Cho tứ giác ABCD, I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.. C Cho tam giác ABC.[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net CHÖÔNG I: VECTÔ I Ñònh nghóa: Vectơ AB là đoạn thẳng có định hướng từ A đến B, kí hiệu AB a) A: ñieåm goác B b) B: ñieåm ngoïn A c) Đường thẳng AB: giá AB Phương AB : tập hợp các đường thẳng song song với đường thẳng AB, trùng với đường thaúng AB Hướng AB : hướng (chiều) từ A đến B theo phương AB Môđun AB , kí hiệu AB là độ dài đoạn thẳng AB Vectô khoâng, kí hieäu , laø vectô coù moâñun baèng (ñieåm goác vaø ñieåm ngoïn truøng nhau) coù phương và hướng tùy ý II Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng: d // d // d (d1, d2, d3 cuøng phöông) a) b) B E AB và CD cùng phương, cùng hướng AB và EF cùng phương ngược hướng A D F C III Vectơ nhau, đối nhau, tự do: Vectô baèng nhau: ⎧ AB vaø CD cuøn g phöông ⎪⎪ AB = CD ⇔ ⎨ AB và CD cùn g hướn g ⎪ ⎪⎩ AB = CD Vectơ đối nhau: ⎧ AB vaø EF cuøn g phöông ⎪⎪ AB và EF đối ⇔ ⎨ AB và EF ngược hướn g ⎪ ⎪⎩ AB = EF Kí hieäu: AB = − EF; AB = − BA Vectơ tự do: là các vectơ a = b = c với gốc tùy ý IV Phép cộng và trừ vectơ: Toång cuûa hai vectô: a) Ñònh nghóa: OA = a, AB = b, OB = c c b Neáu OB = OA + AB thì c = a + b b) Quy taéc ba ñieåm cuûa pheùp coäng vectô: O, A, B baát kyø: OB = OA + AB ⇒ OB = OA + AC + CD + DB Lop10.com a a b (2) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net c) Tính chaát cuûa pheùp coäng vectô: a+b = b+a a+0 = 0+a = a ( a + b ) + c = a + ( b + c) ( ) a + −a = d) Quy taéc hình bình haønh: OA + OB = OC OACB laø hình bình haøn h Hieäu cuûa hai vectô: A C O ( ) B a) Ñònh nghóa: a − b = a + − b A b) Quy tắc ba điểm phép trừ vectơ: O, A, B baát kyø: OB − OA = AB O V Pheùp nhaân vectô: Ñònh nghóa: Cho a ≠ 0, m ∈ R, m ≠ ⎧ b cùn g hướn g với a m>0 ⎪⎪ ma = b : ⎨ b ngược hướn g với a m<0 ⎪ ⎪⎩ b = ma 0.a = 0, ∀ a ⎪⎫ ⎪⎧ m = Quy ước: ⎬ ⇒ ma = ⇔ ⎨ ⎪⎩ a = m.0 = 0, ∀m ⎪⎭ Tính chaát: ( ) m n.a = ( m.n ) a Chuù yù: ) m a + b = ma + mb ( −1) a = ( − a ) = − a ( m + n ) a = ma + na ( B Vectô cuøng phöông: a vaø b cuøn g phöông, b ≠ ⇔ coù m ∈ R nhaát cho a = mb O, A, B thaún g haøn g ⇔ OA vaø OB cuøn g phöông ⇔ OA = kOB ( k ∈ R ) M laø tr ung ñieåm ⇔ MA + MB = AM laø tr ung tuyeán cuûa ΔABC ⇔ AB + AC = 2AM G laø tr oïn g taâm cuûa ΔABC ⇔ GA + GB + GC = OA1 = OA ⇒ A1 ≡ A , ∀O BAØI TAÄP Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH và FG vectơ AD , chứng minh raèng CDGH laø hình bình haønh F G Hướng dẫn: Vì ABCD vaø ABEF laø hình bình haønh E Lop10.com H (3) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net ⎫⎪ ⎬ ⇒ GH = DC gt : FG = EH ⇒ FE = GH ⎪⎭ Do G, H, D, C khoâng thaúng haøng Vaäy CDGH laø hình bình haønh neân : AB = DC = FE A D B C Cho boán ñieåm A, B, C, D Tính caùc vectô sau: a) v = AB + DC + BD + CA b) u = AB + CD + BC + DA Hướng dẫn: ( ) ( ) v = AB + CD + BC + DA = ( AB + BC ) + ( CD + DA ) = AC + CA = a) v = AB + DC + BD + CA = AB + BD + DC + CA = AD + DA = b) Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB − CD = AC + DB Hướng dẫn: AB − CD = AC + DB ⇔ AB − CD = AC − BD ⇔ AB + BD = AC + CD ⇔ AD = AD (đẳng thức đúng) ( ) ( ) Caùch khaùc: AB − CD = AC + CB − CB + BD = AC − BD = AC + DB Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo Chứng minh OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn: O là giao điểm hai đường chéo AC và BD: ( ) ( ) OA + OB + OC + OD = OA + OC + OB + OD = Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: AD + BE + CF = AE + BF + CD Hướng dẫn: ( ) ( ) ( ) = ( AE + BF + CD ) + ( ED + DF + FE ) AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF = AE + BF + CD Cho hai vectơ a và b ( a, b ≠ ) Hãy tìm mối quan hệ a và b có hai điều kiện sau: a + b = a + b ; a + b = a − b A a Hướng dẫn: Neáu a + b = a + b O Ta có: OB = OA + AB ⇒ A nằm O và B ⇒ a, b cùn g hướn g Lop10.com b c = a+b B (4) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net Neáu a + b = a − b A Ta coù: OB = CA Hình bình hành OABC có hai đường chéo ⇒ OABC là hình chữ nhật ⇒ OA ⊥ OC B a O ⇒a⊥b b C Cho tứ giác ABCD, I và J là trung điểm hai đường chéo AC và BD Chứng minh AB + CD = 2IJ Hướng dẫn: A ( ) ( ) = 2IJ + ( AI + CI ) + ( JB + JD ) AB + CD = AI + IJ + JB + CI + IJ + JD B D = 2IJ C Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh: AM + BN + CP = Hướng dẫn: ( ) ( ) ( ) AM + BN + CP = AB + BM + BC + CN + CB + BP = AB + 1 BA, BM = MC, MN = BA 2 Caùch khaùc: Duøng quy taéc trung ñieåm ⎧ ⎪ AM = AB + AC ⎪ ⎪ BA + BC ⇒ ñpcm ⎨ BN = ⎪ ⎪ ⎪CP = CA + CB ⎩ 1 BC + MC + CN = AB + MN = 2 Vì BC + CB = 0, BP = ( ( ( ) ) ) Cho tứ giác ABCD, M và N là trung điểm AD và BC AB + DC Chứng minh MN = Hướng dẫn: 1 MN = MB + MC = MA + AB + MD + DC 2 1 = MA + MD + AB + DC = AB + DC 2 ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) Lop10.com (5) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 10 Cho hai vectơ a và b Chứng minh rằng: a) a + b = a + b b) a + b = a − b Khi nào xảy dấu đẳng thức? Hướng dẫn: a) Dựn g OA = a, AB = b, OB = a + b Với ba điểm O, A, B luôn có OB ≤ OA+AB hay a + b ≤ a + b Daáu " = " xaûy r a O, A, B thaún g haøn g vaø A naèm tr ong OB b) Dựn g OA = a, OB = b Ta có: a − b = OB − OA = BA Suy r a: a − b = AB = AB ≥ OA − OB = a − b Daáu " = " xaûy r a a // b 11 Cho đoạn thẳng AB và hai số α, β không đồng thời Chứng minh rằng: a) Neáu α + β ≠ thì toàn taïi nhaát ñieåm M cho α MA + β MB = b) Neáu α + β = thì khoân g toàn taïi ñieåm M cho α MA + β MB = c) Nếu α + β = thì v = α MA + β MB khôn g đổi, khôn g phụ thuộc vị tr í điểm M d) Nếu α + β ≠ thì với điểm M, ta có: α MA + β MB = ( α + β ) MI, đó I là điểm xác định α IA + β IB = e) Nếu α + β ≠ 0, ∀M và N xác định MN = α MA + β MB Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Hướng dẫn: ( ) a) α MA + β MB = ⇔ −α MA + β AB − AM = ⇔ ( α + β ) AM = β AB ⇔ AM = ⇒ toàn taïi nhaát M ( β AB α+β ) b) Giả sử ∃M cho α MA + β MB = ⇒ α MA − α MB = ⇔ α MA − MB = ⇒ α BA = ⇒ α = ⇒ β = : trái giả thiết Vậy không tồn M thỏa yêu cầu bài toán c) v = α MA + β MB = α BA là vectơ khôn g đổi ( ) ( ) ( d) α MA + β MB = α MI + IA + β MI + IB = ( α + β ) MI + α IA + β IB Vaäy α MA + β MB = ( α + β ) MI hay MI = ) α β MA + MB α+β α+β e) Ñaët MN = α MA + β MB ⇒ MN = ( α + β ) MI ⇒ MN // MI ⇒ M, N, I thaún g haøn g Vậy đường thẳng MN luôn qua điểm I cố định 12 Cho tam giác ABC Gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định 2A1 B + 3A1C = , 2B1C + 3B1 A = Chứng minh tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm Lop10.com (6) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net Hướng dẫn: Giaû thieát ta coù: 2GB + 3GC = 5GA1 ⎫ ⎪⎪ 2GC + 3GA = 5GB1 ⎬ ⇒ GA + GB + GC = GC + GA1 + GB1 ⇒ GG = hay G ≡ G ⎪ 2GA + 3GB = 5GC ⎪⎭ Trong đó G là trọng tâm tam giác ABC, G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1 ( ) ( ) 13 Cho hai vectơ a, b khác và không cùng phương Gọi u, v là hai vectơ định u = α1 a + β1 b , v = α a + β b Chứng minh u = v ⇔ α1 = α và β = β , còn u, v cùng phương ⇔ α1β − α 2β = Hướng dẫn: • u = v ⇔ α1 a + β1 b = α a + β b ⇔ ( α1 − α ) a = ( β − β ) b (1) Điều này vô lý α1 − α ≠ β − β1 ≠ Vaäy ( ) ⇔ α1 − α = = β − β ⇒ α = α vaø β = β • Ta coù u vaø v cuøn g phöông ⇔ ∃k ,k ∈ R; k 12 + k 12 > ⎧ k α1 + k α = Sao cho k u + k v = ⇔ ( k 1α1 + k α ) a + ( k 1β + k 2β ) b = ⇔ ⎨ β + β = k k 2 ⎩ 1 Heä coù nghieäm k = k = • Ñieàu kieän k 12 + k 22 > ⇒ D = α1 α2 β1 β2 = ⇔ α1β − α 2β = 14 A, B, C laø ba ñieåm phaân bieät Chứng minh rằng: A, B, C thẳn g hàn g ⇔ AB và AC cùn g phương Hướng dẫn: Thuaän: A, B, C thaún g haøn g ⇔ AB vaø AC cuøn g giaù ⇒ AB, AC cuøn g phöông Đảo: Nếu AB, AC cùng phương thì hai đường thẳng AB, AC cùng phương Nhưng hai đường thẳng này coù chung ñieåm A neân truøng Suy A, B, C thaúng haøng 15 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng tỏ: a) I laø trung ñieåm AB b) DI = CB Hướng dẫn: a) Do CI = DA neân CIAD laø hình bình haønh ⇒ AI // CD Do đó I trên AB Lop10.com (7) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net ⎧ AI = DC AB Maët khaùc: ⎨ ⇒ AI = ⇒ I laø trung ñieåm AB ⎩ AB = 2DC b) CIAD laø hình bình haøn h ⇒ DC = AI ⎫⎪ ⎬ ⇒ DC = IB ⇒ DCIB laø hình bình haøn h ⇒ DI = CB I laø tr ung ñieåm AB neân AI = IB ⎪⎭ 16 Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ACEF a) Dựng các điểm M, N cho EM = BD, FN = BD b) Chứng minh CD = MN Hướng dẫn: ABCD laø hình bình haøn h ⇒ CD = BA ⎪⎫ ⎬ ⇒ CD = EF ABEF laø hình bình haøn h ⇒ EF = BA ⎪⎭ EM = BD ⎫⎪ ⎬ ⇒ EM = FN ⇒ EMNF laø hình bình haøn h ⇒ MN = EF FN = BD ⎪⎭ 17 Cho hình bình hành ABCD Dựng các điểm M, N thỏa mãn: a) MA − MB − MC = AD b) NC + ND − NA = AB + AD − AC c) Chứng minh MN = BA Hướng dẫn: a) MA − MB − MC = AD ⇔ BA − MC = AD ⇔ CM = AD − BA = AD + AB = AC ⇒ C laø tr ung ñieåm AM b) AC + ND = AC − AC ⇔ DN = AC ⇒ N là đỉnh thứ tư hình bình hàn h DACN c) Từ câu a và b ⇒ CM = DN ⇒ DCMN là hình bình hàn h ⇒ CD = MN Tương tự BA = CD ⇒ MN = BA 18 Cho tam giác ABC cạnh a Xác định vectơ AB + AC và tính môđun vectơ này Hướng dẫn: Veõ trung tuyeán AM, keùo daøi AM laáy ñieåm E cho ME = AM Ta coù: AB + AC = 2AM = AE a Do đó: AB + AC = AM = =a AB + AC + AD vaø tính moâñun vectô naøy 19 Cho hình vuoâng ABCD caïnh a Xaùc ñònh vectô ( Lop10.com ) (8) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net Hướng dẫn: 1 AB + AC + AD = ⎡ AB + AD + AC ⎤ = AC + AC = AC ⎦ 2 2⎣ AB + AC + AD = AC = a Do đó: ( ) ( ( ) ( ) ) 20 Cho tam giác ABC cạnh a, trực tâm H Tính môđun HA, HB, HC Hướng dẫn: HA = HB = HC = 2 a a (AA’ là đường cao) AA′ = = 3 21 Cho hình vuoâng ABCD taâm O caïnh a Xaùc ñònh moâñun caùc AB + AD, AB + AC, AB − AD Hướng dẫn: ¾ Theo quy taéc hình bình haønh: AB + AD = AC ⇒ AB + AD = AC = AC = a ¾ Veõ CA′ = AB Ta coù: AB + AC = AC + CA′ = AA′ ⇒ AB + AC = AA′ = AA′ = AD + DA′ = a + 4a = a (pitago) ¾ AB − AD = DA + AB = DB ⇒ AB − AD = DB = DB = a VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Duøng quy taéc ba ñieåm AB + BC = AC; AC − AB = BC Mở rộng quy tắc ba điểm A1 A + A A + + A n −1 A n = A1 A n Quy taéc ruùt goïn: Neáu α1 IA1 + α IA + + α n IA n = thì α1 MA1 + α MA + + α n MA n = ( α1 + α + + α n ) MI ( A1 , A2 , , An ) Neáu G laø troïng taâm cuûa vaø G’ laø troïng taâm cuûa ( B1 , B2 , , Bn ) thì ta coù A1 B1 + A B2 + + A n Bn = nGG ′ Quy tắc hình bình hành: Cho hai vectơ AB, CD khác và không cùng phương Dựng hình bình hành ABCD Ta coù: AC = AB + AD = 2AM BAØI TAÄP Cho tứ giác ABCD M, N là trung điểm AD, BC, O là trung điểm MN Chứng minh: a) AD − CD = AC + DB 1 AB + DC = AD + BC + BD b) MN = 2 c) OA + OB + OC + OD = ( ) ( ) Lop10.com (9) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net d) MA + MB + MC + MD = 4MO; ∀M ( ) e) Gọi F là trung điểm CD Chứng minh rằng: AB + AN + FA + DA = 3DB Hướng dẫn: a) Quy taéc ba ñieåm: AB − CD = AC + CB − CD = AC + DC + CB = AC + DB b) Quy taéc ba ñieåm, trung ñieåm: ( ) ( ) ( ) ( ) AB + DC = AM + MN + NB + DM + MN + NC = AM + DM + NB + NC = 2MN (2 vectơ đối nhau) c) Quy taéc trung tuyeán, trung ñieåm: ( ) ( ) ( ) MA + MB + MC + MD = ( MO + OA ) + ( MB + OB ) + ( MC + OC ) + ( MD + OD ) OA + OB + OC + OD = OA + OD + OB + OC = 2OM + 2ON = OM + ON = d) ( = 4MO + OA + OB + OC + OD = 4MO + = 4MO ) ( ) e) AB + AN + FA + DA = 3DB ⇔ DA + AB + FA + AN = 3DB ( ) ⇔ DB + FN = 3DB ⇔ 2FN = DB : hiển nhiên đúng Cho tam giaùc ABC vaø tam giaùc A’B’C’ coù troïng taâm laø G vaø G’ a) Chứng minh GA + GB + GC = b) Chứng minh AA′ + BB′ + CC ′ = 3GG ′ c) Suy điều kiện cần và đủ để hai tam giác có chung trọng tâm là AA′ + BB′ + CC ′ = d) Gọi G1, G2, G3 là trọng tâm ΔBAC ′ , ΔCAB′, ΔABC ′ Chứng minh G là trọng tâm ΔG 1G G Biết ΔABC vaø ΔA′B′ C ′ coù cuøng troïng taâm G A Hướng dẫn: a) GB + GC = 2GM (tính chaát trung ñieåm) Maø AG = 2GM Neân GA + GB + GC = − AG + 2GM = b) Quy taéc ba ñieåm: AA′ = AG + GG ′ + G ′A′ N G B M C BB′ = BG + GG ′ + G ′B′ CC ′ = CG + GG ′ + G ′C ′ ⇒ AA′ + BB′ + CC ′ = 3GG ′ + AG + BG + CG + G ′A′ + G ′B′ + G ′C ′ ( ) ( Maø AG + BG + CG = (caâu 1) G ′A′ + G ′B′ + G ′C ′ = (tính chaát tr oïn g taâm ) Neân AA′ + BB′ + CC ′ = 3GG ′ c) G ≡ G ′ ⇒ GG ′ = ⇔ AA′ + BB′ + CC ′ = Lop10.com ) (10) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net d) Theo treân ta coù: AG + BG + CG = Ta coù: AB + AC + AA′ = 3AG (G1 laø troïng taâm tam giaùc BCA’) BA + BC + BB′ = 3BG (G2 laø troïng taâm tam giaùc CAB’) CA + CB + CC ′ = 3CG (G3 laø troïng taâm tam giaùc ABC’) ( ⇒ AA′ + BB′ + CC ′ + AC + BC + CB + AB + BA + CA = AG + BG + CG ) (1) Maø AA′ + BB′ + CC ′ = vaø ΔABC, ΔA′B′ C ′ coù chung troïng taâm G ( ) Suy (1): AG + BG + CG = Vaäy G laø troïng taâm tam giaùc G1G2G3 Cho hình bình haønh ABCD a) Cho AB = a, AD = b , I laø trung ñieåm CD, G laø troïng taâm tam giaùc BCD Chứng minh BI = b − a , tính AG theo a, b b) Nếu G’ là trọng tâm tam giác BCI Chứng minh AG ′ = a + b c) Trên ΔABC , gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định 2A1 B + 3A1C = , 2B1C + 3B1 A = , 2C A + 3C B = Chứng minh ΔABC và ΔA1 B1C có cùng trọng tâm d) Nếu B1, C1 câu c là trung điểm CA, AB Đặt BB1 = u, CC = v Tính BC, CA, AB theo u, v Hướng dẫn: 1 1 BC + BD = ⎡ AD + AD − AB ⎤ = 2AD − AB = 2b − a = b − a ⎦ 2 2⎣ 2 2⎛ ⎞ AG = AB + BG = AB + BI = a + ⎜ b − a ⎟ D I 3⎝ ⎠ a) BI = ( Vaäy AG = a + ) ( 2⎛ ⎞ b − a⎟ ⎜ 3⎝ ⎠ ) ( ) ( ) C G ( = 2AB + AD + ( AD + DI ) ) b) 3AG ′ = AB + AC + AI = AB + AB + AD + AI = 2AB + 2AD + A B AB = AB + 2AD 2 a + b (ñpcm) c) Gọi G và G1 là trọng tâm ΔABC và ΔA1 B1C Vaäy AG ′ = ( ) ( ) Ta coù: 2A1 B + 3A1C = ⇔ A1G + GB + A1G + GC = ⇔ 2GB + 3GC = 5GA1 Tương tự ta có: 2B1C + 3B1 A = ⇔ 2GC + 3GA = 5GB1 10 Lop10.com (11) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 2C A + 3C B = ⇔ 2GA + 3GB = 5GC ( ) ( Vậy từ ba đẳng thức suy GA + GB + GC = GA1 + GB1 + GC ) ⇔ GA1 + GB1 + GC = ⇔ GG + G A1 + GG + G B1 + GG + G 1C = ⇔ 3GG = ⇒ G ≡ G d) Ta coù: BA + BC = 2BB1 = 2u CA + CB = 2CC = 2v hay CB + BA + CB = 2CB + BA = 2v ⎧ BC = ⎧⎪ 2u = BA + BC ⎪⎪ Vaäy: ⎨ ⇒⎨ ⎪⎩ 2v = BA − 2BC ⎪ BA = ⎪⎩ u−v 2v + u ⇒ CA = CB + BA = 2u + v ( ( ) ( ) ) Cho tam giaùc ABC, troïng taâm G a) Gọi A1, B1, C1 là trung điểm BC, AC, AB Đặt BB1 = u, CC = v Chứng minh AA1 + BB1 + CC = vaø tính BC, CA, AB theo u vaø v b) Goïi I laø ñieåm treân caïnh BC cho 2CI = 3BI , F laø ñieåm treân caïnh BC keùo daøi cho 5FB = 2FC Tính AI, AF theo AB vaø AC , tính AG theo AI vaø AF −1 c) H là điểm đối xứng B qua G Chứng minh AH = AC − AB; CH = AB + AC 3 ( ) Hướng dẫn: a) Ta coù: AB + AC = 2AA1 ⎫ ⎪⎪ BA + BC = 2BB1 ⎬ ⇒ AA1 + BB1 + CC = AB + BA + CA + AC + BC + CB = ⎪ CA + CB = 2CC ⎪⎭ ⎧⎪ BA + BC = 2u Theo tr eân : ⎨ ⎪⎩CA + CB = 2CB + BA = 2v 2 −2 BC = u − v ; BA = 2u + v ⇒ AB = 2u + v 3 ( ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ⎧ CA + AI + BA + AI = ⎪⎧ 2CI + 3BI = ⎪ b) Ta coù: ⎨ ⇔⎨ ⎩⎪ 5BF − 2CF = ⎪ BA + AF − CA + AF = ⎩ 3 ⇒ 5AI = 3AB + 2AC ⇒ AI = AB + AC vaø AF = AB − AC 5 5 Ta laïi coù: 3AG = AA + AB + AC = AB + AC 11 Lop10.com ) ) ( ) (12) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net ⎧ ⎧ ⎪⎪ AF = AB − AC ⎪⎪ AB = AI + AF Do ⎨ ⇒⎨ ⎪ AI = AB + AC ⎪ AC = 25 AI − AF ⎪⎩ ⎪⎩ 5 16 16 1 35 AI − AF Vaäy AG = AB + AC = 3 48 16 2 c) AH + AB = 2AG = AA + AB + AC hay AH = AC − AB(ñpcm) 3 2 1 CH = CA − CB = CA − CA + AB = CA − AB 3 3 3 1 Vaäy CH = − AC − AB 3 ( ) ( ) VẤN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT HỆ THỨC VECTƠ Bài 1: Cho tam giác ABC, hãy dựng các điểm I, J, K, L biết rằng: 1) IA − 2IB = 2) JA − JB − 2JC = 3) KA + KB + KC = BC 4) 2LA − LB + 3LC = AB + AC Hướng dẫn: B ( A L K G C ) 1) IA − 2IB = ⇔ IA − AB − AI = ⇔ AI = 2AB Vậy I là điểm đối xứng A qua B J AB 3) Caùch 1: Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC, ta coù: I KA + KB + KC = 3KG Vaäy 3KG = BC ⇔ GK = CB , K thuoäc AB Caùch 2: Ta coù: BC = KC − KB 2) JA − JB − 2JC = ⇔ BA + 2CJ = ⇔ CJ = ( ) Vaäy KA + KB + KC = KC − KB ⇔ KA + 2KB = ⇔ − KA + AB − AK = ⇔ AK = Vaäy K thuoäc AB ( ) ( ) 4) Ta coù: 2LA − LB + 3LC = AB + AC ⇔ −2AL − AB − AI + AC − AL = AB + AC ⇔ 4AL = 2AC − 2AB ⇔ AL = Bài 2: Cho tam giác ABC Hãy dựng điểm I, F, K, L cho: 1) 2IA − 3IB = 3BC 2) FA + FB + 2FC = 12 Lop10.com BC 2 AB (13) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 3) 2KA + KB = 2CB + CA 4) IA + IB − IC = BC 5) FA + FB + FC = AB + AC 6) 3KA + KB + KC = 7) 3LA − 2LB + LC = Hướng dẫn: ( ) 1) 2AI = IB + BC = 3IC ⇔ 3AC + IA = Vaäy I laø ñieåm treân AC cho AI = 3AC 2) Gọi M là điểm đoạn AB, ta có: FA + FB + 2FC = ⇔ 2FM + 2FC = ⇔ FM + FC = Vậy F là điểm đoạn MC 3) Goïi N laø ñieåm treân BA cho 2NB + NA = vaø P laø ñieåm treân BA cho 2PA + PB = BA Ta coù: 2KA + KB = 2CB + CA ⇔ 3KP = 3CN hay KP = CN ⇔ CK = NP = Vaäy K thoûa CK = BA 4) Ta coù: IA + CB = BC ⇔ IA = 2BC Vậy I là điểm trên đường thẳng qua A, song song với BC cho IA = 2BC 5) Ta coù: FA + GB − AB + FC − AC = ⇔ 3FA = ⇔ F ≡ A 6) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC, ta coù: 3KA + GB + GC = 5GK ⇒ 2GA = 5GK Vậy K nằm đoạn GA cho GK = GA 7) Goïi M laø trung ñieåm AC, ta coù: 3LA − 2LB + LC = ⇒ 3MA − 2MB + MC = 2ML ⇔ 2MA − 2MB + MA + MB = 2ML ⇔ MA − MB = ML hay BA = ML Vậy L là điểm thứ tư hình bình hành dựng trên hai vectơ BA và BM Baøi 3: Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm D, E 1) Chứng minh OA + OB + OC = thì O là trọng tâm tam giác ABC 2) Xaùc ñònh M thoûa: a) MA + 2MB = b) MA + MB + 2MC = c) MA + MB + MD = MD − ME d) 2MA + 3MB − MC = 3) Xaùc ñònh ñieåm M thoûa: a) MA − 3MB = b) MA + MB + MC = AB + AC c) 2MA − 3MB + 4MC = 4) Gọi I là điểm xác định 5IA − 7IB − IC = , G là trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh GI = 2AB 13 Lop10.com (14) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net OA OI c) Xác định điểm thuộc đường thẳng d cho 5MA − 3MB b) AI ∩ BG = O Tính Hướng dẫn: 1) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC ( ) ( ) ( ) OA + OB + OC = ⇔ OG + GA + OG + GB + OG + GC = ⇔ 3OG + GA + GB + GC = ⇔ 3OG = hay O ≡ G AB b) MA + MB + 2MC = ⇔ 2MI + 2MC = ( I laø tr ung ñieåm AB ) ⇔ MI + MC = 2) a) MA + 2MB = ⇔ MB + BA + 2MB = ⇔ 3MB − AB = ⇔ MB = Vaäy M laø trung ñieåm IC c) MA + MB + MC = MD − ME ⇔ 3MG = EM + MD = ED 1 ⇔ MG = ED hay GM = DE ( G laø tr oïn g taâm ΔABC ) 3 ( ) ( ) 1 ⇔ MA = ( AC − 3AB ) hay AM = ( 3AB − AC ) 4 3) a) 2MA − 3MB = ⇔ 2MA − ( MA + AB ) = ⇔ AM = 3AB d) 2MA + 3MB − MC = ⇔ 2MA + MA + AB − MA + AC = ⇔ 4MA + 3AB − AC = b) MA + MB + MC = AB + AC ⇔ 3MG = 2AI ( G laø tr oïn g taâm ΔABC, I laø tr ung ñieåm BC ) ⇔ GM = −2 AI ⇔ MG = AI 3 ( ) ( ) 5IA − 7IB − IC = ⇔ ( GA − GI ) − ( GB − GI ) − ( GC − GI ) = c) 2MA − 3MB + 4MC = ⇔ 2MA − MA + AB + MA + AC = ⇔ MA = 4) a) ⇔ 3GI = −5GA + 7GB + GC = −6GA + 6GB vì GA + GB + GC = ( ) ⇔ GI = GB − GA = 2AB OA AB = = OI GI c) Goïi K laø ñieåm thoûa: 5KA − 3KB = b) GI = 2AB ⇔ GI // AB ⇒ ( ) ( ) ⇒ 5MA − 3MB = MK + KA − MK + KB = 2MK = 2MK ⇒ 5MA − 3MB ⇔ M laø hình chieáu cuûa K leân ( d ) Baøi 4: Cho tam giaùc ABC, troïng taâm G 1) Xaùc ñònh ví trí ñieåm M cho: a) MA + MB + 2MC = b) MA − MB + MC = 14 Lop10.com AB − 4AC ( ) (15) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net c) MA + 2MB = d) MA + 2MB = CB 2) Gọi A’ là điểm đối xứng A qua B, B’ là điểm đối xứng B qua C và C’ là điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm G Hướng dẫn: 1) a) Goïi I laø trung ñieåm AB Ta coù: ( ) MA + MB = 2MI ⇒ MA + MB + 2MC = MI + MC = ⇔ MI + MC = CI ⇔ M laø trung ñieåm CI b) MA − MB + MC = ⇔ MA − MB = CM ⇔ BA = CM Vậy M xác định hệ thức BA = CM Do M là đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM c) MA + 2MB = ⇔ MB + BA + 2MB = ⇔ 3BM = BA hay BM = BA AB Vaäy M laø ñieåm naèm AB cho BM = ( ) ⇔ MC + CI + MC = ⇔ CM = ( d) Ta coù: MA + 2MB = CB ⇔ MB + BA + 2MB = CB ⇔ 3MB = CB − BA = − BA + BC ⇔ 3BM = BA + BC = 2BJ ) ( J laø tr ung ñieåm AC ) ⇔ BM = 23 BJ ⇔ M laø tr oïn g taâm tam giaùc ABC ( ) 2) Ta coù: AB + BC + CA = ⇔ AB + BC + CA = ⇔ 2AB + 2BC + 2CA = ⇔ AA′ + BB′ + CC ′ = Maët khaùc: AA′ + BB′ + CC ′ = ⇔ AG + GA′ + BG + GB′ + CG + GC ′ = ⇔ GA′ + GB′ + GC ′ − GA + GB + GC = ( ) ( ) ⎧⎪ GA′ + GB′ + GC ′ = (1) ⇒⎨ (G laø tr oïn g taâm tam giaùc ABC) ⎪⎩ GA + GB + GC = (1) đún g G là tr ọn g tâm tam giác A' B' C' Vaäy tam giaùc ABC vaø tam giaùc A’B’C’ coù cuøng troïng taâm G Baøi 5: 1) Cho tam giác ABC cạnh a Xác định vectơ AB + AC và tính môđun vectơ này 2) Cho hình vuoâng ABCD caïnh a Xaùc ñònh vectô AB + AC + AD vaø tính moâñun cuûa vectô naøy 3) Giả sử M và N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD và BC tứ giác ABCD Chứng minh MN ≤ ( AB + CD ) Khi nào xảy đẳng thức? Hướng dẫn: 1) Veõ trung tuyeán AM, keùo daøi AM laáy ñieåm E cho: ME = AM a =a Ta coù: AB + AC = 2AM = AE ⇒ AB + AC = AM = 2 ( 15 Lop10.com ) (16) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 1 AB + AC + AD = AB + AD + AC = AC + AC = AC 2 Do đó: AB + AC + AD = AC = a 2 3) Ta chứng minh MN = AB + DC 1 Suy MN = AB + DC ≤ AB + DC hay MN ≤ ( AB + DC ) 2 Đẳng thức xảy AB // DC hay ABCD là hình thang đáy AB, CD 2) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Bài 6: Cho tứ giác ABCD 1) Tìm điểm cố định I và số k để hệ thức sau thỏa với M: a) MA + MB + 2MC = kMI b) 2MA + 3MB − MD = kMI c) MA − MB − 2MC = kMI d) MA + 2MB + 3MC − 4MD = kMI 2) OA + OB + OC + OD = Chứng minh O xác định 3) Nếu ABCD là hình bình hành Với M, hãy tìm K và điểm I cố định thỏa: a) MA + MB + MC + 3MD = kMI b) MA + 2MB = kMI c) 2MA + MB − MC = kMI 4) Xác định vị trí điểm S để SA + SB + SC + SD = 5) Gọi G là trọng tâm tứ giác ABCD, A’, B’, C’, D’ là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh G là điểm chung các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ và là trọng tâm tứ giaùc A’B’C’D’ Hướng dẫn: 1) a) I laø trung ñieåm AB ( ) MA + MB + 2MC = kMI ⇔ 2MI + 2MC = kMI ⇔ MI + MC = kMI ⇔ 4MO = kMI (O laø trung ñieåm IC) Hệ thức cho câu a đúng ∀M ⇔ I ≡ O, k = ( ) ( ) b) Goïi IS laø ñieåm thoûa 2SA + 3SB − SD = ⇔ 2SA + SA + AB − SA + AD = ⇔ AS = 3AB − AD S laø ñieåm coá ñònh ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó 2MA + 3MB − MD = kMI ⇔ MS + SA + MS + SB − MS + SD = kMI ⇔ 4MS + 2SA + 3SB − SD = kMI ⇔ 4MS = kMI Hệ thức cho câu b đúng ∀M I ≡ S,k = c) Goïi J laø ñieåm thoûa JA − JB − 2JC = ⇔ JC = BA (J xaùc ñònh) 16 Lop10.com (17) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net ( ) ( ) ( ) MA − MB − 2MC = kMI ⇔ MJ + JA − MJ + JB − MJ + JC = kMI ⇔ −2MJ + JA − JB − 2JC = kMI ⇔ −2MJ = kMI Hệ thức cho câu c đúng ∀M I ≡ J ,k = −2 2) Goïi N, L laø trung ñieåm AB, CD OA + OB + OC + OD = ⇔ 2ON + 2OL = ⇔ ON + OL = ⇔ O laø trung ñieåm NL ⇒ O xaùc ñònh nhaát 3) a) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC, ta coù: MA + MB + MC = 3MG ( ) ( ) ⇒ MA + MB + MC + 3MD = MG + MD = 2MI = 6MI (I laø trung ñieåm GD) Vaäy k = AB b) Goïi I laø ñieåm thoûa IA + 2IB = ⇔ AI = MA + 2MB = ( + ) MI = 3MI Vaäy k = c) I là điểm định 2IA + IB − IC = ⇔ 2IA + CB = hay AI = 2MA + MB − MC = ( + − ) MI = 2MI CB Vaäy k = 4) Gọi P, Q là trung điểm BD, AC Ta có: SA + SC = 2SN ⎫⎪ ⎬ ⇒ SA + SB + SC + SD = SN + SM (xem các bài tập trước) ⇔ SM + SN = SB + SD = 2SM ⎪⎭ ⇒ S laø tr ung ñieåm MN ( ) (1) 5) Vì G là trọng tâm tứ giác ABCD nên GA + GB + GC + GD = Maët khaùc A’ laø troïng taâm tam giaùc BCD neân GB + GC + GD = GA′ + A′B + GA′ + A′C + GA′ + A′D ⇒ GB + GC + GD = 3GA′ (2) ( ) ( ) ( ) Từ (1) và (2) suy GA + 3GA′ = ⇒ GA = −3GA′ Vaäy ñieåm G, A, A’ thaúng haøng Chứng minh tương tự ta có: G, B, B’ thẳng hàng; G, C, C’ thẳng hàng Hay AA’, BB’, CC’ đồng quy G Từ (1) và (2) suy GA + GB + GC + GD = −3 GA′ + GB′ + GC ′ + GD′ = ( ) Hay GA′ + GB′ + GC ′ + GD′ = ⇒ G là tr ọn g tâm tứ giác A′B′ C ′D′ Baøi 12: Cho tam giaùc ABC, k laø haèng soá, M laø ñieåm di doäng cho v = MN = 2MA − 3MB + kMC 1) Với k = Chứng minh MN có phương không đổi 2) Với k ≠ Chứng minh MN luôn qua điểm cố định Hướng dẫn: ( ) ( ) 1) k = : v = 2MA − 3MB + MC = 2MA − MA + AB + MA + AC = −3AB + AC vectơ không đổi Vậy MN có phương không đổi 17 Lop10.com (18) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net ( ) ( ) 2) Goïi I: 2IA − 3IB + kIC = ⇔ CA − CI − CB − CI − kCI = ⇔ ( − k ) CI = 3CB − 2CA ⇒ CI = 3CB − 2CA ⇒ I coá ñònh, k ≠ 1− k ( ) ( ) ( ) Vaø: MN = MI + IA − MI + IB + k MI + IC = ( k − ) MI + 2IA − 3IB + kIC = ( k − ) MI Vaäy MN = ( k − ) MI ⇒ MN // MI ⇒ MN ñi qua I coá ñònh Baøi 13: Cho tam giaùc ABC, troïng taâm G Caùc ñieåm M, N thoûa maõn: 3MA + 4MB = 0, CN = BC Chứng minh MN ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC Hướng dẫn: 3MA + 4MB = ⇒ MB = AB CN = BC ⇒ BN = BC 2 3 (1) Ta coù: MN = MB + BN = AB + BC G laø troïng taâm tam giaùc ABC neân : 3 2 MG = MB + BG = AB + BE = AB + BA + BC = AB + BC 7 21 Từ (1) và (2) suy MN = MG Vaäy ba ñieåm M, N, G thaúng haøng ( ) (2) Baøi 14: Cho tam giaùc ABC 1) MN = v = 2MA + 3MB + kMC a Khi k ≠ Chứng minh giá MN luôn qua điểm cố định b Tìm k để MN là vectơ không đổi 1 2) Laáy E, F treân tam giaùc ABC cho AE = AB, AF = AC ( k ≠ 0; −1 ) Chứng minh EF luôn qua k k +1 moät ñieåm coá ñònh Hướng dẫn: ( ) ( ) 1) a) Goïi I laø ñieåm thoûa 2IA + 3IB + kIC = ⇔ 2IA + IA + AB + k IA + AC = ⇔ ( + k ) IA = −3AB − k AC ⇔ IA = ( −3AB − k AC ( k ≠ ) ⇒ I coá ñònh 5+ k ) ( ) ( ) b) MN = 2MA + ( MA + AB ) + k ( MA + AC ) = ( + k ) MA + 3AB + k AC MN = v = MI + IA + MI + IB + k MI + IC = ( + k ) MI ⇒ MN // MI hay MN qua I coá ñònh MN không đổi + k = ⇔ k = −5 ( ) 2) AC = ( k + ) AF = k AF + AF = k AE + EF + AF ⇒ AC = AB − kEF + AF 18 Lop10.com (19) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net Hay kEF = AC − AB − AF = BC − AF Veõ AI = BC thì AI − AF = kEF ⇒ kEF = FI ⇒ E, F, I thaúng haøng ⇒ EF qua I coá ñònh Baøi 15: Cho hình bình haønh ABCD 1) Gọi I, F, K là các điểm xác định AI = α AB, AF = β AC, AK = γ AD Chứng minh điều kiện cần và đủ 1 để I, F, K thẳng hàng là = + ( α, β, γ ≠ ) β α γ AM CN = , = Goïi G laø troïng taâm tam giaùc 2) Gọi M, N là điểm trên đoạn AB và CD cho AB CD BMN a) Tính AN, AG theo AB, AC b) Gọi H là điểm định BH = kBC Tính AH theo AB, AC và k Tìm k để AH qua G Hướng dẫn: 1) Ta coù: KI = AI − AK = α AB − γ AD KF = AF − AK = β AC − γ AD Maø AC = AB + AD Vaäy KF = β AB + ( β − γ ) AD Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng và tồn số k cho KF = kKI ⇔ β AB + ( β − γ ) AD = k α AB − k γ AD ⇔ ( β − k α ) AB + ( β − γ + k γ ) AD = (1) Do AB, AD khoâng cuøng phöông neân ( ) ⇔ β − k α = = β − γ + k γ ⇔ β γ −β β β =k= ⇔ = 1− α γ α γ 1 = + ( α, β , γ ≠ ) (ñpcm) β α γ 2) a) Ta coù: AD + AC = 2AN ⎫⎪ ⎬ ⇒ AC − AB = 2AN − AC ⇒ AN = AC − AB AD + AB = AC ⎪⎭ Vaø ta coù: 3AG = AB + AM + AN = AB + AN + AB ⇒ 3AG = AB + AC − AB = AB + AC ⇒ AG = AB + AC 18 b) AH = AB + BH = AB + kBC = AB + kBA + k AC = ( − k ) AB + k AC ⇔ ⇒ Điều kiện cần và đủ để AG qua H là AG cùng phương AH ⇔ k = (1 − k ) ⇒ k = 18 11 Baøi 16: Cho tam giaùc ABC 1) Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, D vaø E laø hai ñieåm cho BD = DE = EC 19 Lop10.com (20) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net a) Chứng minh AB + AC = AD + AE b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI , suy A, I , S thaúng haøng 2) Gọi M là điểm định BM = BC − 2AB , N là điểm định CN = xAC − BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng IM b) Xác định x để MN qua điểm I BC Tính IN Hướng dẫn: 1) a) Ta coù: AB + AC = 2AI ( I laø tr ung ñieåm BC ) ⎫⎪ ⎬ ⇒ AB + AC = AD + AE AD + AE = 2AI ( I laø tr ung ñieåm DE ) ⎪⎭ ( ) ( ) b) AS = AB + AC + AD + AE = 2AI + 2AI = 4AI Vì AS = 4AI neân AS vaø AI cuøng phöông hay A, S, I thaúng haøng 2) a) Ta coù: BM = BC − 2AB ⇔ 2AB = BC − BM ( ) ( ) (1) Hay 2AB = BA + AC − BA + AM = AC − AM ⇔ AM = AC − 2AB ( ) ( CN = xAC − BC ⇔ xAC = CN − CB = CA + AN − CA + AB Hay xAC = AN − AB ⇒ AN = xAC + AB (2) Để A, M, N thẳng hàng ⇔ AM, AN cùng phương ⇔ AM = k AN ( ) ( ) ) Choïn k = −2 thì AM = −2AN ⇒ AM + 2AN = ⇔ AC − 2AB + xAC + AB = ⇔ ( 2x + ) AC = ⇔ 2x + = ⇔ x = − Vậy với x = − thì A, M, N thaúng haøng ( ) ( ) ( ) b) BM = BC − 2AB ⇔ BI + IA + BI + IC − BI + IM = ⇒ 2IB = 2IA + IC − IM ⇒ IM = 2IA + 3IC ( ) CN = xAC − BC ⇔ x CI + IA + CI + IN − CI − IB = ⇒ xCI = xIA + IN − IB ⇒ IN = − xIA + ( x − ) IC Để M, N, I thẳng hàng ⇔ IM và IN cùn g phương ⇔ IM = kIN Choïn k = −5 thì IM = −5IN ⇒ IM + 5IN = ⇔ 2IA + 3IC − ⎡⎣ − xIA + ( x − ) IC ⎤⎦ = ⇔ ( x − ) + 3x = ⇔ x = thì M, N, I thaúng haøng ⎧ IM = 2IA + 3IC IM ⎪ Khi x = thì ⎨ ⇒ IM = −5IN ⇒ =5 IN ⎪ IN = − IA − IC 5 ⎩ Vậy với x = 20 Lop10.com (21)