HSG HHKG 11 PHẦN 3

ƠN TẬP HHKG Cho hình chóp S ABC cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi ( P ) mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Gọi I trung điểm BC a Xác định thiết diện hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm I đến ( P ) α góc AB ( P ) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có AB = a , AC = 2a , AA’ = 2a góc BAC = 120O Gọi M trung điểm CC ' a CMR: MB ⊥  MA ' b Tính sin α với Cho tứ diện SABC cạnh 1, gọi I , K trung điểm cạnh AC SB Trên đường thấng AS CK ta chọn điểm P, Q cho PQ // BI Trong mặt phẳng (α ) cho đường trịn (C) Đường kính AB cố ( C ) Gọi S điểm cố định đường thẳng vng góc với mp ( α ) A Hạ đường AI , AJ định điểm M di động vuông góc với SM a Chứng minh AI ⊥ IJ SB b Tìm quỹ tích điểm I M di động (C) A đến mặt phẳng ( A’BM ) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a a Tính góc hai đường thẳng AC ′ A′B b Gọi M , N , P điểm thuộc cạnh A′B′ , BC , DD′ cho A′M = BN = DP Chứng minh trọng tâm tam giác MNP thuộc đường thẳng cố định M , N , P thay đổi a Ta coi hình chóp cho tứ diện SABC có trọng tâm O , gọi 10 Cho lăng trụ đứng b Tính khoảng cách từ α góc mp ( SAB ) mp ( ABC ) Hãy tính cos α để O cách tất mặt SABC ·ASB = 30° Xét mặt phẳng ( P ) thay đổi qua A , cho mp ( P ) cắt đoạn thẳng SB, SC thứ tự B ', C ' Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác AB ' C ' theo a Cho tứ diện S ABC Gọi ( P ) mặt phẳng qua đường b Biết cao SO tứ diện; mặt phẳng ( SBC ) , ( SCA) ( SAB ) ( P) cắt mặt phẳng theo giao tuyến SM , SN , SP Các giao tuyến tạo với mặt phẳng α , β ,γ góc Chứng minh: ( ABC ) tan α + tan β + tan γ = 12 · Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 600 , AB = 2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM = BC a a Khi SH = , chứng minh đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng ( SAD ) 2 b Tính SH theo a để góc SC ( SAD ) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Tính góc hai đường thẳng AC ′ A′B có số đo lớn O , OA = OB = a , AA1 = a Gọi M trung điểm OA a Xác định thiết diện lăng trụ mặt phẳng ( P ) qua M , vuông góc với A1 B b Tính diện tích thiết diện vừa tìm theo a 11 Cho tứ diện S ABC có SA = SB = SC = , mặt phẳng ( P ) qua trọng tâm M tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC D, E , F (khác S ) uuur  uuu r uur uuu r SD + SE + SF ÷ a Chứng minh rằng: SM =   SD SE SF  b Tìm giá trị lớn biểu thức : 1 + + SD.SE SE.SF SF SD 12 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a 2, BC = a SA = SB = SC = SD = 2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA a/ Chứng minh SA ⊥ BK b/ Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng ( BKH ) 13 Cho góc tam diện Sxyz thỏa mãn góc ¶ = 1210 ; xSz ¶ = 590 Trên tia Sx lấy điểm A cho xSy ¶ lấy điểm B SA = a cho trước Trên tia phân giác góc xSy SB = a Tính góc tam giác SAB 14 Cho hình thang vng ABCD có A = D = 900 , AB = 2a, CD = a, AD = 3a M điểm thuộc đoạn thẳng AD a Xác định vị trí điểm M để hai đường thẳng BM CM thỏa mãn a M , N , P   điểm thuộc cạnh A′B′, BC , DD′ cho A′M = BN = DP Chứng minh trọng tâm tam giác MNP thuộc đường thẳng cố định M , N , P thay đổi b Gọi OAB.O1 A1 B1 có đáy tam giác vng cân vng góc với b Lấy điểm S thuộc đường thẳng vng góc với mp ( BCD ) M cho SM = AM , xét mặt phẳng ( P ) qua điểm M vng góc với SA Mặt phẳng ( P ) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo a, x biết x = AM < x  ≤ 3a ? 15 Cho đường thẳng ∆, ∆’ chéo vng góc với b Biết số đo góc tam giác ABC Gọi AB đường vng góc chung ( A ∈ ∆, B ∈ ∆’) M N điểm di động ∆’ cho ∠MAN = 900 không đổi I điểm cố định ∆ a Chứng minh trực tâm H tam giác MIN cố định b Tìm tập hợp hình chiếu K M IN 16 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q, R, S trung 23 điểm DA, DB, DC , BC , CA, AB a Tính góc AB CD biết AB = CD = 2a , MQ = a b Giả sử MQ = NR + SP Chứng minh rằng: DA DB DC = = · · cos BDC cos CDA cos ·ADB ABCDA’B’C’D’ Một mặt phẳng ( P ) qua BD’ cắt cạnh AA’ E , cắt cạnh CC’ F a Chứng minh tứ giác BED’F hình bình hành A’E = CF 17 Cho hình lập phương b Tìm E để diện tích tứ giác BED’F đạt GTNN 18 Cho hình chóp đáy đa giác S ABCD M cố định SC Mặt phẳng (α ) quay quanh trục AM cắt SB, SD P, Q a Xác định mặt phẳng (α ) để diện tích tứ giác APMQ nhỏ b Cho AB = 1; SA = ; CM = Tính diện tích tứ giác APMQ 19 Chứng minh tứ diện MNPQ thỏa mãn điều kiện MN vng góc với PQ MP vng góc với NQ MQ vng góc với NP 20 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình bình hành, · · · Chứng AC cắt BD H và: ·ASB = CSD ; BSC = DSA minh: SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) 21 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Trên cạnh SC lấy điểm E Thiết diện tạo thành mặt phẳng qua AE song song với BD cắt SB, SD M , N a Tính diện tích thiết diện cho cạnh đáy , cạnh bên CE = b Giả sử thiết diện hình chóp tứ giác ngũ giác Hãy chứng minh mặt bên hình chóp tam giác 22 Cho tứ diện OABC có với Gọi OA, OB, OC đơi vng góc A1 , B1 , C1 thứ tự trung điểm cạnh BC , CA, AB a Chứng minh tam giác A1B1C1 tam giác nhọn A, B, C Gọi α số đo góc nhị diện [ C1 , OA1 , B1 ] , tìm cos α theo B C có ABCD AB = CD = c; AD = BC = b; AC = BD = a Gọi A1 , C1 trọng tâm mặt đối diện với đỉnh A đỉnh C 2 a Chứng minh rằng: AA1 ⊥ CC1 ⇔ a + c = 3b b Gọi AH đường cao tứ diện, H thuộc mặt phẳng ( BCD ) , H1 trực tâm ∆BCD Kéo dài CH1 cắt BD K Cho tứ diện Chứng minh AH = 4CH1.H1 K 24 Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng tam giác ABC A Trên d lấy điểm N điểm M cho BN vng góc với CM a Chứng minh uuuu r uuur uuu r uuu r uuur uuuu r BM CN = BA.CA + AN AM b Tìm điều kiện cần đủ để M , N nằm phía A đường thẳng d 25 Cho góc tam diện vng Oxyz , tia Ot nằm góc tam diện Gọi α , β , γ theo thứ tự góc hợp tia Ot với tia Ox, Oy, Oz Chứng minh rằng: cot gα cot g β cot gγ ≤ 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O , cạnh a , mặt bên SAB tam giác mp ( SAB ) vng góc với mp ( ABCD ) a Tính khoảng cách: d O, ( SBC )  , d  A, ( SCD )  , d ( AC , SB ) b Mặt phẳng ( P) chứa AB vng góc với mặt phẳng ( SCD ) cắt hình chóp cho theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a 27 Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi AB = CD; AC = BD; AD = BC Chứng minh với điểm M khơng gian ta có: MA2 + MB + MC ≥ MD 28 Cho hai đường thẳng d , d ′ chéo vng góc với nhận OI làm đường vng góc chung ( O thuộc d I thuộc d ′ ) Trên d lấy điểm A cố định, d ′ lấy hai điểm M , N di động cho mặt phẳng ( d, M ) vng góc với mặt phẳng ( d, N ) a Chứng minh trực tâm tam giác AMN cố định b Xác định M , N để diện tích tam giác AMN nhỏ ABCD có AB vng góc với AC chân đường vng góc hạ từ A đến mặt phẳng ( BCD ) trực tâm tam giác Chứng minh BCD 2 2 ( BC + CD + DB ) ≤ ( AB + AD + AC ) 29 Cho tứ diện ...thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo a, x biết x = AM < x  ≤ 3a ? 15 Cho đường thẳng ∆, ∆’ chéo vng góc với b Biết số đo góc tam giác ABC Gọi AB đường vng góc... MIN cố định b Tìm tập hợp hình chiếu K M IN 16 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q, R, S trung 23 điểm DA, DB, DC , BC , CA, AB a Tính góc AB CD biết AB = CD = 2a , MQ = a b Giả sử MQ = NR +... Gọi A1 , C1 trọng tâm mặt đối diện với đỉnh A đỉnh C 2 a Chứng minh rằng: AA1 ⊥ CC1 ⇔ a + c = 3b b Gọi AH đường cao tứ diện, H thuộc mặt phẳng ( BCD ) , H1 trực tâm ∆BCD Kéo dài CH1 cắt BD