tích phân hàm một biến ứng dụng

• Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng thu nhập liên tục này sau T năm là??. • Chú ý[r]

(1)

Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN & ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 4

Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa:Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu:

• Ví dụ:

   ,  ,

F x  f x  x a b

 

là nguyên hàm

nguyên hàm a R

2

tan tan

\

2

ln

x x

R n

a a



 

 

 

  

 

 

 



Tích phân bất định

• Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định sau:

• F(x) nguyên hàm f(x) • C: số tùy ý

  f x dx 

   

f x dx  F x C 

Tính chất

   

       

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx



  

 

 



    

 

 



 

  

Công thức nguyên hàm bản

1

3

5 x x

k dx x dx

dx dx

x x

a dx e dx







 

 

Ví dụ

• Tính tích phân sau

   

2

1

x x x

a dx b e e dx

x x

x x

c dx

x



 

 

 

(2)

Ví dụ

 

3

2

cos

a x x dx b x dx

c x x dx

 



 



Ví dụ

2

0

1

2 2

0

) )

1

) )

1 1

x

a x dx b dx

x

dx dx

c d

x x x





 

 

Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

 

) ln ) sin

) cos ) arctan

a x xdx b x xdx

c x xdx d x xdx



 

Tích phân hàm mũ

• Cơng thức:

• Ví dụ Tính tích phân sau:

     

1

x x

ax b ax b

u u

i e dx e C

ii e dx e C

a

iii e du e C

 

 

  

4

0

4

0

) )

) ) D a

x x

I

x Tx

a A e dx b B e x dx

c C xe dx d e dx

 

 

Ví dụ

• Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết qua điểm (1;0) và:

• Đáp án:

3 x dy

e dx





 2

2 x

y e  e

Ví dụ

1 Tìm phương trình đường cong y=y(x) qua điểm (2;5) có hệ số góc dy/dx=2x điểm

2 Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x Biết chi phí

(3)

Ví dụ

• Một đài phát vệ tinh đưa chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày

• Hiện đài phát có 27.000 người nghe ngày nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2người ngày.

• Trong t số lượng ngày kể từ bắt đầu chiến dịch

• Chiến dịch kết thúc biết đài phát muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến 41.000 người

Ví dụ

• Bộ phận nghiên cứu thị trường chuỗi siêu thị xác định rằng, cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh tuần cho bởi:

• Hãy tìm phương trình đường cầu biết giá 4,35$/tuýp nhu cầu hàng tuần 50 tuýp

• Hãy xác định nhu cầu giá tuýp 3,89$

• Đáp số:

  0,01

' 0, 015 x

p x   e

  1, 5 0,01x 3, 44

p x  e 

Phương trình vi phân

• Tăng trưởng giới hạn • Tăng trưởng khơng giới hạn

• Khái niệm

• Nghiệm PTVP hàm số???

2 0,01

2

6 ' 400

" '

x dy

x x y e

dx

dy ky y xy x dy xy

dx dx



   

    

• Bài tốn lãi kép liên tục • Gọi P số tiền đầu tư ban đầu • A số tiền có sau thời gian t

• Giả sử tốc độ tăng trưởng số tiền A thời điểm t tỷ lệ thuận với số tiền khoảng thời gian

• Ta có mơ hình:

• R: số phù hợp

 

,

dA r A A P A P

dt   

• Ta có mơ hình:

• Mặt khác:

• Ta có cơng thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r t thời gian đầu tư

 

1

1 ln rt.C

dA dA dA

r A r dt rdt

dt A dt A dt

dA rt A rt C A t e e

A

    

      

 



(4)

Luật tăng trưởng theo hàm mũ • Định lý.Nếu = (0) = 0 = 0

• Trong đó:

• Q0: khối lượng t=0

• r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

• t: thời gian

• Q: khối lượng thời điểm t

• Chú ý Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ

Phân rã phóng xạ

• Năm 1946, Willard Libby (người sau nhận giải Nobel Hóa học) nhận thấy động vật cịn sống, chất phóng xạ cacbon-14 giữ mức không đổi mô

• Tuy nhiên, thực vật động vật chết, carbon-14 giảm phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng có Tốc độ phân rã 0,0001238

• Ví dụ.Một mảnh xương người tìm thấy địa điểm khảo cổ Châu Phi Nếu 10% lượng chất phóng xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, ước lượng tuổi xương (làm tròn đến 100 năm)

Tăng trưởng giới hạn

• Trong học tập kỹ (bơi, đánh máy …) ta ln giả sử có mức kỹ tối đa đạt M

• Tốc độ phát triển kỹ y tỷ lệ thuận với hiệu mức kỹ đạt y mức tối đa M

• Ta có mơ hình

   0

dy

k M y y

dt   

Tăng trưởng giới hạn

• Một cách tương tự ta có: 1 kt

yM e

Ví dụ

• Đối với người học bơi, khoảng cách (m) mà người bơi phút sau t luyện tập xấp xỉ bởi:

• Tốc độ phát triển sau 10 luyện tập là? • Đ/S: 1,34m cho luyện tập

 0,04

50 t

y e

(5)

Tích phân xác định

• Diện tích đường cong

• Diện tích phần hình tơ màu bao nhiêu? • Tính xấp xỉ tổng

diện tích hình chữ nhật

Diện tích đường cong

• Tổng bên trái - Left Sum • Tổng bên phải – Right Sum

• Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5

Nhận xét

• Chia đoạn [1;5] thành 16 đoạn ta có:

• Chia thành 100 đoạn ta có:

100 14, 214 14, 545 100

L  Area R

16 13, 59 15, 09 16

L  Area R

Đánh giá sai số

• Sai số xấp xỉ: chênh lệch giá trị thực tế giá trị xấp xỉ

• Khơng thể tính cụ thể đánh giá

• Ví dụ Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính L16

thì sai số tối đa bao nhiêu?

Định lý

• Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu đoạn [a,b] • Chia đoạn [a;b] thành n đoạn • Lấy Lnhoặc Rnđể xấp xỉ diện tích bị chặn

hàm f, trục 0x đường thẳng x=a; x=b • Chặn sai số là:

   .b a

f b f a

n

 

Ví dụ

• Cho hàm số = − 0,25

• Ta cần tính diện tích hình f(x) từ x=2 đến x=5

• A) Vẽ đồ thị hàm số khoảng [0;6] vẽ hcn trái, phải đoạn [2;5] với n=6 • B) Tính L6; R6và sai số xấp xỉ

(6)

Tổng tích phân

• Cho hàm số f(x) xác định [a;b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn với điểm chia sau:

• Khi này:

0 n

a x x x  x b

       

0 1

1

n

n n k

k n

n n k

k

L f x x f x x f x x f x x

R f x x f x x f x x f x x

 

 

        

 

Tổng Riemann

• Ta có:

• cklà điểm thuộc khoảng [xk-1;xk]

 1  2    

1

n

n n k

k

S f c x f c x f c x f c x



        

Một số tổng quan trọng

   

    

 

1 1

1 1 1

2

1

2

1

) )

1

) )

2

1 )

2

n n n

i i

i i i

n n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i i

n n

i i

n i

a C n C b Ca C a

c a b a b d a b a b

n n n n n

e i f i

n n

g i

  

     

 



 

     

  

 

  

 

  

 

 

  

     

 



Ví dụ

• Tính tổng Riemann cho hàm số = 3− 6

trên đoạn [0;3] với n=6 cklà điểm biên bên

phải đoạn

• Lập tổng Riemann cho hàm số trường hợp tổng quát tính giới hạn tổng n∞

• Định lý.Nếu f hàm số liên tục đoạn [a,b] tổng Riemann đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạnI ∞

• Giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f(x) đoạn [a,b]

• Ký hiệu:

  b a I  f x dx

   

1

lim

b n

k n

k a

f x dx f c x

  

  



  n

k i

f c x

b a

x n



(7)

Ý nghĩa hình học

• Là tổng tích lũy diện tích đại số đồ thị hàm f, trục Ox đường thẳng x=a, x=b

• Tích phân xác định hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn tồn tại) • Khi ta nói hàm f khả tích [a,b] • Một số ý

    lim b n k n i a

f x dx f c x

  

  



Chú ý

   

     

 

: dấu tích phân : hàm lấy tích phân : cận lấy tích phân : biến độc lập Tích phân số, khơng phụ thuộc vào

Toång Riemann: *

,

b a

b b b

a a a

n i i

f x

a b dx x

f x dx x

f x dx f t dt f r dr

f x x

         

Ví dụ

• Tính tích phân:

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn • Lập tổng tích phân với cklà điểm bên phải

• Ta có:

b x a e dx  b a x h n           1

e

1

n n

a h a h a n h

k

i i

n h n h

a h h a h

h f c x f a i h h h e e e

e

S h e e e h

e                                 

1

a h b a

h

S e e

e

 

 



Ví dụ

• Cho n tiến đến vơ ta có:

• Như vậy:

 

0

1

a h b a

h

n a b a b a

h

S e e

e

S e e e e

               b

x b a

a

e dx e e



Ví dụ 2

• Tính diện tích miền có diện tích giới hạn (khơng tính giới hạn)

10

1

2

) lim

) lim tan

(8)

Ví dụ

• Biểu diễn tích phân sau dạng tổng Riemann Khơng tính giới hạn

  10 10

) ) ln

1

) sin )

x

a dx b x x dx

x

c xdx a x dx



 

 

Ví dụ

• Biểu diễn tổng sau dạng tích phân xác định khoảng cho trước

      1 2 * *

) lim ln , 2; cos

) lim , ;

) lim , 1;

) lim , 0;

n i i n i n i n i i n i i n i n i i n i

a x x x

x

b x

x

c c c x

d x x x

                                             

Tính chất bản

Cho f g hai hàm khả tích [a;b] đó: • Hàm (α.f+β.g) khả tích [a;b] • Hàm f.g khả tích [a;b]

 ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

   

  

Tính chất

• Tính chất cộng.Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] [c;b] Nếu f(x) khả tích đoạn lớn khả tích đoạn cịn lại và:

• Tính khả tích giá trị tích phân không thay đổi ta thay đổi giá trị hàm số số hữu hạn điểm

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

Tính chất

Cho hàm f(x) khả tích đoạn [a;b] Ta có:

Hệ quả:

           

         

) ;

) ; b a b a b b a a

i f x x a b f x dx

ii f x x a b f x dx

iii f x g x x a b f x dx g x dx

                       b b a a

f x dx f x dx

 

Tính chất

• Nếu • thì:

• Ví dụ.Chứng minh rằng:

  ,  , 

m f x M  x a b

     

b

a

m b a f x dxM b a

(9)

Định lý giá trị trung bình

• Giả sử f(x) khả tích [a;b] v gi s: ã Khi ny tn ti cho

• Và:

• Hệ Nếu f liên tục [a;b] tồn c thuộc [a;b] cho:

min max

m f M f

mM    

b

a

f x dx b a



     

b

a

f x dx f c b a



Cơng thức đạo hàm theo cận trên

• Cho hàm f(x) khả tích [a;b] Với a<x<b đặt:

• Nếu f(x) liên tục [a;b] thì:

• Hàm ( )liên tục [a;b]

  x  

a

x f t dt

 

 x f x 

 

Chứng minh

• Ta có: • Mặt khác:

• Vậy:

    x h   x   x h  

a a x

x h x f t dt f t dt f t dt

 

 

    

       ; 

x h x

f t dt f c h h c h x x h



  



x h  x f c h h   f c h   h f x 

h h

   

   

Cơng thức Newton - Leibnitz

• Định lý.Cho f liên tục [a;b] F(x) nguyên hàm f(x) thì:

• Tại lại thế???

       

b

b a a

f x dx F b F a F x 

Ví dụ

• Tính xác diện tích đường cong y=1-x2, x=0,5 x=1 trục Ox.

• Giải • Ta có:

 

1

2

0,5 0,5

3

1

3

1 0,

1 0, 0, 208333

3

x S  x dxx 

     

   

    

 

   



Ví dụ

• Tính xác diện tích đường cong y=x2+1, x=0 x=4 trục Ox.

• Giải • Ta có:

 

4

2

0

3

1

4 76

4

3 3

x S x  dx x

   

   

    

 

   

(10)

Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục [-a; a]

   

 

i) Nếu f hàm chẵn thì:

ii) Nếu f hàm lẻ thì:

0

2

a a

a

f x dx f x dx

f x f

f x f x

f x dx

x



 



 





 



Một số ứng dụng tích phân

• Tính chiều dài cung • Diện tích hình phẳng • Thể tích khối trịn xoay • Giá trị trung bình hàm số

Chiều dài cung

• Định lý.Nếu f’(x) liên tục [a,b] chiều dài dây cung y=f(x) đoạn [a,b] là:

• Ví dụ.Tìm độ dài cung y2=x3từ điểm (1;1)

đến điểm (4;8)

 2

1 '

b a

L  f x  dx

 

1

80 10 13 13 27

L 

Chiều dài cung

• Định lý.Nếu đường cong có phương trình dạng x=g(y) g’(y) liên tục [c,d] chiều dài đường cong đoạn [c,d] là:

• Ví dụ.Tìm độ dài cung y2=x từ điểm (0;0)

đến điểm (1;1)

 2

1 g'

d c

L   y dy

 

ln 5

2

L  

• Xung quanh Ox y=f(x) có dấu tùy ý

• Xung quanh Oy x=g(y) có dấu tùy ý

Diện tích mặt trịn xoay

   2

2 '

b a

A  f x  f x dx

   2

2 '

d c

A  g y  g y dy

Ví dụ

1) Tính diện tích mặt tạo nên xoay đường parabol y=x2từ điểm (1;1) đến (2;4)

• A) Quanh trục Oy • B) Quanh trục Ox

(11)

Giá trị trung bình hàm số

• Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a,b] • Giá trị trung bình hàm f là:

 

1 b a

f x dx ba

Ví dụ

• 1) Tìm giá trị trung bình hàm f(x)=x-3x2trên

đoạn [-1;2]

• 2) Cho hàm cầu sau:

• Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu đoạn [40, 60]

• Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$

 

1 100 0,05Q

P D Q  e

Ứng dụng tích phân kinh tế

• Tìm hàm biết hàm cận biên Giả sử tìm hàm chi phí, hàm doanh thu

• Xác định quỹ vốn K(t) biết hàm đầu tư I(t) • Thặng dư tiêu dùng thặng dư sản xuất

• Giả sử mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định C0=200

  90 120 27

MC Q   Q Q

• Giả sử mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

• Giả sử Q=1 chi phí 60 Tìm hàm chi phí

  50 18 45 4

MC Q   Q Q  Q

• Giả sử mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:

• Giả sử Q=1 R=37 Tìm doanh thu hàm giá theo sản lượng

  3 8 30

(12)

Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng tích phân kinh tế

• Cho biết doanh thu cận biên mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) R=10,4 (triệu đồng) Tìm doanh thu hàm sản lượng theo giá

  4 3 24 15

MR P  P  P  P

Tích phân phân tích kinh tế • Ví dụ 1.Cho hàm chi phí cận biên mức

sản lượngQlà MC=8e0,2Qvà chi phí cố định là

FC=50 Xác định hàm tổng chi phí chi phí khả biến

• Ví dụ 2 Cho hàm doanh thu cận biên mức sản lượng Q MR=50-2Q-3Q2 Xác định

hàm tổng doanh thu

Xác định quỹ vốn

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) quỹ vốn K hàm theo biến thời gian t

• Ta có: I=I(t); K=K(t)

• Giữa quỹ vốn đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn thời điểm đó)

I(t)=K’(t)

• Vậy biết hàm đầu tư I(t) ta xác định hàm quỹ vốn sau:

      K t K t dt I t dt

Tích phân phân tích kinh tế • Ví dụ 3 Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2(nghìn đô la

một tháng) quỹ vốn thời điểm t=1 K(1)=10 (nghìn la) Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) lượng vốn tích lũy từ tháng đến tháng

Thặng dư tiêu dùng

• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế người mua

• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế người bán

• Mức sẵn lịng trả mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua sản phẩm

• Đây mức giá trị mà người mua đánh giá sản phẩm hay dịch vụ,

• Thặng dư tiêu dùng mức sẵn lòng trả người mua trừ mức họ thực trả

Thặng dư tiêu dùng • Consumer’s Surplus

• Nếu( ; )là điểm đường cầu p=D(x) thặng dư tiêu dùng CS mức giá là:

• CS thể tổng tiết kiệm người tiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớn cho sản phẩm mua sản phẩm mức giá

  x

CS  D x p dx

 



   

1

0

x

Q

CS D x dx x p

CS D Q dQ Q P

 



(13)

Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Thặng dư sản xuất mức giá người bán

trả trừ chi phí cho sản phẩm

• Đây lợi ích người bán tham gia thị trường

Thặng dư sản xuất • Producer’s Surplus

• Nếu( ; )là điểm đường cung p=D(x) thặng dư sản xuất PS mức giá là:

• PS thể tổng tăng thêm nhà sản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩm mức giá thấp bán sản phẩm mức giá

 

x

PS pS x dx

 



   

1

0

x

Q PS x p S x dx

PS Q P S Q dQ

 



Thặng dư tiêu dùng sản xuất cân thị trường

Producer surplus Consumer

surplus

Price

0 Quantity

Equilibrium price

Equilibrium quantity

Supply

Demand A

C

B D

E

Ví dụ • Cho hàm cung hàm cầu:

• Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng

2 1 ; 43 2.

S D

Q  P  Q  P

Ví dụ

• Sản lượng cân nghiệm pt:

• Thặng dư nhà sản xuất:

• Thặng dư người tiêu dùng:

1( ) 1( )

18

Q

D Q S Q

P

    

    

 

3

0

18.3 27

PS  Q  dQ

 

3

2

0

43 18.3

CS  Q dQ

Ví dụ

1) Tìm thặng dư tiêu dùng mức giá 8$ biết hàm cầu đảo có phương trình:

2) Tìm thặng dư sản xuất mức giá 20$ biết hàm cung đảo có phương trình:

3) Tìm mức giá cân tìm thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất mức giá tiêu dùng biết:

 

1

20 0, 05

P D Q Q

  

 

1

2 0, 0002 PS Q   Q

   

1

20 0, 05 ; 0, 0002

D Q Q S Q Q

(14)

Dòng thu nhập liên tục

• Continuous Income Stream

• Cho f(t) tốc độ dòng thu nhập liên tục, tổng thu nhập thu khoảng thời gian từ a đến b là:

  b

a Total Incomef t dt

FV dịng thu nhập liên tục

• Theo cơng thức lãi kép liên tục:

• Nếu dịng thu nhập liên tục đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục giá trị tương lai dòng thu nhập liên tục sau T năm là???

• Chú ý

–Trong cơng thức lãi kép liên tục P cố định –Chỉ tính cho khoản đầu tư P

–Làm tính tổng thu nhập cho dịng thu nhập liên tục rt

APe

FV dòng thu nhập liên tục • Nếu f(t) tốc độ dịng thu nhập liên tục • Giả sử thu nhập đầu tư liên tục với mức

lãi suất r, ghép lãi liên tục

• Khi này, giá trị tương lai dòng thu nhập sau T năm đầu tư là:

   

 

0

T T

r T t rT rt

FV f t e  dt e f t e dt

  

Ví dụ

• Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu từ máy bán hàng tự động cho bởi:

• Trong t (năm) thời gian tính từ thời điểm lắp máy

• A) Tìm tổng lợi nhuận nhập máy sau năm tính từ lắp đặt

• B) Giả sử lợi nhuận máy đầu tư liên tục với lãi suất 12% Tính giá trị tương lai tổng lợi nhuận máy sau năm

• C) Tìm tổng lãi thu dòng lợi nhuận máy sau năm đầu tư

  0,04

5000 t

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	404,84 KB