Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển

Chuyên đề đại số sơ cấp Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Giảng viên hướng dẫn: : TS Nguyễn Hữu Điển Giáp Thị Thùy Dung Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Giảng viên hướng dẫn: : TS Nguyễn Hữu Điển Giáp Thị Thùy Dung Số điện thoại: 0944520629 Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Giảng viên hướng dẫn: : TS Nguyễn Hữu Điển Giáp Thị Thùy Dung Số điện thoại: 0944520629 Email: vutruong2100@gmail.com Cấu trúc Khái niệm Khái niệm Khái niệm Khái niệm Ký hiệu I (a, b) bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] đường thẳng thực Khái niệm Khái niệm Ký hiệu I (a, b) bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] đường thẳng thực Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f : I (a, b) → R gọi hàm lồi I (a, b) với x1 , x2 ∈ I (a, b) số thực α1 , α2 ≥ 0, α1 + α2 = 1, ta có: α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) ≥ f (α1 x1 + α2 x2 ) Mở rộng bất đẳng thức Jensen Đặt X = x1 + x2 + · · · + xn n k Khi (∗) có dạng i =1 Vậy        xi ≥ kX (1 ≤ k ≤ n − 1) k i =1 n xi ≥ kX xi = nX i =1 ∀k : ≤ k ≤ n − 1) Mở rộng bất đẳng thức Jensen Đặt X = x1 + x2 + · · · + xn n k Khi (∗) có dạng i =1 Vậy ⇒ (x1 , x2 , , xn )        xi ≥ kX (1 ≤ k ≤ n − 1) k i =1 n xi ≥ kX xi = nX i =1 (X , X , X ) ∀k : ≤ k ≤ n − 1) Mở rộng bất đẳng thức Jensen Đặt X = x1 + x2 + · · · + xn n k Khi (∗) có dạng i =1 Vậy        ⇒ (x1 , x2 , , xn ) Karamata ta được: n i =1 xi ≥ kX (1 ≤ k ≤ n − 1) k i =1 n xi ≥ kX ∀k : ≤ k ≤ n − 1) xi = nX i =1 (X , X , X ) Áp dụng bất đẳng thức  n xi   i =1   f (xi ) ≥ nf (X ) = nf   n  Mở rộng bất đẳng thức Jensen Đặt X = x1 + x2 + · · · + xn n k Khi (∗) có dạng i =1 Vậy        ⇒ (x1 , x2 , , xn ) Karamata ta được: n i =1 xi ≥ kX (1 ≤ k ≤ n − 1) k i =1 n xi ≥ kX ∀k : ≤ k ≤ n − 1) xi = nX i =1 (X , X , X ) Áp dụng bất đẳng thức  n xi   i =1   f (xi ) ≥ nf (X ) = nf   n  Đây bất đẳng thức Jensen quen thuộc Vậy bất đẳng thức Karamata mở rộng thực bất đẳng thức Jensen Mở rộng bất đẳng thức Jensen Mở rộng bất đẳng thức Jensen Định lý 3.2.2 (Bất đẳng thức Szego) Cho hàm số f (x) xác định lồi tập [0, a] với a > cho dãy 2n − số không âm đơn điệu giảm: a ≥ a1 ≥ a2 ≥ ≥ a2n−1 ≥ Khi ta có bất đẳng thức: 2n−1 j=1  2n−1 (−1)j−1 f (aj ) ≥ f  j=1  (−1)j−1 aj  Mở rộng bất đẳng thức Jensen Mở rộng bất đẳng thức Jensen Định lý 3.2.3 (Định lí T.Popoviciu) Với hàm lồi I (a, b) với x, y , z ∈ I (a, b) ta có bất đẳng thức: f (x)+f (y )+f (z)+3f ( x +y y +z z +x x +y +z ) ≥ 2f ( )+2f ( )+2f ( ) 2 Mở rộng bất đẳng thức Jensen Định lý 3.2.3 (Định lí T.Popoviciu) Với hàm lồi I (a, b) với x, y , z ∈ I (a, b) ta có bất đẳng thức: f (x)+f (y )+f (z)+3f ( x +y y +z z +x x +y +z ) ≥ 2f ( )+2f ( )+2f ( ) 2 Nhận xét: Định lí mở rộng thực bất đẳng thức Jensen hàm lồi Mở rộng bất đẳng thức Jensen Định lý 3.2.3 (Định lí T.Popoviciu) Với hàm lồi I (a, b) với x, y , z ∈ I (a, b) ta có bất đẳng thức: f (x)+f (y )+f (z)+3f ( x +y y +z z +x x +y +z ) ≥ 2f ( )+2f ( )+2f ( ) 2 Nhận xét: Định lí mở rộng thực bất đẳng thức Jensen hàm lồi Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen ta có: f (x) + f (y ) + f (z) ≥ f ( x +y y +z z +x )+f( )+f( ) 2 Mở rộng bất đẳng thức Jensen Định lý 3.2.3 (Định lí T.Popoviciu) Với hàm lồi I (a, b) với x, y , z ∈ I (a, b) ta có bất đẳng thức: f (x)+f (y )+f (z)+3f ( x +y y +z z +x x +y +z ) ≥ 2f ( )+2f ( )+2f ( ) 2 Nhận xét: Định lí mở rộng thực bất đẳng thức Jensen hàm lồi Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen ta có: f (x) + f (y ) + f (z) ≥ f ( 3f ( x +y y +z z +x )+f( )+f( ) 2 x +y y +z z +x x +y +z )≤f( )+f( )+f( ) 2 Mở rộng bất đẳng thức Jensen Định lý 3.2.3 (Định lí T.Popoviciu) Với hàm lồi I (a, b) với x, y , z ∈ I (a, b) ta có bất đẳng thức: f (x)+f (y )+f (z)+3f ( x +y y +z z +x x +y +z ) ≥ 2f ( )+2f ( )+2f ( ) 2 Nhận xét: Định lí mở rộng thực bất đẳng thức Jensen hàm lồi Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen ta có: f (x) + f (y ) + f (z) ≥ f ( 3f ( x +y y +z z +x )+f( )+f( ) 2 x +y y +z z +x x +y +z )≤f( )+f( )+f( ) 2 Do vậy, định lí Popoviciu cho phép ta thực phép cộng trái chiều bất đẳng thức Mở rộng bất đẳng thức Jensen Mở rộng bất đẳng thức Jensen KẾT LUẬN VẤN ĐỀ Mở rộng bất đẳng thức Jensen KẾT LUẬN VẤN ĐỀ Trong chuyên đề bạn bắt gặp bất đẳng thức quen thuộc chứng minh phương pháp chung - phương pháp dùng tính chất lồi lõm hàm số Qua nhìn bất đẳng thức theo cách nhìn thống phương pháp chứng minh sáng tạo bất đẳng thức