Đang tải... (xem toàn văn)
BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Chú ý các tính chất sau:.. Chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1.[r]
(1)Trường THPT Tiên Lãng Gv: §oµn Cao Th¾ng BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Chú ý các tính chất sau: a b 2 ; A B2 C2 ; A B2 C2 , ( 0) ; Tích các số không âm là số không âm ; Các đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa dạng đẳng thức Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a b 2ab 2(a b ) (a b)2 3(a b c2 ) (a b c)2 a b2 b2 ab bc ca a b2 c2 a b c a b c2 d e2 a b c d e 2.Chứng minh các BĐT sau: a b c 2ab 2ac 2bc a / b c2 ab ac 2bc a 2b 2ab 2a 4b a 5b 4ab 2a 6b Phương pháp : Dùng bất đẳng thức Cauchy Chứng minh các bất đẳng thức: a b 1 1 a, b (a b)( ) a, b a, b b a a b a b ab 1 1 1 (a b c)( ) a, b, c a, b, c a b c a b c abc 1 1 1 1 16 (a b c d )( ) 16 a, b, c, d a, b, c, d a b c d a b c d abcd a bc b y z x ab a, b, c 10 1 1 1 (x,y,z 0) ac ab a, b, c 2c c x y z 11 (p+2)(q+2)(p+q) 16pq (p,q 0) 13 a + b + c ab bc ca (a, b, c 0) 15 a + b + 2a2+ 2b2 2ab + 2b a + 2a b (a, b 1 1 1 17 a, b, c a b c bc ca ab x x2 1 x2 8 20 20 22 4 1 x x 1 x 1 x 24 11 x x -7 x 11 12 a2 + b2 + c2 a(b + c) 14 2a2 + b2 + c2 2a(b + c) 16 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 0) bc ca ab a b c a, b, c 18 a b c 0<x<1 a2 a 2x2 25 1 a2 a 4x2 25 Nếu a+b=1, a>0,b>0 thì 4a 4b 23 26 (1+a1)(1+a2) (1+an) 2n a1,a2, ,an>0 và a1a2 an=1 Chứng minh c a b a, b, c p p 1q q 1 pq p,q a b c a6+b6+1 3a2b2 x y z x y z xyz x,y,z a b6 a b9 3a 2b 3a 2b3 16 b 0,a R 6 Chứng minh rằng: b c c a a+b a b c a, b, c a b c bc ac ab 2 bc ac ab abc a, b, c Nếu a a / 0 a 1 a a, b, c a+b=1.Cm: (2a+1)(2+b) 49/8 1 x 2 y 4 x y 0 x 1, y (Kỹ thuật thêm bớt BĐT Côsi ) Lop10.com a>b>0 b( a b) (2) Trường THPT Tiên Lãng Cho a,b,c>0 CMR Gv: §oµn Cao Th¾ng a b c abc (Thêm (a+b)/4 COSI ngược ) ab bc ca 2 2 3 a b c a b c Cho a,b,c>0 CMR a b c (Thêm a,b,c) Cho a,b,c>0 CMR a b c (Thêm b+c ) b c a bc ca ab 3 a b c 3 Cho a,b,c>0 và abc=1 CMR : (Thêm(1+b)/8+(1+c)/8…) (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) a 2 3 Cho a,b,c>0 CMR a b3 c a b c (Th ªm b c a b c a c a b a b d (Thêm (b+c+d)/9 ) bcd cda dab abc 3 3 2 4 3 a b c a b c a b c a b c Cho a,b,c>0 CMR1 (Thêm a,b,c) 2 (Thªm a ) b c a b c a b c a b c a 3 2 a(b+c) a b c a b c 2 Cho a,b,c>0 CMR (Thêm a , b , c hoÆc ) bc ca ab Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4 CMR: b ) 8.(Kỹ thuật cosi ngược dấu) Cho a,b,c thoả mãn a+b+c=3 CMR 2 a b c 2 ab bc ca 2 2 a b c 1 2 a 2b b 2c c 2a a b c 3 2 1 b 1 c 1 a 2 Cho a,b,c,d>0 CMR a a b 2 b b c 2 c c d Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4 CMR III.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACỐPSKI d d a 1 a abcd 1 b 1 c 1 d 2 Với các số thực a,b,x,y ta có : (ax + by) (a + b )(x + y ) Daáu "=" xaõy vaø chæ ay = bx TQ:Cho hai boä soá (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1 a2 b2 an bn )2 Daáu "=" xaõy vaø chæ Cho a,b,c > CMR: a a b c a b c 2 a b c a1 a2 b1 b2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) an với quy ước mẫu thì tử bn b a b c a b c a b c c 9a b c a b c Cho a,b,c thoả mãn a+b+c = CMR: 4a 4b 4c 21 CMR : a xy x y y x với x,y b ab ca c cb c với < c a,b Cho a,b,c > CMR: 2 c a 2b 98 17 a.( a + b )4 8(a4 + b4) với 2a+3b7 d b a2 b2 c2 d a c 2 b d 2 b 2a c 2b a 2c với ab+bc+ca = abc ab bc ca IV: BÀI TOÁN CỰC TRỊ 2 a, b Cho , tìm GTNN P= a b b 1 a 1 a.b Lop10.com (3) Trường THPT Tiên Lãng x, y , z Gv: §oµn Cao Th¾ng 1 Cho 1 Tìm GTLN P x y z x y z x y z x y z Cho a, b, c a b c a, b Cho a b Chứng minh rằng: a 2b b 2c c 2a 3 , tìm GTNN P1 a b 1 P2 2ab a b ab 4ab IV.BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 24.Cho x y z 10 CMR: x y z 25.CMR : a b a b a b 1 ab ab 26.CMR với a,b R ta có ab 1 a b a b 1 a b ,dấu “=” sảy nào? V.BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG TÍNH CHÁT TỈ SỐ A.T/C:Cho ba số dương a,b,c a a ac Nếu thi b b bc Nếu Nếu cho thêm d>0 thì Nếu a b c d a b ac bd a b c thi a b ac bc d B.Bài tập Cho a,b,c>0,CMR a ab Cho a,b,c,d>0 CMR a b bc c ca b 2 c d 2 abc bcd cda dab 2a b c 2b c d 2c d a 2d a b Cho a,b,c,d>0 CMR P Không là số tự nhiên abc bcd cda dab ab bc cd da 3 Cho a,b,c,d>0 CMR abc bcd cda dab II: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ 27 Cho x,y > Tìm GTNN: a A = với x + y = b B = x + y với x 4y x y x 1 c C = x x d D = x2 1 28 Tìm GTNN biểu thức: 1 a A = x với x > ; B = x với x > ; C = x x x 1 x2 1 y z biết x,y,z > và x + y + z x y z 29 Tìm giá trị lớn hàm số : x 1 y=x x 2 y= y=x+ x x 30 Tìm GTNN hàm số : b x2 Lop10.com (4) Trường THPT Tiên Lãng y= x (x>0) x2 Gv: §oµn Cao Th¾ng y=1+ x 1 x (0<x<1) y= x x a2 1 x ab c bc a ca b c 2, b 4, a 3 abc 1 4xy 32 Nếu x,y>0và x+y , tìm GTNN P= 2 x y xy 33 Nếu x,y thay đổi thoả mãn x 3, y Tìm GTLN A=(3-x)(4-x)(2x+3y) x y z 34 x,y,z là số dương thay đổi thoả mãn x+y+z Tìm GTLN A= x+1 y z 31 Tìm GTLN T Lop10.com a (5) Trường THPT Tiên Lãng Bµi : Gv: §oµn Cao Th¾ng DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ Tìm GTNN : a) f x, y x y 1 x 1 y 2 b) f x, y x y x 2xy 4x 2 c) f x, y Bµi : Tìm GTLN : a) f x 4x x c) f x, y Bµi : 3x 4xy x y2 Tìm GTNN : x3 b) f x x x2 d) f x tgx cot gx (x là góc nhọn) a) f x 2x 13 5x b) f x 1 x 1 x x c) f x x 2 d) f x e) f x a x a x x x2 2 0 x a Tìm GTLN, GTNN : a) f x x x 1 x b) f x 3x x c) f x 3sin x 4cos x 0o x 180o Bµi : x y2 b) f x x 315 x x 4x a) f x x x x 0 x 1 c) f x 1 x x Bµi : Tìm GTLN : Bµi : 4y 4x 6xy Cho x y 2, x 0, y Hãy tìm : a) GTNN : A 1 x y b) GTLN : B x y xy c) GTLN : C xy Bµi : Cho xy= , (x>0, y>0) Hãy tìm GTNN : a) A x y b) B x y c) C x 14y 3 d) D x y x y y x Bµi : Cho số thực dương a và b Tìm GTNN : a) y a x b x , x b) y x b , x a c) y ax xa e) y x x x x b ax , x x d) y x x x Lop10.com 3x (6)