CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

+ Nhoùm ñeå aùp duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc haèng ñaúng thöùc.. II- Phoái hôïp caùc phöông phaùp cô baûn: Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng Laø söï keát hôïp nhuaàn[r]

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I- Các phương pháp baûn:

1) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Dùng hạng tử đa thức có nhân tử chung A.B + A.C = A ( B + C)

Cách làm:

+ Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) + Tìm nhân tử chung biến (lấy với số mũ nhỏ nhất)

+ Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử VD1: Phân tích đa thức 14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 thành nhân tử.

Gv: Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử trên? Hs: ƯCLN (14, 21, 28) =

Gv: Tìm nhân tử chung biến x2y, xy2, x2y2 ? Hs: xy

Gv: Nhân tử chung hạng tử đa thức cho gì? Hs: 7xy

Giải:

14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 = 7xy 2x – 7xy 3y + 7xy 4xy = 7xy (2x – 3y + 4xy)

VD2: Phân tích đa thức 10x( x – y) – 8y( y – x) thành nhân tử. Gv: Tìm nhân tử chung hệ số 10 ?

Hs:

Gv: Tìm nhân tử chung x( x – y) y( y – x)? Hs: ( x – y) ( y – x)

Hs: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x) Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y) Giải:

10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y) = 2( x – y).5x + 2( x – y).4y = 2( x – y)( 5x + 4y)

VD3: Phân tích đa thức 9x( x – y) – 10( y – x)2 thành nhân tử. Cách giải sai:

9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 = ( x – y) [9x + 10( x – y)] = ( x – y)(19x – 10y) Sai laàm:

- Thực đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 - Sai lầm đổi dấu ba nhân tử: - 10 ( y – x)2 tích – 10( y – x)2 Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x).

Cách giải đúng:

9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2 = ( x – y) [9x - 10( x – y)] = ( x – y)(10y – x)

Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử

- Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích 2) Phương pháp dùng đẳng thức:

1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )

4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)

VD4: Phân tích đa thức ( x + y )2 – ( x – y )2 thành nhân tử. Gv: Đa thức có dạng đẳng thức nào?

Hs: Có dạng A2 - B2 Cách giải sai:

( x + y )2 – ( x – y )2 = ( x + y + x – y ) – ( x + y – x – y ) = 2x.0 = 0. Sai lầm: Thực thiếu dấu ngoặc.

Cách giải đúng:

( x + y )2 – ( x – y )2 = [( x + y ) + ( x – y )].[( x + y ) - ( x – y )] = ( x + y + x – y ).( x + y – x + y )

= 2x.2y = 4xy

Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi giáo viên cho tập dạng phức tạp

+ Phân tích đa thức ( x + y )3 – ( x – y )3 thành nhân tử. + Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.

VD5: Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử. Giải:

= ( a + b )( a2 + ab + b2 )( a – b )( a2 - ab + b2 ).

Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Quy tắc dấu ngoặc

- Kỹ nhận dạng đẳng thức qua toán dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử để sử dụng đẳng thức thích hợp, xác

3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức đa thức chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức

Caùch laøm:

+ Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm

+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức

VD6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. Cách 1: ( x2 – xy ) + ( x – y )

Caùch 2: ( x2 + x ) - ( xy + y ) Cách giải sai:

x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y ) = x( x – y ) + ( x – y ) = ( x – y )( x + 0)

Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung. Cách giải đúng:

x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y ) = x( x – y ) + 1.( x – y ) = ( x – y )( x + 1)

Giaûi:

x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2 = ( x – )2 – ( 2y )2

= ( x – + 2y ) ( x – – 2y )

VD8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Cách giải sai:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y ) = ( x – 2y )( x + 2y – )

Sai lầm: Đặt dấu sai nhóm hạng tử nhóm thứ hai. Cách giải đúng:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – )

Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Lựa chọn hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử

- Kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm hạng tử đa thức II- Phối hợp phương pháp bản: Vận dụng phát triển kỹ năng Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp bản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

VD9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử. Gv: Xét phương pháp

° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – ) ° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x) = x3( x – ) + x( x – ) = ( x – )( x3 + x ) Cách giải đúng:

x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – ) = x[(x3 – 9x2 ) + ( x – )]

= x[x2( x – ) + ( x – )] = x( x – )(x2 + 1)

VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử. Gợi ý: Aùp dụng đẳng thức:

( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = A3+ B3 + 3AB( A + B)  A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)

Giaûi:

A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 = [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3

= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3 = [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )

= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 ) = 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )

= 3( x + y )( y + z )( x + z ) Khai thác toán:

Hướng dẫn :

x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x + y ) x + y + z = x + y = - z

III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy

1)Phương pháp tách hạng tử:

Sử dụng cho tập áp dụng ba phương pháp học để giải

Cách làm:

Tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác cách thích hợp áp dụng phương pháp để giải

VD11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử. Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.

Giaûi:

- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 f(x) = 3x2 – 8x +

= 4x2 – 8x + – x2 = ( 2x – )2 – x2

= ( 2x – + x )( 2x – – x ) = ( 3x – )( x – )

- Cách 2: Tách hạng tử - 8x f(x) = 3x2 – 8x +

= 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3( x2 – 22 ) – 8( x – )

= 3( x + )( x – ) – 8( x – ) = ( x – )( 3x + – )

= ( x – )( 3x – ) * Nhận xét:

- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương

- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với từ xuất nhân tử chung ( x – )

- Cách 3: Tách hạng tử làm xuất đẳng thức nhân tử chung

Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử khâu quan trọng cần thiết đối vối học sinh việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x

Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + có hệ số số hạng là: 3, -6, -2, tỉ lệ với

6

3

 

 hay (-6).(-2) = 3.4 vaø (-6) + (-2) = -8 f(x) = 3x2 – 8x +

Đặt a = 3, b = -8, c = phân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 + b2 ) Ta coù: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2) = -8

Tổng quát: + Tìm tích ac

+ Chọn hai thừa số có tổng b

VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x2 + 7x – thành nhân tử. Đặt a = -6, b = 7, c = -2

+ a.c = (-6).(-2) = 12;

+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ; + b = = +

Giaûi:

f(x) = - 6x2 + 7x – 2

= (- 6x2 + 4x ) + ( 3x – ) = -2x( 3x – ) + ( 3x – ) = ( 3x – )( -2x + )

* Löu yù:

Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng phương pháp phân tích học

VD13: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.

Gợi ý :

Tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giaûi:

f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x( x3 + ) – 30( x2 – x + )

= x( x + )( x2 – x + ) – 30( x2 – x + ) = ( x2 – x + )( x2 + x – 30 )

2)Phương pháp thêm, bớt hạng tử:

Sử dụng cho tập áp dụng ba phương pháp học để giải

Cách làm:

Phải thêm bớt hạng tử để đa thức chuyển dạng hiệu hai bình phương áp dụng phương pháp nhóm

VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + thành nhân tử. Giải:

f(x) = x4 +

= x4 + 4x2 + – 4x2 = ( x2 + )2 – ( 2x )2

= ( x2 + + 2x ) ( x2 + – 2x ). Khai thác toán:

- Thay “ ” thành “ 64y4 ”, ta có tốn mới: f(x) = x4 + 64y4 Hướng dẫn :

f(x) = x4 + 64y4

= (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2 = ( x2 + 8y2 )2 – ( 4xy )2

= ( x2 + 8y2 + 4xy )( x2 + 8y2 – 4xy ).

- Thay “ ” thành “ 64”, ta có tốn mới: f(x) = x4 + 64 Hướng dẫn :

f(x) = x4 + 64

= x4 + 16x2 + 64 – 16x2 = ( x2 + )2 – ( 4x )2

VD15: Phân tích đa thức f(x) = x4 + x2 + thành nhân tử. Giải:

f(x) = x4 + x2 +

= x4 – x + x2 + x + = ( x4 – x ) + ( x2 + x + ) = x( x3 – ) + ( x2 + x + )