tài liệu otch update 05052017 nguyenvantien0405

• Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương lai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư.. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến.. Chú ý.[r]

(1)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Cấp số nhân

• Cấp số nhân dãy số thỏa mãn điều kiện: •

• với q khơng đổi

• q gọi cơng bội cấp số nhân • |q|<1cấp số nhân lùi vô hạn

1 , 1, 2,3

n n

x   x q  n

1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Cấp số nhân

• Ta có:

• Khi |q|<1 1

1

(1 )

n n

n

n n

x x q

x q

S x x x

q







   



1

lim n n

x S

q

  

2

Lãi suất

• Định nghĩa. Thể quan hệ tỷ lệ lãi

trong đơn vị thời gian với vốn gốc thời gian

• Ví dụ.Đầu tư 100 triệu đồng sau năm thu

được 112 triệu đồng Như sau năm nhà đầu tư lãi 12 triệu đồng lãi suất 12%/năm

𝐋ã𝐢 𝐬𝐮ấ𝐭 =𝐋ã𝐢 𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐦ộ𝐭 đơ𝐧 𝐯ị 𝐭𝐡ờ𝐢 𝐠𝐢𝐚𝐧 𝐕ố𝐧 𝐠ố𝐜 𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐭𝐡ờ𝐢 𝐠𝐢𝐚𝐧 𝟏𝟎𝟎%

3 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Lãi đơn

• Lãi đơn lợi tức tính số vốn vay ban đầu suốt thời hạn vay Nói khác đi, số lãi tính theo tỷ lệ phần trăm vốn gốc lãi đơn Trong khái niệm này, có vốn sinh lời cịn lãi khơng sinh lợi

• Lãi đơn thường áp dụng nghiệp vụ tài ngắn han

• Giá trị đạt (hay giá trị cuối cùng, giá trị tương lai): tổng số tiền thu kết thúc đợt đầu tư Giá trị đạt gồm phần: vốn gốc lãi thu

4

Cơng thức tính lãi đơn

• V0 vốn gốc

• Vn giá trị cuối tính đến thời điểm n • ilà lãisuất

• Lãi thu về:

 

0 1 .

n

V V n i

0 .

I V n i

Ví dụ 1

• a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi có kỳ hạn tháng với lãi suất 1%/tháng Xác định giá trị đạt số lãi vào cuối đợt đầu tư tháng?

• b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau thời gian thu vốn lẫn lời 118 triệu vào cuối đợt đầu tư Hỏi thời gian đầu tư bao lâu?

• c) Với lãi suất 12%/năm phải bỏ số vốn ban đầu để thu 28,4 triệu năm tháng (tính theo lãi đơn)?

(2)

Chú ý

• Nếu đơn vị thời gian lãi suất i thời điểm n khơng đồng trước tiên ta phải biến đổi để chúng đồng với áp dụng cơng thức

• Ví dụ.

• a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau tháng thu tổng số tiền 105,6 triệu Hỏi lãi suất đầu tư bao nhiêu?

• b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm Sau thời gian rút hết thu 106 triệu Hỏi thời gian đầu tư bao lâu?

Lãi kép

• Việc tính lãi cáchlấy lãi kỳ trướcnhập

vào vốn để tính lãi cho kỳ sauđó phương

pháp tính theo lãi kép Số tiền lãi thu theo phương pháp gọi lãi kép

• Lãi kép thường áp dụng nghiệp vụ tài dài hạn

8

Lãi kép

• Cơng thức bản:

• Trong đó: –i: mức lãi suất

–V0: vốn gốc

–n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)

–Vn: giá trị đạt sau đầu tư

 

0 1 n n

V V i

Hệ quả

• Vốn đầu tư ban đầu:

• Thời gian đầu tư:

• Lãi suất đầu tư:

   

0 1

n n

V V i V V i 

   0

log /

log

n n

n

V V

V V i n

i

   



 

0

1 n n n

n

V

V V i i

V

    

10

Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• a) Đầu tư khoản tiền với lãi suất 10%/năm Sau năm thu vốn lẫn lời 146,41 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏi vốn đầu tư ban đầu bao nhiêu?

• b) Đầu tư khoản 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm Sau thời gian thu vốn lẫn lời 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép) Hỏi thời gian đầu tư bao lâu?

• c) Đầu tư khoản tiền 100 triệu với lãi suất 10%/năm Sau năm thu vốn lẫn lời 214,358881 triệu (tính theo lãi kép) Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời đầu tư) bao nhiêu?

Giá trị tương lai tiền tệ

1.Giá trị tương lai khoản tiền đơn 2.Giá trị tương lai dòng tiền

2.1 Giá trị tương lai dòng tiền đều 2.2 Giá trị tương lai dịng tiền khơng đều

(3)

Giá trị tương lai khoản tiền đơn

• Giá trị tương lai khoản tiền đơn

(khoản tiền nhất):là giá trị số tiền

ở thời điểm cộng với số tiền lãi mà sinh khoảng thời gian từ thời điểm tương lai

i

Giá trị tương lai khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

1 . 

FV  PV i n

1 n

FV  PV i

14

Giá trị khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

1 . 

FV PV

i n 



1 n

FV PV

i

 

Ví dụ

• Giả sử người cha mở tài khoản tiết kiệm triệu VNĐ cho trai ông ta vào ngày đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền vào đại học Lãi suất hàng năm 6% Vậy số tiền mà người trai nhận vào đại học bao nhiêu? (tính theo lãi kép)

• Đ/S:

   18

5.000.000 6% 14.271.695

1 n

FVPV i   

16

Ví dụ

• Một người muốn để dành tiền cho tuổi già cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất ngân hàng 13%/năm Người phải gửi vào ngân hàng tiền thời điểm tại, để 20 năm sau nhận số tiền 20 triệu VNĐ? (tính theo lãi kép)

   20

20.000.000

1.736.000 n 0,13

FV PV

i

  

 

NGUYÊN TẮC 72

Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, kết ước lượng gần với số năm cần thiết để số ban đầu tăng gấp đôi

72/6 = 12khoảng 2028 thunhập bình

quânđầu người của Việt Nam đạt 4.430

đô-la (từ mức 2.215 đô-la nay). 72 chia cho

sẽ năm để tăng gấp đôi số tiền của bạn với lãi suất hằng năm 8%.

(4)

Giá trị tương lai dịng tiền

• Giá trị tương laicủa mộtdịng tiềnsau n năm

chính tổng giá trị tương lai khoản tiền xảy thời điểm khác n năm

Giá trị tương lai dịng tiền • Giá trị tương lai dịng tiền sau n năm chính

là tổng giá trị tương lai khoản tiền xảy ở từng thời điểm khác n năm.

• FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai dịng tiền thơng thường

• FVAD : Giá trị tương lai dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dịng tiền (các khoản tiền cấu thành)

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn (thường năm)

20

Giá trị dịng tiền • Giá trị dòng tiền tổng giá trị tại

của khoản tiền cấu thành

• PVA( Present Value of Annuity): Giá trị dịng tiền thơng thường

• PVAD : Giá trị dịng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dịng tiền cấu thành

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn ( thường năm)

Giá trị tương lai dịng tiền đều

• Trường hợp cuối kỳ

 1

CF i

 1 n

CF i

 2

1 n

CF i

 3

1 n

CF i 

1 in

FVA CF

i

          

22

Ví dụ

• Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USD cho trai du học vào năm sau phải gửi tiết kiệm hàng năm khoản cố định bao nhiêu? Biết lãi suất tiền gửi 6%/năm

Giá trị tương lai dịng tiền đều

• Trường hợp đầu kỳ

 1

CF i

 1 n

CF i

 1

1 n

CF i

 2

1 n

CF i 

  1  1 

1

n

i

FVAD FVA i CF i

i

 

   

(5)

Ví dụ

• Một người định dành tiền để mua mở nhà hàng sau năm Hiện tài khoản người có 30.000USD người định vòng năm vào cuối năm tiết kiệm gửi vào tài khoản số tiền 30.000USD Nếu lãi suất tiết kiệm 7%/năm sau năm người mở nhà hàng với số tiền tối đa bao nhiêu?

1  1 

1, 07

1 30.000 1, 07

0, 07

n

i

FVAD CF i

i

  

   

Giá trị dòng tiền đều

a Trường hợp cuối kỳ

b Trường hợp đầu kỳ

c Trường hợp dòng tiền vô hạn:

 

1

1 i n

PVA CF

i 

 

1 

PVADPVA i

CF PVA

i 

26

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ

• Tính giá trị thiết bị sản xuất bán trả góp với lãi suất 12%/năm thời gian năm, năm trả 50 triệu VNĐ Biết việc trả tiền tiến hành vào đầu năm

• Giải

 

   

5 1

1 1,12

50 1,12 201,867 0,12

n

PVAD PVA i

i

CF i

i



 

 

 



 

27

Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ

• Một trái phiếu vơ hạn trả lãi cuối năm triệu VNĐ, biết lãi suất bình quân 8%/năm Hãy xác định giá trái phiếu ?

• Đ/S: 12,5 tr

28

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ bất kỳ

FVA : giá trị tương lai dòng tiền cuối kỳ CFt: giá trị dòng tiền cuối kỳ t

 

0 1

n

n t t

t

FVA CF i 



 

29

Tổng quát

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dịng tiền khơng đều

• Cơng ty Nam Phong dự định mở rộng phân xưởng sản xuất bánh kẹo Công ty dự kiến đầu tư liên tục năm vàomỗi cuối nămlần lượt khoản tiền sau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệu VNĐ 10 triệu VNĐ Lãi suất 10%/năm Vậy tổng giá trị đầu tư cơng ty tính theothời giá năm thứ 5là ?

(6)

Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giá trị chuỗi tiền tệ bất kỳ

PV : giá trị dòng tiền CFt: giá trị dòng tiền cuối kỳ t

 









 n

t

t i

CF PV

0

1

31

Tổng quát

Bài tập

• Hiện tại, người gửi vào ngân hàng số tiền 10 triệu đồng, đầu năm thứ tính từ người gửi vào ngân hàng tiếp số tiền 20 triệu đồng Cuối năm thứ tính từ năm thứ 3, người lại tiếp tục gửi vào ngân hàng số tiền 25 triệu đồng Nếu lãi suất 10%/năm hỏi sau bao lâu, tài khoản người có số tiền 200 triệu đồng?

32

Giá trị ròng

• Net Present Value

33 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa NPV

• NPV hiệu số giá trị khoản tiền thu tương lai chi phí chi phí triển khai dự án

(1 ) n

NPV B i  C

34

Định nghĩa NPV

• Giá trị ròng tổng giá trị riêng lẻ sau chiết khấu, theo nghĩa

• CI: cash in (luồng tiền thu về) • CO: cash out (luồng tiền chi) • n: số năm hoạt động dự án

• t: năm bắt đầu thực dự án coi năm gốc

  

0

1

n

t

t t

t

NPV CI CO i 



 

   

Ví dụ

• Chọn dự án có NPV>0 cao • Mức lãi suất tính bao nhiêu?

Năm Thu nhập hàng năm ($) Giá trị ròng NPV ($)

Dự án A Dự án B Dự án A Dự án B

0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000

1 700 666,667

2 500 453,515

3 600 2.000 518,303 1.727,675

Tổng 800 1000 638,485 727,675

(7)

Vi phân hàm nhiều biến

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y

• Khi biểu thức:

• Được gọi vi phân toàn phần hàm hai biến cho

• Ý nghĩa:

'x 'y

dzz dxz dy

Ví dụ

• Hàm số

• Có vi phân toàn phần

3

zx y xy

   

3 2

dz x y dx x y dy

Đạo hàm riêng cấp 2

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y

• Đây đạo hàm riêng cấp

• Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp

• Các đạo hàm riêng cấp

   

2

'' '' ''

' '

xx xy

x x y

yx yy y

x y

x x

y y

z z z z z

  

• Các đạo hàm riêng cấp ký hiệu là:

• Ví dụ: Tính đhr cấp hàm số:

2 2

2; ; ;

z z z z

x x y y x y

         

3

zx y xy

• Ví dụ: Tính đhr cấp hàm số:

) y ) xy ) ln x

a z x b z e c z

y

 

    

 

Vi phân cấp 2

• Vi phân cấp hàm hai biến z=f(x,y) biểu thức có dạng:

   

2

2 2

' '

" " " "

" " "

x y

xx xy yx yy

xy

x y

d z d dz d z dx z dy

d z z dx z dxdy z dydx z dy

d z z dx z dxdy z dy

  

   

(8)

Ví dụ

• Tính vi phân cấp hàm số:

 

2 2 3

2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y

     

Hàm nhiều biến kinh tế

• Một số hàm quan trọng phân tích kinh

tế:

• Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm lợi ích • Hàm cung, hàm cầu

Hàm sản xuất

• Hàm sản xuất hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• K vốn, L lao động

• Hàm Cobb-Douglas hàm sản xuất dạng: • a, α, β số dương

,

QaK L 

Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí hàm TC=TC(Q) tính theo yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

• WKlà giá thuế đơn vị vốn, WLlà

giá thuế đơn vị lao động, C0là chi phí cố định

• Hàm tổng doanh thu hàm TR=PQ=PQ(K,L) P giá thị trường sản phẩm • Hàm tổng lợi nhuận hàm TT=TR-TC

Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi íchuđể biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hóa cấu tiêu dùng Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi giỏ hàng Giả sử cấu người tiêu dùng có mặt hàng giỏ hàng ba số thực (x,y,z) Hàm lợi ích cho tương ứng giỏ hàng với giá trị u=u(x,y,z)

Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng P1, P2,…,Pn Khi

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1

( , , , ) i

S i n

Q S P P P

1

( , , , )

i

D i n

(9)

Đạo hàm hàm nhiều biến

• Đạo hàm riêng cấp • Vi phân cấp

• Đạo hàm riêng cấp cao • Vi phân cấp cao

Ma trận Hess

• Giả sử hàm sốnbiến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp Khi đó, ma trận vuông cấpn

gọi ma trận Hess hàm số Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp liên tục

ma trận Hess ma trận đối xứng

1 1

2 2

1

n n

n n n n

x x x x x x

f f f

H

f f f

  

 

    

 

  

 

  

 

 

Ví dụ

• Ma trận Hess hàm biến • ma trận

2 5 4 5 3 4 3 4

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z

H x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

 

 

  

 

 

3

( , , )

f x y z x y z

Đạo hàm hàm ẩn

• Xem tài liệu

Cực trị khơng có ràng buộc

• Điều kiện cần để có cực trị:Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác

định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm

thì

• Đó điều kiện cần để có cực trị Điểm thỏa mãn điều kiện gọi điểm dừng hàm số

• Hàm số đạt cực trị điểm dừng

• Đây điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ

1

( , , , n)

M x x x D

( , , , n) , 1, 2, ,

i

f

x x x i n

x

  



Cực trị khơng có ràng buộc

• Điều kiện đủ để có cực trị:Giả sử

• điểm dừng hàm số f(x1,x2,…,xn)

điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp hai liên tục

• Đặt:

1 ( , , , n)

M x x x D

2

( , , , ) ( , 1, 2, , )

ij n

i j

f

a x x x i j n

x x



 

(10)

Điều kiện đủ để có cực trị

• Ma trận Hess:

• Xét định thức chính:

11 12

21 22

1

n n n n nn

a a a

H

a a a

 

 

 

 

 

11 12 11 12

21 22 21 22

11 12 11

21

1 2

, , , , ,

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a

D a D D D

a a

a a a a a a

   

Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)nDn>0 M điểm cực

đại hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)iD

i>0 ) tồn k cho

Dk=0 chưa thể kết luận cực trị địa phương

của hàm số Hàm số đạt cực trị không đạt cực trị điểm M Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác

• iv) Trong trường hợp khác M điểm cực trị

Áp dụng cho hàm biến

• Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp liên tục M(x0, y0) điểm M(x0, y0) điểm dừng

của hàm số Ta đặt:

• i) Nếu A>0, ∆>0 M điểm cực tiểu • ii) Nếu A<0, ∆>0 M điểm cực đại • iii) Nếu ∆<0 M khơng điểm cực trị • iv) Nếu ∆=0 chưa có kết luận

2 2

2

0 0 0

2( , ), ( , ), 2( , ),

A B

f f f

A x y B x y C x y AC B

B C

x x y y

  

      

   

Ví dụ

• Tìm cực trị hàm số

• Đ/S: cực tiểu M(1;1)

3

( , ) 3

f x y   x y xy

Ví dụ

• Đ/S: cực tiểu M(1;-2;1/2)

3 2

( , , ) 2 2 3 1.

f x y z    x xy y xz z  y

Cực trị có ràng buộc

• a) Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biến

chọn phương trình ràng buộc

• b) Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biến

(11)

Hai biến chọn – ĐK cần

• Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0 • Giả sử M(x0;y0) điểm cực trị hàm số z với

ràng buộc tồn số λ cho:

• Số λ gọi nhân tử Lagrange

• Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) gọi hàm số Lagrange

0 0

0

( , ) ( , )

( , ) f

x y x y

x x

f

x y x y

y y x y                       

Hai biến chọn – ĐK cần

• Ta viết lại phương trình cho dạng:

• Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) • Giải phương trình ta có λ, x0,y0

0

( , ) ( , ) ( , ) L x y x L x y y L x y                

Hai biến chọn – ĐK đủ

• Ta xét định thức

• Trong đó:

1 11 12 21 22

0

D L L

L L

    

1 0 0

2

11 0 22 0

2

12 0 0 21

( , ) ( , )

( , , ) ( , , )

x y x y

x y

L L

L x y L x y

x y

L L

L x y x y L

x y y x

                            

Hai biến chọn – ĐK đủ

• Nếu D>0 M(x0;y0) điểm cực đại có điều

kiện hàm số

• Nếu D<0 M(x0;y0) điểm cực tiểu có điều

kiện hàm số

• Nếu D=0 chưa có kết luận điểm M(x0;y0) xét

Ví dụ

• với điều kiện:

• Đ/S: cực tiểu M(4/3; 5/3) • Cực đại N(-4/3;-5/3)

( , ) 4 3

f x y   x y

2

1.

x  y 

n biến chọn (tham khảo)

• Cho hàm số z=f(x1,x2,…,xn) với ràng buộc ϕ(x1,x2,…,xn)=0 Giả sử:

• điểm cực trị hàm số z với ràng buộc tồn số λ cho:

• Số λ gọi nhân tử Lagrange

• Hàm số L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+ λϕ(x1,x2,…,xn) gọi

hàm số Lagrange

1 ( , , , n)

M x x x

1 2

1

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

n n

i i

n

f

x x x x x x

x x

x x x

(12)

• Ta viết lại hệ phương trình:

1

( , , , ) ; 1, 2, ,

( , , , )

n i

n L

x x x i n

x L

x x x

 

  

   

 

 

• Ta lập ma trận:

• Trong đó:

1

1 11 12

2 21 22

1

0 n

n n n n n nn

L L L

H L L L

L L L

   

 

 

 



 

 

1 2

1

( , , , ) ; 1, 2, ,

( , , , , ) ; , 1, 2, ,

k n

k

ij n

i j

x x x k n

x L

L x x x i j n

x x

 

 

 

 

 

 

• Xét định thức:

• Nếu D2>0, D3<0, …, (-1)nDn>0 M điểm cực

đại có điều kiện hàm số

• Nếu D2<0, D3<0, …, Dn<0 M điểm cực tiểu

có điều kiện hàm số

1

1 11 12

2 21 22

1

0

( 2,3, , ) k

k

k k

k k k kk

L L L

D L L L k n

L L L

   

 

 

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

• Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tập đóng, bị chặn

• ChoDlà tập đóng, bị chặn có biên cho phương trình ϕ(x1,x2,…,xn)=0

• Giả sử f(x1,x2,…,xn) hàm số liên tục trênD.Sau

quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ trênD. • - Tìm điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện

ϕ(x1,x2,…,xn)=0

• - Tìm điểm dừng f(x1,x2,…,xn) thuộcD.

• Giá trị lớn (nhỏ nhất) f trênDlà giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị hàm điểm tìm

Ví dụ

• Ví dụ 3.25.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

hàm • miền

• Đ/S:

2

( , ) x 2

f x y   y x

2

: x 1

D y 

1 1

min , ; max ,

2 2

D f f D f f

   