 2a ; cạnh bên SAa vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng SBD là: 

A

3

a

B 2

3

a

C

2

a

D a

Áp dụng công thức đƣờng cao tứ diện vng SABD vng A, ta có d A SBD ; AH với

2 2

1 1

3

    AH a

AH AS AB AD

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết hình chóp S.ABC tích a3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A 6a 195

65



d B 4a 195

195



d C 4a 195

65



d D 8a 195

195



d

Gọi điểm nhƣ hình vẽ

Ta có AI BC SA, BC suy BC AK AK dA SBC, 

Ta có:

2

3

,

4



 ABC a  

V a S SA a Mà

2

 a

AI

Trong tam giác vuông SAI ta có 12  12  12

AK AS AI Vậy

2 2

195

65

  



AS AI a

d AK

AS AI

Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B ABa SA ABC Góc cạnh  bên SB mặt phẳng (ABC) 600 Khi khoảng cách từ A đến (SBC) là:

A 3a B

2

a

C

3

a

D

2

a

Hƣớng dẫn giải: ab

(101)

 

 2

1

,

1 2

3

  



a

d A SBC AH

a a

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân,

AB = BC = 2a , ABC 1200, SA = 3a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A

2

 a

d B

4

 a

d C

4

a

d D

2

 a

d

+

.sin120

2

 

S AB BC a ;

1

3 

 

S ABC ABC

V SA S a

+ Mặt khác, SB SA2 AB2 a 13

2 2 2

2 cos120 12 21

       

AC AB BC AB BC a CS SA AC a

+ Áp dụng công thức hê-rông ta c

    

2

1

2

          

 SBC

S SB BC CS SB BC CS SB BC CS SB BC CS

a

(Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức ấn = ta có kết

    

1

13 21 13 21 13 21 13 21

4           )

+ Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 

3

2

3 3

2



 S ABC  

SBC

V a a

d

S a

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt đá; BC9 ,m AB10 ,m AC17m Biết thể tích khối chóp S.ABC 73m3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A 21

2



d B

4



d C

4



d D 24

5



d

Áp dụng công thức He-rong ta tính đƣợc diện tích tam giác ABC

       36

p p AB p AC p BC với

2

 

 AB BC CA

p

1

3

 ABC  

V SA S SA

Kẻ AH BC AI, SH ta có dA SBC,  AI

Đặt BH x ta có AB2BH2  AC2 CH2  AH thay liệu toán cho vào ta tính

đƣợc 2 2 2  2

10 17

(102)

Đăng ký học online livestream Toán mục tiêu chinh phục 8,9,10 điểm Toán Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/ Trang 102 Áp dụng hệ thức lƣợng tam giác vng ta có 12 12 2 25 24

576

   AI 

AI SA AH

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết khoảng cách từ A đến (SBD)

7

a

Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng: A 6

7

a

B 3

7

a

C 3

14

a

D 8

7

a

Với toán ta thấy A C đối xứng qua tâm O Ta nhớ đến hệ sau:

Cho mặt phẳng (P) đoạn thẳng MN Với MN P I

 

 ;;  

d M P IM

d N P IN

Khi áp dụng vào toán ta thấyACSBDO áp dụng hệ ta đƣợc :   

 

 ; 

;

d A SBD OA

OC

d C SBD  

 

;

7

d C SBD  a

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy SC = 3a Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là:

A

12

a

B

2

a

C

2

a

D

6

a

Gọi H hình chiếu A lên SD

 

  

SA ABCD SA CD ,

     

    

CD AD CD SAD SAD SCD mà

SAD  SCDSD

nên AHSCD, d A SCD ,  AH Hình vng ABCD cạnh a có đƣờng chéo

3

 

AC a a

Tam giác SAC vng A theo định lí Pytago ta tính đƣợc

3

SAa

Tam giác SAD vng A có AH đƣờng cao nên

2 2 2 2

1 1 1

hay

3 3

     AH  a

AH SA AD AH a a a

(103)

SBC nằm mặt phẳng vng với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC 

A 39

13

a

B a C 39

13

a

D

2

a

V

Gọi H trung điểm BC , suy SH BCSHABC  Gọi K trung điểm AC , suy HKAC

Kẻ HESK ESK 

Khi d B SAC , 2d H SAC , 

2

39

2

13

  



SH HK a

HE

SH HK

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ,

60



D SA vuông góc với

ABCD Biết thể tích khối chóp  S ABCD a

Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng

SBC 

A

5

 a

k B

5



k a C

5

 a

k D

3



(104)

Sale off 60% học phí link đăng ký: https://mclass.vn/ho-thuc-thuan/

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 104 Diện tích đáy

2

3

 ABCD

a S

3

2

3

1 2

3 3

2

    

a

V B h B SA SA a

a

   

 

 



 

BC AM

BC SAM

BC SA

   



BC SBC , Từ  1

  2  SAM  SBC 

SAM SBC SM

Kẻ AHSM AHd A SBC ,  Xét SAM vuông A Ta có

2 2 2

1 1

3 3

    

AH SA AM a a a

2

2 3

5

 AH  a  AH  k a Chọn đáp án B

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy có tất cạnh a có tâm O gọi M trung điểm OA Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD)

A

6

 a

d B

4

 a

d C

2

 a

d D d a

Kẻ OH CD H CD , kẻ  OK SH K SH Ta chứng  minh đƣợc OK SCD 

Vì  ,   , 

2 2

  M SCD  O SCD 

MO

d d OK

MC

Trong tam giác SOH ta có:

2 2

6

 



OH OS a

OK

OH OS

Vậy  , 

2

 

M SCD

a

d OK

Câu 11: Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD hình chữ ' ' ' ' nhật ABa AD, a Hình chiếu vng góc điểm A'

mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là:

A

3

a

B

4

a

C

2

a

D

6

a

(105)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 105

 

 ', '   ', '  d B A BD d D A BD

Mặt khác, xét hình chữ nhật A'D'DA D'A cắt A'D trung điểm A'D

 

 ', '   , ' 

d D A BD d A A BD Gọi G hình chiếu A lên BD

 

'     '

A H AK BD AK A BD

 

 , ' 

d A A BD  AK

Tính 12 2 12

2

   AK a

AK AD AB

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A,

30



ABC , tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

A. 39

13

 a

h B. 39

13

 a

h C. 39

26

 a

h D. 39

52

 a

h

Trong (SBC), dựng SH BC Vì SBC cạnh a nên H trung điểm BC

2

a

SH

Ta có:

         

 

 



   



  

SBC ABC

SBC ABC BC SH ABC

SBC SH BC

Vì H trung điểm BC nên

 

 , 2  , 

d C SAB d H SAB

Trong (ABC), dựng HI AB (SHI), dựng



HK SI

     

 

   



 

AB HI

AB SHI SAB SHI

AB SH

Ta có

         

   , 

 



     



  

SHI SAB

SHI SAB SI HK SAB d H SAB HK

SHI HK SI

Tam giác HBI vuông I nên

sin sin sin 30

2

 HI   a a

HBI HI HB HBI

HB

(106)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 106

2 2

2

2 2 2 2

3

2

1 1 39

52 26

3

2

   

    

 

       

    

     

 

a a

SH HI a a

HK HK

HK SH HI SH HI a a

Vậy  ,  39 13

  a

d C SAB HK

Câu 13: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy góc 600 Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)?

A

2

 a

d B

3

 a

d C

2

 a

d D

2

 a

d

Gọi G trọng tâm tam giác ABD, E hình chiếu G lên AB Ta có: ABSGESAG600SGGE.tan 600

Mà

3



GE BC nên tính đƣợc SG Hạ GN  AD GH SN

 

 ,   , 

d B SAB  d G SAB  GH

2

3

2

 



GN GS a

GN GS

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng BD2 ,a SAC vng S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SCa Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là:

A 30

5

a

B 2a 21

7 C 2a D a

2

2 , 2,

2

   BD    

BD AC a CD a SA AC SC a

.a 3

2

SA SC  a  a

SH

AC a

2

2 2

4

    a a

AH SA SH a

Gọi O tâm hình vng ABCD

Ta có d B SAD , 2d O SAD , 4d H SAD , 

Kẻ / /  ,

4

   a

HI BD I BD HI CD Kẻ HK SI

(107)

 

  2 2

2

, 4

3

2 21

2

4

7

3

4 16

  



 



SH HI

d B SAD HK

SH HI

a a

a

a a

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB1,AC Tam giác SBC nằm mặt phẳng vng với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

A 39

13 B C

2 39

13 D

3

Gọi H trung điểm BC, suy

 

  

SH BC SH ABC

Gọi K trung điểm AC, suy HKAC Kẻ HESK E SK 

Khi d B SAC , 2d H SAC ,  2

.H 39

2

13

  



SH K

HE

SH HK

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB2 ,a BCa Các cạnh bên hình chóp a Khoảng cách từ A đến mp (SCD) là:

A. 2a B. 21

7

a

C. a D. a

2

Ta có     

 

SO AC

SO ABCD

SO BD

2

5

2 2



 AC  AB BC a

AO

2

2 2

2

4

    a  a

SO SA AO a

Gọi H trung điểm      

 

CD OH

CD CD SOH

CD SO

(108)

 

     2 2

2

, , 2

3

2

4

   



 



SO OH

d A SCD d O SCD OK

SO OH

a a

a

a a

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B biếtBCa 3, BAa Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AC biết thể tích khối chóp S.ABC bằng

3

6

a

Khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SAB)

A 66

11

 a

h B 30

10

 a

h C 66

11

 a

h D 30

5

 a

h

Hƣớng dẫn giải: Đặt SHx suy

3

1

3

 

  

 

a

V x a a

3

6

 x a a

a

Ta có d C SAB , 2dH,SAB2HK

mà 2 12 42 66

2 11

  HK a

HK a a

 ,  66 11

 a

d C SAB

Câu 18: Hình chóp có đáy tam giác vng B, BA = 3a, BC=4a

Biết Tính khoảng cách từ đến

A 6a

7 B

3a

7 C

5a

7 D

4a 7

1

SH sin 30 3

2

 o  

SB a a ; 1.3

2

ABC   

S AB BC a a a

Suy . 1.6 3 3

 

S ABC

V a a a Càn tính: SSAC?

Do tam giác SBA vng B nên SA (2a 3)29a2 a 21 AC 9a2 16a2 5a Dùng định lí cơsin 2

2 os30

   o

SC SB BC SB BC c

S ABC ABC SBC ABC

0

2 3, 30

(109)

2

= 12a 16 2.2 3.4

2

 a  a a  a SC2a Dùng công thức Hêrông: S  p p a p b p c(  )(  )(  ) , với

2

   a b c

p

Ta có: 21

2

  a a

p 

7 21 21

5

2

a a a a

p a   a 

 21 21

2

 

  a a   a a

p a a

 21 21 21 21

2

a a a a

p a   a  

2 2

1

28 12 7.3 21

4

ABC   

S a a a a

Vậy

3

2

3 3.2 6

7

21



 S ABC   

SAC

V a a a

h

S a

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc

60



BAC , hình chiếu đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a

A

7 a

B

2 a

C

2 a

D

Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH cắt SD tại E Khi ta có tứ diện OECD vuông O

3

; ;

2

a a  a

OC OD OE

 

2 2

1 1

;   

d O SCD OC OD OE

 

;

4

d O SCD  a

Mà  ;   ; 

  a

d B SCD d O SCD

(110)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 110 A

3

a

B

4

a

C

3

a

D

6

a

+ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) độ dài đoạn HK + Tính đƣợc SHHCa

+ Dùng công thức: 2 2 12 32

2

  

HK HM HS a

+ Suy đƣợc :

3

 a

HK

Câu 21: Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh bên cạnh đáy a Khi đó, khoảng cách h đƣờng thẳng AD mặt phẳng (SBC) là:

A

2

a

h B

3

 a

h C

2

 a

h D 2a

5



h

 

 ,   , 2  , 

d AD SBC d A SBC d O SBC với O tâm hình vng ABCD Gọi I trung điểm          

 

BC OI

BC BC SOI SBC SOI

BC SO

Ta có SBC  SOISI , kẻ OH SI H OH SBCd O SBC , OH 2

2

,

2 2

 AC  a   a

AO SO SA AO

2 2

2

2 2

6

4

  



a a

SO OI a

OH

SO OI a a

 

,

3

  a

d AD SBC OH

Câu 22: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình chữ nhật có ABa AD, a Biết góc đƣờng thẳng A’C mặt phẳng (ABCD) 600 Khoảng cách đƣờng thẳng B’C C’D theo  là:

A 51

17

a

B 4 51

17

a

C 2 51

17

a

D 8 51

17

a

' '/ / ' ' / /( ' ) ( ' , ' ) ( ' ,( ' )) ( ',( ' )) ( ,( ' ))

(111)

S

H

A N

C I

B M

K Do BC’ giao với mp(AB’C) trung điểm BC’ (vì

BCC’B’ hình chữ nhật)

Kẻ BM ACAC(BB M' )(AB C' )(BB M' )

theo goao tuyến B’M Kẻ

' ( ' ) ( ,( ' ))

    

BH B M BH AB C d B AB C BH

Có 2 2 2 2 12 12 172

' ' 12

    

BH B B BM B B BC AB a

2 51

17

BH  a Vậy: d(C’D,B’C)=2 51

17

a

Câu 23: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có

3; , 30

  

AC a BC a ACB Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc

60 mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho BC=3BH mặt phẳng (A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) là:

A 3

8

a

B 3

4

a

C 3

2

a

D 7

4

a

Kẻ ( ' ) ( ' ) ( ' ) '

'

 

    

 



HD AC

AC A HD A AC A HD A D

AC A H

Ta có: HDCH.sin 300 a Kẻ HKA D' HK( 'A AC)HKd H( ;(A'AC))

Xét tam giác A’HD vng H có: 2 2 2

'

  HK  a

HK HD A H

Ta lại có: ( ;( ' )) ( ;(A'AC)) 3 3

( ;( ' ))   2  2 

d B A AC BC a a

d B

d H A AC HC

Vậy

3 ' ' '

9 3

; ( ,( ' ))

4

ABC A B C

a a

V  d B A AC 

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc SB mặt phẳng (ABC) 60 độ Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMN), với M, N lần lƣợt trung điểm AB AC

A

3

a

V B

3

 a

V C

3

4

 a

V D

3

4

 a

V

  

SA ABC suy AB hình chiếu vng góc của SB lên (ABC)

Góc SB (ABC) góc SBA600

tan 60

SA AB a

Kẻ AI MN Suy I trung điểm MN, kẻ



(112)

 

,

   



MN SA MN AI MN AH

AH SMN

Vậy AH khoảng cách từ A đến (SMN), 3,



AI a

2 2 2

1 1 16 51

3 17

    AH a

AH AS AI a a

Mà   

 

 ,   ,   ,  51

,      17

d A SMN MA

d B SMN d A SMN a

d B SMN MB

Câu 25: Cho hàm số S.ABC có

60 , 3, 4,

     

ASB BSC CSA SA SB SC Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

A 5 B 5

3 C

3

3 D

5

Bài tốn có cơng thức tính nhtơi, nhƣng tơi khơng trình bầy Tơi trình bầy cách tƣ để làm tốn !

Đề cho góc

60

  

ASC ASB BSC cạnh SA3,SB 4,SC 5 áp dụng công thức

  2

2 cos ,

  

c a b ab a b ta tính đƣợc độ dài cạnh AB, BC, CA tam giác ABC lần lƣợt

13, 21, 19 Ta tính đƣợc cos

13



SAB

Gọi H chân đƣờng cao từ C xuống mặt phẳng (SAB), Kẻ HK SA HI,  AB (nhƣ hình vẽ) Đặt



CH x Quan sát hình vẽ ta thấy : tính đƣợc độ dài đoạn thẳng CK, CI, sau ta biểu diễn đƣợc HK, HI theo CH, ta tìm đƣợc mối quan hệ HK, HI

Tính CK:

0

2 .sin 60

2 2

2

 CSA  

SC SA S

CK

SA SA

2

1 75

, HK

2

AK   x

Tƣơng tự ta tính đƣợc 17 39, 121

26 52

 

CI AI , 867

52

 

HI x

Ta lại có 2 28

2 cosSAB

13

   

IK AK AI AK AI

Mà 2  

2 cos 180

   

IK HK HI HK HI SAB

3

 x

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD

3a Khoảng

cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) là: A h = 2

3a B h =

4

3a C h =

8

3a D h =

3 4a

(113)

- Đặt

.( 2)

3

     

SH x V x a a x a

-Ta có

2

( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

2

4

2

3

2

 

  



d B SCD d A SCD d H SCD

a a

a HK

a a Chọn đáp án B

Câu 27: Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

A

2

a

B

3

a

C

4

a

D

6

a

2



d

S a ,

2

a

h V=

3

3 a

suy

1 1

3

1

( ;( ))

6

  

B A BD A BD

V a

V S d B A BD ,

1

2

3

 A BD

a

S

 1 

1

3 3

( ;( ))

2

B A BD A BD

V a

d B A BD

S

(114)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 114 II - KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƢỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

Câu 1: Lăng trụ đứng ABCA B C đáy tam giác vuông cân B, cạnh bên ' ' ' CC'a Biết thể tích khối trụ 2 3a3 Khoảng cách hai đƣờng thẳng AB CC’

A a B 2a C 3a D 2 3a

Ta có BCAB BC, CC' nên d AB CC ; 'BC Vì ABC vng cân B nên

3

' ' '

1

2 '

2

 ABCA B C  

a V AB BC CC BC a

2

4

BC  a BC a

 ; '

d AB CC  a Chọn đáp án B

Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông B với ’ ’ ’

4 , 3a, 5a

  

AB a BC AC , cạnh bên BB'9a Gọi M điểm thuộc BB’ cho BB' = 3B'M Khoảng cách B’C AM

A 12a

7 B

6a

7 C

10a

7 D 7

a

Trong mặt phẳng BCB’, vẽ MN / / ’B C ( N thuộc BC)

 

’ / /

B C AMN d B C AM ’ , d B C AMN ’ , 

 

    

, ’,

d B AMN  d B AMN =1

2h

Để đơn giản ta coi a=1

2 2 2

2 2

1 1 1 1 12

( )

1 1

4

       

 

h

h AB BN

 ’ , 

7

 d B C AM  a

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đơi vng góc với nhau, ABa AC, a Tính khoảng cách d từ đƣờng thẳng SA đến BC

A.

2

 a

d B. d a

C. d a D. d a

3

 Hƣớng dẫn giải:

(115)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 115 Dễ dàng chứng minh đƣợc AH SA

Vậy  

2

, 2

3

  



SA BC

AB AC a

d AH

AB AC

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc đƣờng thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng SB, AC

A

5 a

B

5 a

C

5 a

D

(SBC) chứa SC song song với AD Đƣờng thẳng qua O vng góc với BC cắt BC, AD lần lƣợt E, F Vì O là trung điểm È nên ta có:

d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) Kẻ OH vng góc với SE H (1)

   

,

     

BC EF BC SO BC SEF BC OH

Từ (1) (2) BC cắt SE OH(SBC) Tam giác SOE vng O nên ta có:

2 2 2 2

1 1 1 20

3

     

OH OS OE OS OB OC a

 

15 15

;

10

OH  a d AD SC  a Gọi M cho

ABMC hình bình hành

Vẽ AH vng góc với BM H, AK vng góc SH K Suy ra, AK vng góc (SBM) Ta có: 2 12 2 12 42 52

2 2

    

AK SA AH a a a

Vì AC song song (SMB) suy ra:  ,   ; 

   a

d AC SB d A SBM AK

Câu 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a, góc cạnh bên mặt 1 1 1 phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng A BC1 1thuộc đƣờng thẳng B C 1 Khoảng cách hai đƣờng thẳng AA 1 B C theo a bằng: 1 1

A

2

a

B

6

a

C

4

a

Xét tam giác vng AHA1 có 1 , 1 300 1

    a

AA a AA H A H Do tam giác A B C tam giác 1 1

đều cạnh a, H thuộc B C 1 1

3

a

A H nên A H vng góc với 1 B C Mặt khác 1 AH B C1 1nên  

(116)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 116 Kẻ đƣờng cao HK tam giác AA H HK khoảng cách 1 AA 1 B C 1 1

Ta có

1

4

   A H AH  a

AA HK A H AH HK

AA

Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ

3

a

Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng AA’ BC

A 3

2

a

B 4

3

a

C 3

4

a

D 2

3

a

Gọi M trung điểm BC , dựng MNAA' N (1) Gọi O trọng tâm ABCO hình chiếu A’ lên (ABC) A 'OBC

Mặt khác AMBC ABC

   

BC A 'MA BC MN

    Từ (1) (2)

=> MN đƣờng vuông chung Kẻ OP // MN OP AO

MN AM

  

2

ABCA 'B'C' ABC

ABC

V 3a

S OA ' a

4 S



   

Xét A 'OA vuông tai O, đƣờng cao OP: 12 2 2 OP a MN 3a

OP OA OA'   2 4

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD1200 '

AC a Khoảng cách hai đƣờng thẳng AB’ BD là: A 10

17

a

B

17

a

C

17

a

D

17

a

Tứ giác AB’C’D hình bình hành  AB’//C’D AB’//(BC’D)

 ’,   ’, ’   , ’   , ’ 

d AB BD d AB BC D d A BC D d C BC D Vì BDAC, BDCC’ BD(OCC’) (BC’D)(OCC’)

Trong (OCC’),kẻ CHOC’(H thuộc OC’) => CH(BC’D)d C BC D , ’ CH '

OCC vuông C 2 12 2 42 12

' 17

     CH  a

CH CO CC a a

Vậy d(AB’,BD)=

17

a

(117)

A dAB SC, a B  , 

2

 AB SC

a

d C  , 

3

 AB SC

a

d D  , 

4

 AB SC

a d

Vì AB/ / DC SCDAB/ /SCD

Mà SCSCDdAB,SC dAB SC, DdA SC, D Gọi I trung điểm DS AI SD, mà AICD Suy AI SCD,  ,SC  , D

2

  

AB A SC

a

d d AI

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a 3;ABC120 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết số đo góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Khoảng cách hai đƣờng thẳng BD SC bằng:

A 39

26

a

B 3 29

26

a

C 3 29

13

a

D 14

6

a

Kẻ CM / / D,B ANBC AH, SC suy ACCM d A SCM ,  AH Gọi

 

2

   ID DC 

I AD CM

IA AM

Theo ta có góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc SNA nên

0 3

60 tan 60

2

    a

SNA SA AN

Áp dụng hệ thức lƣợng tam giác SAC vuông taị A ta có

2 2

1 1 13 39

27 13

   AH  a

AH SA AC a

Ta có:  ,   ,   ,   , 

  

d BD SC d BD SCM d D SCM d A SCM

Suy  ,SC 39 26

 a

d BD

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc tạo SC (ABCD) 450 Tính theo a tính khoảng cách hai đƣờng thẳng SD AB

A 2a

3



d B

13

 a

d C

3

 a

d D 15

3

 a

d

Xác định đƣợc góc SC (ABCD)

45



SCH

Tính đƣợc 5

2

a  a

(118)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 118 Vì AB / / SCD , H  AB nên d AB S ; Dd AB SC , Dd H SC , D

Gọi I trung điểm CD Trong (SHI), dựng HK SI K Chứng minh đƣợc HKSCDd H SC ; DHK Xét tam giác SHI vuông H, HK đƣờng cao:

2 2 2

1 1 a

HK

HK SH HI 5a a 5a  

Vậy  ; D

3

  a

d AB S HK

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc SBD 600 Tính theo a khoảng cách hai đƣờng thẳng AB SO

A

3

a

B

4

a

C

2

a

D

5

a

Ta có SAB SAD c g c , suy  SBSD Lại có SBD600, suy raSBD cạnh

2

  

SB SD BD a

Trong tam giác vuông SAB , ta có SA SB2 AB2 a Gọi E trung điểm AD, suy OE AB AEOE Do d AB SO , d AB SOE , d A SOE , 

Kẻ AKSE Khi

  2 2

,

5

  

 

  SA AE a

d A SOE AK

SA AE

Câu 12: Chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc

45 Ta có khoảng cách hai đƣờng thẳng AB SC bằng:

A a

B 2

a

C

2

a

D

4

a

Ta có : d AB SC( ; ) d AB SCD( ;( )) 2 ( ;(d H SCD)) 2HK Mặt khác tam giác SHM ng cân H, nên ta có

1 1

2

2 2

   a  a

HK SM HM

Vậy ( ; ) 2

2

 a

d AB SC HK

(119)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 119 Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, D 17

2

 a

S hình chiếu vng góc H S lên mặt (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm AD Tính khoảng cách hai đƣờng SD HK theo a?

A 3a

5 B

3

a

C 21

5

a

D

5

a

- Dựng HI BD HJ SI - Vì HK // BD  HK // (SBD)

- Chứng minh đƣợc BDSHI  HJ SBD Ta có dHK,SD dHK SB, DdH SB, DHJ

2 2

2 17a 5a 12a

D

4 4

     

SH S DH a

2 2 2

1 1 25

3a 3a

    

HJ SH HI a

3

HJ a Chọn đáp án D

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M điểm thuộc cạnh SC cho

2



MC MS Biết AB3,BC 3 3, tính khoảng cách hai đƣờng thẳng AC BM A 3 21

7 B

2 21

7 C

21

7 D

21

Từ M kẻ đƣờng thẳng song song với AC cắt SA

 

|| ||

 

N AC MN AC BMN

 

,

   

AC AB AC SH AC SAB

   

||    

AC MN MN SAB MN SAB

   

 BMN  SAB theo giao tuyến BN Ta có:

      

||  ,  ,

AC BMN d AC BM d AC BMN

 

 , 

d A BMN  AK với K hình chiếu A BN

2 2 3 3

3 3

   ABN  SAB  

NA MC

S S

SA SC (đvdt)

2

 

AN SA

2

3

2 2 21

2 cos 60

7

      SABN  

BN AN AB AN AB AK

(120)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 120 Vậy  ,  21

7



d AC BM (đvđd)

Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC tam giác vng, ABBC1,AA' M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng AM; B'C

A

7

d  B

7

d  C d  D

7



d

Gọi E trung điểm BB' Khi AME/ / 'B C nên ta có:

 

B AME,   B C AME' ,   ' ; 

d d d B C AM

Ta có: dB AME; h

Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên tốn quen thuộc

2 2

1 1 1

7

      h

h BE BA BM

Câu 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt 1 1 1 phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A lên mặt phẳng A BC1 1 thuộc đƣờng thẳng B1C1 Khoảng cách hai đƣờng thẳng AA1 BC1 theo a là:

A

2

a

B

4

a

C a

D 4 a Hƣớng dẫn giải:

Do AH A B C nên góc 1 1 AA H góc AA1 A B C theo giả thiết góc AA1 1 1H 30

0 Xét tam giác vng AHA1 có

0 , 30

2

    a

AA a AA H AH

Xét AHA1 có AA1a góc

0

1

3 30

2

   a

AA H A H

Do A1B1C1 cạnh a, H thuộc B1C1

3

 a

A H

Suy A1H vng góc B1C1, AH B C1 nên B C1 1AA H 1 

HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có 1 1

4

   A H AH  a

AA HK A H AH HK

AA

(121)

Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Góc ' ' ' CA ' mặt (AA B B' ' ) 30 Gọi d(AI’,AC) khoảng cách A I' AC, kết tính d(AI’,AC) theo a với I trung điểm AB

A 210

70

a

B 210

35

a

C 210

35

a

D 3 210

35

a

Ta có :

 

' ( ' ( )) ( ' ' )

( ' ' ): '

 

    



  



CI AB

CI AA AA ABC CI AA B B

Trong AA B B AB AA A

Suy góc CA’ (AA B B' ' ) góc CA’ IA’ góc CA I'  30

Do '

2 tan '

 IC  a

A I

CA I

; với 3

2

 AB a

IC

Suy ra:

2 2

' '

4

   a a 

AA A I AI a

Kẻ Ix AC Khi d AC A I( , ' )d AC A I Ix( ,( ' , ))d A A I Ix( ,( ' , ))

Kẻ AEIx E AFA E' F Ta chứng minh đƣợc: d A A I Ix ,( ' , )AF

Ta có: sin sin 60

2

  a   a

AE AI AIE

2 2 2

1 1 16 35 210

' 35

     AF  a

AF A A AE a a a

Vậy:  , '  210

35

  a

d AC A I AF

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm thuộc SC cho MC=2MS Biết AB=3, BC= 3 Khoảng cách hai đƣờng thẳng AC BM là:

A.3 21

7 B

3 21

14 C

6 21

7 D

3 21 28

Từ M kẻ đƣờng thẳng song song với AC cắt SA NAC/ /MN AC / /BMN 

, ( ),AC/ / MN MN (SAB)

     

AC AB AC SH AC SAB

( ) ( )

 BMN  SAB theo giao tuyến BN Ta có:

/ /( ) ( ; ) ( ;( )) ( ;( ))

AC BMN d AC BM d AC BMN d A BMN AK với hình chiếu A

BN

2

2 2 3 3

3 3

   ABN  SAB  

NA MC

S S

SA SC (đvdt)

2

 

(122)

2

3

2 2 21

2 cos60

7

      SABN  

BN AN AB AN AB AK

BN

Vậy d(AC,BM)= 21

7

Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh AB=a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60o Tính theo a thể tích tứ diện B’ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C)

A

3 '

3 ;

8

 

B ABC

a a

V d B

3 '

3

;

8

 

B ABC

a a

V d

C

3 B'ABC

a a

V ; d

4

  D

3 B'ABC

a a

V ;d

4

 

Theo nhƣ đề kiện ta dễ dàng tính đƣợc thể tích khối lăng trụ tam giác ban đầu, từ suy thể tích khối tứ diện AB’BC Để tính đƣợc khoảng cách từ B đến (AB’C) thực chất tìm chiều cao tứ diện, đến toán đƣợc giải q độc giả tìm đƣợc diện tích tam giác AB’C Vì đề cho kiện ((A’BC), (ABC))=60o

, nên ta xác định góc cách gọi H trung điểm BC Tam giác ABC nên AHBC (1)

A’A(ABC) ⟹A’ABC (2)

Từ (1) (2) ⟹BCA’H ⟹((A’BC), (ABC)) = A’HA = 60o ⟹A’A = AH.tan 60o

=3

2

a

Khi

2

' ' '

3 3

'

2

  

ABC A B C ABC

a a a

V A A S

Và

3 '

1

3

 

B ABC

a

V V lúc ta loại C D

Dễ thấy diện tích tam giác AB’C đƣợc B’AC cân B’ có

2

2 3a a 13

B' A B'C a ; AC a

2

 

     

 

Dễ tính đƣợc chiều cao kẻ từ B’ tam giác có độ dài a ABC

2

B ACB'

AB'C 3V

a 3a

S d(B;(AB'C))

2 S

    

Câu 20: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, ACB120o Đƣờng thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M trung điểm BB’ Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ khoảng cách hai đƣờng thẳng AM CC’ theo a

A

21 a

B

(123)

C

7 a

D

7 a

+ Kẻ đƣờng cao CH tam giác ABC Có CHAB ;CHAA’ suy CH(ABB’A’),Do góc A’C mp(ABB’A’) góc CA H' 300

+ Ta có

2

1

.sin120

2

ABC  

a

S CA CB

Trong tam giác ABC :

2 2

2 os120 7

   

 

AB AC BC AC BC c a

AB a +

    

2

3

2

ABC

a

S AB CH CH a

+ Vậy :

d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’ A’))=CH=

7 a

Câu 21: Cho lăng trụ ABC A B C mặt hình vng cạnh a Gọi D trung điểm cạnh ’ ’ ’

BC Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng A’B’ DC’ theo a

A

6

a

B

4

a

C

4

a

D

6

a

Có cách để tiếp cận tốn hình học khơng gian thơng thƣờng kẻ thêm hình tọa độ hóa Ở tốn này, phƣơng pháp tọa độ có nhiều ƣu điểm hẳn

Gọi D' trung điểm B C ta có ' ' DD DC DA'; ; đơi vng góc với

Ghép hệ tọa độ nhƣ hình vẽ với D gốc tọa độ Ta có (0;0;0), ;0;0 , ' ;0; , ' 0; 3;

2 2

 

   

 

     

     

a a a

D B C a A a

Gọi   mặt phẳng qua DC '   / / 'A B suy phƣơng trình   :x z

2

( ' , ') ( ,( ))

4



    

a a

d A B DC d B

300

M H

C/

B/ A/

C

B A

1200

(124)

(125)

GÓC A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Góc hai đƣờng thẳng: a//a', b//b' 

Chú ý: 00  900

2) Góc đƣờng thẳng với mặt phẳng:

 Nếu d  (P) = 900

 Nếu = với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00  900

2) Góc hai mặt phẳng

 Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng 

Chú ý:

3) Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = Khi đó: S = S.cos

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi E, F lần lƣợt trung điểm BC AD, biết



EF a Góc hai đƣờng thẳng AB CD :

A 60 B 45 C 30 D 90

Gọi M trung điểm BD, AB CD, MF ME, Áp dụng định lý cosin tam giác EMF tính đƣợc

0

1

cos 120 ( , ) 60

2

EMF EMF AB CD

Câu 2: Cho hình chóp S ABC Ngƣời ta tăng cạnh đáy lên gấp lần Để thể tích giữ ngun tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm số lần :

A 8 B 2 C 3 D 4

Gọi S đỉnh hìnhchóp, O làtrọng tâm tam giác ABC;  góc tạo cạnh bên vàmp(ABC) Chứng minh đƣợc thể tích khối chóp 3tan

12

 

V a

  a, b  a ', b '  a, b

d, (P)

d  (P) d, (P)  d, d '

d, (P)

   

a (P)

(P), (Q) a, b

b (Q)

 

 

  

a (P), a c

b (Q), b c

 



  

 (P), (Q) a, b

 

0

0  (P), (Q) 90

(126)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 126 Khi cạnh bên tăng lên lần thể tích

(2 ) tan ' 12

 

V a Để thể tích giữ ngun

tan tan '

8



  , tức tan góc tạo cạnh bên mặt đáy phải giảm lần Chọn đáp án A

Câu 3: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc mặt bên mặt đáy là:

A 30O B C 60O D

3 Hƣớng dẫn giải:

Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Khi cơsin góc mặt bên mặt đáy là:

Ta có SBC , ABCDSIH  

Khi đó: cos

3

2

   

a HI

SI a Chọn đáp án D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đƣờng cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB2 ,a

0

30



CAB Gọi H hình chiếu vng A SC Tính theo a thể tích khối chóp H.ABC Tính cơ-sin góc hai mặt phẳng SAB , SBC 

A

7 B

7

14 C

3

14 D

7

Gọi K hình chiếu vng góc A lên SB Ta có AHSC,AHCB(Do CB(SAC)) AH (SBC) AHSB

Lại có: SBAK SB(AHK) Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAB ,SBC  HKA

2 2 2

1 1 1

4 12

1 1 1

2

4

      

a AH

AH SA AC a a a

AK a

AK SA AB a a a

Tam giác HKA vuông H (vì AH(SBC),(SBC)HK)

6

7

sin os

7

2

a AH

HKA c HKA

AK a

    

(127)

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB  ABCD H trung điểm  AB, SH HC SA, AB Gọi  góc đƣờng thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị

tan là: A

2 B

2

3 C

1

3 D

Hƣớng dẫn giải: Ta có

2

  a

AH AB , SAABa ,

2

    a

SH HC BH BC

Có

 

2

4

  a       

SA AH AH SAH SA AB SA ABCD

và AChc SC ABCD ; 

Ta có:  ;  , tan

 

SC ABCD SCA SCA

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích hình chóp S.ABCD

3

15

a

Góc đƣờng thẳng SC mặt phẳng đáy (ABCD) là:

A. 300 B. 450 C. 600 D. 1200

Gọi H trung điểm AB Ta có

3

2

D D

1 15 15

,

3

    

ABC S ABC

a a

S a V SH a SH

2

2 2

4

   a  a

HC AC AH a

 

SC ABCD, SC HC, SCH

0

15

tan : CH : 60

2

  a a   

SCH SH a SCH

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy (ABCD) Gọi H trung điểm AB, SH HC SA, AB Gọi  góc đƣờng thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị tan là:

A.

2 B.

2

3 C.

1

3 D.

(128)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 128 Ta có

2

  a

AH AB

 

SA AB a

2

    a

SH HC BH BC

Có

2

4

  a  

AH SA SH SAH vuông A

nên SAAB

Do SAABCD nên  SC ABCD, SCA Trong tam giác vng SAC, có tan

2

 SA 

SCA AC

Câu 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, có SA vng góc với (ABC), tam giác SBC cân S Để thể tích khối chóp S.ABC

3

a

góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) là:

A

60 B

30 C

45 D Đáp án khác

Do tam giác SBC cân S nên gọi I trung điểm BC

   

 

; ;

   

SI BC AI BC SIA SBC ABC

Do đáy ABC tam giác nên

1

.2

2

 

ABC

a

S a a Thể tích khối chóp đƣợc tính

3

2

1 3

3 2

 ABC  a   a

V SA S SA

a

3

SA a

Khi tan :2 3

2 2

 SA a a 

SIA AI

3 tan

2

SIAatc

Câu 9: Cho hình lập phƣơng ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C)

A 300 B 1200 C 600 D 900

Hƣớng dẫn giải: Kẻ BH A C'  1 Mặt khác, ta có

  '

'



  

 



BD AC

AA BD

AA ABCD

 ' '  2

BD ACA BD A C

(129)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 129 Xét tam giác vng BCA có: '

2 2

1 1

3 a

BH DH

BH  BC  BA   

Ta có

2

0

2

cos 120

2

BH BD

BHD BHD

BH



     Vậy góc cần tìm 600

Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác cân với ’ ’ ’ AB ACa, góc

120 ,



ABC cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I)?

A cosα =

5 B cosα=

3

10 C cosα=

10 D cosα =

Ta có: BC =a Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I:

Suy AI =

2 a, AB

’ =

2a, B’I = 13

2 a

Do AI2

+ AB’2 = B’I2 Vậy tam giác AB’I vuông A

'

1 10

,

2 4

  ABC 

AB I

S AI AB a S a

Gọi là góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I

Suy : '

10 3

.cos cos cos

4 10

  ABC      

AB I

S S

Câu 11: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có ABC tam giác vng, ' ' ' ABBC1,AA' M trung điểm cạnh BC Khoảng cách hai đƣờng thẳng AM B'C là:

A

7



d B

7



d C d  D

7



d

Gọi E trung điểm BB' Khi AME/ / 'B C nên ta có: Gọi E trung điểm BB’

 ' ;  ( ' ;( )) ( ';( )) ( ;( ))

d B C AM d B C AME d B AME d B AME

Ta có: d B AME( ;( ))h

Tứ diện BEAM có cạnh BE, BM, BA đơi vng góc nên tốn quen thuộc Ta có

2 2

1 1 1

7

h h  BE BA BM   

(130)

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, đáy tam giác ABC vng cân B, ABa Biết góc tạo SC (ABC)

0

45 Khoảng cách từ SB đến SC bằng:

A

2

a

B a C

2

a

D

2

a

Hƣớng dẫn: Gọi H trung điểm AC Tính đƣợc 2 ;BH

   

AC HC a AC a

CM đƣợc     

, 45

SH  ABC  SC ABC SCH  SH a  tam giác SHB vuông cân H SBa

Trong (SHB): Dựng HI SB I (1) CM đƣợc AC SHBAC HI H (2)

Từ (1) (2)  , 

2

d SB AC HI  SB a Chọn đáp án C

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB; Góc đƣờng thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Góc hai đƣờng thẳng SB AC có giá trị gần với giá trị sau đây:

A 600

B 800

C 700

D 900 Hƣớng dẫn giải:

2

5; 7; ( )

     

AC a SB a SB AC SH HB AC HB AC AH AC a

0

| |

cos = 70

35

 SB AC    

SB AC Chọn đáp án C

Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh 4a Lấy H, K

lần lƣợt AB, AD cho BH=3HA, AK=3KD Trên đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) H lấy S cho góc SBH =30 Gọi E giao điểm CH BK Tính cosin góc SE BC

A 18

5 39 B

9

5 39 C

36

5 39 D

28 39 Hƣớng dẫn giải:

(131)

2

cos( ; )

9

( )

25 25

9 9 144

.c os

25 25 25 25



    

   

SE BC SE BC

SE BC

SE BC SH HE BC HE BC HC BC CH CB

CB a

CH CB HCB CH CB CB

CH

Ta chứng minh đƣợc HKCH E

2

2 2

2

2 2

9 9

25 25 25

81 39 144 18

3 os( ; )

25 25 39.4 39

       



       

HE HE HC HB a

HE HC HB BC

HC HC HB BC

a a a

SE SH HE a c SE BC

a a

Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm đáy O Gọi M N lần lƣợt trung điểm SA BC.Biết góc MN (ABCD) , cosin góc MN mặt phẳng (SBD) :

A

4 B

2

5 C

5

5 D

10

Gọi P trung điểm AO; Q giao điểm MC SO, từ Q kẽ tia song song với MN mp(MBC) cắt BC R, mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD S MP//SO nên MPABCD , suy 

60



MNP

Ta tính PN cách vẽ thêm hình phụ nhƣ bên, theo định lí Ta-lét 3

4

  a

PT AB

Dễ thấy

4

 a

TN , theo định lý Pytago ta tính đƣợc 10

4

 a

PN

Tam giác MPN vng P có 10

 NP a

MN

cosMNP

0

(132)

Thầy Hồ Thức Thuận-Chuyên Luyện Thi Đại Học 10,11,12 Tại Hà Nội Link fanpage : https://www.facebook.com/thaythuantoan/ Trang 132 Dễ thấy Q trọng tâm tam giác SAC nên

3



CQ

MC

Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy 2 10

3 3

     

QR CQ CR a

QR MN

MN MC NC

Hình vng ABCD cạnh a có đƣờng chéo 2

  a

AC a OC

Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy 2

3 3

    

SR BR a

SR OC

OC BC

 , / /  

  

CA SBD SR CA SR SBD , mặt khác QR//MN góc MN với (SBD) góc QR với (SBD) góc SQR

Tam giác SQR vng S có 2: 10

3

 SR  a a 

cosSQR QR

Định dạng
Số trang	132
Dung lượng	6,21 MB