Do đó đẳng thức trên chứng tỏ rằng af(x)dx cũng là họ các nguyên hàm của hàm số af(x)... CUÛNG COÁ BAØI HOÏC[r]
(1)NGUYÊN HÀM
Hàm số F(x) gọi nguyên
hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) với số x (a; b) ta có F’(x) = f(x)
Nếu thay cho khoảng (a;b) đoạn
[a;b] ta phải có thêm F’(a+) =
(2)NGUYÊN HÀM
Mọi hàm số dạng F(x) = x2 + C (C
hằng số tuỳ ý) nguyên hàm f(x) = 2x hàm số G(x) = tgx + C (C số tuỳ ý) nguyên hàm g(x) = 1/cos2x
Nếu F(x) nguyên hàm
hàm số f(x) khoảng (a; b)
a) Với số C, F(x) + C
cũng nguyên hàm f(x) khoảng đó
Nhận xét:
(3)ĐỊNH LYÙ
b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số
f(x) khoảng (a;b) viết
dạng F(x) + C với C số Nói cách khác:
F(x) nguyên hàm f(x)
(4)ĐỊNH LÝ
Người ta kí hiệu họ tất
nguyên hàm hàm số f(x) f(x)dx đọc tích phân bất định f(x) hay họ nguyên hàm f(x) Như vậy, theo định
(5)TÍNH CHẤT
3) Các tính chất nguyên hàm a) (f(x)dx)’ = f(x) Tính chất
suy từ định nghĩa Chú ý f(x)dx họ nguyên hàm có dạng F(x) + C, F(x) nguyên hàm f(x) C
hằng số tuỳ ý Do ta có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) Đó kí hiệu (f(x)dx)’
(6)CHỨNG MINH
af(x)dx theo định nghĩa họ nguyên hàm hàm số af(x) Mặt khác nều F(x) ngun hàm hàm số f(x) ta có: af(x)dx = a(F(x) + C) = aF(x) + C
Vì (aF(x))’ = aF’(x) = af(x) nên aF(x) nguyên hàm af(x) Vì a ≠ C số tuỳ ý, nên aC số tuỳ ý Do đẳng thức chứng tỏ af(x)dx họ nguyên hàm hàm số af(x) Vậy ta có: af(x)dx = af(x)dx (a ≠ 0)
(7) c) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx chứng minh tương tự tính chất
d) f(t)dt = F(t) + C f(u(x))u’(x)dx = F(u(x)) + C Nói cách khác: Nếu F(t) nguyên hàm
hàm số f(t) F(u(x)) nguyên hàm hàm số f(u(x))u’(x)
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh (F(u(x)))’ = f(u(x))u’(x)
(8) 4) Sự tồn nguyên hàm Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục
đoạn [a; b] có nguyên hàm đoạn Từ trở đi, ta giả thiết tất hàm số được xét liên tục, đo chúng có nguyên hàm.
(9)CỦNG CỐ BÀI HỌC
Tỡm tích phân bất định sau:
a
5
)
a x dx
4 ) dx
b
x
c) 2 xdx
3
) ( sin )
d x x dx x
1 ) x
e dx
x