tài liệu otch update 05052017 nguyenvantien0405

• Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng.[r]

(1)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

ỨNG DỤNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

TRONG KINH TẾ

Đạo hàm riêng giá trị cận biên

• Xét mơ hình hàm kinh tế:

• xilà biến số kinh tế

• Đạo hàm riêng hàmwtheo biến xitại điểm M

được gọi giá trịw– cận biên theo xitại điểm

• Biểu diễn lượng thay đổi giá trị biếnwkhi giá trị xithay đổi đơn vị điều kiện giá trị

biến độc lập cịn lại khơng thay đổi  1, 2, , n

w f x x x

Giá trị cận biên_hàm sx • Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)

• Các đạo hàm riêng:

• gọi tương ứng hàm sản phẩm cận biên tư (MPK) hàm sản phẩm cận biên lao động (MPL) điểm (K, L)

'K ( , ); 'L ( , )

f f

Q K L Q K L

K L

 

 

 

Giá trị cận biên_hàm sx • Đạo hàm riêng:

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị tư giữ nguyên mức sử dụng lao động

• Đạo hàm riêng:

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng tư

'K ( , ) f

Q K L

K

 



'L ( , ) f

Q K L

L

 



Ví dụ

• Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp là:

• đóK, L, Qlà mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày Giả sử doanh nghiệp sử dụng 16 đơn vị sản phẩm 81 đơn vị lao động ngày tức K=16; L=81 Xác định sản lượng cận biên tư lao động điểm giải thích ý nghĩa

1 4 20

Q K L

Giá trị cận biên_hàm lợi ích • Cho hàm lợi ích:

• Đạo hàm riêng:

• MUi gọi hàm lợi ích cận biên hàng hóa thứ i

• Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu dùng có thêm đơn vị hàng hóa thứi điều kiện số đơn vị hàng hóa khác khơng thay đổi

1 ( , , , n)

UU x x x

( 1, )

i i

U

MU i n

x



 

(2)

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Ví dụ

• Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày người tiêu dùng loại hàng hóa

• Trong x1, x2là mức sử dụng hàng hóa

hàng hóa 2,Ulà lợi ích người tiêu dùng hàng ngày

• Giả sử người tiêu dùng sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 25 đơn vị hàng hóa ngày Xác định lợi ích cận biên hàng hóa điểm giải thích ý nghĩa

3

2

1

2

U x x

Hệ số co giãn riêng • Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn)

• Hệ số co giãn của hàmwtheo biến xitại

điểm M số đo lượng thay đổi tính phần trăm củaw xithay đổi 1% điều kiện

giá trị biến độc lập khác không đổi, ký hiệu xác định sau:

 

   

0 0

1 0

1

0 0

1 , , ,

, , ,

, , , i

n

f i

x n

i n

f x x x x

voi M x x x

x f x x x

  

Ví dụ

• Giả sử hàm cầu hàng hóa thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng:

• p1, p2: giá hàng hóa 1,

a) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa (p1,p2)

b) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p2 giá hàng hóa thứ hai (p1,p2)

c) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá (p1,p2), cho biết ý nghĩa điểm (20,30)

2

1

5 6300

3

d

Q   p  p

Giải • Ta có:

• Tại điểm (20,30) ta có:

• Điều có nghĩa hàng hóa mức giá 20 hàng hóa mức giá 30 tăng giá hàng hóa lên 1% cịn giá hàng hóa khơng đổi cầu hàng hóa giảm 0,4% Tương tự, giá hàng hóa khơng đổi giá hàng hóa tăng thêm 1% cầu hàng hóa giảm 0,75%

1

2 2

1 2

10

4 ;

5

6300 6300

3

d d

Q Q

p p

p p p p

     

   

1

1 0, 4; 0, 75

d d

Q Q

p p

     

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)

• hàm cận biên hàm kinh tế theo biếnx

• hàm cận biên hàm kinh tế theo biếny

'x ( , )

z f

z x y

x x

 

 

 

'y ( , )

z f

z x y

y y

 

 

 

• Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói

• Giá trịz– cận biên biếnx giảm dần khix

tăng vàykhơng đổi

• Giá trịz– cận biên biếnygiảm dần khiy

tăng vàxkhông đổi

(3)

• Cơ sở tốn học:

• hàm số giảm

2

2 2( , )

z f

x y

x x

  

 

( , )

z f

x y

x x

   

( , )

z f

x y

y y

 

 

2

2 2( , )

z f

x y

y y

  

 

Ví dụ

• Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas sau:

• Tìm điều kiện α, β để hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

( , , 0)

QaK L  a  

Hàm nhất

• Hàm số z=f(x,y) gọi hàm cấpknếu với t>0 ta có:

• Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm cấp

(α+β) với t>0 ta có:

( , ) k ( , )

f tx ty t f x y

 

( , ) ( ) ( ) ( , )

Q tK tL a tK tLt  aK L  t  Q K L

Ví dụ

• Các hàm sau có hàm khơng? Tìm cấp tương ứng

0,5 0,5

2

1 4

)

9 9

2 )

a Q K K L L

xy b z

x y

  

 

Hiệu theo quy mơ sản xuất

• Xét hàm sản xuất Q=f(K;L)

• K, L yếu tố đầu vào,Qlà yếu tố đầu

• Bài toán đặt là: Nếu yếu tố đầu vào K, L tăng gấpmlần đầu raQcó tăng gấpmlần hay khơng ?

• Ta tiến hành so sánh:

( , ) ( , )

Q mK mL vs mQ K L

Hiệu theo quy mơ sản xuất

• Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ

• Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mô

(4)

Hiệu quy mơ với bậc nhất

• Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) hàm cấpk

• + Nếuk>1 hàm sản xuất có hiệu tăng

theo quy mơ

• + Nếu k<1thì hàm sản xuất có hiệu quảgiảm

theo quy mơ

• + Nếuk=1thì hàm sản xuất có hiệu quảkhơng đổitheo quy mơ

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Xét vấn đề hiệu theo quy mô hàm sản xuất sau:

0,5 0,5

1 4

)

9 9

)

a Q K K L L

b Q aK L 

  



Hàng hóa thay thế

• Hàng hóa thỏa mãn nhu cầu

• Hàng hóa có chức cơng dụng

• Một sựtăng lên giácả hàng hóa làmtăng lượng cầucủa hàng hóa thay

Hàng hóa bổ sung

• Là hàng hóa sử dụng song hành với để bổ sung cho nhằm thỏa mãn nhu cầu định

• Một sựtăng lên giá hàng hóa làm

giảm lượng cầuđối với hàng hóa bổ sung

Ví dụ

• Cho mơ hình thị trường hàng hố:

• Hai mặt hàng mơ hình mặt hàng thay hay bổ sung? sao?

1 2

48 0, 0,

12 20

d d

s s

Q p p Q m p p

Q p Q p

     

 

       

 

Đáp án

• Ta có:

• Có nghĩa giá hàng thứ không đổi giá hàng tăng lên cầu hàng tăng;

• Có nghĩa giá hàng thứ khơng đổi giá hàng tăng lên cầu hàng tăng;

• Như hàng hố mơ hình hàng hố thay

1

2

0, 0; 0,

d d

Q Q

p p

     

(5)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Hệ số thay hay bổ sung • Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn) điểm • Đặt w0=f(M0)

• Bài tốn:khi hai biến xi, xjthay đổi cịn biến khác giữ ngun cho w khơng đổi (tức w=w0)

thay đổi hai biến phải tuân theo tỷ lệ nào? • Tùy thuộc vào thực tiễn hai biến, tỷ lệ

gọi tỷ lệ (hệ số) thay thế, tỷ lệ bổ sung, tỷ lệ chuyển đổi

• Ví dụ:tỷ lệ thay vốn lao động; bổ sung hai mặt hàng; chuyển đổi tiêu dùng tiêu dùng tương lai

 0 0

0 1; 2; ; n

M x x x

Hệ số thay hay bổ sung

• Theo cơng thức vi phân tồn phần:

• Do biến xi, xj thay đổi biến khác

không đổi nên:

1

w n

n

f f f

d dx dx dx

x x x

  

   

  

'

' j i

x j i

i j

i j j x

i

f f x dx

f f

dx dx

f

x x dx f

x

 

 

    



 



Hệ số thay hay bổ sung • Nếu𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

< 0ta nói xicó thể thay (chuyển đổi) cho xjtại M0

với tỷ lệ|𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

|

• Nếu𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

> 0ta nói xicó thể bổ sung cho xjtại M0với tỷ lệ

𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

• Nếu𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

= 0ta nói xi, xj thay bổ sung cho M0

Ví dụ

• Ngân sách tiêu dùng B=300$; giá đơn vị hàng hóa 1,2 3$; 5$ Biết hàm lợi ích sau:

• A) Xác định hàm lợi ích tiêu dùng cận biên hàng hóa 1,2 Hai hàng hóa thay hay bổ sung cho nhau?

• B) Hàm có tn theo lợi ích cận biên giảm dần hay khơng?

• C) Tại điểm (32;32) viết phương trình đường bàng quan Xác định độ dốc đường

• D) Tìm gói hàng hóa mà hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng

đạt giá trị lớn

• E) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1$ mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?

 

0,4 0,4

5 0;

U  x y x y

Đáp án

• A) Hai hàng hóa thay

• B) Tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• C) Hệ số góc -1

• D) U(50;30) lớn

• E) Giảm 0,249 đơn vị

Phương trình đường đồng lượng

• Cho hàm sản xuất Q=a.Kα.Lβ (a, α, β>0)

• Giả sử: K=K0; L=L0, sản lượng là:

• Phương trình: Q=Q0 hay a.Kα.Lβ = Q0 gọi

phương trình đường đồng lượng điểm (K0;

L0)

0

(6)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Phương trình đường bàng quan

• Cho hàm lợi ích U=a.xα.yβ (a, α, β>0)

• Giả sử: x=x0; y=y0, lợi ích là:

• Phương trình: U=U0 hay a.xα.yβ = U0 gọi

phương trình đường bàng quan điểm (x0;

y0)

• Hệ số góc (hoặc độ dốc) đường điểm (x0; y0)

0

Ua x y 

0

( , ) ( , )

( , ) U

x y

dy x

x y U

dx x y

y

Ví dụ

• Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng loại hàng hóa sau:

• (x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa 2; x>0; y>0)

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32) viết phương trình

đường bàng quan, xác định hệ số góc đường nêu ý nghĩa

0,4 0,4

5

U x y

Giải

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32) U0=5.320,4.320,4

• Phương trình đường bàng quan (x0;

y0)=(32;32) là:

• Hệ số góc đường bàng quan :

0,4 0,4

0 16

UU x y  

'

x

U

dy x y

y

U

dx x

y

Giải

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32):

• Ý nghĩa : Tại (x0; y0) tăng số đơn vịhàng hóa

1lên đơn vị phải giảm số đơn vịhàng hóa 2xuống đơn vị để lợi ích tiêu dùngkhơng đổi

' 32

1 32

x

y

Ứng dụng đạo hàm hàm ẩn Khái niệm hàm ẩn

• Cho phương trình F(x,y)=0

• Nếu với giá trị x ta tìm giá trị y thỏa mãn phương trình F(x,y)=0 xác định hàm ẩn y theo x

• Kí hiệu:y = 𝑦 𝑥 , 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)

(7)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Ví dụ

• Cho phương trình:

• Giải phương trình ta có hàm y theo x:

• Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y

theo x R

 

,

F x y  x y  

31

y x

31

y x

Ví dụ

• Cho phương trình:

• Với giá trị x ta có:

• Ta nói phương trình x2+y2-1=0 khơng xác định

hàm ẩn y theo x

  2

,

F x y x y  

2

y  x

Khái niệm hàm ẩn

• Trong nhiều trường hợp, ta chứng minh phương trình F(x,y)=0 xác định hàm số y=y(x) ta biểu diễn y theo x cách trực tiếp Trong trường hợp ta phải xét hàm số y gián tiếp dạng phương trình F(x,y)=0

• Kí hiệu y=y(x) mang ý nghĩa hình thức để nói y hàm số biến sốx.

Đạo hàm hàm ẩn

• Giả sử y=y(x) hàm ẩn xác định phương trình F(x,y)=0 Ta có:

( , ) ( )

( , )

F x y x y x

F x y y

 



  



' '

'

x x

y

F y

F





Ví dụ

• Tính đạo hàm hàm y hàm ẩn x xác định phương trình:

• Đ/S:

 

2

2x y  1 y0

2

'x x

y y

 

Hệ số (nhịp) tăng trưởng

• Cho hàm số kinh tế w=f(x1,x2,…,xn,t), đót

là biến thời gian Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) củaf, ký hiệu xác định cơng thức sau:

• Thơng thường hệ số tăng trưởng tính theo tỉ lệ %

't f

f f t r

f f

 

(8)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Tính chất

• A) Cho U=U(t), V=V(t)

• Nếu Y=U.V

• Nếu Y=U/V

• Nếu Y=U+V

• Nếu Y=U-V

Y U V

r r r

Y U V

r r r

Y U V

U V

r r r

U V U V

 

 

Y U V

U V

r r r

U V U V

 

 

Tính chất

• B) Cho hàm

• Khi đó:

• Tính theo hệ số co dãn riêng f với xivà hệ

số tăng trưởng xi

   

w f x x, , , xn ;xix ti

1

i i

n f f x x

i

r  r





Ví dụ

• Cho hàm sản xuất Q=20K1/4L3/4 trong đó K là

vốn,Llà lao động,Qlà sản lượng Cho biết vốn lao động phụ thuộc theot(tháng):

• a) Xác định hệ số tăng trưởng vốn lao động

• b) Xác định hệ số tăng trưởng sản lượng t0=2

1

2 ;

4

K  t L  t

Giải

• A) Hệ số tăng trưởng vốn:

• Hệ số tăng trưởng lao động:

' /

1

2

K

K r

K t t

  

 

L' / 1 18

6

L

r

L t t

  

 

Giải

• B) Hệ số tăng trưởng sản lượng:

• Tại t0=2, ta có:

1

4 18

Q Q

Q K K L L

r r r

t t

 

   

 

1 1

4 18 16

Q

r   

 

Cực trị không điều kiện – VD1 • Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm

Biết hàm cầu loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian là:

• hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian • Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

1 2

1

1230 1350

,

14 14

P P P P

Q   Q   

2

1 1 2

( , )

(9)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Cực trị khơng điều kiện – VD2

• Cho hàm lợi nhuận công ty sản phẩm là:

• đó𝜋là lợi nhuận,Rlà doanh thu,Clà chi phí,L lượng lao động,w tiền lương cho lao động,Klà tiền vốn,rlà lãi suất tiền vốn,Plà đơn giá bán sản phẩm

• Giả sửQlà hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

• Ta tìmL, Kđể lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

w

R C PQ L rK

    

1/3. 1/3

QL K

Cực trị có điều kiện – VD1

• Cho hàm lợi ích tiêu dùng loại hàng hóa:

• (xlà số đơn vị hàng hóa 1,ylà số đơn vị hàng hóa 2; x>0, y>0)

• Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa

 , 0,4. 0,6

U x y x y

Cực trị có điều kiện – VD2

• Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào

thời lượng quảng cáo đài phát (xphút)

trên đài truyền hình (yphút) Hàm doanh thu:

• Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng

• a) Tìmx, yđể cực đại doanh thu

• b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ?

  2

, 320 540 2000

R x y  x x  xy y  y

Bài tập 1

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 trong Q_sản lượng; K_vốn;

L_lao động Doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 3$; đơn vị lao động 1$ Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào B=160$

• A) Với hàm sản xuất tăng quy mơ sản xuất hiệu thay đổi nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng lên 3% sản lượng tăng lên % mức (K,L)?

Bài tập 1

• B) Xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ sản lượng tối đa tăng lên đơn vị?

• C) Hàm số có tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng?

• D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động?

• E) Xác định phương trình đường đồng lượng điểm K=625; L=16

• F) Vốn lao động hai hàng hóa thay hay bổ sung cho

Đáp án

• A) Hiệu khơng đổi

• Sản lượng tăng 1,5%

• B) K=L=40; Qmax=1600

• Tăng yếu tố đầu vào Qmax tăng khoảng 10 đơn vị

• C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• D) E)

(10)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Bài tập 3

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3

(Q: sản lượng, K: vốn L: lao động)

• A) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mơ sản xuất

• B) Giả sử thuê tư 4$, giá thuê lai động 3$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa

Đáp án

• A) Hiệu theo quy mơ

• B) Q(150;150) lớn

Bài tập 4

• Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm là:

• Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh

nghiệp thu lợi nhuận tối đa

• Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3=200

2 2

1 300 1200 20

Q Q Q Q Q Q Q

       

Bài tập 5

• Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa

1 1300 675 0,

Q  p Q   p

2

1 2

CQ  Q Q Q

Đáp án

• Ta có:

1

2

250; 1050

100; 1150

Q p

 

Bài tập 6

• Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1,2 • Hàm cầu ngược sản phẩm công ty có dạng: • A) Xác định lượng sản phẩm cần sx sở đề

tối đa hóa lợi nhuận

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, tính độ co giãn cầu theo giá

2

1 128 0, 1; 156 0,1

TC   Q TC   Q

1

600 0,1 ; 600

(11)

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Đáp án

• A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn cầu theo giá: -13/6

Bài tập 7

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá thuê đơn vị vốn 6$, giá thuê đơn vị lao động 4$ Giá bán sản phẩm 2$

• Tìm mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa

• Đáp số: K=1/36; L=1/16

 

0,5 0,5

0;

QK L K L

Ứng dụng pt vi phân

a) Biến động giá thị trường b) Dự đoán biến động giá

Biến động giá thị trường

• Giả sử hàm cầu, hàm cung loại hàng hóa cho bởi:

• Điểm cân thị trường:

• Nếu giá ban đầu thị trường cân Cịn khơng thị trường đạt giá cân sau trình điều chỉnh

;

D s

Q   p Q    p

p  

 

 



 0

p p

• Trong trình điều chỉnh, cáq Qs, Qdvà p

thay đổi theo t (biến thời gian)

• Giả sử theo thời gian t, giá p(t) thời điểm t tỷ lệ với độ chênh lệch cầu cung thời điểm Nghĩa là:

• Với k>0 số

     

' d s

p t k Q t Q t 

• Từ ta có:

• Do đó:

   

   

'

p t k p p

k p k p p

     

   

 

   

    

           

 

     

0

ln ln

k t k t

dp

k dt p p k t C

p p

p p C e p p Ce

   



      

 

 



(12)

• Từ ta có:

• Do đó:

   

   

'

p t k p p

k p k p p

     

   

 

   

    

           

 

     

0

ln ln

k t k t

dp

k dt p p k t C

p p

p p C e p p Ce

   



      

 

 



   

• Vì:

• Ta có:

• Vậy theo thời gian, giá có xu hướng trở giá trị cân Ta nói điểm cân có tính chất ổn định động

 0  0 k t0

p     p C p p p p e 

   

0

lim

k t t

p p C p p p p e

p t p do k





 

      

  

Biến động giá thị trường

• Ví dụ:Cho:

• Tìm thời gian t cho:

  ; ; 0, 2; 0,

d s

Q   p Q    p k p 

1% p  p 

Giải

• Ta có:

• Vậy:

• Vậy sau đơn vị thời gian giá thỏa mãn yêu cầu

   

0 0, 2 1; 0,

k k      p

 

0

5

k t k t t

p p C e p p e    e

0, 01 0, 05 ln 0, 05

ln 20

t t

p p e e t

t

 

       

  

Dự đoán biến động giá • Xét hàm giá theo thời gian p=p(t)

• Nếu p’t>0 giá tăng; p’t<0 giá giảm

• Nếu p”tt> giá thay đổi ngày nhanh,

p”tt< giá thay đổi ngày chậm

• Để bao qt hết tình hình đó, ta coi hàm cầu, hàm cung khơng phụ thuộcp mà phụ thuộc p’; p’’ , tức

 ; '; " ;  ; '; "

d s

Q D p p p Q S p p p

Dự đoán biến động giá • Thơng thường giá tăng cầu giảm, giá tăng

cung tăng:

0; 0

d s

Q Q

p p

 

 

(13)

Bài giảng Tốn Kinh tế Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1

• Cho

• Và p(0)=6; p’(0)=4

• Tìm biến động giáptheo thời gian (giả thiết cung, cầu cân thời điểm)

15 ' '' , '

d s

Q p p p Q p p

Ví dụ 2

• Cho

• Và p(0)=12; p’(0)=1

• Tìm biến động giáptheo thời gian (giả thiết cung, cầu cân thời điểm)

40 ' '' , ''

d s

Q p p p Q p p

Ứng dụng pt sai phân (tham khảo)