Lấy ngẫu nhiên n phần tử.. Bên mua sẽ không mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên. Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểm tra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua [r]
(1)Luật phân phối xác suất thường gặp
1
Chương 3
Phân phối xác suất
• BNN Liên tục: Chuẩn, Khi bình phương, Student, Fisher
• BNN Rời rạc: Nhị thức, Siêu bội, Poisson
2
Phân phối chuẩn N(, 2)
• Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với tham sốvà2nếu hàm mật độ có dạng:
• Ký hiệu: X ~ N(,2)
• Là ppxs bnn liên tục
2 2
1
( ) ,
2
x
f x e x R
(2)
Đồ thị hàm mật độ
4
2
2
1 )
2 (
x
f x e
2
2 ~ ,
) ) X N
i E X V X ii ModX MedX
Nếu thì:
Phân phối chuẩn tắc
• Standard Normal Distribution
• Là bnn có pp chuẩn với trung bình là phương sai
• Ký hiệu X ~ N(0, 1) ta có:
5
1 22
2
x
f x e
Phân phối Chuẩn tắc
• Định lý:
• Ta có:
• Như xác suất phân phối chuẩn xác định thông qua phân phối chuẩn tắc N(0;1)
2
~ , ~ 0,1
Neáu X N thì:Z X N
a X b
(3)Xác suất N(, 2) • Cho X ~ N(,2) ta có:
• Với:
• Là tích phân Laplace
7
b a
P a X b
2/2
0
1 2
z x
z e dx
Tính chất hàm𝜑(x)
8
)
) 0,5 0,5
) 0,5
i z z
ii
iii z z
z
2/2
0
1
z x
z e dx
Công thức xác suất N(μ;σ2)
• Giá trị tích phân Laplace dị bảng Phụ lục
• Xác định cậnchuẩn hóacận – cận
1) 2) 0,5 3) 0,5 b a
P a X b
a a
P X a
b b
P X b
(4)Quy tắc k sigma
10
1 0,6826 2 2 0,9544 3 0,9974
4 4
2
2
P X P X P P X
X P X
Tính chất pp chuẩn
• Nếu a, b số thực thì:
• Tổ hợp tuyến tính bnn độc lập có phân phối chuẩn bnn có pp chuẩn
11
2 1
1 2
2 2
~ ;
~ ?;? ~ ;
X N
Z aX bX N
X N
2 2
~ ; ~ ;
X N Z aX b N a b a
Ví dụ 1
1 Cho X~N(3,1) Y~N(4,2) độc lập Tìm xác suất X>2Y
(5)Giá trị tới hạn Zα
• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1)là số thực ký hiệu Zαsao cho với Z~N(0;1) thì:
• Chú ý:
13
P ZZ
0
0,5
Z Z
Z Z Z
Z
Ví dụ 2
Giả sử thời gian khách phải chờ để phục vụ cửa hàng bnn X, biết X~N(4,5; 1,21) a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến
phút?
b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không t không 5%?
14
Ví dụ 3
(6)Phân phối Loga chuẩn
• Lognormal Distribution
• NếuY = lnX~N(𝜇, 𝜎2)thì bnn X gọi có phân phối Loga chuẩn với hàm mật độ:
16
2
ln
1 , 0
2
0 ,
x
e x
f x x
x
2 2
2; 1
E X e V X e e
Phân phối Loga chuẩn
• Cơng thức tính xác suất
• Lấy logarit để đưa phân phối chuẩn
17
ln ln ln
ln ln
P a X b P a X b
b a
P a X b
Phân phối LogNormal
• Giá mã chứng khoán phiên giao dịch thứ n ký hiệu S(n)
• Người ta chứng minh được, n đủ lớn, X=S(n)/S(n-1) có phân phối loga chuẩn
• Giả sử X có phân phối loga chuẩn với trung bình 0,0155 độ lệch chuẩn 0,075
(7)Phân phối Khi bình phương
• Bnn X gọi có phân phối Khi bình phương với n bậc tự hàm mật độ có dạng:
• Ký hiệu:
• Là trường hợp riêng pp Gamma
19
1
2
2
,
2
0 ,
n x
n x e x
n f x
x
2
~
X n
Phân phối Khi bình phương
• Nếu X~χ2(n) thì • Đồ thị:
20
;
E X n V X n
Quan hệ với pp N(0,1)
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N(0,1)
• Khi đó:
2
~
n i i
X n
~ 0,1
i
(8)Đồ thị hàm mật độ Khi BP
• Đồ thị hàm mật độ n=10 n=20
22
Đồ thị hàm mật độ
• Khi n=30, vẽ đoạn từ đến 53 (trong khoảng độ lệch chuẩn)
23
30 60 74
,
E X n V X n
Tính chất X~2(n)
2
1 2
2
1 2
) ~ ; ~
~
Nếu độc lập thì: X
a X n X n
X n n
2
) ~ n,2 n
0,1
F n F n
b X n X N
X n N
n
(9)Một số kết Thống kê
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn
• Khi đó:
• (Khi lấy mẫu từ phân phối chuẩn)
25
2
~
n i i
X
n
2
~ ,
i
X N
Một số kết Thống kê
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn
• Khi đó:
26
2
~ 1
n i i
X X
n
2
1
~ ,
1
i
n
X N
X X X X
n
Giá trị tới hạn𝜒2(n; α)
• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1)là số thực ký hiệu𝜒2(n;𝛼) cho với Z~𝜒2(n) thì:
n;
P Z
(10)Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương
28
Ví dụ 4
• Cho
• Tìm xác suất sau:
29
2
~ 20
Z
2
) 0,95 20;0,95
) 8,2604 ?
) 10,8508 31,4104 ?
a P Z a hay
b P Z
c P Z
Phân phối Student t(n)
• Kí hiệu: X ~ t(n)
• Bnn X gọi có phân phối Student với n bậc tự hàm mật độ có dạng:
1
2
,
1
1 1
2
n
x
n
x f x
n n
n
(11)Quan hệ với Chuẩn Khi BP
• Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập
• Khi đó:
31
2 ~ 0,1 ; ~
X N Y n
~
X X n
T t n
Y Y
n
Tính chất
32
Neu ~ thì:
) ;
)
2
) F 0,1
n
T t n
a E T n
n
b V T n
n
c T N
(12)Đồ thị hàm mật độ t(5) t(20)
34
Giá trị tới hạn𝑡(𝑛, 𝛼)
• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1)là số thực ký hiệu𝑡(𝑛, 𝛼)sao cho với Z~𝑡(n) thì:
35
Z tn;
P
;0 ;1
;0,5 ;1 ;
;
n n
n n n
n n
t t
t t t
t Z
(13)Ví dụ 5
• Cho
• Tìm giá trị tới hạn xác suất sau:
37
~ 15 Z t
15;0,025
15;0,975
) 0,025 ?
) 2,602 ?
) 2,0343 2,9467 ?
) 0,975 ?
a P Z a hay t b P Z
c P Z
d P Z b hay t
Phân phối Fisher - Snedecor
• Ta định nghĩa thơng qua phân phối Khi bình phương
• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập
• Đặt:
• Ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự
38
2
~ ; ~
X n Y m
/ ~ ;
/
X n mX
F F n m
Y m nY
Đồ thị hàm mật độ
(14)Đồ thị hàm mật độ
40
Đồ thị hàm mật độ
41
, F 1,0
m n
F n m N
Tính chất
• Cho X~F(n,m) thì:
2
2
,
2
2
,
2
m
E X m
m
m n m
V X m
n m m
, F 1,0
m n
F n m N
(15)Giá trị tới hạn phân phối Fisher
• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1)là số thực ký hiệu F(n, m, α)hay 𝑓(n, m, α)sao cho với F~ 𝐹(n,m) thì:
• Tính chất:
43
, ,
P F f n m
, ,
f n m
( , ,1 ) , , ( )
f n m
f n m
Bảng giá trị tới hạn Fisher
44
Ví dụ 6
• Cho F~F(20; 30) Tìm a, b, c cho:
) 0,05
) 0,01
) 0,95
a P F a b P F b a P F c
(16)Ví dụ 7
• Từ kết lần thí nghiệm ta có đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối Khi bình phương với bậc tự tương ứng Tìm xác suất để đại lượng thứ bé lần đại lượng thứ
46
Ví dụ 8
• Cho bnn
• Giả sử bnn độc lập Tính xác suất:
47
1
~ 0; 1,5 ; ~ 0; 1,11
3
i j
X N i Y N j
5 11
2
1
3 i j
i j
P X Y
BÀI TẬP
(17)Phân phối Nhị thức (Binomial)
Định nghĩa:bnn X gọi phân phối theo qui luật Nhị thức
•X={0,1,2,3…n}
•Với xác suất tương ứng là:
•Kí hiệu: X~B(n,p)
49 k k n k
n
P X k C p q
Mơ hình Nhị thức
Đặt X số lần bc A xuất q trình Bernoulli gồmnphép thử
Khi đó:X~B(n,p)
Chú ý:
Gọi Y số lần A không xuất trình Bernoulli
Phân phối xác suất Y?
50
Tham số đặc trưng
• Cho bnn X~B(n,p) Ta có:
) )
) 1 1 1
i E X np
ii VX npq
iii n p ModX n p
(18)Ví dụ 9
• Xác suất để bệnh nhân chữa khỏi điều trị bệnh gặp máu 0,4 Giả sử 15 người đồng ý chữa trị, tính xác suất: • A) Có 10 người khỏi?
• B) Có từ đến người khỏi?
• C) Khả cao có người khỏi bệnh?
52
Ví dụ 10
• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua loại thiết bị điện tử để bán Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị hư hỏng loại thiết bị 3%
a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô hàng giao Xác suất có thiết bị hỏng bao nhiêu?
b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng tháng với lô hàng kiểm tra ngẫu nhiên 20 thiết bị Xác suất có lơ hàng có chứa thiết bị hỏng số 20 thiết bị kiểm tra?
53
Phân phối Không – một
•Là trường hợp đặc biệt phân phối Nhị thức với n=1, hay B(1;p)
•Ký hiệu khác: X~A(p)
•Cịn gọi phân phối Bernoulli •Bảng ppxs:
X
P q p
(19)Tính chất
Cho X1, X2là hai bnn độc lập Giả sử:
Khi đó:
Hệ quả: Tổng n biến ngẫu nhiên độc lập, có pp A(p) bnn có pp B(n,p)
55
1~ 1, ; ~ 2,
X B n p X B n p
1 2~ 2,
X X B n n p
1
~ n ~ ,
i i
i
X A p Z X B n p
Ví dụ 11
• Hai đội A B tham gia đấu giải với đội đạt trận thắng trước đội chiến thắng giải Xác suất đội A thắng trận đấu p giả sử trận đấu độc lập
• Xác suất A thắng giải bao nhiêu?
56
Phân phối Siêu bội
Định nghĩa:Bnn X gọi phân phối theo qui luật siêu bội nếu:
• X số nguyên
• Với xác suất tương ứng là:
• Kí hiệu: X~H(N,NA,n)
A. A
k n k
N N N
n N
C C
P X k
C
(20)Xét tập hợp có N phần tử
Lấy ngẫu nhiên n phần tử Lấy ngẫu nhiên n phần tử,khơng hồn lại
X: số phần tử có t/c A n phần tử lấy
Mơ hình siêu bội
58
A
N
A
N N Tính chất A
Ta có:
Tổng qt:
Mơ hình siêu bội
59
A A ~ , ,
k n k N N N
A n
N
C C
P X k X H N N n
C
0;n N N A k ,n NA max
Các tham số
Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có:
Trong đó:
;
1 N n
E X np V X npq
N
;
A
N
p q p
N
(21)Ví dụ 12
• Kiện hàng chứa 40 sản phẩm Bên mua khơng mua kiện hàng có từ sản phẩm lỗi trở lên Để tiện, bên mua quy ước lấy sản phẩm kiểm tra, có sản phẩm lỗi khơng mua lơ hàng Xác suất tìm thấy sản phẩm lỗi biết lơ hàng có sản phẩm lỗi bao nhiêu?
61
ModX
• Ta có:
• Với
• Cơng thức cho ta khoảng chứa ModX
62
0
k ModX k
0
1
1
A
N n
k
N
Ví dụ 13
Trong cửa hàng bán 100 bóng đèn có bóng hỏng Một người mua ngẫu nhiên bóng Gọi X số bóng hỏng người mua phải
(22)Ví dụ 14
Một hộp có 20 sản phẩm có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sp từ hộp Gọi X số phế phẩm sp
a) Luật phân phối xác suất X b) Tính E(X), Var(X)?
c) Tìm Mod(X)
64
Quan hệ Nhị thức siêu bội
65
~ ,
X B n p
~ , A,
X H N N n n<<N N>20n
A A
k n k
N N N k k n k n n N
C C
P X k C p q
C
Ví dụ 15
(23)Phân phối Poisson
• X: số lần kiện xh khoảng thời gian (khơng gian)
• X=0,1,2,…
• X bnn Poisson • Ví dụ:
• Số lỗi sai trang in
• Số khách hàng vào ATM 10 phút • Số người qua ngã tư phút
67
Phân phối Poisson P(λ)
Định nghĩa:bnn X gọi phân phối theo qui luật Poisson P(λ)
• X={0,1,2,3…}
• Với xác suất tương ứng là:
• Kí hiệu: X~P(λ)
68
( )
!
k
P X k e k
Điều kiện
• X: số lần kiện xh khoảng liên tục • X tn theo q trình xấp xỉ Poisson với tham
số λ > nếu:
• (1) Số lượng kiện xh khoảng rời độc lập
• (2) Xác suất có kiện xh khoảng ngắn h=1/n xấp xỉ với λh= λ(1/n) = λ/n • (3) Xác suất có nhiều hai
(24)Hàm mật độ
• Cơng thức
• Lấy giới hạn
70
( )
k n k
k n
P X k C
n n lim
1
lim 1 1
! !
k n k k n n n k k n k C n n k
k n n n n n
e k
Các tham số tính chất
• ChoX~P(λ) Ta có:
• X1, X2là hai bnnđộc lậpvàX1~P(λ1);X2~P(λ2) Ta có: 71 ) ) )
i E X ii V X
iii ModX
1 ~
X X P
Tham số đặc trưng
• Xét tỷ lệ P(X=k+1) P(X=k) ta có:
• Vậy 1 1 1 k k e
P X k k
k
P X k
e k
P X k
k
P X k
(25)Một số ví dụ
• Số lần truy cập vào máy chủ web phút
• Số điện thoại trạm điện thoại phút
• Số lượng bóng đèn bị cháy khoảng thời gian xác định
• Số lần gõ bị sai đánh máy trang giấy
• Số lần động vật bị chết xe cộ cán phải đơn vị độ dài đường
• Số lượng thơng đơn vị diện tích rừng hỗn hợp
73
Ví dụ 16
1) Trong nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt có phân phối Poisson với trung bình Tính xác suất có
a) Đúng ống sợi bị đứt ( biến cố A) b) Có ống sợi bị đứt.( bc B)
2) Một trạm điện thoại trung bình nhận 300 gọi Tính xác suất:
a) Trạm nhận gọi vòng phút b) Trạm nhận gọi vòng phút
74
Ví dụ 17
1) Gà mẹ ấp n trứng Xác suất trứng nở gà p (độc lập nhau) Xác suất gà sống r (độc lập nhau)
a) PPXS số gà nở là? b) PPXS số gà sống sót là?
(26)Xấp xỉ xác suất
76
~ ,
X B n p
~ . X P n p
~ , A,
X H N N n n<<N
Y ~ . P n q nrất lớn
prất nhỏ nrất lớn
prất lớn
Xấp xỉ pp chuẩn
77
2
~ ,
X N
~ ,
X B n p n lớn
2
E X np V X npq 0,1<p<0,9 5; 5 30 0,1 0,9 np nq n p 20 npq
Công thức xấp xỉ
• Cho𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) ≈ 𝑁(𝜇; 𝜎2)
2/2 1 1 ) ; 0,5 0,5 ) x k np
i P X k f f x e
npq npq
k np k np
ii P k X k
(27)Xấp xỉ Poisson N(0,1)
• Cho bnn X có phân phối Poisson
• Ta chứng minh được:
• Trong thực hành, ta xấp xỉ khi𝜆 > 20 Nghĩa là:
79
~ 0,1
X
N
~ ? ?
X P E X V X
0,1 ~ , 20
X
N X P
Ví dụ 18
• Trọng lượng viên thuốc có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250mg phương sai 81 mg2 Thuốc đóng thành vỉ, vỉ 10 viên Một vỉ gọi tiêu chuẩn có trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì) Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra Tính xác suất:
• A Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn
• B Có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn
80
Ví dụ 19
• Khảo sát lơ thuốc viên, trọng lượng trung bình viên thuốc 252,6 mg có độ lệch chuẩn 4,2 mg Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn
• A Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn 260 mg
• B Tính trọng lượng x0 cho 30% viên thuốc nhẹ x0
(28)Bài tập chương 3
• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16 • 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38 • 3.39; 3.40; 3.42
• Tất 19