Chuyên đề Phương trình, bất phương trình vô tỉ

Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t  f x  và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trìn[r]

Phương trình , Bất phương trình vô tỉ Bài 1: Giải phương trình a) x   x  x3   2x  y  x   y3   x - Phương trình chuyển thành hệ   x  y x  y    3 1   x   y  x   y  x   y  3    x  y   2  y   x  x  y  2( x  y )   x  xy  y   0(vn)  1    x   y    x  y  - Vậy phương trình đã cho có nghiệm b)   x  x (1   x ) §S:x=1/2; x=1 c) ( x   x  1)  x   x  x  §S: x=2 d) ( x  3)( x  1)  4( x  3) x 1  3 x 3 §S: x   13; x   e)  x   1   (x  ) x x - Sö dông B§T Bunhia f) x    x   x §S: x=0 Bµi 2: Gi¶i BPT: a) x   x   x §S: x≥1/4 b) 2( x  16)  x 3  x 3  x  16  §K  x4 x   7 x x 3 - Biến đôỉ bất phương trình dạng 2( x  16)  x    x  2( x  16)  10  x 10  x  x     10  x    x  10  34 10  34  x     2( x  16)  (10  x )2  - KÕt hîp §K ta cã nghiÖm cña BPT lµ x  10  34 c) ( x  1)(4  x )  x  Lop10.com d)   4x2  x    x  1  x   §K:  x  0  x    - Thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp ta thu ®­îc BPT x  3(1   x )   x  x     x   4 x      x   1  x       x   4x      x  2  9(1  x )  (4 x  3)    2  9(1  x )  (4 x  3)    x  - KÕt hîp §K thu ®­îc nghiÖm  0  x   C¸ch 2: - XÐt TH:  Víi   x  0.BPT   x   x  Víi  x  BPT   x   x e) x  10 x    x  x  5  x  §K: x  10 x      5  x   - Với Đk đó 5 x  10 x   36  x  10 x  - §Æt t  x  10 x  1; t  - §S: x≤-3 hoÆc x≥1 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2  x   x2  x   m Gi¶i: XÐt hµm sè y  x  x   x  x   Miền xác định D= R  §¹o hµm y'  2x  x2  x   2x 1 x2  x  y '   (2 x  1) x  x   (2 x  1) x  x  (2 x  1)(2 x  1)   (vo nghiem) 2 2 (2 x  1) ( x  x  1)  (2 x  1) ( x  x  1)  y’(0)=1>0 nªn hµm sè §B Lop10.com  Giíi h¹n lim y  lim x  x  2x x  x   x2  x   1 lim y  x   BBT x y’ y +∞ -∞ + -1 Vậy phương trình có nghiệm và -1<m<1 Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x   x  m Gi¶i: - Đặt t  x  1; t  Phương trình đã cho trở thành: 2t=t2-1+m m=-t2+2t+1 - XÐt hµm sè y=-t2+2t+1; t≥0; y’=-2t+2 x +∞ + y’ y -∞ - Theo yªu cÇu cña bµi to¸n ®­êng th¼ng y=m c¾t §THS m≤2 Bài 5: Tìm m để phương trình sau có đúng nghiệm dương: x2  4x   m  4x  x2 Gi¶i: - §Æt t  f ( x )  x  x  5; f '( x )  x 2 x2  4x  ; f '( x )   x  Lop10.com XÐt x>0 ta cã BBT: x f’(x) f(x) - +∞ + +∞ - Khi đó phương trình đã cho trở thành m=t2+t-5 t2+t-5-m=0 (1) - Nếu phương trình (1) có nghiệm t1; t2 thì t1+ t2 =-1 Do đó (1) có nhiều nghiệm t≥1 - Vậy phương trình đã cho có đúng nghiệm dương và phương trình (1) có đúng nghiÖm t  (1; 5) - Đặt g(t)=t2+t-5 Ta tìm m để phương trình g(t)=m có đúng nghiệm t  (1; 5) f’(t)=2t+1>0 víi mäi t  (1; 5) Ta cã BBT sau: t g’(t) + g(t) -3 Tõ BBT suy -3<m< lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m Bài 6: Xác định m để phương trình sau có nghiệm m(  x   x  2)   x   x   x Gi¶i: - §iÒu kiÖn -1≤x≤1 §Æt t   x   x - Ta cã  x   x  t  0; t   x  t    x   t  2; t   x  1 - Tập giá trị t là  0;  (t liên tục trên đoạn [-1;1]) Phương trình đã cho trở thành: t  t  2 m(t  2)  t  t    m(*) t2 t  t  ;0  t  Ta có f(t) liên tục trên đoạn  0;  Phương trình đã cho - XÐt f (t )    t2 có nghiệm x và phương trình (*) có nghiệm t thuộc  0;   f (t )  m  max f (t )  0;     0;    f '(t )  t  4t  0, t   0;   f (t )NB  0;  (t  2)2 - Ta cã Suy f (t )  f ( 2)   1;ma x f (t )  f (0)   0;     0;    - VËy   m  Bài 7: Tìm m để bất phương trình mx  x   m  (1) có nghiệm Lop10.com Giải: Đặt t  x  3; t  [0; ) Bất phương trình trở thành: m(t  3)  t  m   m(t  2)  t   m  t 1 (2) t2  (1)có nghiệm (2) có nghiệm t≥0  có ít điểm ĐTHS y= t 1 với t≥0 không t2  phía đường thẳng y=m Xét y= t y’ y t  2t  t 1 y '  với t≥0 có (t  2)2 t2  1  - +  + 1  + - 1 1 Bài 8: Tìm m để phương trình  x   x  (3  x )(6  x )  m có nghiệm Từ Bảng biến thiên ta có m≤ Giải: Đặt t  f ( x )   x   x với x  [3;6] thì t '  f '( x )  x f’(x) f(x) -3 ║  + 3/2 - 3 ║  6 x  3 x (6  x )(3  x ) +∞ t2  t2  m    t   m (2) 2 Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t  [3;3 2]  đường thẳng t2 y=m có điểm chung với đồ thị y=   t  với t  [3;3 2] 2 Vậy t  [3;3 2] Phương trình (1) trở thành t  Ta có y’=-t+1 nên có t y’ +0  y 3 -  2 Bài 9: Cho bất phương trình (4  x )(2  x )  (18  a  x  x ) Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với x  [-2;4] Giải: Lop10.com Đặt t  (4  x )(2  x )   x  x  8; t  [0;3] Bất phương trình trở thành: t  (10  a  t )  a  t  4t  10 (2) (1)ghiệm  (2) có nghiệm t  [0;3] đường thẳng y=a nằm trên ĐTHS y=t2-4t+10 với t  [0;3] y’=2t-4; y’=0t=2 t y’  y 10 +  Vậy m≥10 Bài 10: Cho phương trình x  x  x  m( x  1)2 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Phương trình đã cho tương đương 4( x  x  x ) x ( x  1)  x 2x 2x  m   m  ( )  4m 2 2 (1  x ) (1  x ) 1 x  x2 2x Đặt t= ; t  [-1;1]  x2 Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t2=4m (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t2+2t với t  [-1;1] Ta có f’(t)=2t+2≥0 với t  [-1;1] t -1 f’ +  f -1 4 Từ BBT -1≤4m≤3    m  Lop10.com HUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp  Thông thường ta gặp phương trình dạng : A  B  C  D , ta thường bình phương vế , điều đó đôi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau  A  B  C  A  B  3 A.B   A B C và ta sử dụng phép : A  B  C ta phương trình : A  B  3 A.B.C  C b) Ví dụ Bài x   3x   x  x  Giải phương trình sau : Giải: Đk x  Bình phương vế không âm phương trình ta được:  x  33x  1  x  x 2 x  1 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : x   x   x  x  Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa x  x   x  12 x  x   Nhận xét : Nếu phương trình : f x   g x   h x   k x  Mà có : f x   h x   g x   k x  , thì ta biến đổi phương trình dạng : f x   h x   k x   g x  sau đó bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình sau : x3   x   x2  x   x  x3 Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển nào? Ta có nhận xét : (2)  x3  x   x  x  x  , từ nhận xét này ta có lời giải sau : x3 x3   x   x2  x   x  x3 x  1 x3  Bình phương vế ta được:  x2  x   x2  2x     x3  x   Thử lại : x   3, x   l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x   g x   h x   k x  Mà có : f x .h x   k x .g x  thì ta biến đổi f x   h x   k x   g x  Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm nghiệm x0 phương trình luôn đưa dạng tích x  x0  A x   ta có thể giải phương trình A x   chứng minh A x   vô nghiệm , chú ý điều kiện nghiệm phương trình để ta có thể đánh gía A x   vô nghiệm Lop10.com b) Ví dụ x  x   x   x  x  1  x  x  Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : x  x   x  x   2 x   v x   x  x   x      Ta có thể trục thức vế :   2 x  x  x   x  x  1    3x   x   x  3x  Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm phương trình x  12   x  x  5 x  12  x   x    x  Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm phương trình , phương trình có thể phân tích dạng x   A x   , để thực điều đó ta phải nhóm , tách sau : x2  x  12   x   x    2 x  12   x    x2  x2     x2 x 1  x     3   x  2 x2     x  12  x2 x2 Dễ dàng chứng minh :    0, x  2 x  12  x 5 3 Bài Giải phương trình : x   x  x3  Giải :Đk x  Nhận thấy x=3 là nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   x  3x  x    x3   x2     x    x3 x3 x  3x   1 2 Ta chứng minh :  2 3 x3   x2  x 1 1     x 1    x    x   x    x  31   x3   Vậy pt có nghiệm x=3 2.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vô tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức x Ta có thể giải sau :  A  B  C A B  A  C   C  A  B   , đĩ ta có hệ:  A B  A  B   b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải: Ta thấy : x  x   x  x   x      x  4 không phải là nghiệm Xét x  4 Trục thức ta có :  2x  2x  x   2x  x  2  x   2x2  x   2x2  x   Lop10.com x   x  x   x  x   2  2x  x   x    Vậy ta có hệ:  2 x   x  x   x  x   x   Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x  x   x  x   3x Ta thấy : 2 x  x  1 x  x  1 x  x , không thỏa mãn điều kiện trên Bài Giải phương trình : Ta có thể chia hai vế cho x và đặt t  thì bài toán trở nên đơn giản x Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : x  x   x  3 x  x   3x3   3x  2 x  11x  21  3 x   (OLYMPIC 30/4-2007)  10  x  x  (HSG Toàn Quốc 2002) x   x  3x   x  x   x  x  2 x  16 x  18  x   x  2  x 5  x   x  2  x 10  x  x  15  x   x  x2   x   2x  3 Phương trình biến đổi tích  Sử dụng đẳng thức u  v   uv  u  1v  1  au  bv  ab  vu  u  b v  a   A2  B Giải: pt    x 1 1 x   x    x  3x  x  x  1     x  1 Bài Giải phương trình :  Bi Giải phương trình : x   Giải: + x  , không phải là nghiệm + x  , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: dk : x  1 3 x2  x  x2  x  x 1  x 1  x  1 x 1    1 x x     x 1   x  x   2x x   2x  x2  4x  x  x 1 1    x  4x Bài Giải phương trình : x   4 x x3 pt   x   2x   Giải: Đk: x  Chia hai vế cho  4x 4x 4x  2  1  x  : 1    x 1 x3 x3 x     Dùng đẳng thức Lop10.com Biến đổi phương trình dạng : Ak  B k 3x  x 3x Bài Giải phương trình : Giải: Đk:  x  đó pt đ cho tương đương : x  x  x   3  10 10   x   x   3 3  Bài Giải phương trình sau : x   x  x  Giải:  Đk: x  3 phương trình tương đương :   x  x   x    x  9x2     x  5  97  x    3 x  18 Bài Giải phương trình sau :  3 x x    x  3 x x   Giải : pttt   x   3x    x 1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t  f x  và chú ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta có thể giải phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem “hoàn toàn ” Nói chung phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t  f x  thường là phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: x  Nhận xét x  x2   x  x2   x  x  x  x   1 x  x  thì phương trình có dạng: t    t  t Thay vào tìm x  Bài Giải phương trình: x  x   x  Đặt t  Giải Điều kiện: x   t2  Thay vào ta có phương trình sau: t  10t  25 2  (t  5)   t  t  22t  8t  27  16  (t  2t  7)(t  2t  11)  Đặt t  x  5(t  0) thì x  Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1  2; t3,4   Do t  nên nhận các gái trị t1  1  2, t3   Từ đó tìm các nghiệm phương trình l: x   vaø x   Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế phương trình với điều kiện x  x   Ta được: x ( x  3)  ( x  1)  , từ đó ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản là ta đặt : y   x  và đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa hệ) Lop10.com 10 Bài Giải phương trình sau: x   x   Điều kiện:  x  Đặt y  x  1( y  0) thì phương trình trở thnh: y  y  5)  ( y  y  4)( y  y  5)   y  Từ đó ta tìm các giá trị x  y    y  10 y  y  20  ( với  21 1  17 (loại), y  2 11  17  Bài (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : x  2004  Giải: đk  x    x 1 1 x   Đặt y   x pttt  1  y  y  y  1002   y   x  Bài Giải phương trình sau : x  x x   3x  x Giải: Điều kiện: 1  x  Chia hai vế cho x ta nhận được: x  x  Đặt t  x  1  3 x x , ta giải x Bài Giải phương trình : x  x4  x2  2x    Giải: x  không phải là nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:  x  Đặt t= x  1  x  x x 1 , Ta có : t  t    t   x  x Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau 15 x  x   x  15 x  11 x  x  11  31 ( x  5)(2  x)  x  x n (1  x)  n  x  n (1  x)  (1  x)(2  x)   x  x x  (2004  x )(1   x ) x  17  x  x 17  x  ( x  x  2)( x  x  18)  168 x 3x   x   x   3x  x   x2   x2  Nhận xét : cách đặt ẩn phụ trên chúng ta giải lớp bài đơn giản, đôi phương trình t lại quá khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u   uv   v  (1) cách u u Xét v  phương trình trở thành :          v v v  thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)  a A x   bB x   c A x .B x  Lop10.com 11  u   v  mu  nv  Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) các biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng này a) Phương trình dạng : a A x   bB x   c A x .B x   P x   A x .B x  Q x   aA x   bB x  Như phương trình Q x    P x  có thể giải phương pháp trên  Xuất phát từ đẳng thức : x   x  1x  x  1 x  x   x  x  1 x  x  x  1x  x  1    x4   x2  2x  x2  2x  x   2 x  x  12 x  x  1 Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: x  2 x   x  Để có phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at  bt  c  giải “ nghiệm đẹp”   Bài Giải phương trình : x   x  Giải: Đặt u  x  1, v  x  x  u  2v Phương trình trở thành : u  v  5uv   u  v  Bài Giải phương trình : x  x    x  x2  2 Tìm được: x   37 Bài 3: giải phương trình sau : x  x   x  Giải: Đk: x    x  1x  x  1 Nhận xt : Ta viết  x  1   x  x     Đồng thức ta được: x  1  x  x   x  1x  x  1 v  9u Đặt u  x   , v  x  x   , ta được: 3u  2v  uv   v  u  Ta : x   Bài Giải phương trình : x  x  x    6x  Giải: Nhận xét : Đặt y  x  ta hãy biến pt trên phương trình bậc x và y : x  y x  x  y  x   x  xy  y     x  2 y Pt có nghiệm : x  2, x  22 b).Phương trình dạng :  u   v  mu  nv Phương trình cho dạng này thường khó “phát “ dạng trên , nhưg ta bình phương hai vế thì đưa dạng trên Lop10.com 12 Bài giải phương trình : x  x   Giải: x4  x2  u  x Ta đặt :  đó phương trình trở thành : u  3v  u  v 2 v  x  Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk x  x x  x  x   3x  x  1 Bình phương vế ta có :  x 2 x  1  x   x  x 2 x  1  x  x  2 x  1  1 u v  u  x  x 2 Ta có thể đặt :  đó ta có hệ : uv  u  v   v  x   1  v u   1 1 Do u , v  u  v  x2  2x  2 x  1 2 Bài giải phương trình : Giải: x  14 x   x  x  20  x  Đk x  Chuyển vế bình phương ta được: x  x    x  x  20 x  1  Nhận xét : không tồn số  ,  để : x  x    x  x  20   x  1 ta không thể đặt u  x  x  20  v  x     Nhưng may mắn ta có : x  x  20 x  1  x  x  x  1  x   x  x     Ta viết lại phương trình: x  x   x    ( x  x  5)( x  4) Đến đây bài toán giải Các em hãy tự sáng tạo cho mình phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn  Từ phương trình tích   x 1 1   x   x  x   x  2 x 1  x   , Khai triển và rút gọn ta phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ đó chúng ta tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải thể qua các ví dụ sau   Bài Giải phương trình : x   x  x   x  Giải: t  t  x  , ta có : t  2  x t   x    t  x  Bài Giải phương trình : x  1 x  x   x  Giải: Đặt : t  x  x  3, t  Khi đó phương trình trở thnh : x  1t  x   x   x  1t  Lop10.com 13 Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có  chẵn : t  x  x   x  1t  x  1   t  x  1t  x  1    t  x  Từ phương trình đơn giản :  1 x  1 x   x     x  , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x    x   x   x Giải: Nhận xét : đặt t   x , pttt:  x  x  2t  t  x (1)     x  1 Nhưng không có may mắn để giải phương trình theo t   2   x   48  Ta rút x   t thay vào thì pt: 3t    x t  có dạng bình phương Muốn đạt mục đích trên thì ta phải tách 3x theo  x   không  1 x  ,  1 x  2 Cụ thể sau : x   1  x   1  x  thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x    x  x  16 Giải   Bình phương vế phương trình: 2 x    16  x  16 2  x   x  16     4  x  9  2  x Ta đặt : t   x  Ta được: x  16t  32  x  Ta phải tách x 2  8 làm cho  t có dạng chính phương Nhận xét : Thông thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự thì đạt mục đích Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích  Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo phương trình vô tỉ mà giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ các ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức a  b  c   a  b3  c  a  b b  c c  a , Ta có a  b3  c  a  b  c   a  b a  c b  c   Từ nhận xét này ta có thể tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba x   x2  x   x2  8x   3x    x  x   x   Bài Giải phương trình : x   x  x   x  x   x  x u   x u  v u  w   2  u  uv  vw  wu    Giải : v   x , ta có : 3  v  uv  vw  wu  u  v v  w   , giải hệ ta được: 5  w2  uv  vw  wu    v  w u  w    w   x 30 239 u x 60 120 Bài Giải phương trình sau : x   x  3x   x  x   x  x  Lop10.com 14 a   b  Giải Ta đặt :  c   d  2x2  a  b  c  d x  3x  , đó ta có :  2 2 a  b  c  d 2x  2x   x  2 x2  x  Bài Giải các phương trình sau 1) x2  5x   x2  x   x  2) x  x 1  x   1  x    x  x  x 1  x  Đặt ẩn phụ đưa hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường  Đặt u   x , v   x  và tìm mối quan hệ  x  và  x  từ đó tìm hệ theo u,v   Bài Giải phương trình: x 25  x3 x  25  x3  30 Đặt y  35  x3  x3  y  35  xy ( x  y )  30 , giải hệ này ta tìm 3  x  y  35 ( x; y )  (2;3)  (3; 2) Tức là nghiệm phương trình là x  {2;3} Bài Giải phương trình: 1 x  x  Điều kiện:  x      x  u Đặt  0u  1,0  v    x  v Khi đó phương trình chuyển hệ phương trình sau:   u  v   u  v   Ta đưa hệ phương trình sau:   u  v     v   v         Giải phương trình thứ 2: (v  1)   v    , từ đó tìm v thay vào tìm nghiệm phương 2  2 trình Bài Giải phương trình sau: x   Điều kiện: x  Đặt a  x 1  x  1, b   x  1(a  0, b  0) thì ta đưa hệ phương trình sau: a  b   (a  b)(a  b  1)   a  b    a  b   b  a  11  17 Vậy x     x   x    x  x   2x  2x Bài Giải phương trình:   5 x 5 x Giải Điều kiện: 5  x  Lop10.com 15   Đặt u   x , v   y  u , v  10 (u  v)  10  2uv u  v  10   Khi đó ta hệ phương trình:  4 2 8     2(u  z )  (u  v) 1     u v  uv   5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II  Ta hãy tìm nguồn gốc bài toán giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II x  12  y   Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau :   y  1  x  (1) (2) việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt y  f x  cho (2) luôn đúng , y  , đó ta có phương trình : x  1  ( x   1)   x  x  x  1 x2 Vậy để giải phương trình : x  x  x  ta đặt lại trên và đưa hệ  x   2  ay  b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :  , ta xây dựng phương trình  y     ax  b a  ax  b  b  dạng sau : đặt  y    ax  b , đó ta có phương trình :  x     Tương tự cho bậc cao :  x     n a  n ax  b  b      Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng :  x     p n a ' x  b '   n v đặt  y    n ax  b để đưa hệ , chú ý dấu  ??? Việc chọn  ;  thông thường chúng ta cần viết dạng :  x     p n a ' x  b '   là chọn n Bài Điều kiện: x  Giải phương trình: x  x  2 x  1 Ta có phương trình viết lại là: ( x  1)   2 x   x  x  2( y  1) Đặt y   x  thì ta đưa hệ sau:   y  y  2( x  1) Trừ hai vế phương trình ta ( x  y )( x  y )  Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x   Bài Giải phương trình: x  x   x  Giải Điều kiện x   Ta biến đổi phương trình sau: x  12 x   x   (2 x  3)  x   11 (2 x  3)  y  Đặt y   x  ta hệ phương trình sau:   ( x  y )( x  y  1)  (2 y  3)  x   Với x  y  x   x   x   Với x  y    y   x  x   Lop10.com 16 Kết luận: Nghiệm phương trình là {1  2;  3} Các em hãy xây dựng sồ hệ dạng này ?  Dạng hệ gần đối xứng (2 x  3)  y  x  Ta xt hệ sau :  (1) đây không phải là hệ đối xứng loại chúng ta giải (2 y  3)  x   hệ , và từ hệ này chúng ta xây dưng bài toán phương trình sau : Bài Giải phương trình: x   13 x  x   13  33  Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm phương trình trước :  x    x   4  13  x  thì chúng ta không thu hệ phương trình mà chúng ta có thể giải Đặt y  Để thu hệ (1) ta đặt :  y    x  , chọn  ,  cho hệ chúng ta có thể giải , (đối xứng gần đối xứng )  y   2  x   y  2 y  x     (1)  (*) Ta có hệ :  x  13 x   y     (2)  4 x  13 x    y   Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn chúng ta là có nghiệm x  y 2 2    Nên ta phải có : , ta chọn   2;       13   Ta có lời giải sau : 3 x   (2 y  3), ( y  ) 2 (2 x  3)  y  x  Ta có hệ phương trình sau:   ( x  y )(2 x  y  5)  (2 y  3)  x   15  97 Với x  y  x  11  73 Với x  y    x  15  97 11  73  Kết luận: tập nghiệm phương trình là:  ;  8   Điều kiện: x   , Đặt Chú ý : đã làm quen, chúng ta có thể tìm  ;  cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình sau: (2 x  3)   x   x  đó đặt x   2 y  , đặt y   x  thì chúng ta không thu hệ mong muốn , ta thấy dấu  cùng dấu với dấu trước Một cách tổng quát  f ( x)  A.x  B y  m  f ( y )  A '.x  m ' Xét hệ:  (1) để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, (2) Nếu từ (2) tìm hàm ngược y  g x  thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm và hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải các phương trình sau Lop10.com 17 1) x  13 x   x   x   x3  x  15 30 x  x  2004 30060 x   5)  6) x   x  36 x  53  25 4)  2) x  13 x   x   3) 81x   x  x  x2  Giải (3): Phương trình :  27 81x   27 x  54 x  36 x  54  27 81x   3 x    46 Ta đặt : y   81x  Các em hãy xây dựng phương trình dạng này ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức :  Từ đánh giá bình phương : A2  B  , ta xây dựng phương trình dạng A2  B   5x   x     5x  2  x   x x    x  Từ phương trình x  12  x   ta khai triển có phương trình : Dùng bất đẳng thức A  m dấu ỏ (1) và (2) cùng B  m   Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:  dạt x0 thì x0 là nghiệm phương trình A  B Ta có :  x   x  Dấu và x  và x=0 Vậy ta có phương trình:  2008 x   2008 x  x 1   , dấu và x 1  1 x x 1  A  f x   A  f x  đó : A  B    B  f ( x)  B  f x  Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng :   Nếu ta đoán trước nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk x  2     x  x  1      x9   x  x      1 x x 1  2  Ta có :   x  2   x 1   Dấu  2  x 1 2  x  x9 x 1   Bài Giải phương trình : 13 x  x  x  x  16 Giải: Đk: 1  x   Biến đổi pt ta có : x 13  x   x   256 Lop10.com 18 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  13 13  x  3  x   13  27 13  13x   3x  40 16  10 x  2 2  16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16  10 x     64  2 2   x  x2   1 x  Dấu     10 x  16  10 x x     3` Bài giải phương trình: x  x  x  40  4 x   Ta chứng minh : 4 x   x  13 và x  x  x  40   x  3 x  3  x  13 Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau  2x  2x   2x  2x x  1 x  x  1 x   16 x   x  x x 3`  x  x  40  4 x    2x   2x   x  64  x  x  x  28 1   x2      x   x x  2x4   4  x4  x4  Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ véc tơ    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u  x1 ; y1 , v  x2 ; y2  đó ta có      uv  u  v  x1  x2    y1  y2  2   x12  y12  x22  y22  x1 y1   k  , chú ý tỉ số phải dương x2 y2       u.v  u v cos   u v , dấu xẩy và cos    u  v Dấu xẩy và hai véc tơ u , v cùng hướng   3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác  Nếu tam giác ABC là tam giác , thì với điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA  MB  MC  OA  OB  OC với O là tâm đường tròn Dấu xẩy và M  O  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC cùng góc 1200 Bài tập   1x   1) 2x2  2x   2x2  2) x  x   x  10 x  50  2x2    1x   IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu  Dựa vào kết : “ Nếu y  f t  là hàm đơn điệu thì f x   f t   x  t ” ta có thể xây dựng phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : y  f x   x  x  x  ta xây dựng phương trình : Lop10.com 19 f x   f  3x  1 x  x2    3x    (3 x  1)  , Rút gọn ta phương trình x  x  x   3 x  1 x  Từ phương trình f x  1  f  3x  1 thì bài toán khó x  x  x   3 x  1 3x  1 Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm sau : 2 x  x  x   y Đặt y  x  đó ta có hệ :  cộng hai phương trình ta được: 3 x   y 2 x  1  x  1 = y  y Hãy xây dựng hàm đơn điệu và bài toán vô tỉ theo dạng trên ?     Bài Giải phương trình : 2 x  1  x  x   x  x   Giải:   2 x  1  2 x  1      3 x   3x     f 2 x  1  f 3 x   Xét hàm số f t   t  t  , là hàm đồng biến trên R, ta có x   Bài Giải phương trình x  x  x   x  x   x  x  x   y Giải Đặt y  x  x  , ta có hệ :   y  y  x  1  x  1 7 x  x   y Xét hàm số : f t   t  t , là hàm đơn điệu tăng Từ phương trình x  f  y   f x  1  y  x   x  1  x  x     x  1   3 Bài Giải phương trình : x   x  x  V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Một số kiến thức bản:  cho x  cos y      cho : sin t  x và số y với y  0;   ;  2  Nếu x  thì có số t với t       cho : sin t  x và số y với y   0;    2  2 Nếu  x  thì có số t với t   0; cho x  cos y    ;  cho : x  tan t  2  Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x  y  , thì có số t với  t  2 , cho x  sin t , y  cos t  Với số thực x có t    Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :     x  cos y với y  0;   ;  2       Nếu  x  thì đặt sin t  x , với t   0;  x  cos y , với y   0;   2  2 2  Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x  y  , thì đặt x  sin t , y  cos t với  t  2  Nếu : x  thì đặt sin t  x với t   Lop10.com 20