ChÝnh v× vËy, mong muèn n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ to¸n häc ®Ó häc kh¸ vµ häc giái m«n to¸n lµ nguyÖn väng cña rÊt nhiÒu häc sinh.I. Néi dung vµ ph¬ng ph¸p.[r]
(1)Môc lôc
Trang A Đặt vấn
B Nội dung phơng pháp I T×nh h×nh chung
II Những vấn đề đợc giải III Phơng pháp tiến hành
C¬ së lÝ thuyÕt Các dạng tập
2.1 Dạng 1: T×m sè cha biÕt
2.1.1 T×m số, thành phần số luỹ thừa 2.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 2.1.3 Một số trờng hợp khác
2.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 2.2.1 Tìm chữ số tận
2.2.2 Tìm chữ số tận 2.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 2.3 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa
2.4 Dạng Tính tốn luỹ thừa 2.5 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa Kết thực
VI Những vấn đề hạn chế hớng tiếp tục nghiên cứu V Điều kiện áp dụng
C KÕt luËn
(2)A Đặt vấn đề
Phải nói rằng: Tốn học mơn khoa học tự nhiên lý thú Nó hút ngời từ cịn nhỏ Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi mơn tốn nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy môn toán , ,việc giúp học sinh nắm vững kiến thức , biết khai thác mở rộng kiến thức , áp dụng vào giải đợc nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển t , óc sáng tạo , nhanh nhạy giải tốn từ học mơn số học lớp Đó tiền đề để em học tốt mơn ĐạI Số sau
Trong tốn học, ‘’Tốn luỹ thừa’’ mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều tốn hay khó Để làm đợc tốn luỹ thừa khơng phải việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 6, lớp 7, em đợc làm quen với mơn đại số đợc tiếp cận với tốn luỹ thừa nên cha có cơng cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phơng pháp, kĩ tính tốn Để học tốt mơn tốn nói chung ‘’Tốn luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải tâp qua suy nghĩ, tìm tịi lời giải Đứng trớc tốn khó, cha tìm cách giải, học sinh thực lúng túng, hoang mang bỏ qua tốn đó, nhng có đợc giúp đỡ, gợi mở em khơng sợ mà cịn thích thú làm toán nh
Để nâng cao mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh lớp 6, lớp 7, kinh nghiệm giảng dạy kết hợp với tìm tịi , học hỏi thầy giáo đồng nghiệp, tơi muốn trình bày số ý kiến chuyên đề ‘’Toán luỹ thừa Q’’ nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phơng pháp giải toán luỹ thừa cho đối tợng học sinh Bên cạnh giúp học sinh rèn luyện thao tác t duy, phơng pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn u tốn nói chung tốn luỹ thừa nói riêng
(3)Nội dung phơng pháp
I Tình h×nh chung
Thơng qua giảng dạy, tơi thấy hầu hết học sinh thấy toán liên quan đến luỹ thừa sợ, đặc biệt luỹ thừa với số mũ lớn , số mũ tổng quát Nh nói trên, học sinh lớp 6, lớp đợc tiếp xúc với toán luỹ thừa, sách giáo khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nh nào? cha cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn?
Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em khơng cịn thấy sợ gặp tốn luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dới dạng tập
II Những vấn đề đợc giải quyt.
1 Kiến thức Kiến thức bổ sung
3 Các dạng tập phơng pháp chung
3.1 Dạng1: Tìm số cha biết
3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 3.1.3 Một số trờng hợp khác
3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa
3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa
3.4 Dạng Tính toán luỹ thõa
3.5 Dạng Toán đố với lu tha
III Phơng pháp tiến hành.
C¥ Së Lý THUỸT
a Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
an =
a.a a ⏟
(n N*)
n thõa sè
b Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n N
am an = am+n, am an ap = am+n+p (p N)
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)
(4)(am)n = am.n (m,n ≠ 0)
Quy íc: a1 = a
a0 = (a ≠ 0)
Víi : x, y Q; m, n N; a, b Z
xn =
x.x x ⏟
(x N*)
n thõa sè
(ab) n
=a
n
bn (b ≠ 0, n ≠ 0)
xo = 1
xm xn = xm+n
xm xn=x
m−n
(x ≠ 0)
x-n =
1
xn (x ≠ 0)
(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm ym (xy)
n
=x
n
yn (y ≠ 0)
c KiÕn thøc bỉ sung * Víi mäi x, y, z Q:
x < y <=> x + z < y + z
Víi z > th×: x < y <=> x z < y z z < th×: x < y <=> x z > y z * Víi x Q, n N:
(-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1
* Víi a, b Q;
a > b > => an > bn
a > b <=> a2n +1 > b2n +
a > , m > n > => am > an
< a < , m > n > => am > an
Các dạng tập
1 Dạng 1: Tìm số cha biết
2.1.1 Tìm số, thành phần c¬ sè luü thõa
(5)a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8
c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 =
Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trờng hợp
a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8
x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3
x = -3 => 2x – = -
VËy x = - 2x = -2 +
2x = -
=> x =
−1
2
VËy x =
−1
2
c, (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
=> 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3
2x = 2x =
x = x =
VËy x = hc x =
d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42
=> x – = -4 hc x – =
x = -2 x =
VËy x = -2 hc x =
Bài 2 Tìm số h÷u tØ x biÕt: x2 = x5
Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến khơng tránh khỏi băn khoăn , lúng túng: hai lũy thừa số- cha biết , số mũ- biết- lại khác Vậy phải làm cách đây? Nhiều học sinh ‘’ tìm mị ằ đợc x = o x = 1, nhng cách không thuyết phục số x thỏa mãn bi thỡ ?
Giáo viên có thĨ gỵi ý :
x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = =>
[x2=0
[x3−1=0[ =>
[x=0
[x3=1[ => [x=0
[x=1[
Đến giáo viên cho học sinh lµm bµi tËp sau :
Bµi 3 Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*)
(6)Giải tơng tự ta đợc :
[x10=0
[x10−1=0[ =>
[x=0
[x10=1[ =>
[x=0 [x=−1 [x=1
[
Rất học sinh dừng lại , tìm đợc x Nhng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y
+) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y =
1
+) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y =
2
+) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = => y =
VËy y =
1
3 ;
2
3 ; 0
Bài 3 : Tìm x biÕt: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
Bài nàyngợc với , hai lũy thừa có số mũ -đã biết- giống nhng số – cha biết – lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất: bình phơng hai lũy thờa hai số đối
Ta cè: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = – 3x hc x – = 3x – 1
=> 4x = 2x = -4
=> x =
6 =
3
2 x = -2
Bài 4: Tìm x y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ¿ 0 (*)
Với toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu ‘ ¿ ’’, thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải đợc vấn đề: so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với
Ta thÊy: (3x - 5)100 ¿ 0 ∀ x ¿ Q
(2y +1)200 ¿ ∀ x ¿ Q
=> BiÓu thøc (*) chØ cã thÓ , nhỏ
VËy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0
3x – = 2y + =0
=> x =
5
3 vµ y =
−1
2
Bài 5:Tìm số nguyên x y cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4
Theo bµi , häc sinh sÏ nhËn : (x + 2)2 ¿ 0 ∀ x ¿ Z (1)
(7)Nhng nảy sinh vấn đề “ < ” , học sinh làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < xảy trờng hợp
sau:
+) Trêng hỵp : (x + 2)2 = 0 vµ (y – 3)2 = 0
=> x = -2 => y = +) Trêng hợp : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 =
=> x = -2 =>
[y=4
[y=2[
+) Trêng hỵp : (x + 2)2 = 1 vµ (y – 3)2 = 0
=>
[x+2=1
[x+2=−1[ => y = 3
=>
[x=−1 [x=−3[
+) Trêng hỵp : (x + 2)2 = 1 vµ (y – 3)2 = 1
=>
[x=−1
[x=−3[ => [y=4 [y=2[
Vậy ta có bảng giá trị tơng ứng x y thỏa mãn đề là:
x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1
y 3 4
Thật tốn phức tạp ! Nếu khơng cẩn thận xét thiếu trờng hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện bi
Bây giáo viên cho học sinh làm toán tơng tù sau : T×m x biÕt :
a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = 1
c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125
T×m y biÕt :
a, y200 = y b, y2008 = y2010
c, (2y - 1)50 = 2y – 1 d, (
y
3 -5 )2000 = (
y
3 -5 )2008
T×m a , b ,c biÕt :
a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ¿ 0
b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ¿ 0
c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ¿ 0
(8)3.1.2 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa.
Phơng pháp: Đa hai lũy thừa có số Bài 1 : T×m n ¿ N biÕt :
a, 2008n = 1 c, 32-n 16n = 1024
b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Đọc đề học sinh dễ dàng làm đợc câu a, a, 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0
Nhng đến câu b, em vấp phải khó khăn : tổng hai lũy thừa có số nhng không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên :
b, 5n + 5n+2 = 650
5n + 5n.52 = 650
5n.(1 + 25) = 650
=> 5n = 650 : 26
5n = 25 = 52
=> n =
Theo hớng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c, 32-n 16n = 1024
(25)-n (24)n = 1024
2-5n 24n = 210
2-n = 210
=> n = -10
d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
3n-1 + 3n-1 = 162
=>6 3n-1 = 162
3n-1 = 27 = 33
=> n – = n =
Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biÕt: 2m + 2n = 2m+n
Học sinh thực thấy khó gặp , khơng biết phải làm nh để tìm đợc hai số mũ m n Giáo viên gợi ý:
2m + 2n = 2m+n
2m+n – 2m – 2n = 0
=> 2m.2n -2m -2n + = 1
2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1
(2m - 1)( 2n - 1) = (*)
(9)Nªn tõ (*) =>
2m
−1=1 2n
−1=1
¿
{¿ ¿ ¿
¿ =>
2m =2 2n
=2
¿
{¿ ¿ ¿
¿ =>
m=1
n=1
¿
{¿ ¿ ¿
¿
VËy : m = n =
Bài 3 : Tìm số tù nhiªn n cho : a, < 3n ¿ 234
b, 8.16 ¿ 2n ¿ 4
Đây dạng toán tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hớng dẫn học sinh đa số lũy thõa cã cïng c¬ sè
a, < 3n ¿ 234
31 < 3n ¿ 35
=> n ¿ {2;3;4;5} b, 8.16 ¿ 2n ¿ 4
23.24 ¿ 2n ¿ 22
27 ¿ 2n ¿ 22
=> n {2;3;4;5;6;7}
Bài 4: Tìm sè tù nhiªn n biÕt r»ng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216
Víi , giáo viên gợi ý học sinh quan s¸t , nhËn xÐt vỊ sè mị cđa c¸c lịy thõa mét tÝch th× häc sinh sÏ nghÜ hớng giải toán:
415 915 < 2n 3n < 1816 216
(4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16
3615 < 6n < 3616
630 < 6n < 632
=> n = 31
Bây giờ, học sinh biết làm toán tơng tự mà tự toán dạng tơng tự
1 Tìm số nguyên n cho
a 27n = 35 b (23: 4) 2n = 4
c 3-2 34 3n = 37 d 2-1 2n + 2n = 25
Tìm tất số tự nhiên n cho :
a 125.5 ¿ 5n ¿ 5.25 b (n54)2 = n
c 243 ¿ 3n ¿ 9.27 d 2n+3 2n =144
3 Tìm số tù nhiªn x, y biÕt r»ng
a 2x+1 3y = 12x b 10x: 5y = 20y
4 Tìm số tự nhiên n biết
(10)b
45+45+45+45
35+35+35
65+65+65+65+65+65
25+25 =2
n
Híng dÉn:
3 a 2x+1 3y = 12x
2x+1 3y = 22x.3x
=>
3y 3x=
22x 2x+1
3y-x = 2x+1
=> y-x = x-1 = Hay x = y =
b 10x : 5y = 20y
10x = 20y 5y
10x = 100y
10x = 1002y
=> x = 2y
4 b
45+45+45+45
35+35+35
65+65+65+65+65+65
25+25 =2
n
4 45 35
6 65 25=2
n
46 36
66 26=2
n
=> 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12
3.1.3 Một số trờng hợp khác
Bài 1: Tìm x biết:
(x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1)
Thoạt nhìn ta thấy tốn phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhng đa toán quen
thuộc phép biến đổi sau :
Đặt x-1 = y ta có: x + = y + x + = y +
Khi (1) trở thành : yy+3 = yy+5
yy+5 - yy+3 = 0
yy+3(y2 – 1) = 0
=> yy+3 = hc y2 – = 0.
* NÕu: yy+3 = => y = 0
(11)* NÕu : y2 – = 0
=> y2 = ( 1)± 2 => y = hc y = -1
Víi y = ta cã: x – = hay x =
Víi y = -1 ta cã: x – = -1 hay x = VËy: x ¿ {0;1;2}
Bµi 2: T×m x biÕt:
x(6-x)2003 = (6-x)2003
Với này, x xuất số ngồi (khơng phải số mũ nh trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hớng dẫn
x (6-x)2003 = (6-x)2003
x (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0
(6-x)2003 (x-1) = 0
=> (6-x)2003 = hc (x-1) = 0
* NÕu (6-x)2003 = => (6-x) = 0
x =
* NÕu (x-1) = => x = VËy: x ¿ {1;6}
Bµi 3: Tìm số tự nhiên a, b biết: a 2a + 124 = 5b
b 10a + 168 = b2
Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đờng bế tắc khơng có lời giải Vậy phải làm cách làm nh nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán này:
a) 2a + 124 = 5b (1)
* Xét a = 0, (1) trở thành 20 + 124 = 5b
Hay 5b = 125
5b = 53
Do a= b =
* XÐt a ¿ Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với
mäi
a ¿ , a,b N, điều vô lý. Kết luận : VËy: a = vµ b =
b) 10a + 168 = b2 (2)
T¬ng tù c©u a
(12)100 + 168 = b2
169 = b2
( 13)± = b2 => b = 13 (vì b ¿ N) Do a = b = 13
* XÐt a ¿
Chúng ta biết với số tự nhiên a ¿ 10a có chữ số tận nên suy
ra 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý.
Kết luận : Vậy: a = vµ b = 13
Giáo viên cho học sinh làm số tập tơng tự sau: Tìm số tự nhiên a , b để:
a 3a + 9b = 183
b 5a + 323 = b2
c 2a + 342 = 7b
d 2a + 80 = 3b
3.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa
3.2.1 Tìm chữ sè tËn cïng
* Phơng pháp: cần nắm đợc số nhận xét sau:
+) Tất số có chữ số tận : 0; ; 5; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số
+) Để tìm chữ số tận số ta thờng đa dạng số có chữ số tận chữ số
+) Lu ý: nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận
số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ sè tËn cïng lµ
+) Chó ý: 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096
Bài 1: Tìm chữ số tận số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012
Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đợc đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 0
11112008 có chữ số tận chữ sè 1
987654321 cã ch÷ sè tËn cïng chữ số 5
204681012 có chữ số tận chữ số 6.
Bài 2 : Tìm chữ số tận số sau :
20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 99
9
, 67
,996, 81975 , 20072007 ,
(13)Híng dÉn : Đa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận : ; ; ;
+) 20072008 = (20074)502 = ( 1 )502 = 1 nên 20072008 chữ số tận
+) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1 1357 = 7
=>13 5725 có chữ số tận
+) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501 3 = ( 1 )501 3 = =
1 3 => 20072007 cã ch÷ sè tËn cïng lµ
+) 23456 = (24)864 = 16864 = 6 => 23456 cã ch÷ sè tËn cïng lµ
+) 5235 = 5232 523 = (524)8 8 = ( 6 )8 8 = 6 8 =
8
=> 5235 cã ch÷ sè tËn cïng lµ
+) 10231024 = (10234)256 = ( 1 )256 = 1 =>10231024 có chữ số tận
+) 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( 1 )501 2003 = 1 2003
=> 20032005 cã ch÷ sè tËn cïng lµ
+) 204208 =( 2042)104 = ( 6 )104 = 6 => 204208 có chữ số tận 6.
+) Ta thÊy 56
lµ mét sè lẻ nên 45 67
có chữ số tận lµ
+) 1358 2008 = (13584) 502 = ( 6 )502 = 6 => 1358 2008 có chữ số tận
6
+) 81975 = 81972 83 = (84)493 2 = 6 2 => 81975 cã ch÷ sè tËn cïng
lµ
+) 996 = ( 94)24 =( 1 )24 = 1 => 996 có chữ số tận
+) Ta thấy 99 số lẻ nên 99
9
cã ch÷ sè tËn cïng lµ
Bài 3 : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A
Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng , ta phảI tìm chữ số tận tong số hạng , cộng chữ số tận lại
Hớng dẫn : Tìm chữ số tận 172008; 112008; 32008 ta cã:
A = 172008 – 112008 – 32008 = 1 - 1 - 1 = 0 - 1 =
9
VËy A cã ch÷ sè tËn cïng lµ
(14)Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M ⋮ 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận
Gi¶i : 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( 1 )6.17 = 1 .17 = 7
244 =(242)2 = 5762 = 6
1321 = (134)5.13 = ( 1 )5.13 = 1 13 = 3
VËy M = 7 + 6 - 3 = 0 => M ⋮ 10
§Õn đây, sau làm , 3, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau :
Bài 5: Tìm chữ số tận số có dạng: a A = 24n – 5 (n ¿ N, n ≥ 1) b B = 24n + 2+ 1 (n ¿ N)
c C = 74n – 1 (n ¿ N)
Híng dÉn : a, Cã : 24n = (24)n = 16 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 6
=> 24n – cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 1
b, B = 24n + 2+ 1 (n ¿ N)
Ta cã 24n + 2 = 22 24n = 16ncã ch÷ sè tËn cïng lµ 4
=> B = 24n + 2+ có chữ số tận 5
c, C = 74n – 1
Ta cã 74n = (74)n = (2401)n cã ch÷ sè tËn 1
Vậy 74n có chữ sè tËn cïng b»ng
Bµi 6: Chứng tỏ rằng, số có dạng: a , A = 22
n
−1 chia hÕt cho (n ¿ N, n ≥ 2)
b , B = 24
n
+4 chia hÕt cho 10 (n ¿ N, n ≥ 1)
c , H = 92
n
+3 chia hÕt cho (n ¿ N, n ≥ 1)
Với dạng này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho Đọc đầu bài, học sinh định hớng đợc phải tìm chữ số tận nh 5, nhng bắt tay vào làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 22
n
, 24
n
, 92
n
, học sinh phải tính nh nào, rÊt cã thĨ häc sinh sÏ nhÇm:
a2n=22n , 24n=24n , 92n=92n
Khi giáo viên hớng dẫn nh sau : a) Với n ¿ N, n ≥ 2, ta có : 22
n
= 22 2 2n−2
=(24)2n−2=162n−2 có chữ số tận 6
=> A = 22
n
−1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5
(15)b) Víi n ¿ N, n ≥ 1, ta cã :
24n = 24 4n−1=(24)4n−1=164n−1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6
=> B = 24
n
+4 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0
VËy B ⋮ 10
c) Víi n ¿ N, n ≥ 1, ta cã :
92n = 92 2n−1=(92)2n−1=812n−1 cã chữ số tận 1
=> H = 92
n
+3 cã tËn cïng lµ 4
VËy H ⋮
Bµi tập luyện tập :
1, Tìm chữ số tận cïng cđa c¸c sè sau:
22222003; 20082004; 20052005; 20062006 9992003;
20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005
2, Chøng tá r»ng, víi mäi sè tù nhiªn n : a, 34n + 1 + 2 chia hÕt cho 5
b, 24n + 1 + 3 chia hÕt cho 5
c, 92n + 1 + 1 chia hÕt cho 10
3, Chøng tá r»ng c¸c sè cã d¹ng: a, 22
n
+1 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n ¿ N, n ≥ 2) b, 24
n
+1 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n ¿ N, n ≥ 1) c, 32
n
+4 chia hÕt cho (n ¿ N, n ≥ 2) d, 34
n
- chia hết cho 10 (n ¿ N, n ≥ 1) 4, Tìm chữ số hàng đơn vị của:
a, A = 66661111 + 11111111 - 665555
b, B = 10n + 555n + 666n
c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n ¿ N*)
d, E = 20084n + 20094n + 20074n ( n ¿ N*)
Trong số sau số chia hết cho , cho , cho 10 ? a, 34n+1 + 1 (n ¿ N
b, 24n+1 -2 (n ¿ N) c, 22
n
+4 (n ¿ N, n ≥ 2)
d, 94
n
- (n ¿ N, n ≥ 1)
(16)Tìm số tự nhiên n để n10 + ⋮ 10
Chøng tá r»ng , bíi số tự nhiên n :
a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n ⋮ 10 (n > 1)
b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 ⋮ 6 Híng dÉn :
a2 + ⋮ => a2 + phải có chữ số tận 5
=> a2 phải có chữ số tận 4
=> a phải có chữ số tận hoặc n10 + ⋮ 10 => n10 + phải có chữ số tận 0
=> n10 = (n2)5 phải có chữ số tận 9
=> n2 phải có chữ số tận 9
=> n phải có chữ số tận
a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n (32+1) – 2n-1.( 23 + 2)
= 3n 10 – 2n-1 10 = 10 (3n – 2n-1) ⋮ 10 ∀ n ¿ N
b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n (33+3) + 2n+1.( 22 + 2)
= 3n 30 + 2n+1 = (5.3n + 2n+1) ⋮ ∀ n N
3.2.2 Tìm hai chữ số tËn cïng cđa mét lịy thõa
* Phơng pháp : Để tìm hai chữ số tận lũy thừa , ta cần ý số đặc biệt sau :
+) Các số có tận 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tËn cïng b»ng chÝnh nã
+) Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thờng đa dạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 76
+) c¸c sè 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 cã tËn cïng b»ng 76
+) c¸c sè 320; 910; 815; 74; 512; 992 cã tËn cïng lµ 01
+) Sè 26n (n ¿ N, n >1)
Bµi 1 : Tìm hai chữ số tận : 2100 ; 3100
Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm đợc : 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76
3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01
Bµi 2: Tìm hai chữ số tận :
a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101 16101
Híng dẫn :Đa vềdạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 76
(17)=> 5151 cã ch÷ số tận 51
Tơng tự :
b, 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99
c, 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 = 56
d, 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 = 76
224
= 24 Từ toán 2, cho học sinh làm toán tổng quát:
Bài 3: Tìm hai chữ số tận của:
a, 512k; 512k+1 (k ¿ N*)
b, 992n; 992n+1; 9999
99
; (n ¿ N*)
c, 65n; 65n+1; 666
66
; (n ¿ N*)
Gỵi ý:
a, 512k = (512)k = ( 01 )k
512k+1 = 51 (512)k = 51 ( 01 )k
b, 992n = (992)n = ( 01 )n
992n+1 = 99 (992)n = 99 ( 01 )n 999999 , ta cã 9999 số lẻ => 9999
99
cã d¹ng 992n+1 (Víi n ¿ N, n > 1)
=> 9999 99
= 99.(992)n = 99 ( 01 )n (Víi n ¿ N, n > 1)
c, 65n = ( 65)n = ( 76 )n
65n+1 = ( 65)n = ( 76 )n
666 66
, ta cã 6666 lµ mét sè cã tËn cïng lµ 6, => 666
66
cã d¹ng 65n+1 (n ¿ N, n > 1)
=> 666 66
= ( 76 )n Bµi tËp lun tập:
Tìm hai chữ số tËn cïng cña:
a, 72003 b, 99
9
c, 742003
d, 182004 e, 682005 f, 742004
2 T×m hai ch÷ sè tËn cïng cđa :
(18)b, 24n 38n (n ¿ N)
c, 23n 3n ; 23n+3 3n+1 (n ¿ N) d, 742n ; 742n+1 (n ¿ N)
3 Chøng tá r»ng :
a, A = 262n - 26 ⋮ vµ ⋮ 10 ( n ¿ N, n > 1) b, B = 242n+1 + 76 ⋮ 100 (Víi n ¿ N) c, M = 512000 742000 992000 có chữ số tận 76.
3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên.
*Phơng pháp: Chú ý số ®iĨm sau
+) Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận số
+) Sè cã tËn cïng 0625 n©ng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625
Bài Tìm ch÷ sè tËn cïng, ch÷ sè tËn cïng cđa 52000.
Học sinh làm phần khơng khó khăn nhờ kĩ có từ phần trớc 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
VËy: 52000 cã ba ch÷ số tận 625.
có bốn chữ số tận 0625
Bài 2: Tìm ba ch÷ sè tËn cïng cđa: a, 23n 47n (n ¿ N*)
b, 23n+3 47n+2 (n ¿ N)
Để tìm đợc ba chữ số cuối lũy thừa khó với học sinh., lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên
a, 23n 47n= (23)n 47n = (8 47)n = 376n
376n cã tËn cïng lµ 376 => 23n 47n cã tËn cïng lµ 376.
b , 23n+3 47n+2.
Dù làm đợc câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hớng dẫn :
23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47
= (23)(n+1) 47n+1 47
= (8.47)n+1 47
= 47 376n+1
Ta cã :376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 có chữ số tận 672
Bµi 3: Chøng tá r»ng: a 54
n
+ 375 ⋮ 1000 ( n ¿ N, n ≥ 1)
b 52
n
(19)c 2001n + 23n 47n + 252n cã tËn cïng b»ng 002
Nếu học sinh làm tốt phần trớc gặp khơng gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến t logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi
a Ta cã: 54
n
= 54.4
n−1
= 6254
n−1
tËn cïng lµ 625 ( n ¿ N, n ≥ 1) => 54
n
+ 375 cã tËn cïng 000 VËy: 54
n
+ 375 ⋮ 1000
b Ta cã 52
n
= 52 2.2n−2
= (54)
2n−2
= 6252
n−2
( n ¿ N, n ≥ 2) VËy 52
n
- 25 có chữ số tận 00 Do : 52
n
- 25 ⋮ 100 c 2001n + 23n 47n + 252n
Ta thÊy : 2001n cã tËn cïng lµ 001
23n 47n = (8 47 )n = 376n cã tËn cïng lµ 376
252n = (252)n = 625n cã tËn cïng lµ 625
VËy: 2001n + 23n 47n + 252n cã tËn cïng lµ 002.
3.3 Dạng : So sánh hai lũy thừa
* Phơng pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thờng biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh)
+) Lu ý mét sè tÝnh chÊt sau :
Víi a , b , m , n ¿ N , ta cã : a > b an > bn ∀ n ¿ N*
m > n am > an (a > 1)
a = hc a = th× am = an ( m.n ¿ 0)
Víi A , B biểu thức ta có:
An > Bn A > B > 0
Am > An => m > n vµ A > 1
m < n vµ < A < Bài 1: So sánh:
a, 33317 vµ 33323
b, 200710 vµ 200810
c, (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999
Với học sinh nhìn cách giải lũy thừa có số có số mũ
a, V× < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b, Vì 2007 < 2008 nªn 200710 < 200810
c, Ta cã: (2008-2007)2009 = 12009 = 1
(20)VËy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Bài 2: So sánh
a, 2300 3200 e, 9920 vµ 999910
b, 3500 vµ 7300 f, 111979 vµ 371320
c, 85 vµ 3.47 g, 1010 vµ 48.505
d, 202303 vµ 303202 h, 199010 + 1990 9 vµ 199110
Để làm đợc học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đa lũy thừa số số mũ
Híng dÉn:
a, Ta cã : 2300 = 23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
V× 8100 < 9100 => 2300 < 3200
b, T¬ng tù c©u a, ta cã: 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
V× 243100 < 343100 nªn 3500 < 7300
c, Ta cã: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
d, Ta cã : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101
303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
V× 808.1012 > 9.1012 nªn 202303 > 303202
e, Ta thÊy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1)
f, ta cã : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2)
371320 = 372)660 = 1369660
Tõ (1) vµ (2) suy : 111979 < 371320
g, Ta cã : 1010 = 210 510 = 29 510 (*)
48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**)
Tõ (*) vµ (**) => 1010 < 48 505
h, Cã: 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909
199110 = 1991 19919
V× 19909 < 19919 nªn 199010 + 1990 9 < 199110
Bµi Chøng tá r»ng : 527 < 263 < 528
Với , học sinh lớp không định hớng đợc cách làm , giáo viên gợi ý : chứng tỏ 263> 527 263 < 528
Ta cã : 263 = (27)9 = 1289
527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1)
L¹i cã : 263 = (29)7 = 5127
528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2)
(21)Bài 4 So sánh : a, 10750 7375
b, 291 vµ 535
Nếu trớc so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian :
a, Ta thÊy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1)
7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2)
Tõ (1) vµ (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375
VËy 10750 < 7375
b, 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 = 2518
=> 291 > 3218 > 2518 > 535
VËy 291 > 535
Bµi 5 So sánh :
a, (-32)9 (-16)13 b, (-5)30 (-3)50
c, (-32)9 vµ (-18)13 d, (
−1
16 )100 vµ (
−1
2 )500
Híng dÉn : §a vỊ so sánh hai lũy thừa tự nhiên a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
(-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52
Vì 245 < 252 nên -245 > - 252
VËy (-32)9 > (-16)13
b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10
V× 12510 < 24310 nªn (-5)30 < (-3)50
c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
mµ 245 < 252 = 1613 < 1813
=> - 245 > - 1813 = (-18)13
VËy (-32)9 > (-18)13
d, Ta cã : (
−1
16 )100 = −1100
16100 = 16100 =
1
2400 cßn (
−1
2 )500 = (−1)500
2500 = 2500
Vì 2400 < 2500 nên
1 2400
>
(22)VËy (
−1
16 )100 > (
−1
2 )500 Bài 6 So sánh A vµ B biÕt : A =
20082008+1
20082009+1
; B =
20082007+1
20082008+1
Trớc tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau : * Với số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh đợc :
+) NÕu
a
b > th× a b>
a+c
b+c
+) NÕu
a
b < th× a b<
a+c
b+c
Ap dụng tính chất vào , ta cã :
V× A = 2008
1 2008 2009 2008
< nªn
A = 2008
1 2008 2009 2008 <
20082008+1+2007
20082009+1+2007 =
2008+2008
20082009
+2008 =
2008 (20082007+1)
2008 (20082009+1)
=
20082007+1
20082007+1
=B VËy A < B
Giáo viên hớng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau :
C¸ch 1: Ta cã : 2008.A =
(20082008+1) 2008
20082009+1 =
20082009+1+2007
20082009+1 =1+
2007 20082009
+1
2008.B =
20082007+1) 2008
20082008
+1 =
20082008+1+2007
20082008+1 =1+
2007
20082008
+1
Vì 20082009+1 >20082008+1 nên
2007
20082009
+1 <
2007 20082008+1
=> 2008.A < 2008 B => A < B
(23)
1 A =
20082009+1
20082008+1 =
20082009+2008−2007
20082008+1 =
2008 (20082008+1)−2007
20082008 +1
= 2008 -
2007 20082008+1
1 B =
20082008+1
20082007+1 =
20082008+2008−2007
20082007+1 =
2008 (20082007+1)−2007
20082007 +1
= 2008 -
2007 20082007+1
V× 20082008+1> 20082007 +1 nªn
2007 20082008+1
<
2007 20082007+1
=> 2008 -
2007
20082008+1 > 2008 -
2007 20082007+1
VËy
1 A >
1
B => A < B (v× A,B > 0)
Bµi So sánh M N biết: M =
100100+1
10099+1 ; N =
100101+1
100100+1 Híng dÉn :
C¸ch : N =
100101+1
100100+1 >
=> N =
100101+1
100100+1 >
100101+1+99
100100+1+99 =
100101+100
100100+100 =
(100100+1).100
(10099+1).100 =
100100+1
10099+1
= M VËy M < N
C¸ch : M =
100100+1
10099+1
=
100100+100−99
10099+1
=
(10099+1).100−99
10099+1 = 100
(24)N =
100101+1
100100+1 =
100101+100−99
100100+1 =
(100100+1).100−99
100100
+1 = 100
-99 100100+1
V× 10099 + < 100100 + nªn
99 10099
+1 >
99 100100
+1 => 100 -
99 10099
+1 < 100
-99 100100
+1
VËy M < N
Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tơng tự sau: So sánh:
a, 528 2614 b, 521 vµ 12410 c, 3111 vµ 1714
d, 421 vµ 647 e, 291 vµ 535 g, 544 vµ 2112
h, 230 + 330 + 430 vµ 2410
So s¸nh:
a, 2300 vµ 3200 b, 5199 vµ 3300
c, (
−1 4)
8
vµ (
1 8)
5
d, (
1 10)
15
vµ (
3 10)
20
So s¸nh:
a, A =
1315+1
1316+1 vµ B =
1316+1
1317+1
b, A =
19991999+1
19991998+1 vµ B =
19992000+1
19991999+1
c, A =
100100+1
10099+1
vµ B =
10069+1
10068+1
Gỵi ý:
c, A =
100100+1
10099+1
vµ B =
10069+1
10068+1
Bài không giống Học sinh lúng túng bắt tay làm bài, giáo viên cần hớng dẫn : Quy đồng mẫu A B , ta có:
A =
(100100+1).(10068+1)
(10099+1).(10068+1) vµ B =
(10069+1).(10099+1)
(25)§Ĩ so sánh A B lúc ta so sánh tử số A tử số B XÐt hiƯu tư sè cđa A trõ tư sè cña B:
(100100 + 1) (10068 + 1) - (10069 + 1) (10099 + 1)
= 10068 + 100100 + 10068 + - 100168 – 10099 – 10069 – 1
= 100100 – 10099 – 10069 + 10068
= 100 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068
= 99.10099 - 99.10068
= 99 (10099 - 10068) > 0 v× 10099 > 10068
VËy A > B
3.4 Dạng 4: Tính toán lũy thừa.
*Phng phỏp: Vn dụng linh hoạt cơng thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hịa số phơng pháp tính tốn bin i
Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:
a, A =
230.57+213.527
227 57+210.527
b, M = (x−4)(x−5)
(x−6)(x+6)
(x+5)
víi x = Híng dÉn :
Với này, học sinh khơng nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm nh khó đa đấp án Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm thừa số chung đa ngồi ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết toán nhanh đến bất ngờ
a, A =
230.57+213.527
227 57+210.527 =
213.57(217+ 520)
210.57(217+520)
= 23 = 8
b, M = (x−4)
(x−5)(x−6)
(x+6)(x+5)
Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại cha cụ thể Nhng thay giá trị x vào M lại tìm đợc cách dễ dàng
M = (x−4)
(x−5)(x−6)
(x+6)(x+5)
= (7−4)
(7−5)(7−6)
(7+6)(7+5)
M = 32 11312
= 32
1
= 32 = 9
Bµi 2: Chøng tá r»ng:
a, A = 102008 + 125 ⋮ 45
b, B = 52008 + 52007 + 52006 ⋮ 31
(26)d, H = 3135 299 – 3136 36 ⋮ 7
Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ ph-ơng pháp biến đổi, lu ý rằng: Nếu a ⋮ m, a ⋮ n, (m;n) = a ⋮ m.n(a, m, n ¿ N*)
a, A = 102008 + 125 ⋮ 45
Ta cã: 102008 + 125 = 100 0 + 125 = 100 0125
2008 sè 2005 sè
A cã tËn cïng lµ => A ⋮
Tổng chữ số A : 1+1+2+5 = => A ⋮ Mµ (5;9) = => A ⋮ 5.9 hay A ⋮ 45
b, B = 52008 + 52007 + 52006 ⋮ 31
Ta khơng thể tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép chia Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung
B = 52008 + 52007 + 52006
B = 52006 ( 52 + 51 + 1)
B = 52006 31 ⋮ 31
c, M = 88 + 220 ⋮ 17
Cách làm tơng tự nh câu b, nhng trớc tiên phải đa hai lũy thừa có sè: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 17 ⋮ 17
d, H = 3135 299 – 3136 36 ⋮ 7
Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, nhng đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc,
và nh lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hớng dẫn H = 3135 299 – 3136 36
H = 3135 299 – 3136 - 35 3136
H = 3135 (299 – 313) - 35 3136
H = 3135 14 - 35 3136
H = (3135 – 3136 ) ⋮ 7 Bµi Cho A = 2+ 22 + 23 +……+ 260
Chøng tá r»ng : A ⋮ , A ⋮ , A ⋮
(27)/ / / ….lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng
tá A chia hÕt cho nã
VÝ dô : A = 2+ 22 + 23 +……+ 260
= (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260)
= 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2)
= (1+2).(2+23+25+… +257+259)
= 3.( 2+23+25+… +257+259)
=> A ⋮
T¬ng tù ,ta cã : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 )
= 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22)
= (1+2+22).(2+24+27+…….+258)
= 7.(2+24+27+…….+258)
=> A ⋮
A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 )
A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22)
= (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258)
= (2+22+25+26+…….+257+258
=> A ⋮ Bµi 4: Chøng tá r»ng :
a, D = + 32 + 33 + 34 +…… + 32007 ⋮ 13
b, E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n ⋮ 400 Híng dÉn :
a, Ta thÊy : 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp cđa tỉng thµnh mét
nhãm nh sau :
D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +…….+ (32005 + 32006.+ 32007)
=3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) +…….+ 32005.(1 + + 32)
= 13 + 34 13 + …… + 32005 13
= (3 + 34 + ……+ 32005) 13
=> D 13
b, Tơng tự câu a, cã : 400 = + + 72 + 73 nªn :
E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74)
= (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + …+74n-4)
= 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + …+74n-4)
(28)= 7.400 (1+74 + 78 + …+74n-4) ⋮ 400
=> E ⋮ 400
Bµi 4: a, TÝnh tỉng: Sn = + a + a2 + + an
b, ¸p dơng tÝnh c¸c tỉng sau: A = + + 32+ … + 32008
B = + + 22 + 23 + ……+ 21982
C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n
a, Đây toán tổng quát , giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm
Để thu gọn tổng lũy thừa , ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa
* XÐt a = ta cã: Sn = + + 12 + + 1n =( n +1).1 = n +1
* XÐt a ≠ ta cã : Sn = + a + a2 + + an
a Sn = a + a2 + + an+1
a Sn - Sn = an+1 –
=> Sn = an+1
−1
a−1
b, Học sinh dễ dàng tính đợc tổng A, B , C nhờ cơng thức Sn
A = + + 32+ … + 32008 =
32009−1
2
B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 = 21983 - 1
C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n= 7n+1
−7
6
Bµi 5 : Thu gän tæng sau : M = - + 22- 23 + … + 22008
Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật nhng tính tổng M học sinh khơng tránh khỏi lúng túng với dấu ‘+’ , ‘-‘ xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M không thu gọn đợc tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu đợc : câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống ; cịn hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu chúng :
M = - + 22- 23 + … + 22008
2M= - 22 + 23 – 24 + … + 22009
=> 2M + M = 22009 + 1
=> M =
22009+1
3
(29)a, A =
1 2+
1 22+
1
23+ .+
1 2100
b, B = 1+
1 5+
1 52+
1
53+ + 5500
Híng dẫn : làm tơng tự
a, A =
1 2+
1 22+
1
23+ .+
1 299+
1 2100
2A = 1+
1 2+
1 22+
1
23+ .+ 299
=> 2A – A =(1+
1 2+
1 22+
1
23+ .+
299 ) – ( 2+
1 22+
1
23+ .+ 2100 )
A = 1+
1 2−
1 2+
1 22−
1 22+
1 23−
1
23+ .+
1 299−
1 299−
1 2100
A = -
1 2100
b, B = 1+
1 5+
1 52+
1
53+ + 5500
5B = 5+1+
1 5+
1 52+
1
53+ + 5499
=> 5B – B = (5+1+
1 5+
1 52+
1
53+ +
5499 ) – (1+ 5+
1 52+
1
53+ + 5499 )
= 5+1-1+
1 5−
1 5+
1 52−
1 52+
1 53−
1
53+ + 5499−
1 5499−
1 5500
4B = -
1 5500
B = (5 -
1
5500 ): 4
Bµi TÝnh: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - 1
Víi bµi nµy rÊt cã thĨ häc sinh nghÜ tíi việc nhóm số 1002 , 982 , 22thành nhãm
vµ
(30)Víi mäi số tự nhiên a b , ta có: (a - b).(a+b) = a2 + b2
ThËt vËy , ta cã: (a - b).(a+b) =(a-b).a +(a-b).b = a2- ab+ab-b2 = a2+ b2
VËy : (a - b).(a+b) = a2 + b2
Ap dụng đẳng thức vào ta đợc :
B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 – 1
= (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+…… +(2-1).(2+1)
= 100+99+98+97+…….+2+1
= 100.(100+1): = 5050
Bµi 8: Chøng tá r»ng
a, H =
1 22+
1 32+
1 42+ +
1 20072+
1 20082 <1
b, K =
1 22+
1 42+
1 62+
1 82+
1 102+
1 122+
1 142<
1
Để làm đợc câu a, học sinh phải nắm đợc kiến thức liên quan Những toán dạng thực khó với học sinh Để học sinh hiểu đợc phụ thuộc hoàn toàn vào dẫn dắt, gợi mở giáo viên
Lu ý:
1
n.(n−1)=
1
n−
1
n+1 (n ¿ N*)
Ta cã:
1 22<
1
1 , 32<
1
2 , 42<
1
3 , …… ,
20082< 2007 2008
=> H =
1 22+
1 32+
1 42+ +
1 20072+
1 20082 <
1 2+
1 3+ .+
1
2007 2008 (*)
Mµ
1 2+
1 3+ +
1
2007 2008=1− 2+ 2− 3+ 3−
4+ +
2007−
1
2008=1−
2008<1
Nªn , tõ (*) => H <
Qua toán , giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau :
Bài 9. Chøng tá :
a, H =
1 22+
1 32+
1 42+ +
1
20032+ +
1 n2<1
(n ¿N ¿,n
(31)b, K =
1 22+
1 42+
1 62+
1 82+
1 102+
1 122+
1 142
<
1
Híng dÉn :
a, H <
1 1.2+
1
2.3+ + 1
(n−1).n =
1−1
2+ 2− 3+ 3−
4+ + n−1−
1 n=1−
1 n<1
Nªn H <
b, K =
1 22
(
1+
22+
1 32+
1 42+
1 52+
1 62+
1 72 ) < 22 (1+1) = 22 =
(Vì theo câu a,
1 22+
1 32+
1 42+
1 52+
1 62+
1
72<1 )
VËy K <
1
2 .
Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau : Chứng tỏ biểu thức sau viết đợc dới dạng số phơng :
M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53
N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63
P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73
Tính A B hai cách trë lªn:
A = 1+2+22+23+24+…….+2n (n ¿ N*)
B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 (n ¿ N) ViÕt tỉng sau díi d¹ng mét lịy thõa cña 2;
T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008
So s¸nh :
a, A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 vµ B = 22009 – 1
b, P = + + 32+ … + 3200 vµ Q = 3201
c, E = + x + x2+ … + x2008 vµ F = x2009 (x ¿ N*)
Chøng tá r»ng : a, 13+33+53+73 ⋮ 23
b, 3+33+35+37+……+32n+1 ⋮ 30 (n ¿ N*)
c, 1+5+ 52 + 53 +…….+ 5403+5404 ⋮ 31
d, 1+4+ 42 + 43 +44+……+ 499 vµ B = 4100
(32)A = 1+2+ 22 + 23 +……+ 22008 + 22002
TÝnh:
a, 3S – 22003 biÕt S = – + 22 - 23 +……+ 22002
b, E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - – 1
c, H – K biÕt: H = + 3+ 32 + 33 +……+ 320
K = 321 : 2
Tìm :
a, Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n
Víi A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100
b, Ch÷ sè tËn cïng cña M biÕt : M = 2+ 22 + 23 +… + 220
Chøng tá r»ng :
a, 87 – 218 ⋮ 14 h, 122n+1 + 11n+2 ⋮ 133
c, 817 – 279 - 913 ⋮ 405 i, 70+71+72+73+… +7101 ⋮ 8
b, 106 – 57 ⋮ 59 k, 4+ 42 + 43 +44 +……+ 416 ⋮ 5
d, 1099+23 ⋮ 9 l, 2000+20002+20003 + ……+20002008 ⋮ 2001
e, 1028 + ⋮ 72 m, 3+ 35 + 37 +……+ 31991 ⋮ 13 vµ ⋮ 41
g, 439+440+441 ⋮ 28
10 Chøng tá r»ng
a,
1 22+
1 42+
1 62+ .+
1 1002<
1
b,
1 6<
1 52+
1 62+
1 72+ .+
1 1002<
1
c, A > B víi:
A =
1+5+52+ .+59
1+5+52+ .+58 B =
1+3+32+ .+39
1+3+32+ .+38 3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa
Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phơng Số phơng bình phơng số tự nhiên
*Phơng pháp: Cần nắm đợc số kiến thức sau
+) Số phơng tận 0, , 4, 5, 6, tËn cïng b»ng 2, 3, 7,
(33)+) Số lợng ớc số phơng số lẻ Ngợc lại số có số lợng ớc số lẻ số số phơng
Bài 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dòng chữ sau để đợc phép tính
Mïi mïi = t©n mïi (*)
Bạn trả lời giúp Phân tích đề :
Đề hay, nhng tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*)
Mùi số có chữ số
Theo (*) (Mùi)2 có tận mùi có chữ số.
i tỡm ỏp án:
Gäi Mïi = a Ta cã:
a2 = 1000 T¢N + a hay a2 – a = 1000 T¢N
=> a.(a-1) ⋮ 1000 Ta thÊy a-1 a hai số liên tiếp
1000 = 125 víi (125 ; ) = VËy cã thĨ x¶y :
+) a ⋮ 125 vµ a – ⋮ => a = 625
+) a ⋮ vµ a-1 ⋮ 125 => a = 376
Do đó: 625 625 = 390625 (thỏa mãn)
376 376 = 141376 (không thỏa mÃn ,vì chữ T khác ch÷ N)
VËy Mïi mïi = tân mùi 625 625 = 390625
Bài 2: Đố bạn: số phơng có chữ số đợc viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phơng pháp loại trừ để tìm đáp án:
Gäi sè chÝnh phơng phải tìm n2
Số phơng không tận 3, nên n2 cã tËn cïng lµ 6
Số tận 86 chia hết cho 2, không chia hết số phơng Vậy n2 có tận 36.
Do số phơng cần tìm l 8836 Bi 3.
Bạn hÃy tìm số phơng có chữ cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống
Gợi ý : Gọi số cần tìm n => n2 = aabb = 11 a0b
=> a0b = 11k2 (k ¿N )
Ta cã 100 ¿ 11k2 ¿ 909 => ¿ k ¿ 9
(34)