ịn lí bổ sung Với góc BAx( với đỉnh A nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB),có số đo = nửa số đo của cung AB căng dây đo và cung này nằm bên trong góc dó thì cạnh Ax l[r]
(1)HÌNH HỌC
C u n C N N I. H
C Ở ÂM SỐ O C N
1 óc tâm : góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm 2 Số o cung : Kí hiệu số đo cung AB : sđ AB
- Số đo cung nhỏ = số đo góc tâm (< 1800 ) - Số đo cung lớn= 3600
- sđ cung nhỏ(> 1800 ) - Số đo nửa đtròn = 1800
- Hai cung chúng có sđ
- Nếu C điểm nằm cung AB sđ AB =sđ AC + sđ CB C NỘ P
1 ịn ng ĩa
- Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây đường trịn - Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn
B C góc nội tiếp
Cung BC cung bị chắn
2 ịn lí : Trong đtrịn góc nội tiếp = nửa số đo cung bị chắn 3 Hệ Trong đường trịn
a. Các góc nội tiếp chắn cung
b. Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c. Góc nội tiếp có số đo = nửa góc tâm cùngchắn cung (góc nt
9 ) d. Góc nội tiếp chắn nửa đtrịn góc vuông
C ẠO BỞ P N À DÂ C N 1 K niệm
- G c BA g c o i i p u n cung - Cung AB cung ch n
2 ịn lí : Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung = nửa số đo cung bị chắn O
A
B C
O
C B A
O
B A
x
(2)3 ịn lí bổ sung Với góc BAx( với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB),có số đo = nửa số đo cung AB căng dây đo cung nằm bên góc dó cạnh Ax là tiếp tuyến đtrịn
4 Hệ Trong đườngtrịn góc tạo tiếp dây cung góc nội tiếp chắn cung thì
C C ỈNH BÊN ON N N À C C ỈNH BÊN N OÀ N N
- G c B C g c c đ nh n ongđ ng n - Cung BC DE h i cung ch n
Số đo góc có đỉnh bên đtròn = nửa tồng số đo cung bị chắn
- D E g c c đ nh n ngo i đ ng n
- Cung BC DE h i cung ch n cung BC cung nh cung DE cung n
Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn = nửa hiệu số đo cung bị chắn
BÀ P N D N
Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đ ng trịn (O) có đ ng kính BC c AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I giao điểm củ BE CD
a) Chứng minh : AI u ng g c i BC b) Chứng minh : IDˆE = IAˆE
c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác
Bài : Cho đ ng trịn (O) đ ng kính AB Kẻ ti p n Ax v i đ ng tròn Điểm C thuộc nử đ ng tròn nử mặ phẳng v i Ax v i b AB Phân giác góc ACx c đ ng tròn t i E , c BC D Chứng minh :
a) Tam giác ABD cân
b) H giao điểm củ BC DE Chứng minh DH u ng g c i AB c) BE c Ax t i K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi
C B
O
E D
A
O
B
A
C
(3)Bài : Cho A mộ điểm cố đ nh đ ng tròn (O) M mộ điểm di động đ ng tròn đ N giao củ AM v i đ ng kính cố đ nh BC Chứng minh giao điểm củ đ ng tròn (O) v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác OMN cố đ nh
ỆN P Ề C NỘ P
Bài 1 : Cho tam giác ABC nội ti p đ ng tròn (O) Tia phân giác củ góc A c đ ng tròn t i M Tia phân giác củ góc ngồi t i đ nh A c đ ng tròn t i N Chứng minh :
a) Tam giác MBC cân
b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng
Bài 2 : Cho nử đ ng trịn (O) đ ng kính AB M điểm tuỳ ý nử đ ng tròn ( M khác A B ) Kẻ MH AB ( H AB ) Trên nử mặ phẳng b AB nử đ ng tròn (O) vẽ hai nử đ ng tròn tâm O1 đ ng kính AH tâm O2 đ ng kính BH MA MB c hai nử đ ng tròn (O1) (O2) lần
l ợ t i P Q
a) Chứng minh MH = PQ
b) Chứng minh hai tam giác MPQ MBA đồng d ng
c) Chứng minh PQ ti p n chung củ hai đ ng tròn (O1) (O2)
Bài 3 :Cho ABC , đ ng cao AH M điểm bấ kỳ đá BC Kẻ
MP AB MQ AC Gọi O trung củ AM
a) Chứng minh năm điểm A , P , M , H , Q nằm mộ đ ng tròn b) Tứ giác OPHQ hình ? chứng minh
c) Xác đ nh v trí củ M BC để PQ có độ dài nh nhấ
Bài 4 : Cho đ ng trịn (O) đ ng kính AB Lấ điểm M đ ng tròn (M khác A B ) cho MA < MB Lấy MA làm c nh vẽ hình vng MADE ( E thuộc đo n hẳng MB ) Gọi F giao điểm củ DE AB
a) Chứng minh ADF BMA đồng d ng
b) Lấ C điểm giữ cung AB ( không M ) Chứng minh CA = CE = CB
c) Trên đo n thẳng MC lấ điểm I cho CI = CA Chứng minh I tâm đ ng tròn nội ti p tam giác AMB
Bài 5 : Cho nử đ ng trịn (O) đ ng kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nử đ ng trịn CA c nử đ ng tròn M , CB c nử đ ng tròn N Gọi H giao điểm củ AN BM
a) Chứng minh CH AB
b) Gọi I trung điểm củ CH Chứng minh MI ti p n củ nử đ ng tròn (O) c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung M N¼
Bài 6 : Trên cung nh BC củ đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC lấ mộ điểm P tuỳ ý Gọi Q giao điểm củ AP BC
a) Chứng minh BC2= AP AQ
b) Trên AP lấ điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP c) Chứng minh 1
P Q P B P C
-H
BÀ P Ề C ẠO BỞ A P N À MỘ DÂ C N Bài1 : Từ mộ điểm M cố đ nh bên ngồi đ ng trịn (O) , kẻ mộ ti p n
MT ( T ti p điểm ) mộ cát n MAB củ đ ng trịn
a) Chứng minh : MT2 = MA MB b) Tr ng hợp cát n MAB qua
tâm O Cho MT = 20 cm , cát n dài nhấ xuấ phát từ M 50cm Tính bán kính R củ đ ng tròn (O)
(4)C AB
a) Chứng minh CA tia phân giác củ góc MCH b) Giả sử MA =a, MC = 2a Tính AB CH theo a
Bài 3: Cho đ ng tròn (O1) ti p xúc v i đ ng tròn (O) t i A Đ ng kính AB củ đ ng trịn (O)
c đ ng tròn (O1) t i điểm thứ hai C khác A Từ B vẽ ti p n BP v i đ ng tròn (O1) c đ ng tròn
(O) t i Q Chứng minh AP phân giác củ góc Q A B·
Bài 4 : Cho hai đ ng tròn tâm O , O1 ti p xúc t i A Trên đ ng tròn (O) lấ hai điểm phân
biệ B , C khác A Các đ ng thẳng BA , CA c đ ng tròn (O1) t i P Q Chứng minh PQ BC
Bài 5 : Cho tam giác ABC nội ti p đ ng tròn (O) ( AB < AC ) Đ ng tròn (I) qua B C , ti p xúc v i AB t i B c đ ng thẳng AC t i D
Chứng minh : OA BD
Bài 6 : Cho nử đ ng trịn (O) đ ng kính AB= 2R, dây AC tia ti p n Bx nằm nử mặ phẳng b AB nử đ ng trịn Tia phân giác củ góc CAB c dây BC t i F , c nử đ ng tròn t i H , c Bx D
a) Chứng minhFB = DB HF = HD
b) Gọi M giao điểm củ AC Bx Chứng minh AC AM = AH AD c) Tính tích AF AH + BF.BC theo bán kính R củ đ ng trịn (O)
Bài 7 : Cho tam giác ABC nội ti p đ ng tròn tâm O Phân giác góc BAC c đ ng trịn (O) M Ti p tuy n kẻ từ M v i đ ng tròn c tia AB AC lần l ợ D E Chứng minh :
a) BC DE
b) AMB MCE dồng d ng ,AMC MDB đồng d ng c) N u AC = CE MA2 = MD ME
Bài 8 : Cho hai đ ng tròn (O) (O1) Đ ng nối tâm OO1 c đ ng tròn (O) (O1)
t i điểm A , B , C , D theo thứ tự đ ng thẳng Kẻ ti p n n chung EF ( E (O) , F (O1) ) Gọi M giao điểm củ AE DF , N giao điểm củ EB FC Chứng minh :
a) Tứ giác MENF hình chữ nhậ b) MN AD
c) ME MA = MF MD
Bài 9 :Cho tam giác ABC vuông A nội ti p đ ng trịn tâm O đ ng kính 5cm Ti p n v i đ ng tròn t i C c tia phân giác củ góc ABC t i K BK c AC t i D BD =4cm Tính độ dài BK
-H
BÀ P Ề C C ỈNH BÊN ON N N
C C ỈNH BÊN N OÀ N N
Bài 1 : Cho đ ng trịn tâm O điểm M ngồi đ ng tròn đ Từ M kẻ ti p n MA cát n MBC đ n đ ng tròn ( B nằm giữ M C ) Phân giác củ góc ·B A C c BC D , c đ ng tròn E Chứng minh :
a) MD = MA
b) AD AE = AC AB
Bài 2 : Cho tam giác ABC nội ti p đ ng tròn tâm O Các tia phân giác củ góc A B c I c đ ng tròn theo thứ tự D E Chứng minh :
a) BDI tam giác cân
b) DE đ ng trung trực củ IC
c) IF BC ( F giao điểm củ DE AC )
Bài 3 : Cho đ ng tròn tâm O điểm S ngồi đ ng trịn Từ S kẻ hai ti p n SA SD cát n SBC t i đ ng tròn ( B giữ S C )
a) Phân giác củ góc ·B A C c dây cung BC M Chứng minh SA = SM
b) AM c đ ng tròn E Gọi G giao điểm củ OE BS; F giao điểm củ AD v i BC Chứng minh SA2 = SG SF
c) Bi SB = a ; Tính SF BC = 2
(5)Bài 4 : Từ điểm M ngồi đ ng trịn (I) kẻ hai ti p n ME MF ( E F hai ti p điểm ) Kẻ dây EG củ đ ng tròn (I) song song MF Gọi H giao điểm củ MG v i (I) K giao điểm củ EH v i MF a) Chứng minh KF2 = KE KH
b) Chứng minh K trung điểm củ MF
Bài 5 : Cho đ ng trịn (O) đ ng kính EF điểm G nằm nằm đ ng tròn (O) cho EG > GF Trên tia GF lấ điểm H cho GH =GE Vẽ hình vng EGHI có đ ng chéo GI c (O) t i K
a) Chứng minh KFH cân
b) Ti p n t i E v i đ ng tròn (O) c FK M Chứng minh ba điểm M , I , H thẳng hàng
Bài : Cho ứ giác ABCD c A B C D nằm n đ ng n O) Các i AB DC c nh u i E
i CB DA c nh u i F H i ph n giác củ g c Eµ Fµ c nh u i K Chứng minh ằng : E K F· = 900
Bài 7 : Cho tam giác ABC nội ti p đ ng tròn tâm O điểm D di chuyển cung AC Gọi E giao điểm củ AC BD Chứng minh :
a) ·A F B ·A B D
b) Tích AE BF khơng đổi
Bài 8: Trên đ ng tròn (O) lấ ba điểm A,B C Gọi M,N P theo thứ tự điểm giữ củ cung AB,BC AC BP c AN t i I , NM c AB t i E Gọi D giao điểm củ AN BC Chứng minh rằng :
a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c)EI BC d) A N A B
B N B D