tài liệu otch update 05052017 nguyenvantien0405

Đó là các tham số như: giá trị trung bình, phương sai, tỉ lệ tổng thể về một tính chất nào đó. Ước lượng điểm không chệch[r]

 

BÀI QUY TẮC ĐẾM 1. Quy tắc cộng  

Giả sử một cơng việc V có thể thực hiện theo hai phương án V1 V2.   Số cách thực hiện V1  là  m1, số cách thực hiện V2  là  m2. 

Mỗi cách thực hiện V1 khơng trùng với bất kì cách thực hiện V2 nào.  Khi đó số cách thực hiện cơng việc V  là   n = m1 + m2

Ví dụ 1.   Nhà An có 2 xe đạp, 3 xe máy. Khi đến trường An đi xe đạp hoặc xe máy.  Hỏi An có bao nhiêu cách đi đến trường? 

Ví dụ 2.  Một bộ bài có 52 lá với 4 chất khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một   lá cơ hoặc lá át?  Trong ví dụ này có thể sử dụng quy tắc cộng (bằng cách lấy số cách  chọn một lá át cộng với số cách chọn một lá cơ) được khơng? Tại sao?  

2 Quy tắc nhân

Giả sử một cơng việc V bao gồm hai giai đoạn V1 V2 Số cách thực hiện V1  là  m1, số cách thực hiện V2  là  m2. 

Mỗi cách thực V1 có m2 cách thực V2

Khi đó số cách thực hiện cơng việc V  là   n = m1 m2

Ví dụ 3. Từ nhà Bình (Thủ Dầu Một, Bình Dương) lên Đà Lạt phải đi qua bến xe  Miền Đơng. Từ nhà ra bến xe miền Đơng, Bình đi xe bt; từ bến xe miền Đơng lên  Đà Lạt, Bình đi xe ơtơ khách. Biết rằng có 3 xe bt đi từ nhà Bình đến bến xe Miền  Đơng và từ đó có 5 xe khách lên Đà Lạt. Hỏi Bình có bao nhiêu cách lên Đà Lạt?  3. Tổ hợp 

Mỗi tập con gồm  k  phần tử khác nhau lấy ra từ tập hợp có  n  phần tử được gọi là một  tổ hợp chập  k  của  n  phần tử đã cho. 

Ví dụ 4. Có 5 đội bóng thi đấu vịng loại. Mỗi trận đấu giữa các đội (gồm  2 phần tử  lấy từ 5 phần tử) là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử (5 đội) đã cho. 

Cơng thức tính số tổ hợp

Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk, ta có cơng thức: 

! !( )!

k n

n k n k

C    

Ví dụ 5. (Tiếp ví dụ 4) Số các trận đấu vịng loại do 5 đội đó thực hiện là số các tổ hợp  chập 2 của 5 phần tử:   

5

5! 10 2!3!

 

Ví dụ 6. Trong một cái hộp có  10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu. Lấy ra 5 viên  phấn. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được: 

a) các viên phấn bất kì?    b) 2 viên phấn màu? 

c) ít nhất 4 viên phấn màu?   d) ít nhất 1 viên phấn màu?  BÀI TẬP

1.  Một lơ hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Chọn ra 12 sản phẩm để  kiểm tra. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:  

a) các sản phẩm bất kì ? 

b) sao cho trong số các sản phẩm đó có khơng q 2 phế phẩm ?  c) sao cho chọn được ít nhất 1 phế phẩm ? 

2.  Người ta lấy ra 3 viên bi từ một cái hộp đựng 6 viên vi đỏ, 4 viên bi xanh, 5 viên bi  vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra: 

a) các viên bi tùy ý ?      b) 2 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh ?  c) các viên bi có mầu khác nhau ?   d) một viên màu đỏ ? 

e) nhiều nhất một viên màu đỏ ?    f) ít nhất một viên màu đỏ ? 

BÀI PHÉP THỬ - BIẾN CỐ 1 Khái niệm

 Hành động mà ta thực hiện là phép thử. Kết quả của phép thử được gọi là biến cố.  Ví dụ 1.   

a) Tung một viên phấn lên cao, viên phấn rơi xuống. 

b) Một  sinh viên đi thi mơn Tốn và đậu mơn này, nhưng đi thi ngoại ngữ lại bị rớt.   c) Bóc một tờ lịch trong quyển lốc lịch năm 2017, được tờ có ghi ngày 31/2/2017.  Hãy chỉ ra phép thử và biến cố trong từng ví dụ trên. 

a) Phép thử là  , biến cố là    b) Phép thử là  , biến cố là    c) Phép thử là  , biến cố là    2 Phân loại biến cố

- Biến cố ln ln xảy ra trong phép thử được gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là  .  - Biến cố khơng bao giờ xảy ra được gọi là biến cố khơng thể, kí hiệu là  . 

 

Ví dụ 2. (Tiếp ví dụ 1)   a) là biến cố                   b) là các biến cố                   c) là biến cố   3 Các phép toán biến cố

a) Tổng biến cố  

Cho hai biến cố A và B. Tổng của chúng là một biến cố C sao cho  C xảy ra khi A hoặc B xảy ra, kí hiệu  C = A + B. 

b) Tích biến cố

Cho hai biến cố A và B. Tích của chúng là một biến cố C sao cho  C xảy ra khi A B  xảy ra, kí hiệu  C = A.B 

c) Biến cố đối lập

Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B khơng  xảy ra và nếu A khơng xảy ra thì B phải xảy ra, kí hiệu B A. 

Ví dụ 3. Một sinh viên thi hai mơn Tốn, Lý.  

Gọi A là biến cố sinh viên đó đậu Tốn, B là biến cố sinh viên đó đậu Lý.   Hãy viết các biến cố sau thành phép tốn của A và B: 

a) Sinh viên đó đậu ít nhất 1 mơn.   b) Sinh viên đó đậu cả hai mơn.  c)  Sinh viên đó bị rớt mơn Tốn.    d)  Sinh viên đó bị rớt cả hai mơn.  e)  Sinh viên đó chỉ đậu mơn Lý.    f) Sinh viên đó chỉ đậu một mơn.  g) Sinh viên đó đậu khơng q một mơn. 

4 Các biến cố xung khắc

Hai biến cố được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không cùng xảy ra.  5 Các biến cố độc lập

 Hai biến cố được gọi là độc lập nếu  biến cố này xảy ra không ảnh hưởng đến biến cố  kia và ngược lại. 

6 Hệ biến cố đầy đủ

Hệ   n   biến cố    A1,  A2, , An  được gọi là hệ đầy đủ nếu ln  có và  chỉ một    biến cố của hệ xảy ra trong phép thử. 

Ví dụ 4.  Tung một súc sắc (hình lập phương gồm  6 mặt có đánh số từ 1 đến 6). Gọi   Ak là biến cố xuất hiện mặt k.  

 

BÀI TẬP

1.  Hai  người  cùng  bắn,  mỗi  người  bắn  một  viên  đạn  vào  tấm  bia.  Gọi  Ni  là  biến  cố  người thứ i bắn trúng bia, i = 1,2. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua N1, N2. 

a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng bia.  b) Có đúng một người bắn trúng.  c) Cả hai người đều bắn trúng.    d) Khơng có ai bắn trúng. 

e) Có ít nhất một người bắn trúng.   f) Có khơng q một người bắn trúng. 

2. Người ta chọn ngẫu nhiên 3 linh kiện từ một lô hàng. Gọi Lklà biến cố linh kiện thứ  k đạt tiêu chuẩn loại A, k = 

1,3  Hãy biểu diễn các biến cố sau qua L1, L2, L3.  a) Cả ba linh kiện đều đạt loại A.      b) Chỉ có một linh kiện đạt loại A.  c) Có đúng hai linh kiện đạt loại A.    d) Khơng có kinh kiện nào đạt loại A.  e) Có nhiều nhất một linh kiện đạt loại A.       f) Có khơng q hai linh kiện loại A.  g) Có ít nhất một linh kiện khơng đạt loại A.  h) Có ít nhất một linh kiện đạt loại A.   

BÀI ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1 Định nghĩa 

Cho T là một phép thử và A là biến cố có thể xảy ra trong phép thử đó.  

Giả sử T có  n  trường hợp có thể xảy ra, trong số đó có  m trường hợp làm biến cố A  xuất hiện. Khi đó tỉ số m

n  được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).   Vậy: P A  m

n

  

Ý nghĩa xác suất: Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng  xuất hiện biến cố đó trong phép thử, xác  suất càng lớn, khả năng xuất hiện biến cố  càng nhiều.  

Phương pháp tính xác suất định nghĩa:  

Để tính xác suất của một biến cố, ta cần thực hiện các bước sau đây  -  Gọi phép thử, tính số trường hợp xảy

- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, tính số trường hợp làm xuất biến cố trong phép thử

 

Ví dụ 1. Đề cương thi mơn Triết có 70 câu hỏi. Một sinh viên chỉ ơn 40 câu. Cho biết  đề thi tự luận gồm 3 câu thuộc đề cương và nếu sinh viên trả lời đúng ít nhất hai câu  thì đậu. Tìm xác suất sinh viên đó đậu mơn Triết. 

Ví dụ 2. Một chi đồn có 30 sinh viên nam và 15 sinh viên nữ. Cần chọn ra 8 sinh viên  tham gia chiến dịch mùa hè xanh. Tìm xác suất để trong nhóm chọn ra có đúng 3 sinh  viên nữ. 

2 Các tính chất xác suất

1) Với mọi biến cố A ta ln có    0P A( ) 1  

  2)  ( )P  0    3)  ( ) 1P       4)  ( ) 1P A  P A( ) 

Ví dụ Mộtbộ bài có 52 lá với 4 chất khác nhau. Lấy ra 8 lá bài từ bộ bài đó. Tìm  xác suất lấy được  

  a) 3 lá màu đỏ.        b) ít nhất 1 lá màu đỏ.  BÀI TẬP

1. Lớp học mơn xác suất có 64 sinh viên, trong đó có 15 sinh viên nữ. Chọn ngẫu  nhiên một nhóm gồm 10 sinh viên. Tìm xác suất trong nhóm chọn ra có  

  a) 4 sinh viên nữ. 

  b) khơng q 2 sinh viên nữ.    c) ít nhất 1 sinh viên nữ. 

2. Từ một cái hộp có 20 viên phấn, trong đó có 5 viên phấn màu, người ta lấy ra 6  viên phấn. Tìm xác suất lấy được 

  a) 2 viên phấn màu. 

 

BÀI CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1 Cơng thức cộng  

Cho hai biến cố A, B  và C = A + B.  Cần tính xác suất của C  theo xác suất của A và  B. 

a) Trường hợp hai biến cố A B xung khắc P(C) = P(A) + P(B) b) Trường hợp hai biến cố A B không xung khắc

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ví dụ 1. Có 10 cái bút, trong đó có 4 bút đỏ, số cịn lại là bút xanh. Lấy ngẫu nhiên 3  cái bút.Tìm xác suất lấy được 

a) 1 bút đỏ.      b) 2 bút đỏ.         c)  3 bút xanh.  d) khơng q 1 bút đỏ.   e) ít nhất 1 bút đỏ. 

Ví dụ 2. Một lớp học có 50 sinh viên, trong đó có 35 người đậu mơn Tốn, 28 người  đậu mơn Lý. Số sinh viên của lớp đậu cả hai mơn này là 20. Gọi ngẫu nhiên một sinh  viên của lớp. Tìm xác suất sinh viên đó đậu ít nhất một mơn. 

Ví dụ 3. Trong hộp phấn có 10 viên phấn màu và 40 viên phấn trắng. Lấy ngẫu nhiên  5 viên phấn. Tìm xác suất lấy được 

     a)  1 viên phấn màu.        b) tồn phấn trắng. 

c) nhiều nhất 1 viên phấn màu.     d) ít nhất 1 viên phấn màu.  2 Cơng thức nhân

Cho hai biến cố A, B  và C = AB.  Cần tính xác suất của C  theo xác suất của A và B.  a) Trường hợp hai biến cố A B độc lập

P(C) = P(A) P(B) b) Trường hợp hai biến cố A B không độc lập

P(C) = P(A) P(B|A) hoặc

P(C) = P(B) P(A|B)

Trong đó : P(B|A) là xác suất của B nếu A đã xảy ra. Tương tự cho P(A|B) 

Ví dụ Một sinh viên phải thi Tốn và Lý. Cho biết xác suất đậu hai mơn đó lần lượt  là 0,9; 0,8. Hãy tính các xác suất sau đây: 

 

e) Sinh viên đó đậu khơng q một mơn.    f) Sinh viên đó đậu ít nhất một mơn.  Ví dụ 5. Một xạ thủ bắn hai viên đạn, xác suất bắn trúng từng viên lần lượt là 0,6 ; 0,7.  Tìm xác suất anh ta bắn trúng 

a) cả hai viên.    b) chỉ viên thứ nhất.   c) chỉ một viên.  d) ít nhất một viên.    e) khơng q một viên. 

Ví dụ 6. Một cậu bé có 10 cái bút chì,trong đó có 3 bút chì màu. Cậu bé cho anh mình  2 cái bút, sau đó cho chị mình 1 cái bút. Tìm xác suất cậu bé cịn lại  

a) tồn bút chì đen.      b) 2 bút chì màu.    c) 1 bút chì màu.  d) ít nhất 1 bút chì màu.    e) khơng q 1 bút chì màu. 

Ví dụ 7.  Hai bạn An và Bình rủ nhau mua vé số tại một quầy có 50 vé, trong đó có 4  vé sẽ trúng thưởng. An mua trước 2 vé, sau đó Bình chọn mua 1 vé. Tìm xác suất hai  bạn đó mua được: 

a) 3 vé trúng.     b) 1 vé trúng.   c) Ít nhất 1 vé trúng.  3 Công thức xác suất đầy đủ

Cho hệ đầy đủ các biến cố  A1, A2,   , An  và B là biến cố xảy ra khi một trong các  biến cố của hệ đó xảy ra. Ta cần tìm xác suất của B. Ta có cơng thức 

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + + P(An)P(B|An)

Ví dụ 8. Cho 3 cái hộp đựng bút hình dáng giống nhau. Hộp thứ nhất có 2 bút đỏ, 8  bút xanh. Hộp thứ hai có 4 bút đỏ, 6 bút xanh. Hộp thứ ba có 4 bút đỏ, 8 bút xanh. Lấy  ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 3 cái bút. Tìm xác suất lấy được 

a) 3 bút đỏ.    b) 1 bút đỏ.      c) ít nhất một bút đỏ.  

Ví dụ 9. Có hai lơ hàng đựng các thuyết bị điện tử. Lơ thứ nhất có 4 phế phẩm và 46  sản phẩm tốt. Lơ thứ hai có 3 phế phẩm và 45 sản phẩm tốt. Từ lơ thứ nhất lấy ra 2 sản  phẩm bỏ sang lơ thứ hai. Sau đó từ lơ thứ hai lấy ra 5 sản phẩm.  

Tìm xác suất lấy được:  a) 5 sản phẩm tốt.       b) ít nhất một phế phẩm.  4 Cơng thức xác suất giả thiết

  Cho hệ đầy đủ các biến cố  A1, A2,   , An  và B là biến cố xảy ra khi một trong  các biến cố của hệ đó xảy ra. Giả sử biến cố B đã xảy ra. Ta cần tìm xác suất để B xảy  ra là do giả thiết Ak nào đó thuộc hệ đầy đủ.  

  ( )  

( )

k k

k

P A P B A P A B

P B

 

Ví dụ 10. Một nhà máy có ba phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân  xưởng thứ nhất sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35%, cịn phân xưởng thứ  ba sản suất 40% tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân  xưởng lần lượt là 1%; 3%; 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà  máy. 

a) Tìm xác suất lấy được phế phẩm. 

b) Giả sử  lấy được phế phẩm, tìm xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản  xuất. 

c) Nếu lấy được sản phẩm tốt, theo ý bạn, khả  năng sản phẩm đó do phân xưởng nào  sản suất là nhiều nhất? 

Ví dụ 11.  Cho 3 cái hộp đựng bút hình dáng giống nhau. Hộp thứ nhất có 2 bút đỏ, 8  bút xanh. Hộp thứ hai có 4 bút đỏ, 6 bút xanh. Hộp thứ ba có 4 bút đỏ, 8 bút xanh. Lấy  ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 2 cái bút.  

a) Tìm xác suất lấy được hai bút khác màu. 

b) Giả sử đã lấy được hai bút khác màu. Tìm xác suất đó là các bút của hộp thứ ba.  

PHƯƠNG PHÁP TÍNH XÁC SUẤT BẰNG CƠNG THỨC

  Để tính xác suất của một biến cố bằng cơng thức, ta cần thực hiện các bước sau  đây 

- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, phân tích thành phép tốn biến cố khác đơn giản

- Phân tích mối quan hệ biến cố tham gia vào phép tốn: xung khắc hay khơng, độc lập hay khơng, có tạo thành hệ đầy đủ hay khơng

- Chọn cơng thức tính xác suất biến cố ban đầu theo xác suất biến cố đơn giản

- Tính xác suất biến cố tham gia vào phép toán, cần - Tính xác suất biến cố ban đầu

5 Công thức Bernoulli

Giả sử:  -  phép thử T lặp lại  n  lần  

     -  biến cố A có thể xuất hiện trong mỗi lần thử với xác suất khơng đổi  P(A) =  p. 

 

( , ) k k(1 )n k

n n

P k A C p  p    (k = 0, 1,   , n) 

Ví dụ 12. Một sinh viên thi 5 mơn với xác suất đậu từng mơn là 0,7. Tìm xác suất sinh  viên đó  

a) đậu 3 mơn.     b) khơng đậu mơn nào.    c) đậu ít nhất một mơn.  Ví dụ 13.  Một xạ thủ đã bắn 6 viên đạn. Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi  lần bắn đều là 0,9. Tìm xác suất anh ta bắn trúng 

a) 4 viên.      b) khơng q 2 viên.     c) ít nhất một viên đạn.  6 Các cơng thức tính gần xác suất

Trong cơng thức Bernoulli, nếu n và k tương đối lớn thì việc sử dụng cơng thức gặp  khó khăn nên người ta sử dụng các cơng thức gần đúng để thay thế. Muốn sai số chấp  nhận được thì tùy theo giá trị  của n và k, cũng như tùy vào xác suất của biến cố trong  mỗi lần thử mà ta sử dụng cơng thức gần đúng cho thích hợp.  

1 Trường hợp n lớn, P(A) = p không q lớn, khơng q bé. Khi đó ta sử  dụng cơng thức Gauss để tính P k An( , ) và sử dụng cơng thức Laplace để tính 

1

( , )

n

P k k A   

1 ( , )

(1 ) (1 )

n

k np

P k A f

np p np p

  

  

    

trong đó f(x) là hàm số Gauss có bảng giá trị cho trước.  

2

1

( , )

(1 ) (1 )

n

k np k np

P k k A

np p np p

     

     

     

   

 

trong đó ( )x  là hàm số Laplace có bảng giá trị cho trước, ký hiệu k1  k2 có nghĩa  là A xuất hiện từ k1 đến k2 lần.  

Ví dụ 14. Một đề thi trắc nghiệm có 100 câu hỏi, xác suất trả lời đúng mỗi câu của  một sinh viên là 0,4. Tìm xác suất sinh viên đó trả lời đúng 

a) 50 câu hỏi.   b) Ít nhất 50 câu hỏi.  

Ví dụ 15. Xác suất sinh một bé trai là 0,51. Tìm xác suất để trong 200 em bé, số bé trai  ít hơn số bé gái.  

2. Trường hợp n lớn, P(A) = p bé

 Khi đó ta sử dụng cơng thức Poisson để tính P k An( , ).Ta có  ( )

( , )

!

np k

n

e np

P k A

k



 

Ví dụ 16. Một chung cư có 160 hộ gia đình. Xác suất  để mỗi hộ có sự cố về điện vào  buổi tối là 0,02. Tìm xác suất để trong một buổi tối có  

a) 4 gia đình gặp sự cố về điện.    b) từ 2 đến 5 gia đình gặp sự cố về điện.   Ví dụ 17. Xác suất để một hạt thóc giống bị lép là 0,006. Tìm xác suất sao cho trong  1000 hạt thóc giống sẽ có  

a) 6 hạt bị lép.          b) từ 3 đến 7 hạt bị lép.   

BÀI TẬP

1. Có ba người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng lần lượt là  0,6 ; 0,7 ; 0,8. Tìm các xác suất sau đây: 

a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng.    b) Có đúng một người bắn trúng.  c) Chỉ có người thứ ba bắn trượt.    d) Có đúng hai người bắn trúng.  e) Cả ba người đều bắn trúng.      f) Khơng có ai bắn trúng. 

g) Có ít nhất một người bắn trúng.    h)Có khơng q hai người bắn trúng.  2. Có ba cái hộp đựng bút. Hộp thứ nhất có 5 bút đỏ, 10 bút xanh. Hộp thứ hai có 3 bút  đỏ, 7 bút xanh. Hộp thứ ba có 3 bút đỏ, 4 bút xanh. Từ hộp thứ nhất lấy ra 1 cái bút, từ  hộp thứ hai lấy ra 2 cái, cùng bỏ vào hộp thứ ba. 

a) Tìm xác suất để trong hộp thứ ba số bút đỏ nhiều hơn số bút xanh.  b) Từ hộp thứ ba lấy ra 2 cái bút. Tìm xác suất lấy được 2 bút cùng màu. 

3. Có hai lơ hàng, lơ thứ nhất có 10 sản phẩm loại A, 2 sản phẩm loại B ; lơ thứ hai có  16 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B. Từ mỗi lơ ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm.  Sau  đó,  trong  hai  sản  phẩm  thu  được  lại  lấy  ra  một  sản  phẩm.  Tìm  xác  suất  để  sản  phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A. 

4. Hai máy cùng sản xuất ra một loại chi tiết. Năng suất của máy thứ hai gấp đôi máy  thứ  nhất.  Tỉ  lệ  chi  tiết  đạt  tiêu  chuẩn  của  máy  thứ  nhất  là  65%,  của  máy  thứ  hai  là  80%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết từ lơ hàng do hai máy sản xuất. 

a) Tìm xác suất lấy được chi tiết đạt tiêu chuẩn. 

b) Nếu chi tiết đó là phế phẩm, tìm xác suất chi tiết đó do máy thứ hai sản xuất. 

5. Ở một vùng cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỉ lệ người bị viêm họng  trong số người hút thuốc là 60%, cịn trong số người khơng hút là 10%. 

 

c) Nếu người đó khơng bị viêm họng thì xác suất để anh ta hút thuốc bằng bao nhiêu ?  6. Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 6 người, nhóm thứ hai có 7 người,  nhóm thứ ba có 8 người và nhóm thứ tư có 4 người. Xác suất bắng trúng đích của mỗi  người trong bốn nhóm đó lần lượt là 0,8 ; 0,7 ; 0,6 ; 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ.  a) Tìm xác suất anh ta bắn trúng đích. 

b) Giả sử xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem người đó có khả năng ở trong nhóm  nào nhất ? 

7. Một xạ thủ có xác suất bắn trúng đích ở mỗi lần bắn là 0,7. Anh ta đã bắn 5 lần, mỗi  lần 1 viên đạn. 

a) Tìm xác suất có 3 viên trúng đích.  b)Tìm xác suất có khơng q 3 viên trúng. 

8. Tỉ lệ phế phẩm ở một nhà máy là 0,002. Tìm xác suất để trong 500 sản phẩm sẽ có  a) 3 phế phẩm.      b) nhiều nhất 3 phế phẩm. 

9. Xác suất thi đậu  mơn Tốn của sinh viên  một trường đại học là 0,8. Tìm xác suất  trong 300 sinh viên thi mơn Tốn sẽ có 

 

BÀI BIẾN NGẪU NHIÊN 1 Khái niệm

Biến cho tương ứng mỗi kết quả của phép thử với một số được gọi là biến ngẫu nhiên  hay biến ngẫu nhiên trên các kết quả của phép thử đó. Nói một cách khác, biến ngẫu  nhiên là biến có giá trị thay đổi tuỳ theo phép thử. 

Ghi : số tài liệu dùng thuật ngữ đại lượng ngẫu nhiên thay biến ngẫu nhiên

Ví dụ 1.  

a) Số mơn thi đậu của một sinh viên trong một học kì (khi phải thi 5 mơn).   b) Nhiệt độ của phịng học trong một ngày đêm. 

c) Số người đến giao dịch tại một ngân hàng trong một tháng.  2 Các loại biến ngẫu nhiên

Biến  ngẫu  nhiên  X  có  dạng  X x x1, 2, ,xn  hoặc  X x x1, 2, ,xn,   được  gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. 

Biến  ngẫu  nhiên  X  c   chỉ  nhận  một  giá  trị  duy  nhất  được  gọi  là  hằng  số  và  được viết là X = c. 

Biến ngẫu nhiên có giá trị lấp đầy một khoảng hay đoạn nào đó được gọi là biến  ngẫu nhiên liên tục. 

Ví dụ 2. Xem lại các biến ngẫu nhiên cho ở ví dụ 1.  

a) là biến ngẫu nhiên ……….  b) là biến ngẫu nhiên ……….  c) là biến ngẫu nhiên ……….  3 Bảng phân phối xác suất (BNN rời rạc)

Cho X x x1, 2, ,xn là một biến ngẫu nhiên rời rạc.   Đặtpi P X( xi),i1, 2, , n 

Khi đó bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của X. 

X  x1  x2   …  xn 

P  p1  p2    …  pn 

Bảng phân phối xác suất có các tính chất sau :  (1) 0  pi  1    (2) 

1

1

n i i

p





 

Ví dụ 3. Gọi X là số mơn thi đậu của một sinh viên trong học kì phải thi 5 mơn. Khi  đó X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Giả sử X có bảng phân phối xác suất sau đây. 

X  0  1  2  3  4  5 

P  0,05  0,15  0,3  0,35  0,15  0 

Từ bảng ta có xác suất thi đậu 4 mơn của sinh viên đó là 0,15; xác suất thi đậu  cả 5 mơn là 0. 

Trong các xác suất ta thấy  (P X 3) lớn nhất nên khả năng sinh viên đậu 3  mơn là nhiều nhất. 

Ví dụ 4. Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn. Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng  bia. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X trong hai trường hợp sau: 

a) Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều 0,8. 

b) Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của ba viên đạn lần lượt là 0,7; 0,8; 0,9.  4 Hàm phân phối xác suất

Cho X là biến ngẫu nhiên. Ta gọi hàm số  

( ) ( ) ( )

F x P X x x   là hàm phân phối xác suất của X. 

Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau   (1) F(x) là hàm khơng giảm;  (2) 0  F(x)  1,  x  R;  (3) lim ( )

xF x  ;  limxF x( )1; 

(4) P(a  X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b  R , a < b. 

Ngược lại, nếu F(x) là hàm số xác định trên R và có các tính chất (1) – (3) thì F(x) là  hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên nào đó. 

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất 

X  x1  x2   …  xn  

P  p1  p2    …  pn  

Với x1 < x2 < … < xn, thì hàm phân phối xác suất của X là  

F(x) = 

1

1

1

0

,neáu ,neáu

,neáu ,neáu

n n

n

n

x x

x x x

p

x x x

p p p

x x

 

 

  

  

     



 



 

Ví dụ 5. Một sinh viên thi ba mơn Tốn, Lý, Hóa với xác suất đậu lần lượt là 0,6; 0,7  và 0,8. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của số mơn anh ta đậu trong ba mơn đó.  5 Hàm mật độ xác suất (bnn liên tục)

a) Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X ký hiệu là  f x   là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó.  

Ta có:  f x F x  

Từ  định  nghĩa trên  ta  thấy  rằng  hàm  mật  độ  xác  suất  chỉ  áp  dụng  được  đối  với  biến  ngẫu nhiên liên tục vì chỉ trong trường hợp đó hàm phân phối xác suất F x  mới liên  tục và khả vi với mọi giá trị x. 

b) Các tính chất hàm mật độ xác suất:

  ) ( ) ) ( ) ( )

)

b

a

ii f x dx iii P

i f x x R a X b f x dx





  

       

Ví dụ Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng: 

3

0

( )

1

x

F x ax x

x  



  

 



 

a) Tìm hệ số a.             

b) Tìm hàm mật độ xác suất f(x).         c) Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (0,2; 0,8).   5 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên

a) Kỳ vọng biến ngẫu nhiên:

 Đối với bnn rời rạc:

1

( )

n i i i

E X x p





 Đối với bnn liên tục: E X( ) xf x dx 





 

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có thể nhận  của biến đó. 

Tính chất:

     

         

) )

) )

i E C C ii E X C E X C

iii E X Y E X E Y iv E k X k E X

   

   

     

) Y

v E X E X E Y X Y bnn độc lập

 

 Đối với bnn rời rạc:

 2 2

1

( )

n n

i i i i

i i

V X x  p x p 

 

   

 Đối với bnn liên tục:

 2    

( )

V X x  f x dx x f x dx 

 

 

     

Phương sai giá trị trung bình bình phương sai số X kỳ vọng nó

Chú ý:   

 E X( ) kì vọng X ,

 2

1

( )

n i i i

E X x p



 kì vọng X X rời rạc 2  E X( 2) x f x dx2  





  kì vọng X X liên tục 2 Tính chất:

         

) ) ) V

i V C  ii V X C V C iii V k X k X  

     

)

iv V X Y V X V Y X Y bnn độc lập c) Độ lệch chuẩn:

Số  X  V(X) được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X.  Ví dụ Tính phương sai và độ lệch của ĐLNN cho ở ví dụ 3. 

Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau 

X  0  1  2  3  4 

P  0,1  0,2  0,3  0,25  0,15  Hãy tính kì vọng, phương sai, độ lệch của X. 

Ví dụ Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho:  

 1  2  3

E X E X E X . 

 Đặt: 

1

G X X X  

a) Tìm E(G) 

b) Tìm   ,  sao cho E G 

BÀI TẬP

 

phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch  của  số viên đạn 

a) trúng mục tiêu.  b) anh ta đã sử dụng. 

2 Một hộp chứa 10 viên phấn trắng và 6 viên phấn màu. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên  phấn. Gọi X là số viên phấn màu lấy được. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân  phối xác suất của X. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch của X. 

3.  Trong  một  hộp  có  10  sản  phẩm,  trong  đó  có  2  phế  phẩm.  Lấy  ngẫu  nhiên  3  sản  phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong các sản phẩm lấy ra. Hãy lập bảng phân phối xác  suất và hàm phân phối xác suất của X.  

4. Một sinh viên thi 4 mơn, xác suất đậu từng mơn là 0,6. Gọi X là số mơn anh ta đậu.  Hãy lập bảng phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai của X. 

5. Một ơtơ đi trên đoạn đường có 3 đèn tín hiệu giao thơng hoạt động độc lập. Tính kì  vọng, phương sai, độ lệch của số lần ơtơ dừng khi đi trên đoạn đường đó, biết rằng chỉ  tín hiệu xanh mới được phép đi và 

a) cả 3 đèn đều có thời gian tín hiệu xanh là 30 giây, tín hiệu vàng là 5 giây, tín hiệu  đỏ là 15 giây. 

b) ở đèn thứ nhất thời gian dành cho ba tín hiệu đó lần lượt là : 40 giây, 10 giây, 30  giây ; ở đèn thứ hai : 25 giây, 5 giây, 10 giây ; ở đèn thứ ba 20 giây, 5 giây, 35 giây. 

 

BÀI CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 6.1 Phân phối Siêu bội

Phép thử: lấy ngẫu nhiên n phần tử khơng hồn lại từ tập hợp gồm N phần tử, trong  đó có NA phần tử có tính chất A. 

Biến ngẫu nhiên:  Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra.  Khi này X có phân phối siêu bội, ký hiệu: X ~ H N N n , A,  

Công thức xác suất:   A A

k n k

N N N

n N

C C

P X k

C

 

   

Đặc trưng:     1 

1

A

N N n

E X n n p V X n p p

N N



   

  

Ví dụ 1. Trong một lơ hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu  nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được. 

a) X tn theo qui luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng qt của qui luật?  b) Tìm E(X), V(X)? 

c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó?  6.2 Phân phối Nhị thức

Phép thử:  

 Lấy ngẫu nhiên n phần tử có hồn lại từ tập hợp gồm N phần tử, trong đó có NA  phần tử có tính chất A. 

 Quan sát một q trình Bernoulli gồm n phép thử 

Biến ngẫu nhiên:  Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra.  Khi này X có phân phối Nhị thức, ký hiệu: X ~B n p ; , p NA

N

  

Công thức xác suất: P X kC pnk k1pn k   Đặc trưng: E X n p V X n p 1  p 

Ví dụ 2.  Một  bài  thi  trắc  nghiệm(multiple  choice  test)  gồm  50  câu  hỏi,  mỗi  câu  hỏi  có  4  phương  án  trả  lời,  trong  đó  chỉ  có  một  phương  án  đúng.  Một  học  sinh  kém  làm  bài  bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời cho mỗi câu hỏi.    a) Tính xác suất để học sinh này làm được đúng 25 câu. 

  b) Trung bình học sinh này trả lời được bao nhiêu câu?    c) Tính phương sai của số câu học sinh này trả lời được. 

 

  

 

    a) có ít nhất 10 người sống sót;  

  b) có từ 3 đến 8 người sống sót;     c) có đúng 5 người sống sót. 

Ví dụ 4. Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi  máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để: 

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng. 

b) Trong một ngày có khơng q 2 máy hỏng.  6.3 Phân phối Poisson

Phép thử: Quan sát sự xuất hiện của một biến cố trong một khoảng thời gian hay một  khoảng không gian. 

Biến ngẫu nhiên:  Gọi X là số lần biến cố xuất hiện trong khoảng quan sát. 

Khi này X có phân phối Poisson, ký hiệu: X ~P   với  là số lần xuất hiện trung  bình của X trong khoảng quan sát. 

Công thức xác suất:   

!

k

P X k e

k

 



   

Đặc trưng: E X  V X  

Ví dụ 5.  Số  khách  hàng  vào  một  cửa  hàng  bách  hoá  trong  1  giờ  là  biến  ngẫu  nhiên tn theo qui luật Poisson với mật độ là 8 khách trong 1 giờ. Tìm xác suất  để trong 1 giờ nào đó có hơn 4 khách vào? 

Ví dụ 6. Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc gọi trong một giờ.  Tính xác suất: 

a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vịng 1 phút.  b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vịng 5 phút.  6.4 Phân phối Chuẩn

Ký hiệu: X ~ N ; 2

  Công thức hàm mật độ:

 2

2

1

( ) ,

2

x

f x e x R

 

 

 

  

Đặc trưng:    

E X  V X 

Đặc điểm đồ thị:

- Đối xứng qua đường x  - Dạng hình chng 

 

  2/2

2 x

f x e







  2/2

0

1 z

x

z e dx





 

z

Nhận dạng: thường thì đề bài sẽ tự quy định, thường gặp đối với các biến ngẫu nhiên  ngồi thực tế: chiều cao, cân nặng, lãi suất, doanh thu, phân phối trung bình mẫu … 

Tính chất:

- Tích bnn có phân phối chuẩn với số có phân phối chuẩn - Tổng hiệu bnn có pp chuẩn độc lập có phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn tắc: dạng đặc biệt của họ phân phối chuẩn. Là phân phối chuẩn có 

0;

  

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên: Nếu X ~ N ; 2 thì Z X  ~N0;1





  

Nhớ: lấy biến ngẫu nhiên trừ kỳ vọng sau chia cho phương sai Cơng thức xác suất: (tính thông qua phân phối Chuẩn tắc)

          1) 2) 0,5 3) 0,5 b a

P a X b

a a

P X a

b b

P X b

                                                                     

1 Hàm  z , z0 giá trị xác suất (diện tích) tính từ số đến z

2 Hàm  z hàm lẻ tức   z  z

3 Khi z4  z 0,5

4 Đường cong f(x) bên phải đồ thị phân phối Chuẩn tắc N(0;1)

 

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) U Đây giá trị bnn có phân phối chuẩn tắc thỏa mãn điều kiện:

 

P Z U 

 

Ví dụ Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác suất X>2Y.  Giải

Do X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và đều có phân phối chuẩn nên nếu đặt  Z=X-2Y thì Z cũng có phân phối chuẩn. 

Ta có: 

         

       

2 2.4

2 4.2

E T E X Y E X E Y

V T V X Y V X V Y

       

        

Vậy T X 2 ~Y N5;9 

   0  5  1, 67 0,5 1, 67 0, 0475

P X  Y P T  P Z    P Z     

 

Thơng thường tính xác suất phân phối chuẩn ta hay đưa phân phối chuẩn tắc Z Sau áp dụng quy tắc hàm  kết hợp với thông tin xác suất đề cho để tính xác suất

Ví dụ 8. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại một cửa hàng là bnn X,  biết X~N(4,5; 1,21) 

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút? 

b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ khơng q t là khơng q 5%? 

Ví dụ Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên  tn theo wui luật chuẩn với μ=100 gam và σ=1 gam. Sản phẩm được coi là đạt tiêu  chuẩn nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102 gam. 

a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy?  b) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy? 

c) Giải thích bằng đồ thị kết quả tìm được ở phần a? 

6.5 Phân phối Khi bình phương Ký hiệu: 2 

~

X  n

 

Đặc điểm đồ thị:

- Không đối xứng, bị lệch bên phải - Chỉ nhận giá trị dương

- Chỉ có thấp dần

- Khi bậc tự n lớn đồ thị ngày đối xứng và di chuyển sang phải.

Nhận dạng: thường thì đề bài sẽ tự quy định, thường gặp đối với các biến ngẫu nhiên  liên quan đến phương sai mẫu trong bài tốn lý thuyết mẫu. 

Tính chất:

- Bắt nguồn từ tổng bình phương bnn độc lập có phân phối N(0;1)

- Tổng bnn độc lập có pp Khi bình phương có phân phối Khi bình phương - Xấp xỉ với phân phối chuẩn bậc tự lớn Ta có: 2   

~ ;

X  n N n n

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) 2 n Là giá trị bnn có phân phối Khi bình phương n bậc tự thỏa mãn:

   

 2 

P  n  n 

Có nghĩa xác suất bên phải điểm 2 n bằng  - số 2 n Ta dò giá trị bảng tính sẵn 6.6 Phân phối Student

Ký hiệu: X ~t n 

Công thức hàm mật độ: quá phức tạp, không xét. Đặc trưng:    

2

n

E X V X

n

 

 Đặc điểm đồ thị:

- Đối xứng qua - Nhận giá trị R - Hai đuôi thấp dần

 

Nhận dạng: thường thì đề bài sẽ tự quy định, thường gặp đối với các biến ngẫu nhiên chuẩn hóa trung bình mẫu

Tính chất:

- Sinh biến ngẫu nhiên Chuẩn tắc Khi bình phương kết hợp - Xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc bậc tự lớn Ta có: X ~ t n N0;1

Giá trị phân vị (giá trị tới hạn) t n

Là giá trị bnn có phân phối Student n bậc tự thỏa mãn:

   

 n 

P t n t 

Có nghĩa xác suất bên phải điểm t n

đúng  - số t n 

Ta dị giá trị bảng tính sẵn Khi n>30 t n U

6.7 Phân phối Fisher Ký hiệu: X ~F n m ; 

Công thức hàm mật độ: quá phức tạp, không xét. Đặc điểm đồ thị:

- Giống đồ thị Khi bình phương - Chỉ nhận giá trị dương

- Khi hai bậc tự tăng phân phối ngày đối xứng.

Nhận dạng: thường thì đề bài sẽ tự quy định, thường gặp đối với các biến ngẫu nhiên là thương hai phương sai mẫu

Tính chất:

 

Là giá trị bnn có phân phối Fisher với bậc tự (n, m) thỏa mãn:

 

 n m, 

P F  f 

Có nghĩa xác suất bên phải điểm fn m,  bằng  - số fn m, 

 

BÀI LÝ THUYẾT MẪU 1 Tổng thể:

Tổng thể là tập hợp tất cả các đối tượng cần nghiên cứu. Các phần tử của tổng thể có  chung dấu hiệu nghiên cứu X, gọi là biến ngẫu nhiên gốc của tổng thể. 

Phân phối xác suất của X gọi là phân phối của tổng thể.  Đặc điểm tổng thể:

Ký hiệu Cơng thức Kích thước  N (rất lớn) 

Trung bình  E X  x1 x2 xN N

   

Phương sai   

V X

  2 x1 2 x2 2 xN 2

N

  

       

Tỷ lệ  p M

p N 

 Tỷ lệ tổng thể (về t/c A): p M N

   trong đó M là số lượng phần tử có tính chất  A trong tổng thể. 

Các số   , 2, p gọi là các tham số của tổng thể. Thơng thường các giá trị trên khơng  xác định trước. 

2 Bài tốn lý thuyết mẫu

Ta muốn xác định các tham số của tổng thể. Nhưng do vấn đề về thời gian, tiền bạc,  sai sót … nên khơng thể tiến hành điều tra tồn bộ các phần tử của tổng thể. Do đó, ta  chọn một nhóm phần tử từ tổng thể, gọi là mẫu. Từ các kết quả nghiên cứu trên mẫu ta  tìm cách suy diễn các kết quả của tổng thể. 

Cho tổng thể có trung bình  , phương sai 2 và tỷ lệ p chưa biết. 

Lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ tổng thể. Khi này ta được một mẫu ngẫu nhiên ký hiệu 

 1, 2, , 

W X X Xn  với Xi là giá trị của đối tượng thứ i được lấy vào mẫu.  Một số tính chất cần nhớ:

 X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên.   X1, X2, …, Xn độc lập nhau. 

 

 E X 1E X 2 E X nE X    V X 1V X 2 V X nV X 2  3 Một số đặc trưng mẫu:

Thống kê mẫu Ký hiệu Cơng thức tính

Kích thước  n 

Trung bình  X   X X1 X2 Xn

n     Phương sai chưa hiệu  chỉnh  2

S         

2 2

2 X1 X X2 X Xn X

S

n

     

 Phương sai hiệu

chỉnh

2

S        

2 2

1

2

1

n

X X X X X X

S

n

     



 Phương sai biết   *2

S        

2

2

1

*2 X X Xn

S

n

  

     



Tỷ lệ  F  F Y

n

 ; Y là số phần tử có t/c A trong mẫu 4 Các tham số đặc trưng thống kê mẫu

4.1 Kỳ vọng phương sai trung bình mẫu X   Ta có: X X1 X2 Xn

n

  

  trong đó WX1, X , ,2 Xn là mẫu cỡ n lấy ra từ tổng  thể có trung bình  và phương sai 2. 

Ta có: E X i;V X i2 i1, 2, ,n  Do đó:  

       

       

1

1

2 2 2

1

1

2 2

n n n n

E X E X E X

X X X n

E X E

n n n n

V X V X V X

X X X n

V X V

n n n n n

                                               

4.2 Kỳ vọng phương sai tỷ lệ mẫu F 

Gọi Y là số phần tử có tính chất A trong mẫu cỡ n lấy từ tổng thể.  Ta có: Y ~ B n p ;  và F Y

n

  

 

Do đó:  

 

   

   2    

1

E Y

Y n p

E F E p

n n n

V Y n p p p p

Y

V F V

n n n n

                     

4.3 Kỳ vọng phương sai mẫu Ta có: 



       

   

 

2 2

2

2 2

2

1 1

2

2

1

2

2 2 2 2

1 1 2 1 1 n

n n n

i i i

i i i

n n

i i

i i

n

i

X X X X X X

E S E

n

E X X X n X E X n X n X

n n

E X n X E X nE X

n n

n

n n n n

n n n

                                                                                            n                   

2 2

2 2 2 2 1 1 n

X X X X X X n

E S E E S

n n

n

n n

E S E S

n n n

                                                    2 2 *2

2 2

1 1

2 2 2

1

2 2 2

1

1

2

1

2

1

n

n n n

i i i

i i i

n n

i

i i

n

i

X X X

E S E

n

E X X n E X n X n

n n

E X nE X n n n

n n

n

n n n n

n n                                                                                                  2 n     

4.4 Tổng hợp:

Trung bình mẫu Phương sai mẫu Tỷ lệ mẫu

  ;  

E X V X

n

 

  E S 2 n 2; E S 2 E S *2

n  



   E F  p V F;   p1 p

n 

 

5 Phân phối xác suất thống kê mẫu 5.1 Phân phối xác suất X F,

 Nếu tổng thể có phân phối chuẩn: 

2

~ N ; X n          đúng với mọi n   Nếu tổng thể khơng có phân phối chuẩn:  N ; X n         

 khi n30 

 Khi cỡ mẫu trên 30 thì: F Y ~ N p; p1 p

n n            Phân phối xác suất của các phương sai mẫu không thường gặp.  5.2 Phân phối số thống kê mẫu đặc biệt

                    *2 2 2

~ N 0;1 ; ~ t ;

1

~ ; ~

~ N 0;1

X n X n

Z Z n

S

n S nS

Z n Z n

F p n

Z p p                        

6 Tính tốn thống kê mẫu

Với mẫu đã cho, tính các thống kê mẫu như trung bình mẫu, các phương sai mẫu và tỷ  lệ mẫu. 

u cầu: tính đúng, ký hiệu làm trịn

Thơng thường mẫu được cho dạng bảng tần số dạng điểm hoặc bảng tần số ghép lớp.  Đơi khi mẫu cho dưới dạng các số đặc trưng: tổng tần số, tổng giá trị và tổng bình  phương các giá trị. 

6.1 Dùng bảng cơng thức tính

Ví dụ. Điều tra năng suất lúa của một vùng, ta có bảng số liệu sau 

 

  xi  ni  x ni i 

i i

x n    

  41  44  45  46  48  52  54  10  20  30  15  10  10  5  410  880  1350  690  480  520  270  16810  38720  60750  31740  23040  27040  14580   

     n = 100  4600  212680   

Do đó      4600 100

X   = 46 ;   212680 2126,8 100

X    ; 

2

S



= 2126,8 – 462 = 10,8 ;  S2 = 100

99 10,8 = 10,9091 ; S = 3,3029. 

Ví dụ. Để nghiên cứu nhu cầu mua gạo ở một thành phố, người ta tiến hành điều tra  một số gia đình và ghi kết quả ở bảng sau đây. 

  Nhu cầu 

(kg/tháng)  Số gia đình  Nhu cầu  Số gia đình      30 – 35  35 – 40  40 – 45  45 – 50  50 - 55  45  68  103  179  208  55 – 60  60 – 65  65 – 70  70 – 75  75 - 80  182  151  115  94  55    a) Hãy tính các đặc trưng mẫu.  b) Tính tỉ lệ mẫu có nhu cầu trên 60 kg/tháng.  Giải a) Ta lập bảng các giá trị của mẫu 

  xi  ni  x ni i 

i i

x n    

  62,5  67,5  72,5  77,5  151  115  94  55  9437,5  7762,5  6815  4262,5  589843,75  523968,75  494087,5  330343,75 

        1200      66555    3846350   

    2 2 2 2 66555 3846350 3205, 55, 4625

129, 2028;  129,3105 

2917 1200 1,3715 12 =

i i i i

i i

n x n x

X X

n

S S S S S

n n X X n                   b) Xem mẫu đã cho là mẫu định tính có kích thước n = 1200; xem tính chất A là có  nhu cầu trên 60 kg/tháng thì số phần tử có tính chất A của mẫu là:  k = 151 + 115 + 94  + 55 = 415.  Vậy tỉ lệ mẫu cần tìm là:  415 0,3458

1200 k f n      BÀI TẬP

1 Đo chiều cao của một số thanh niên lứa tuổi 18 – 20 ở HCM, ta thu được bảng sau  đây  Chiều cao (cm)  Số người có chiều cao tương ứng  154 – 158  158 – 162  162 – 166  166 – 170  170 – 174  174 – 178  178 - 182  10  14  26  28  12  8  2 

 

Tuổi thọ (giờ)  Số bóng tương ứng  1010 – 1030 

1030 – 1050  1050 – 1070  1070 – 1090  1090 – 1110  1110 – 1130  1130 – 1150  1150 – 1170  1170 – 1190  1190 – 1210 

2  3  8  13  25  20  12  10  6  1 

      Sau khi cải tiến kĩ thuật, người ta lại thắp thử 100 bóng, kết quả là  Tuổi thọ (giờ)  1150    1160    1170    1180     1190      1200  Số bóng     10       15       20        30         15      10 

Hãy so sánh tuổi thọ trung bình và độ lệch mẫu hiệu chỉnh của các bóng đèn trước  và sau khi cải tiến kĩ thuật. 

Cách Sử dụng máy tính cơng thức Shift + 9 + 3 + = + =: Reset máy  Shift + Mode +  + 4 + 1: bật tần số  Mode + 3 + 1: vào tính thống kê 1 biến  Khi này ta có bảng sau: 

  X (giá trị)  FREQ (tần số) 

1     

2     

3     

5 Nhập số liệu, kiểm tra và nhấn AC để thốt ra. 

6 Lấy số liệu thống kê: Shift + 1 + 5 (hoặc 4 tùy máy). Ta có bảng sau:  

1: n (cỡ mẫu)  2: x (trung bình mẫu) 

 

BÀI ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Dùng để suy diễn tham số đặc trưng tổng thể dựa thống kê đặc trưng mẫu Đó tham số như: giá trị trung bình, phương sai, tỉ lệ tổng thể một tính chất

8.1 BÀI TỐN ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Tổng thể có các tham số chưa biết, chẳng hạn 

, , p

   Ta ước lượng điểm tức là tìm  cách xác định gần đúng giá trị của các tham số này bằng một “giá trị đại diện” nào đó.  Thơng thường, giá trị đại diện này là một thống kê mẫu.  Tức là một biến ngẫu nhiên  xác định trên mẫu tổng qt, giá trị của nó có thể thay đổi, biến đổi từ mẫu cụ thể này  sang mẫu cụ thể khác. 

Tóm lại, tìm một ước lượng điểm đồng nghĩa với việc tìm một thống kê mẫu. Trên  mẫu có thể xác định được rất nhiều thống kê. Do đó ta cần có các tiêu chuẩn cụ thể.  1 Ước lượng điểm khơng chệch

Định nghĩa Thống kê T gọi là một ước lượng điểm không chệch (ULKC) của tham số 

 nếu E T . 

Ý nghĩa. Giá trị trung bình của thống kê T trên các mẫu bằng đúng giá trị của tham số 

cần ước lượng.  Chú ý

 Trường hợp E T  T gọi ước lượng chệch (ULC)   Có vơ số ULKC tham số 

 Trong hai ULKC, ước lượng có phương sai nhỏ hiệu Ví dụ 1.  

X  là ULKC của  vì ………. 

2; *2

S S  là ULKC của 2 vì ………. 

F là ULKC của p vì ………  

2

 

Ví dụ Cho mẫu ngẫu nhiên W X X1, 2,X X3, 4,X X5, 6,X7,X8 lập từ tổng thể  phân phối chuẩn   2

;

N    Lập các thống kê sau:  

8

1

1

1

,

8 i i 14 i i

Y X Y X X X X

 

   

        

   . 

a Nêu quy luật phân phối xác suất, tính kỳ vọng tốn của Y1, Y2. 

b Chứng minh rằng thống kê Y1 hiệu quả hơn thống kê Y2 khi dùng để ước lượng  cho µ. 

Giải

a) Vì tổng thể có phân phối chuẩn N ; 2 nên bnn gốc X ~ N ; 2 

Theo lý thuyết mẫu bnn Xi độc lập có phân phối với X Do đó: Xi ~ N ; 2 và E X i;V X i2 

Do Y Y1, 2 là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Xi độc lập và có phân phối  chuẩn nên Y Y1, 2 cũng có phân phối chuẩn. 

Ta có:  

   

   

8 8

1

1 1

2

8 8

2

1 2

1 1

1 1

8 8

1 1

8 8 64

i i

i i i

i i

i i i

E Y E X E X

V Y V X V X

                                                                  5

2 8

1

5

2

1

5

2

1

1

2 4

14 14

1

2 4

14 14

1

2

14 14 i i i i i i i i i i i

E Y E X X X X E X E X E X E X

E Y E X E X E X E X

V Y V X X X X V X

                                                                                                     

6

5

2 2 2 2

2

1

2

2

2

1

2 4 16

14 296

5 16 34

296 296

i

i i

V X V X V X

V Y V X V X V X V X

V Y                                            

 

Như đã tính ở trên vì   2 34 2  1

296

V Y     V Y  nên thống kê Y1 hiệu quả hơn  thống kê Y2 khi dùng để ước lượng cho µ. 

Ghi chú: để so sánh hiệu hai ước lượng trước cần chứng tỏ hai ước lượng ước lượng khơng chệch

2 Ước lượng điểm hiệu

Định nghĩa Trong số tất cả các thống kê là ULKC của tham số . Thống kê nào có  phương sai nhỏ nhất thì thống kê đó là ước lượng điểm hiệu quả (ULHQ) của tham số 

. 

Nhận xét. Vì có vô số ULKC nên ta so sánh cặp ULKC cho đến hết Thông thường ta dùng bất đẳng thức Rao – Crammer để tìm giá trị nhỏ của phương sai thống kê ULKC Sau cố gắng tìm ULKC có phương sai giá trị nhỏ

Bài tốn tìm ULHQ khó nên thơng thường đề u cầu tìm chứng minh một thống kê ULHQ lớp ULKC mà thơi Khi sinh viên nhớ liên hệ với toán tìm cực trị hàm nhiều biến

8.2 BÀI TỐN ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Ta đã biết, các ước lượng điểm là một giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên với một phân  phối xác suất nào đó, ví dụ trung bình và tỉ lệ mẫu (với mẫu đủ lớn) có phân phối  chuẩn. Chúng khơng thể hiện tính chính xác của ước lượng. Do vậy, cần thực hiện ước  lượng khoảng, nghĩa là dựa vào dữ liệu mẫu, với một độ tin cậy cho trước, xác định  khoảng giá trị mà đặc trưng của tổng thể có thể rơi vào.  

Một cách tổng qt, gọi  là đặc trưng của tổng thể cần ước lượng. Giả sử dựa vào  mẫu quan sát ta tìm được hai thống kê mẫu hay hai biến ngẫu nhiên A và B sao cho  xác suất (P A B) 1 .  

Các dạng khoảng ước lượng thường sử dụng:   KUL hai phía có dạng A B;  

 KUL tối đa (bên trái) có dạng ; B   KUL tối thiểu (bên phải) A;  

 

Ta gọi a, b lần lượt là giới hạn tin cậy dưới, giới hạn tin cậy trên;  1( ) b a

    là độ  chính xác (hay sai số) của ước lượng khoảng. 

Nói chung, với cỡ mẫu n cố định thì độ tin cậy và độ chính xác có xu hướng đối lập  nhau. Khoảng ước lượng càng dài (độ chính xác thấp) thì càng có cơ hội trúng cao (độ  tin cậy cao). Ngược lại, khoảng ước lượng càng ngắn (độ chính xác cao) thì càng dễ  trật (độ tin cậy thấp).  

8.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH CHO TỔNG THỂ 1 Bài tốn

Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn và có giá trị trung bình là  chưa biết. Ta cần ước  lượng  với độ tin cậy 1 cho trước. Ta cũng giả thiết rằng ta đã có một mẫu gồm  n quan sát được chọn từ tổng thể đó và đã tính được trung bình mẫu X ( một ước  lượng điểm của ), độ lệch mẫu hiệu chỉnh S. Khi đó tuỳ từng trường hợp cụ thể, ta  có phương pháp tìm khoảng ước lượng như sau. 

2 Trường hợp biết phương sai 2

Dạng KUL Cơng thức tính 

Hai phía  x;x  u / 2

n





   

Tối đa  ;x  u

n





   

Tối thiểu  x;  u

n





   

Chú ý:

 u/ 2 giá trị tới hạn phân phối chuẩn tắc N(0;1) Đây điểm phân phối chuẩn tắc có xác suất bên phải

2



. Hay P Z u/ 2/ 

n



độ lệch chuẩn X - ULKC 

 Như vậy, độ xác  GTTH DLC

 

Ví dụ 1. Kết quả thu thập trong 15 ngày tại một cơng ty cho thấy trung bình một ngày  có 267 trang tài liệu được chuyển đi bằng fax. Theo kinh nghiệm từ các văn phịng  tương tự thì độ lệch tiêu chuẩn là 32 trang. Giả sử rằng số trang tài liệu chuyển bằng  fax trong một ngày có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển  trong một ngày của cơng ty  với độ tin cậy 95%.  

Ví dụ 2. Một mẫu gồm 16 sản phẩm được chọn từ tổng thể có phân phối chuẩn với  phương sai là 25. Cho biết trung bình mẫu là 330 gam. Hãy xác định khoảng ước  lượng cho trung bình của tổng thể với độ tin cậy 90%. 

3 Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể

Dạng KUL Cơng thức tính 

Hai phía  x;x  tn/21 S n



    

Tối đa  ;x  tn 1 S

n



    

Tối thiểu  x;  tn 1 S

n



    

Chú ý:

 tn/21 giá trị tới hạn phân phối Student t(n-1) Đây điểm phân phối Student có xác suất bên phải

2



. Hay P Z tn/ 21/ 2 với Z~t(n-1)  Do chưa biết  nên ta thay S Do S ULKC, HQ 

 Khi n30 tn/21 u/ 2 phân phối Student xấp xỉ với phân phối Chuẩn tắc

 Như cỡ mẫu 30 u / 2 S n



  (bài tốn hai phía)

Ví dụ Khảo sát 100 sinh viên chọn ngẫu nhiên trong trường thì thấy điểm trung bình  mơn Tốn là5,12 và phương sai mẫu hiệu chỉnh là0,0676. Hãy ước lượng điểm trung  bình mơn Tốn của sinh viên tồn trường với độ tin cậy 97%.