Giải phương trình bằng cách ñặt ẩn phụ ñưa về hệ 1.. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com..[r]
(1)GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Biến ñổi tương ñương * 2n f ( x ) = 2n g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) ≥ f ( x) ≥ * 2n f ( x ) < g ( x ) ⇔ g ( x ) ≥ 2n f ( x) < g ( x) g ( x) ≥ * 2n f ( x ) = g ( x ) ⇔ 2n f ( x) = g ( x) * 2n+1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g 2n+1( x) g ( x)< f ( x)≥ 2n f(x)>g(x) ⇔ * g ( x) ≥ f ( x ) > g 2n ( x) * 2n+1 f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x) > g 2n+1( x) * 2n+1 f ( x) < g ( x) ⇔ f ( x) < g 2n+1( x) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) x − x + = 2) x + − − x = − x 3) 2x + 6x2 + = x + 4) x2 − 3x − = − x 3x − 5) 4x − + 4x2 − = Ví dụ 2:Giải các bt sau 1) 2x -6x+1-x+2>0 2) ( x + 5)(3x + 4) > 4( x − 1) 3) ( x − x) x − x − ≥ 4) x + − x +1 ≤ x 5) 6) x2 (1 + + x ) 2( x − 16) x−3 >x−4 + x−3 > 7−x x−3 Bài tập: Giải các phương trình và bất phương trình sau 4) 3(2 + x − 2) = x + x + 1) x − 13 − 3x − ≤ x − 27 x x2 5) + x − − x ≥ x 2) − = 2 2(1 + + x ) 6) x − − x − > x − 3) x( x − 1) + x( x + 2) = x 7) x + + x + − x + = Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (2) GV: Nguyễn Tất Thu 8) http://www.toanthpt.net x + 12 ≥ x − + x + 12) ( x − 3) x + ≤ x − 9) x − x + − x + ≤ 10) 3x − − − x = x − 11) x + − − x ≥ 3x − 13) + x − − x ≥ x 14) x − x + − x − 3x + ≥ x − ðặt ẩn phụ ñưa phương trình Ta thường ñặt ẩn phụ cho các biểu thức ñồng dạng Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) ( x + 5)(2 − x) = x + x 5) 2) x + x + 11 = 31 3) + x + − x = + (3 + x)(6 − x) 4) x + + x + = 3x + (2 x + 3)( x + 1) − 16 Ví dụ 2: Giải các bpt sau 1) x + − 3x − = x+3 6) x + x + =( x + 3) x + x + 10 x + > − x − x 2) x + + x − + 49 x + x − 42 ≤ 181 − 14 x 3) 24 + x + 12 − x ≤ Bài tập: Giải các pt và bpt sau Bài 2: Tìm m ñể các pt và bpt sau có no: 1) x + + − x + ( x + 1)(4 − x) = 1) x − x − > m 2) 3x − + x − = x − + 3x − x + 2) m + x = m − m − x 3) x( x − 4) − x + x + ( x − 2)2 = 3) x + x + m − x − x = m 4) x − + x + x + x + = + x − 4) x − 2mx + = m − 5) x + x − x − > 10 x + 15 5) x + + − x − (3 + x)(6 − x) = m 6) x − x + − (4 − x)( x + 2) ≥ 6) x − x + = 2m + − x + x 7) + x − x = x + − x Bài 3: Tìm m ñể pt: x + mx − = x + có hai nghiệm phân biệt 8) x + − x = − x + x + 9) ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) x +1 +3=0 x−3 10) x − x − + x + x − = Bài 4: Cmr với ∀m ≥ thì pt sau luôn có nghiệm: x + (m − ) x + + − m3 = Bài 5: Tìm m ñể pt sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (3) GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Hệ ñối xứng loại f ( x; y ) = a ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng (I) ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ( ; ) g x y = b ñối xứng Cách giải: ðặt S=x+y, P=xy biểu diễn f(x;y),g(x;y) qua S và P ta có hệ F ( S ; P) = giải hệ này ta tìm ñược S,P Khi ñó x,y là no pt: X2-SX+P=0 (1) G ( S ; P ) = Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P x + y = ( x + y )2 − xy = S − P x3 + y = ( x + y )( x + y − xy ) = S − 3SP x y + y x = xy ( x + y ) = SP x + y = ( x + y )2 − x y = ( S − P) − P Chú ý: *Nếu (x;y) là nghiệm hệ (I) thì (y;x) là nghiệm hệ * Hệ có nghiệm (1) có nghiệm hay S − P ≥ Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau x + y − xy = 3) x + y + xy = 1) x + + y + = + = x y x( x + 2)(2 x + y ) = x + y = 3( x y + xy ) 4) x + x + y = 2) 3 x + y = Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm x + y = m x + y = 1) 3) x + y = 2m + x x + y y = − 3m x + + y − = m x + y = m 2) 4) gọi (x;y) là 2 2 x + y = m − 4m + x + y = − m + nghiệm Tìm Max và Min F=xy+2(x+y) Ví dụ 3: Cho x+y=1 Tìm GTNN A = x3 + y Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (4) GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net 1 Ví dụ 4: Cho x, y ≠ thỏa mãn: ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm Max A = + x y Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x y 13 x + y = + = 1) 3 4) y x x + y = 26 x + y = x + xy + y = 2) 2 1 x + xy + y = x + y + x + y = 5) x y + y x = 30 3) x2 + y + + = x x y y + = 35 x2 y2 x + y = 34 6) x + y = Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm x + y + xy = m x + y = 2m − 2) 1) và xác ñịnh Min xy 2 2 x y + y x = 3m − x + y = m + 2m − Bài 3: Cho x,y thỏa mãn x − y + = x + − y Tìm gtln và gtnn x+y II Hệ ñối xứng loại f ( x; y ) = a ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng (II) f y x = a ( ; ) Cách giải: Trừ hai pt hệ cho ta ñược f ( x; y ) − f ( y; x) = x = y ⇔ ( x − y ) g ( x; y ) = ⇔ g ( x; y ) = Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau x = x + y 1) y = y + x 3 x = x + y 2) = 2y + x y x + + y − = 3) y + + x − = y2 + 3 y = x2 4) 3 x = x + y2 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (5) GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm x + − y = m 2 x + y − = m 1) 2) 2 y + x − = m y + − y = m Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) là nghiệm hệ nên hệ (II) có nghiệm thì ñiều kiện cần là x0=y0 Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm x = y − y + m 3 x = y − y + my 1) 2) 2 3 y = x − x + mx y = x − x + m Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x3 = x + y 1) y = y + x x2 − y2 = 2x + y 2) 2 y − 2x = y + x x3 + = y 3) y + = 2x 2 x = y + y 4) 2 y = + x x 5) 6) 7) 8) x + − y = y + − x = x + − y = y + − x = x + y + = y + x + = 2y x = − y y = 2x − x2 Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm x + y − = m 1) y + x − = m x + + y − = m 2) y + + x − = m Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com (m ≥ 0) Trang (6) GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Bài 3:Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm ( x + 1)2 = y + m y = x3 − x + mx 1) 3) 2 x = y − y + my ( y + 1) = x + m m2 x3 = y + x + m x = y + 4) y 2) y = x + y + m 2 y = x + m x III Hệ ñẳng cấp 1.ðịnh nghĩa: *Biểu thức f(x;y) gọi là hệ ñẳng cấp bậc k f (mx; my ) = m k f ( x; y ) f ( x; y ) = a *Hệ: ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp ( ; ) g x y = b Cách giải: *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra k f ( x; tx) = a x f (1; t ) = a * với x ≠ ñặt y=tx thay vào hệ ta có: ⇔ k g ( x; tx) = b x g (1; t ) = b a ⇒ f (1; t ) = g (1; t ) ⇒ t ⇒ x, y b Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ pt sau ( x − y )2 y = x − xy + y = 2) 3) 3 y = 13 − = 19 x y y − xy = 5 x − xy + y ≥ Ví dụ 2:Tìm a ñể hệ bpt sau có nghiệm 2a − x xy y + + ≤ 2a + Bài tập: Giải các hệ pt sau 2 2 2 3 x + xy − y = 38 x + xy + y = ( x − y )( x − y ) = 1) 2) 3) 2 2 2 5 x − xy − y = 15 2 x + xy + y = ( x + y )( x + y ) = 15 x − 3xy + 1) 3x − xy + y = −1 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (7) GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net IV Một số hệ khác Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau x + y = x + y 1) x − y = x − y − 12 y (1 + x ) = x + y 2) x + y = ( ) 1 + x3 y = 19 x3 3) 2 y + xy = −6 x 3 x + y = y + x 4) 2 x + y = x3 y = 16 5) 3 x + y = 1 x − x = y − y 6) 2 y = x3 + Bài tập: Giải các hệ pt sau x − y = x − y x − y = x − y 1) 2) x + y = x + y + x + − − y = − x x + y + − x + y = 3) 3 x + y = V Giải phương trình cách ñặt ẩn phụ ñưa hệ Các dạng thường gặp x n + b = at * x + b = a ax − b ñặt t = ax − b ta có hệ n t + b = ax n n n u ± v = c a − f ( x) ± m b + f ( x) = c ñặt u = n a − f ( x), v = m b + f ( x) ta có: n m u + v = a + b Các ví dụ * n Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) x3 + = x − 2) x + 17 − x = 3) x − + x +1 = Ví dụ 2:Tìm m ñể pt sau có nghiệm 1) − x + + x = m 2) 4) x = x +1 − x −1 5) x + x − = x + 15 16 x + + − x − (3 + x)(6 − x) = m Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (8) GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Bài tập Bài Giải các phương trình sau 1) (2-x)2 + (x+7) - (2-x)(x+7)=3 x+3 2) x + x = 3) 7) 8) 17 − x8 − x8 − = − x3 = x − 10) 5) x 35 − x3 ( x + 35 − x3 ) = 30 6) x −1 + x + x + x +1 =1+ x −1 Bài 2: giải các hệ sau x + y − x − y = 1) x + y + x − y = 1 + x3 y = 19 x3 2) 2 y + xy = −6 x y + xy = x 3) 2 1 + x y = x x x ( ) + ( ) = 12 y y 4) ( xy )2 + xy = 2x 2y + =3 5) y x x − y + xy = x x + y2 + y = 6) x + x + = y y x+4 x − + − x = x − x + 11 9) x + x + = 4) − x + + x = + x − = x + 2x − x x x 11) x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = x+ y + x− y =2 7) y + x − y − x = x+ + x+ y −3 =3 y 8) 2 x + y + = y x ( x − y ) y = 9) ( x + y ) x = y x2 − 2x + y = 10) x + y = x + y = x + y 11) x − y = x − y − 12 Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Lop10.com Trang (9)