tài liệu xstk k56 clc nguyenvantien0405

• E(X) giá trị trung bình theo xác suất của bnn X (trong một quá trình lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm của ppxs của bnn.. • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần chọn phươn[r]

(1)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 2

1

PHẦN 1.

BIẾN NGẪU NHIÊN

MỘT CHIỀU

Khái niệm

• Biến ngẫu nhiên X đại lượng nhận giá trị số phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên

• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …

• Giá trị bnn: chữ thường x, y, z, …

• Với số thực x ta có {X≤x} biến cố ngẫu nhiên

2

Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào cửa hàng ngày

• Y: Tuổi thọ điện thoại

• Trả ngẫu nhiên mũ bảo hiểm cho người Gọi Z: số mũ bảo hiểm trả người

• T: Số sản phẩm hỏng 100 sản phẩm nhập

(2)

Ví dụ 3

• Hộp có viên bi gồm trắng vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Đặt Y số viên bi vàng có viên lấy

• Khi Y biến ngẫu nhiên

• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” biến cố nào???

4





Phân loại bnn

5

Rời rạc Có hữu hạn giá trị

Có vơ hạn đếm giá trị

Bnn X

Liên tục Giá trị lấp đầymột hay vài khoảnghữu

hạn vô hạn P(X=a)=0 với a

Hai biến ngẫu nhiên độc lập

cố:

• Độc lập với giá trị x, y

• Nói cách khác biến cố liên quan đến hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập

(3)

Luật phân phối xác suất

ngẫu nhiên vàxác suấttương ứng • Dạng thường gặp:

–Hàm phân phối xác suất (CDF) –Phân phối xác suất (PMF, PDF)

7

Hàm phân phối xác suất

distribution function), viết tắt CDF biến ngẫu nhiên X hàm xác định:

• Trong đó: {X≤x} ký hiệu biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hay x”

• Đơi ta cịn gọi hàm phân bố xác suất

8





( ) ;

X x

F x P X    x 

• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ x, với x giá trị

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị X nằm bên trái số x

• Xác suất X thuộc (a,b]

)

( b F( ) ( )a

P aX   b F

(4)

Tính chất

10

i) 0F xX

 

ii) F xX

 

X biến ngẫu nhiên liên tục F x

 

iii) FX

 

X x X

F F x



  

iv) P a X





 

Hàm phân phối xác suất

11

Bnn Rời rạc - Hàm khối xác suất

• Tính chất:

 





X

p

x



P X



x

 

)

X X x

X x A

i p x ii p x iii P A p x

 

 



• Dạng bảng

(5)

Bnn Rời rạc - Bảng ppxs

• xi: giá trị có bnn X

• pi: xác suất tương ứng;

• Chú ý:

13 X x1 … x2 … xn

P p1 … p2 … pn

1

p





i X i i

p p x P Xx

Bnn Rời rạc - Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất xác định sau:

14

 

1

1 2

1 1

0 , , , , X

k k k

x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x

                

 





 

X X k

x x

F x P X x p x



  



Ví dụ 4

Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt Không gian mẫu là:Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁; 𝑁𝑆; 𝑁𝑁}

Gọi X số lần mặt sấp xuất hiện, X bnn rời rạc Hàm khối xác suất:

 

1/ 4

;

0

2

1/ 2

;

1

0

;

0; 1; 2

X

x

p

x

(6)

Ví dụ 4

• Hàm phân phối xác suất:

16

X

P 1/4 1/2 1/4

 

0

,

0

1/ 4

,0

1

3 / 4

,1

2

1

, 2

X

x

F x

x







 



 

 







Ví dụ 5

• Một hộp có 10 sản phẩm có sản phẩm đạt loại A Lấy ngẫu nhiên sản phẩm

• Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm loại A lấy ra?

• Xác định PMF, CDF?

• Đáp án

• Gọi X: số sản phẩm loại A sản phẩm lấy

17

 





2 10

0,1,2

x x

X

C C

p x x

C



 

Ví dụ 6

Có kiện hàng Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm từ kiện sản phẩm

a) Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy ra?

(7)

Biến ngẫu nhiên liên tục

• Chỉ quan tâm đến xác suất “khoảng”

• Để thể xác suất ta sử dụng mật độ xác suất

19

       

0 )

)

(X a) , a

ii P a X b P a X b P X b P a X b

i P   

         

Bnn Liên tục - Hàm mật độ xác suất

• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs FX(x) Nếu tồn

tại hàm fX(x) cho:

• Thì fX(x) gọi hàm mật độ bnn X • Viết tắt là: PDF (probability density function)

20

 

x

X X

F x f t dt x R







Tính chất

iv) Tại điểm mà f(x) liên tục ta có:

 





 





)

b a

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx P a X b





  



     



 

'

(8)

Hàm mật độ xác suất

22

Hàm mật độ xác suất

23

 

f x

x

 

F x

 

F x f t dt

 



 

f x F x

Ví dụ 8

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất

• A) Xác định hệ số k

• B) Tìm hàm mật độ xác suất

 

0 ,

,0

1 ,1 x

F x kx x

x

  

  

 



 





(9)

Ví dụ 9

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Xác định hệ số k

• B) Tìm hàm ppxs F(x)

• C) Tính xác suất P(2<X<3)

• D) Thực lần phép thử độc lập với bnn X Tính xác suất bnn X không nhận giá trị khoảng (2;3)

25

 





k

f x x

x

 

Ví dụ

Ví dụ 11 Cho X có bảng ppxs:

Ví dụ 12 Cho bnn X có PDF:

Tìm luật ppxs bnn Y=X2

26

X -1

P 0,1 0,2 0,3 0,4

  

2 1

 

0

1



X

f

x





x

 

x

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

• Mốt (Mode) m0

• Trung vị (Median) me

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)

• Độ lệch chuẩn (Standard Error)

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV

• Hệ số bất đối xứng (Skewness) • Hệ số nhọn (Kurtosis)

(10)

Tham số đặc trưng

28

ModX, Mode X

Ký hiệu: Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

29

 

f m max f x

 









P Xm max P x x

0

ModX



m

Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, melà giá trị chia đôi hàm phân

phối

• Nếu X rời rạc:

• Nếu X liên tục:









0,5 0,5

e

P X m P X m

  

 

 



 

e

m

f x dx f x dx





 

(11)

Median (Trung vị)

31

  0,5

e

m

f x dx

 



S 

e

m

Ví dụ 12

Tìm ModX Med X bnn X biết: a) Bảng phân phối xác suất

b) Hàm mật độ xác suấtXác định ModX, MedX

32

X

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

   

 

3

2 ,0

4

0 , 0,2

x x x

f x

x

   

  

 



Kỳ vọng (Expected Value)

• Định nghĩa:

• E(X) trung bình theo xác suất X

• Có đơn vị với X

 

x p x E X

x f x dx 

 

     





(12)

• Tung ngẫu nhiên cục xúc sắc Hỏi lâu dài , số chấm trung bình lần tung (nếu số lần tung đủ lớn)?

• Giải

• Giả sử ta có kết tung sau:

Ví dụ kỳ vọng

Ví dụ

• Gọi n1,n2,…n6 số lần xuất mặt số 1,2,…,6

• Giá trị trung bình sau n lần tung

• Khi n lớn thì???

35

1 6

1

1 6

n n n n n n

X f f f

n n n n

  

        

Một số nhận xét

• E(X) giá trị trung bình theo xác suất bnn X (trong trình lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm ppxs bnn

(13)

Ví dụ 15

• Một nhân viên bán hàng có hẹn ngày Với hẹn thứ nhất, khả thành công (ký hợp đồng) 0,7 lợi nhuận dự kiến 1000$ Với hẹn thứ 2, khả thành công 0,4 lợi nhuận 1500$ Giả sử kết hẹn độc lập

• A) Lợi nhuận kỳ vọng nhân viên bán hàng bao nhiêu?

• B) Nêu ý nghĩa giá trị vừa tìm

37

Hướng dẫn

• Gọi X lợi nhuận nhân viên bán hàng

• Xác định giá trị X

• Xác định xác suất tương ứng

38

Ví dụ 16

• Nhu cầu hàng ngày loại thực phẩm tươi sống khu vực bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực có cửa hàng cửa hàng nhập ngày 100kg thực phẩm

• Giá nhập 40 ngàn/kg; bán 60 ngàn/kg Nếu thực phẩm không bán ngày phải bán với giá 20/kg ngàn hết hàng

• Muốn có lãi trung bình cao cửa hàng có nên nhập thêm 20kg ngày hay không

X 80 100 120 150

(14)

Hướng dẫn

• Gọi Y100 Y120 tiền lãi thu bán 100; 120kg

• Xác định giá trị xác suất Y100, Y120

• Tính giá trị kỳ vọng tương ứng

• Chú ý

–Có thể gọi X100, X120 số kg thực phẩm bán nhập 100, 120kg

–Xác định quan hệ Yi Xi

40

Ví dụ 17

• X tuổi thọ loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình loại thiết bị

41

 





20.000 100

f x x

x

 

Ví dụ 18

• Cho bnn X có pp mũ nghĩa PDF có dạng:

• A) Kiểm tra lại hàm mật độ

• B) Tính E(X)

• Hướng dẫn

• - Hai tính chất hàm mật độ

• - Tìm giới hạn cơng thức L’Hospitale

 





(15)

Tính chất

43

 

1) Tính chất 1: E(C)=C với C số 2) Tính chất 2: E(C+X)=C+E(X) 3) Tính chất 3: E(C.X)=C.E(X) 4) Tính chất 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

5) Tính chất 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) X Y độc lập

Kỳ vọng hàm bnn

• Kỳ vọng tốn học hàm Y=(X):

44

 





   

i i i

x p x

E X

x f x dx

 







     





,với X rời rạc ,với X liên tục

Ví dụ 19

• Tính kỳ vọng bnn X rời rạc có hàm mật độ:





 

C

P X k p k k

k

(16)

Ví dụ 20

• Vịng quay roulett có 38 số 00, 0, … 36

• Gọi X số mà bóng rơi vào

• Y số tiền phải trả cho người chơi

• Nhà phải thu tiền người chơi để có lợi

46 10 00 X X Y X odd X even          , , , is , is

Phương sai (Variance)

• Định nghĩa:

• Rút gọn:

47

 

V X E X E X   E X 

 



 









  

V X E X E X

x f x dx

             





,nếu X rời rạc ,nếu X liên tục

Phương sai (Variance)

• Đơn vị phương sai trùng với đơn vị X2

 

x p E X

V X

x f x dx E X          





,nếu X rời rạc ,nếu X liên tục

 

2

(17)

Ý nghĩa phương sai

trị trung bình

• Đặc trưng cho sai số thiết bị (trong kỹ thuật)

• Đặc trưng cho độ rủi ro định (trong kinh tế, kinh doanh)

49

Phương sai hàm bnn

50

 





 

2

X

V  X E X  

 

 







 



 







 



 

2

2 X x

X

V

X

x

p x

V

X

x

f x dx























Tính chất phương sai

 

2

1 i

1) Tính chất 1: V(C)=0 với C số 2) Tính chất 2: V(C+X)=V(X)

3) Tính chất 3: V(C.X)=C V(X)

4) X Y độc lập

nếu X độc lập toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V n i = n i øn phaàn

i i

X V X

 

 

 



 



(18)

Ví dụ 23

• Tiền lãi đầu tư tỷ đồng vào ngành A, B bnn độc lập X, Y:

a) Muốn lãi trung bình cao đầu tư vào ngành nào?

b) Muốn rủi ro thấp đầu tư vào ngành nào? c) Muốn rủi ro thấp chia vốn đầu tư theo tỷ

lệ nào?

52

X 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35 P 0,2 0,45 0,35

Hướng dẫn

• C) Gọi k tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành A

• Tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành B là: (1-k)

• Lợi nhuận thu đầu tư vào ngành theo tỷ lệ Z

• Xác định quan hệ Z X, Y, k

• Tìm k để V(Z) nhỏ

• Nhớ: tìm min/max đoạn

53

Ví dụ 24

• Đầu tư a tỷ vào ngành A b tỷ vào ngành B tháng Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng?

• Đầu tư tỷ vào ngành A tháng Tìm trung bình phương sai tiền lãi thu

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A tỷ, độc lập Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng Tính xác suất tổng tiền lãi khơng 50 triệu

• Tìm xác suất đầu tư vào A lãi cao B?

X 15 30 P 0,3 0,5 0,2

(19)

Hướng dẫn

• B) Tiền lãi: 2X

• C) Tiền lãi: X1+X2 với Xi có ppxs X

• P(X1+X2<50)

• D) P(Y>X)

55

Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung X

• V(X) có đơn vị bình phương đơn vị X

• Đặt:

• (X) có đơn vị đơn vị X gọi độ lệch chuẩn bnn X

56

 

 

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

>0

• Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi bnn chuẩn hóa bnn X

X

Z 

  

 

0

 

1

(20)

Tuổi thọ loại côn trùng M biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với PDF sau:

• Tìm số k?

• Xác định CDF?

• Tính tuổi thọ trung bình loại trùng

58

 









f x kx x  x

Ví dụ 25

Hệ số biến thiên

• Đo mức độ bnn CV(X) nhỏ bnn

• So sánh độ phân tán bnn khơng có đơn vị, khơng có kỳ vọng

59

   X 100%    0

CV X E X

E X



 

Bài tập 1,2

1 Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi X tổng số nốt xuất xúc sắc Tìm luật phân phối xác suất X? Tính E(X), V(X)

(21)

Bài tập 3

Tuổi thọ loại côn trùng X (tháng) có hàm mật độ

a) Tìm số k b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất trùng chết trước tháng tuổi

61

 





 

2 4 , 0; 4

0 , 0;4

kx x x

f x

x

  



  



Bài tập 4

Cho bnn X có hàm mật độ

và E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c? b) Đặt Y=X3 Tính E(Y)

62

 

 

2 , 0;1

0 , 0;1

ax bx c x

f x

x

   

  

 

Bài tập 5

• Giả sử cửa hàng sách định nhập số truyện trinh thám Nhu cầu hàng năm loại sách sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD cuốn, bán với giá 10USD đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

(22)

Bài tập 5

• Nếu nhập 32 lợi nhuận bán trung bình bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập cho lợi nhuận kì vọng lớn

64

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25

Bài tập 6

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX b) Tìm E(X), Var(X) có

65

   

 

1

sin , 0,

0 , 0,

x x f x

x

  

  

  



Bài tập chương 2

• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17;

• 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25

• 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32

• 2.33; 2.34; 2.37

(23)

CHƯƠNG 2

67

PHẦN 2.

BIẾN NGẪU NHIÊN

HAI CHIỀU

Yêu cầu

• Phân phối đặc trưng có điều kiện

• Cov(X, Y)

• Hệ số tương quan

• Hàm hồi quy

68

Biến ngẫu nhiên hai chiều

nhiên

• Nếu X Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc

• Nếu X Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục

(24)

Ví dụ 1

• Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm Nếu kích thước sản phẩm đo chiều rộng X chiều dài Y ta có bnn hai chiều (X, Y)

• Nếu xét thêm chiều cao Z ta có bnn chiều (vec tơ ngẫu nhiên chiều) (X,Y,Z)

• Nếu quan tâm đến trọng lượng W thể tích V sản phẩm ta có bnn hai chiều (W,V)

Hàm ppxs đồng thời

• Hàmphân phối xác suất đồng thờicủa biến hai chiều (X,Y):

• Trong đó: {X≤x, Y≤y} ký hiệu biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hay x” “bnn Y nhận giá trị nhỏ hay y”

• Để tiện ta ký hiệu FX,Y(x,y) F(x,y)

71

 





, , , , ,

X Y

F x y P X x Yy x y R

Tính chất

 





 





 





 





 





) ,

) lim , ,

lim , ,

lim ,

) lim

, ,

lim ,

không giảm theo biến

x y

X Y Y

x

X Y X

y

x y

i F x y

ii F x y

iii F x y F y

F x y F x

F x y F

iv F x y F y P Y y F x y F x P X x

(25)

Phân phối xs thành phần

• Đây phân phối xác suất thành phần X Y

• Là phân phối xác suất thành phần biến hai chiều (X, Y)

• Là phân phối biên (phân phối lề) ppxs đồng thời FX,Y(x,y)

73





 





 





 





 

, ,

; lim ,

X Y y X Y X

X Y x X Y Y

F x F x y P X x F x

F y F x y P Y y F y



    

Tính độc lập biến nn

mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị hay giá trị khác không ảnh hưởng đến phân bố xác suất biến ngẫu nhiên

• Định lý:Giả sử F(x,y) hàm phân bố biến ngẫu nhiên (X,Y) Khi đó, X Y độc lập khi:

74





   

, ,

X Y X Y

F x y F x F y

Hàm khối xs đồng thời (X,Y)

• Tính chất:

 





, , ,

X Y

p x y P X x Yy

 

, ,

) , 0, ,

) ,

X Y

X Y x y

i p x y x y R ii p x y

  

(26)

Bảng ppxs đồng thời (X,Y)

76

y1 y2 … yj … ym ∑

x1 p11 p12 … p1j … p1m p1●

x2 p21 p22 … p2j … p2m p2●

… … … …

xi pi1 pi2 … pij … pim pi●

… … … …

xn pn1 pn2 … pnj … pnm pn●

∑ p●1 p●2 … p●j … p●m Y

X

Bảng ppxs đồng thời (X,Y)

77



 



ij X Y i j i j

n m ij i j

m n

i ij j ij

j i

i p p x y P X x Y y

ii p

iii p p p p

            





Hàm ppxs đồng thời _ Rời rạc

• Hàm khối xác suất biên:

 





, , , ,

i j

X Y X Y i j

x x y y

F x y p x y

  

 

 









  







X i i X Y i j

j n

Y j j X Y i j

i

j

p x P X x p x y p

p y P Y y p x y p

(27)

Ppxs thành phần (phân phối lề)

• Bảng phân phối xác suất Y:

79

X x1 x2 … xn

P p1● p2● … pn●

Y y1 y2 … ym

P p●1 p●2 … p●m

Ví dụ 2

• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất:

• Tìm luật ppxs biến X Y

• Tính F(2,3)

80

1

1 0,10 0,25 0,10 0,15 0,05 0,35 X Y

Ví dụ 3

• Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp có bi đỏ, bi vàng, bi xanh Gọi X, Y tương ứng số bị đỏ số bi vàng có bi lấy

• A) Tìm phân phối xác suất đồng thời X Y

• B) Tính P(X+Y<2)

(28)

Hai bnn độc lập

• Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X Y gọi độc lập nếu:

• Dấu hiệu:

• Hai hàng tỷ lệ

• Hai cột tỷ lệ

82













ij i j

P X x Y y P X x P Y y hay p p p

    

 

Ví dụ 4

• Phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bảng sau:

• Tính P(X=6) P(X ≥ 7, Y ≥2)

• Lập bảng ppxs thành phần tính E(X), E(Y)

83

1

6 0,10 0,05 0,15 0,05 0,15 0,10 0,10 0,20 0,10 X Y

Ppxs có điều kiện

• Giả sử bnn chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng thời hàm khối xác suất thành phần:

• PPXS điều kiện X cho Y=y là:

• PPXS điều kiện Y cho X=x là:

 

, , ; ;

X Y X Y

p x y p x p y

 |  X Y,   ,

X

Y

p x y p x y

p y



y | x X Y,   ,

Y

X

p x y p

p x

(29)

Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)

• Kỳ vọng có điều kiện Y cho X=x (còn gọi hồi quy Y theo X X=x)

• Kỳ vọng có điều kiện X cho Y=y (cịn gọi hồi quy X theo Y Y=y)

85









y

E Y X x 











x

E X Yy 



Bảng ppxs điều kiện 1

• Kỳ vọng X với điều kiệnY=yj

86









j j nj

n

j

j j j

X Y y

p p p

P X

x x x

Y y

p p p

 









1

j j j n nj

j

E X Y y x p x p x p

p

    

Bảng ppxs điều kiện 2

• Kỳ vọng Y với điều kiệnX=xi









i i im

m

i

i i i

Y X x

p p p

P Y

y y y

X x

p p p

 





1

i i i m im

i

E Y X x y p y p y p

p

(30)

Ví dụ 5

• Phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bảng sau:

• Lập bảng ppxs X với đk Y=2 Tính E(X|Y=2)?

• Lập bảng ppxs Y với đk X=8 Tính E(Y|X=8)?

88

1

6 0,10 0,05 0,15 0,05 0,15 0,10 0,10 0,20 0,10 X Y

Ví dụ 6

• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) doanh thu Y (triệu đồng) cơng ty có bảng ppxs đồng thời sau:

89

500

(400-600) (600-800)700 (800-1000)900

30 0,10 0,05

50 0,15 0,20 0,05 80 0,05 0,05 0,35 X

Y

Ví dụ 6

• Nếu doanh thu quảng cáo 700 triệu đồng chi phí quảng cáo trung bình bao nhiêu?

(31)

Ví dụ 6a

• Lãi suất cổ phiếu tính 100 USD đầu tư vào hai ngân hàng A B năm tương ứng X, Y )(đơn vị %) có ppxs đồng thời sau:

• A) Lập bảng phân phối biên X, Y Tính lãi trung bình ngân hàng

91

-2 10

- 0,10 0,05 0,15 0,20 0,05 0,05 0,05 0,35

X Y

Ví dụ 6a

• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình X?

• C) X Y có độc lập khơng

• D) Lập bảng ppxs T=X+Y Tìm E(T), V(T)

92

-2 10

- 0,10 0,05 0,15 0,20 0,05 0,05 0,05 0,35

X Y

Các tham số đặc trưng

(32)

Kỳ vọng hàm theo X,Y

biến

• Ta có:

94











 



i j

E h X Y 











 

E h X Y 



Ví dụ 7

• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời sau:

• Tìm kỳ vọng h(X,Y)=X.Y2

95

1

4 0,10 0,15 0,1 0,25 0,20 0,2

X Y

Ví dụ 8

• Cho Z=X+Y bảng ppxs đồng thời sau: (X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)

pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2

 



 























0 0,1 0,

0 0,3 0,05 1 0,15

1 0, 1,75

E Z E X Y    

     

(33)

Hiệp phương sai (Covariance)

ký hiệu cov(X,Y), kỳ vọng toán tích sai lệch bnn kỳ vọng tốn chúng

• Tên gọi khác: tích sai

97











cov X Y, E XX YY





 

cov

X Y

,



E XY



 

Tính chất Covariance 1

98













 





























1) cov , cov ,

2) cov ,

3) cov ', cov , cov ',

4) cov , cov ,

5) cov , cov ,

X Y Y X

X X V X

X X Y X Y X Y

kX Y k X Y

aX c bY d ab X Y

 

  



  

Ví dụ 9

-2 10

- 0,10 0,05 0,15 0,20 0,05 0,05 0,05 0,35

(34)

Tính chất Covariance 2

100









 









 









   

6) cov , 0,

7) cov ,

8) 9) co co v , , v

Nếu X Y độc lập ngược lại không

X Y

V X Y V X

V aX bY a V X b V Y ab X Y

X Y

V Y X

V X V Y

Y              

Hệ số tương quan

• Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu định nghĩa cơng thức:

• Hệ số tương quan cịn ký hiệu là:

101







 





Tính chất





) 1

)

) ,

1

với X, Y Nếu X Y độc lập

nếu ab>0 ab<0 khi:

nếu a>0 a<0

X Y

X Y aX c bY d

X Y

i ii iii

(35)

Ý nghĩa

• Hệ số tương quan đo mức độphụ thuộc tuyến tínhgiữa X Y

• Khi |ρX,Y| gần mức độ quan hệ tuyến

tính chặt

• Khi |ρX,Y| gần mức độ quan hệ tuyến

tính yếu

• Khi ρX,Y= ta nói X Y không tương quan

103

Hàm hồi qui X Y

là hàm theoy, gọi hàm hồi quy X Y Đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Decartes gọi đường hồi quy

Chú ý:

104





E X Y



y



, , ,



y



y y

y

Hàm hồi qui Y X

là hàm theox, gọi hàm hồi quy Y X

Đồ thị hàm số gọi đường hồi quy

Chú ý:





E Y X



x



, , ,

