Biện luận số nghiệm của HPT theo m.[r]
(1)DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Hệ phương trình đối xứng loại 1: x xy y x / y y / x 18 x y 5( x y ) xy 19 1/ ;2/ ;3/ ;4/ x y xy 35 x y x y 12 xy ( x y ) 2 4 ( x y ) xy 78 x y xy x y x y 17 5/ ;6 / ;7 / ;8 / 2 3 x y xy ( x y )( x y ) 280 x y xy 13 x y 97 II.Hệ phương trình đối xứng loại 2: xyz x y z 2 2 xy z x y z x yz x x 13 x y yzt y z t 2 1/ ; / yz x 2;3/ y z x 1; / y zx y ;5 / y 13 y x zx y z x y z xy z ztx z t x txy t x y III.Hệ phương trình đẳng cấp: 2 2 3 3 3 x xy y 3 x xy y 11 x y 2 x y ( x y )(2 xy 3) x y 2 2 x xy y x xy y 17 x y xy y x xy y x y x y IV.Hệ phương trình vô tỉ: x y y x 30 x y x y S P P x y x x y xy 2 x y 128 x x y y 35 x y 128 S P 16 x y 2( x y ) 3( x y xy ) x y x y x y x y 2(1) ( bp (1) ) ; ; ; 3 2 2 y x y x x y x y x y x y x y 20 x y x y x y x y 1 20 y / x x y x y ; ; ; () 2 x y 23 x y 136 x y x y 16 x / y x y x y V Giải HPT pp đánh giá: x y yz x y x 1/ y 2 x /(1 x ) y 2 x /(1 x ) y z y xz ; y z 1; y 1/ z 1; 2 y /(1 y ) z ; 3 y /( y y 1) z z 1/ x 2 z /(1 z ) x 4 z /( z z z 1) x x z yx z x 2 x y z 12 Lop10.com (2) DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên 2 1 xy ( z 1) x y x y z z xy ; ; x y x y z x yz xy x yz xy 2 VI Một số HPT khác: x y x y 6 2 y ( x y ) x ( x y ) x y ) x x y y x 1/ x y 1/ y x y ; ; ; ; x y 2 2 x ( x y ) 10 y ( x y )( x y ) 15 x y x y 2 y x xy x y x y 18 x(3 x y )( x 1) 12 x( x 2)(2 x y ) ( x y )(1 1/ xy ) ; ; ; 2 xy ( x 1)( y 1) 72 x x y x 4x y ( x y )(1 1/ x y ) 49 x y 3z x u v x y z ( x y )( x y z ) 45 2 2 xy yz zx ; x y z 189 x u v 189; ( y z )( x y z ) 63 x y z 14 3 xz y xv u ( z x)( x y z ) 54 5 xy 6( x y ) 5 xyz 24( x y ) xy a x y xy x( x y z ) yz 7 yz 12( y z ); 7 xyz 24( y z ); yz b ; y z yz 5; y ( x y z ) xz 3 xz 4( z x) xyz 4( z x) zx c z x zx z ( x y z ) xy x y x y y x /( x 1) x 3 2 x x y 2( x 1) y y 1 2 2 1/ x 1/ y x y x y x y 2 x y xy x y xy x y 16 x, y x y 4 x y x y 3 x y x 32 x y 3 ( x 32 x ) ( x 32 x ) y y 21 12.VT 12 x 16; y 4 x 32 x y 24 x x y x y x x y x y x ( x 1) x y 1 2 xy x y x xy ( xy 1)( x 1) 2 1/ x y x / y yz ( z y ) SP S y 1; (1/ 2;1) y xy x 2 2 2 2 P z 2;1 1/ x y z y S P 1 x y x (1; 2) 1 x y 19 x 1/ x y 19 z y 19 xy x / y 16 / ; 2 y xy 6 x 1/ x y 6 x / y zy ( z y ) 6 xy y / x / x y 64 xy x y x x y x y y x y 18 x 2 x2 x y x y y x y x y 10 x y 10 y Lop10.com (3) DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên y x /(1 x ) 2 x x y y y tan 2a x tan(k / 7) 2 2 y y z z x y z z y /(1 y ) z tan 4a y tan(2k / 7) 2 z z x x x tan8a z tan(4k / 7) x z /(1 z ) 6 x( y z ) 13 yz x y z 6 xy / z xz / y 13 2 3 y ( z x ) zx y z x 6 xy / z yz / x 10 6 z ( x y ) xy z R x R y R 6 xz / y yz / x 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥3 ‒ 𝑦 = 𝑥3 + = 𝑦 + ↔ (2; ‒ 1)&𝑓 ‒ = = 𝑓(𝑦) = →(2; ‒ 1) ‒ 2𝑥 𝑦 2𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥 ‒ 𝑦 2𝑥(2 ‒ 𝑥) = 𝑦2 + 𝑦 { { ( ) VII Biện luận hệ phương trình: x y xy m 1/ Tìm gt m để hpt sau có nghiệm: 2 x y m (1) Giải: Đặt S = x + y; P = xy S P m & S P m S S 3m 0. ' 3m m 1/ Để (1) có nghiệm thì S P S P P m P m 2(m S ) m S m 3m Để (1) có nghiệm ta cần đk: m 3m 3m m m ( m từ pt thứ hai hệ ) x xy y mx 2/ Giải và bl hpt: y xy x my Giải: Trừ các vế pt ta được: ( x y )( x y m) a/ x y x m( x 1) x 0;(m 1) / b/ y m x x (m 1) x m 0. (m 1)(m 5) Kết luận: +/ < m < 5: hpt có nghiệm x y 0; x y (m 1) / +/ m m : hpt có nghiệm: x y 0; x y (m 1) / ; ( m 1 m 1 ; ) 2 2 x xy y 1(1) 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 2 x xy y m(2) Giải: Đặt x ty (1) : y (t t 1) (3) Vì t t với t nên (3) luôn có nghiệm Từ hpt ta suy ra: (t 3t 2) /(t t 1) m (m 1)t (3 m)t m (4) +/ m = 1: t = 1/2 hpt có nghiệm +/ m 1: (4) có 3(m 4)(m 6) Từ đó ta suy hpt có nghiệm 4 m x y 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: x y y x x y m Lop10.com (4) DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên u v 3(u , v 0) S hpt có nghiệm m 27 / 2 P m / u (v 1) v (u 1) u v m Giải: hpt đã cho tđ với: y x x ax x y x ay Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( x0 ; y0 ) thì nó có nghiệm ( y0 ; x0 ) đó để hpt có nghiệm thì 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm nhất: x0 y0 x03 x02 ax0 Vậy hpt có nghiệm dn thì 25 4a a 25 / x y y ay b/ đk đủ: hpt tđ với Do pt x xy y 3( x y ) a 2 ( x y ) x xy y 3( x y ) a x ( y 3) x y y a có x ( y 3) 4( y y a ) 3 y y 4a 0y vì 'y 12(3 a ) a > 25/4 Với x = y thì hpt trở thành x( x x a ) Do a 25 / 25 4a nên pt có nghiệm x = đó hpt có nghiệm x = y = Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm x y xy a x y a 6/ Giải và biện luận hpt: Giải: trừ các vế hai pt ta được: y xy y x y ( y 0) a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) b/ a : hpt có nghiệm ( a; 0) MỘT SỐ BÀI TẬP: x xy y k 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: y xy x y (13/ m 7) x y m 2/ Tìm các GT m để hpt sau có nghiệm: 2 x y x mx 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm nhất: có nghiệm ( m > 16 ) 2 y x y my x y xy 2m (m 1) 4/Cminh với m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm nhất: xy ( x y ) m m 2 59 3897 59 3897 3 x xy y 11 5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: m 4 x xy y 17 m 6/ Cho HPT: x my m(d ) & x y x(C ) Biện luận số nghiệm HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm ( x1 ; y1 ) & ( x2 ; y2 ) hãy tìm GT m để GTBT S ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) đạt GTLN ( m = 1/2 ) Lop10.com (5) DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên - // Lop10.com (6)