HSG HHKG 11 PHẦN 1

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN - PHẦN I Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi E , G , K trung điểm cạnh A ' D ', B ' C ' AA' H tâm hình vng DCDC ' M , N hai điểm hai đường thẳng AD EG cho MN vng góc với KH cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a S ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh AB  a ( a  ), đáy lớn AD Cạnh SA vng góc với đáy Cho hình chóp SA  a M điểm khác B SB cho AM  MD Tính tỉ số SM SB S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  3a Gọi O trọng Cho hình chóp ABC , H hình chiếu vng góc điểm O lên mặt phẳng  SBC  a Chứng minh : H trực tâm tam giác SBC b Tính góc đường thẳng OH mặt phẳng  ABC  �  60o , AB  2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  ABCD  Cho hình thoi ABCD có BAD H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM  BC a a Khi SH  Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD  b Tính theo a độ dài SH để góc SC  SAD  có số đo lớn tâm tam giác Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  trung điểm H �  600 , AB  2a, SH  a Trên tia đối tia cạnh AB BAD a Tính cosin góc đường thẳng b Chứng minh đường thẳng BC lấy điểm M cho BM  SD mặt phẳng  ABCD  BC SM vng góc với mặt phẳng  SAD  S ABC có đáy tam giác vng B , cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a 3, AB  BC  a Gọi H hình chiếu A SB a Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng  SAB  b Tính độ dài đoạn thẳng HC theo a Trong mặt phẳng  P  cho đường tròn tâm O bán kính R điểm A cố định  O  Tứ giác ABCD biến thiên nội tiếp Cho hình chóp  O  cho đường chéo ln vng góc với Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  A lấy điểm S Nối S với A, B, C , D a Chứng minh BD  SC b Nêu cách xác định điểm I cách điểm A, B, C , D, S c Tứ giác ABCD hình để diện tích lớn Tìm GTLN theo R Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O Biết SA  a, AB  a, BC  2a, cạnh bên mf  ABCD  a Tính góc mặt phẳng Cho hình chóp  SBC   SCD  với  ABCD  b.Tính khoảng cách từ SA vng góc với O đến mf  SCD  S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AB  a, BC  a SD  a A vng góc với AC cắt đường thẳng CB, CD I , J Gọi H hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giao điểm K , L SB, SD với  HIJ  chứng minh AK   SBC  a Đường thẳng qua b Tính diện tích tứ giác AKHL 10 Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB  CD , BC  AD, điểm X cho tổng XA  XB  XC  XD đạt giá trị nhỏ AC  BD điểm X thay đổi khơng gian Tìm vị trí CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi E , G , K trung điểm cạnh A ' D ', B ' C ' AA' H tâm hình vng DCDC ' M , N hai điểm hai đường thẳng AD EG cho MN vng góc với KH cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a Cho hình lập phương Hướng dẫn giải Cách uuuu r uuur uuur uuur uuu r AM  x AD, EN  yEG  y AB uuuu r �1 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur � MN  �  x �AB  AA '  y AB, KH  AB  AD �2 � uuuu r uuur - Để MN  KH MN KH  � y  x  uuuu r uuur uuuu r - Để MN cắt KH MN , KH , MK đồng phẳng Từ tìm x  , y  - Đặt Cách D’ C’ E G A’ H H1 D M B’ I C I1 E1 M E1 I1 A Xác định đoạn Gọi H1 D N1 C N1 G1 A B G1 B MN E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G, H mặt phẳng  ABCD  KH  MN (gt) K KH  NN1 suy KH  MN1 , suy AH1  MN1 I1 II // NN1 mà I trung điểm đoạn MN nên I1 phải trung điểm MN1 Mà theo giả thiết MN cắt KH I suy Từ suy cách dựng hai điểm M , N Tính độ dài MN Do   DAH1 � H1 AN1  E1 N1M   1 AE1 � tg  � cos2  � AN1  Xét tam giác vng DAH , ta có: sin    a 5 cos 2 a a Xét tam giác vuông AIN1 , ta có: IN1  AN1 sin   a  � MN1  6 (Cách khác: Gọi P trung điểm CG1 , suy N1 AP , suy E1 N1  a ) Đặt MN1  E1 N1 a 5 14 a 14  � MN  NN12  MN12  a  a  a � MN  cos  9 Cho hình chóp khác B S ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a ( a  ) Cạnh SA vng góc với đáy SA  a M điểm SB cho AM  MD Tính tỉ số SM SB Hướng dẫn giải S H D A C B Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ hình vẽ Suy ta có: A  phương trình Gọi SB  0;0;0  , D   2a;0;0  , S   0; 0; a �a a � B � �2 ; ;0 � � Suy � �  2x y za   a a a M  x0 ; y0 ; z0  thuộc cạnh SB , ta có: � �y  3x0 � z  a  x �0 Mặt khác uuuu r uuuur AM  DN  AM DM  � x02  2ax0  y02  z02  � x0  3a �3a 3a a � uuur uur SM �M� �8 ; ; � �� SM  SB hay SB  � � Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  3a Gọi O trọng ABC , H hình chiếu vng góc điểm O lên mặt phẳng  SBC  a/ Chứng minh : H trực tâm tam giác SBC b/ Tính góc đường thẳng OH mặt phẳng  ABC  tâm tam giác S Hướng dẫn giải 3a K C H A M O 2a B 1/ Gọi M trung điểm cạnh BC Do ABC đều, G trọng tâm ABC nên ta có AM  BC Do SA   ABC  nên AM hình chiếu vng góc SM lên  ABC  Theo Định lí ba đường vng góc ta có SM  BC Mặt khác H hình chiếu vng góc Suy * Do Do O lên  SBC  nên OH  BC OM  BC Suy HM  BC SH  BC (1) ABC nên ta có CO  AB SA   ABC  nên SA  OC Từ suy OC   SAB  Suy SB  OC Mặt khác OH   SBC  � OH  SB Từ ta có SB Suy   COH  CH  SB   (2) Từ (1) (2) suy H trực tâm SBC 2/ Gọi K hình chiếu vng góc điểm A lên  SBC  Do ta có OH // AK Ta có đường thẳng AM hình chiếu vng góc đường thẳng AK lên  Vì góc đường thẳng góc OH  ABC  góc đường thẳng AK  ABC  góc hai đường thẳng  AK , AM  � KAM Do � � � KAM AMS  900 � ASM  � AMS  900 nên KAM � ASM Xét SAM vng A có AM  a , SA  3a Suy tan � ASM  Từ ta có góc Kết luận: ABC  AM � tan � ASM  �� ASM  30 AS  OH ,  ABC    30  OH ,  ABC    30 0 �  60o , AB  2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  ABCD  ABCD có BAD H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM  BC a a Khi SH  Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD  Cho hình thoi b Tính theo a độ dài SH để góc SC  SAD  có số đo lớn Hướng dẫn giải S M B C K H I A N a � �  600  HAD a/ Ta có MB  BC   HB, HBM 2 D � HBM vuông M a Gọi N giao HM AD � HM  HB.sin 60o  a � SMN vuông S �SH  AD (SH  ( ABCD )) � AD  ( SMN ) � AD  SM � �MN  DA ( AD / / BC ) Kết hợp với SM  SN � SM  ( SAD ) b/ Gọi  góc SC  SAD  ; K hình chiếu vng góc H lên SN ; I giao HC với AD Lấy E đối xứng với I qua K Ta có: HN  HM  SH  Vì AD  (SMN ) � AD  HK Kết hợp với HK  SN � KH  ( SAD ) Mà HK đường trung bình tam giác ICE nên HK // CE � SEC vng E SE hình chiếu SC  SAD  Ta có   CSE Đặt x  SH ( x  0) Tam giác SHN vuông H HK đường cao nên Suy CE  ( SAD ) E Suy HK  SH HN 3ax 3ax  � CE  2 SN 3a  x 3a  x CH  CM  MC  25a 3a   7a 4 SHC vuông H nên SC  SH  CH  x  7a EC 3ax 3ax sin     SC (4 x  3a )( x  a ) (4 x  21a )  31a x Tam giác 3ax sin   sin  21.a x  31.a x Dấu đẳng thức xảy x 12 21  31 21 a  lớn sin  lớn SH  21 a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  trung điểm H Vậy a Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM  BC a Tính cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng  ABCD  �  600 , AB  2a, SH  cạnh AB BAD b Chứng minh đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng  SAD  Hướng dẫn giải S B M C H A a/ Vì H hình chiếu góc N D S  ABCD  nên � SD  ABCD  SDH � nhọn) SDH vuông H nên SDH Tam giác ABD cạnh 2a nên DH  a a 15 Ta có SD  SH  HD  DH �  Trong tam giác SHD ta có: cos SDH  SD ( tam giác b/ Ta có MB  a � �  600 BC   HB, HBM  HAD 2 � HBM vuông M � HM  HB.sin 60o  Gọi a N giao HM AD Suy HN  HM  SH  a � SMN vuông S �SH  AD (SH  ( ABCD )) � AD  ( SMN ) � AD  SM � �MN  DA ( AD / / BC ) Kết hợp với SM  SN � SM  ( SAD ) S ABC có đáy tam giác vng B , cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a 3, AB  BC  a Gọi H hình chiếu A SB a Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng  SAB  b Tính độ dài đoạn thẳng HC theo a Cho hình chóp Hướng dẫn giải S H C A B a/ Ta có BC  AB (Vì ABC vng B ) BC  SA (Vì SA  ( ABC ) ) (1) (2) Từ (1) (2) suy BC  ( SAB ) b/ Ta có AH  SB (theo giả thiết) (3) �BC  ( SAB ) � BC  AH (4) � �AH �( SAB ) Từ (3) (4) suy AH  ( SBC ) � AH  HC hay tam giác 1 1 3a 2      � AH  AH SA2 AB 3a a 3a Tam giác SAC vuông A có AH đường cao nên Tam giác ABC vng B nên AC  AB  BC  2a Do đó, HC  AC  AH  Trong mặt phẳng  O  cho  P AHC vuông H a cho đường tròn tâm O bán kính R điểm A cố định  O  Tứ giác ABCD biến thiên nội tiếp đường chéo ln vng góc với Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  A lấy điểm S Nối S với A, B, C , D a Chứng minh BD, SC vng góc với b Nêu cách xác định điểm I cách điểm A, B, C , D, S c Tứ giác ABCD hình để diện tích lớn Tìm GTLN theo R Hướng dẫn giải d d’ S I B A H O K C D P a, Vì SA  ( P ) nên Theo gt AC hình chiếu SC mp  P  AC  BD nên theo định lí đường vng góc ta có SC  BD b, Cách dựng: Qua O kẻ đường thẳng d ’ vng góc với mp  P  Dựng mp  Q  mp trung trực Giao mp SA  Q  đường thẳng d ’ điểm I cần xác định CM: Vì I �d ' nên I cách A, B, C , D Vì I �mp (Q ) nên I cách S A Vậy điểm I vừa dựng cách điểm A, B, C , D, S c, SWABCD  Ta có AC BD Kẻ OH  AC H Kẻ OK  BD K AC  AO  OH  R  OH BD  BO  OK  R  OK Để tứ giác �H �O ABCD có diện tích lớn độ dài AC BD lớn OH  OK  � � �K �O Vậy tứ giác ABCD hình vng Khi SWABCD  R.2 R  R 2 Cho hình chóp mf  ABCD  S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết SA  a, AB  a, BC  2a, cạnh bên SA vng góc với a)Tính góc mặt phẳng b) Gọi  SBC   SCD  với  ABCD  O giao điểm hai đường chéo AC BD Tính khoảng cách từ O đến mf  SCD  Hướng dẫn giải Hình vẽ ; a) Góc  SCD  với �  ABCD  góc SDA Góc  SBC  với �  ABCD  góc SBA �  Ta có tan SDA � 1 tan SBA b) Từ A kẻ Vậy AJ  SD � AJ  mf  SDC  Nối CJ từ O kẻ OI / / AJ � OI  mf  SCD  OI khoảng cách cần tìm Ta có OI  1 1 AJ ;  2 2 AJ SA AD Từ ta có kết ;  OJ  a 5 (HSG Vĩnh Phúc 2016) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AB  a, BC  a SD  a A vng góc với AC cắt đường thẳng CB, CD I , J Gọi H hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giao điểm K , L SB, SD với  HIJ  chứng minh AK   SBC  a) Đường thẳng qua b) Tính diện tích tứ giác AKHL Hướng dẫn giải  SCD  Trong  SBC  Trong Ta có gọi gọi L  SD �JH � L  SD � HIJ  K  SB �IH � K  SB � HIJ  �IJ  AC � IJ   SAC  � IJ  SC , mà AH  SC Suy SC   IJH  � IJ  SA � AK  SC Mà BC   SAB  � BC  AK Vậy AK   SBC  SA AC 2a  b) Ta có SA  SD  AD  a ; AH  ; AK  SA2  AC 2a 2 Do AK   SBC  � AK  KH , KH  AH  AK  Tương tự phần (a) AL   SCD  � AL  HL Từ tính Suy LH  AH  AL2  SA AB SA2  AB  2a a 15 1 8a AK KH  AL.LH  2 15 10 Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB  CD , BC  AD, AC  BD điểm X thay đổi không gian Tìm vị trí điểm X cho tổng XA  XB  XC  XD đạt giá trị nhỏ Suy S AKHL  S AKH  S ALH  Hướng dẫn giải A Q M G D B N P C Gọi G trọng tâm tứ diện; M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AN  BN suy MN  AB , tương tự ta chứng minh MN  CD đường thẳng PQ vng góc với hai đường thẳng BC, AD Từ suy GA  GB  GC  GD XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD GA uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD � GA uuur uuu r uuu r uuur uuur XG GA  GB  GC  GD  4.GA2   4GA Dấu xảy X trùng với điểm G Vậy XA  XB  XC  XD nhỏ GA Ta có XA  XB  XC  XD    X trọng tâm tứ diện ABCD  ... H1 D M B’ I C I1 E1 M E1 I1 A Xác định đoạn Gọi H1 D N1 C N1 G1 A B G1 B MN E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G, H mặt phẳng  ABCD  KH  MN (gt) K KH  NN1 suy KH  MN1 , suy AH1... MN1 I1 II // NN1 mà I trung điểm đoạn MN nên I1 phải trung điểm MN1 Mà theo giả thiết MN cắt KH I suy Từ suy cách dựng hai điểm M , N Tính độ dài MN Do   DAH1 � H1 AN1  E1 N1M   1 AE1...  � AN1  Xét tam giác vng DAH , ta có: sin    a 5 cos 2 a a Xét tam giác vuông AIN1 , ta có: IN1  AN1 sin   a  � MN1  6 (Cách khác: Gọi P trung điểm CG1 , suy N1 AP , suy E1 N1  a