Nguyên hàm tích phân và ứng dụng dành cho học sinh yếu - trung bình - Đặng Việt Đồng

Quay hình ph ẳng D quanh tr ục Ox ta được khối tr òn xoay có th ể tích V được xác định theo công thức. A.[r]

NGUYÊN HÀM A - KIẾN THỨC CHUNG

1- Nguyên hàm

Định nghĩa:Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x 

gọi nguyên hàm hàm số f x  K F' x  f x  với xK

Định lí:

+ Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm f x  K

+ Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  K có

dạng F x C, với C số

Do F x C C,  họ tất nguyên hàm f x  K Ký hiệu  f x d  xF x C

+ Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1:  f x d  x  f x   f ' x dx f x C Tính chất 2: kf x d  xk f x d   x với k số khác

Tính chất 3: f x g x dxf x d  xg x d  x

2 - Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K

3 - Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm cuu xủa h àm số hợp

x

d  x C

 du u C

 

1

1

x

1

x d x C 





   



 1  

u

1

u d u C 





   





1

x ln

d x C

x  

 1du lnu C

u  



2

1

x

d C

x  x



1

du C

u  u



x

x x

e d e C

 e du ueuC

 

x 0,

ln x

x a

a d C a a

a

   

 u  0, 1

ln u

u a

a d C a a

a

   



sin dxx  cos xC

 sin duu  cos uC

cos xdxsinx C

 cos udusinu C

2

1

x tan cos xd  x C

 12 u tan

cos ud  uC



2

1

x cot sin xd   x C

 12 u cot

sin ud   uC



  1 

d ax b ax b C

a

   



kx kx e

e dx C

k

 



 

1

1

dx ,

1

ax b

ax b c

a

 

 





 

      



 

 cosax b dx1asinax b   c

dx

lnax b c

ax b  a  

  c sinax bdx 1cosax b c

a



   



1 dx

ax b ax b

e e c

a

 

 

 tgax bdx 1ln cosax b c

a

    



1 dx

ln

px q px q

a a c

p a

 

 

 cotgax bdx 1ln sinax b c

a

   

 2

dx

arctgx c

a x a a

 2   

dx

cotg

sin ax b a ax b c



  



 2

dx

ln

a x c

a x a a x



 

 

 2   

dx

tg

cos ax b a ax b c 

B - BÀI TẬP

DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT

Câu 1: Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục a b;  có đạo hàm a b;  (2): Mọi hàm số liên tục a b;  có nguyên hàm a b;  (3): Mọi hàm số đạo hàm a b;  có nguyên hàm a b; 

(4): Mọi hàm số liên tục a b;  có giá trị lớn giá trị nhỏ a b; 

A 2 B 3 C 1 D 4

Câu 2: Cho hai hàm số f x , g x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A f x g x dx f x dxg x dx

B f x g x    dxf x d x g x  dx

C f x g x dxf x dxg x dx

D kf x dxk f x  dx k0;k

Câu 3: Cho f x , g x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A  f x g x   dxf x d x g x  dx B 2f x dx2 f x dx

C f x g x dx f x dxg x dx. D f x g x dx f x dxg x dx

Câu 4: Khẳng định sau khẳng định sai? A kf x dxk f x  dx với k

C d 1

x x x





 

 với   1

D  f x dx  f x 

Câu 5: Cho hai hàm số f x , g x  hàm số liên tục, có F x , G x  nguyên hàm

 

f x , g x  Xét mệnh đề sau:

 I F x G x  nguyên hàm f x g x 

 II k F x   nguyên hàm k f x   với k

III F x G x    nguyên hàm f x g x    Các mệnhđề

A  II III B Cả mệnh đề C  I III D  I  II

Câu 6: Mệnh đề sau sai?

A f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x , g x  liên tục 

B  f x dx f x C với hàm số f x  có đạo hàm 

C f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x ,g x liên tục 

D kf x dx  k f x dx   với số k với hàm số f x  liên tục 

Câu 7: Cho hàm số f x  xác định K F x  nguyên hàm f x  K Khẳng định đúng?

A f x F x ,  x K B F x  f x ,  x K

C F x  f x ,  x K D F x  f x ,  x K

Câu 8: Cho hàm số f x  xác định K Khẳng định sau sai?

A Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm f x  K

B Nếu f x  liên tục K có ngun hàm K

C Hàm số F x  gọi nguyên hàm f x  K F x  f x  với xK

D Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K hàm số Fx nguyên hàm f x  K

Câu 9: Trong mênh đề sau, mệnh đề sai:

A Nếu hàm F x  nguyên hàm hàm f x thì F x 1 nguyên hàm

hàm f x 

B Mọi hàm liên tục K có nguyên hàm K

C Nếu hàm F x  nguyên hàm hàm f x thì  f x x d F x C, với C

số

D Nếu F x , G x  hai nguyên hàm hàm số f x  F x G x C, với C

hằng số

Câu 10: Cho f g, hàm số liên tục K Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai

B      

d

3

f x f x f x x C



C f x g x dxf x dxg x dx

D k f x  dxk f x  dx, (k: số)

DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Câu 11: Khẳng định sau sai?

A dx x C B sin dxx  cosx C

C ln dxx C x

 

 D 1dx ln x C

x  



Câu 12: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A e xxd exC

 B 12 d tan

sin x x  x C



C cos dx xs inx C D sin dx x cosx C

Câu 13: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A 0dxC (C số) B dx

x x

e e C

 (C số) C dx x 2C (C số) D

1

1 dx

n

n x

x C

n



 



 (C số, n)

Câu 14: Biết f u duF u C Mệnh đề đúng?

A  f 2x1 d x2F2x1C B  f 2x1 d x2F x  1 C

C 2 d 2 1

f x x F x C

 D f 2x1 d xF2x1C

Câu 15: Khẳng đinh sau sai?

A a xxd axlna C a0;a1 B cosx xd sinx C C

2 x x xC

 d D 12 x C

x  x

 d

Câu 16: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai:

A e dxx exC B sinxdxcosx C

C 2xdxx2C D 1dx ln x C

x  



Câu 17: Công thức nguyên hàm sau sai? A d

ln

 



x x

x C B sin dx x cosx C

C dxln x C

x D

d

tan

cos  

 x x C

x

Câu 18: Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 2x1

A  d 12 12

f x x x C

 B  d 12 12

4

f x x x C



C  f x dx2 2 x12C D f x dx2x12C

A 2 x x x

  B

3

2

3

x x

x C

   C

3

2

x

x x C

   D 4x1

Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x 10x43x2 

A   2

f x dx x  x  x

 B  f x dx  10x53x22x C

C   2

f x dx x  x  x C

 D   2

2

f x dx x  x  C



Câu 21: Họ nguyên hàm hàm số  

f x x





A ln 3 x1C B ln3x1C C ln 3x 1 C D 1ln 3 x C Câu 22: Tìm nguyên hàm hàm số x2 x dx

x          A 3 3ln 3 x

x x C

   B

3 3ln 3 x

x x C

   C 3 3ln 3 x x x

  D

3 3ln 3 x

x x C

  

Câu 23: Nguyên hàm hàm số f x 22x

A 2 2 d ln x x x C   

 B

2 2 d ln x x

x C



C d2 ln

x x

x C

 D

2 2 d ln x x x C    

Câu 24: Tìm nguyên hàm x 21dx x



 ?

A

2

1

ln | | ln

x

dx x x C

x



  

 B x 21dx ln | |x C

x x      C 2 x x C x dx x x C     

 D x 21dx lnx C

x x



  



Câu 25: Họ nguyên hàm hàm số f x  2x1 là:

A

2x1C B

2 13

3

x

C



 C  

3

2

3

x

C



 D  

3

3

4

x

C





Câu 26: Họ nguyên hàm hàm số f x e2x3

A  f x dx  e2x3C B  

2

x

f x dx e  C

 



C  f x dx  2e2x3C D   3

x

f x dx e  C



Câu 27: Tìm nguyên hàm hàm số   sin f x x  A d tan sin x x C

x   

 B

2 d tan sin x x C

x  

C

d

cot

2

sin

x x

C

x   

 D

2

d

2cot sin

2

x x

C

x   



Câu 28: Tìm nguyên hàm hàm số  

f x

x



A  f x dx 2xC B  f x dx2 2x C

C  d

f x x C

x

  

 D f x dxln 2xC

Câu 29: Nếu  d sin e

x

f x x x C

 thì

A f x  cosxex B f x cosxex C f x cosxex D f x  cosxexC Câu 30: Tìm khẳng định sai?

A

1

d

1

e

e x

x x C

e



 



 B

1

2 d

1

x x

x C

x



 





C exdxC e x D tan2x xd tanx x C

Câu 31: Cho F x  nguyên hàm  

2

2x

f x

x



 Khi A

3

2

( )

x

F x C

x

   B  

3

2

3ln

x

F x   x C

C

3

2

( ) 3ln

3

x

F x   x C D

3

2

( )

x

F x C

x

  

Câu 32: Họ nguyên hàm hàm số f x 2xsin 2x

A x22cos 2x C B

cos 2

 

x x C C x22cos 2x C D

cos 2

 

x x C

Câu 33: Họ nguyên hàm hàm số  

 

2

1

sin

f x

x





A cotx2C B cotx2C

C  

 

3

2 cos

sin

x

C x



 

 D

 

 

3

cos

sin

x

C x



 



Câu 34: Họ nguyên hàm hàm số f x excosx2018

A F x exsinx2018x C B F x exsinx2018x C

C F x exsinx2018x D F x exsinx2018C

Câu 35: Tìm nguyên hàm hàm số f x exex

A  f x dx exexC B  f x dxexexC

C  f x dx exexC D f x dxexexC

Câu 36: Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ex

A exC B exC C exC D exC

Câu 37: Tìm nguyên hàm hàm số ysin(x1)?

C sin(x1)dx(x1) cos(x1)C D sin(x1)dx(1x) cos(x1)C

Câu 38: Hàm số F x  ex2

 nguyên hàm hàm số sau đây?

A f x  2xex2 B f x 2x e2 x2 C

C f x xex2 D f x x e2 x2 3

Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) hàm số f x( )cos(2x3)

A F x( ) sin(2x3)C B ( ) 1sin(2 3)

F x  x C

C ( ) 1sin(2 3)

F x   x C D F x( )sin(2x3)C

Câu 40: Cặp hàm số sau có tính chất: có hàm số nguyên hàm hàm số lại? A f x sin 2x, g x cos2 x B f x ex, g x ex

C f x sin 2x, g x sin2 x D f x tan2x,   12 2

cos

g x

x



Câu 41: Họ nguyên hàm hàm số f x( )tanx

A ln cosx C B 12 cos x C

  C ln cosx C D 12

cos xC

Câu 42: Cho F x  nguyên hàm hàm số   22 cos

f x

x



4

F  

  Khẳng định

đây đúng?

A F x 2 tanx3 B F x tanx4

C F x 2 tanx5 D F x  2 cotx5

Câu 43: Tìm khẳng định sai?

A tan2x xd tanx x C B

1

d

1

e

e x

x x C

e



 





C

1

2 d

1

x x

x C

x



 



 D exdxC e x

Câu 44: Họ nguyên hàm hàm số  

1

f x

x





A ln 1x C B 1ln(1 )2

2 x C C ln 2 x C D

ln

2 x C

  

Câu 45: Cho hàm số f x  thỏa  

3

f x

x

 

 f  2 0 Mệnh đề đúng?

A f x 3ln 2 x B f x 2 ln 2 x

C f x  3ln 2 x D f x  2 ln 2 x

Câu 46: Biết F x( ) nguyên hàm hàm f x( )sin 2x

F

  Tính F



      

A

6

F 

  B

3

6

F  

  C

1

6

F  

  D

5

6

F   

Câu 47: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A ln 3xdx x C

C sin x dx c x Cos  D 2 ln

x x

dx C



Câu 48: Tìm nguyên hàm I  2x1dx A 2 13

3

I  x C B

2

I C

x

 



C 2 13

I  x C D

4

I C

x

 



Câu 49: Tìm ab biết 11 ln ln ( 1)( 2)

x

dx a x b x C

x x



    

 

 ?

A ab B ab5 C ab11 D ab 5

Câu 50: Tìm hàm số F x  biết F x sin 2x

F

 

A   1cos

2

F x   x B F x  cos 2x

C   1cos

2

F x  x D F x 2x 1

Câu 51: Tìm nguyên hàm hàm số   2

x

f x  x 

A  f x dxx3x2 C B  

3

d

3

x x

f x x  C



C  

2

d

4

x

f x xx  C

 D  

2

d

2

x

f x xx  C



Câu 52: Tính nguyên hàm

2

2

d

 





 x x

I x

x

A I 2x2  x ln x 3 C B I x2 x ln x3C

C I x2 x ln x 3 C D I 2x2 x ln x 3 C

Câu 53: Hàm số   19 24 17 27

x

F x  e  x  x C nguyên hàm hàm số đây? A f x x22x1e3x1 B f x x22x1e3x1

C f x x22x1e3x1 D f x x22x1e3x1

Câu 54: Tính I 8s in3 cosx x dxacos 4x b cos 2x C Khi ab bằng:

A 3 B 1 C 1 D 2

Câu 55: ) Họ nguyên hàm hàm số f x  x sinx

A 1cosxC B

cos

x

x C

  C

2

cos

x

x C

  D x2cosx C

Câu 56: Cho hàm số y f x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x  x sinx f  0 1 Tìm

 

f x

A  

1 cos

2

x

f x   x B  

2

cos 2

x

C  

cos 2

x

f x   x D  

2

cos

x

f x   x

Câu 57: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số   2

f x

x



 thỏa mãn F 5 7

A F x( )2 2x 1 B F x( ) 2x 1

C F x( ) 2x 1 10 D F x( )2 2x1

Câu 58: Cho  

 

2

2

x x

f x x

 

 , F x  nguyên hàm f x  Tìm phương án sai?

A  

1

x x

F x

x

  

 B  

2

2

x x

F x

x

 





C  

1

x x

F x

x

  

 D  

2

1

x F x

x

 

Câu 59: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x 3 ln 9x thỏa F 0 2 Tính F 1

A F 1 6 B F 1 3 C F 1 12 ln 3 2 D F 1 4

Câu 60: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  x 21 x



 , biết đồ thị hàm số yF x  qua điểm

1; 2 ,

A F x  ln x 1

x

   B F x  ln x

x

  

C F x  ln x

x

   D F x  ln x 1

x

  

Câu 61: Tìm nguyên hàm hàm số f x  x sin 6x

A  

2

sin d

2

  

 f x x x x C B  

2

cos d

2

  

 f x x x x C

C  

2

sin d

2

  

 f x x x x C D  

2

cos d

2

  

 f x x x x C

Câu 62: Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x

 F 1 3 Tính F 4

A F 4 5 B F 4 3 C F 4  3 ln D F 4 4

Câu 63: Tìm nguyên hàm hàm số f x x3sin 2x

A  

4

1

d cos

4

x

f x x  xC

 B  

4

1

d cos

4

x

f x x  x C



C  

4

d cos

4

x

f x x  xC

 D f x dx3x22cos 2x C

Câu 64: Hàm số F(x) sau nguyên hàm hàm số ( ) 2

x f x

x x

 

  ?

A 2 ln x3ln x 1 C B ln

x x

 



C ln[(x1)(x3)] D ln(2 x1 )

Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F x m x2 33m2x24x3 nguyên hàm hàm số

 

3 10

f x  x  x

Câu 66: Cho hàm số F x ax3a b x  22a b c x   1 nguyên hàm hàm số

 

3

f x  x  x Tổng a b

A 4 B 2 C 5 D 3

DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C

Câu 67: Nguyên hàm F x  hàm số f x 2x2x34 thỏa mãn điều kiện F 0 0

A 2x34x4 B

4

2

4

3

x

x   x C x3x42x D

4

2

4

3

x

x   x

Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết F x’ 4x3– 3x22 F 1 3

A F x x4 –x32x3 B F x x4 –x3+2x3

C F x x4 –x32x3 D F x x4x32x3

Câu 69: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )ex2x thỏa mãn (0)

F  Tìm F x( )

A ( ) e 2

x

F x  x  B ( ) 2e

2

x

F x  x 

C

( ) e

2

x

F x  x  D

( ) e

2

x

F x  x 

Câu 70: Tìm nguyên hàm hàm số f x thỏa mãn điều kiện:   3cos ,

f x  x x F   

A

2

( ) 3sin

4

F x x  x  B

2

( ) 3sin

4

F x x  x

C

2

( ) 3sin

4

F x x  x D

2

( ) 3sin

4

F x x  x 

Câu 71: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

f x x





1 (2) ln

2

F   Tính F(3) A F(3) 2ln5 3.  B (3) 1ln 5

2

F   C (3) 1ln

F   D

(3) 2ln 5

F   

Câu 72: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   2x1x2, biết F 1 2

A   3 2 29

3

F x  x  x  x B   3 2

3

F x  x  x  x

C     2 2

F x  x x  x  x

  D  

3

2

2

3

F x  x  x  x

Câu 73: Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin

f x x

x

  thỏa mãn F( ) 

  là:

A

2

F( ) ot

16

x  c xx  B

2

F( ) ot

16

x c xx 

C F( )x  c xot x2 D

2

F( ) ot

16

x  c xx 

Câu 74: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x( )sin 2x, biết

F 

 

A   1cos 2

F x  x B   1cos

2 x

C   cos2

F x  x D   sin2

4

F x  x

Câu 75: Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sinx đồ thị hàm số yF x  qua điểm M0;1 Tính

2

F 

 

A

2

F 

  B F



     

  C F 2



    

  D F



    

 

Câu 76: Tìm nguyên hàm F x  hàm số   2

f x

x



 thỏa mãn F 5 7

A F x 2 2x 1 4 B F x 2 2x 1

C F x 2 2x 1 10 D F x 2 2x1

Câu 77: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x  2x2 3x 0

x



  Biết F 1 1 F x 

A F x  2x

x

   B F x  2ln x

x

  

C F x  2x

x

   D F x  2ln x

x

  

Câu 78: Nếu F x  nguyên hàm f x( )ex(1ex) F(0)3 F x( ) là?

A exx B ex x C ex x C D ex x Câu 79: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x 8 2  x3 Tính IF 1 F 0

A I0 B I  2 C I  16 D I 2

DẠNG 4: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HÀM HỮU TỈ Dạng: ( )

( )

P x I

Q x



– Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức

– Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

Chẳng hạn:

( )( )

A B

x a x b   x a x b

2

2

1

,

( )( )

A Bx C

với b ac

x m ax bx c x m ax bx c



     

     

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b  x a  x a  x b  x b

Ví dụ:Tìm ngun hàm hàm số sau:

a f(x) =

2

3

1

x x

x

 

 b f(x) =

1

x  x

 Giải

a Ta có: ( )

f x dx

 =

2

3

1

x x

dx x

 



 =

1

x dx

x

 

 

 



 

 =

2 x

2 + 2x + lnx + 1 + C

b Ta có: ( )

f x dx

 = 2

3

dx

x  x

 =

( 1)( 2)

dx x x

 dx = 1

1 dx

x x

 



 

 

 

= ln|x + 1| - ln|x + 2| + C = ln

x

C x

 



Nhận xét: Qua thí dụ trên:

Câu a) cần thực phép chia đa thức biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu

thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận từ bảng nguyên hàm

Câu b) nhận thấy:

2

1

x  x =

A B

x x =

( )

( 1)( 2)

A B x A B

x x

  

 

Ta đồng thức = (A + B)x + 2A + B (1)

Để xác định A, B (1) ta lựa chọn hai cách sau: Phương pháp đồng hệ số: Đồng đẳng thức, ta được:

0

2

A B A B

 

 

 





1

A B

  

  

Câu 80: Tìm nguyên hàmF x của hàm số f x  ax b2x 0

x

   , biết F 1 1,F 1 4,

 1

f 

A  

3

4

x F x

x

   B  

2

3

4

x F x

x

  

C  

3

2 4

x F x

x

   D  

2

3

2 2

x F x

x

  

Câu 81: Tìm 2d

x x x

 



A   4ln 3

F x  x C B F x 2x4 ln 3 x1C C   4ln

3

F x  x x C D F x 2x4 ln 3x 1 C Câu 82: Nguyên hàm

2

1 d

x x

x x

  

 A

2

ln

x

x C

   B

 2

1

1 C

x

 

 C

1

x C

x

 

 D

2

ln

x  x C

Câu 83: Họ nguyên hàm hàm số   21

1

f x x





A 1ln

2 x C

   B 1ln

2

x

C x

 

 C

1

ln

2

x

C x



 

 D

2

1

ln

2 x  C

Câu 84: Hàm số sau không phải nguyên hàm hàm số  

  

1

2

f x

x x



  ?

A   1ln

2

x

F x C

x



 



B   1ln

5

x

F x C

x



 



C   1ln

5

x

F x C

x



  

 D  

1

ln 15

x

F x C

x



 

Câu 85: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x  21

x x





A F x ln x ln x1 B F x ln x ln x1

C F x  ln x ln x1 D F x  ln x ln x1

Câu 86: Biết

   d x x x x   

 a.ln x 1 b.ln x2C Tính giá trị biểu thức a b

A a b 1 B a b 5 C a b  5 D a b  1

Câu 87: Họ nguyên hàm hàm số y x 21 x



 là:

A ln x C x

  B ln x C

x

  C ex C

x

  D lnx C

x

 

Câu 88: Tìm nguyên hàm hàm số   2 x f x x  

A 1ln

2 x  C B  

1

2 x 4 C C  2

1 4 C x   

D 2 ln x24 C

Câu 89: Tìm nguyên hàm hàm số  

 2

1 f x x x  

A  

2

1

d ln x

f x x C

x



 

 B  

2

d ln

x

f x x C

x

 





C  

2

1

d ln x

f x x C

x



  

 D  

2

d ln

1

x

f x x C

x

  





Câu 90: Tìm họ nguyên hàm hàm số   2

f x

x x



 

A 1ln

2 x C x  

 B

1 ln x C x  

 C

1 ln x C x   

 D

1 ln x C x   

Câu 91: Nguyên hàm

d

x

x  x 



A 1ln

6 x C x  

 B

1 ln x C x  

 C

1 ln x C x  

 D

1 ln x C x   

Câu 92: Biết 2 d ln

2 1

x b

x a x C

x x x



   

  

 với a b,  Chọn khẳng định

khẳng định sau: A b

a  B

2

a

b   C a2b D

1

2

a

b  

Câu 93: Tìm nguyên hàm hàm số   22

2 x f x x x    

A  d 2ln 2ln

3

f x x  x  x C



B  

2

d ln ln

3

f x x  x  x C



C  d 1ln 5ln

3

f x x  x  x C

 D  d 2ln 5ln

3

f x x  x  x C



DẠNG 5: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG 1 Công thức cộng

  

a b a b a b

a b a b b a

sin(  )sin cos sin cos

a b

a b b tana tan

( )

1 tan tan

tan   



2 Công thức nhân đôi

a a a a a

a a

2 2

2

cos cos – sin cos – 1 – sin tan

1 tan

   

  a

a

a a a 2

sin 2 sin cos tan

1 tan

  ;

;

3 Công thức hạ bậc

; ;

;

4 Công thức biến đổi tích thành tổng

5 Cơng thức biến đổi tổng thành tích

Hệ quả:

B – BÀI TẬP

Câu 94: Họ nguyên hàm hàm số f x( )sinx1

A cosx x C B

sin

x

x C

  C cosxxC D cosxC

Câu 95: Cho a, hàm số sau nguyên hàm hàm số f x cosx

 

a a

a

2

2 tan tan

1 tan

3

cos 3  cos  3 cos sin 3  sin 4 sin3

a a

2 cos2

sin

2



 cos2a cos 2a

2



  

 a a

a

2 cos

tan

1 cos2

 

  

3 sin sin

sin

4

3 cos 3 cos

cos

4

 

  

     

     

     

 

     

 

     

 

     

1

cos cos cos( ) cos( )

2

sin sin cos( ) cos( )

2

sin cos sin( ) sin( )

2

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 



 



 

cos cos cos cos

2

cos cos sin sin

2

sin sin sin cos

2

sin sin cos sin

2

sin( )

tan tan

cos cos

sin( )

tan tan

cos cos

 

   

 

   

   

        

   

   

         

   

cos sin cos sin

4

cos sin cos sin

A F x sinx B   cos cos

2

x a x a

F x   

C   sin cos

2

x x

F x   a  a

    D   sin cos

x a x a

F x   

Câu 96: Họ nguyên hàm hàm số f x sin 2x

A

sin

 xC B cos2xC C cos2xC D

cos x C

 

Câu 97: Trong hàm số sau, hàm số có nguyên hàm hàm số g x tanx? (I)  

tan

f x  x (II)   22

cos

f x

x

 (III)  

tan

f x  x

A III B  II C   II , III D     I , II , III

Câu 98: Tìm nguyên hàm hàm số f x sin 2xcos dx x

A  d 1cos 1sin

2

f x x x x C

 B  d 1cos 1sin

2

f x x  x x C



C  f x dx cos 2xsin 3x C D f x dxcos 2xsin 3x C

Câu 99: Nguyên hàm hàm số f x sin cosx x là:

A sin cosx x B 1cos

4 x C C

cos

4 x C

  D 1sin x C Câu 100: Họ nguyên hàm hàm số f x 4xsin2x

A

3

sin ln

3

x x

x C B

3

sin ln

3

x x

x C

C 1sin ln 4

x

x

x C

   D 1sin

ln 4

x

x C

 

Câu 101: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )tan2x

A  f x x( )d tanx x C B  f x x( )d tanx x C

C  f x x( )d tanx C D f x x x( )d  tanx C

Câu 102: Nguyên hàm hàm số f x( )sin os5x c xlà

A ( ) os2 os8

4 16

f x dx c x c x C

 B ( ) os2 sin

4 16

f x dx c x x C



C ( ) 1sin os8

4 16

f x dx x c x C

 D ( ) os2 os8

4 16

f x dx  c x c x C



Câu 103: Tính I 8sin cos dx x xacos 4x b cos 2x C Khi đó, ab

A 1 B 2 C 3 D 1

Câu 104: Nguyên hàmsin d2 x x

A 1 1sin

2x8 x C B

3

1 sin x C C 1 1sin

2x4 x C D

1

sin 2x8 x C DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LƠGARIT

Câu 105: Tìm họ ngun hàm hàm số f x 52x

A 5 d2x x

5

ln5

x

C

  B 5 d2x x 25

2ln

x

C

C 5 d2x x

2 xln C

  D 5 d2x x

1

25

x

C x



 



Câu 106: Tìm họ nguyên hàm hàm số f x e2018x. A  

2018

d e

2018

x

f x x C



B  

2018

d e x

f x x C



C  

2018

d 2018e x

f x x C

 D  f x dxe2018xln 2018C

Câu 107: Hàm số nguyên hàm hàm số f x e1 4 x ?

A y  4e1 4 x B 1

4 x

y e C 1

4 x

y   e D y e1 4 x

Câu 108: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x thỏa mãn  0

F  Tìm F x 

A   e

x

F x   x  B   2e

2

x

F x   x 

C  

e

2

x

F x   x  D  

e

2

x

F x  x 

Câu 109: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2018 ln2018 cosx  x f  0 2 Phát biểu sau đúng? A f x 2018xsinx1 B   2018 sin

ln 2018

x

f x   x

C   2018 sin

ln 2018

x

f x   x D f x 2018xsinx1

Câu 110: Tính

3

(2e x) dx 

A 3

3

x x

x e  e C B 4

3

x x

x e  e C

C

3

x x

x e  e C D

4

3

x x

x e  e C

Câu 111: Hàm số F x( )exexx nguyên hàm hàm sốnào sau đây?

A f x( )ex ex 1 B ( )

2

x x

f x e e  x

C f x( ) e ex x1 D

( )

2

x x

f x e e  x

Câu 112: Họ nguyên hàm hàm số f x( )e2xe3x :

A

3

3

x x

e e

C 

  B

2

2

x x

e e

C 

 

C

3

2

x x

e e

C 

  D

2

3

x x

e e

C 

 

Câu 113: Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 3 2x23x :

A

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

  B

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

 

C

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

  D

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

 

A  f x dxexC. B  f x dxex x C

C  f x dxexexC D  f x dxexC

Câu 115: F x  nguyên hàm hàm số yxex2. Hàm số sau F x ?

A   2

x

F x  e  B   1 5

2

x

F x  e 

C   2

x

F x   e C. D   12 2

2

x

F x   e

Câu 116: Tìm nguyên hàm F x  hàm số   22

4

x x

x

x f x    

 

A   12

ln12

x

x x

F x   C B F x 12xx x C

C  

2

ln ln

x x

x

x x F x    

 

D  

2

2 ln

ln ln3

x x

x

x x F x    

 

Câu 117: Tính nguyên hàm hàm số  

5 2018e e 2017

x x

f x

x



 

   

 

A f x dx 2017ex 20184 C x

  

 B f x dx 2017ex 504, 54 C

x

  



C  

4 504,

d 2017ex

f x x C

x

  

 D  

2018

d 2017ex

f x x C

x

  



Câu 118: Tính2 72x x xdx A 84

ln 84

x

C

 B

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C

 C 84x

C

 D 8 ln 4x

C



Câu 119: Nguyên hàm

2

2 x

x

e

dx e 



 là:

A

1

3

5

3

x x

e   e C B

5

3

5

3

x x

e   e C

C

1

3

5

3

x x

e   e C D

5

3

5

3

x x

e   e C

Câu 120: Cho F x  nguyên hàm hàm số  

x

f x

e



  

1

0 ln

3

F   Tập nghiệm S phương trình 3F x lnex32

A S 2 B S   2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 Câu 121: Hàm số   1 

e 24 17

27

x

F x   x  x C nguyên hàm hàm sốnào

A f x x2 2x1 e 3x1 B f x x22x1 e 3x1

C f x x2 2x1 e 3x1 D f x x22x1 e 3x1

Câu 122: Cho hai hàm số F x x2ax b e  x f x   x23x6ex Tìm a bđể F x 

nguyên hàm hàm số f x 

Câu 123: Cho F x ax2 bxce2x nguyên hàm hàm số f x 2018x23x1 e 2x khoảng  ;  Tính T  a 2b4c

A T  3035 B T 1007 C T 5053 D T1011

Câu 124: Biết F x ax2bx c e  x nguyên hàm hàm số f x 2x25x2ex  Tính giá trị biểu thức f F  0 

A

e

 B

20e C 9e D 3e

DẠNG 7: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BIẾT HÀM f x Câu 125: Cho hàm số y f x  thỏa mãn '( )

2

f x

x



 , f(1) 1 Tính f(5)

A f(5) 2ln3 1  B (5) 1ln

f  C f(5) ln 2 D f(5) ln 1 

Câu 126: Cho hàm số f x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x  x sinx f  0 1 Tìm f x 

A  

cos 2

x

f x   x B  

2

cos 2

x

f x   x

C  

cos

x

f x   x. D  

2

1 cos

2

x

f x   x

Câu 127: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  3 cosx f  0 5 Mệnh đề đúng? A f x 3x5sinx2 B f x 3x5sinx5

C f x 3x5sinx5 D f x 3x5sinx5

Câu 128: Tìm hàm số y f x  biết f x x2xx1 f  0 3

A  

4

3

4

x x

f x    B  

3

f x  x 

C  

4

3

4

x x

f x    D  

4

3

4

x x

f x   

Câu 129: Cho hàm số f x  xác định \ 1  thỏa mãn  

1

f x

x

 

 , f  0 2017, f  2 2018

Tính S f  3  f  1

A S  B Sln C Sln 4035 D S1

Câu 130: Cho hàm số f x  xác định \ 2 thỏa mãn  

2

x x

f x  

 , f  0 1 f  4 2 Giá

trị biểu thức f  2  f  3 bằng:

A 3 20 ln 2 B ln C 12 D 10 ln 2

Câu 131: Cho hàm số f x  xác định trên\ 1 thỏa mãn   ;

f x

x

 

 f  0 1 f 1  f  2 2

Giá trị f  3

A 2 ln 2 B 1 ln 2 C 1 ln 2 D 1

Câu 132: Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn1    

2

3

1

x f x

x



A 27 ln

4  B

3

4 ln

4 C 4 ln D

15

4 ln 

Câu 133: Hàm số f x  xác định, liên tục  có đạo hàm f x  x1 Biết f  0 3 Tính f  2  f  4 ?

A 10 B 12 C 4 D 11

Câu 134: Biết hàm số y f x  có f x 3x22xm1, f  2 1 đồ thị hàm số y f x  cắt

trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x 

A x3x2 3x5 B x32x2 5x5 C 2x3x27x5. D x3x24x5

Câu 135: Cho hàm số f x  xác định \2;1 thỏa mãn   2

2

f x

x x

 

  f  3  f 3 0

Giá trị biểu thức f 4  f  4

A 0 B 1ln

3

 C 1ln

3 D

1 ln Câu 136: Cho hàm số f x  xác định \1;1 thỏa mãn   21

1

f x

x

 

 Biết

 3  3

f   f  1

2

f   f   

    Tính T  f  2  f  0  f  4

A ln9

T   B ln6

5

T   C 1ln9

2

T   D 1ln6

2

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN 2 Đổi biến dạng 1

Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x t Trong  t với đạo hàm (' t hàm số liên tục) ta :

   

( ) ' ( ) ( )

f x dx f  t  t dt g t dt G t C

  

2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t= x Trong  x hàm số mà ta chọn thích hợp

 Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt' t dt

 Bước 3: Biểu thị : f x dx( )  f  t ' t dtg t dt( )  Bước 4:Khi : I  f x dx( ) g t dt( ) G t( )C

2.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu số có t mẫu số

Hàm số : f x ;  x  t  x

Hàm   s inx+b.cosx

.s inx+d.cosx+e

a f x

c

 tan ; osx

2

x

t c  

 

Hàm  

  

1

f x

x a x b



 

Với : x a 0 x b 0

Đặt : t x a  x b Với x a 0 x b 0 Đặt : t      x a x b 1 Đổi biến dạng 2

Nếu :  f x dx( ) F x( )C với u t hàm số có đạo hàm :

( ) ( ( ))

f u duF  t C



1.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn x t ,  t hàm số mà ta chọn thích hợp

 Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx' t dt

 Bước 3: Biến đổi : f x dx( )  f  t ' t dt g t dt 

 Bước 4:Khi tính :  f x dx( ) g t dt( ) G t( )C

1.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

2 a x

Đặt x a sint; với ; 2

t   

  x a cost; với t0;

2 x a

Đặt a sint

x ; với ; \ 0 

2

t   

 

a x

cost



với 0; \

t    

 

2 a x

Đặt x a tant; với ; 2

t    

a x a x





a x a x



 Đặt xacos t2

xabx Đặt x a ( – )b a sin t2 2

1

a x Đặt xatant ; với t 2;

 

 

  

 

BÀI TẬP

DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu Cho hàm số   22

1

x f x

x



 Khi đó:

A  f x dx  2 ln 1 x2C B  f x dx  3ln 1 x2C

C  f x dx  4 ln 1 x2C D  f x dx  ln 1 x2C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2 4

x f x

x x

 

  :

A 1.ln 4

2 x  x C B

2

ln x 4x4 C

C

2 ln x 4x4 C. D

4 ln x 4x4 C

Câu Họ nguyên hàm hàm số

2

3 ( )

4

x f x

x



 là:

A

3ln x 4C B

3ln x C

  

C ln x34 C D ln x34 C

Câu Tính

3

( )

1

x

F x dx

x

 



A F x( )ln x4 1 C B ( ) 1ln 4

F x  x  C

C ( ) 1ln

F x  x  C D ( ) 1ln

3

F x  x  C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x





A ln cosx 3 C B 2 ln cosx 3 C C ln cos

2

x

C



  D 4 ln cosx 3 C

Câu Nguyên hàm hàm số: ysin x cosx3 là:

A 1cos4

4 x C B

4

1 sin

4 x C C

3

1 sin

3 x C D

2

cos x C

 

Câu Tínhcos sinx x dx A 3sin sin

12

x x

C



 B 3cos cos

12

x x

C





C

sin

x C

 D

sinx cos x C

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x tanx là:

C

tan

x C

 D ln cos xC

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( )

3 x x

e f x

e



 là:

A ex 3 C B 3ex 9 C

C ln x

e C

   D ln x

e  C

Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số f x( )2 2x x2 là:

A

1

ln 2.2x C B

2

.2 ln

x

C

 C

ln

2x C D

2

ln 2.2x C Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f x( )2xex2 là:

A

2 x

e C



 B

2

2 x

e C



C exC D ex2 C

Câu 12 Tính x e x21dx

A ex21C B 1

2

x

e C

C 1 2

x

e  C D 1

2

x

e  C

Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số f x  lnx x



A  f x dxln2x C B  d 1ln2

f x x x C



C  f x dxlnxC D  f x dxexC

Câu 14 Nguyên hàm lnxdx x 0

x







A 1ln2 ln

2 x x C B

2

ln

x xC C ln2 xlnx C D 1ln2

2

x x C

Câu 15 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22 ln( 1)

x

f x x

x

 

 là:

A 1ln (2 1) C

2 x   B

2

ln(x 1) C

C 1ln (2 1) C

2 x   D

2

1

ln ( 1) C

2 x  

Câu 16 Tính

.ln

dx

x x



A lnx C B ln | |x C

C ln(lnx) C D ln | lnx | C

Câu 17 Họ nguyên hàm

1d

x x  x



A 1 (3 1) .

8 x  C B

2

3

( 1)

8 x  C C

2

3

( 1) x  C D

2

1

( 1) x  C

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I  f x dx, ta phân tích f x g u x u x   '  ta thực phép đổi biến số tu x , suy dtu x' dx

Khi ta nguyên hàm: g t dt G t CG u x  C

Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay tu x 

HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 18 Cho f x dx( ) F x( )C Khi với a  0, ta có  f(axb dx) bằng: A (a ) C

2aF x b  B a F (ax b ) C

C 1F(ax b) C

a   D F(axb) C

Câu 19 Hàm số f x( )x(1x)10 có nguyên hàm là:

A

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x     C B

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x     C

C

11 10

( 1) ( 1)

11 10

x x

C

 

  D

11 10

( 1) ( 1)

( )

11 10

x x

F x     C

Câu 20 Tính x2 (1 )

d x x



 thu kết là:

A  

ln x x 1 C B ln x 1x2 C

C

2

ln

x

C x

 

D

2

1 ln

2

x C x 



Câu 21 Tínhx x 13dx :

A    

5

1

5

x x

C

 

  B    

5

1

5

x x

C

 

 

C

5

3

3

5

x x x

x C

    D

5

3

3

5

x x x

x C

   

Câu 22 Xét I x34x43 d5 x Bằng cách đặt:

4

u x  , khẳng định sau đúng?

A

d 16

I  u u B

d 12

I  u u C

d

I u u D

d

I  u u

Câu 23 Cho 2x3x2 d6 x A3x28B3x27C với A, B C Giá trị biểu

thức 12A7B A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7 Câu 24 Nguyên hàm 2

1

x dx

x 

 là:

A lnt C, với tx21 B lnt C, với tx21

C 1ln

2 t C, với

2

1

tx  D 1ln

2 t C

  , với

1

t x 

HÀM CHỨA CĂN THỨC

Câu 25 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  2x3 A  d 2

3

f x x x x C

 B  d 12 3

3

f x x x x C

C  d 22 3 3

f x x x x C

 D  f x dx 2x 3 C

Câu 26 Hàm số F x  nguyên hàm hàm số

1

y x ?

A    

3

F x  x C

B   43 14

3

F x  x C

C   3 3

1

4

F x  x x C D   34 13

4

F x  x C

Câu 27 Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x

x





A  d 2

f x x x C

 B  f x x d  2x 1 C

C  f x x d 2 2x 1 C D  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 



Câu 28 Một nguyên hàm hàm số:

( )

f x  x x là:

A  

3

1

( )

3

F x  x B  

2

1

( )

3

F x  x

C  

2 2

2

( )

2

x

F x  x D  

2

1

( )

2

F x  x

Câu 29 Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x  x x là:

A 1 1 23

3 x C B  

3

1 x C

  

C  23

2 1x C D 1 23

3 x C

  

Câu 30 Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x  x x là:

A 33 17 33 15

21 x 15 x C B    

6

3

1

3

18 x 12 x C C 133 13 33 1

9 x  x C D    

4

3

1

3

12 x 3 x C Câu 31 Cho

5d

I x x  x, đặt u x25 viết I theo u du ta

A I (u45u2)d u B I u2d u C I (u45u3)d u D I (u45u3)d u

Câu 32 Cho

4

1 d

I x  x x u 2x1 Mệnh đề sai?

A  

3 2

1

1 d

I  x x  x B  

3 2

1 d

I u u  u

C

3

1

1

2

u u

I    

 

D  

3 2

1

1 d

I  u u  u

Câu 33 Khi tính nguyên hàm d

x x x

 

 , cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào?

A  

2u u 4 du

 B  

4 d

u  u

 C  

2 u 4 du

 D  

3 d

u  u



Câu 34 Tính tích phân:

5

d

3

x I

x x





A 2 B 3 C 1 D 1

Câu 35 Họ nguyên hàm hàm số  

3

1

x f x

x

 

là:

A 1 2

3 x  x C B  

2

1

1

3 x x C

   

C 1 1

3 x  x C D  

2

1

2

3 x x C

   

HÀM LƯỢNG GIÁC

Một số dạng tích phân lượng giác

 Nếu gặp ta đặt

 Nếu gặp dạng ta đặt  Nếu gặp dạng ta đặt  Nếu gặp dạng ta đặt

Câu 36 Theo phương pháp đổi biến số với tcos ,x usinx, nguyên hàm I tanxcotx dx là:

A lnt lnu C B lnt lnu C

C lnt lnu C D lnt lnu C

Câu 37 Biết F x  nguyên hàm hàm số  

sin cos

f x  x x

F 0  Tính

F 

 .

A F 

  . B

2

F

  C

1

2

F  

  D

1

2

F  

 

Câu 38 Tìm nguyên hàm

2

sin d sin

x x x



 Kết

A

2

1 sin

x C



 B sin xC C  sin 2xC D 2 sin xC

Câu 39 Theo phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm

3

2sin cos sin

x x

I dx

x

 



 là:

A 23tC B 63tC C 33 tC D 123tC

HÀM MŨ –LÔGARIT

Câu 40 Tìm họ nguyên hàm hàm số   x3

f x x e 

A d ln

t t t t t t C

t

   

 

      

 

 

 B f x dx3ex31C

C  d 3

x

f x x e  C

 D  

3

d

x

x

f x x e  C



Câu 41 Tìm nguyên hàm d

1 x

x I

e

 



A I xln 1ex C. B I xln 1ex C

 

 sin cos

b

a

I f x xdx tsinx

 

 cos sin

b

a

I f x xdx tcosx

 



2

tan cos

b

a

dx

I f x

x ttanx

 

 cot 2

sin

b

a

dx

I f x

C I   x ln 1ex C D I xln 1ex C

Câu 42 Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm ln 2xdx x

 bằng: A 1

2t C B

2

t C C 2t2C D 4t2C

Câu 43 Hàm số nguyên hàm hàm số y2sinx.2cosxcosxsinx?

A y 2sinx cosx C 

  . B 2sin 2cos ln

x x

y C yln 2.2sinxcosx D

sin cos

2 ln

x x

y C



  

Câu 44 Cho hàm số f x( ) x ln

x

 Hàm số không nguyên hàm hàm số f x( )?

A F x( )2 xC B F x( )2 2 x 1C

C ( ) 2 x 1

F x   C D F x( )2 x1C

Câu 45 Nguyên hàm   ln ln

x f x

x x





A ln d ln ln ln

x

x x C

x x



 

 B ln

d ln ln ln

x

x x x C

x x



 



C ln d ln ln ln

x

x x x C

x x



  

 D ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x



 

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cho hai hàm số u v liên tục đoạn a b;  có đạo hàm liên tục đoạn a b; 

Khi đó:u vd uvv ud  *

Để tính nguyên hàm  f x dx phần ta làm sau: Bước Chọn u v, cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau tính vdv duu'.dx

Bước Thay vào công thức  * tính v ud

Chú ý. Cần phải lựa chọn dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân v ud dễ tính u vd

Ta thường gặp dạng sau ● Dạng   sin d

cos

x

I P x x

x

 

  

 

 , P x  đa thức.u

Với dạng này, ta đặt

 

sin

d d

cos

u P x

x

v x

x

  

  



  

 



● Dạng I P x e  ax b dx, P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt  

d ax bd

u P x v e  x

   

  

● Dạng I P x  ln mxndx, P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt  

 

ln

d d

u mx n

v P x x

 

  

  

● Dạng sin d cos

x

x

I e x

x

 

  

 

 .

Với dạng này, ta đặt

sin cos d xd

x u

x

v e x

  



  

  

  

BÀI TẬP

DẠNG

Câu 1: Nguyên hàm hàm số f x xsinx là:

A F x  xcosxsinx C B F x xcosxsinx C

C F x  xcosxsinx C D F x xcosxsinx C

Câu 2: Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2x C với a, b số hữu tỉ Tính tích ab?

A

8

ab B

4

ab C

8

ab  D

4

ab 

Câu 3: Nguyên hàm

sin

I x xdx là:

A 1 

2 sin cos

8 x x x x C B  

2

1

cos sin

C 1 1cos sin

4 x x x x C

 

  

 

  D Đáp án A C

Câu 4: Tìm nguyên hàm I x1 sin d x x

A 1 cos sin

2

x x x

I    C B 2 cos sin

2

x x x

I    C

C 1 cos sin

4

x x x

I    C D 2 cos sin

4

x x x

I    C

Câu 5: Tìm nguyên hàm sin x xd A sin d cos

2

x x x C

x

 

 B sin x xd  cos xC

C sin x xd cos xC D sin x xd  2 xcos x2sin xC

Câu 6: Nguyên hàm

sin cos

I x x xdx là:

A 3

1

cos , sin

3

I  x x t  t C t x B 3

2

cos , sin

3

I  x x t  t C t x

C 3

1

1

cos , sin

3

I x x t  t C t  x D 3

1

2

cos , sin

3

I x x t  t C t x

Câu 7: Một nguyên hàm   2 cos

x f x

x

 :

A xtanxln cos x B xtanxln cos x 

C xtanxln cos x D xtanxln sinx Câu 8: Một nguyên hàm   2

sin

x f x

x

 :

A xcotxln sinx B xcotxln sin x C xtanxln cos x D xtanxln sinx DẠNG

Câu 9: Họ nguyên hàm x1 

e x dx

 là:

A I exxexC B

2

x x

I e  xe C

C

x x

I  e xe C D I 2exxexC

Câu 10: Biết xe2xdxaxe2xbe2xC a b,  Tính tích ab

A

4

ab  B

4

ab C

8

ab  D

8

ab

Câu 11: Biết F x   ax b e  x lànguyênhàmcủa hàmsố y2x3ex.Khi a b

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 12: Biết x e 2xdx e 2x2x n C m

 

    

 , với m n,  Tính S m2n2

A S 10 B S5 C S65 D S 41

Câu 13: Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x   5x1 e x F 0 3 TínhF 1

A F 1 11e 3 B F 1  e C F 1  e D F 1  e

DẠNG

A xlnx x C B Đáp án khác

C xlnx C D xlnx x C

Câu 15: Nguyên hàm I xlnxdx với: A

2

ln

x

xxdx C B

2

1 ln

2

x

x xdx C

C 2ln

x x xdx C D x2lnxxdx C

Câu 16: Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 B    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



C    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C

 D    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Câu 17: Hàm sốnào sau nguyên hàm  

 2

ln

x g x

x

 

?

A ln ln ln 1999

1

x x x

x x

 

 

  B

ln

ln 1998

1

x x

x x



 

 

C ln ln 2016

1

x x

x  x  D

ln

ln 2017

1

x x

x  x 

Câu 18: Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A    

3

1

d 3ln

9

f x x x x C

 B    

3

2

d 3ln

3

f x x x x C



C    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C

 D    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C



Câu 19:  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C, a b, hai số hữu tỉ

Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C 1 D Không tồn

Câu 20: Cho F x  alnx b x

  nguyên hàm hàm số f x  ln2 x x



 , a, b Tính

S a b

A S  2 B S1 C S2 D S 0

DẠNG 4:

Câu 21: Phát biểu sau đúng?

A e sin dx x xe cosx xe cos d x x x B e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

C e sin dx x xe cosx xe cos d x x x D e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

Câu 22: Tìm J ex.sinxdx?

A cos sin 

x

e

J  x x C B sin cos 

2 x

e

J  x x C

C sin cos 

x

e

J  x x C D sin cos 1

2 x

e

TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

Cho hàm số liên tục đoạn Giả sử nguyên hàm Hiệu số gọi tích phân từ a đến b(hay tích phân xác định đoạn hàm số kí hiệu

Ta dùng kí hiệu để hiệu số Vậy

Nhận xét:Tích phân hàm số từ ađến b kí hiệu hay Tích phân

phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số liên tục khơng âm đoạn tích phân diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số , trục Oxvà hai đường thẳng

Vậy

2.Tính chất tích phân

1

3 ( )4

5

B BÀI TẬP

DẠNG 1: ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

Câu 1: Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau,

khẳng định sai?

A

B

C

D

Câu 2: Khẳngđịnh sau sai?

A B

f [ ; ].a b F f [ ; ].a b

( ) ( )

F b F a [ ; ]a b f x( ),

( )

b

a

f x dx



( )ba ( ) ( )

F x F b F a F b( )F a( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



f ( )

b

a

f x dx

 ( )

b

a

f t dt



f [ ; ]a b ( )

b

a

f x dx



( )

y f x xa x, b

( )

b

a

S  f x dx

( )

a

a

f x dx

 ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx

 

( ) ( ) ( )

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

   a b c ( ) ( ) ( )

b b

a a

k f x dxk f x dx k

  

[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

 

y f x yg x  a b;  k

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 d  d

b b

a a

xf x xx f x x

 

 d

a

a

kf x x



    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

C D

Câu 3: Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?

A B

C D

Câu 4: Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề

dưới đúng?

A B

C D

Câu 5: Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề

sau

A B

C D

Câu 6: Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đề sau sai?

A B

C D

Câu 7: Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn

khẳng định sai khẳng định sau

A B

C D

Câu 8: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?

A

B

C ,

 d  d

b a

a b

x

f x  f x x

   d  d

b b

a a

x

f x  f t t

 

 

f x g x  K a b, K

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d

b b

a a

kf x xk f x x

 

   d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

       d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

a b F x  f x  

 d    

b

a

f x x f b  f a

  d    

b

a

f x xF b F a



 d    

b

a

f x xF a F b

  d    

b

a

f x xF b F a



 

f x a b;  ca b; 

 d  d  d

c b a

a c b

f x x f x x f x x

    d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

 d  d  d

b c c

a a c

f x x f x x f x x

    d  d  d

b a b

a c c

f x x f x x f x x

  

 

y f x K a b c, , K

 d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

    d  dt

b b

a a

f x x f t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d

a

a

f x x



 

f t K a b, K F t  f t  K

     d

b

a

F a F b  f t t  d  

b

b a a

f t t F t



 d  d

b b

a a

f t t  f t t

 

   d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 

y f x a b; 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 

d

b

a

k xk a b

D ,

Câu 9: Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?

A B

C D

Câu 10: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?

A B ,

C D

Câu 11: Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số

A B C D

Câu 12: Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:

A B C D Không thể xác định

Câu 13: Tích phân phân tích thành:

A B

C D

DẠNG 2: TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Câu 14: Tích phân có giá trị là:

A I = B I =2 C I = 3 D I = 4

Câu 15: Tích phân có giá trị là:

A I = B I = C I = D I =

Câu 16: Tính tích phân

A B C C

Câu 17: Tính

A B C D

Câu 18:

Tính tích phân

 d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

    c a b; 

f K a b c, , K

 

a

a

f x dx

    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

      ,  ; 

c b b

a c a

f x dx f x dx f x dx c a b

      

b b

a a

f x dx f t dt

 

 

y f x a b; 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

    c 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

   d

a

a

f x x



 

F x f x  F 0 F 1

 

1

d

f x x

  

1

d

F x x



  

1

d

F x x



  

1

d

f x x





 

a

a

f x dx m





  

a

a

g x dx n





    

a

a

f x g x dx





 

 



mn nm mn

 

b

a

f x dx



   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x  f x dx

 

   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x f x dx

 

2

2

I  x dx

 

1

3

I x x dx



  

2018

2

dx I

x

  2018.ln

I   2018

2

I  I 2018.ln I 2018

1

1

3 d

2

I x x

x

 

   



 



2 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

 

1 2018

1 d

A B C D

Câu 19: Giá trị để ?

A B C D

Câu 20: Có giá trị thực để có

A B C D Vô số

Câu 21: Tích phân có giá trị là:

A B C D

Câu 22: Đặt ( tham số thực) Tìm để

A B C D

Câu 23: Tích phân có giá trị là:

A B C D

Câu 24: Cho hàm số Tính tích phân

A B C D

Câu 25: Cho hàm số Tính

A B C D

Câu 26: Cho , Khi bằng:

A B C D

Câu 27: Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức

A B C D

Câu 28: Cho gá trị tích phân , Giá trị là:

A B C D

Câu 29: Tích phân có giá trị là:

A B C D

1

2018 2019

I   1

2020 2021

I   1

2019 2020

I   1

2017 2018

I  

b  

1

2 d

b

x x



0

b b3 b0 b1 b5 b0 b1 b5

AD  

0

2 d

a

x xa



1

 

1

I  ax bx dx

2

a b I  

3

a b I  

2

a b I  

3

a b I  

 

2

2 d

I  mx x m m I4

1

m  m 2 m1 m2

2

1 a

I x dx

x          1 I a a

   

2

I a

a

   

2

I a

a

   

2 I a a      

3

4

x x

y f x

x x             d

f x x

  

3

4

x x

y f x

x x            

f x dx

 3 ( )d

f x xa



3

( )d

f x xb 

2

( )d

f x x

 a b

  b a a b a b

a a 2  

2

2 d

a

x x

 1a3

0

  1

I x x dx a

      2

I x x dx b





    a

b

4 65

P  12

65

P 12

65

P 

65

P

2

I x x dx 

 

2

I 

6

I 

2

I  

6

Câu 30: Tích phân có giá trị là:

A B C D

Câu 31: Biết tích phân Giá trị là:

A B C D

Câu 32: Cho Tính tích phân

A B C D

Câu 33: Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính

A B C D

Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính

A B C D

Câu 35: Cho hàm số liên tục Tính tích phân

A B C D

Câu 36: Cho hàm số thoả mãn điều kiện , liên tục

Khi

A B C D

Câu 37: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ; Giá trị

của

A B C D

Câu 38: Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện Tính

A B C D

DẠNG 3: TÍCH PHÂN HỮU TỈCƠ BẢN

Câu 39: Biết với , số thực Mệnh đềnào đúng?

A B C D

Câu 40: Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau ?

A B C D

1

1

I ax dx

x 



 

   

 



15

ln 16

a

I    15 ln

16

a

I   15 ln

16

a

I   15 ln

16

a I   

1

0

2

I  xdxa  

2

2

a

I  x  x dx

2

17

I  2 19

3

I  2 16

3

I  2 13

3

I 

 

1

d

f x x 



  

1

2 d

I f x x



   

 3

 

f x 2; 3 f  2 2 f  3 5  

3

2

d f x x



3

 10

 

f x a b;  f a  2 f b  4

 d

b

a

T  f x x

6

T   T 2 T 6 T  2

 

f x 0;1 f  1  f  0 2  

1

d

f x x



1

I   I 1 I 2 I 0

 

y f x f  1 12 f x   

4

d 17

f x x



 4

f

5 29 19

 

f x 1; 3 f  1 4 f  3 7

 

3

5 d

I f x x



 

20

I  I 3 I 10 I 15

  2

a b

f x

x x

   a b  

1

d 3ln

f x x 

 T  a b

1

T   T 2 T  2 T 0

1

5

d ln

2

x

x a b

x



 



 a b

8 81

ab

24

a b 

8

ab

10

a b 

 

2

d ln ,

1

x

x a b a b

x   

  S 2a b S

Câu 41: Nhận xét: Khơng thể dùng máy tính để tính kết mà ta dùng để kiểm tra

mà Tích phân có giá trị là:

A B C D

Câu 42: Tích phân ,với có giá trị là:

A B

C D

Câu 43: Tích phân có giá trị là:

A B C D

Câu 44: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A B C D

Câu 45: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A B

C D

Câu 46: Tính tích phân

A B C D

Câu 47: Giả sử Tính

A B C D

Câu 48: Biết , Tính giá trị biểu thức

A B C D

Câu 49: Biết với , , Tính

A B C D

Câu 50: Giả sử Khi giá trị là:

A 30 B 40 C 50 D 60

Câu 51: Biết Mệnh đề sau đúng?

A B

2

1

I x dx

x         

I 

2

I 

2

I  11

2 I  a a x I dx x a        

 a0

2

1 ln

2

a

I a a

a    ln a

I a a

a    ln a

I a a

a    ln a I a a

a    2 b

I ax dx

x          ln

I  a b I 3a b ln ln

3

I  a b I 3a b ln

1

x

I dx a

x

 



 P2a1

1 ln

P  P22 ln P 1 ln P2 ln 2

2 2

1

e

e

x x

I dx a

x

   

   

 

 Pa1

2

1

2

P e e  e

2

P  e e  e

2

1

2

P  e e  e

2

P e e  e d x I x    1 ln

I  1ln1

6

I   1ln

6

I  I ln 26

2

1

d ln ln 3; ,

x

x a b a b

x x



  

 

  Pab

8

P P 6 P 4 P 5

  

1

d ln ln

1

x

x a x b x C

x x



    

 

 a b,  a b

1

a b  a b 5 a b  1 a b  5

3 2

3

d ln ln

x x

x a b c

x x

 

  

 

 a b c

2

T  a b  c

4

T  T 6 T 3 T 5

0

3

.ln

2

x x

I dx a b

x 

 

  



 a2b

5

3

d ln ln

3 x a b

x  x  

 a b, 

2

C D

Câu 52: Nếu giá trị

A B C D

Câu 53: Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?

A B C D

Câu 54: Biết với số nguyên Tính

A B C D

Câu 55: Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm

của phương trình sau đây?

A B C D

Câu 56: Biết với , số nguyên Tính

A B C D

Câu 57: Biết , Giá trị biểu thức bằng

A B C D .

Câu 58: Cho với , số nguyên Mệnh đề ?

A B C D

Câu 59: Biết Tính

A B C D

DẠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈCƠ BẢN Câu 60: Tính tích phân

A B C D

Câu 61: Biết Giá trị là:

A – 1 B – 2 C – 3 D – 4

Câu 62: Tích phân

A B C D

Câu 63: Cho , Tính

A B C D

0

a b  a b 0

3 2

2

d ln ln 3ln

2

x

x a b

x x



  

 

 a b,  P2a b

1

P P7 15

2

P  15

2

P

2

d ln

1

x

x a b

x  

 a b b0 2a b

8;10 6;8 4; 6 2; 4

4

d

ln ln ln

x

I a b c

x x

   



 a b c, , S   a b c

6

S  S2 S 2 S 0

2

d 1

4

x

x  x  ab

 a b 7;3 a b

2

2x   x x24x120 x25x 6 x2 9

5

1

d ln

1

x x b

x a

x

 

 



 a b S a2b

2

S   S5 S2 S 10

  

3

d

ln ln ln

2

x

a b c

x x   

 a b c, ,  2a3b c

5

1

1

ln ln

1 dx a b

x x

 

  

 

 

 

 a b

2

a b  a2b0 a b  2 a2b0

3 2

5 12

d ln ln ln

5

x

x a b c

x x



  

 

 S3a2b c

3 14 2 11

2

4 d

I  x x

13 13

3

4

 

1

0

1

6

a

I  x x dx b

4

a b

2

1

2

I dx

x







1

2

I   I 2 2

2

I   I  2

1

d

3

2

x

a b a

x  x   

 a b, * a2b

2

Câu 64: Biết tích phân với , số thực Tính tổng

A B C D

Câu 65: Tích phân có giá trị là:

A B

C D

Câu 66: Tích phân có giá trị là:

A B C D

DẠNG 5: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 67: Tính tích phân

A B C D

Câu 68: Tính tích phân

A B C D

Câu 69: Tích phân bằng?

A B C D

Câu 70: Biết , với , số hữu tỉ Tính

A B C D

Câu 71: Tích phân có giá trị là:

A B C D Cả A, B, C sai

Câu 72: Có số thực thuộc khoảng cho ?

A B C D

Câu 73: Tích phân có giá trị là:

1

3 d

9

3

x a b

x

x x

 

  

 a b T a b

10

T   T  4 T 15 T 8

0

1

a

I x x dx

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

1

1 1

x

I dx

x 



 



2

I   2

3

I  

3

I  

3

I  

0

sin dx x

 

1



3

2



3

2

sin d

4

I x x

 

 

   

 



4

I  I  1 I 0 I 1

3

d sin

x I

x 





cot cot

3

 

 cot cot

3

 

 cot cot

3

 

  cot cot

3

 

 

2

cosxdx a b





 

 a b T 2a6b

3

T  T  1 T  4 T 2

2

sin

I xdx





1

I  I 0 I  1

b  ;3  cos d

b

x x







8

 

2

sin cos

I x x dx



 

A B C D

Câu 74: Tích phân có giá trị là:

A B C D

Câu 75: Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?

A B C D

Câu 76: Cho tích phân , Tính

A 3 B 1 C 2 D 1

3 Câu 77: Biết  

6

2

3 sin d

6

a c

x x

b





  

 , a,b nguyên dương a

b tối giản Tính a b c 

A 8 B 16 C 12 D 14

Câu 78: Cho giá trị tích phân  

1

sin cos

I x x dx a



 

    ,  

3

3

cos sin

I x x dx b



 

    Giá trị a

+ b là:

A 3

4

P  B 3

4

P  C 3

4

P  D 3

4

P 

Câu 79: Tích phân  

2

sin cos

I ax ax dx



 

   , với a0 có giá trị là:

A sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

B sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

C sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

D sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

Câu 80: Cho hàm số f x asin 2x b cos 2x thỏa mãn ' 2

f     

b

a

adx

 Tính tổng a b bằng:

A 3 B 4 C 5 D 8

Câu 81: Cho tích phân

0

cos cos dx x x a b

 

 

 , a, b số hữu tỉ Tính ealog2 b

1

I  I 2 I  2 I  1

 

6

sin cos

I x x dx



 

  

2

I 

4

I 

4

I  

3

I  

 

2

2x sinx dx 

 

 a b

2

a b a b 5 2a3b2 a b 2

 

2

1

4x cosx dx c

a b 

  

     

 

A 2 B 3 C 1

8 D 0

Câu 82: Tích phân  

2

2

cos cos

I x xdx



  có giá trị là:

A

4

I   B

4

I    C

4

I   D

4

I   

Câu 83: Cho    

3

2 6

0

sin cos cos sin sin

I x x dx a x bx c x





     Giá trị 3a2b4c là:

A – 1 B 1 C – 2 D 2

DẠNG 6: TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LÔGARIT CƠ BẢN Câu 84: Tích phân

1

e dx x



A e 1 B 1

e C

e e



D 1

e Câu 85: Tích phân

2018

2 d   x

I x

A 220181 B 2018

2

ln



C

2018

2

ln D

2018

2

Câu 86: Biết

1

1 ( )d

2

f x x







0

1 ( )d

2

f x x



 

 Tính tích phân

4

4e x ( ) d

I   f x  x

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNGPHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

Cho hàm số y f x  liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]a b  u x( ) Giả sử viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b với g liên tục đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( ) ( )

( ) ( )

u b b

a u a

I f x dx  g u du

Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân

Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

1 Có f x( ) t f x( )

3

0 1

x dx I

x





 Đặt t x1

2 Có (ax b )n t axb 2016

0 ( 1)

I x x dx Đặt t x1

3 Có af x( ) t f x( )

tan

2 cos

x e

I dx

x

 

 Đặt t tanx3

4 Có dx vàlnx x

ln

t x hoặc biểu thức

chứa lnx

ln (ln 1)

e xdx

I

x x





 Đặt t lnx1

5 Có x

e dx

x

te hoặc biểu thức

chứa x

e

ln 2

0

x x

I  e e  dx Đặt t 3ex1

6 Có sinxdx tcosx 2

0 sin cos

I x xdx



 Đặt tsinx

7 Có cosxdx t sinxdx

3

sin

2cos

x

I dx

x 





 Đặt t2 cosx1

8 Có 2

cos

dx

x ttanx

2

4

4

0

1

(1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

Đặt ttanx

9 Có 2

sin

dx

x tcotx

cot cot

4

2

6 cos 2sin

x x

e e

I dx dx

x x

 

 



  Đặt tcotx

BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số y f x  liên tục a b,  Giả sử hàm số uu x  có đạo hàm liên tục a b,  u x  ,  x a b, , f u  liên tục đoạn  , 

Mệnh đề sau đúng?xa A    d  d

b b

a a

f u x u x x f u u

  B    

   

 

d d

u b b

u a a

f u x u x x f u u

 

C      

   

d d

u b b

a u a

f u x u x x f u u

  D    d  d

b b

a a

f u x u x x f x u

 

HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2: Tínhtíchphân  

3

1000

1

A

1002

2003.2 1003002

I  B

1001

1502.2 501501

I  C

1002

3005.2 1003002

I  D

1001

2003.2 501501

I 

Câu 3: Tích phân

2

d

x x

x 

 A 1log7

2 B

7 ln

3 C

1 ln

2 D

1 ln Câu 4: Tích phân

 

1

x dx I

x

 

 kết I aln 2b Giá trị a+b là:

A

16 B

13

16 C

14

17 D

4 17 Câu 5: Cho

1

1 ln

1

x

dx a

x  

 ,a là số hữu tỉ Giá trị a là:

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 6: Tích phân

0

1

ax

I dx

ax 





 ,với a 2 có giá trị là:

A ln ln 2

a

I    B ln ln

2

a

I   

C ln ln 2

a

I    D ln ln

2

a

I    

HÀM VƠ TỈ

Câu 7: Cho tích phân

1

1x xd

 , với cách đặt t31x tích phân cho với tích phân

sau đây? A

1

3 dt t B

3

d

t t

 C

1

3t dt D

3

3t dt

Câu 8: Trongcáctích phânsau,tích phânnào cócùnggiá trịvới

1

I  x x  dx A

1

1

1

2 t t dt B

4

1 t t1dt

 C 3 

0 t 1 t dt

 D 3 

1 x 1 x dx



Câu 9: Nếu

3

0

( ) 1

x

dx f t dt

x 

 

  , với t 1x f t( ) hàm số hàm số ?

A f t( )2t22t B f t( )t2t C f t( )t2t D f t( )2t22t

Câu 10: Tích phân

1

d

x x

 A 4

3 B

3

2 C

1

3 D

2 Câu 11: Biết

4

1

d ln

2

I x a b

x

  

 

 với a b, số nguyên Tính S a b

A S 3 B S  3 C S5 D S7

Câu 12: Cho tích phân

4

d

ln

3

x

I a b

x

  

 

 với a b,  Mệnh đề sau đúng?

Câu 13: Biết  

2

2 1d

3

x x  x a b

 , với a b, số nguyên dương Mệnh đề sau

A a2b B ab C ab D a3b

Câu 14: Cho

1

2

x

I dx a b

x

  



 Giá trịa.b là:

A – 1 B – 2 C 1 D 2

Câu 15: Với a b c, , R Đặt

2

1

4

ln

x b

I dx a

x c



   Giá trị tính abc :

A B 2 C 2 D 

Câu 16: Giá trị

7

3

0

d

x x I

x





 viết dạng phân số tối giản a

b (a, b số nguyên

dương) Khi giá trị a7b

A 2 B 1 C 0 D 1

Câu 17: Cho biết

7

3

0

d

 

 x x m

n x

với m

n phân số tối giản Tính m7n

A 0 B 1 C 2 D 91

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 18: Tìm khẳng định khẳng định sau

A  

1

0

sin 1x dx sin dx x

  B  

1

0

cos 1x dx  cos dx x

 

C

2

0

cos d cos d

x

x x x

 



  D

2

0

sin d sin d

x

x x x

 



 

Câu 19: Tính tích phân

π

3

sin d cos

x

I x

x



A

I  B

2

I  C π

3 20

I   D

4

I 

Câu 20: Cho

3

sin tan ln

8

b

I x xdx a



   Chọn mệnh đề đúng:

A a b B a b C ab6 D ab 4 Câu 21: Cho

a

cos 2x

I dx ln

1 sin 2x 

 



 Tìm giá trị a là:

A 3 B 2 C 4 D 6

Câu 22: Biết  

2

0

1 tan

I x dx a



    

1

1

2 3

2

0 0

I  x  x dxbx cx 

 

 , a và b là số hữu tỉ Giá

trị a + b + c là:

A 1 B 2 C 3 D 0

Câu 23: Tích phân

3

sin cos cos

x

I dx

x x







A ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

B ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

C ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

D ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

Câu 24: Xét tích phân

0 sin d cos x I x x   

 Nếu đặt t 1 cos x, khẳng định đúng?

A

1

2

d 4t 4t

I t

t



  B

1

2

d 4t 4t

I t

t

 

  C  

2

1

4 d

I   t  t D  

2

1

4 d

I    t  t

Câu 25: Cho f hàm số liên tục thỏa  

1

d

f x x

 Tính  

2

cos sin d

I x f x x





A 1 B 9 C 3 D 7

Câu 26: Cho hàm số f x  liên tục   

1

d 12

f x x    ,   3

2 cos sin d

f x x x







A 12 B 12 C 6 D 6

HÀM MŨ – LÔGARIT

Câu 27: Cho

1

d x

I xe x.Biếtrằng

2

ae b

I   Khiđó, a b bằng

A 1 B 0 C 2 D 4

Câu 28: Nguyên hàm  

2

sin

sin e x

f x  x

A sin2x.esin2x1C B

2 sin e sin x C x  

 C

2 sin

e xC D

2 sin e sin x C x   

Câu 29: Biếtrằng  

1

1

0

3 d , ,

5

x a b

e  x e  e c a b c 

  Tính

2

b c

T a 

A T 6 B T 9 C T 10 D T 5. Câu 30: Tích phân

ln12 ln

4

x

I   e  dx có giá trị là:

A I  2 ln ln 5 B I  2 ln ln 5

C I  2 ln ln 5 D I  2 ln ln 5

Câu 31: Biết tích phân ln

0

e

d ln ln

1 e

x

x xa b c

 

 , với a, b, c số nguyên Tính

T   a b c.

A T  1 B T 0 C T 2 D T 1

Câu 32: Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1 ln d 3ln e x x

x  x

 trở thành

A  

2

2

1 d

3 u  u B  

2

2

1 d

9 u  u C  

2

2 u 1 du D 2 d u u u  

Câu 33: Tính tích phân

e 1 3ln d x I x x 

A

2

I  t B

2

1

2 d

I  t t C

2 2

d

I  t t D 14

9

I 

Câu 34: Tích phân  

ln ln

e

I x x x dx có giá trị là:

A I  2e B I  e C I e D I 2e

Câu 35: Tích phân

2

2 ln ln

e

x x

I dx

x



 có gái trị là:

A 2

3

I   B 2

3

I   C 2

3

I   D 2

3

I  

Câu 36: Biết

3 ln d

3 e

x a b c

x x

 



 , a, b, c số nguyên dương c4 Tính giá trị

S   a b c.

A S13 B S28 C S25 D S16

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x(t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]  (*) cho  ( )a, ( )  b a( )t b với t[ ; ].  Khi đó:

( ) ( ( )) '( )

b

a

f x dx f t t dt





 



 

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng 2

a x : đặt x | | sin ;a t t 2;  

 

   

 

2

x a : đặt

| |

; ; \ {0}

sin 2

a

x t

t

 

 

   

 

2

x a : x | | tan ;a t t 2;  

 

   

 

a x

a x



 hoặc

a x

a x



 : đặt xa.cos 2t

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích

phân

3 2

0

x dx I

x





 phải đổi biến dạng cịn với tích phân

3

0 1

x dx I

x





 nên đổi biến dạng

1

Câu 37: Biết

2

2

4 d

3

x x  a



  

 Khi a bằng:

A B 1 C D 2

Câu 38: Cho tích phân

1

2

1

I dx a

x



 



 ,a và b là số hữu tỉ Giá trị a là:

A 1

2 B

1

3 C

1

4 D

Câu 39: Giá trị

2

9 x dx a b

 

 a b,  a

b phân số tối giản Tính giá trị biểu

thức Tab

A T 35 B T 24 C T 12 D T 36

Câu 40: Đổi biến x2 sint tích phân

1

2

d

x x



 trở thành

A

d

t t 

 B

3

d

t t 

 C

6

dt t 

 D

6

dt 



Câu 41: Biết

2

1

d

6

a b

x

x x

 



  

 a, b sốnguyên dương 4 a b5 Tổng

a b

A 5 B 7 C 4 D 6

Câu 42: Tích phân   

3

1

I  x x dx có giá trị là:

A

6

I   B

3

I   C

6

I   D

3

I  

Câu 43: Tích phân

1

1

I dx

x

 

 có giá trị là:

A

I  B

3

I  C

4

I  D

6

I 

Câu 44: Khi đổi biến x tant, tích phân

1

d

x I

x

 

 trở thành tích phân nào?

A

3d

I t



 B

6

3 d

I t



 C

6

3 d

I t t



 D

6

1 d

I t

t 

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 Định lí

Nếu u x  v x  hàm số có đạo hàm liên tục a b;  thì: ( ) ( )'  ( ) ( ) ( ) ( )'

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

 

  Hay

b

a

udv

 uvb a



b

a

vdu



2 Phương pháp chung

 Bước 1: Viết f x dx  dạng '

udvuv dx cách chọn phần thích hợp f x  làm

 

u x phần lại dvv x dx'( )

 Bước 2: Tính duu dx' vdv v x dx'( )

 Bước 3: Tính '( )

b

a

vu x dx

 uvb a

* Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần. Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng ( )

b

x a

P x e dx

 ( ) ln

b

a

P x xdx

 ( ) cos

b

a

P x xdx

 cos

b x a

e xdx



u P(x) lnx P(x) x

e

dv x

e dx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn u phần f x  mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dvv dx' phần f x dx 

là vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm

BÀI TẬP

DẠNG 1:

Câu 1: Tích phân

2

sin ,

I x axdx a 



  có giá trị là:

A 3

6

I

a  

 B 3

6

I

a  

 C 3

6

I

a   

 D 3

6

I

a  



Câu 2: Biết 4 

1 x cos dx x

a b





  

 (a b, số nguyên khác 0) Tính giá trị ab

A ab 32 B ab2 C ab4 D ab12

Câu 3: Tính tích phân

π

cos d

I x x x cách đặt

2

d cos d

u x

v x x

  

 

Mệnh đề đúng?

A

π

2 π

0

1

sin sin d

I  x x x x x B

π

2 π

0

1

sin 2 sin d

I  x x  x x x

C

π

2 π

0

1

sin 2 sin d

I  x x  x x x D

π

2 π

0

1

sin sin d

I  x x x x x

Câu 4: Biết

2

6

cos sin

I x xdx a b xdx

 

 



    , a và b là số hữu tỉ Giá trị a

A

12 B

1

24 C

1 12

 D

24



Câu 5: Biếtrằng

1

cos d ( sin cos )

x x x a b c

 với a b c, , .Mệnhđềnàosauđâylàđúng?

A 2a b c   1 B a2b c C a b c  0 D a b c  1

Câu 6: Tính nguyên hàmI (x 2) sin 3xdx (x 2) cos 3x bsin 3x C a



      TínhM  a 27b Chọn

đáp án đúng:

A 6 B 14 C 34 D 22

Câu 7: Tính tích phân  

sin

x x x dx a b



 

  

 Tính tích ab:

A 3 B 1

3 C 6 D

2 Câu 8: Tích phân  

0

3x cos x xd







A 3

4  B

2

3

4  C

2

1

4  D

2

1

4  Câu 9: Tính  

0

1 cos d

x x x





 Kết

A

2



 B

2

3



 C

2

3



 D

2

2





Câu 10: Tính tích phân

3 0cos

x

dx a b

x 



 

 Phần nguyên tổng a b ?

A 0 B -1 C 1 D -2

Câu 11: Cho

2

2

tan ln

32 x

I x xdx b

a

 

    tổng ab

A 4 B 8 C 10 D 6

Câu 12: Tính  

2

2

sin cos d

x x x x





 Kết

A

2 

 B

2 

 C

3 

 D

2 



Câu 13: Cho tích phân

2

2 sin

I  x xdx a b Tính Aa b Chọn đáp án đúng:

A 7 B 10 C 6 D 2

DẠNG 2:

Câu 14: Cho  

0

d

a x

xe x  a

  Tìm a?

A 0 B 1 C 2 D e

Câu 15: Cho

1

2

0

d

x

A 0 B 1

4 C 1 D

1

Câu 16: Biết tích phân  

1

2x1 e dxx ab e

 , tích ab bằng:

A 1 B 1 C 15 D 20

Câu 17: Tìm a cho

.e x

a x

I x d  , chọn đáp án

A 1 B 0 C 4 D 2

Câu 18: Cho tích phân   

1

1 x

I  x e  dx Kết tích phân dạng I  e a Đáp án sau

đây đúng? A

2

a B

4

a C

5

a D

3

a

Câu 19: Tìm m để  

1

1 x

mx e dxe

 ?

A 0 B -1 C 1

2 D 1

DẠNG Câu 20: Cho

e

ln d

I x x x

.e

a b

c



 với a, b, c Tính T a b c

A 5 B 3 C 4 D 6

Câu 21: Kết phép tính tích phân  

1

ln 2x1 dx

 biểu diễn dạng a.ln 3b, giá trị

của tích

ab

A 3 B 3

2 C 1 D

3



Câu 22: Biết tích phân  

2

4x1 ln dx xaln 2b

 với a, bZ Tổng 2ab

A 5 B 8 C A1;2; 1 D 13

Câu 23: Tính tíchphân  

2

1 1 ln d

I  x  x x.

A ln

I   B ln 2

I   C ln

I   D ln 2

I  

Câu 24: Kết tích phân 022xlnx1dx3ln 3b Giá trị 3b là:

A 3 B 4 C 5 D 7

Câu 25: Biết

ln d

e

x

x a e b

x  

 với a b,  Tính Pa b

A P4 B P 8 C P 4 D P8

Câu 26: Cho biết tích phân    

1

7 ln d ln

I x x x a

b



     a, b số nguyên dương

Tìm mệnh đề mệnh đề sau:

Câu 27: Cho tích phân

1 ln e

I x xdx ae b

x

 

     

 

 , a và b là số hữu tỉ Giá trị 2a3b là:

A 13

2 B

13

4 C

13

 D 13

2



Câu 28: Giảsử

2

2

4ln

d ln ln

x

x a b

x



 

 ,với a b, làcácsốhữutỷ.Khiđó tổng 4a b

ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH 1 Diện tích hình phẳng

a)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn , trục hoành hai

đường thẳng , xác định:

b)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , liên tục đoạn hai

đường thẳng , xác định:

Chú ý:

- Nếu đoạn , hàm số khơng đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích hình phẳng giới hạn đường , hai đường thẳng ,

được xác định:

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP:

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn

đường

Phương pháp giải tốn

+) Giải phương trình

+) Nếu (1) vơ nghiệm +) Nếu (1) có nghiệm thuộc giả sử

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số đoạn dựa vào bảng xét dấu để tính

tích phân

( )

y f x a b; 

xa xb ( )

b

a

S f x dx

( )

y f x y g x( ) a b; 

xa xb ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

[ ; ]a b f x( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

( )

xg y xh y( ) yc yd

( ) ( ) d

c

Sg y h y dy

( ), ( ), ,

y f x y g x xa xb ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

( ) ( ) (1)

f x g x

 ( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

a b;    ( ) ( )  ( ) ( )

b

a

S f x g x dx f x g x dx





   

( ) ( )

f x g x a; b

 



 

     

1

2

( ) : ( )

( ) : ( )

( )

C y f x

C y f x

H

x a

x b

1 (C )

2

(C )

1( ) 2( )

b

a

S  f x  f x dx

a c1

y

O c2 b x

  

  

    

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1

2

c

 ( )

y f x y

O c3 b x

( ) b

a

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường Trong nghiệm nhỏ lớn

phương trình

Phương pháp giải tốn

Bước 1. Giải phương trình tìm giá trị

Bước 2. Tính trường hợp

BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y f x( ), TRỤC HOÀNH VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG xa x, b a b

Câu 1: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox

đường thẳng xa x, b a b

A  

b

a

f x dx

 B 2 

b

a

f x dx

 C  

b

a

f x dx

 D  

b

a

f x dx



Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên có diện tích

A  d  d

b c

a b

f x x f x x

  B  d  d

b c

a b

f x x f x x

 

C  d  d

b c

a b

f x x f x x

  D  d  d

b b

a c

f x x f x x

 

Câu 3: Cho hàm số f x  liên tục , có đồ thị hình vẽ Gọi S diện tích hình phẳng giới

hạn đồ thị hàm số f x , trục hoành trục tung Khẳng định sau đúng?

A    

0

d d

d

c d

S  f x x f x x B    

0

d d

d

c d

S   f x x f x x

C    

0

d d

d

c d

S   f x x f x x D    

0

d d

d

c d

S  f x x f x x

( ), ( )

y f x yg x S f x( ) g x dx( )





  , 

( ) ( )

f x g x a  b ( ) ( )

f x g x  ,

( ) ( )

S f x g x dx





 

O x

y

c

b

a

 

y f x

O x

y

c d

 

Câu 4: Diện tích hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường

thẳng xa, xb ab(phần tô đậm hình vẽ) tính theo cơng thức:

A  d

b

a

S  f x x B  d  d

c b

a c

S   f x x f x x

C  d

b

a

S   f x x D  d  d

c b

a c

S  f x x f x x

Câu 5: Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị  C đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C , trục hồnh hai đường thẳng x0, x2 (phần tơ đen)

A   f x dx

 B    

0 f x dx f x dx

 

C     f x dx f x dx

  D  

0 f x dx



Câu 6: Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S

A    

1

1

d d

S f x x f x x



  B    

1

1

d d

S f x x f x x



  

C  

2

d

S f x x



 D  

2

d

S f x x



 

Câu 7: Diện tích hình phẳngđược giới hạn đồ thị hàm số y x33x2, trục hoành hai đường thẳng

1

x , x4 A 53

4 B

51

4 C

49

4 D

25 x

y

2

3

2

O

O x

y

2

1



 

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

x y

x

 



, trục hoành đường thẳng x2là

A 3 ln 2 B 3 ln 2 C 3 ln 2 D 3 ln 2

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ycosx, trục tung, trục hoành đường thẳng

x

A 3 B 2. C 4 D 1.

Câu 10: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yex ex, trục hoành, trục tung

đường thẳng x 2

A

2

e

e

S   (đvdt) B

e

e

S   (đvdt) C

e

e

S   (đvdt) D

2

e

e

S   (đvdt) Câu 11: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yx2, trục hoành Ox, đường thẳng

1

x , x2

A

S B

3

S  C S 7 D S8

Câu 12: Cho parabol  P có đồ thị hình vẽ:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P với trục hoành

A 4 B 2 C 8

3 D

4

Câu 13: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường yx32x1, trục hoành, x1 x2

A 31

S  B 49

4

S  C 21

4

S  D 39

4

S 

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x24, đường thẳng x3, trục tung trục

hoành

A 22

3 B

32

3 C

25

3 D

23

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y xlnx, trục hoành đường thẳng xe

A

1

e 

B

1

e 

C

1

e 

D

1

e 

Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 1lnx x

 , trục hoành đường thẳng xe

bằng A 1

2 B 1 C

1

4 D 2

Câu 17: Hình phẳng giới hạn đường

1

yx  , x3 Ox có diện tích

A 8 B 4

3 C

16

3 D

20

Câu 18: Cho hình phẳng H giới hạn đường y x; y0; x4 Diện tích S hình phẳng H

bằng

A 16

S  B S 3 C 15

4

S  D 17

3

S 

O x

y

1

1

Câu 19: Cho hình phẳng hình vẽ Tính diện tích hình phẳng

A B C D

Câu 20: Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn đường yx22x, y0, x 10, x10

A 2000

S B S 2008 C 2008

3

S  D 2000

DẠNG 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y f x( ), yg x( ), xa x, b Câu 21: Cho hàm số y f x , yg x  liên tục a b;  Gọi  H hình giới hạn hai đồ thị

 

y f x , yg x  đường thẳng xa, xb Diện tích hình  H tính theo cơng thức:

A  d  d

b b

H

a a

S  f x x g x x B    d

b H

a

S  f x g x x

C     d

b H

a

S  f x g x  x D     d

b H

a

S f x g x  x

Câu 22: Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị hai hàm số f x1  f2 x liên tục đoạn a b;  hai đường thẳng xa, xb (tham khảo hình vẽ dưới) Cơng thức tính diện tích hình

 H

A 1  2 d

b

a

S  f x  f x x B  1  2 d

b

a

S  f x  f x x

C 1  2 d

b

a

S  f x  f x x D 2 d 1 d

b b

a a

S  f x x f x x

Câu 23: Cho hàm số f x  liên tục  1; Gọi  D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

y f x , y0, x1 x2 Cơng thức tính diện tích S  D cơng thức công thức đây?

A  

2

d

S f x x B  

2

d

S  f x x C  

2

d

S  f x x D  

2

d

S f x x

 H  H

9

ln

2 

9

ln 2

9

ln

2 

O x

y

a c1 c2 b

 

1

f x

 

2

Câu 24: Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol

yx , đường thẳng y  x trục hoành

đoạn 0; (ph ần gạch sọc hình vẽ)

A 3

5 B

5

6 C

2

3 D

7

Câu 25: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số yx2x2, yx2và hai đường thẳng

2;

x  x Diện tích (H) A 87

5 B

87

4 C

87

3 D

87 Câu 26: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

4

( ) :

1

x x

C y

x

  





, tiệm cận xiêm ( )C hai đường

thẳng x0,xa a ( 0) có diện tích Khi a

A 1e5 B 1e5 C 1 2 e5 D 1 2 e5

Câu 27: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x yex, trục tung đường

thẳng x1 tính theo cơng thức: A

1

ex d

S   x B  

1

ex d

S  x x C  

1

ex d

S  x x D

1

ex d

S x x



  

DẠNG 3:DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y f x( ), yg x( ) Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y2x2 đường thẳng y x

A 7

2 B

9

4 C 3 D

9 Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

yx y x là:

A 

B 1

6 C

5

6 D

1



Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x y x

A

12 B

1

13 C

1

14 D

1 15

Câu 31: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn  P :y x2 4, tiếp tuyến  P M2;0 trục Oy

A

S  B S 2 C

3

S  D

3

S 

Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường yx2,

3

y  x trục hoành

A 11

6 B

61

3 C

343

162 D

Câu 33: Cho  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ylnx1, đường thẳng y1 trục tung

(phần tơ đậm hình vẽ)

Diện tích  H

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 1) Thể tích vật thể:

Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm , Giả sử

hàm số liên tụctrên đoạn

Khi đó, thể tích vật thể Bđược xác định: 2) Thể tích khối trịn xoay:

Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , trục hoành

hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , trục hoành

và hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , hai đường thẳng , quanh trục Ox:

3) Thể tích giới hạn đồ thị (trịn xoay) PHƯƠNG PHÁP:

Tính thể tích khối trịn xoay:

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), y0, xa

( )

xb ab quay quanh trục Ox

( )

b

a

V  f x dx

B S x( )

x (axb) ( )

S x [ ; ]a b

( ) b

a

V S x dx

( )

y f x

xa xb

( )

xg y

yc yd

( )

y f x y g x( )

xa xb

2

( ) ( ) b

a

V f x g x dx

c y

O d

x

( ) : ( ) ( ) :

 



 

     

C x g y

Oy x 0

y c

y d

 ( )2

d y

c

V   g y dy

( ) : ( ) ( ) :

 



 

     

C y f x

Ox y 0

x a

x b

 2

( )

b x

a

V   f x dx

a

 ( )

y f x

y

O b x

( )

b

a

S x d x

V  

x

O a b

( )V

Trường hợp 2 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), yg x( ), xa

và xb a ( b) quay quanh trục Ox 2( ) 2( )

b

a

V  f x g x dx

BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY SINH BỞI MIỀN  D GIỚI HẠN BỞI

 ;

y f x y VÀ xa x, b KHI QUAY QUANH TRỤC Ox

Câu 1: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn a b;  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

y f x , trục hoành hai đường thẳng xa, xb ab Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức

A 2 d

b

a

V  f x x B 2 d

b

a

V   f x x C 2 d

b

a

V   f x x D  d

b

a

V   f x x

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo công thức

A  

3

2

d

V f x  x B  

3

2

1

d

V  f x  x

C  

3

2

1

d

V  f x  x. D  

3

2

d

V  f x  x

Câu 3: Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số y x23x2, trục hoành hai đường thẳng

1

x , x2 Quay  H xung quanh trục hoành khối trịn xoay tích

A

2

3 d

V  x  x x. B

2

2

1

3 d

V  x  x x

C  

2

2

1

3 d

V  x  x x D

2

3 d

V  x  x x

Câu 4: Cho hàm số yx có đồ thị  C Gọi D hình phẳng giởi hạn  C , trục hoành hai

đường thẳng x2, x3 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh

được tính cơng thức: A

2

d

x

V   x B

3

2

d x

V   x C

3 2

d x

V   x D

3

2

d x

V   x

Câu 5: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y x, trục Ox hai đường

thẳng x1; x4 quay quanh trục hồnh tính cơng thức nào?

A

4

d

V x x B

d

V  x x C

4

1

d

V  x x D

4

d

V  x x

O x

y

1

Câu 6: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường yx22x, trục hồnh, trục tung, đường thẳng x1 Tính thể tích V hình trịn xoay sinh (H) quay (H) quanh trục Ox

A 15

V   B

3

V   C 15

8

V   D

8

V  

Câu 7: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip  E có phương trình

2

1 25

x y

  Hình phẳng  H giới hạn

bởi nửa elip nằm trục hoành trục hoành Quay hình  H xung quanh trục Ox ta

khối trịn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đó:

A V 60 B 30 C 1188

25  D

1416 25 

Câu 8: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong yex, trục hoành đường thẳng x0, x1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A

e

V   B  

2

e

2

V   C  

2

e

V   D

2

e 

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY KHI CHO HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI:

 

y f x VÀ yg x QUAY QUANH TRỤC Ox

Câu 9: Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào?

A 12  22  d

b

a

V f x  f x  x B 12  22  d

b

a

V f x  f x  x

C 22  12  d

b

a

V f x  f x  x D 1  2  2d

b

a

V f x  f x  x

Câu 10: Cho hình phẳng  D giới hạn đường x0, x1, y0 y 2x1 Thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay  D xung quanh trục Ox tính theo cơng thức? A

1

2 1d

V   x x B  

1

2 d

V   x x C  

1

2 d

V  x x D

1

2 1d

V  x x

Câu 11: Cho hình phẳng  D giới hạn đường x0, x , y0 y sinx Thể tích V

của khối trịn xoay tạo thành quay  D xung quanh trục Ox tính theo công thức A

0

sin d

V x x

 

  B

0

sin d

V x x

 

 

C  

0

sin d

V x x

 

   D

0

sin d

V x x





O x

y

b

a

 

1

f x

 

2

Câu 12: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường yxex, y0,

x , x1 xung quanh trục Ox

A

2

e dx

V x x B

1

e dx

V x x C

1 2

e dx

V x x D

1

e dx

V x x

Câu 13: Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx y2; 0; x2 Tính thể tích V khối tròn

xoay thu quay  H quanh trục Ox

A

V  B 32

5

V  C

3

V   D 32

5 

Câu 14: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng  H giới hạn yx2 y x quanh trục Ox

A 72 10



(đvtt) B 72 

(đvtt) C 81 10



(đvtt) D 81 

(đvtt)

Câu 15: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yex

đường thẳng y0, x0 x 1 tính cơng thức sau đây? A

1

e dx

V  x B

1

e dx

V  x C

1

e dx

V  x D

1

e dx

V  x

Câu 16: Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol

 

: 

P y x đường thẳng d y: 2x quay xung quanh trục Ox

A  

2

2

2 d

 x  x x B

2

2

0

4 d d

 x xx x

C

2

2

0

4 d d

 x xx x D  

2

2 d

 xx x

Câu 17: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y 1 x2, y=0 quanh trục Ox có kết dạng a

b



Khi a+b có kết là:

A 11 B 17 C 31 D 25

Câu 18: Cho hình  H giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A2; 4, hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình  H

quay quanh trục Ox

A 16 15



B 32

5 

C 2

3 

D 22

5 

O x

y

2

Câu 19: Cho hình thang cong  H giới hạn đường yex, y0, x 1, x1 Thể tích vật thể

trịn xoay tạo cho hình  H quay quanh trục hoành A

2

e e





B  

2

e e

 



C

4

e



D  

2

e e

 



Câu 20: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y 1 x2, y0 quanh trục Ox

π

a V

b

 với a, b số nguyên Khi a b

A 11 B 17 C 31 D 25

Câu 21: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường yx24,

2

y x , x0, x2 quanh trục Ox

A 32π

5 B

32π

7 C

32π

15 D

22π

5 Câu 22: Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số y

x

 đường thẳng y0, x1, x4 Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng  H quay quanh trục Ox

A 2 ln 2 B 3



C 3

4 1 D 2 ln

Câu 23: Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y x

 ,

0

y , x1, xa, a1 quay xung quanh trục Ox

A V 1

a

 

  

  B

1

V

a 

 

  

  C

1

V

a 

 

  

  D

1

V

a

 

    

Câu 24: Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx2, y2x Thể tích khối tròn xoay

tạo thành quay  H xung quanh trục Ox bằng: A 32

15 

B 64

15 

C 21

15 

D 16

15 

NGUYÊN HÀM A - KIẾN THỨC CHUNG

1- Nguyên hàm

Định nghĩa:Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x 

gọi nguyên hàm hàm số f x  K F' x  f x  với xK

Định lí:

+ Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm f x  K

+ Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x  K có

dạng F x C, với C số

Do F x C C,  họ tất nguyên hàm f x  K Ký hiệu  f x d  xF x C

+ Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1:  f x d  x  f x   f ' x dx f x C Tính chất 2: kf x d  xk f x d   x với k số khác

Tính chất 3: f x g x dxf x d  xg x d  x

2 - Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K

3 - Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm cuu xủa h àm số hợp

x

d  x C

 du u C

 

1

1

x

1

x d x C 





   



 1  

u

1

u d u C 





   





1

x ln

d x C

x  

 1du lnu C

u  



2

1

x

d C

x  x



1

du C

u  u



x

x x

e d e C

 e du ueuC

 

x 0,

ln x

x a

a d C a a

a

   

 u  0, 1

ln u

u a

a d C a a

a

   



sin dxx  cos xC

 sin duu  cos uC

cos xdxsinx C

 cos udusinu C

2

1

x tan cos xd  x C

 12 u tan

cos ud  uC



2

1

x cot sin xd   x C

 12 u cot

sin ud   uC



  1 

d ax b ax b C

a

   



kx kx e

e dx C

k

 



 

1

1

dx ,

1

ax b

ax b c

a

 

 





 

      



 

 cosax b dx1asinax b   c

dx

lnax b c

ax b  a  

  c sinax bdx 1cosax b c

a



   



1 dx

ax b ax b

e e c

a

 

 

 tgax bdx 1ln cosax b c

a

    



1 dx

ln

px q px q

a a c

p a

 

 

 cotgax bdx 1ln sinax b c

a

   

 2

dx

arctgx c

a x a a

 2   

dx

cotg

sin ax b a ax b c



  



 2

dx

ln

a x c

a x a a x



 

 

 2   

dx

tg

cos ax b a ax b c 

B - BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT

Câu 1: Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục a b;  có đạo hàm a b;  (2): Mọi hàm số liên tục a b;  có nguyên hàm a b;  (3): Mọi hàm số đạo hàm a b;  có nguyên hàm a b; 

(4): Mọi hàm số liên tục a b;  có giá trị lớn giá trị nhỏ a b; 

A 2 B 3 C 1 D 4

Hướng dẫn giải Chọn B

Khẳng định (1): Sai, hàm số y x liện tục 1;1 khơng có đạo hàm x0 nên khơng thể có đạo hàm 1;1

Khẳng định (2): hàm số liêntục a b;  có nguyênhàm a b; 

Khẳng định (3): Đúng hàm số có đạohàm a b;  liên tục a b;  nên có nguyênhàm a b; 

Khẳng định (4): Đúng hàm số liên tục a b;  có giá trị lớn giá trị nhỏ

trên a b; 

Câu 2: Cho hai hàm số f x , g x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A f x g x dx f x dxg x dx

C f x g x dxf x dxg x dx

D kf x dxk f x  dx k0;k

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 3: Cho f x , g x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A  f x g x   dxf x d x g x  dx B 2f x dx2 f x dx

C f x g x dx f x dxg x dx. D f x g x dx f x dxg x dx

Hướng dẫn giải Chọn A

Ngun hàm khơng có tính chất nguyên hàm tích tích nguyên hàm Hoặc B, C, D tính chất nguyên hàm nên A sai

Câu 4: Khẳng định sau khẳng định sai? A kf x dxk f x  dx với k

B f x g x dx f x dxg x dx với f x ; g x  liên tục 

C d 1

1

x x x





 

 với   1

D  f x dx  f x 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có kf x dxk f x  dx với k sai tính chất k\ 0 

Câu 5: Cho hai hàm số f x , g x  hàm số liên tục, có F x , G x  nguyên hàm

 

f x , g x  Xét mệnh đề sau:

 I F x G x  nguyên hàm f x g x 

 II k F x   nguyên hàm k f x   với k

III F x G x    nguyên hàm f x g x    Các mệnhđề

A  II III B Cả mệnh đề C  I III D  I  II

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo tính chất ngun hàm  I  II đúng, III sai

Câu 6: Mệnh đề sau sai?

A f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x , g x  liên tục 

B  f x dx f x C với hàm số f x  có đạo hàm 

C f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x ,g x liên tục 

D kf x dx  k f x dx   với số k với hàm số f x  liên tục 

Mệnh đề: kf x dx  k f x dx   với số k với hàm số f x  liên tục  mệnh đề sai k 0 kf x dx  k f x dx  

Câu 7: Cho hàm số f x  xác định K F x  nguyên hàm f x  K Khẳng định đúng?

A f x F x ,  x K B F x  f x ,  x K

C F x  f x ,  x K D F x  f x ,  x K

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có F x  f x dx,  x K F x  f x ,  x K

Câu 8: Cho hàm số f x  xác định K Khẳng định sau sai?

A Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K với số C, hàm số

   

G x F x C nguyên hàm f x  K

B Nếu f x  liên tục K có nguyên hàm K

C Hàm số F x  gọi nguyên hàm f x  K F x  f x  với xK

D Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K hàm số Fx nguyên hàm f x  K

Hướng dẫn giải Chọn D

Dựa theo định lí trang 95 SGK 12 CB suy khẳng định A

Dựa theo định lí Sự tồn nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B Và C dựa vào định nghĩa nguyên hàm

Câu 9: Trong mênh đề sau, mệnh đề sai:

A Nếu hàm F x  nguyên hàm hàm f x thì F x 1 nguyên hàm

hàm f x 

B Mọi hàm liên tục K có nguyên hàm K

C Nếu hàm F x  nguyên hàm hàm f x thì  f x x d F x C, với C

số

D Nếu F x , G x  hai nguyên hàm hàm số f x  F x G x C, với C

hằng số

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 10: Cho f g, hàm số liên tục K Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai

A f x g x    dx f x dxf x dx g x  dx

B      

3

d

3

f x f x f x x C



C f x g x dxf x dxg x dx

D k f x  dxk f x  dx, (k: số)

DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 11: Khẳng định sau sai?

A dx x C B sin dxx  cosx C

C ln dxx C x

 

 D 1dx ln x C

x  



Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: ln dx x xlnx x C

Câu 12: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A e xxd exC B 12 d tan

sin x x  x C



C cos dx xs inx C D sin dx x cosx C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 12 d cot sin x x  xC



Câu 13: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A 0dxC (C số) B dx

x x

e e C

 (C số) C dx x 2C (C số) D

1

1 dx

n

n x

x C

n



 



 (C số, n)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Công thức cần có thêm điều kiện n 1

Câu 14: Biết f u duF u C Mệnh đề đúng?

A  f 2x1 d x2F2x1C B  f 2x1 d x2F x  1 C

C 2 d 2 1

f x x F x C

 D f 2x1 d xF2x1C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 2 d 2 d 2  1 2 1

2

f x x f x x  F x C

 

Câu 15: Khẳng đinh sau sai?

A a xxd axlna C a0;a1 B cosx xd sinx C C

2 x x xC

 d D 12 x C

x  x

 d

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì  0; 1

ln

x

x a

a x C a a

a

   

 d

Câu 16: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai:

A e dxx exC B sinxdxcosx C

C 2xdxx2C D 1dx ln x C

x  



Chọn B

Theo bảng nguyên hàm hàm sốthường gặp ta có sin xdx cosx C

Câu 17: Công thức nguyên hàm sau sai? A d

ln

 



x x

x C B sin dx x cosx C

C dxln x C

x D

d

tan

cos  

 x x C

x

Hướng dẫn giải Chọn D

Vì tan  12 cos

x

x

  nên 2 tan

cos

dx

x C

x  



Câu 18: Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 2x1

A  d 12 12

f x x x C

 B  d 12 12

4

f x x x C



C  f x dx2 2 x12C D f x dx2x12C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  d 2 d 1 14 1 1 12 12

4 4

f x x x xx  x C  x  x  C  x C

 

Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f x( )2x2 x

A

3

2

3

x x

x

  B

3

2

3

x x

x C

   C

3

2

x

x x C

   D 4x1

Hướng dẫn giải Chọn B

 

2 dx =

3

x x

x  x   x C



Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x 10x43x2 

A   2

f x dx x  x  x

 B  f x dx  10x53x22x C

C  

2

2

f x dx x  x  x C

 D  

2

2

f x dx x  x  C



Hướng dẫn giải Chọn C

   

d 10 d 2

2

f x x x  x x x  x  x C

 

Câu 21: Họ nguyên hàm hàm số  

f x x





A ln 3 x1C B ln3x1C C ln 3x 1 C D 1ln 3 x C Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có d 3x1 x

 1 d 3 1

3 3x x

 



 1ln

3 x C

  

Câu 22: Tìm nguyên hàm hàm số x2 x dx x

 

 

 

 

A

3

4 3ln

3

x

x x C

   B

3

3

4 3ln

3

x

x x C

  

C

3

4 3ln

3

x

x x

  D

3

3

4 3ln

3

x

x x C

  

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

3

2

2 d ln

3

x

x x x x x C

x

 

     

 

 



Câu 23: Nguyên hàm hàm số f x 22x

A

2

2

2 d

ln

x x

x C



 

 B

2

2

2 d

ln x x

x C



C d2 ln

x x

x C

 D

2

2

2 d

ln

x x

x C



 



Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có 2 d2x x4 dx x

2

4

ln ln

x x

C C



   

Câu 24: Tìm nguyên hàm x 21dx x



 ?

A x 21dx ln | |x lnx2 C x



  

 B x 21dx ln | |x C

x x



  



C

2

1 2

3

x

x C x

dx x x

C

  





 D x 21dx lnx C

x x



  



Hướng dẫn giải Chọn B

2

1 1

d d ln

x

x x x C

x x x x

  

      

 

 

Câu 25: Họ nguyên hàm hàm số f x  2x1 là:

A

2x1C B

2 13

3

x

C



 C  

3

2

3

x

C



 D  

3

3

4

x

C





Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có    

3

2

1 1d

1

2 1

2

x x

x x  C  C





Câu 26: Họ nguyên hàm hàm số f x e2x3

A  f x dx  e2x3C B  

x

f x dx e  C



C  f x dx  2e2x3C D  

3

x

f x dx e  C

 



 0

ax b ax b e

e dx C a

a

 

  

 e2x3dx 12e2x3C

Câu 27: Tìm nguyên hàm hàm số  

1 sin

2

f x

x



A

d

2 tan sin

2

x x

C

x   

 B

2

d

2 tan sin

2

x x

C

x  



C

d

cot

2

sin

x x

C

x   

 D

2

d

2cot sin

2

x x

C

x   



Hướng dẫn giải Chọn D

2

d

d 2

2

sin sin

2

x x

x x

      

  2cot

2

x C

  

Câu 28: Tìm nguyên hàm hàm số  

f x

x



A  f x dx 2xC B  f x dx2 2x C

C  d

f x x C

x

  

 D f x dxln 2xC

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có f x dx d 2x x

 d 2x 2xC

Câu 29: Nếu  d sin e

x

f x x x C

 thì

A f x  cosxex B f x cosxex C f x cosxex D f x  cosxexC

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có :  f x dxsinxexC  f x sinxex C cosxex

Câu 30: Tìm khẳng định sai? A

1

d

1

e

e x

x x C

e



 



 B

1

2 d

1

x x

x C

x



 





C exdxC e x D tan2x xd tanx x C

Hướng dẫn giải Chọn B

1

d

1

e

e x

x x C

e



 





d

x x

e xC e 



Sử dụng công thức

2

1 tan

cos

x

x

  , suy

2

tan d d tan

cos

x x x x x C

x

 

      

 

Nên tan2 x xd tanx x C Câu 31: Cho F x  nguyên hàm  

4

2x

f x

x



 Khi A

3

2

( )

x

F x C

x

   B  

3

2

3ln

x

F x   x C

C

3

2

( ) 3ln

3

x

F x   x C D

3

2

( )

x

F x C

x

  

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

4

2

2

2 3

d d

x

x x x

x x

  

   

 

 

3

2

3

x

C x

  

Câu 32: Họ nguyên hàm hàm số f x 2xsin 2x

A x22cos 2x C B 1cos 2

 

x x C C x22cos 2x C D 1cos

2

 

x x C

Hướng dẫn giải Chọn D

   

d sin d cos

2

    

 f x x  x x x x x C

Câu 33: Họ nguyên hàm hàm số  

 

2

1

sin

f x

x





A cotx2C B cotx2C

C  

 

3

2 cos

sin

x

C x



 

 D

 

 

3

cos

sin

x

C x



 



Hướng dẫn giải Chọn B

Áp dụng công thức

   

2

1

d cot

sin axb x a axb C



Ta có

   

2

1

d cot

sin x2 x  x C



Câu 34: Họ nguyên hàm hàm số f x excosx2018

A F x exsinx2018x C B F x exsinx2018x C

C F x exsinx2018x D F x exsinx2018C

Hướng dẫn giải Chọn A

  ex cos 2018 d

F x   x x exs inx2018x C (với C số) Câu 35: Tìm nguyên hàm hàm số f x exex

A  f x dx exexC B  f x dxexexC

C  f x dx exexC D f x dxexexC

Hướng dẫn giải Chọn D

 d  x xd x x

f x x e e xe e C

Câu 36: Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ex

A x

e C B x

e C C x

e C

  D x

e C

 

Hướng dẫn giải Chọn A

x x

e dx e C

  



Câu 37: Tìm nguyên hàm hàm số ysin(x1)?

A sin(x1)dx cos(x1)C B sin(x1)dxcos(x1)C

C sin(x1)dx(x1) cos(x1)C D sin(x1)dx(1x) cos(x1)C

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 38: Hàm số   x2

F x e nguyên hàm hàm số sau đây? A f x  2xex2

 B f x 2x e2 x2 C

C f x xex2 D f x x e2 x2 3

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có : F x  ex2  2xex2

Vậy f x 2xex2

Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) hàm số f x( )cos(2x3)

A F x( ) sin(2x3)C B ( ) 1sin(2 3)

F x  x C

C ( ) 1sin(2 3)

F x   x C D F x( )sin(2x3)C

Hướng dẫn giải Chọn B.

1

( ) cos(2 3) sin(2 3)

F x  x dx x C

Câu 40: Cặp hàm số sau có tính chất: có hàm số nguyên hàm hàm số lại? A f x sin 2x, g x cos2 x B f x ex, g x ex

C f x sin 2x, g x sin2 x D f x tan2x,   12 2

cos

g x

x



Lời giải Chọn C

Ta có sin d 1cos si

2 n

1

x x  xC  x C



Câu 41: Họ nguyên hàm hàm số f x( )tanx

A ln cosx C B 12 cos x C

  C ln cosx C D 12

cos xC

Hướng dẫn giải Chọn A

Có tan sin (cos ) ln cos

cos cos

x d x

xdx dx x C

x x

     

Câu 42: Cho F x  nguyên hàm hàm số   22 cos

f x

x



4

F  

  Kh

ẳng định đúng?

A F x 2 tanx3 B F x tanx4

C F x 2 tanx5 D F x  2 cotx5

Hướng dẫn giải Chọn C

 

2

d tan cos

F x x x C

x

  

Ta lại có

F  

  tan C C



      

Vậy F x 2 tanx5

Câu 43: Tìm khẳng định sai?

A tan2x xd tanx x C B

1

d

1

e

e x

x x C

e



 





C

1

2 d

1

x x

x C

x



 



 D exdxC e x

Hướng dẫn giải Chọn C

1

d

1

e

e x

x x C

e



 





d

x x

e xC e 



Sử dụng công thức

2

1 tan

cos

x

x

  , suy

2

tan d d tan

cos

x x x x x C

x

 

      

 

 

Nên tan2 x xd tanx x C Câu 44: Họ nguyên hàm hàm số  

1

f x

x





A ln 1x C B 1ln(1 )2

2 x C C ln 2 x C D

ln

2 x C

  

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: ln ln 2

1xdx  x C   x C



Câu 45: Cho hàm số f x  thỏa  

3

f x

x

 

 f  2 0 Mệnh đề đúng?

A f x 3ln 2 x B f x 2 ln 2 x

C f x  3ln 2 x D f x  2 ln 2 x

Hướng dẫn giải Chọn C

   d

f x  f x x d 2x x

 

 ln

2 x C

 

    



   3ln 2 x C

 2 0

Câu 46: Biết F x( ) nguyên hàm hàm f x( )sin 2x

F

  Tính F



      

A

6

F 

  B

3

6

F  

  C

1

6

F  

  D

5

6

F   

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: ( ) sin d 1cos

F x  x x  x C

Biết 1cos 1

4

F    C C

  Do

1

( ) cos 2

F x   x

Suy ra: 1cos

6

F        

Cáchkhác:

4

1

sin d

4 6

x x F F F F





   

       

            

       



Câu 47: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A ln 3xdx x C

 B e dxx exC

C sin x dx c x Cos  D 2 ln

x x

dx C



Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có 1 1ln

3xdx3 xdx3 x C

  , chọn ln

3xdx x C



Câu 48: Tìm nguyên hàm I  2x1dx A 2 13

3

I  x C B

2

I C

x

 



C 2 13

I  x C D

4

I C

x

 



Hướng dẫn giải Chọn C

     

3

1 3

2 1

2

3

2

2

x

x dx x dt  C x C

 

Câu 49: Tìm ab biết 11 ln ln ( 1)( 2)

x

dx a x b x C

x x



    

 

 ?

A ab B ab5 C ab11 D ab 5

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: 11 d d

( 1)( 2)

x

x x

x x x x

  

   

     

3

a b

   

 

Vậy a b

Câu 50: Tìm hàm số F x  biết F x sin 2x

F

 

A   1cos

2

F x   x B F x  cos 2x

C   1cos

2

F x  x D F x 2x 1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: sin d 1cos 2

x x  x C

 nên   1cos

2

F x   x C

Mà 1cos 1

2 2

F   C C

  Vậy  

1

cos

2

F x   x

Câu 51: Tìm nguyên hàm hàm số  

3

x

f x  x 

A  f x dxx3x2 C B  

3

d

3

x x

f x x  C



C  

2

d

4

x

f x xx  C

 D  

2

d

2

x

f x xx  C



Hướng dẫn giải Chọn C

 

3 2

2

d d

2 4

x x x x

f x x  x   x  Cx  C

 

 

Câu 52: Tính nguyên hàm

2

2

d

 





 x x

I x

x

A I 2x2  x ln x 3 C B I x2 x ln x3C

C I x2 x ln x 3 C D I 2x2 x ln x 3 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

2

2

3

 



x x

x

 2  

2

3

   





x x

x  

2

2

3

   



x

x

2

3

  



x

x

Vậy

2

d

 



 x x x

x

2

2 d

3

 

    



 

 x x

x

2

2 ln x  x x C

Câu 53: Hàm số   19 24 17 27

x

F x  e  x  x C nguyên hàm hàm số đây? A f x x22x1e3x1 B f x x22x1e3x1

C f x x22x1e3x1 D f x x22x1e3x1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:   3 19 24 17 118 24 127 72 51 18 24

27 27

x x x

   

3 2

1

27 54 27

27

x x

e  x x x x e 

     

Câu 54: Tính I 8s in3 cosx x dxacos 4x b cos 2x C Khi ab bằng:

A 3 B 1 C 1 D 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: I 8s in3 cosx x dx 4 s in4 xs in2x dx  cos 4x2 cos 2xC

1,

a b

     nên a b

Câu 55: ) Họ nguyên hàm hàm số f x  x sinx

A 1cosxC B

cos

x

x C

  C

2

cos

x

x C

  D x2cosx C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  

2

sin d cos

2

x

x x x  xC



Câu 56: Cho hàm số y f x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x  x sinx f  0 1 Tìm

 

f x

A  

1 cos

2

x

f x   x B  

2

cos 2

x

f x   x

C  

cos 2

x

f x   x D  

2

cos

x

f x   x

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:    

2

sin cos

2

x

f x  x x f x   xC

Do f  0 1 nên 1  1 CC2

Vậy  

cos 2

x

f x   x

Câu 57: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số   2

f x

x



 thỏa mãn F 5 7

A F x( )2 2x 1 B F x( ) 2x 1

C F x( ) 2x 1 10 D F x( )2 2x1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có F x( ) f x x d = d 2 2x1 x x C



Câu 58: Cho  

 

2

2

x x

f x x

 

 , F x  nguyên hàm f x  Tìm phương án sai?

A  

1

x x

F x

x

  

 B  

2

2

x x

F x

x

 





C  

1

x x

F x

x

  

 D  

2

1

x F x

x

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì ta có

 

2

2

1 2

'

1

x x x x

x x

     



  



   

2

2

x x

x

 



Câu 59: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x 3 ln 9x thỏa F 0 2 Tính F 1

A F 1 6 B F 1 3 C F 1 12 ln 3 2 D F 1 4

Hướng dẫn giải Chọn A

   d

F x  f x x= ln d x x= ln ln

x

C

 = 2.3xC

 0

F   2.30C 2 C0 Vậy F x 2.3xF 1 2.31 6

Câu 60: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  x 21 x



 , biết đồ thị hàm số yF x  qua điểm

1; 2 ,

A F x  ln x 1

x

   B F x  ln x

x

  

C F x  ln x

x

   D F x  ln x 1

x

  

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: F x  x 21dx 12 dx ln x C

x x x x

  

       

 

 

Mà ta có:  1 ln1   ln

1

F C C F x x

x

             

Câu 61: Tìm nguyên hàm hàm số f x  x sin 6x

A  

2

sin d

2

  

 f x x x x C B  

2

cos d

2

  

 f x x x x C

C  

2

sin d

2

  

 f x x x x C D  

2

cos d

2

  

 f x x x x C

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có  

2

cos sin d

2

   

 x x x x x C

Câu 62: Biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x

 F 1 3 Tính F 4

A F 4 5 B F 4 3 C F 4  3 ln D F 4 4

Chọn A

4

1

1

(4) (1) (4) (1)

dx F F F dx F

x     x  

 

Câu 63: Tìm nguyên hàm hàm số f x x3sin 2x

A  

4

1

d cos

4

x

f x x  xC

 B  

4

1

d cos

4

x

f x x  x C



C  

4

d cos

4

x

f x x  xC

 D f x dx3x22cos 2x C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có x3sin 2xdx

1 cos

 x  x C

Câu 64: Hàm số F(x) sau nguyên hàm hàm số ( ) 2

x f x

x x

 

  ?

A 2 ln x3ln x 1 C B ln

x x

 



C ln[(x1)(x3)] D ln(2 x1 )

Hướng dẫn giải Chọn D

2

3

( )

4 ( 1)( 3)

x x

f x

x x x x x

 

  

    

Hàm số F(x) có đạo hàm 1

x ngun hàm f x( )

Chọn F x ln 2 x1

Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F x m x2 33m2x24x3 nguyên hàm hàm số

 

3 10

f x  x  x

A m  1 B m  1 C m1 D m2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: F x 3m x2 22 3 m2x4

Khi F x  nguyên hàm hàm số f x 

 

2

3

2 10

m m

 

  

 

 

1

1

m

m m

  

  

 

Câu 66: Cho hàm số F x ax3a b x  22a b c x   1 nguyên hàm hàm số

 

3

f x  x  x Tổng a b

A 4 B 2 C 5 D 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: F x  f x 3ax22a b x  2a b c  3x26x2,  x R

 

3

2

2

2

a a

a b b a b

c c a b c

 

 

 

       

      

 

DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C

Câu 67: Nguyên hàm F x  hàm số f x 2x2x34 thỏa mãn điều kiện F 0 0

A

2x 4x B

4

2

4

3

x

x   x C

2

x x  x D

4

2

4

3

x

x   x

Hướng dẫn giải

Ta có:    

3

2

2 4

3

x x

F x  x x  dx   x C

   

3 4

3

2.0

0 0

3 4

x

F    C C F x  x   x

Chọn D

Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết F x’ 4x3– 3x22 F 1 3

A F x x4 –x32x3 B F x x4 –x3+2x3

C F x x4 –x32x3 D F x x4x32x3

Hướng dẫn giải

Ta có: F x F x d  x4x33x22dxx4x32xC

 1  1  13 2. 1 3

F         C C

Vậy F x x4 –x3+2x3

Chọn B

Câu 69: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )ex2x thỏa mãn (0)

F  Tìm F x( )

A

( ) e

2

x

F x  x  B

( ) 2e

2

x

F x  x 

C ( ) e

x

F x  x  D ( ) e

2

x

F x  x 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: f x x( )d ex2xdxexx2C

Do (0)

F  nên e0 02

2

C C

    

Vậy:  

e

2

x

F x  x 

Câu 70: Tìm nguyên hàm hàm số f x thỏa mãn điều kiện:   3cos ,

f x  x x F   

A

2

( ) 3sin

4

F x x  x  B

2

( ) 3sin

4

F x x  x

C

2

( ) 3sin

4

F x x  x D

2

( ) 3sin

4

F x x  x 

Hướng dẫn giải

Ta có: F x 2x3cosx dx  x23sinx C

2 2

3 3sin

2 2

F      C C 

Vậy

2

( ) 3sin

4

F x x  x 

Chọn D

Câu 71: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

f x x





1 (2) ln

2

F   Tính F(3) A F(3) 2ln5 3.  B (3) 1ln 5

2

F   C (3) 1ln

F   D

(3) 2ln 5

F   

Hướng dẫn giải Chọn C

Từ giả thiết ta có: f x dx( ) F x( )

Có: ( ) 1ln

2

f x dx dx x C

x

   



 

Theo đề: (2) 1ln 3

F   C

1

(3) ln

F

  

Câu 72: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   2x1x2, biết F 1 2

A   3 2 29

3

F x  x  x  x B   3 2

3

F x  x  x  x

C     2 2

F x  x x  x  x

  D  

3

2

2

3

F x  x  x  x

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có F x 2x1x2dx2x23x2 d x 3

2 3x 2x x C

   

Mà   3 29

1 1 2.1

3

F     C C

Vậy   3 2 29

3

F x  x  x  x

Câu 73: Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin

f x x

x

  thỏa mãn F( ) 

  là:

A

2

F( ) ot

16

x  c xx  B

2

F( ) ot

16

x c xx 

C F( )x  c xot x2 D

2

F( ) ot

16

x  c xx 

Hướng dẫn giải

Ta có:   12 cot

sin

F x x dx x x C

x

 

      

 



2 2

1 cot

4 4 16

F      C  C

   

Vậy

2

F( ) ot

16

x  c xx 

Câu 74: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x( )sin 2x, biết

F 

 

A   1cos 2

F x  x B   1cos

2 x

F x  

C   cos2

F x  x D   sin2

4

F x  x

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có :   sin d 1cos 2

F x  x x  x C ;

6

F  C

 

Vậy   1cos

2

F x   x 11 sin2 

2 x

    sin2

4

x

 

Câu 75: Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sinx đồ thị hàm số yF x  qua điểm M0;1 Tính

2

F 

 

A

2

F 

  B F



     

  C F 2



    

  D F



    

 

Hướng dẫn giải Chọn C

  sin d cos

F x  x x  x C

Vì đồ thị hàm số yF x  qua điểm M0;1 cos 0C 1 C2 Vậy F x  cosx2

cos 2

2

F     

 

Câu 76: Tìm nguyên hàm F x  hàm số   2

f x

x



 thỏa mãn F 5 7

A F x 2 2x 1 4 B F x 2 2x 1

C F x 2 2x 1 10 D F x 2 2x1

Hướng dẫn giải Chọn B

     

1

1

2

2

2 2 2

1

2 2

2

x

F x dx x dx C x C

x

 

       



 

 5 2.3

F   C C Vậy F x 2 2x 1

Câu 77: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x  2x2 3x 0

x



  Biết F 1 1 F x 

A F x  2x

x

   B F x  2ln x

x

  

C F x  2x

x

   D F x  2ln x

x

  

 

2 3

2 ln

f x dx dx x C

x x x

 

      

 

 

 1

F  C  C 

Câu 78: Nếu F x  nguyên hàm f x( )ex(1ex) F(0)3 F x( ) là?

A x

e x B ex x C x

e  x C D ex x

Hướng dẫn giải

Ta có: F x ex 1 exdxex1dxex x C

 

0 3

F  e  C  C Vậy F x ex x

Chọn B

Câu 79: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x 8 2  x3 Tính IF 1 F 0

A I0 B I  2 C I  16 D I 2

Hướng dẫn giải Chọn A

 

F x  8 2  x3dx  1 2 x4C

 1

F   C

 0

F   C

I

 F 1 F 0 0

Cách 2: I F 1 F 0  

1

d

f x x

  

1

3

8 2x dx

   

1

0

1 2x

   0

Câu 80: Tìm nguyên hàmF x của hàm số f x  ax b2x 0

x

   , biết F 1 1,F 1 4,

 1

f 

A  

3

4

x F x

x

   B  

2

3

4

x F x

x

  

C  

3

2 4

x F x

x

   D  

2

3

2 2

x F x

x

  

Hướng dẫn giải Chọn A

     

2

2

d d d

2

b ax bx ax b

F x f x x ax x ax bx x C C

x x

 

 

            



 

  

Ta có:

     

3

2

1

3

1 4

2

1 0 7

4

a

b C a

F

a

F b C b

f a b

C

 

   

 

 

  

  

       

  

  



    



 

 

Vậy  

3

4

x F x

x

  

DẠNG 4: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HÀM HỮU TỈ Dạng: ( )

( )

P x I

Q x



– Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

Chẳng hạn:

( )( )

A B

x a x b   x a x b

2

2

1

,

( )( )

A Bx C

với b ac

x m ax bx c x m ax bx c



     

     

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b  x a  x a  x b  x b

Ví dụ:Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a f(x) =

2

3

1

x x

x

 

 b f(x) =

1

x  x

 Giải

a Ta có: ( )

f x dx

 =

2

3

1

x x

dx x

 



 =

1

x dx

x

 

 

 



 

 =

2 x

2 + 2x + lnx + 1 + C

b Ta có: ( )

f x dx

 = 2

3

dx

x  x

 =

( 1)( 2)

dx x x

 dx = 1

1 dx

x x

 



 

 

 



= ln|x + 1| - ln|x + 2| + C = ln

x

C x

 



Nhận xét: Qua thí dụ trên:

Câu a) cần thực phép chia đa thức biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu

thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận từ bảng nguyên hàm

Câu b) nhận thấy:

2

1

x  x =

A B

x x =

( )

( 1)( 2)

A B x A B

x x

  

 

Ta đồng thức = (A + B)x + 2A + B (1)

Để xác định A, B (1) ta lựa chọn hai cách sau: Phương pháp đồng hệ số: Đồng đẳng thức, ta được:

0

2

A B A B

 

 

 





1

A B

  

  

Câu 81: Tìm 2d

x x x

 



A   4ln 3

F x  x C B F x 2x4 ln 3 x1C C   4ln

3

F x  x x C D F x 2x4 ln 3x 1 C Hướng dẫn giải

Chọn C

d

x x x

 

 d

3x x

 

   



 

 4ln

3

x x C

   

Câu 82: Nguyên hàm

2

1 d

x x

x x

  

A ln x x C

   B

 2

1 1 C x   

C

1

x C

x

 

 D

2

ln

x  x C

Hướng dẫn giải Chọn A

2

1

d d ln

1

x x x

x x x x C

x x

   

       

   

 

Câu 83: Họ nguyên hàm hàm số   21

1

f x x





A 1ln

2 x C

   B 1ln

2 x C x  

 C

1 ln x C x   

 D

2

1

ln

2 x  C

Hướng dẫn giải Chọn B

 

1

f x dx dx

x

 

  12 11 11 dx

x x

 

   

 

 

 1ln

2 x C x    

Câu 84: Hàm số sau không phải nguyên hàm hàm số  

  

1

2

f x

x x



  ?

A   1ln

2

x

F x C

x



 



B   1ln

5

x

F x C

x



 



C   1ln

5

x

F x C

x



  

 D  

1

ln 15

x

F x C

x



 



Hướng dẫn giải Chọn D

+ Ta có  

    

1 1

d d ln ln

2 2

F x x x x x C

x x x x

                    ln

5

x C x    

1

ln x C x      1 ln x C x    

Câu 85: Hàm số sau nguyên hàm hàm số  

2 f x x x  

A F x ln x ln x1 B F x ln x ln x1

C F x  ln x ln x1 D F x  ln x ln x1

Hướng dẫn giải Chọn D

 Phân tích hàm số   1

f x

x x

 



 Các nguyên hàm ln x 1 lnx C  nguyên hàm F x  ln x lnx1

Câu 86: Biết

   d x x x x   

 a.ln x 1 b.ln x2C Tính giá trị biểu thức a b

A a b 1 B a b 5 C a b  5 D a b  1

  

1

1 2

x A B

x x x x

 

 

   

   

1

x A x B x

      

1

2

A B A

A B B

                Nên:   

1

d d

1 2

x

x x

x x x x

  

   

     

 

2 ln x 3ln x C

    

Vậy a2,b 3 Vậy a b  1

Câu 87: Họ nguyên hàm hàm số y x 21 x



 là:

A ln x C x

  B ln x C

x

  C ex C

x

  D lnx C

x

 

Hướng dẫn giải Chọn A

2

1 1

d d ln

x

x x x C

x x x x

  

      

 

 

Câu 88: Tìm nguyên hàm hàm số   2 x f x x  

A 1ln

2 x  C B  

1

2 x 4 C C  2

1 4 C x   

D 2 ln x24 C

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có 2 dx x x     2 d dx x x   

 1ln

2 x C

  

Câu 89: Tìm nguyên hàm hàm số  

 2

1 f x x x  

A  

2

1

d ln x

f x x C

x



 

 B  

2

d ln

x

f x x C

x

 





C  

2

1

d ln x

f x x C

x



  

 D  

2

d ln

1

x

f x x C

x

  





Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:  

2

2 2

1 (1 ) 1

(1 ) (1 )

x x x

f x

x x x x x x

 

   

  

Khi

2

1

( )d ln ln(1 ) ln

2 1

x

f x x x x C C

x

     





Câu 90: Tìm họ nguyên hàm hàm số   2

f x

x x



 

A 1ln

2 x C x  

 B

1 ln x C x  

 C

1 ln x C x   

 D

1 ln x C x   

 

  

2

1 1 1

d d d ln

4 3

x

F x x x x C

x x x x x x x



 

       

        

  

Câu 91: Nguyên hàm 2 d

4

x

x  x 



A 1ln

6

x

C x

 

 B

1

ln

6

x

C x

 

 C

1

ln

6

x

C x

 

 D

1

ln

6

x

C x

 



Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

  

2

d 1

d ln

1

4

x x

x C

x x x

x x



  

  

 

 

Câu 92: Biết 2 d ln

2 1

x b

x a x C

x x x



   

  

 với a b,  Chọn khẳng định

khẳng định sau: A b

a  B

2

a

b   C a2b D

1

2

a

b  

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

 2  2

2

3 2

d d d d ln

2 1 1

x x

x x x x x C

x x x x x x

  

      

     

   

Suy 2 d ln ln ln

2 1 1

x b b

x a x C a x C x C

x x x x x



           

    



Suy

2

a b

b a

 

 

  

Câu 93: Tìm nguyên hàm hàm số   22

2

x f x

x x

 

 

A  d 2ln 2ln

3

f x x  x  x C



B  

2

d ln ln

3

f x x  x  x C



C  d 1ln 5ln

3

f x x  x  x C

 D  d 2ln 5ln

3

f x x  x  x C



Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

  

2

2 3

d d d

2 1

x x

x x x

x x x x x x

   

    

       

  

   

d d

2 5

ln ln

3 3

x x

x x C

x x

 

        

 

 

DẠNG 5: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 94: Họ nguyên hàm hàm số f x( )sinx1

A cosx x C B

sin

x

x C

  C cosxxC D cosxC

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: sinx 1  cosx x C

A F x sinx B   cos cos

2

x a x a

F x   

C   sin cos

2

x x

F x   a  a

    D   sin cos

x a x a

F x   

Hướng dẫn giải Chọn B

cos dx xsinx C



Ta có cos cos cos cos

2

x a x a

x a

 

  Đây nguyên hàm hàm số

  cos

f x  x

Câu 96: Họ nguyên hàm hàm số f x sin 2x

A sin2xC B cos2xC C cos2xC D cos2x C

Hướng dẫn giải Chọn D

si

)d n d

( 

 f x x  x x = 1cos 2

 x C = 12 cos2 1

 x C= cos2

2

 x C

Câu 97: Trong hàm số sau, hàm số có nguyên hàm hàm số g x tanx? (I)  

tan

f x  x (II)   22

cos

f x

x

 (III)  

tan

f x  x

A III B  II C   II , III D     I , II , III

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có tan2 1 12 tan C cos

x dx dx x

x

   

 

Câu 98: Tìm nguyên hàm hàm số f x sin 2xcos dx x

A  d 1cos 1sin

2

f x x x x C

 B  d 1cos 1sin

2

f x x  x x C



C  f x dx cos 2xsin 3x C D f x dxcos 2xsin 3x C

Hướng dẫn giải Chọn B

  sin cos d 1cos 1sin

2

f x  x x x  x x C

Câu 99: Nguyên hàm hàm số f x sin cosx x là:

A sin cosx x B 1cos

4 x C C

cos

4 x C

  D 1sin x C Hướng dẫn giải

Chọn C

sin d cos sin cos d

2

x x x

x x x   C

 

Câu 100: Họ nguyên hàm hàm số f x 4xsin2x

A

3

sin ln

3

x x

x C B

3

sin ln

3

x x

x C

C 1sin ln 4

x

x

x C

   D 1sin

ln 4

x

x C

 

Chọn C

Ta có:

   

4x sin

f x dx  x dx

  cos

2

x x

dx



 

   

 



1 cos

2

x x

dx

 

    

 

 1sin

ln 4

x

x

x C

   

Câu 101: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )tan2x

A  f x x( )d tanx x C B  f x x( )d tanx x C

C  f x x( )d tanx C D f x x x( )d  tanx C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có : 2

2

1

( )d tan d (1 tan 1)d d d tan

cos

f x x x x x x x x x x C

x

        

    

Câu 102: Nguyên hàm hàm số f x( )sin os5x c xlà

A ( ) os2 os8

4 16

f x dx c x c x C

 B ( ) os2 sin

4 16

f x dx c x x C



C ( ) 1sin os8

4 16

f x dx x c x C

 D ( ) os2 os8

4 16

f x dx  c x c x C



Hướng dẫn giải Chọn A

 

1 1

( ) sin sin os2 os8

2 16

f x dx x x dx c x c x C

  .

Câu 103: Tính I 8sin cos dx x xacos 4x b cos 2x C Khi đó, ab

A 1 B 2 C 3 D 1

Hướng dẫn giải Chọn A

8sin cos d

I  x x x4sin 4xsin 2xdx cos 4x2 cos 2xC

1,

a b

     Vậy a b

Câu 104: Nguyên hàmsin d2 x x

A 1 1sin

2x8 x C B

3

1 sin x C C 1 1sin

2x4 x C D

1

sin 2x8 x C Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: cos 1 1

sin d d sin sin

2

x

x x  x x xC x x C

 

 

DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LƠGARIT Câu 105: Tìm họ ngun hàm hàm số f x 52x

A 5 d2x x

5

ln5

x

C

  B 5 d2x x 25

2ln

x

C

 

C 5 d2x x

2 xln C

  D 5 d2x x

1

25

x

C x



 

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 5 d2x x 25 dx x 25

ln 25

x

C

  25

2ln

x

C

 

Câu 106: Tìm họ nguyên hàm hàm số   2018

e x.

f x 

A  

2018

d e

2018

x

f x x C

 B   2018

d e x

f x x C



C  

2018

d 2018e x

f x x C

 D  f x dxe2018xln 2018C

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo công thức nguyên hàm mở rộng

Câu 107: Hàm số nguyên hàm hàm số f x e1 4 x ?

A y  4e1 4 x B 1

4 x

y e C 1

4 x

y   e D y e1 4 x

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:   1

d d

4

x x

f x x e x  e C

 

Câu 108: Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x thỏa mãn  0

F  Tìm F x 

A   e

x

F x   x  B   2e

2

x

F x   x 

C  

e

2

x

F x   x  D  

e

2

x

F x  x 

Hướng dẫn giải Chọn D

   

ex d ex

F x   x x x C  0

2

F  e0

2

C

  

2

C

 

  e

2

x

F x   x 

Câu 109: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2018 ln2018 cosx  x f  0 2 Phát biểu sau đúng? A f x 2018xsinx1 B   2018 sin

ln 2018

x

f x   x

C   2018 sin

ln 2018

x

f x   x D f x 2018xsinx1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có f x 2018 ln 2018 cosx  xdx 01 8x sin

x C

  

Mà f  0 2

20 sin C

    C1

Vậy f x 2018xsinx1

A 3

3

x x

x e  e C B 4

3

x x

x e  e C

C

3

x x

x e  e C D

4

3

x x

x e  e C

Hướng dẫn giải

Ta có:    

3 6x

3x 3x 6x 4e

2 4e x 4x

3

x

e

e dx e d C

       

 

Chọn D

Câu 111: Hàm số F x( )exexx nguyên hàm hàm sốnào sau đây?

A f x( )ex ex 1 B

( )

2

x x

f x e e  x

C f x( ) e ex x1 D ( )

2

x x

f x e e  x

Hướng dẫn giải

Ta có: exex1dxexex x C

Chọn C

Câu 112: Họ nguyên hàm hàm số f x( )e2xe3x :

A

3

3

x x

e e

C 

  B

2

2

x x

e e

C 

 

C

3

2

x x

e e

C 

  D

2

3

x x

e e

C 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

x x

x x e e

e e dx C

 

   



Chọn B

Câu 113: Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 3 2x23x :

A

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

  B

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

 

C

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

  D

2

3

2.ln 3.ln

x x

C 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2 3

3

2.ln3 3.ln

x x

x x

dx C

 

   



Chọn A

Câu 114: Tìm nguyên hàm hàm số f x e ex  x

A  f x dxexC. B  f x dxex x C

C  f x dxexexC D  f x dxexC

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  f x dxex1 d xex x C

Câu 115: F x  nguyên hàm hàm số

2 .

x

A   2

x

F x  e  B   1 5

2

x

F x  e 

C   2

x

F x   e C. D   12 2

2

x

F x   e

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta thấy đáp án C 2

2

x x x

e C xe xe



 

    

 

 

nên hàm số đáp án C không nguyên hàm hàm yxex2.

Câu 116: Tìm nguyên hàm F x  hàm số   22

4

x x

x

x f x    

 

A   12

ln12

x

x x

F x   C B F x 12xx x C

C  

2

ln ln

x x

x

x x F x    

 

D  

2

2 ln

ln ln3

x x

x

x x F x    

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có   22 12

4

x x x

x

x

f x      x

 

 

Nên   12 d 12

ln12

x

x x x

F x   x x  C

Câu 117: Tính nguyên hàm hàm số  

5 2018e e 2017

x x

f x

x



 

   

 

A  

4 2018

d 2017ex

f x x C

x

  

 B  

504,

d 2017ex

f x x C

x

  



C f x dx 2017ex 504, 54 C x

  

 D f x dx 2017ex 20184 C

x

  



Hướng dẫn giải Chọn B

   5

4 504,

d 2017ex 2018 d 2017ex

f x x x x C

x



    

 

Câu 118: Tính2 72x x xdx A 84

ln 84

x

C

 B

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C

 C 84x

C

 D 8 ln 4x

C

 Hướng dẫn giải

Ta có: 72 84 84

ln84

x

x x x x

dx dx C

 

Chọn A Câu 119: Nguyên hàm

2

2 x

x

e

dx e 



 là:

A

1

3

5

3

x x

e   e C B

5

3

5

3

x x

C

1

3

5

3

x x

e   e C D

5

3

5

3

x x

e   e C

Hướng dẫn giải

Ta có:

5

2

2 1

3 3 3

3

3

2

2

3

x x x x

x x

x x x

x x

x

e e

dx dx e e dx e e dx e e C

e e e

 

      

     

  

            

     

 

   

Chọn D

Câu 120: Cho F x  nguyên hàm hàm số  

x

f x

e



  

1

0 ln

3

F   Tập nghiệm S phương trình 3F x lnex32

A S 2 B S   2; 2 C S  1; 2 D S  2;1 Hướng dẫn giải

Ta có:   d 1 d 1 ln 3

3 3

x

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

        

   

 

Do  0 1ln

F   nên C0 Vậy   1 ln 3

3

x

F x  x e 

Do đó: 3F x lnex3 2 x2

Chọn A

Câu 121: Hàm số   1 

e 24 17

27

x

F x   x  x C nguyên hàm hàm sốnào A f x x2 2x1 e 3x1 B f x x22x1 e 3x1

C f x x2 2x1 e 3x1 D f x x22x1 e 3x1

Hướng dẫn giải Chọn C

  e3 19 24 17 3.e3 19 24 17 e3 19 24 17

27 27

x x x

F x   x  x     x  x   x  x 

   

   

       

3 3

1

3.e 24 17 e 18 24 e 27 54 27 e

27 27

x x x x

x x x x x x x

   

 

            

Câu 122: Cho hai hàm số F x x2ax b e  x f x   x23x6ex Tìm a bđể F x 

nguyên hàm hàm số f x 

A a 1,b 7 B a 1,b 7 C a 1,b7 D a 1,b

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có F x   x22a x a b e    x  f x  nên

6

a a

a b b

   

 



 

   

 

Câu 123: Cho F x ax2 bxce2x nguyên hàm hàm số f x 2018x23x1 e 2x khoảng  ;  Tính T  a 2b4c

A T  3035 B T 1007 C T 5053 D T1011

Vì F x ax2bxce2x nguyên hàm hàm số f x 2018x23x1 e 2x khoảng  ;  nên ta có: F x   f x , với x   ; 

 

   

2ax x 2b 2a 2c b e x 2018x 3x e x

        , với x   ;  2018

2

2

a

b a

c b

  

   

   

1009 2021

2 2023

4

a

b

c

        

 

   

Vậy T  a 2b4c 1009 2021 2023

2

   

     

    3035

Câu 124: Biết F x ax2bx c e  x nguyên hàm hàm số f x 2x25x2ex  Tính giá trị biểu thức f F  0 

A

e

 B

20e C 9e D 3e

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

          

2

x x x x

F x  ax bx c e    ax bx c e   ax b e   ax bx c e 

   

2 x

F x   ax  a b x b c e    

Vì F x ax2bx c e  x nguyên hàm hàm số f x 2x25x2ex  nên:

       

, x x,

F x  f x  x   ax  a b x b c e      x  x e  x 

2

2

2

a a

a b b

b c c

   

 

 

     

     

 

Như F x   2x2 x 1exF 0   2.02 0 1e0  1 Bởi f F  0  f 1 2.125.1 2 e9e

DẠNG 7: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BIẾT HÀM f x Câu 125: Cho hàm số y f x  thỏa mãn '( )

2

f x

x



 , f(1)1 Tính f(5)

A f(5) 2ln3 1  B (5) 1ln

f  C f(5) ln 2 D f(5) ln 1 

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: ( ) '( )d d 1ln

2

f x f x x x x C

x

    



 

Lại có (1) 1ln 1

f   C C ( ) 1ln 1

2

f x x

   

Câu 126: Cho hàm số f x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x  x sinx f  0 1 Tìm f x 

A  

cos 2

x

f x   x B  

2

cos 2

x

f x   x

C  

cos

x

f x   x. D  

2

1 cos

2

x

f x   x

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có f x  x sinx  

cos

x

f x x C

    ; f  0 1  1 C1C 2 Vậy  

2

cos 2

x

f x   x

Câu 127: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  3 cosx f  0 5 Mệnh đề đúng? A f x 3x5sinx2 B f x 3x5sinx5

C f x 3x5sinx5 D f x 3x5sinx5

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có f x 3 5cos xdx3x5sinx C

Lại có: f  0  5 3.0 5sin 0 C 5 C5 Vậy f x 3x5sinx5

Câu 128: Tìm hàm số y f x  biết f x x2xx1 f  0 3

A  

4

3

4

x x

f x    B  

3

f x  x 

C  

4

3

4

x x

f x    D  

4

3

4

x x

f x   

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có f x x2xx1 2

x x x x

    x3x Suy    

4

d

4

x x

f x  x x x  C mà f  0  3 C3 Vậy  

4

3

4

x x

f x   

Câu 129: Cho hàm số f x  xác định \ 1  thỏa mãn  

1

f x

x

 

 ,

 0 2017

f 

, f  2 2018 Tính S f  3  f  1

A S  B Sln C Sln 4035 D S1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có  d d ln 1

f x x x x C

x

   



 

Theo giả thiết f  0 2017, f  2 2018 nên    

   

ln 2017 ln 2018

f x x x

f x x x

    



   



Do S  f  3  f  1 ln 22018 ln 2 20171

Câu 130: Cho hàm số f x  xác định \ 2 thỏa mãn  

2

x x

f x  

 ,

 0

f 

A 3 20 ln 2 B ln C 12 D 10ln

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có   1d

x

f x x

x

 



 3 2 7d

x

x x

 





 d

2 x

x

 

   



 



3x ln x C

     

 

1

3 ln ,

3 ln ,

x x C x

x x C x

    

   

     

 

Xét  2; , ta có f  0 13.07 ln 2C1 1C1  1 7ln

 2 3.2 ln 1 ln 2

f

     77 ln

Xét  ; 2, ta có f  4 2 3. 4 7 ln 2C2 2 C2 147 ln

 3 3. 3 ln1 14 ln 2

f

        5 ln

Do f  2  f  3 12

Câu 131: Cho hàm số f x  xác định trên\ 1 thỏa mãn   ;

f x

x

 

 f  0 1 f 1  f  2 2

Giá trị f  3

A 2ln B 1 ln 2 C 1 ln 2 D 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:    d d 3ln

1

f x f x x x x C

x



    



 

+) Với x  1 f x 3 lnx1C1

Ta có: f  0  1 C11 f 1 3 ln 1

+) Với x  1 f x 3 ln x 1C2

Ta có: f 23 ln1C2 C2

Từ f  1  f  2 23ln 1 C2 2C2  1 3ln

 3 ln ln

f

     

Câu 132: Cho hàm số f x  xác định \ 0  thỏa mãn1    

2

3

1

x f x

x



  , f  1 1 f  1 2 Giá trị biểu thức f 2  f  2

A 27 ln

4  B

3

4 ln

4 C 4 ln D

15

4 ln  Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

 

2

f x x

x x

   

   

     

2

1 2

2

1

2 ln

2

1

2 ln

2

f x x x C x

x

f x x x C x

x



    

  

      



Theo giải thiết

 1 2

Vậy   2 ln 12

2

f x x x

x

    x0   2 ln  12

2

f x x x

x

     x0

Từ suy  2 23 ln

f     2 31 ln

f  

 2  2 27 ln

f f

    

Câu 133: Hàm số f x  xác định, liên tục  có đạo hàm f x  x1 Biết f  0 3 Tính f  2  f  4 ?

A 10 B 12 C 4 D 11

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  

 

1

1

x x

f x

x x

 

   

  



Khi x1    

2

1

1 d

x

f x  x x  x C Khi x1    

2

2

1 d

2

x

f x   x x  xC

 



Theo đề ta có f  0 3 nên C2 3

 

2

3

x

f x  x

    

  x1

Mặt khác hàm số f x  liên tục x1 nên      

1

lim lim

x f x x f x  f

2

1

1

lim lim

2

x x

x x

x x C

 

 

      

        

   

   

1

1

1

2 C

 

      

  C14

Vậy x1  

2

4

x

f x   x  f  2  f  4 12

Câu 134: Biết hàm số y f x  có f x 3x22xm1, f  2 1 đồ thị hàm số y f x  cắt

trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x 

A

3

x x  x B

2 5

x  x  x C

2x x 7x5. D

4

x x  x

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có f x 3x22x m 1 d xx3x21m x C 

Theo đề bài, ta có  

 

 

 

2 12

3 5

0 5

f m C m

f x x x x

C

f C



       

 

      

  

 

     

 



Câu 135: Cho hàm số f x  xác định \2;1 thỏa mãn   2

2

f x

x x

 

  f  3  f 3 0

Giá trị biểu thức f 4  f  4

A 0 B 1ln

3

 C 1ln

3 D

1 ln Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:  

  

2

1 1 1

2

f x

x x x x x x

 

      

Suy ra:    d 1ln 1ln

3

f x  f x x x  x C

 

   

   

   

1

1

ln ln

3

1

ln ln

3

1

ln ln

3

x x C x

f x x x C x

x x C x



    

  

        

 

      

 

Mà  3  3 1ln 3 1ln 1ln 1 3 1 1ln 1ln

3 3 3

f   f   C   C  C C   

   

1 1 1

4 ln ln ln ln ln

3 3 3

f f C C

          

Câu 136: Cho hàm số f x  xác định \1;1 thỏa mãn   21

1

f x

x

 

 Biết

 3  3

f   f  1

2

f   f   

    Tính T  f  2  f  0  f  4

A ln9

T   B ln6

5

T   C 1ln9

2

T   D 1ln6

2

T  

Hướng dẫn giải Chọn C

Cách 1:

Trên khoảng  ; 1  1;: ( )f x  f x dx( ) 2

1

dx x

 



1

ln

2

x

C x



 



1

ln

2

x

C x



 



Trên khoảng 1;1: ( )f x f x dx'( ) 2

1

dx x

 



1

ln

2

x

C x



 



1 ln

2

x C x



 



Theo đề

 3  3

1

2

2

f f

f f

  

 

    

  

   



   



nên

2

0

C C

  

 

Suy

1

ln ( ; 1) (1; )

2

( )

1

ln +1 ( 1;1)

2

x

x x

f x

x

x x

 

    



 

 



  

 



 2  0  4

T f f f

     1ln 1ln1 1ln3

2 2

    1ln9

2

 

Cách 2:

Với x 1, ta có: f x  f x dx 21

1dx

x

 

 1ln

2

x

C x



 



Vì hàm số có đạo hàm điểm thuộc \1;1 nên hàm số liên tục khoảng

Do đó:  

1 ,

,

,

1

ln

1

ln

1 ln

1

x

x

x

x

C x

x

f x C

x x

C x

 



 

  

 

  

  

 

 



 



Theo giả thiết:

 3  3

1

2

2

f f

f f

  

 

    

  

   



   



1

2

1

ln ln

2

ln ln

3

C C

C C



   

   

    

 

1

0

C C

C

 

  

 

Vậy T  f 2  f  0  f  4 ln 1 ln1 2 ln3 3

C C C

      ln9

5

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1 Đổi biến dạng

Nếu :  f x dx( ) F x( )C với u t hàm sốcó đạo hàm :

( ) ( ( ))

f u duF  t C



1.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn x t ,  t hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx' t dt

 Bước 3: Biến đổi : f x dx( )  f  t ' t dtg t dt 

 Bước 4:Khi tính :  f x dx( ) g t dt( ) G t( )C

1.2 Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

Dấu hiệu Cách chọn

2 a x

Đặt x a sint; với ; 2

t   

  x a cost; với t0;

2 x a

Đặt a sint

x ; với ; \ 0 

2

t   

 

a x

cost



với 0; \

t    

 

2 a x

Đặt x a tant; với ; 2

t    

  x acott với t0;

a x a x





a x a x



 Đặt xacos t2

xabx Đặt x a ( – )b a sin t2 2

1

a x Đặt xatant ; với t 2;

 

 

  

 

2 Đổi biến dạng

Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x t Trong  t với đạo hàm (' t hàm số liên tục) ta :

   

( ) ' ( ) ( )

f x dx f  t  t dt  g t dtG t C

  

2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn t= x Trong  x hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt' t dt

 Bước 3: Biểu thị : f x dx( )  f  t ' t dtg t dt( )  Bước 4:Khi : I  f x dx( ) g t dt( ) G t( )C

Dấu hiệu Cách chọn

Hàm số mẫu số có t mẫu số

Hàm số : f x ;  x  t  x

Hàm   s inx+b.cosx

.s inx+d.cosx+e

a f x

c

 tan ; osx

2

x

t c  

 

Hàm  

  

1

f x

x a x b



 

Với : x a 0 x b 0

Đặt : t x a  x b Với x a 0 x b 0 Đặt : t      x a x b

BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu Cho hàm số   22

1

x f x

x



 Khi đó:

A  f x dx  2 ln 1 x2C B  f x dx  3ln 1 x2C

C    2

4 ln

f x dx x C

 D    2

ln

f x dx x C



Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

1 2x

ln

1

d x dx

x C

x x



   

 

 

Chọn D

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2 4

x f x

x x

 

  :

A 1.ln 4

2 x  x C B

2

ln x 4x4 C

C

2 ln x 4x4 C. D

4 ln x 4x4 C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

4

2 1

.ln 4

4 4

d x x

x

dx x x C

x x x x

 



    

   

 

Chọn A

Câu Họ nguyên hàm hàm số

2

3 ( )

4

x f x

x



 là:

A 3ln x34C B 3ln x34C

C

ln x 4 C D

ln x C

  

Hướng dẫn giải

Ta có:  

3

3

3

4

ln

4

d x x dx

x C

x x



   

 

 

Chọn C Câu Tính

3

( )

1

x

F x dx

x

 

A F x( )ln x4 1 C B ( ) 1ln 4

F x  x  C

C ( ) 1ln

F x  x  C D ( ) 1ln

3

F x  x  C

Ta có:

3

4

4

1 ( 1)

ln

1 4

x d x

dx x C

x x



   

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

3

4

4

1 ( 1)

ln

1 4

x d x

dx x C

x x



   

 

 

Chọn B

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x





A ln cosx 3 C B 2 ln cosx 3 C C ln cos

2

x

C



  D 4 ln cosx 3 C

Hướng dẫn giải

Ta có: sin cos 3 ln cos

cos cos

d x

x

dx x C

x x

 

    

 

 

Chọn A

Câu Nguyên hàm hàm số: ysin x cosx3 là:

A 1cos4

4 x C B

4

1 sin

4 x C C

3

1 sin

3 x C D

2

cos x C

 

Hướng dẫn giải

Ta có:  

4

3 sin

sin cos sin sin

4

x

x x dx x d x  C

 

Chọn B

Câu Tínhcos sinx 2x dx A 3sin sin

12

x x

C



 B 3cos cos

12

x x

C





C

sin

x C

 D

sinx cos x C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

3

2 sin

cos sin sin sin

3

x

x x dx x d x  C

 

Chọn C

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x tanx là:

A ln cosx C B ln cosx C

C

tan

x C

 D ln cos xC

Hướng dẫn giải

Ta có: tan sin   ln cos

cos cos

d cosx x dx

x dx x C

x x

     

  

Chọn B

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( )

3 x x

e f x

e



A ex 3 C B 3ex 9 C

C 2 ln ex3C D ln ex3C

Hướng dẫn giải

Ta có:  3 ln

3

x x

x

x x

d e e

dx e C

e e



   

 

 

Chọn D

Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số f x( )2 2x x2 là:

A

1

ln 2.2x C

 B 2

ln

x

C

 C

ln 2x C

 D ln 2.2x2C Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2 ln 22  2 22

ln ln ln

x x x x

x dx x  d  C

  

Chọn B

Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f x( )2xex2 là:

A

2 x

e C



 B

2

2 x

e C



C exC D ex2 C

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 x e dxx2 d e x2 ex2 C

Chọn D

Câu 12 Tính x e x21dx

A ex21C B 1

2

x

e C

C 1 2

x

e  C D 1

2

x

e  C

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 ( 1)

2

x x x

I xe dx d e   e  C

Chọn C

Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số f x  lnx x



A  f x dxln2x C B  d 1ln2

f x x x C



C  f x dxlnxC D  d x

f x xe C

 Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  f x dxln d lnx  x

ln

2 x C

 

Câu 14 Nguyên hàm lnxdx x 0

x







A 1

ln ln

2 x x C B

2

ln

x xC C

ln xlnx C D

ln

x x C

Ta có lnxdx 1dx lnxdx

x x x



 

   1d ln d ln  ln 1ln2

2

x x x x x C

x

    

Câu 15 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22 ln( 1)

x

f x x

x

 

 là:

A 1ln (2 1) C

2 x   B

2

ln(x 1) C

C 1ln (2 1) C

2 x   D

2

1

ln ( 1) C

2 x  

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2

2

2

ln( 1) ln( 1) d(ln( 1)) ln ( 1) C

1

x

x dx x x x

x        

 

Chọn D Câu 16 Tính

.ln

dx

x x



A lnx C B ln | |x C

C ln(lnx) C D ln | lnx | C

Hướng dẫn giải

Ta có: ln  ln ln

.ln ln

d x

dx

x C

x x  x  

 

Chọn D

Câu 17 Họ nguyên hàm x.3 x21dx

A 1 (3 1) .

8 x  C B

2

3

( 1)

8 x  C C

2

3

( 1) x  C D

2

1

( 1) x  C Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có x.3 x21dx    

1

2 3

1

1 d

2 x x

     

4 3

3

8 x C

   33  4

1

8 x C

  

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ

Nếu  f x dxF x C  f u x   'u x dxF u x  C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I  f x dx, ta phân tích f x g u x u x   '  ta thực phép đổi biến số tu x , suy dtu x' dx

Khi ta nguyên hàm: g t dtG t C G u x  C

Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t u x 

HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 18 Cho f x dx( ) F x( )C Khi với a  0, ta có  f(axb dx) bằng:

A (a ) C

2aF x b  B a F (ax b ) C

C 1F(ax b) C

a   D F(axb) C

Ta có: I  f ax b dx  

Đặt: t ax b dt adx 1dt dx a

     

Khi đó: I f t dt  1F t  C

a a

   

Suy ra: I 1F ax b  C a

  

Chọn C

Câu 19 Hàm số f x( )x(1x)10 có nguyên hàm là:

A

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x     C B

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x     C

C

11 10

( 1) ( 1)

11 10

x x

C

 

  D

11 10

( 1) ( 1)

( )

11 10

x x

F x     C

Hướng dẫn giải

Ta có: I x 1 x10.dx Đăt: t   1 x dtdx x,  1 t

Khi   10 11 10 12 11

1 ( )

12 11

I  t t dt t t dt t  t c

Suy 1 12 1 11

12 11

I  x  x C

Chọn A Câu 20 Tính x2

(1 )

d x x



 thu kết là:

A  

ln x x 1 C B ln x 1x2 C

C

2

ln

x

C x

 

D

2

1 ln

2

x C x 



Hướng dẫn giải

Ta có: x2 2x 2

(1 ) (1 )

d xd

x x  x x

 

  Đặt: ,

2

t x  dtx dx x  t

Khi đó:

 

2

1 1 1

.ln ln

2 2

t x

I dt C I C

t t t x



     

 



Chọn D

Câu 21 Tínhx x 13dx :

A    

5

1

5

x x

C

 

  B    

5

1

5

x x

C

 

 

C

5

3

3

5

x x x

x C

    D

5

3

3

5

x x x

x C

   

Hướng dẫn giải

Ta có: I x x 13dx

Đặt: tx 1 dtdx x,  t

Khi đó:    

5

3

1

5

t t

I  t t dt t t dt  C

 

Suy ra:    

5

1

5

x x

I     C

Chọn B

Câu 22 Xét I x34x4 3 d5 x Bằng cách đặt: u4x43, khẳng định sau đúng? A 5d

16

I  u u B 5d

12

I  u u C I u u5d D 5d

4

I  u u

Hướng dẫn giải Chọn A

4 3

4 d 16 d d d

16

u x   u x x ux x

5

1 d 16

I u u

  

Câu 23 Cho 2x3x2 d6 xA3x28B3x27C với A, B C Giá trị biểu thức 12A7B

A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7 Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t3x2

3

t

x 

  1d d

3 t x

 

Ta có: 2 d6 3

t

t t



  7+2 6d

9 t t t

 

8

2

9

t t

C

   3 28 3 27

36 x 63 x C

    

Suy

36

A ,

63

B , 12 7

36 639 Câu 24 Nguyên hàm 2

1

x dx

x 

 là:

A lnt C, với t x21 B lnt C, với tx2 1

C 1ln

2 t C, với

2

1

tx  D 1ln

2 t C

  , với tx21

Hướng dẫn giải Đặt t x2 1 dt2xdx

2

1 1

ln

1 2

x

dx dt t C

x t

    



 

Chọn C

HÀM CHỨA CĂN THỨC

Câu 25 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  2x3 A  d 2

3

f x x x x C

 B  d 12 3

3

f x x x x C



C  d 22 3 3

f x x x x C

 D  f x dx 2x 3 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét I  2x3 d x

Đặt 2x 3 t

2

t x

2

d t d

I t t t t

3t C

   

3

1

2

3 x C

    d 12 3

3

f x x x x C

    

Câu 26 Hàm số F x  nguyên hàm hàm số

1

y x ?

A    

3

F x  x C

B   43 14

3

F x  x C

C   3 3

1

4

F x  x x C D   34 13

4

F x  x C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

1d

I  x x

Đặt: t x1

1

t x

   3 dt2 tdx

2

.3 d

I t t t

 

3 dt t



4t C

  33 14

4 x C

   3 3

1

4 x x C

   

Vậy   3 3

1

4

F x  x x C

Câu 27 Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x

x





A  d 2

f x x x C

 B  f x x d  2x 1 C

C  f x x d 2 2x 1 C D  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 



Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt 2x 1 t

2x t

   dxtdt

Khi ta có 1d x x

  12tdtt  dt

 

2t C

 

2 x C

  

Câu 28 Một nguyên hàm hàm số: f x( ) x 1x2 là:

A  

3

1

( )

3

F x  x B  

2

1

( )

3

F x  x

C  

2 2

2

( )

2

x

F x  x D  

2

1

( )

2

F x  x

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

I x x dx

Đặt: 2

1

t x t  x t dtx dx Khi đó: I

3

3

t t t dt t dt C

   

Suy ra: I  

3

1

3 x C

  

Chọn A

Câu 29 Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x  x x là:

A 1 1 23

3 x C B  

3

1 x C

  

C  23

2 1x C D  23

1

3 x C

Ta có:

2

I  x x dx

Đặt: t  1x2 t2  1 x2 2tdt2xdx

Khi đó: I  

3

2

3

t

t t dt t dt K

      

Suy ra: I  23

1

3 x C

   

Chọn D

Câu 30 Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x x x là:

A 33 17 33 15

21 x 15 x C B    

6

3

1

3

18 x 12 x C C 133 13 33 1

9 x  x C D    

4

3

1

3

12 x 3 x C Hướng dẫn giải

Ta có:

3

I x x dx Đặt: t 33x 1 t3 3x 1 t dt2 dx

Khi đó:  

3

2

1 1

3 3

t t t

I   t t dt t t dt   C

 

 

Suy 1 33 17 133 15

3

I   x  x C

 

Chọn A

Câu 31 Cho I x3 x25dx, đặt u x25 viết I theo u du ta

A

( )d

I  u  u u B

d

I u u C

( )d

I  u  u u D

( )d

I  u  u u

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt u x25 2

5 d d

u x u u x x

    

Khi đó:

5d

I x x  x 2  

5d d

x x x x u u u u

     2

5 d

u u u

 

Câu 32 Cho

4

1 d

I x  x x u 2x1 Mệnh đềnào sai?

A  

3 2

1

1 d

I  x x  x B  

3 2

1 d

I u u  u

C

3

1

1

2

u u

I    

 

D  

3 2

1

1 d

I  u u  u

Hướng dẫn giải Chọn B

4

1 d

I x  x x

Đặt u 2x1 1 

1

x u

   dxu ud , đổi cận: x 0 u1, x4u3

Khi  

2

1

1

1 d

2

I   u  u u

Câu 33 Khi tính nguyên hàm d

x x x

 

A 2u u 24 d u B u24 d u C 2u24 d u D u23 d u

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt u x1, u0 nên u2 x1

2

d d

x u u

x u

   

 



Khi d

x x x

 



2

1 d

u

u u u

 

  

2 u du

 

Câu 34 Tính tích phân:

5

d

3

x I

x x





 kết I aln 3bln Tổng a b

A 2 B 3 C 1 D 1

Hướng dẫn giải Chọn D

5

1

dx I

x x







Đặt u 3x1

2

1

u

x 

  12

3

dx udu

 

Đổi cận: x 1 u2 x 5 u4

Vậy  

  

4

4

2

2

2

1

2

ln ln ln ln ln

1 1

u u u

I du du

u u u u

   

      

   

 

Do a2; b 1   a b

Câu 35 Họ nguyên hàm hàm số  

3

1

x f x

x

 

là:

A 1 2

3 x  x C B  

2

1

1

3 x x C

   

C 1 

1

3 x  x C D  

2

1

2

3 x x C

   

Hướng dẫn giải

Ta có :

3

1

x

I dx

x

 



Đặt t 1x2 t2  1 x2 tdtxdx Khi đó:

2

2

(1 )

( 1)

t t

I tdt t dt t C

t



      

Thay t 1x2 ta  

2

2 2

( )

1

3

x

I    x C   x  x C

Chọn D

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 36 Theo phương pháp đổi biến số với tcos ,x usinx, nguyên hàm I tanxcotx dx là:

A lnt lnu C B lnt lnu C

C lnt lnu C D lnt lnu C

Ta có: tan cot  sin cos

cos sin

x x

x x dx dx dx

x x

  

  

Xét 1 sin

cos

x

I dx

x

 Đặt t cosx dt sinxdx I1 1dt lnt C1 t

         

Xét

cos sin

x

I dx

x

 Đặt 2

1

sin cos ln

u x du xdx I du u C

u

      

1 ln ln

I I I t u C

      

Chọn A

Câu 37 Biết F x  nguyên hàm hàm số  

sin cos

f x  x x

F 0  Tính

F

 .

A F  

  . B

2

F 

  C

1

2

F   

  D

1

2

F  

 

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt tsinxdtcos dx x

   d

F x  f x x

sin xcos dx x



d

t t



4

4

t C

 

4

sin

x C

 

 0

F 

4

sin

4 C





   C  

4

sin

x

F x 

  

4

sin

2

F

 

      

1 

 

Câu 38 Tìm nguyên hàm

2

sin d sin

x x x



 Kết

A

2

1 sin

x C



 B sin 2xC C  sin xC D 2 sin 2xC

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt

1 sin

t  x

2

1 sin d sin d

t x t t x x

     

2

sin 2

d d

1 sin

x t

x t

t x

 

 

2

2dt 2t C sin x C

     

Câu 39 Theo phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm

3

2sin cos sin

x x

I dx

x

 



 là:

A 23tC B 63tC C 33tC D 123t C

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

 

3 3

2 sin cos sin cos

1 sin sin cos

x x

x x

I dx dx

x x x

 

 

 

 

1

3

3

2

2

2

3

I dt t C t C

t

     

 

  

 



Chọn B

HÀM MŨ –LÔGARIT

Câu 40 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x x e2 x31

A d ln

t t t t t t C

t

   

 

      

 

 

 B f x dx3ex31C

C  

d

x

f x x e  C

 

 D  

3

d

x

x

f x x e  C



Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt tx3 1 dt3 dx x2

Do đó, ta có   1 1

d d d

3 3

x t t x

f x x x e  x e t e C e  C

  

Vậy  

3 1 d

3

x

f x x e  C



Câu 41 Tìm nguyên hàm d

1 x

x I

e

 



A I xln 1ex C. B I xln 1ex C

C I   x ln 1ex C D I xln 1ex C

Hướng dẫn giải Chọn D

 

d d

1

x

x x x

x e x

I

e e e

 

 

 

Đặt tex dt e dxx

 

d 1

ln ln ln ln ln

(1 )

1

x

x x x

x x

e x dt

I t t C e e C x e C

t t t t

e e

 

                

 

  

  

Câu 42 Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm ln 2xdx x

 bằng:

A 1

2t C B

2

t C C

2t C D

4t C

Hướng dẫn giải

Đặt ln 2 1

2

t x dt dx dt dx

x x

    

2

ln

2

x

dx tdt t C

x

    

Chọn A

Câu 43 Hàm sốnào nguyên hàm hàm số y2sinx.2cosxcosxsinx?

A

sin cos

2 x x

y  C. B y2sinx.2cosx . C y ln 2.2sinxcosx

 D

sin cos

2 x x

y C



Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: sin cos  

2 x.2 x cos sin d

I  x x x sin cos  

2 x x cos sin d

x x x



 

Đặt: t sinxcosx dtcosxsinxdx

2 d

ln t t

I t C

   

sin cos

2 ln

x x

C 

 

sin cos

2 ln

x x

C

 

Vậy hàm sốđã cho có nguyên hàm hàm số:

sin cos

2 ln

x x

y

Câu 44 Cho hàm số f x( ) x ln

x

 Hàm sốnào không nguyên hàm hàm số f x( )?

A F x( )2 xC B F x( )2 2 x1C

C F x( )2 2 x1C D F x( )2 x1C

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách 1: Đặt t x 2dt dx x

  

2 ln

( ) ( ) 2.ln 2.2 2.2

x

t t x

F x f x dx dx dt C C

x

       nên A sai

Ngoài ra:

+ D F x( )2.2 xC

+ B vì F x( )2.2 x  2 C2.2 xC

+ C F x( )2.2 x 2 C2.2 xC

Cách 2: Ta thấy B, C, D khác số nên theo định nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ cịn A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai

Cách 3: Lấy phương án A, B, C, D đạo hàm tìm A sai

Câu 45 Nguyên hàm   ln

.ln

x f x

x x





A ln d ln ln ln

x

x x C

x x



 

 B ln d ln 2.ln

.ln

x

x x x C

x x



 



C ln d ln ln ln

x

x x x C

x x



  

 D ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x



 



Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có  d ln d ln

x

I f x x x

x x



 

Đặt lnx xt lnx1 d xdt Khi ta có ln d ln

x

I x

x x



 1dt

t

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cho hai hàm số u v liên tục đoạn a b;  có đạo hàm liên tục đoạn a b; 

Khi đó:u vd uvv ud  *

Để tính nguyên hàm  f x dx phần ta làm sau: Bước Chọn u v, cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau tính vdv duu'.dx

Bước Thay vào cơng thức  * tính v ud

Chú ý. Cần phải lựa chọn dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân v ud dễtính u vd Ta thường gặp dạng sau

● Dạng   sin d cos

x

I P x x

x

 

  

 

 , P x  đa thức.u

Với dạng này, ta đặt

 

sin

d d

cos

u P x

x

v x

x

  

  



  

 



● Dạng I P x e  ax b dx, P x  đa thức Với dạng này, ta đặt  

d ax bd

u P x v e  x

   

  

● Dạng I P x  ln mxndx, P x  đa thức Với dạng này, ta đặt  

 

ln

d d

u mx n

v P x x

 

  

  

● Dạng sin d cos

x

x

I e x

x

 

  

 

 .

Với dạng này, ta đặt

sin cos d xd

x u

x

v e x

  



  

  

  

BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG

Câu 1: Nguyên hàm hàm số f x  xsinx là:

A F x  xcosxsinx C B F x xcosxsinx C

C F x  xcosxsinx C D F x xcosxsinx C

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt

d sin d

u x

v x x

  

 

Ta có d d cos

u x

v x

  

  

 d sin d cos cos d cos sin

I  f x xx x x x x x x x x x C

Câu 2: Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2x C với a, b số hữu tỉ Tính tích ab?

A

8

ab B

4

ab C

8

ab  D

4

ab 

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

  

 



 

 

 

Khi cos d sin sin d

2

x x x x x x x

  sin 1cos

2x x x C

  

1

a

  ,

4

b Vậy

8

ab

Câu 3: Nguyên hàm I xsin2 xdx là:

A 12 sin cos 

8 x x x x C B  

2

1

cos sin

8 x4 x x x C

C 1 1cos sin

4 x x x x C

 

  

 

  D Đáp án A C

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi:

1

2

1

1 cos 1 1

sin cos cos

2 2

I

x

I  x xdx x  dx xdx x xdx x  x xdx C

 

    

1 cos

I x xdx

Đặt 1

cos sin

2

du dx u x

dv x v x

  

 



 

 

 



1

1 1

cos sin sin sin cos

2 2

I x xdx x x xdx x x x C

       

 

 

2

2

1 1

cos sin 2 sin cos

4

1

cos sin

8

I x x x x C x x x x C

x x x x C

 

         

 

    

Chọn C

Câu 4: Tìm nguyên hàm I x1 sin d x x

A 1 cos sin

2

x x x

I    C B 2 cos sin

2

x x x

I    C

C 1 cos sin

4

x x x

I    C D 2 cos sin

4

x x x

I    C

Chọn D Đặt

d d

1

1

d sin d cos

2

u x

u x

v x x v x

   

 



 

  

 

Khi  sin d 1 cos 2 cos d 1 cos 2 1sin

2 2

I  x x x  x x  x x  x x x C

Câu 5: Tìm nguyên hàm sin x xd A sin d cos

2

x x x C

x

 

 B sin x xd  cos xC

C sin x xd cos xC D sin x xd  2 xcos x2sin xC

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt t x , ta có sin x xd 2 sin dt t t

Đặt d sin d

u t

v t t

  

 

ta có d 2d cos

u t

v t

  

  

2 sin dt t t 2 cost t cos dt t  2 cost t2sintC  2 xcos x2 sin xC

 

Câu 6: Nguyên hàm

sin cos

I x x xdx là:

A 1 cos3 , sin

I  x x t  t C t x B 1 cos3 , sin

I  x x t  t C t  x

C 1 cos3 , sin

I x x t  t C t x D 1 cos3 , sin

I x x t  t C t  x

Hướng dẫn giải Ta đặt:

2

sin cos cos

u x du dx

du x x u xdx

 

 



 

  

 

1

2 3

1

sin cos cos cos

I

I x x xdx x x xdx C

     



Xét  

1 cos cos sin

I  xdx x  x dx

Đặt tsinxdtcosxdx

 2

1

1

3

I t dt t t C

     

3 3

1

1

cos cos

3

I x x I x x t t C

        

Chọn A

Câu 7: Một nguyên hàm   2 cos

x f x

x

 :

A xtanxln cos x B xtanxln cos x  C xtanxln cos x D xtanxln sinx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

cos

x

I dx

x

Đặt:

2

1

tan cos

u x

du dx

v x

dv dx

x

 

  



 



 

 

Khi đó: I uvvduxtanxtanxdxxtanxln cosx C

Chọn C

Câu 8: Một nguyên hàm   2 sin

x f x

x

 :

A xcotxln sinx B xcotxln sin x

C xtanxln cos x D xtanxln sinx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

sin

x

I dx

x



Đặt:

2

1

cot sin

u x

du dx

v x

dv dx

x

 

  



 

 

 

 

Khi đó: I uvvdu xcotxcotxdx xcotxln sinx C

Chọn B DẠNG

Câu 9: Họ nguyên hàm x1 

e x dx

 là:

A I exxexC B

2

x x

I e  xe C

C

2

x x

I  e xe C D I 2exxexC

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

1

1

1

x x x x x

I

I e x dxe dxe xdxe C xe dx



Xét 1 x

I e xdx

Đặt u x x du xx

dv e dx v e

 

 



 

 

 

1

1

x x x

I xe xe dx I xe C

     

1

x x

I e xe C

   

Chọn B

Câu 10: Biết 2  

d ,

x x x

xe xaxe be C a b

  Tính tích ab

A

4

ab  B

4

ab C

8

ab  D

8

ab

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt 2 2

d d

1

d d

2 x x

u x

u x

v e

v e x

  

 



 

 

Suy ra: d 2 d

2

x x x

xe x xe  e x

  12xe2x14e2xC

Vậy: 1; 1

2

a b  ab 

Câu 11: Biết F x   ax b e  x lànguyênhàmcủahàmsố y2x3ex.Khi a b

A 2 B 3 C 4 D 5

Hướng dẫn giải

Tacó: 2x+3 xd ax+b x

e x e

 ,nghĩa là:

ax+bex ' 2x+3ex

  

 

   

x x ax = 2x+3 x

a e e b e

  

ax  = 2x+3

x x

e a b e

  

Đồngnhất hệ số ta được:a=2vàb=1 Vậy a b 3

Chọn B

Câu 12: Biết x e 2xdx e 2x2x n C m

 

    

 , với m n,  Tính Sm2n2

A S 10 B S5 C S65 D S 41

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt 2 2

d d

3

1

d d

2 x x

u x

u x

v e

v e x 

   

 



 

  

 

Khi   d  3 d

2

x x x

x e x  e x  e x

   3

2

x x

e x e C

    

   

2

1

4

x x

e x C e x C

         m4;n7

2

65

S m n 

Câu 13: Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x   5x1 e x F 0 3 TínhF 1

A F 1 11e 3 B F 1  e C F 1  e D F 1  e

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có F x 5x1 e d x x

Đặt d e dx

u x

v x

 

 

 

d 5d

ex

u x

v

   

 

  5 e x 5e dx

F x  x  x 5x1 e x5exC 5x4 e xC Mặt khác F 0 3  4 C3C7

  5 e x

F x x

   

Vậy F 1  e

DẠNG

Câu 14: Kết lnxdx là:

A xlnx x C B Đáp án khác

C xlnx C D xlnx x C

Ta có: I lnxdx

Đặt: ln

dx

u x du

x dv dx

v x



 

 



 



  



Khi đó: I uvvduxlnxdxxlnx x C

Chọn D

Câu 15: Nguyên hàm I xlnxdx với:

A

ln

x

xxdx C B

2

1 ln

2

x

x xdx C

C 2ln

x x xdx C D x2lnxxdxC

Hướng dẫn giải Ta đặt:

2

1 ln

2

du dx

u x x

dv xdx x

v

   

 



 



  

 

2

1

ln ln

2

x

I x xdx x xdx

   

Chọn B

Câu 16: Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C



B    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



C    

2

4

d ln

2

x x x

f x x x   C



D    

2

4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt  

2

d d

ln 2

d d

2

x u

u x x

x

v x x

v

  

 



  



 

 

  

 

suy      

2

1

d ln d ln d

2 2

x x

f x x x x x x x

x

    



  

   

2 2

1 4

ln 2 d ln

2 2 2

x x x x

x x x x C

x

 

 

          



 



Câu 17: Hàm sốnào sau nguyên hàm  

 2

ln

x g x

x

 

?

A ln ln ln 1999

1

x x x

x x

 

 

  B

ln

ln 1998

1

x x

x x



 

C ln ln 2016

1

x x

x  x  D

ln

ln 2017

1

x x

x  x 

Hướng dẫn giải Đặt

 2

1 ln

1

1

1

u x du dx

x

dv dx

v x

x

 

 



 



  



   

  

 

 

ln ln 1 lnx

1 1 1

ln ln

ln ln ln

1 1

x x dx

S dx dx dx

x x x x x x x x x

x x x

S x x C C

x x x

    

           

       

 

        

  

   

Chọn A

Câu 18: Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A    

3

1

d 3ln

9

f x x x x C

 B    

3

2

d 3ln

3

f x x x x C



C    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C

 D    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C



Hướng dẫn giải Chọn A

 d ln d

I  f x x x x x

Đặt: d d d d

2

t x t x t t x

x

    

2 2

2 ln d ln d

I t t t t t t

    

Đặt: 2 3

1

d d

ln

d d

3

u t

u t t

v t t t

v

   

 



 



  

 

 

3 3

1 1

2 ln d ln 3ln

3 3 9

I  t t t t  t t t C t t C

          

    

 

3

2

3ln

9x x C

  

 

3

1

3ln

9x x C

  

Câu 19: 2x x2 1 xlnx dx có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C 1 D Không tồn

Hướng dẫn giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm 2x x2 1 xlnx dx Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

 

2x x  1 xlnx dx 2x x 1dx xlnx dx

Để tìm  

2x x  1 xlnx dx

 ta đặt

1

I  x x  dx I2 xlnx dx tìm I I1, 2 *I12x x21dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x2 1,t1 ta t2 x21, xdxtdt Suy ra:

 3

2

1 1

2

2

3

I  x x  dx t dt t C  x  C , C1 số *I2 xlnx dx

Dùng phương pháp nguyên hàm phần

Đặt

2

1 ln

1

du dx

u x x

dv xdx

v x

   

 



 



  

 

, ta được:

2

2 2 2

2

ln

1 1 1 1

ln ln ln

2 2 2

I x x dx udv uv vdu

x x x dx x x xdx x x x C

x

   

       

  

 

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

2 1

2 ln ln

3

2 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

2 ,

a  b 

Chọn B

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a ởcác đáp án vào  

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C Sau đó, với a

các đáp án ta lấy đạo hàm  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

Không khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên việc tìm đạo hàm trởnên khó khăn

Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai

Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A sai lầm

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x2 1,t1 ta t2 x21,tdt2xdx Suy ra:

 3

2

1 1

1

2 1

3

Học sinh tìm 2 2ln 2

2

I  x x x C theo phân tích

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để  

2x x  1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C a1,b3 Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*I1 2x x21dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x21,t1ta t2 x21,tdt2xdx Suy ra:

 3

2

1 1

1

2 1

3

I  x x  dxt dt t C  x  C , C1 số Học sinh tìm 2 2ln 2

2

I  x x x C theo phân tích

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để 2x x2 1 xlnx dx có dạng  

3

2 2

1 ln

3

a b

x   x x x C

1 ,

3

a  b 

Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b

Câu 20: Cho F x  alnx b x

  nguyên hàm hàm số f x  ln2 x x



 , a, b Tính Sa b

A S  2 B S1 C S2 D S 0

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có I f x dx ln2 x dx x



 

   

 

 

Đặt

2

1 ln

d d

x u

x v

x

 

  

 



1 d d

x u

x v x

     

   

khi

 

1

1 ln d

I x x

x x

    11 lnx C

x x

     1lnx 2 C

x

    a 1;b2 Vậy S  a b

DẠNG 4:

Câu 21: Phát biểu sau đúng?

C e sin dx x xe cosx xe cos d x x x D e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt

e d sin d

x

u

v x x

  

 

d cos

x

du e x

v x

 

    

e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

   

Câu 22: Tìm J ex.sinxdx?

A cos sin 

x

e

J  x x C B sin cos 

2 x

e

J  x x C

C sin cos 

x

e

J  x x C D sin cos 1

2 x

e

J  x x C

Hướng dẫn giải

Đặt: 1

1

sin dx cos

x x

u e du e dx

dv x v x

   



 

  

 

 

cos cos cos cos

x x x x

J e x e xdx e x T T e xdx

       

Tính T ex.cosxdx:

   

sin sin sin

cos sin sin cos sin cos

2

x x x

x

x x x

T e x e xdx e x J

e

J e x e x J J e x x J x x C

    

           

TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

Cho f hàm số liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử F nguyên hàm f [ ; ].a b Hiệu số ( ) ( )

F b F a gọi tích phân từađến b (hay tích phân xác định đoạn [ ; ]a b hàm số f x( ),kí hiệu ( )

b

a

f x dx



Ta dùng kí hiệu F x( )ba F b( )F a( ) để hiệu số F b( )F a( ) Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



Nhận xét:Tích phân hàm số f từađến b kí hiệu ( )

b

a

f x dx

 hay ( )

b

a

f t dt

 Tích phân

phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [ ; ]a b tích phân

( )

b

a

f x dx

 diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), trục Oxvà hai đường thẳng

,

xa xb Vậy ( )

b

a

S  f x dx

2.Tính chất tích phân

1 ( )

a

a

f x dx

 ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx

 

3 ( ) ( ) ( )

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

   (abc)4 ( ) ( ) ( )

b b

a a

k f x dxk f x dx k

  

5 [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

B BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

Câu 1: Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Dựa vào tính chất tích phân, A, C, D nên B sai Câu 2: Khẳng định sau sai?

 

y f x yg x  a b;  k

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 d  d

b b

a a

xf x xx f x x

 

 d

a

a

kf x x



    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 3: Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 4: Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Theo định nghĩa, ta có

Câu 5: Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đềđúng mệnh đề

sau

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 6: Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đềnào sau sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

  

 d  d

b a

a b

x

f x  f x x

   d  d

b b

a a

x

f x  f t t

 

 

f x g x  K a b, K

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d

b b

a a

kf x xk f x x

 

   d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

       d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

a b F x  f x  

 d    

b

a

f x x f b  f a

  d    

b

a

f x xF b F a



 d    

b

a

f x xF a F b

  d    

b

a

f x xF b F a



 d    

b

a

f x xF b F a



 

f x a b;  ca b; 

 d  d  d

c b a

a c b

f x x f x x f x x

    d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

 d  d  d

b c c

a a c

f x x f x x f x x

    d  d  d

b a b

a c c

f x x f x x f x x

  

 d  d        

b a

a c

f x x f x xF b F a F a F c

  F b F c   d

b

c

f x x



 

y f x K a b c, , K

 d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

    d  dt

b b

a a

f x x f t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d

a

a

f x x

Mệnh đềđúng là:

Câu 7: Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau

A. B.

C. D.

Bài giải

Chọn A

Theo định nghĩa ta có: Suy phương án A sai Câu 8: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đềnào sai?

A

B

C ,

D. ,

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

Câu 9: Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định

nào sau sai?

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

Câu 10: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đềnào sai?

A. B. ,

C. D.

 d  d  d

b c c

a b a

f x x f x x f x x

  

 

f t K a b, K F t  f t  K

     d

b

a

F a F b  f t t  d  

b

b a a

f t t F t



 d  d

b b

a a

f t t  f t t

 

   d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 d  

b

b a a

f t tF t

 F b F a   

y f x a b; 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 

d

b

a

k xk a b

  k 

 d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

    c a b; 

d

b

b a a

k xkx

 kb ka k b a

f K a b c, , K

 

a

a

f x dx

    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

      ,  ; 

c b b

a c a

f x dx f x dx f x dx c a b

      

b b

a a

f x dx f t dt

 

     

a

a

f x dxF a F a 



 

y f x a b; 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

    c 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

   d

a

a

f x x

Câu 11: Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Câu 12: Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:

A B. C. D. Không thểxác định

Hướng dẫn giải

Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:

Ta có kết quả:

Chọn A

Câu 13: Tích phân phân tích thành:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân phân tích thành:

Ta có:

Chọn A

DẠNG 2: TÍCH PHÂN CƠ BẢN Câu 14: Tích phân có giá trị là:

A I = B.I =2 C. I = 3 D.I = 4

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn C

Cách 2: Kiểm tra máy tính, dễdàng thu kết quảnhư cách Câu 15: Tích phân có giá trị là:

 

F x f x  F 0 F 1

 

1

d

f x x

  

1

d

F x x



  

1

d

F x x



  

1

d

f x x





   

1

1 d

0

f x x F x

  

  F 1 F 0  F 0 F 1

 

a

a

f x dx m





  

a

a

g x dx n





    

a

a

f x g x dx





 

 



mn nm mn

 

a

a

f x dx m





  

a

a

g x dx n





    

a

a

f x g x dx





 

 



       

a a a

a a a

f x g x dx f x dx g x dx m n

  

    

 

 

  

 

b

a

f x dx



   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x  f x dx

 

   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x f x dx

 

 

b

a

f x dx



         

b b c b a

a c a c c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

    

2

2

I  x dx

2

2

I  x dx

2

2 2

1 1

2

2

x I  x dx x dx  

 

 

 

1

3

I x x dx



A I = B.I = C.I = D.I =

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn D

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 16: Tính tích phân

A. B. C. C.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

Câu 17: Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

Câu 18:

Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

Câu 19: Giá trị để ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

Theo ra, có

 

1

3

I x x dx



  

 

1

3

1

1

3 2

4

I x x dx x x x

 

 

       

 



2018

2

dx I

x

  2018.ln

I   2018

2

I  I 2018.ln I 2018

2018

2

ln

I  x ln 2 2018ln12018.ln

1

1

3 d

2

I x x

x

 

   



 



2 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

1

1

3 d

2

I x x

x

 

   



 



1

0

1

d d

2x x x x

 



 

1

0

1

ln

2 x 3x x

   1ln

2

  ln 32

 

1 2018

1 d

I x x x

1

2018 2019

I   1

2020 2021

I   1

2019 2020

I   1

2017 2018

I  

 

1 2018

1 d

I x x x  

1

2018 2019

d

x x x

 

1 2019 2020

0

1

2019 2020 2019 2020

x x

 

    

 

b  

1

2 d

b

x x



0

b b3 b0 b1 b5 b0 b1 b5

       

1

2 d 6 6

b

b

x x x  x  b  b   b  b



2

6

5

b

b b

b

 

    

Câu 20: Có giá trị thực để có

A B. C. D. Vô số

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

Câu 21: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là: Ta có:

Chọn D

Câu 22: Đặt ( tham số thực) Tìm để

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

Câu 23: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân , với có giá trị là: Ta có:

Chọn D

Câu 24: Cho hàm số Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

AD  

0

2 d

a

x xa



1

 

0

2 d

a

x xa

  

0

5 a

x x a

     H y x1

 

1

I  ax bx dx

2

a b I  

3

a b I  

2

a b I  

3

a b I  

 

1

I  ax bx dx

 

1

2

0 3

a b a b

I  ax bx dx x  x   

 



 

2

2 d

I  mx x m m I 4

1

m  m 2 m1 m2

 

2

2 d

I  mx x  

2

1

mx x

  4m2  m1 3m1

4

I 3m 1 4m1

2

1 a

I x dx

x

 

   

 



1

I a

a

   

2

I a

a

   

2

I a

a

   

2

I a

a

   

2

1 a

I x dx

x

 

   

 

 a0

2

2

2

1 1

2

2

a a

I x dx x a

x x a

   

          

   



 

2

3

4

x x

y f x

x x

  

  

  



 

2

d

f x x



7

2

5

Chọn A

Ta có

Câu 25: Cho hàm số Tính

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có,

Câu 26: Cho , Khi bằng:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Do

Câu 27: Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: Theo đề:

Vậy

Câu 28: Cho gá trị tích phân , Giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Cho gá trị tích phân , Giá trị là: Ta có:

Chọn C

 

2

d

f x x

    

1

0

d d

f x x f x x

     

1

2

0

3x dx x dx

   2 1 x x x            

3

4

x x

y f x

x x            

f x dx

      

1 2

2

0 1

1

3 4

0 2

x

f x dx f x dx x dx x dxx  x    

 

   

3

( )d

f x xa



3

( )d

f x xb 

2

( )d

f x x

 a b

  b a a b a b

3

0

( )d ( )d ( )d

f x x f x x f x x

  

2 3

0

( )d ( )d ( )d

f x x f x x f x x

  

2

( )d

f x x a b

  

a a 2  

2

2 d

a

x x

 1a3

0

 

2

2 d

a

x x

  2

6 a

x x a a

     2 a a a a           

1a 2

  1

I x x dx a

      2

I x x dx b





    a

b

4 65

P  12

65

P 12

65

P 

65 P   1

I x x dx a

      2

I x x dx b





    a

b

 

1

4

1

1

1 2

2

5 5

I x x dx x x a

                 1

2

2

2

1 13 13

3

3 6

I x x dx x x b

Câu 29: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là: Ta có:

Từ bảng xét dấu ta được:

Chọn A

Câu 30: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là: Ta có:

Chọn C

Câu 31: Biết tích phân Giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Biết tích phân Giá trị là: Ta có:

Chọn C

Câu 32: Cho Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

2

I x x dx 

 

2

I 

6

I 

2

I  

6

I  

2

I x x dx 

 

 

2 0

f x

x x x x

   

0

2

2 2 3

1 1

1 1

3 2

I x x dx x x dx x x dx x x x x

  

   

              

   

  

1

1

I ax dx

x 



 

   

 



15

ln 16

a

I    15 ln

16

a

I   15 ln

16

a

I   15 ln

16

a I   

1

1

I ax dx

x 



 

   

 



1

3

2

1 15

2 ln ln

2 16

a a

I ax dx x x

x

 

 

   

         

   



1

0

2

I  xdxa  

2

2

a

I  x  x dx

2

17

I  2 19

3

I  2 16

3

I  2 13

3

I 

1

0

2

I  xdxa  

2

2

a

I  x  x dx

     

2

1 1 2

2 2

1

0

0 1

1 16

2 2

3

a

I  xdx x  I  x  x dx x  x dx x x  

 

  

 

1

d

f x x 



  

1

2 d

I f x x



   

 3

 

1

2 d

I f x x



     

1

2

2 f x dx dx

 

Câu 33: Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Câu 35: Cho hàm số liên tục Tính tích phân

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

Câu 36: Cho hàm số thoả mãn điều kiện , liên tục

Khi

A B C D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

Câu 37: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ; Giá trị

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 38: Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện

Tính

A. B. C. D.

 

f x 2;3 f  2 2 f  3 5  

3

2

d f x x



3

 10

   

3

2

3 d

f x x f x

  f 3  f  2 3

 

f x a b;  f a  2 f b  4

 d

b

a

T  f x x

6

T   T 2 T 6 T  2

 d

b

a

T  f x x  f x  ba  f b  f a  2

 

f x 0;1 f  1  f  0 2  

1

d

f x x



1

I   I 1 I 2 I 0

       

1

1

d

0

f x x f x  f  f 



 

y f x f  1 12 f x   

4

d 17

f x x



 4

f

5 29 19

 

4

d 17

f x x

  f x 14 17  f  4  f  1 17  f  4 29

 

f x 1; 3 f  1 4 f  3 7

 

3

5 d

I f x x



  20

I  I 3 I 10 I 15

 

3

5 d

I f x x





  3

1

5f x 

 5f  3 5f  1 5.7 5.4 15

  2

a b

f x

x x

   a b  

1

d 3ln

f x x 

 T a b

1

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

Theo giả thiết, ta có Từđó suy ,

Vậy

DẠNG 3: TÍCH PHÂN HỮU TỈCƠ BẢN

Câu 39: Biết với , số thực Mệnh đềnào đúng?

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

Vậy

Câu 40: Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

Vậy

Câu 41: Nhận xét: Không thểdùng máy tính để tính kết quảnhư mà ta có thểdùng để kiểm tra mà Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn B

Cách 2: DÙng máy tính cầm tay

Câu 42: Tích phân ,với có giá trị là:

 

1

d

f x x

 2 d a b x x x          1 ln a

b x x

x

 

    

    a bln

2 3ln 2 a 1 bln a1 b 3

T a b  

1 d ln 2 x

x a b

x



  

 a b

8 81

ab

24

a b 

8

ab

10

a b 

1 d 2 x x x    1 d

2 x x

            1

6 ln

2 x x

   1 ln ln4

2 3

          ln 27

  8

3 27 81

ab 

 

2

d ln ,

1

x

x a b a b

x   

  S 2a b S

8;10 6;8 4; 6 2; 4

 

2

2 2

0 0

0

d d ln ln ln

3

1

a

x x

x x x x x a b S

b x x                                

2; 4

S 2 1

I x dx

x         

I 

2

I 

2

I  11

2 I  2 1

I x dx

x          2 2 1

1

2

2

I x dx x

x x                   a a x I dx x a        

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân , với có giá trị là: Ta có:

Chọn C

Câu 43: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là: Ta có:

Chọn C

Câu 44: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là: Tacó:

Chọn C

Câu 45: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là: Ta có:

2

1 ln

2

a

I a a

a



 

2

1 ln

2

a

I a a

a



 

2

1 ln

2

a

I a a

a



 

2

1 ln

2

a

I a a

a



 

1

a

a x

I dx

x a

 

   

 

 a0

2

1 1

1

ln ln ln

2 2

a a

a x x a a

I dx a x a a a a

x a a a a

  

 

           

   



2

b

I ax dx

x

 

   

 



7

ln

I  a b I 3a b ln ln

3

I  a b I 3a b ln

2

b

I ax dx

x

 

   

 



2

2

1

7

ln ln

3

b a a

I ax dx x b x b

x

   

        

   



1

x

I dx a

x

 



 P2a1

1 ln

P  P22 ln P 1 ln P2 ln 2

1

x

I dx a

x

 



 P2a1

 

1

1

0

1

1 ln 1 ln ln 2 1 ln

1

x

I dx dx x x a P a

x x

 

                 

   

 

2

2

1

e

e

x x

I dx a

x

   

   

 

 Pa1

2

1

2

P e e  e

2

P  e e  e

2

1

2

P  e e  e

2

P e e  e

2

2

1 e

e

x x

I dx a

x

   

   

 

Chọn B

Câu 46: Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

Câu 47: Giả sử Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

BN M

Suy ra: Do đó:

Câu 48: Biết , Tính giá trị biểu thức

A B. C. D.

Hướng dẫn giải: Chọn C

Nên:

Vậy , Vậy

Câu 49: Biết với , , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

2

2

2 2

1

1 ln

2 2

e

e e

e e e

x x x e e

I dx x dx x x e

x x                                

2 4

1

2 2 2

e e e e e e

a e a e P e

                d x I x    1 ln

I  1ln1

6

I   1ln

6

I  I ln 26

1 d x I x   

1 1

d

6 3

I x x x             1 ln x x   

1 1

ln ln1 ln

6

        2

d ln ln 3; ,

x

x a b a b

x x



  

 

  Pab

8

P P 6 P 4 P 5

    

2 2

2

0 0

2

1 1

d d d ln ln ln 3ln

0

4 3

x x

x x x x x

x x x x x x

    

           

       

  

6

Pab 

  

1

d ln ln

1

x

x a x b x C

x x



    

 

 a b,  a b

1

a b  a b 5 a b  1 a b  5

  

1

1 2

x A B

x x x x

 

 

   

   

1

x A x B x

      

1

2

A B A

A B B

                  

1

d d

1 2

x

x x

x x x x

  

   

     

 

2 ln x 3ln x C

    

2

a b 3 a b  1

3 2

3

d ln ln

x x

x a b c

x x

 

  

 

 a b c

2

T  a b  c

4

, suy

Vậy

Câu 50: Giả sử Khi giá trị là:

A 30 B 40 C 50 D 60

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

Câu 51: Biết Mệnh đềnào sau đúng?

A. B.

C. D

Hướng dẫn giải: Chọn D

Vậy

Câu 52: Nếu giá trị

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

Do , ,

 

3 3

2

2

2

2

3 2

d d ln ln ln

1

x x x

x x x x x

x x x x

                         1 a b c         

2

T  a b  c 

0

3

.ln

2

x x

I dx a b

x 

 

  



 a2b

0 2

0 1

0

3 21 19

d 11 d 11 21ln 21ln

1

2 2

x x x

I x x x x x

x  x

                            

d ln ln

3 x a b

x  x  

 a b, 

2

a b 2a b 0

0

a b  a b 0

5

2

1

3 1

d d

3 x x

x x x x

 

   

   

 

ln | | ln |x x |15 ln ln

    

1,

a b 

3 2

2

d ln ln 3ln

2

x

x a b

x x



  

 

 a b,  P2a b

1

P P7 15

2

P  15

2 P 2 d

2

x x x x     3 2 2

1 11

d d

4

x

x x

x x x x

              3 2 2

1 11

d d

4 2x 3x x x x 2x x

          3 2

1 11

ln d

4 x x x 2x x

              3 2

1 11

ln ln

4

x x x x        

1 11

ln10 ln ln ln

4

 

     

 

1 10 11

ln ln

4

  1ln ln ln 3 11ln ln ln 5

4

      5ln 5ln 3ln

2

   

5

a 

2

b 15

2

Câu 53: Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: ,

Câu 54: Biết với số nguyên Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách 1:

Suy

Cách 2:

Ta có:

Suy

Câu 55: Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?

A. B C D

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

Suy , nghiệm phương trình

Câu 56: Biết với , số nguyên Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

Vậy , Suy

Câu 57: Biết , Giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải 2

0

d ln

1

x

x a b

x  

 a b b0 2a b

8;10 6;8 4; 6 2; 4

2

2 2

0 0

1

d d ln ln

1

x x

x x x x x

x x

 

 

          

     

  a0 b32a b 3

4

d

ln ln ln

x

I a b c

x x

   



 a b c, , S   a b c

6

S  S 2 S  2 S 0

 

4

4

2

3

3

1

d d ln ln ln ln ln ln

1

x

I x x

x x x x x

       

  

 

4,

a b  c S 2

 

4 4

2

3 3

1 1

d d d d ln ln ln ln 4 ln ln ln

1

I x x x x

x x x x x x

          

  

   

4,

a b  c S 2

2

d 1

4

x

x  x a b

 a b 7; 3 a b

2

2x   x x2 4x120 x25x 6 x2 9

 

2

2

1

d d

4

x x

x  x  x

     

2

2

1

2 d

2 x x



   

2

1

2 2x   



1

   1

6

 



2

a b

   

 

2

a b

  

  

a b

4 12

x  x 

5

1

d ln

1

x x b

x a

x

 

 



 a b S a2b

2

S   S 5 S 2 S 10

5

5

2

3 3

1 1 25

d d ln ln ln ln

1 2 2

x x

x x x x x

x x

     

             

     

 

8

a b3 S  a 2b 8 2.32

  

3

d

ln ln ln

2

x

a b c

x x   

 a b c, ,  2a3b c

Chọn D

Khi đó:

Câu 58: Cho với , số nguyên Mệnh đềnào ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Do ,

Vậy

Câu 59: Biết Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Nên

Vậy

DẠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈCƠ BẢN Câu 60: Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

Câu 61: Biết Giá trị là:

A – 1 B.– 2 C.– 3 D.– 4

Hướng dẫn giải

Biết Giá trị là:

Ta có:    d x

x x



3

1 1

d x x x

 

   

 

 

  30

1

ln ln

2 x x

    1ln 1ln 1ln

2 2

  

2a3b c 2.1 3.1

2 2

   

1

1

ln ln

1 dx a b

x x           

 a b

2

a b  a2b0 a b  2 a2b0

1

1 ln ln

0

dx

x

x   



1

1

ln ln ln

2

dx

x

x    



 

1

1

ln ln ln 2 ln ln

1 dx

x x              

 a2 b 1

2

a b

3 2

5 12

d ln ln ln

5

x

x a b c

x x



  

 

 S3a2b c

3 14 2 11

2 12 x x x       12 x x x  

 

A B x x      

A B x A B

x x

  



 

5

3 12

A B A

A B B

             2 12 d x x x x     3 2 d d

2 x x

x x

 

 

  2 ln x2 323ln x332

3ln ln ln

    4 ln ln 3ln 6  S 3a2b c  11

2

4 d

I  x x

13 13 4

4 d

I  x x  

2 1

2

4x dx

    2

4 x

  13

3    1 a

I  x x dx b

4

a b

  1 a

I  x x dx b

4

Chọn B

Câu 62: Tích phân

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

Câu 63: Cho , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

Do , ,

Câu 64: Biết tích phân với , số thực Tính tổng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

Câu 65: Tích phân có giá trị là:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là: Ta có:

   

1

1

3

0

2 4

1 1,

2 3

x

I  x x dx  x     a  b a b 

 



2

1

2

I dx

x







1

2

I   I 2 2

2

I   I  2

2 2

0

1

2 2

2

I dx x

x

    





d

3

2

x

a b a

x  x   

 a b, * a2b

2

a b a2b8 a2b 1 a2b5

1

d

2

x

x  x

  

1

2 d

x x x

         

1

3

0

2

2

3 x x

    2

3

  

2

a b3 a2b8

1

3 d

9

3

x a b

x

x x

 

  

 a b T a b

10

T   T  4 T 15 T 8

 

 

1 1

0 0

3

d d d

3

x x x

x

x x x x x

x

x x

  

    

  

  

       

1

1 1 1 3 3

2 2

0

2

3 d

9

x x x x x

   

          

   



16 17 17

3

9 9



   

       

   

0

1

a

I x x dx

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

0

1

a

Chọn B

Câu 66: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là: Ta có:

Chọn A

DẠNG 5: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Câu 67: Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

Câu 68: Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 69: Tích phân bằng?

A B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

     

       

3

2

0 0 0

5

5

2

0

1 1 1

2 2

= 1 = 1

5 15

a a a a a

a a

I x x dx x x dx x dx x dx x dx

x x x x

          

   

      

   

   

    

1

1 1

x

I dx

x 



 



2

I   2

3

I  

3

I  

3

I  

1

1 1

x

I dx

x 



 



   

1

1 3

2

1 1

2

1 1 1

3

1 1

x x

x I dx x dx x x

x  x  

 

             

       

0

sin dx x

 

1



3

2



3

0

1 sin d cos

3

x x x





 

 1 1

3

    

2

sin d

4

I x x

 

 

   

 



4

I  I  1 I 0 I 1

2

sin d

4

I x x

 

 

   

 



2

cos x

 

 

   

  cos cos

 

   

    

   

3

d sin

x I

x 





cot cot

3

 

 cot cot

3

 

 cot cot

3

 

  cot cot

3

 

Ta có

Câu 70: Biết , với , số hữu tỉ Tính

A. B. C D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: Vậy

Câu 71: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D. CảA, B, C sai

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn A

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 72: Có số thực thuộc khoảng cho ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

Do đó, có số thực thỏa mãn yêu cầu tốn

Câu 73: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

3

d sin

x I

x 





3

cotx





 

2

cosxdx a b





 

 a b T 2a6b

3

T  T  1 T  4 T 2

2

cosxdx 



2

sinx  



2

  2a6b   2

2

sin

I xdx





1

I  I 0 I  1

2

sin

I xdx





 

2

2 0

sin cos

I xdx x





   

b ; 3 cos d

b

x x







8

4 cos d

b

x x





 2sin 2x b 1 sin 2

b

  12

5 12

b k

b k

  





 

  

  



b

 

2

sin cos

I x x dx



 

  

1

I  I 2 I  2 I  1

 

2

sin cos

I x x dx



 

Cách :

Chọn C

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 74: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn C

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 75: Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Vậy , Suy Vậy B sai

Câu 76: Cho tích phân , Tính

A 3 B.1 C. 2 D.

3 Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có    

2

2

0

1

4 cos d sin

2

x x x x x x





  

        

 



Suy a2, b2, c1 nên a b c  1

Câu 77: Biết  

6

2

3 sin d

6

a c

x x

b





  

 , a,b nguyên dương a

b tối giản Tính a b c 

A. B. 16 C. 12 D 14

Hướng dẫn giải

0; 2017

m    

2

2 2

sin cos cos sin

I x x dx x x



 

 



       

 

6

sin cos

I x x dx



 

  

2

I 

4

I 

4

I  

3

I  

 

6

sin cos

I x x dx



 

  

 

6 6

2

1

sin cos cos sin

2

I x x dx x x

 



 



 

       

 



 

2

2x sinx dx 

 

 a b

2

a b a b 5 2a3b2 a b 2

   

2

2

0

1

2 sin d cos 1

4

x x x x x x





  

 

           

 



4

a b2 a b 6

 

2

1

4x cosx dx c

a b 

  

     

 

Chọn D

Ta có:

   

6

2

0

3 4sin x dx cos 2x dx

 

 

     

   

6

5 cos 2x dx



 

5 3

6



 

Suy a5, b6, c3 Vậy a b c  14

Câu 78: Cho giá trị tích phân  

3

2

sin cos

I x x dx a



 

    ,  

3

3

cos sin

I x x dx b



 

    Giá trị a

+ b là:

A 3

4

P  B. 3

4

P  C. 3

4

P  D. 3

4

P 

Hướng dẫn giải

Cho giá trị tích phân  

3

2

sin cos

I x x dx a



 

    ,  

3

3

cos sin

I x x dx b



 

    Giá trị a + b là:

Cách 1: Ta có:

 

3 3

1

2

1 3 3

sin cos cos sin

2 4

I x x dx x x a

 



 



 

          

 



 

3 3

2

3

1 3

cos sin sin cos

2 2

I x x dx x x b

 



 



 

       

 



3

P a b

    

Chọn A

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay giá trị quen thuộc học sinh nhận

Câu 79: Tích phân  

2

sin cos

I ax ax dx



 

   , với a0 có giá trị là:

A sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

B. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

C. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

D. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

Hướng dẫn giải

Tích phân  

2

sin cos

I ax ax dx



 

   có giá trị là: Ta có:

 

2

2 2

2 2

2

1

sin cos cos sin sin

4

sin sin

2 4

I ax ax dx ax ax ax

a a a

a a

a



 

 





   

 



 

   

         

    

    

       

   

 



Chọn B

Câu 80: Cho hàm số f x asin 2x b cos 2x thỏa mãn ' 2

f   

 

b

a

adx

 Tính tổng a b bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

 

' cos 2 sin

f x  a x b x

' 2

2

f      a  a  

1

d d 3

b b

a

a x x b  b

 

Vậy a b   1

Câu 81: Cho tích phân

0

cos cos dx x x a b

 

 

 , a, b số hữu tỉ Tính ea log2 b

A 2 B 3 C 1

8 D 0

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

3

cos cos dx x x 



   

3

1

cos cos d 2 x x x

0

1 1

sin sin

2 x x 



 

   

  

1 Do ta có a0,

8

b  Vậy ea log2 b

 

2

1 e log

8

 2

Câu 82: Tích phân  

2

2

cos cos

I x xdx



  có giá trị là:

A

4

I   B.

4

I    C.

4

I   D.

4

I   

Hướng dẫn giải

Tích phân  

2

2

cos cos

I x xdx



Ta biến đổi:

   

1

2 2 2

2 2

0 0 0

1

cos cos cos sin cos sin

3 2

t

I x xdx x x dx xdx t x x

   



   

             

 

 

  

, với tsinx

Chọn D

Câu 83: Cho    

3

2 6

0

sin cos cos sin sin

I x x dx a x bx c x





     Giá trị 3a2b4c là:

A – 1 B.1 C. – 2 D.2

Hướng dẫn giải

Cho    

3

2 6

0

sin cos cos sin sin

I x x dx a x bx c x





     Giá trị 3a2b4c là: Ta có:

 

3 3

2

0 0

1 cos 1

sin cos sin cos sin

2

1 1

, ,

3

x

I x x dx x dx x x x

a b c a c c

  



   

          

   

        

 

Chọn B

DẠNG 6: TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT CƠ BẢN Câu 84: Tích phân

1

e dx x



A. e 1 B. 1

e C.

e e



D.

e Hướng dẫn giải

Chọn C Ta có:

1

1 e

e d e

0 e e

x x

x

    

     

 



Câu 85: Tích phân

2018

2 d   x

I x

A. 220181 B. 2018

2

ln



C.

2018

2

ln D.

2018

2

Hướng dẫn giải Chọn D

2018

2018 2018

0

2

2 d

ln ln



   

x x

I x

Câu 86: Biết

4

1 ( )d

2

f x x







0

1 ( )d

2

f x x



 

 Tính tích phân

4

4e x ( ) d

I   f x  x

A.

2e

I  B.

4e

I   C.

4e

I  D.

2e

I  

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có    

4

2

0

4 e

4e ( ) d d d

0

x x

I f x x f x x f x x





 

  1

2 e 2 2.e

2

I

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

Cho hàm số y f x  liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục

trên đoạn [ ; ]a b u x( ) Giả sử viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b với g liên tục

trên đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có ( )

( )

( ) ( )

u b b

a u a

I f x dx  g u du

Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân

Dấu hiệu Có thểđặt Ví dụ

1 Có f x( ) t f x( )

3

0 1

x dx I

x





 Đặt t x1

2 Có (ax b )n t axb 2016

0 ( 1)

I x x dx Đặt t x1

3 Có f x( )

a t f x( )

tan

2 cos

x e

I dx

x

 

 Đặt t tanx3

4 Có dx vàlnx x

ln

t x hoặc biểu thức

chứa lnx

ln (ln 1)

e xdx

I

x x





 Đặt t lnx1

5 Có x

e dx

x

te hoặc biểu thức chứa x

e

ln 2

0

x x

I  e e  dx Đặt t 3ex1

6 Có sinxdx tcosx 2

0 sin cos

I x xdx



 Đặt tsinx

7 Có cosxdx t sinxdx

3

sin

2cos

x

I dx

x 





 Đặt t2 cosx1

8 Có 2

cos

dx

x ttanx

2

4

4

0

1

(1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

Đặt ttanx

9 Có 2

sin

dx

x tcotx

cot cot

4

2

6 cos 2sin

x x

e e

I dx dx

x x

 

 



  Đặt tcotx

BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số y f x  liên tục a b,  Giả sử hàm số uu x  có đạo hàm liên tục

a b, 

u x  ,  x a b, , f u  liên tục đoạn  ,  Mệnh đềnào sau đúng?xa

A    d  d

b b

a a

f u x u x x f u u

  B    

   

 

d d

u b b

u a a

f u x u x x f u u

 

C.      

   

d d

u b b

a u a

f u x u x x f u u

  D    d  d

b b

a a

f u x u x x f x u

 

Hướng dẫn giải Chọn C

Đổi cận

Khi xa tu x ; xb tu b 

Do      

   

d d

u b b

a u a

f u x u x x f t t

   

   

d u b

u a

f u u

 

HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2: Tínhtíchphân  

3

1000

1

I x x dx

A

1002

2003.2 1003002

I  B.

1001

1502.2 501501

I  C

1002

3005.2 1003002

I  D

1001

2003.2 501501

I 

Hướng dẫn giải Đặt x 1 t, x  1 t 0; x3 t

Do      

2 1002 1001

1000 1001 1000

0

0

1

1002 1001

t t

I  t t d t  t t dt  

 

 

1002 1001 1001

1001

2 2 1502.2

2

1002 1001 1002 1001 501501

 

     

 

Chọn B Câu 3: Tích phân

2

d

x x

x 



A 1log7

2 B

7 ln

3 C.

1 ln

2 D

1 ln Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

2

d

x x

x 

  

2

2

0

1

d

2 x x

 





2

0

1

ln

2 x

  1ln7

2



Câu 4: Tích phân

 

1

x dx I

x

 

 kết I aln 2b Giá trị a+b là:

A.

16 B

13

16 C

14

17 D

4 17 Hướng dẫn giải

Chọn A đặt t1x2

2

2

1 1

ln

2 16

I dt

t t t

 

       

 



Câu 5: Cho

1

1 ln

1

x

dx a

x  

 ,a là số hữu tỉ Giá trị a là:

A. B 3 C 4 D 5

Hướng dẫn giải

Cho

1

1 ln

1

x

dx a

x  

 Giá trị a là: Ta có:

 

1 2

2

3 1

0

1 1

ln ln 2

1 3

x

dx dt t a

x    t    

 

Câu 6: Tích phân

0

1

ax

I dx

ax 





 ,với a 2 có giá trị là:

A ln ln 2

a

I    B. ln ln

2

a

I   

C ln ln 2

a

I    D ln ln

2

a

I   

Hướng dẫn giải

Tích phân

0

1

ax

I dx

ax 





 , với a 2 có giá trị là: Ta nhận thấy: ax22 ' 2ax Ta dùng đổi biến số

Đăt tax2 2 dt2axdx

Đổi cận

1

x t

x t a

   



     

   

2

2 2

1 1

ln ln ln

2 a

a

I dt t a

t 



     

Chọn B HÀM VÔ TỈ

Câu 7: Cho tích phân

1

1x xd

 , với cách đặt t31x tích phân cho với tích phân

sau đây? A

1

3 dt t B

3

d

t t

 C

1

3t dt D.

3

3t dt

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt t31    x x 1 t3 dx 3 dt t2 , đổi cận: x  0 t 1, x  1 t

Khi ta có

1

3

0

1x xd 3 t td

 

Câu 8: Trongcáctíchphânsau,tíchphânnàocócùnggiátrị với

1

I  x x  dx A

1

1

1

2 t t dt B

4

1 t t1dt

 C. 3 

0 t 1 t dt

 D 3 

1 x 1 x dx



Hướng dẫn giải Đặt t x2  1 t2 x2 1 tdtxdx

1

x  t , x  2 t

 

2

3 2

1 1

I  x x  dx t  t dt

Chọn C Câu 9: Nếu

3

0

( ) 1

x

dx f t dt

x 

 

  , với t 1x f t( ) hàm số hàm số

đây ?

A f t( )2t22t B f t( )t2t C f t( )t2t D. f t( )2t22t Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

3 2 2

2

0 1

1

.2 ( 1).2 (2 )

1 1

x t

dx tdt t tdt t t dt

t x



    



 

   

Câu 10: Tích phân

1

d

x x



A 4

3 B

3

2 C

1

3 D.

2 Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t 3x1

3

t x

   2 dt t3dx d d

t

t x

 

Đổi cận: x  0 t 1; x  1 t

Khi

1

0

d

d 3

x

t t t

x 

 

2

2 d t  

2

2 3t



3



Cách khác: Sử dụng công thức dx ax b C a

ax b   



1

0

d

3

3

3

x

x

x  

  23

Câu 11: Biết

4

1

d ln

2

I x a b

x

  

 

 với a b, số nguyên Tính S a b

A S 3 B. S  3 C S5 D S7

Hướng dẫn giải: Chọn B

2

2 2 d 2d

0

4

t x t x t t x

x t

x t

      

  



   



 

4 3

3

0 1

1

d d d 5ln 5 ln

5

2

t

I x t t t t

t t

x

 

          

 

   

  

Suy ra: a2;b  5 S a b  3 Câu 12: Cho tích phân

4

d

ln

3

x

I a b

x

  

 

 với a b,  Mệnh đềnào sau đúng? A a b 3 B a b 5 C. a b 5 D a b 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt t 2x1

2

t x

   dxt td

Đổi cận: x  0 t 1; x4 t

Khi

d

3

x I

x



 



3

d

t t t

 



3

3

1 d

3 t

t

 

   



 

  13

2 3ln 3ln

3

t t

    

Do a b 5

Câu 13: Biết  

3

2 1d

3

x x  x a b

 , với a b, sốnguyên dương Mệnh đềnào sau

A. a2b B ab C ab D a3b

Hướng dẫn giải Chọn A

Khi  

3

2

1 2

2

1d d

3

t

x x  x t t   

  Vậy a2 b

Câu 14: Cho

1

2

x

I dx a b

x

  



 Giá trịa.b là:

A – 1 B – 2 C 1 D 2

Hướng dẫn giải

Cho

1

2

x

I dx a b

x

  



 Giá trịa.b là:

Ta có:

Đặt tx2 1 dt2xdx Đổi cận

1

x t

x t

  

 

   

2

1

2 1,

2

I dt a b a b

t

           

Chọn A

Câu 15: Với a b c, , R Đặt

2

1

4

ln

x b

I dx a

x c



   Giá trị tính abc :

A B 2 C 2 D. 

Hướng dẫn giải Chọn D

Đây dạng tốn tính tích phân để tránh tình trạng bấm máy tính nên cần phải nhớ phương pháp làm Có hai cách để làm tốn chuyển lượng giác phá Dưới cách

Đặt t 4x2 t2  4 x2 tdt xdx

0

0

2 2

3 3

( ) 2

1 ln ln

4 4 2

t tdt t t

I dt dt t

t t t t

      

           

        

  

Suy abc  3(2 3)(2 3) 

Câu 16: Giá trị

7

3

0

d

x x I

x





 viết dạng phân số tối giản a

b (a, b số nguyên

dương) Khi giá trị a7b

A 2 B 1 C 0 D 1

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách 1: Tính

7

3

0

d

x x I

x







Đặt 31 2d d

u x  u ux x Đổi cận: x 0 u1; x 7 u

Vậy    

3

2

4

1

1

3 141

d d

2 20

u u

I u u u u

u



     

Suy ra: a141, b20 Vậy a7b1

Cách 2: Dùng MTCT

7

3

0

d 141

7.01 20

x x I

x

  





Vậy a7b1

Câu 17: Cho biết

7

3

0

d

 

 x x m

n x

với m

n phân số tối giản Tính m7n

A 0 B. C 2 D 91

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt

2

3 2 d

1 d d d

2

t t

t x t  x  t t x xx x

Đổi cận: x  0 t 1; x 7 t

 

2

7 3 2

4

3

0 1 1

1 3 141

d d d

2 2 20

1

x t t t t

x t t t t

t x

 



       

  

  

7 141 7.20

m n

    

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 18: Tìm khẳng định khẳng định sau

A.  

1

0

sin 1x dx sin dx x

  B  

1

0

cos 1x dx  cos dx x

 

C

2

0

cos d cos d

x

x x x

 



  D

2

0

sin d sin d

x

x x x

 



 

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét tích phân  

1

sin 1x dx



Đặt 1x t dx dt Khi x  0 t 1; Khi x  1 t

Do  

0

sin 1x dx

  

0

sint dt

 

1

sin dt t



1

sin dx x



Câu 19: Tính tích phân π

3

sin d cos

x

I x

x



A

I  B.

2

I  C π

3 20

I   D

4

I 

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt tcosxdt sin dx x

Đổi cận: x0  t 1; π

3

x  t

Khi đó:

3

1 d

I t

t

 

1

1 dt t



1

1

1 2t





2

   

Câu 20: Cho

3

sin tan ln

8

b

I x xdx a



A a b B a b C. ab6 D ab 4 Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt ucosx dusinxdx Đổi cận

1

3

1

x u

u x



 

 

 

 



 



  

1

1

2 1

2

1

1

2

1 1 3

ln ln

2

u du u

I u du u

u u

     

         

   

 

Câu 21: Cho

a

cos 2x

I dx ln

1 sin 2x 

 



 Tìm giá trị a là:

A 3 B 2 C 4 D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt t  1 2sin x2 đưa đến I = 

 a

t dt



2 sin

1

4

=

4

lnt|112sin2/a =

4

ln3 suy 2 sin2 /a3 suy a =

Câu 22: Biết  

4

2

0

1 tan

I x dx a



    

1

1

2 3

2

0 0

I  x  x dxbx cx 

 

 , a và b là số hữu tỉ Giá trị a + b + c là:

A 1 B.2 C 3 D 0

Hướng dẫn giải

Biết  

4

2

0

1 tan

I x dx a



    

1

1

2 3

2

0 0

I  x  x dxbx cx 

 

 Giá trị a + b + c là: Ta có:

 

1

4

2

1

0 0

1

1 tan

cos

I x dx dx tdt

x

 

      , với ttanx

 

1

1

2 3

2

0 0

1

3

I  x  x dx x  x 

 



1

1, ,

3

a b c a b c

       

Chọn B Câu 23: Tích phân

3

sin cos cos

x

I dx

x x







 có giá trị là:

A ln 2 ln

2 2 2

I      

   

 

B ln 2 ln

2 2 2

I      

   

 

C. ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

D ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

Tích phân

3

sin cos cos

x

I dx

x x







 có giá trị là:

Ta biến đổi:

1

3 3

2

0 0 1

sin sin sin

ln

cos cos cos 2 cos 2

1 2

ln ln

2 2 2

x x x t

I dxI dx dx

x x x x t

  

  

      

 

    

   

   

   

 

  

,

với t cosx

Chọn C Câu 24: Xét tích phân

2

0

sin d

1 cos

x

I x

x



 

 Nếu đặt t 1 cos x, khẳng định đúng? A

1

2

d 4t 4t

I t

t



  B

1

2

d 4t 4t

I t

t

 

  C.  

2

4 d

I   t  t D

 

2

1

4 d

I    t  t

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt cos d sin d sin d 2d

2 cos cos

x x

t x t x x t

x x



      

 

2

1 cos cos

t x x t

     

Đổi cận ;

x  t x  t

2

0

sin d cos sin d

1 cos cos

x x x x x

I

x x

 

  

 

 

1

2 2

1

2

2(t 1)( 2)dt (t 1)dt (t 1)d t

          

Câu 25: Cho f hàm số liên tục thỏa  

1

d

f x x

 Tính  

2

cos sin d

I x f x x





A 1 B 9 C 3 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt tsinxdtcos dx x Đổi cận x  0 t 0,

x  t

Ta có      

1

2

0 0

cos sin d d d

I x f x x f t t f x x



   

Câu 26: Cho hàm số f x  liên tục   

1

d 12

f x x 



 ,  

2 3

2 cos sin d

f x x x







A 12 B 12 C. D 6

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt t2 cosxdt 2sin dx x

 

2 3

2 cos sin d

f x x x





  

1

1 d

f t t



 

  

 

  

1

1

d 2 f t t

   

1

1

d

2 f x x

  

HÀM MŨ – LÔGARIT Câu 27: Cho

1

d x

I xe x.Biết

2

ae b

I   Khi đó, a b

A 1 B 0 C. D 4

Hướng dẫn giải Chọn C

Tacó 2  

1

1

0

1

1 1

d d

0

2 2

x x x e

I xe x  e x   e   Vì

2

ae b

I    a1;b1.Vậy a b 2

Câu 28: Nguyên hàm  

2

sin

sin e x

f x  x

A sin2x.esin2x1C B

sin

e

sin

x

C x





 C.

2 sin

e xC D

2

sin

e

sin

x

C x







Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có sin ex sin2xdx esin2xd sin 2x esin2xC

Câu 29: Biếtrằng  

1

1

0

3 d , ,

5

x a b

e  x e  e c a b c 

  Tính

2

b c

T a 

A T 6 B T 9 C. T 10 D T 5. Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt t 3 xt2 1 3x2 dt t3dx Đổicận: x  0 t 1, x  1 t

     

1 1 3 2 2 2 2 2

1 1

03 d d 2 2

x t t t t t

e  dx te t te e t te e e e e e e

           

10

10

a

T b c

 

  

  

nêncâuC đúng. Câu 30: Tích phân

ln12 ln

4

x

I   e  dx có giá trị là:

A I  2 ln ln 5 B. I  2 ln ln 5

C I  2 ln ln 5 D I  2 ln ln 5

Hướng dẫn giải

Tích phân

ln12 ln

4

x

I   e  dx có giá trị là:

Đặt: 4 22

4

x x x tdt

t e t e tdt e dx dx

t

        

Đổi cận ln ln12 x x x x          4 2 3 2

2 ln 2 ln ln

4

t t

I dt t

t t

  

       

   



Chọn B

Câu 31: Biết tích phân

ln

e

d ln ln

1 e

x

x xa b c

 

 , với a, b, c số nguyên Tính

T   a b c.

A T  1 B. T 0 C T 2 D T 1

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt t ex 3 t2 ex 3 dt te dx x

Đổi cận ln

0 x t x t            Suy

ln

0

e d

d

1 e

x x t t x t         3 2

2 d 2ln

1 t t t t

 

      



 

 6 ln 4   ln 3 

2 ln 2 ln

2 a b c             Vậy T 0

Câu 32: Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1 ln d 3ln e x x

x  x

 trở thành

A  

2

2

1 d

3 u  u B.  

2

2

1 d

9 u  u C  

2

2 u 1 du D 2 d u u u  

Hướng dẫn giải Chọn B

1 3ln

u  x

1 3ln u x    ln u x 

  d d

3 x u u x   Khi ln d 3ln e x x

x  x

 2 1 d u u u u     2 d

9 u u

  

Câu 33: Tính tích phân

e 1 3ln d x I x x 

 cách đặt t 3ln x, mệnh đềnào sai?

A

2

I  t B.

2

1

2 d

I  t t C

2 2 d

I  t t D 14

9

I 

Hướng dẫn giải Chọn B

e 1 3ln d x I x x 

 , đặt t 3ln x

1 ln

t x

   2 dtt 3dx x

2 d

dt

 t  x

x

2

2

1

2 dt  t

I

1

2

 t 14

9



Câu 34: Tích phân  

1

ln ln

e

I x x x dx có giá trị là:

A I  2e B I  e C. I e D I2e

Hướng dẫn giải

Tích phân  

1

ln ln

e

I x x x dx có giá trị là:

Ta biến đổi:    

1

ln ln ln ln

e e

I x x x dxx x x dx

Đặt txlnxdtlnx1dx

Đổi cận x t

x e t e

   



   

0

e

I dt e

  

Chọn C Câu 35: Tích phân

2

2 ln ln

e

x x

I dx

x



 có gái trị là:

A. 2

3

I   B 2

3

I   C 2

3

I   D 2

3

I  

Hướng dẫn giải

Tích phân

2

2 ln ln

e

x x

I dx

x



 có gái trị là: Ta nhận thấy: ln2x ' lnx

x

  Ta dùng đổi biến số

Đặt t ln2 x dt lnxdx x

   

Đổi cận 1

x t

x e t

   



   

2

2

2

1 1

2 2

3

I  tdx t   

 



Chọn A Câu 36: Biết

1

3 ln d

3 e

x a b c

x x

 



 , a, b, c sốnguyên dương c4 Tính giá trị S  a b c

A S 13 B S28 C. S25 D S 16

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt t ln x dt t dx x

 

Đổi: Với x  1 t 3; x  e t

1

3 ln d e

x

I x

x

  

2

2 t td

  32

3

2 3t

 16

3





16

a

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x(t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]  (*) cho  ( )a, ( )  b a( )t b với t[ ; ].  Khi đó:

( ) ( ( )) '( )

b

a

f x dx f t t dt





 



 

Một sốphương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng

2

a x : đặt x | | sin ;a t t 2;  

 

   

 

2

x a : đặt

| |

; ; \ {0}

sin 2

a

x t

t

 

 

   

 

2

x a : x | | tan ;a t t 2;  

 

   

 

a x

a x



 hoặc

a x

a x



 : đặt xa.cos 2t

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân

3 2

0

x dx I

x





 phải đổi biến dạng cịn với tích phân

3

1

x dx I

x





 nên đổi biến dạng

Câu 37: Biết

1

2

2

4 d

3

x x  a



  

 Khi a bằng:

A B 1 C. D 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt x2 sintdx2 cos dt t

Khi :

1

2

6

4 x dx cos cos dtt t 



 

 

 

6

4 cos dtt 

 

   

6

2 cos dtt 

 

  

 6

6

2

2 sin

3

t t

 

 

   

Câu 38: Cho tích phân

1

2

1

I dx a

x



 



 ,a và b là số hữu tỉ Giá trị a là:

A 1

2 B

1

3 C

1

4 D.

1 Hướng dẫn giải

Cho tích phân

1

2

1

I dx a

x



 



 Giá trị a là: Ta có:

Đặt sin , ; cos

2

x t t   dx tdt

 

Đổi cận

0

1

2

x t

x t 

  

  

  

 

6

1

6

I dt a

 

   

Chọn D Câu 39: Giá trị

3

2

9 x dx a b

 

 a b,  a

b phân số tối giản Tính giá trị

biểu thức Tab

A T 35 B T 24 C T 12 D. T 36

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt x3sintdx3cos dt t Đổi cận: 0;

2

x  t x  t 

 

2 2

2 2

0 0

1 cos

9 3sin 3cos d = cos d d

2

t

I t t t t t t

  





      Vậy T 9 436

Câu 40: Đổi biến x2 sint tích phân

1 d x x 

 trở thành

A d t t 

 B

3

d

t t 

 C

6

dt t 

 D.

6

dt 



Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt x2 sint, dx2 cos dt t Đổi cận

0

1

6

x t

x t 

          d x I x    2 cos d 4sin t t t     2 cos d cos t t t   cos d cos t t t   dt  

Câu 41: Biết

2 d 6 a b x x x      

 a, b sốnguyên dương 4 a b5 Tổng a b

A 5 B 7 C 4 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có   2 4 1 d d

6 4 3

a b a b

x x

x x x

 



    

 

Đặt x 3 2sint, ; 2

t    

 ,

dx2 cos dt t

Đổi cận x4

6

t 

  , x a b arcsin

a b

t   m

  

2

6

2 cos

d d

4 sin

m m t t t t    

  tm6 m6 Theo đề ta có m

6  

  arcsin

2

a b 

  3

2

a b

Do a3, b3, a b 6

Câu 42: Tích phân   

3

1

I  x x dx có giá trị là:

A

6

I   B

3

I   C.

6

I   D

3

I  

Hướng dẫn giải

Tích phân   

3

1

I  x x dx có giá trị là: Ta có:

    

3 3

2

5 5

2 2

1 3 2

I  x x dx  x  xdx  x dx

Đặt sin , ; cos

2

x  t t   dx tdt

 

Đổi cận

2

3

2

x t

x t

 



  

  

    



2 2 2

2

6

6 6

1 cos 1

1 sin cos cos sin

2 2

t

I t tdt tdt dt x t

   



  



  

          

 

  

Chọn C Câu 43: Tích phân

1

1

I dx

x

 

 có giá trị là:

A

I  B

3

I  C.

4

I  D

6

I 

Hướng dẫn giải

Tích phân

1

1

I dx

x

 

 có giá trị là: Ta có:

1

1

I dx

x

 

 Ta dùng đổi biến số

Đặt tan , ; 12

2 cos

x t t dx dt

t  

 

    

 

Đổi cận

0

1

4

x t

x t 

   

 

   



4

4

0

I dt t 

 

   

Chọn C

Câu 44: Khi đổi biến x tant, tích phân

1

d

x I

x

 

A

3d

I t



 B.

6

3 d

I t



 C

6

3 d

I t t



 D

6

1 d

I t

t 



Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt x tant  dx tan  2tdt Khi x0 t 0; Khi x1

6

t Ta có

1

d

x I

x

 

   

 

2

2

3 tan d tan

t t t



 

 

6

3 d t



TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 Định lí

Nếu u x  v x  hàm sốcó đạo hàm liên tục a b;  thì: ( ) ( )'  ( ) ( ) ( ) ( )'

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

 

  Hay

b

a

udv

 uvb a



b

a

vdu



2 Phương pháp chung

 Bước 1: Viết f x dx  dạng udvuv dx' cách chọn phần thích hợp

 

f x làm u x  phần lại dvv x dx'( )

 Bước 2: Tính duu dx' vdv v x dx'( )

 Bước 3: Tính '( )

b

a

vu x dx

 uvb a

* Cách đặt u dv phương pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tựưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng ( )

b

x a

P x e dx

 ( ) ln

b

a

P x xdx

 ( ) cos

b

a

P x xdx

 cos

b x a

e xdx



u P(x) lnx P(x) x

e

dv x

e dx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Nên chọn u phần f x  mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dvv dx' phần

 

f x dx vi phân hàm sốđã biết có ngun hàm dễ tìm

BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:

Câu 1: Tích phân

2

sin ,

I x axdx a 



  có giá trị là:

A. 3

6

I

a  

 B 3

6

I

a  

 C 3

6

I

a   

 D 3

6

I

a  



Hướng dẫn giải

Tích phân

2

sin ,

I x axdx a 



  có giá trị là:

Đặt 1

sin cos

du dx

u x

dv axdx v x

a

  

 



 

  

 



2

2 2

3 3 3

1 1 3

cos cos cos sin

6

I x x xdx x x x

a a a a a



  

   



   

     

        

      

Câu 2: Biết  

4

0

1 x cos dx x

a b





  

 (a b, số nguyên khác 0) Tính giá trị ab

A. ab 32. B ab 2. C ab 4. D ab12

Hướng dẫn giải Chọn A

   

4 4

0

sin cos 1

1 cos d

2 4

x x

x x x x

a b

 

 

 

        

 



4; 32

a b ab

    

Câu 3: Tính tích phân π

2

cos d

I x x x cách đặt

2

d cos d

u x

v x x

  

 

Mệnh đềnào đúng? A.

π

2 π

0

1

sin sin d

I  x x x x x B

π

2 π

0

1

sin 2 sin d

I  x x  x x x

C

π

2 π

0

1

sin 2 sin d

I  x x  x x x D

π

2 π

0

1

sin sin d

I  x x x x x

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:

2

d cos d

u x

v x x

  

 

d d

1 sin 2

u x x

v x

    

  

Khi đó:

π

cos d

I x x x

π

2 π

0

1

sin sin d

2x x x x x

 

Câu 4: Biết

2

6

cos sin

I x xdx a b xdx

 

 



    , a và b là số hữu tỉ Giá trị a

b là:

A.

12 B

1

24 C

1 12

 D

24



Hướng dẫn giải

Biết

2

6

cos sin

I x xdx a b xdx

 

 



    Giá trị a

b là:

Ta có:

2 2 2

6

6 6

1

1 24

cos sin sin sin

1

2 24 12

2

a

a

I x xdx x x xdx xdx

b b

   



  



    

 

         

    

 

  

Chọn A Câu 5: Biếtrằng

1

1

cos d ( sin cos )

x x x a b c

 với a b c, , .Mệnh đề nàosau là đúng?

A 2a b c   1 B a2b c C. a b c  0 D a b c  1

Đặt

d d

sin d cos d

2

u x

u x

x

v x x v

  

 



 

 

 

Khi  

1

1

0

sin 1

cos d | sin d 2sin cos

2

x x

x x x  x x  

 

Vậy a b c  0

Câu 6: Tính nguyên hàmI (x 2) sin 3xdx (x 2) cos 3x bsin 3x C a



      TínhM  a 27b

Chọn đáp án đúng:

A. B 14 C 34 D 22

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

sin

u x

dv xdx

  

  

.ta được: cos 3

du dx x v

   

   

Do đó:

 cos 3  cos 3 1

cos sin 3;

3 3 9

x x x x

I      xdx    x c a b m

Câu 7: Tính tích phân  

0

sin

x x x dx a b



 

  

 Tính tích ab:

A 3 B.

3 C 6 D

2 Hướng dẫn giải

Chọn B

   

3

2

0 0 0

sin cos cos cos

0

3

x

I x dx x xdx x dx xd x x x xdx

      

      

3

3

sin

3 x

 

  

    

Câu 8: Tích phân  

0

3x cos x xd







A 3

4  B.

2

3

4  C

2

1

4  D

2

1

4  Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt  

0

3 cos d

I x x x



  Ta có:

  

0

1

3 cos d

I x x x



         1 2

0

1

3 d cos d

2 x x x x x I I

 

 

      

  

 

1

3 d

I x x



   2

0

3

2

2x x



 

 

  

 

 

 

2

3 cos d

I x x x



Đặt

d 3d

3

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

 

 

 



 

 

 

Khi 2  

0

1

3 sin sin d

2

I x x x x

 

     

0

3

0 cos

4 x



  

Vậy 2

2

I       

 

Câu 9: Tính  

0

1 cos d

x x x





 Kết

A.

2



 B

2

3



 C

2

3



 D

2

2





Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt d d

d (1 cos )d sin

u x u x

v x v v x x

 

 



 

   

 

Khi đó:    

0

sin sin d

I x x x x x x

 

   

2

0

cos

x

x



  

   

 

2

2

1

2

 

  

     

 

Câu 10: Tính tích phân

3 cos

x

dx a b

x 



 

 Phần nguyên tổng a b ?

A 0 B.-1 C 1 D -2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đối với toán này, sử dụng phương pháp nguyên hàm phần

Đặt

2

sin tan

cos cos

u x du dx

dx x

dv v x

x x

 

 

 



 

  

 

 

Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có:  

3

sin tan

cos

xdx

I x x

x  

 

   

3

cos tan

cos

d x

x x

x 



   tan  ln cos  ln

3

0

I x x x

 



    

Suy ; ln

a b 

Tổng ln 0,1157969114

a b    

Lưu ý khái niệm phần nguyên x số nguyên lớn không vượt x, đáp án đáp án B

Câu 11: Cho

2

2

tan ln

32 x

I x xdx b

a

 

    tổng ab

A 4 B 8 C 10 D.6

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt

Vậy

Câu 12: Tính  

2

2

sin cos d

x x x x





 Kết

A 2 

 B

2 

 C

3 

 D.

2 



Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

2

2

( sin ) cos d

I x x x x



 

2

2

( cosx x sin xcos )dx x 

 

1

2

2

2

0

cos d sin cos d

x x x x x x I I

 

   

Tính I1: Đặt

d cos d

u x

v x x

 

 

 

d d

sin

u x

v x

  

 

Nên

2

0

cos d

I x x x





 

2

2

0

0

sin | sin d cos |

2

x x x x x



 

 

     

4 4

2

0 0

2

4 0

1

1

cos cos

2 32

I x dx x dx xdx

x x

xdx

  





 

 

     

 

 

  



1

0

1

cos

I x dx

x 



2 tan

cos

u x

du dx

dx

v x

dv

x

 

  



 



 

 

4

4

1

0

tan tan ln cos ln

4

I x x xdx x



 

 

     

2

ln

4 32

Tính I2: Đặt usin x Ta có ducos d x x Đổi cận: 0;

x u x u

1

2

2

0

1

1

sin cos d

0

3

I x x x u du u



     Vậy 1 2

2

I I I  

Câu 13: Cho tích phân

2

2 sin

I  x xdx a b Tính Aa b Chọn đáp án đúng:

A 7 B.10 C 6 D 2

Hướng dẫn giải Chọn B

* Đặt ut2 du2tdt; dvsintdt chọn v cost

Vậy

0

2 cos cos

0

I  t t  t tdt

  

Đặt u t dudt dvcostdt chọn vsint 0 sin sint 0 sin cost

0

I t tdtt   tdt    

* Do đó: 2cos 2 2; 10

I  t t     a b   A

 

DẠNG 2:

Câu 14: Cho  

0

d

a x

xe x  a

  Tìm a?

A 0 B. C 2 D e

Hướng dẫn giải Chọn B

  0  

0

d 1 1 1

a

a

x x a

xe x  x e  a e   a



Câu 15: Cho

1

2

0

d

x

I xe xae b(a b, số hữu tỷ) Khi tổng a b

A 0. B 1

4 C 1 D.

1

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt 2

d xd

u x v e x

  

 

ta có 2

d d

1

x

u x

v e

   

  

Vậy

1

2 2 2 2

0

1

1 1 1 1 1

d d

0

2 2 4 4

x x x x

I xe x xe  e x e  e  e  e   e 

Suy

1

1

4

a

a b b

   

   

   

Câu 16: Biết tích phân  

1

2x1 e dxx ab e

A. B 1 C 15 D 20

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt d 2d

d xd x

u x u x

v e x v e

  

 



 

 

 

Vậy      

1

1

0

0

2x1 e dxx  2x1 ex 2 e xxd  2x1 ex  e

 

Suy a1;b 1 ab1

Câu 17: Tìm a cho

.e x

a x

I x d  , chọn đáp án

A 1 B 0 C 4 D.2

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

0

a x

I x e dx Đặt

2 2.

x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 

 



 

   

 

 

2 2 2

0

0

2 2 2

a a a

x x a x a

I x e e dx ae e a e

        

Theo đề ta có: 4 2 2 4 4 2

a

I   a e   a

Câu 18: Cho tích phân   

1

1 x

I  x e  dx Kết tích phân dạng I  e a Đáp án sau đúng?

A.

2

a B

4

a C

5

a D

3

a

Hướng dẫn giải Chọn A

     

    

  

1 0

1

2

0

1

3 3

1 3

3

1

2

x x x

x x

x x

du dx u x

dv e dx v e dx e x

I x e x e x dx

x e x e x e



  



 



 

     

 

 

     

 

       

 

 

Câu 19: Tìm m để  

0

1 x

mx e dxe

 ?

A 0 B -1 C 1

2 D.1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

         

   

1 1

1

0

0 0

1

0

1 (e ) 1

1 1

x x x x x x

x x

mx e dx mx dx mx e m e d mx mx e m e dx

mx e me m e me m e m

         

   

            

DẠNG Câu 20: Cho

e

ln d

I x x x

.e

a b

c



 với a, b, c Tính T a b c

A 5 B 3 C 4 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: ln

d d

u x

v x x

  

 

nên 2

1

d d

2

u x

x x v

        

e

ln d

I x x x

e e

1

1

ln d

2

x

x x x

  

2

e





1

a b c

    

  

Vậy T a b c6

Câu 21: Kết phép tính tích phân  

1

ln 2x1 dx

 biểu diễn dạng a.ln 3b, giá trị

của tích ab3

A 3 B 3

2 C 1 D.

3



Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt  

2

ln d d

2 d d

u x u x

x

v x

v x



 

 

 

 

 

 

  



Ta có    

1 1

1

0 0

2

ln d ln d ln d

2

x

I x x x x x x

x x

 

         

   

  

1

1

ln ln ln

2

x x

 

      

 

Khi 3;

a b  Vậy 3

2

ab  

Câu 22: Biết tích phân  

2

4x1 ln dx xaln 2b

 với a, bZ Tổng 2ab

A 5 B 8 C. A1;2; 1 D 13

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt

 

1

ln d d

d d

u x u x

x

v x x



  

 

  



Ta có        

2

2

2 2

1 1

1

4x1 ln dx xx 2x1 lnx  2x1 dx6 ln 2 x x 6 ln 2

 

Vậy 2a b 10

Câu 23: Tính tíchphân  

2

1 1 ln d

A ln

I   B. ln 2

I   C ln

I   D ln 2

I  

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách 1:  

2 2

1 1 ln d

I x  x x

Đặt

 

d d ln

d d

3

x u

u x x

v x x x

v x

 

 



 



 

 

 

  

 

Do

2 2

2

3 3

1

1 1

6ln 2

ln d ln

3 3 9

x x x x

I  x x     x x x  x  

       

Cách 2:

   

2

2 3

2

1 1

2

2

1 1

1 ln d ln d ln d ln

3 3

2 2 ln

ln d

3 3 9

x x x

x x x x x x x x x

x x

x x

     

          

     

    

         

   

  



Câu 24: Kết tích phân 2  

0 2xln x1 dx3ln 3b

 Giá trị 3b là:

A 3 B 4 C. D 7

Hướng dẫn giải Chọn C

 

 

2

0 ln

I  x x dxA B

Tính 2

0

0

A xdxx 

Tính 2  

0 ln

B x dx

Xem: u lnx 1

dv dx

 

  

  

ta chọn 1

dx du

x

v x

  

 

   

Dùng cơng thức tích phân phần

 

     

2 2

0

0

1

ln 1 ln 3ln 3ln

1

x

B x dx x x dx x

x



         



 

Vậy: 2  

0 ln 3ln

I  x x dx 

Câu 25: Biết

1

ln d

e

x

x a e b

x  

 với a b,  Tính Pa b

A P4 B. P 8 C P 4 D P8

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt

d ln

d d

d

d

x

u x

u x x

v

v x

x

 





 



 



  

 

Suy

1 1

1

ln d

d ln 2 ln 4

e e

e e e

x x

x x x x x x e

x   x     

   ab 42

 

Vậy Pab 8

Câu 26: Cho biết tích phân    

1

7 ln d ln

I x x x a

b



     a, b số nguyên

dương Tìm mệnh đềđúng mệnh đề sau:

A. ab B ab C ab D a b

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt  

 

1

d d

ln 1

d d

2

u x

u x x

x

v x x

v x

  

 



  



 

 

 

  

 

 

1

2

0

1

2 ln d

2

x x x

I x x x

x

   

     



 

  

1

5

ln d

2 x x x

 

     



 



 

1

0

5

ln 3ln

2 2

x

x x

 

      

 

7 ln

4



 

Suy a4, b4 Vậy ab

Câu 27: Cho tích phân

1

1 ln e

I x xdx ae b

x

 

     

 

 , a và b là số hữu tỉ Giá trị 2a3b là:

A 13

2 B

13

4 C.

13

 D 13

2



Hướng dẫn giải

Cho tích phân

1

1 ln e

I x xdx ae b

x

 

     

 

 Giá trị 2a3b là: Ta có:

1

2

1 1 1

1

ln ln ln ln

2 4

e

e e e e

x x e

I x xdx x xdx xdx x dx dt

x x

 

 

           

   

     , với t lnx

1 13

,

4 4

a b a b

      

Chọn C Câu 28: Giả sử

2

2

4ln

d ln ln

x

x a b

x



 

 ,với a b, làcácsố hữutỷ.Khi tổng 4a b

A 3 B 5 C 7 D.

Hướng dẫn giải

 

2 2

2

2

1

1 1

4ln ln 1

d + d ln d ln d ln ln 2ln ln

x x

x x x x x x x

x x x x

  

        

 

   

ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH 1 Diện tích hình phẳng

a)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) liên tục đoạn a b; , trục hoành hai đường thẳng xa, xb xác định: ( )

b

a

S f x dx

b)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), y g x( ) liên tục đoạn a b; 

hai đường thẳng xa, xb xác định: ( ) ( )

b

a

Sf x g x dx

Chú ý:

- Nếu đoạn [ ; ]a b , hàm số f x( ) khơng đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

- Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích hình phẳng giới hạn đường xg y( ), xh y( ) hai đường thẳng yc, yd xác định: ( ) ( )

d

c

S g y h y dy

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP:

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đường y f x( ), yg x( ), xa x, b ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình f x( )g x( ) (1)

+) Nếu (1) vơ nghiệm  ( ) ( ) b

a

S  f x g x dx

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc.a b;  giả sử   ( ) ( )  ( ) ( )

b

a

S f x g x dx f x g x dx





   

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f x( )g x( ) đoạn a; b r ồi dựa vào bảng xét dấu để

tính tích phân

 



 

     

1

2

( ) : ( )

( ) : ( )

( )

C y f x

C y f x

H

x a

x b

1 (C )

2

(C )

1( ) 2( )

b

a

S  f x  f x dx

a c1

y

O c2 b x

  

  

    

( ) ( )

y f x y 0 H

x a x b a c1

2

c

 ( )

y f x y

O c3 b x

( ) b

a

Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đường y f x( ), y g x( ) S f x( ) g x dx( )





  Trong ,  nghiệm nhỏ lớn

nhất phương trình f x( ) g x( ) a  b

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình f x( )g x( ) tìm giá trị  ,

Bước 2. Tính S f x( ) g x dx( )





  trường hợp

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1:TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y f x( ), TRỤC HOÀNH VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG xa x, b a b

Câu 1: Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox đường thẳng xa x, b a b

A.  

b

a

f x dx

 B 2 

b

a

f x dx

 C  

b

a

f x dx

 D  

b

a

f x dx



Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên códiện tích

A.  d  d

b c

a b

f x x f x x

  B  d  d

b c

a b

f x x f x x

 

C  d  d

b c

a b

f x x f x x

  D  d  d

b b

a c

f x x f x x

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có f x 0 x a; b f x 0 x b c;  nên diện tích hình phẳng

 d  d

b c

a b

f x x f x x

 

Câu 3: Cho hàm số f x  liên tục , có đồ thịnhư hình vẽ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x , trục hoành trục tung Khẳng định sau đúng?

O x

y

c b a

 

A.    

d d

d

c d

S  f x x f x x B    

0

d d

d

c d

S  f x x f x x

C    

0

d d

d

c d

S   f x x f x x D    

0

d d

d

c d

S f x x f x x

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có  

0

d

c

S  f x x    

0

d d

d

c d

f x x f x x

 

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f x 0 với xc d;  f x 0 với xd;0

Do    

0

d d

d

c d

S  f x x f x x

Câu 4: Diện tích hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hồnh hai

đường thẳng xa, xb ab(phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức:

A  d

b

a

S  f x x B.  d  d

c b

a c

S   f x x f x x

C  d

b

a

S   f x x D  d  d

c b

a c

S f x x f x x

Hướng dẫn giải Chọn B

Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng ta có:

 d   d   d  d  d

b c b c b

a a c a c

S  f x x  f x  xf x   x  f x x f x x

Câu 5: Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị  C đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C , trục hoành hai đường thẳng x0, x2 (phần tô

đen)

O x

y

c d

 

A   f x dx

 B    

0 f x dx f x dx

 

C.    

0 f x dx f x dx

  D  

0 f x dx



Hướng dẫn giải Chọn C

Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: x0;1 f x 0, x1; 2 f x 0 Vậy S     

0 f x dx f x dx

 

Câu 6: Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S

A    

1

1

d d

S f x x f x x



  B.    

1

1

d d

S f x x f x x



  

C  

2

d

S f x x



 D  

2

d

S f x x



 

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x 1 đến x1 trục hoành  mang dấu dương

  

1

1

d

S f x x



 

Miền hình phẳng giới hạn từ x1 đến x2 ởdưới trục hoành  mang dấu âm

  

2

1

d

S   f x x

Vậy    

1

1

d d

S f x x f x x



  

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x33x2, trục hoành hai đường thẳng x1, x4

A 53

4 B.

51

4 C

49

4 D

25 Hướng dẫn giải

Ta có x33x2 0x3 [1; 4] Khi diện tích hình phẳng

x y

2

3

2

O

O x

y

2

1



 

3

4

4

3 3 3

1 1 3

27 51

3 ( ) ( )

4 4

x x

S  x  x dx x  x dx  x  x dx   x   x    

   

   

  

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

x y

x

 



, trục hoành đường thẳng

x

A 3 ln 2 B 3 ln 2 C. ln 2 D 3 ln 2 Hướng dẫn giải

Ta có x 1 0x 1 nên  

2 2

1

1

1

1 ln 2ln

2

x

S dx dx x x

x x 

 

 



 

         

   

 

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ycosx, trục tung, trục hoành đường thẳng x

A 3 B. 2. C 4 D 1.

Hướng dẫn giải Chọn B

Hoành độgiao điểm đồ thị hàm số ycosx trục hồnh nghiệm phương trình

cos

2

x  x k Xét 0; suy

2

x

Diện tích hình phẳng cần tính

2

2

cos d cos d

S x x x x







  

Câu 10: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y ex ex, trục hoành, trục

tung đường thẳng x 2

A

2

e

e

S   (đvdt) B

e

e

S   (đvdt) C

e

e

S   (đvdt) D.

4

e

e

S   (đvdt) Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

0

ex e x d

S  x



    0

2

ex ex 

 

2

1 e

e

 

4

e

e 

 (đvdt)

Câu 11: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yx2, trục hoành Ox, đường thẳng x1, x2

A.

3

S B

3

S  C S7 D S 8

Hướng dẫn giải Chọn A

Diện tích hình phẳng

2

d

Sx x

2

d

x x



2

1

3

x



3

 

3



Câu 12: Cho parabol  P có đồ thịnhư hình vẽ:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P với trục hoành

O x

y

1

A 4 B 2 C 8

3 D.

4 Hướng dẫn giải

Chọn D

Từđồ thịta có phương trình parabol yx24x3

Parabol  P cắt Ox hai điểm có hồnh độ x1, x3 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn  P với trục hồnh ta có

3

4 d

S  x  x x  

3

4 d

x x x

   

3

2

1

2

3

x

x x

 

    

 

4



Câu 13: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường yx32x1, trục hoành, x1 x2

A. 31

4

S  B 49

4

S  C 21

4

S  D 39

4

S 

Hướng dẫn giải Chọn A

Diện tích hình phẳng cần tìm

2

31 d

4

S  x  x x

Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x24, đường thẳng x3, trục tung trục hoành

A 22

3 B

32

3 C

25

3 D.

23 Hướng dẫn giải

Xét pt x240 đoạn 0;3 có nghi ệm x2

Suy

2

2

0

23

4

3

S x  dxx  dx

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y xlnx, trục hoành đường thẳng xe

A

1

e 

B

1

e 

C

1

e 

D.

1

e  Hướng dẫn giải

Xét pt xlnx0 khoảng 0;ecó nghiệm x1

Suy

2

1 ln

4 e

e S x xdx 

Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 1lnx x

 , trục hoành đường thẳng

e

x

A.

2 . B 1 C

1

4 D 2

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình hồnh độgiao điểm: 1lnx

x   x1

Diện tích hình phẳng giới hạn là:  

e

e e

1 1

1 ln

ln d ln d ln

2

x

x x x x

x   

 

Câu 17: Hình phẳng giới hạn đường

1

A. B 4

3 C

16

3 D

20 Hướng dẫn giải

Chọn A

Phương trình hoành độgiao điểm đường

1

y x  Ox là: x2 1 0 x 1 Diện tích hình phẳng là:

3

1 d

S x x



      

1

2

1

1 d d

x x x x



     

3 3

1

8

3

x x

x x



   

       

   

Câu 18: Cho hình phẳng H giới hạn đường y x; y0; x4 Diện tích S hình phẳng H

A 16

S  B S 3 C 15

4

S D 17

3

S

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét phương trình x 0 x0 Ta có

4

0

2 16

d

3

S  x x x x 

Câu 19: Cho hình phẳng hình vẽ Tính diện tích hình phẳng

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Diện tích hình phẳng là:

Đặt , nên:

.

Câu 20: Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn đường yx22x, y0, x 10, x10

A 2000

S B S 2008 C 2008

3

S D 2000

Hướng dẫn giải Chọn C

 H  H

9

ln

2 

9

ln 2

9

ln

2 

 H

3

ln d

S x x x

2

1

d d

ln

d d

2

u x

u x x

v x x

v x

   

 



 



  

 

3

ln d

S x x x

3

1

1

ln d

2x x x x

  

3

2

1

1

ln

2x x 4x

  9ln

2

Phương trình hồnh độgiao điểm đồ thị yx22x y0 x22x0

2

x x

    



Trên đoạn 10;10 ta có

2

2

x  x ,   x  10; 0và 2;10 

2

2

x  x ,  x 0; 2

Do 10

2 10

2 d

S x x x



        

0 10

2 2

10

2 d d d

x x x x x x x x x



       2008

3

 ( đvdt)

Nhận xét:

Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà khơng chia khoảng có sai khác kết máy casio vinacal.Trongtrườnghợpnàymáyvinacalchođápsốđúng.

DẠNG 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG ( ), ( ), ,

y f x yg x xa xb

Câu 21: Cho hàm số y f x , yg x  liên tục a b;  Gọi  H hình giới hạn hai đồ thị

 

y f x , yg x  đường thẳng xa, xb Diện tích hình  H tính theo cơng thức:

A  d  d

b b

H

a a

S  f x x g x x B    d

b H

a

S  f x g x x

C     d

b H

a

S  f x g x  x D     d

b H

a

S f x g x  x

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 22: Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị hai hàm số f x1  f2 x liên tục đoạn

a b;  hai đường thẳng xa, xb (tham khảo hình vẽdưới) Cơng thức tính diện tích hình  H

A. 1  2 d

b

a

S  f x  f x x B  1  2 d

b

a

S  f x  f x x

C 1  2 d

b

a

S  f x  f x x D 2 d 1 d

b b

a a

S  f x x f x x

O x

y

a c1 c2 b

 

1

f x

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

Câu 23: Cho hàm số f x  liên tục  1; Gọi  D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

y f x , y0, x1 x2 Cơng thức tính diện tích S  D cơng thức công thức đây?

A  

2

d

S  f x x B  

2

d

S  f x x C.  

2

d

S f x x D  

2

d

S f x x

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 24: Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol

yx , đường thẳng y  x trục

hoành đoạn 0; (ph ần gạch sọc hình vẽ)

A 3

5 B.

5

6 C

2

3 D

7 Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  

2

1

2

0 1

5

d d

3

x x

S  x x  x x    x 

 

 

Câu 25: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y x2x2, yx2và hai đường thẳng x 2; x3 Diện tích (H)

A 87

5 B

87

4 C.

87

3 D

87 Hướng dẫn giải

Xét phương trình (x2x2) ( x2)0x240x 2 Suy

2

2

2

87

4

3

S x dx x dx



    

Câu 26: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

4

( ) :

1

x x

C y

x

  



 , ti

ệm cận xiêm ( )C hai

đường thẳng x0,xa a ( 0) có diện tích Khi a

A.

1e B 1e5 C 1 2 e5 D 1 2 e5

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Ta có

:

TCX y x

Nên

0

0

1

( ) ln ln(1 )

1

a

a

S a dx dx x a

x x

   

   

         

 

   

Suy ln(1a)5a 1 e5

Câu 27: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x yex, trục tung

đường thẳng x1 tính theo cơng thức:

A

ex d

S   x B.  

1

ex d

S  x x C  

1

ex d

S  x x D

1

ex d

S x x



  

Hướng dẫn giải Chọn B

Vì khoảng 0;1  phương trình ex  x khơng có nghiệm ex x,  x 0;1 nên

 

1

0

ex d ex d

S x x x x

DẠNG 3:DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG y f x( ), yg x( ) Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y2x2 đường thẳng y x

A 7

2 B

9

4 C 3 D.

9 Hướng dẫn giải

Ta có 2

2

x

x x

x

   

   

  

2x2 x,  x [ 1; 2] Nên

2

2

1 1

9

(2 )

2

x x

S x x dx x

 

 

 

       

 



Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

yx y x là:

A 

B.

6 C

5

6 D

1



Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình hồnh độgiao điểm là: x2 x

1

x x

    



Ta có diện tích hình phẳng cần tính là:

1

d

S  x x x

1

0

3

x x

 

   

 

1



Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x y x

A.

12 B

1

13 C

1

14 D

1 15 Hướng dẫn giải

Ta có

1

x

x x

x

  

 

  

Nên

1

1

3

3

3

0 0

2

( )

3 12

S  x x dx x x dx   x  x  

 

 

Câu 31: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn  P :y x2 4, tiếp tuyến  P

2;0

M trục Oy

A

S  B S 2 C

3

S  D

3

Chọn A

y  x

 2

y 

Phương trình tiếp tuyến  P M2;0

 

2 2

y x  x

Diện tích hình phẳng cần tìm 2   2 

0 4 d d

S  x   x x  x  x x

3

0

3

x x

 

   

 

4



Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường yx2,

3

y  x trục hoành

A. 11

6 B

61

3 C

343

162 D

39 Hướng dẫn giải

Chọn A

Phương trình hồnh độgiao điểm đường yx2,

3

y  x

2

3

x   x 3x2  x

1

x

x

   

   

Hoành độgiao điểm đường thẳng

3

y  x với trục hoành x4

Hoành độgiao điểm parabol yx2 với trục hoành x0 Diện tích hình phẳng cần tìm

1

2

0

1

d d

3

S  x x  x  x

 

 

1

3

2

1

1

3

x

x x

 

    

 

11



Câu 33: Cho  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ylnx1, đường thẳng y1 trục tung (phần tơ đậm hình vẽ)

Diện tích  H

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số ylnx1 đường thẳng y1

 

ln x1  1 x e

Diện tích  H  

e

ln d

S x x



  

Đặt  

1

ln d d

1

d d

1

u x u x

x

v x

v x



 

 

 

 

 

 

   



Khi      

e e

0

1 ln d e e 1

S x x x

 

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH 1) Thể tích vật thể:

Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm , Giả sử hàm số liên tục đoạn

Khi đó, thể tích vật thể Bđược xác định: 2) Thể tích khối trịn xoay:

Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường ,

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRỊN XOAY) PHƯƠNG PHÁP:

Tính thể tích khối trịn xoay:

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), y0,

xa xb a ( b) quay quanh trục Ox 2( )

b

a

V  f x dx

B S x( )

x (axb) ( )

S x [ ; ]a b

( ) b

a

V S x dx

( )

y f x

xa xb

( )

xg y

yc yd

( )

y f x

( )

y g x xa xb

2

( ) ( ) b

a

V f x g x dx

c y

O d

x

( ) : ( ) ( ) :

 



 

     

C x g y

Oy x 0

y c

y d

 ( )2

d y

c

V   g y dy

( ) : ( ) ( ) :

 



 

     

C y f x

Ox y 0

x a

x b

 2

( )

b x

a

V   f x dx

a

 ( )

y f x

y

O b x

( )

b

a

S x d x

V 

x

O a b

( )V

Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f x( ), yg x( ),

xa xb a ( b) quay quanh trục Ox 2

( ) ( )

b

a

V  f x g x dx

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY SINH BỞI MIỀN  D GIỚI

HẠN BỞI y f x ; y0 VÀ xa x, b KHI QUAY QUANH TRỤC Ox

Câu 1: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn a b;  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị

hàm số y f x , trục hồnh hai đường thẳng xa, xb ab Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức

A 2 d

b

a

V  f x x B 2 d

b

a

V   f x x C 2 d

b

a

V   f x x D  d

b

a

V   f x x

Hướng dẫn giải Chọn A

Theo công thức tính thể tích vật trịn xoay quay hình  H quanh trục hồnh ta có

 

2

d

b

a

V  f x x

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục có đồ thị hình bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích V xác định theo công thức

A  

3

2

d

V f x  x B  

3

2

1

d

V  f x  x

C  

3

2

1

d

V  f x  x. D  

3

2

d

V  f x  x

Hướng dẫn giải Chọn A

Đồ thị hàm số y f x  cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ x1, x3 nên thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox tính theo cơng thức  

3

2

d

V f x  x Câu 3: Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số y x23x2, trục hoành hai đường

thẳng x1, x2 Quay  H xung quanh trục hoành khối trịn xoay tích

A

2

3 d

V  x  x x. B

2

2

1

3 d

V  x  x x

O x

y

1

C  

2

1

3 d

V  x  x x D

2

3 d

V  x  x x

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 4: Cho hàm số yx có đồ thị  C Gọi D hình phẳng giởi hạn  C , trục hồnh hai

đường thẳng x2, x3 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục

hồnh tính cơng thức:

A

2

d

x

V   x B

3

2

d x

V   x C

3 2

d x

V   x D

3

2

d x

V   x

Hướng dẫn giải Chọn C

Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính công thức:

 

3

2 2

2

d d

x x

V   x  x

Câu 5: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y x, trục Ox hai

đường thẳng x1; x4 quay quanh trục hồnh tính cơng thức nào?

A

4

d

V x x B

d

V  x x C

4

1

d

V  x x D

4

d

V  x x

Hướng dẫn giải Chọn A

Thể tích khối trịn xoay giới hạn bời đồ thị hàm số y f x , trục Ox, xa xb tính cơng thức   2d

b

a

V f x  x

Câu 6: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường yx22x, trục hoành, trục tung, đường thẳng

x Tính thể tích V hình trịn xoay sinh (H) quay (H) quanh trục Ox

A 15

V   B

3

V   C 15

8

V   D

8

V  

- Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 

y f x , trục Ox hai đường thẳng xa x, b a b quay xung quanh trục Ox

 

2

b

a

V  f x dx

- Cách giải: Áp dụng công thức ta có

   

1

1

2

2 4

0 0

2 4

5 15

x x

V  x  x dx x  x  x dx x   

 

 

Câu 7: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip  E có phương trình

2

1 25

x y

  Hình phẳng  H giới hạn nửa elip nằm trục hồnh trục hồnh Quay hình  H xung quanh trục Ox ta

được khối tròn xoay, tính thể tích khối trịn xoay đó: A V 60 B 30 C 1188

25  D

Ta có

2

1

9 25

y x

 

2

9 25

x

y  

    

 

với  5 x5 Gọi V thể tích cần tìm, ta có:

5

5

9

9 d 60

25

x

V  x 



 

    

 



Câu 8: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong yex, trục hoành đường thẳng x0,

x Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A

e

V   B  

2

e

2

V   C  

2

e

V   D

2

e 

Hướng dẫn giải Chọn C

Thể tích khối trịn xoay cần tính    

1

1

2

0

e e

e d

2

x x

V  x   

 

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY KHI CHO HÌNH PHẲNG

GIỚI HẠN BỞI: y f x VÀ yg x QUAY QUANH TRỤC Ox

Câu 9: Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào?

A 12  22  d

b

a

V f x  f x  x B 12  22  d

b

a

V f x  f x  x

C 22  12  d

b

a

V f x  f x  x D 1  2  2d

b

a

V f x  f x  x

Hướng dẫn giải Chọn B

Do f x1  f2 x  x a b;  nên Chọn B

Câu 10: Cho hình phẳng  D giới hạn đường x0, x1, y0 y 2x1 Thể

tích V khối trịn xoay tạo thành quay  D xung quanh trục Ox tính theo cơng thức?

A

2 1d

V   x x B  

1

2 d

V   x x C  

1

2 d

V  x x D

1

2 1d

V  x x

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  

1

2

2 d

V   x x  

1

2x dx

  

Câu 11: Cho hình phẳng  D giới hạn đường x0, x , y0 y sinx Thể

tích V khối tròn xoay tạo thành quay  D xung quanh trục Ox tính theo cơng thức

A

0

sin d

V x x

 

  B

0

sin d

V x x

 

 

C  

0

sin d

V x x

 

   D

0

sin d

V x x





Hướng dẫn giải Chọn B

Ta tích khối trịn xoay cần tính

0

sin d

V x x

 

 

Câu 12: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường yxex,

0

y , x0, x1 xung quanh trục Ox

O x

y

b

a

 

1

f x

 

2

A

2

e dx

V x x B

1

e dx

V x x C

1 2

e dx

V x x D

1

e dx

V x x

Hướng dẫn giải Chọn C

Thể tích khối tròn xoay giới hạn y f x , y0, xa, xb(ab) xác định bởi:

 

2

d

b

a

V  f x x

Vậy,

1 2

e dx

V x x

Câu 13: Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx y2; 0; x2 Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay  H quanh trục Ox

A

V  B 32

5

V  C

3

V   D 32

5  Hướng dẫn giải

Chọn D

Vẽ phác họa hình thấy miền cần tính

2

4

0

2 32

5

V x dx x  

Câu 14: Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng  H giới hạn yx2 y x quanh trục Ox

A 72 10



(đvtt) B 72 

(đvtt) C 81 10



(đvtt) D 81 

(đvtt) Hướng dẫn giải

Chọn B

Phương trình hồnh độgiao điểm 2

x

x x

x

       



Thể tích cần tìm  2

1

72 d

5

V  x x x 



 

   

 



Câu 15: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yex

các đường thẳng y 0, x0 x1được tính cơng thức sau đây? A

1

e dx

V  x B

1

e dx

V  x C

1

e dx

V  x D

1

e dx

Hướng dẫn giải Chọn D

Thể tích khối trịn xoay cần tìm là:  

1

π ex d

V   x

1 π e dx

x

 

Câu 16: Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol

 

: 

P y x đường thẳng d y: 2x quay xung quanh trục Ox

A  

2

2

2 d

 x  x x B

2

2

0

4 d d

 x xx x

C

2

2

0

4 d d

 x xx x D  

2

2 d

 xx x

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình hồnh độgiao điểm: 2 0  

   

 

x

x x

x

Vậy thể tích khối trịn xoay tính:  

2

2

2 d 

  

V x x x

Câu 17: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y 1 x2, y=0

quanh trục Ox có kết dạng a

b



Khi a+b có kết là:

A 11 B 17 C 31 D 25

Hướng dẫn giải Chọn C

1

2

16 (1 )

15

x dx 

 

 



Nên a= 16, b= 15, a+b=31

Câu 18: Cho hình  H giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A2; 4, hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình  H quay quanh trục Ox

A 16 15



B 32

5 

C 2

3 

D 22

5 

Hướng dẫn giải Chọn A

O x

y

2

Parabol có đỉnh gốc tọa độnhư hình vẽvà qua A2; 4 nên có phương trình yx2 Tiếp tuyến Parabol A2; 4 có phương trình y4x2 4 4x4 Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm    

2

2 2

2

0

d 4 d

V  x x x x

 

2

2

2

0

32 d

5

x

x x 

 ;    

2

2

2 2 2

1 1

16

4 d 16 d 16

3

x

x x x  x x  x x 

 

 

Vậy    

2

2 2

2

0

32 16 16

d 4 d

5 15

V  x x x x   

 

 

Câu 19: Cho hình thang cong  H giới hạn đường yex, y0, x 1, x1 Thể tích vật thể trịn xoay tạo cho hình  H quay quanh trục hồnh

A

2

e e





B  

2

e e

 



C

4

e



D  

2

e e

 



Hướng dẫn giải Chọn D

Thể tích vật thể cần tính    

2

1

1

2 2

1

1

e e

e d d e e

2 2

x x x

V  x   





 



     

Câu 20: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn y 1 x2, y0 quanh trục Ox

là V aπ b

 với a, b số nguyên Khi a b

A 11 B 17 C 31 D 25

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình hồnh độgiao điểm 1x2 0x 1

Ta có  

1

2

π d

V x x



   16π

15

 a16, b15 Vậy a b 31

Câu 21: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường yx24,

2

y x , x0, x2 quanh trục Ox

A 32π

5 B

32π

7 C

32π

15 D

22π

5 Hướng dẫn giải

Ta có  

2

2

0

256

π d π

15

V   x  x ,  

2

2

0

32

π d π

3

V   x x

Vậy thể tích cần tìm 1 2 32π

5

V V V 

Câu 22: Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị hàm số y x

 đường thẳng y0, x1,

x Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng  H quay quanh trục Ox

A 2 ln 2 B 3



C 3

4 1 D 2 ln Hướng dẫn giải

Chọn B

Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng  H quay quanh trục Ox

2

1 d

V x

x

       



4

1

x

 

   

 

1

 

    

 

3

 

Câu 23: Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường

1

y x

 , y0, x1, xa, a1 quay xung quanh trục Ox

A V 1

a

 

  

  B

1

V

a 

 

  

  C

1

V

a 

 

  

  D

1

V

a

 

    

Hướng dẫn giải Chọn B

Thể tích V vật thể trịn xoay cần tìm

2

1 d

a

V x

x

  

  

 



1

1

1

a

x a

  

      

 

1

V

a 

 

   

 

Câu 24: Cho hình phẳng  H giới hạn đường yx2, y2x Thể tích khối trịn xoay

được tạo thành quay  H xung quanh trục Ox bằng:

A 32 15



B 64

15 

C 21

15 

D 16

15 

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét phương trình hồnh độgiao điểm: x22x0

2

x x

    

Khi quay  H xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn

2

2

y x

y x

x x

  

  

    

Do thể tích khối trịn xoay là:    

2

2 2

2

64

2 d

15