Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp 2 rồi lập bbt.. GV: Mai ThÞ Thuý..[r]
Trang 1Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 1 Giải các phương trình chứa căn thức sau:
1, x 3 5 3 x 4 11, 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2
2, x2 5 x 1 ( x 4) x2 x 1 12, 3 2 x 1 x 1
3, 418 x 5 4 x 1 13, x3 1 2 23 x 1
4, 3 2 x 2 2 x x 6 14, 5 x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1
5, 2 x2 8 x 6 x2 1 2 x 2 15, 2 33 x 2 3 6 5 x 8
6, x x( 1) x x( 2) 2 x2 16, 2 x 7 5 x 3 x 2
7, 3 x 4 3 x 3 1 17, x 2 7 x 2 x 1 x2 8 x 7 1
8, x 4 x2 2 3 x 4 x2 18, 2 3
2
x
9, x2 3 x 3 x2 3 x 6 3 19, 4 x2 13 x 5 3 x 1
10, x2 2 x 4 3 x3 4 x 20, 5 2 2 5 2 2
4x x 4x x x
Bài 2 Giải các bất phương trình vô tỷ sau:
1, ( x 3) x2 4 x2 9 5, x 1 3 x 4
2, x 3 2 x 8 7 x 6, 5 x2 10 x 1 7 x2 2 x
3, 7,
2
1 1 4
3
x
x
8 x2 6 x 1 4 x 1 0
4, 3 1 8,
2 2
x x
2 x 1 3 x 2 4 x 3 5 x 4
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau:
1, 9,
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
y x
2, 10,
2
x x y x
x y x
x y x y
x x y y y
Trang 2Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3, 11,
5
13
x y
x x y y
x y x y
x y
4, 12,
2
x xy
x xy y
2 2
5, 5 2 7 13,
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
6, 14,
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
x x xy
y y
7, 22 32 4 6 15,
xy x y
36 25 60
36 25 60
36 25 60
8, 16,
x xy y x y
x xy y x y
x x y y
Bài 4 Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá:
1, 22x 10 3 x 5, lgx2 x 6 x lgx24
2, 3 6,
5 2 6 x 5 2 6 x 3 x 9x 2 x 2 3 x 2 x 5 0
3, 3 x2 13 4 x 3 3 x2 6 7, log 12 x log3x
4, 4 x 1 417 x 2 8, 4x 7x 9 x 2
Bài 5 Giải các phương trình mũ sau:
1, 2 3 23 2 3 23 14 6,
5 21 x 7 5 21 x 2x3
2, 4.3 9.2 5.62 7,
x
x x
2.81x 7.36x 5.16x 0
3, 8 2 4.34 8,
x
x
x 2x22x.3x 3 2
Trang 3Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
4, 9x2 x 1 10.3x2 x 2 1 0 9, xlog 9x3 33 log 9x1
5, 32x 2x 9 3 x 9.2x 0 10, x3.3x 27 x x 3x 1 9 x3
Bài 6 Giải các phương trình logarit sau:
1, 23 3 3 5,
log x log x 1
x
8 10
log x x log x x x 2 0
2, log 5 log 255 5 3 7,
x
x
2
logx x 14log xx 40log x x 0
3, 3 2 2 2 8,
logx x x 3 log x x 3 log 2 2log 4 logx 2x 2x8
4, 3 9 9,
3
4
1 log
x
x
x
log x x 4 log x x 3 0
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
log x x 2 3log x x 2 5
11, log (33 x 1)log (33 x1 3) 6
Bài 7 Giải các bất phương trình mũ:
1, 4,
2
3
x x
2 x 7.2 x 7.2x 2 0
2, 32 1x 22 1x 5.6x 0 5,
0 1
x
3, 2 35 6,
2
12
x
x
x
2x x 2 2x 2 x
Bài 8 Giải các bất phương trình logarit:
1, logx1 2 x 2 4, 2 2
2
x x x
2, (log 8 logx 4x2)log2 2 x 0 5, 2
log log x 3 1
Trang 4Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3, 6,
2
2
x
x
x
0
x
Bài 9 Giải các hệ phương trình mũ, logarit:
1, ln(12 ) ln(1 )2 5,
x xy y
y x
x x x
y y y
2, 6,
10
x y
x y
x y x y
3, 7,
3
x y
x y
5
3log
y x
x y
x y x y
4, 8,
2
1
x
y y y
Bài 10 Tìm tham số m để phương trình:
1, 4 x2 1 x m có nghiệm
2, 4 x4 13 x m x 1 0 có đúng một nghiệm
3, 3 có nghiệm
2 log x 4mx log 2x2m 1 0
Bìa 11 Tìm tham số m để bất phương trình:
1, 2 đúng với mọi 2, có nghiệm
1
2
logm 3 1
m
x
3, m x2 2 x 2 1 x (2 x ) 0 có nghiệm x 0;1 3
Bài 12 Tìm tham số m để hệ phương trình:
1, 2 0 có nghiệm duy nhất 2, có nghiệm
1
x y m
x xy
2
3, 2 2 có nghiệm với mọi
2
1
m nxy x y
n R
Trang 5Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 13 Chứng minh rằng hệ có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
2
2
2007
1 2007
1
x
y
y e
y x e
x
Bài 14 Xác định m để bpt: 92x2 x2m a .62x2 xm1 4 2x2 x0 nghiệm đúng với mọi thỏa mãn 1
x
Bài 15 Xác định m để pt 2 2 có 3 nghiệm
log logx x 2x 3 mlog x2log x 2x 3 2m0 phân biệt
Bài 1 1, x 3 5 3 x 4 - Đáp số: x4
2, x2 5 x 1 ( x 4) x2 x 1
- Đặt t x2 x 1 0, pt đã cho trở thành: 2 4 4 0
4
t x
t x t x
t
Với t x x2 x 1 x : vô nghiệm
2
t x x x
3, 418 x 5 4 x 1
- Ta đặt u 418 x 0; v 4 x 1 0 u4 v4 17, ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v giải hệ này tìm được u, v suy ra x.- Đáp số: Hệ vô nghiệm
4, 3 2 x 2 2 x x 6 * - Điều kiện: x2
- Ta có: * 2 3 8 3 3
x x
x
- Đáp số: 108 4 254
3;
25
x
5, 2 x2 8 x 6 x2 1 2 x 2 Đáp số: 25; 1
7
x
6, x x( 1) x x( 2) 2 x2 ĐS: 0;9
8
x
7, 3 x 4 3 x 3 1 Đáp số: x 5; 4
Trang 6Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
9, x2 3 x 3 x2 3 x 6 3
- Đặt t x2 3 x 3 0 x2 3 x 3 t2
- Phương trình thành:
2 2
3
t
Suy ra x2 3 x 2 0 x 1; 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là x 1; 2
10, x2 2 x 4 3 x3 4 x Điều kiện: x0
2
4 4
u v
u v
u v u v
u v uv
Giải ra ta được 4 (thỏa mãn)
3
x
11, 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2 Điều kiện: x1
- Khi đó: 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x2 5 x 2
2
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x1
12, 3 2 x 1 x 1 Đáp số: x 1; 2;10
3
2
1 2
14, 5 x2 14 x 9 x2 x 2 5 x 1 ĐS: 1; ;119
4
x
15, 2 33 x 2 3 6 5 x 8 Đáp số: x 2
16, 2 x 7 5 x 3 x 2 Đáp số: 1;14
3
x
17, x 2 7 x 2 x 1 x2 8 x 7 1 - Điều kiện: 1 x 7
Trang 7Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
- Ta có: x 2 7 x 2 x 1 x2 8 x 7 1
x 1 x 1 7 x 2 x 1 7 x
4
x
- Đặt 3 Đáp số:
1
2
x
y
2 2
;
x
4x 13x 5 3x 1 2x 3 x 4 3x 1
- Đặt Đáp số:
2 2
;
x
20, 5 2 2 5 2 2 - Điều kiện:
4x x 4x x x x 1
- PT đã cho 2 1 2 1 - Đáp số:
5
x
Bài 2 1, ( x 3) x2 4 x2 9 ĐS: ; 13 3;
6
x
2, x 3 2 x 8 7 x ĐS: x 4;5 6;7
2
2 2
x x
2 2
x
2
x
x
5, x 1 3 x 4 ĐS: x 0;
6, 5 x2 10 x 1 7 x2 2 x t x2 2 x ĐS: x 1; ; 3 \ 1 2 2
7, 8 x2 6 x 1 4 x 1 0 ĐS: 1; 1
x
Trang 8Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
8, 2 x 1 3 x 2 4 x 3 5 x 4 - Điều kiện: 4
5
x
x x
Nếu x 1 VT 0 VP: BPT vô nghiệm
Nếu x 1 VT 0 VP: BPT luôn đúng Đáp số: x 1;
Bài 3 1, hệ có nghiệm:
1 3 2
1 3 2
x
y x y
x y
x y ; 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2
2
x y x x
x x y x
Đặt u 3 x 2 ; y v x 2 x suy ra: 12 6 2
Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số: ; 2;6 , 1; 3 , 2; 2 , 3, 11
x y
3, Đáp số:
5
13
x y
x x y y
x y ; 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2
4, (hệ đẳng cấp bậc 2 ) Đáp số:
2
x xy
x xy y
5, 5 2 7 ĐS:
2
2 2
2
2 1
2
x
x
; 1;1 ; 2; 3
2
x y
xy x y
ĐS:
; 2; 1 ; 2; 3 ; 2; 3 ; 6; 3
x y
Trang 9Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
2
x xy y x y
x xy y x y
x xy y x y
y
x xy y x y x x y y x y x
ĐS:
x y ; 0;0 ; 1; 2 ; 1; 2
9, ĐS:
; 1;1 ; 1 5 ; 1 5
x y
2
x y x y
xy
ĐS: x y ; 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2
11, 2 1 1- Đặt
x y x y
x y
5 0
u v
v x y
- Đáp số: x y ; 2; 1
2
2 2
2 2
1
1
x
y x
y
x y ; 1; 2 ; 2;5
2 2
1
7
1 7
1
13
x
x
y y
x
x
x y ; 1; 2 ; 2;5
14, ĐS:
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
x x
xy
y y
x y ; 0;0 ; 1;1
36 25 60
36 25 60
36 25 60
x f z
602 2
36 25
t
f t
t
nên xét hàm trên miền ,
Trang 10Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
ĐS:
6 6 6
x y z
16,
2
x
x x y y
x
ĐS:
; 3; 1 ; 4 78 ; 78 ; 4 78 ; 78
Bài 4 1, 2x 10 3 x 2x 3 x 10 x 2 là nghiệm duy nhất
- Do 5 2 6 5 2 6 nên hàm đồng biến trên R, còn hàm nghịch biến
3 3
x
5 2 6
3 3
x
trên R
3 3
x
3 3
x
- Vậy PT đã cho vô nghiệm
3, 3x213 4 x 3 3x26 *
- Nếu 3 PT vô nghiệm
4 3 0 4
x x
- Nếu 3, ta có:
4
x * f x 3x213 3x2 6 4x 3 0
Vì 3 21 12 4 0, 3 nên hàm f(x) đồng biến trên khoảng , mà
4
3
; 4
do đó là nghiệm duy nhất - Đáp số:
1 0
4, 4 x 1 417 x 2 .- Điều kiện: 1 x 17
Trang 11Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
- Xét hàm f x 4 x 1 417 x có:
Lập BBT, nhận xét f 1 f 17 2 suy ra PT có 2 nghiệm là x 1;17 Đáp số: x 1;17
5, lgx2 x 6 x lgx24 Điều kiện: x3
- PT đã cho lg x 3 x 4 0 x 4 là nghiệm duy nhất
6, 9x2x2 3 x2x 5 0 3x1 3 x2x 5 0 3x2x 5 0 x 1
7, log 12 x log3x - Đáp số: x9
8, 4x 7x 9 x 2 Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp 2 rồi lập bbt ĐS: x 0;1
Bài 5 1, 2 3 23 2 3 23 14 ĐS:
x
t
2, 4.3 9.2 5.62 Chia 2 vế cho ĐS:
x
2
x
3, 2 4 32 2 4
2
3
4 4
2 log 2 2
x
x x
4, 9x2 x 1 10.3x2 x 2 1 0 t 3x2 x 2 ĐS: x 2; 1;0;1
2
x
6, 5 21 x 7 5 21 x 2x 3 ĐS: x 0
7, ĐS:
2.81x 7.36x 5.16x 0
2
9 log 4
x
2
2
1 3
1 log 3 2
x
Trang 12Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
1
2
x x
x x x x x
10, x3.3x 27 x x 3x1 9 x3 3x 9 x3 3 x 0 x 0;2; 3
Bài 6 Giải các phương trình logarit sau:
1, Đặt t log3x, ta biến đổi PT về dạng: 2 1 - §S:
1
t
t
1
;1;3 9
x
2,Đặt t log5x, ta biến đổi PT về dạng: 1 2 3 0;2
1 t t t
- Đáp số: x 1;25
3
2
2
2
2
3 1
2;3
3 0
x x
x
x
x x
x
3
x
x
2
8 10
2 8 10
x
x x
x x
6, 2 16 3 4 - Điều kiện:
2
logx x 14log xx 40log x x 0
0
1 1
; ;2
16 4
x x
- Nhận xét x 1 là nghiệm của pt đã cho, xét x 1 ta đặt t log 2x
- Đáp số:
1 t 4 t 1 2 t 1 t 2 t x x 2
1
;2;4 2
x
Trang 13Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
7, Đặt: t log2x, biến đổi được pt: 1 4 6 2 1 1 - Đáp số:
t t t
log x x 4 log x x 3 0 log x 1 log x x 3 0 x 2
9, 3 - Đáp số:
2
2
2
x
log x x 2 3log x x 2 5
2 2
2 2
7 4
x
27
Bài 7 Giải các bất phương trình mũ:
1, Đ/S:
2
3
x x
2
x x x
x
4, 23 1x 7.22x 7.2x 2 0 t 2x 0 Đ/S: x 1;0;1
5,
1
( )
0
( )
x
I
II
Giải từng hệ bất phương trình (I), (II) ta có đáp số: x ; 1 1 3;1 3
6, Điều kiện: x 1
Trang 14Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Ta có: 2x2 x 1 1 2 2x2 2 x 1 2x2 1 2 x 1 2 2 x 1 2 0
2 x1 2 2 x21 1 0 1 x 2
x
x
2, (log 8 logx 4x2)log2 2 x 0 - Điều kiện: 0 x 1
(log 8 logx x ) log 2 x 0 3log 2 log 2 1 log 2x x x 0
.- Đáp số:
1 log 2 0
1
2
x x
x x
2
x
2
2
x
x
x
5
3
2
2
x x x x
2
x x
x x
log log x 3 1 0 log x 3 3
6, 2 - Điều kiện:
0
x
1
2
x x
Trang 15Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
log x 1 log 2 x 1 2 0
log3 x 1 log 23 x 1 1
1 2 1 3 ,(*)
+ Xét với x 1, thì * 2 x2 3 x 2 0 x 2
+ Xét với 1 , thì : Vô nghiệm - Đáp số:
1
Bài 9 1,
x y x y
x xy y
0
x y
x y
x y x y
10 10
0, 0 ; 3;1 ; 1;3 log log 1 0
3
x y
x y
xy
3
2 3
y
x y
2
1
u v
u v uv
5,
y x
x x x
y y y
x 1 x22x 2 3x 1 y 1 y22y 2 3y 1 f x 1 f y 1
Trong đó f t t t2 1 3t đồng biến trên R nên suy ra x 1 y 1 x y
- Thế vào phương trình đầu ta được: x 1 x2 2 x 2 3x 1, phương trình này có nghiệm duy nhất x = 1 (sd pp hàm số) - Vậy x y ; 1;1
6, Điều kiện:x y 0; x y 0
Trang 16Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
10
5
8
x y x y
7,
5
y x
y x
x y
x y
x y
x y x y x y
3 3
3
3
5
5
x y
x y
y x
x y
x y
x y
x y
1
x
y y
y
1
2 2
1
1 2
v u u
u v v
Thế (1) vào (2) được: 4 3 2 2
u u u u u
Suy ra v0 (không thỏa mãn).- Vậy hệ vô nghiệm
Bài 10 1, 4 x2 1 x m có nghiệm.- Điều kiện x0
- Đặt t x2 0, pt đã cho thành: f t 4t 1 4t m
PT đã cho có nghiệm f t m có nghiệm t0 0 m 1
2, 4 x4 13 x m x 1 0 có đúng một nghiệm
- Ta có: 4 x4 13 x m x 1 0 4 x4 13 x m 1 x
4
- PT đã cho có đúng 1 nghiệm 1 có đúng 1 nghiệm thảo mãn x1
đồ thị hàm số với giao với đường thẳng tại đúng 1 điểm
- Xét hàm y 4 x3 6 x2 9 x với x ;1 , lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới đáp số của bài toán là:
1 m 11 m 10
Trang 17Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
3, 2 có nghiệm
2 log x 4mx log 2x2m 1 0
2 log x 4mx log 2x2m 1 0 log x 4mx log 2x2m1
2
2
1
2
x m
x m
- PT đã cho có nghiệm f x có nghiệm 1
2
x m
0
1
2
9 0
4 1
1 2
2
m
Bài 11.1, 2 đúng với mọi
1 2
logm 3 1
m
x
2, m 2x 2x 3 m 1 có nghiệm
- Đặt t 2x 3 0 2x t2 3, hệ trở thành: 2
2
1
2
t
t
- BPT đã cho có nghiệm * có nghiệm t0
0
1 ax
2 3 2
t
m m f t m
3, m x2 2 x 2 1 x (2 x ) 0 có nghiệm x 0;1 3
- Đặt t x2 2 x 2, với x 0;1 3 t 1; 2 : 2 2 2
1
t
t
- BPT đã cho có nghiệm x 0;1 3 * có nghiệm t 1; 2
1;2
2 ax
3
m m f t m
Bài 12.1, Ta có:
2
1
y x m
x y m
x x m x
x xy