CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN A KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN A KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tùy ý (k ≥ 1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n ≥ p, ta thực sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k ≥ p phải chứng minh mệnh đề với n=k+1 II Dãy số Định nghĩa u : ¥* → ¡ n a u ( n) dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … Dãy số tăng, dãy số giảm: • (un) dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > với ∀ n ∈ N* ⇔ • (un) dãy số giảm un +1 > với ∀n ∈ N* ( un > 0) un ⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< với ∀ n ∈ N* ⇔ un +1 < với ∀n ∈ N* (un > 0) un Dãy số bị chặn • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy số bị chặn ⇔ ∃ m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* III Cấp số cộng Định nghĩa: (un) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* Số hạng tổng quát: un = u1 + ( n − 1)d Tính chất số hạng: uk = (d: công sai) với n ≥ uk −1 + uk +1 Tổng n số hạng đầu tiên: S n = u1 + u2 + + un = với k ≥ n(u1 + un ) n [ 2u1 + ( n − 1) d ] = 2 IV Cấp số nhân Định nghĩa: (un) cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N* (q: công bội) Số hạng tổng quát: un = u1.q n −1 với n ≥ Tính chất số hạng: uk2 = uk −1.uk +1 với k ≥ ,q =1  S n = nu1  Tổng n số hạng đầu tiên:  u (1 − q n ) Sn = ,q ≠1  1− q BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài : DÃY SỐ I Nhận biết Câu Thơng thường ta có cách dãy số? A B C D Câu Cho dãy số (un) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A n ∈ ¢ B n ∈ ¥ C n ∈ ¢ * D n ∈ ¥ * n Câu Cho dãy số (un) biết un = ( −1) Chọn khẳng định khẳng định sau đây? A Dãy số (un) tăng B Dãy số (un) giảm C Dãy số (un) không tăng, không giảm D Dãy số (un) vừa tăng vừa giảm Câu Cho dãy số (un) dãy số tăng Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? * * * * A un +1 < un , ∀n ∈ ¥ B un +1 ≤ un , ∀n ∈ ¥ C un +1 > un , ∀n ∈ ¥ D un +1 ≥ un , ∀n ∈ ¥ Câu Cho dãy số (un) dãy số giảm Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? * * * * A un +1 < un , ∀n ∈ ¥ B un +1 ≤ un , ∀n ∈ ¥ C un +1 > un , ∀n ∈ ¥ D un +1 ≥ un , ∀n ∈ ¥ Câu Cho dãy số (un) dãy số bị chặn Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? * * * * A m < un < M , ∀n ∈ ¥ B m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ¥ C un ≤ M , ∀n ∈ ¥ D un ≥ M , ∀n ∈ ¥ Câu Trong hàm số (un) cho đây, hàm số dãy số? 1 A un = B un = C un = n − D un = n −2 n−4 n+5 Câu Cho dãy số (un) dãy số bị chặn số M Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? * * * * A un < M , ∀n ∈ ¥ B un > M , ∀n ∈ ¥ C un ≤ M , ∀n ∈ ¥ D un ≥ M , ∀n ∈ ¥ Câu Cho dãy số (un) biết un = Khi u10 bằng: n +1 1 A 10 B 11 C D 10 11 ĐS: 1C, 2D, 3C, 4C, 5A, 6B, 7B, 8C, 9D II Thông hiểu n  1 Câu 10 Cho dãy số (un) biết un = 1 + ÷ Khi số hạng u3 bằng:  n 64 A B C D 27 Câu 11 Cho dãy số (un) biết u1 = −1 ; un +1 = un + với n ≥ Khi số hạng u3 bằng: A -1 B C D Câu 12 Cho dãy số (un) biết u1 = ; un +1 = + un với n ≥ Khi số hạng u4 bằng: A B 10 C 11 D 12 Câu 13 Cho dãy số (un) biết u1 = −1; u2 = un + = 2un +1 + 3un với n ≥ Khi số hạng u4 bằng: A B C D u = 1, u = 2, u Câu 14 Trong dãy số (un) đây, dãy số thỏa mãn n + = 3un +1 − 2u n với n ≥ ? n −1 n A 1; 2; 8; 16; 32… B 1; 2; 4; 16; 24;… C un = D un = + Câu 15 Cho dãy số (un) biết A 3n + B Câu 16 Cho dãy số (un) biết A 22 n + B Câu 17 Cho dãy số (un) biết A 2n + B un = 3n Khi số hạng un +1 bằng: C 3n.3 3n + un = 2n Khi số hạng u2 n +1 bằng: C 22 n + 2n.2 un = 2n +3 Khi số hạng un −1 bằng: C 2n.2 2n−1 D 3(n + 1) D 22 n.2 D 2n.4 ĐS: 10D, 11D, 12D, 13D, 14C, 15C, 16D, 17D III Vận dụng thấp Câu 18 Cho dãy số (un) biết un = 3n + Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A (un) bị chặn B (un) bị chặn C (un) bị chặn D (un) không bị chặn Câu 19 Cho dãy số (un) biết un = Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? n(n + 1) A (un) bị chặn B (un) bị chặn C (un) bị chặn D (un) không bị chặn n −1 Câu 20 Cho dãy số (un) biết un = Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? n +1 * * * * A < un ≤ 1∀n ∈ ¥ B ≤ un < 1∀n ∈ ¥ C ≤ un ≤ 1∀n ∈ ¥ D < un < 1∀n ∈ ¥ ĐS: 18A, 19C, 20B IV Vận Dụng Cao 1 un +1 = un + với n ≥ Số hạng u100 dãy số bằng: (n + 1)(n + 2) 1.2 101 2576 100 5051 A B C D 102 5151 101 10100 Câu 22 Cho dãy số (un) biết u1 = ; un +1 = un + n với n ≥ Ta có u100 bằng: A 100 B 4949 C 4951 D 4950 Câu 23 Cho dãy số (un) biết un = sin n + cos n Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Câu 21 Cho dãy số (un) biết u1 = * A −2 ≤ un ≤ 2∀n ∈ ¥ * B −2 < un < 2∀n ∈ ¥ Câu 24 Cho dãy số (un) biết u1 = ; un +1 = un + A B C − < un < 2∀n ∈ ¥ * D − ≤ un ≤ 2∀n ∈ ¥ * với n ≥ Dãy số (un) bị chặn số (n + 1) C D ĐS: 21C, 22C, 23C, 24C Bài : CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Nhận biết Câu 1: Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức : A un = u1 + (n − 1)d với n ≥ B un = u1 + nd với n ≥ n −1 C un = u1 + (n + 1)d với n ≥ D un = u1.d với n ≥ Câu 2: Cho cấp số cộng (un ) với công sai d , mệnh đề đâu mệnh đề đúng? A un +1 = un − d với n ∈ ¥ * B un +1 = un + d với n ∈ ¥ * C un +1 = un + với n ∈ ¥ * D un +1 = un d với n ∈ ¥ * d Câu 3: Cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân (un ) với công bội q ≠ là: u (1− q n ) u (1− q n ) u (1+ q n ) u (1+ q n ) A S n = B S n = C S n = n D S n = 1− q 1− q 1− q 1+ q Câu 4: Cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng (un ) với công sai d là: u +u n ( u1 + un ) u (1− d n ) A S n = B S n = C S n = n ( u1 + un ) D S n = n 2 1− d Câu 5: Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định công thức : n A un = u1 + (n − 1)q với n ≥ B un = u1.q với n ≥ n +1 n −1 C un = u1.q với n ≥ D un = u1.q với n ≥ Câu 6: Cho cấp số nhân (un ) với công bội q, mệnh đề đâu mệnh đề đúng? A un +1 = un + q với n ∈ ¥ * B un +1 = un q với n ∈ ¥ * n −1 n C un +1 = un q với n ∈ ¥ * D un +1 = un q với n ∈ ¥ * Câu 7: Trong dãy số hữu hạn đây, đâu cấp số cộng? A 1; -3; -7; -11; -15 B 1; 0; 1; 0; C 2; 4; 8; 16; 32 D 1; 3; 5; 7; 11 Câu 8: Trong dãy số hữu hạn đây, đâu cấp số nhân? A 1; -3; -7; -11; -15 B 1; 0; 1; 0; C 2; 4; 8; 16; 32 D 1; 3; 5; 7; Câu 9: Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = −2 Số hạng thứ cấp số nhân (un ) ? A u5 = −7 B u5 = 16 C u5 = −32 D u5 = −9 Câu 10: Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = công sai d = Số hạng thứ cấp số cộng (un ) ? A u4 = 11 B u4 = 14 C u4 = 54 D u4 = 29 Câu 11: Cho dãy số hữu hạn: 2; 5; 8; … ; 14; 17; 20 Điền số thích hợp vào chỗ trống để cấp số cộng A 10 B 11 C 12 D 13 Câu 12: Cho dãy số hữu hạn: 1; -1; 1; -1; … ; -1; 1; -1 Điền số thích hợp vào chỗ trống để cấp số nhân A B -1 C ±1 D ( u ) u d d = Câu 13: Cho cấp số cộng n có số hạng đầu cơng sai Khi , cấp số cộng có dạng: A u1, u1, u1, u1, , u1, B u1, 0, 0, 0, , 0, C 0,0,0,0,…0,… D 0, u1, u1, u1, , u1, Câu 14: Cho cấp số nhân có dạng a, a, a, , a, (a ∈ ¡ ) , cơng bội q bao nhiêu? A q = a B q = C q = D q = −1 ĐS: 1A, 2B, 3A, 4A, 5D, 6B, 7A, 8C, 9B, 10A, 11B, 12A, 13A, 14C Thông hiểu Câu 15: Cho cấp số nhân (un ) có u1 = − , u7 = −32 Khi cơng bội q ? A q = B q = ±2 C q = ±4 D q = Câu 16: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = −2, u5 = 28 Tính cơng sai d 26 13 15 A d = B d = C d = D d = 2 Câu 17: Cho cấp số cộng −2, x, 6, y Hãy chọn kết kết sau: A x = −6, y = −2 B x = 1, y = C x = 2, y = D x = 2, y = 10 Câu 18: Cho cấp số nhân −4, x, −9 Hãy chọn kết kết sau: A x = 36 B x = −36 C x = −6, D x = 1 Câu 19: Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = công sai d = − Tổng số hạng đầu cấp số cộng 4 5 (un ) bao nhiêu?A S5 = B S5 = C S5 = − D S5 = − 5 Câu 20: Cho cấp số cộng (un ) Hãy chọn hệ thức sai hệ thức sau: u +u u +u A = u2 B u3 + u4 = 2u5 C u3 + u5 = 2u4 D = u5 2 Câu 21: Cho cấp số cộng có cơng sai d = −2, tổng số hạng đầu 72 Tính số hạng đầu cấp số cộng 1 A.16 B −16 C D − 16 16 Câu 22: Cho cấp số nhân (un ) biết công bội q = số hạng thứ tư u4 = Tìm số hạng đầu u1 21 27 34 16 A u1 = B u1 = C u1 = − D u1 = − 14 21 Câu 23: Cho cấp số cộng (un ) có u4 = −12, u14 = 18 Khi số hạng cơng sai A u1 = −20, d = −3 B u1 = −22, d = C u1 = −21, d = D u1 = 21, d = −3 Câu 24: Trong dãy số (un ) đây, dãy số cấp số nhân ? 1 1 A un = n − B un = n C un = n + D un = n − 3 3 ( u ) Câu 25: Trong dãy số n đây, dãy số cấp số nhân ?  u1 = u1 = u1 = A  B un +1 = nun C  D  un +1 = −5un un +1 = un − u = u n  n +1 Câu 26: Trong dãy số (un ) đây, dãy số cấp số cộng ? 1 D un = n − n Câu 27: Cho cấp số cộng (un ) với un = 3n + Tìm số hạng đầu u1 công sai d A u1 = 5; d = B u1 = 2; d = C u1 = 5; d = D u1 = 3; d = Câu 28: Tính tổng S = 1+ 2+ 3+ + 5+ 6+ + 30 A S = 465 B S = 930 C S = 900 D S = 450 Câu 29: Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = Tổng số hạng đầu cấp số nhân 31 31 (un ) bao nhiêu?A S5 = −8 B S5 = − C S5 = D S5 = 4 Câu 30: Rút gọn biểu thức A = 1+ 3+ 5+ + + 2n − 1; n ∈ ¥ * A A = n2 B A = 2n C A = n D A = 3n A un = − 2n n B un = C un = ĐS: 15B, 16C, 17D, 18C, 19C, 20B, 21A, 22A, 23C, 24B, 25C, 26A, 27C, 28A, 28C, 30A Vận dụng thấp Câu 31: Cho cấp số cộng (un ) có u4 = 7, u10 = Khi số hạng cơng sai 1 1 A u1 = 6; d = B u1 = 3; d = C u1 = 4; d = D u1 = 2; d = Câu 32: Cho cấp số nhân (un ) có u2 = 8, u5 = Khi tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân ? 1023 1032 1032 1023 A B C D 32 23 16 64 1 Câu 33: Tính tổng S = 1+ + + + n 3 n +1 n n n +1   1    1    1    1  A S = 1−  ÷  B S = 1−  ÷  C S = 1−  ÷  D S = 1+  ÷    3    3    3    3          Câu 34: Cho cấp số cộng biết số hạng đầu u1 = −1 , công sai d = tổng tất số hạng 483 Hỏi cấp số cộng cho có số hạng ? A 20 số hạng B 21 số hạng C 22 số hạng D 23 số hạng Câu 35: Biết số đo góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Khi đó, góc có số đo nhỏ là: A 300 B 450 C 600 D 250 Câu 36: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = 123 u3 − u15 = 84 Số hạng u17 là: A 242 B 235 C 11 D Câu 37: Cho cấp số nhân (un ) có u2 = ; u5 = 16 Tìm cơng bội q số hạng cấp số nhân 1 1 1 A q = ; u1 = B q = − , u1 = − C q = 4, u1 = D q = −4, u1 = − 2 2 16 16 ĐS: 31A, 32A, 33A, 34D, 35A, 36C, 37C Vận Dụng Cao Câu 38: Ba số x, y , z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; ba số x, y − 4, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời, số x, y − 4, z − theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tổng A= x+ y+z A A = B A = −11 C A = D A = −5 Câu 39: Ba số nguyên x, y , z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời, chúng số hạng đầu, số hạng thứ ba số hạng thứ chín cấp số cộng Hãy tìm số đó, biết tổng chúng 13 A x = 9; y = 3; z = B x = 1; y = 3; z = 13 13 13 C x = 13; y = −13; z = 13 D x = ; y = ; z = 3 Câu 40: Có giá trị x ∈ [ 0; 4π ] để ba số sin 3x;sin 2x;sin x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A B C D x , y , z Câu 41: Ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q ≠ 1; đồng thời, ba số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với cơng sai khác Hãy tìm q 1 A q = − B q = C q = −1 D.Không tồn q 3 Câu 42: Cho ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Đẳng thức đúng? A a + c = 4b B a + c = 2ab − 2bc C a − c = 2ab − 2bc D a − c = ab − bc Câu 43: Tỉ lệ tăng dân số tỉnh A 1,4% Biết số dân tỉnh 2,4 triệu người Hỏi với mức tăng sau 10 năm số dân tỉnh bao nhiêu? A ≈ 2, triệu người B ≈ 2, triệu người C ≈ 2, triệu người D ≈ 2, triệu người ĐS: 38A, 39 B, 40D, 41B, 42C, 43A ĐỀ THI THPT QG 2019 Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng cho A B 10 C −6 D Câu Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = u2 = Công sai cấp số cộng cho Câu 1: A B C −3 CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 D I : QUAN HỆ SONG SONG I Kiến thức Hai đường thẳng song song : Sử dụng cách sau : • Chứng minh a b đồng phẳng khơng có điểm chung • Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet …) • Sử dụng định lý • Chứng minh phản chứng Đường thẳng song song với mặt phẳng d ⊄ α  Phương pháp d // a a ⊂ α  ⇒ d // α Hai mặt phẳng song song Phương pháp Phương pháp a ⊂ (α ), b ⊂ (α )  a ∩ b = M a //( β ), b //( β )  ⇒ (α ) //( β ) a ⊂ (α ), b ⊂ (α ) a ∩ b = M  c ⊂ ( β ), d ⊂ ( β ) c ∩ d = N  a // c, b // d ⇒ (α ) //( β ) II Kĩ Học sinh vẽ nhanh xác hình vẽ, nhận dạng nhanh u cầu tốn Học sinh nhìn nhận hình vẽ xác Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi có cặp cạnh đối khơng song song với Gọi M điểm SA; Gọi O giao điểm AC BD; Gọi E giao điểm AB CD; F giao điểm AD BC Khi giao tuyến mặt phẳng (SAC) (SBD) A SE B SF C SO D OM Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M; N; P điểm thuộc AB; BC; SO Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Câu Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm thuộc SD Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (BCM) hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Câu Cho hình chóp S.ABCD Gọi E giao điểm AB CD; M điểm nằm bên tam giác SCD Giao điểm mặt phẳng (ABM) SD là: A Là giao điểm SD AM B Là giao điểm SD CM C Là giao điểm SD BM D Là giao điểm SD EM Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, K trung điểm SA, SC, CD Giao tuyến hai mặt phẳng: (MNK) (ABCD) : A Đường thẳng KE với E = MK ∩ AC B Đường thẳng KH với H = NK ∩ AC C Đường thẳng qua K song song với AC D Đường thẳng KI với I giao điểm MK AB Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M ; N trung điểm BC BD Gọi K điểm thuộc đoạn AD Điểm K vị trí AD thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNK) hình bình hành: A KA = 3KD B KA = 2KD C KA = KD D KA = KD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M ; N; P trung điểm AB; BC CD Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo thiết diện hình gì? A Tam giác B Hình thang C Hình bình hành D Hình vng Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P điểm thuộc AD, CD, SO Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = PD Khi giao điểm đường thảng CD với mp (MNP) A Trung điểm CD B Giao điểm MN CD C Giao điểm MP CD D Giao điểm NP CD Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi N, K trung điểm SC, CD Khẳng định sau ? A NK song song với mp(SAB) B NK song song với mp(SAD) C NK song song với mp(ABC) D NK song song với mp(SCD) Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang AB đáy lớn Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) A Đường thẳng SI với I = BD ∩ AC B Đường thẳng SK với K = AD ∩ BC C Đường thẳng SE với E = AB ∩ CD D Đường thẳng qua S song song với AB Câu 11 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC BD cho NB=ND Khi giao điểm đường thẳng CD mp (AMN) A Giao điểm đthẳng AM CD B Giao điểm đthẳng MN CD C CD khơng có giao điểm với (AMN) D Giao điểm đthẳng AN CD Câu 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trọng tâm tam giác ABC tam giác ABD, E trung điểm AB Đường thẳng MN song với mặt phẳng A mp(BCD) B mp(ABC) C mp(ABD) D mp(ECD) Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang AB đáy lớn.Gọi M điểm cạnh SB (M không trùng S B) Giao điểm đường thẳng DM (SAC) A Giao điểm đường thẳng DM với AC B Giao điểm đường thẳng DM với SC C Giao điểm DM với SI với I = BD ∩ AC D Giao điểm đường thẳng DM với SA Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, K trung điểm AB, CD, SA Khẳng định sau sai ? A SB//(MNK) B SC// (MNK) C SD// (MNK) D AD // (MNK) Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm cạnh AB (M khác A,B) Giao tuyến hai mặt phẳng: (SCM) (SBD) : A Đường thẳng MD B Đường thẳng SK với K giao điểm AC BD C Đường thẳng SE với E = SB ∩ CM D Đường thẳng SI với I = BD ∩ MC Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, K trung điểm AB, CD, SA Khẳng định sau đúng: A SD // (MNK) B SD // (MNK) C CD // (MNK) D SC // (MNK) Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm AB, SC Khẳng định sau sai A MN // (SAD) B SB // (OMN) C OM // (SAD) D ON // (SAD) Câu 18 Cho hình chóp S.ABC Gọi M trung điểm SA, N điểm cạnh SB (N không trùng trung điểm SB N khác S,C) Giao điểm MN (ABC) là: A Giao điểm đường thẳng MN với AB B Giao điểm đường thẳng MN với AC C Giao điểm đường thẳng MN với SC D Giao điểm đường thẳng MN với BC Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD Gọi E giao điểm AB CD; M điểm nằm bên tam giác SCD Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (ABM) hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác II QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN I Kiến thức Hai đường thẳng vng góc với C1 : Dùng quan hệ vngagóc biết mặt phẳng C2 : a ⊥ b ⇔ góc (a;b) = 90o C3: Dùng hệ quả:P b a ⊥ (P ) ⇒a⊥b b ⊂ (P ) C4: Dùng hệ quả: b a c b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c C5 : Dùng hệ quả: a a song song (P ) ⇒a⊥b b ⊥ (P )  b P C6 : Sử dụng định lí ba đường vng góc C7: Dùng hệ quả: Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại tam giác ∆ ⊥ ∆ ⊥ AB   ⇒ ∆ ⊥ BC ∆ ⊥ AC  B A C C8:a ⊥ b vtcp đt vng góc Chú ý:Đlí hàm số cosin cos A = AB + AC − BC BA + BC − AC ; cos B = AB AC 2.BA.BC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng a b c P b , c cắt , b,c ⊂ (P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P ) C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng b a P a // b , b ⊥ (P ) ⇒ a ⊥ (P ) C3 : Dùng Q hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, đường thẳng a nằm mẵt phẳng vng góc với giao tuyến b đường thẳng a vng góc với mặt phẳng a b P (P ) ∩ (Q) = b   ⇒ a ⊥ (P ) a ⊂ (Q),a ⊥ b C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba ∆ (α) (α ) ∩ (β ) = ∆   ⇒ ∆ ⊥ (P ) (α ) ⊥ (P ),(β ) ⊥ (P ) (β) P Mặt phẳng vng góc mặt phẳng C1 : Chứng minh góc chúng vng • (α ) ∩ (β ) = ∆ , Ox ⊂ (α ),Ox ⊥ ∆ , Oy ⊂ (β ),Oy ⊥ ∆ ∆ x O ϕ α Khi đó: y β · góc ((α );(β )) = góc (Ox;Oy) = xOy = ϕ : ≤ ϕ ≤ 90o C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vng góc với có đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng a β α a ⊂ (β )  ⇒ (α ) ⊥ (β ) a ⊥ (α )  II Kĩ Học sinh vẽ nhanh xác hình vẽ Học sinh nhìn nhận hình vẽ xác Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, tam giác SIC vuông I, SA = SB, I trung điểm AB Khẳng định sau sai ? A IC ⊥ ( SAB) B SI ⊥ ( ABC ) C AC ⊥ ( SAB ) D AB ⊥ ( SAC ) Câu Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) O, điểm A’ hình chiếu A ∈ d lên (P) Gọi ϕ góc d (P) Hỏi ϕ xác định góc sau ? A ϕ = ·AOA ' B ϕ = ·A ' AO C ϕ = ·AA ' O D ϕ =00 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, đáy tam giác Mệnh đề sau ? A (SAB) ⊥ (SAC) B.(SAB) ⊥ (ABC) C (SBC) ⊥ (SAC) D.(SBC) ⊥ (SAB) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O SA vng góc với đáy Mặt phẳng vng góc với BD ? A (SAB) B.(SAD) C (SAC) D (SBD) Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình chữ nhật Khi góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) góc sau ? · · · A SBA B SBC C SBD D · SAB Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N hình chiếu A lên SB SD Tính số đo góc SC mặt phẳng (AMN) A 900 B 600 C 450 D 300 Câu Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi ϕ góc AO (ABC) Tính tan ϕ A tan ϕ = B tan ϕ = C tan ϕ =a D tan ϕ = Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA= a a Góc mặt phẳng (ABC) (SBC) A 900 B 600 C 450 D 300 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a; Cạnh bên SA vng góc với đáy Tính số đo góc mặt phẳng (SBC) cà (SCD) A arctan 10 B arcsin 10 C arccos 10 D.arccot 10 · Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a; AC = 2a; AA’=2a BAC = 1200 Tính số đo góc mặt phẳng (BMA’) (ABC) Câu 10 A arctan B arcsin C arccos D.arccot Câu 11 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a , AD = a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc mp(ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD) theo a 3a Câu 12 A B a C 3a D 3a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh AB = 2a, BD = 3AC , tam giác SAB cân S nằm mp vng góc với mp(ABCD), gọi M trung điểm SD, góc mp(AMC) và(ABCD) 300 Tính khoảng cách SB CM theo a 3a Câu 13 A B a C 3a D 3a Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M trung điểm cạnh BB’ Gọi O O’ tâm hai hình vng A’B’C’D’ DCC’D’ Tính khoảng cách hai đường thẳng OO’ AM theo a 5a 12 Câu 14 A B a 12 C 3a D 3a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng tai A B với AB = BC = a, AD = 2a, SA = a 2, SA ⊥ ( ABCD) Gọi I trung điểm SC, AI ⊥ ( SCD ) Tính góc (SAB) (SCD) A 300 B 450 C 600 D 900 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 Tính góc (SAB) (SCD) A 300 B 450 C 600 D 900 Câu 15 Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a , AB ⊥ (BCD) AB = a Tính khoảng cách từ điểm Câu 16 D đến (ABC)? A a B a C a D a Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA = AB = BC = 2a, SA ⊥ (ABC ) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC? Câu 17 A a B a 2 C 2a a D Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD; H giao điểm CN với DM, SH ⊥ ( ABCD ), SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a 57 a 19 Câu 19 A B 57 a 19 C 57 a 38 D 19a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh AB = 2a, BD = 3AC , tam giác SAB cân S nằm mp vng góc với mp(ABCD) , gọi M trung điểm SD , góc mp(AMC) và(ABCD) 300 Tính khoảng cách SB CM theo a 3a Câu 20 A B a C 3a D 3a Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M trung điểm cạnh BB’ Gọi O O’ tâm hai hình vng A’B’C’D’ DCC’D’.Tính khoảng cách hai đường thẳng OO’ AM theo a 5a 12 Câu 21 A B a 12 C 3a D 3a Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a; BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông ˆ = 300 Khoảng cách từ B đến (SAC) theo a góc với (ABC) Biết SB = 2a 3; SBC A 2a D B a C a 3 Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SC mp(ABC) 45 ° Hình chiếu S lên mp(ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB Biết CH = A 6a 7 a 210 15 B D a 210 45 a Tính khoảng cách đường thẳng SA BC a 210 C 30 a 210 20 · Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân A, AB = AC = 2a;CAB = 120° Góc (A'BC) (ABC) 45° Khoảng cách từ B' đến mp(A'BC) Câu 23 A a B 2a D a 2 C a Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mp(SCD) A a 21 B D a 21 14 C a 21 a 21 21 Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Hình chiếu S lên mp(ABCD) trung điểm H AB, tam giác SAB vuông cân S Biết SH = a 3; CH = 3a Khoảng cách đường thẳng SD CH A 4a 66 11 B a 66 11 a 66 22 C 2a 66 11 D Câu 26 (Đề TK 2018) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BD A’C’ A 3a B a C 2a D 3a Câu 27 (Đề TK 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD Tang góc đường thẳng BM mp(ABCD) A B D C Câu 28 (Đề TK 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC Góc hai đường thẳng OM AB A 300 B 450 C 600 D 900 (Đề TK 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = AA’=2 Gọi M, N, P trung điểm cạnh A’B’, A’C’ BC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng (AB’C’) (MNP) Câu 29 13 65 Câu 30 A B 13 65 C 17 13 65 D 18 13 65 (Đề TK 2018) Cho hai hình vng ABCD ABEF có cạnh 1, nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi S điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF A B 11 12 C ĐỀ THI THPT QG 2019 Câu Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , D SA = 2a , tam giác ABC vuông B , AB = a BC = a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 90o B 45o C 30o D 60o Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) A 21a 14 B 21a C 2a Câu 11 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng D ( ABC ) , 21a 28 SA = 2a , tam giác ABC vuông B , AB = a BC = 3a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 90o B 30o C 60o D 45o Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ C đến ( SBD ) bằng? (minh họa hình vẽ sau) 2a 21a D Câu 17 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) SA = 2a , tam giác ABC vuông cân B A 21a 28 B 21a 14 C AB = a Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 45° B 60° C 30° D 90° Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) A a 21 14 B a 21 28 C a D a 21 Câu24 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông cân B AB = 2a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 60° B 45° C 30° D 90° Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) A a B a 21 28 C a 21 D a 21 14 Câu 32.Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a , tam giác ABC vuông B, AB = a , BC = a Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) A 30o B 90o C 45o D 60o Câu 33.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) A 21a B 21a 28 C 2a D 21a 14 B PHẦN TỰ LUẬN Bài 11 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông cân B , SA = AB = a Tính a Góc đường thẳng SB ( ABC ) b Góc SC ( SAB ) c Góc SA (SBC) a Bài 12 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) Biết SA = Tính a Góc SC ( ABCD ) b Góc SC ( SAB ) Bài 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật có AB = 2a; AD = 3a Hình chiếu vng góc S lên ( ABCD ) H thuộc AB cho HB = HA , góc SC ( ABCD ) 450 a Tính khoảng cách từ D đến ( SHC ) b Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách từ M đến ( SHD ) · Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh a , BAD = 1200 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết số đo góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a, AD = 2a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD) điểm H thuộc cạnh AB cho AH = 2HB Góc mặt phẳng ( SCD) mặt phẳng ( ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AD Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a a Chứng minh : (SAB) ⊥ (SBC), (SAD) ⊥ (SCD), (SAC) ⊥ (SBD) b Tính góc SC (ABCD); SC (SAB); AC (SBC) c Tính khoảng cách từ A đến (SBC) d Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD; AC SD Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi O tâm đáy ABCD a Chứng minh rằng: (SBD) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (SBD) b Tính góc SA (ABCD) c Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SC Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a a Chứng minh : BD ⊥ SC , ( SBD ) ⊥ ( SAC ) b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) c Tính góc SC (ABCD) …………………………………………………………………………………………