Bài tập Bất đẳng thức & bất phương trình 10

BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Chú ý các tính chất sau:.. Chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1.[r]

Trường THPT Tiên Lãng Gv: §oµn Cao Th¾ng BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Chú ý các tính chất sau: a  b 2  ; A  B2   C2  ; A  B2   C2    , (  0) ; Tích các số không âm là số không âm ; Các đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa dạng đẳng thức Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a  b  2ab 2(a  b )  (a  b)2 3(a  b  c2 )  (a  b  c)2 a  b2  b2  ab  bc  ca a  b2  c2   a  b  c  a  b  c2  d  e2  a b  c  d  e  2.Chứng minh các BĐT sau: a  b  c  2ab  2ac  2bc a /  b  c2  ab  ac  2bc a  2b  2ab  2a  4b   a  5b  4ab  2a  6b   Phương pháp : Dùng bất đẳng thức Cauchy Chứng minh các bất đẳng thức: a b 1 1   a, b   (a  b)(  )  a, b     a, b   b a a b a b ab 1 1 1 (a  b  c)(   )  a, b, c      a, b, c   a b c a b c abc 1 1 1 1 16 (a  b  c  d )(    )  16 a, b, c, d       a, b, c, d   a b c d a b c d abcd a  bc b  y  z  x   ab a, b, c   10 1   1   1    (x,y,z  0) ac   ab a, b, c   2c c  x  y  z  11 (p+2)(q+2)(p+q)  16pq (p,q  0) 13 a + b + c  ab  bc  ca (a, b, c  0) 15 a + b + 2a2+ 2b2  2ab + 2b a + 2a b (a, b 1 1 1   17    a, b, c   a b c bc ca ab x x2 1  x2  8 20 20 22   4 1 x x 1 x 1 x 24  11  x   x  -7  x  11 12 a2 + b2 + c2  a(b + c) 14 2a2 + b2 + c2  2a(b + c) 16 (a+b)(b+c)(c+a)  8abc  0) bc ca ab    a  b  c a, b, c   18 a b c 0<x<1 a2  a  2x2   25 1 a2  a  4x2  25 Nếu a+b=1, a>0,b>0 thì 4a   4b   23 26 (1+a1)(1+a2) (1+an)  2n a1,a2, ,an>0 và a1a2 an=1 Chứng minh c a b    a, b, c   p  p  1q  q  1 pq p,q   a b c a6+b6+1  3a2b2 x  y  z x  y  z   xyz x,y,z     a  b6 a  b9  3a 2b   3a 2b3  16 b  0,a  R  6 Chứng minh rằng: b  c c  a a+b a b c    a, b, c      a b c bc ac ab 2    bc ac ab abc a, b, c   Nếu a  a  / 0  a  1 a  a, b, c   a+b=1.Cm: (2a+1)(2+b)  49/8 1  x 2  y 4 x  y   0  x  1,  y   (Kỹ thuật thêm bớt BĐT Côsi ) Lop10.com  a>b>0  b( a  b) Trường THPT Tiên Lãng Cho a,b,c>0 CMR Gv: §oµn Cao Th¾ng a b  c  abc  (Thêm (a+b)/4 COSI ngược ) ab bc ca 2 2 3 a b c a b c Cho a,b,c>0 CMR    a  b  c (Thêm a,b,c) Cho a,b,c>0 CMR    a  b  c (Thêm b+c ) b c a bc ca ab 3 a b c 3 Cho a,b,c>0 và abc=1 CMR :    (Thêm(1+b)/8+(1+c)/8…) (1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) a 2  3 Cho a,b,c>0 CMR a  b3  c  a  b  c (Th ªm b c a b c a c  a b  a b  d  (Thêm (b+c+d)/9 ) bcd cda dab abc 3 3 2 4 3 a b c a b c a b c a b c Cho a,b,c>0 CMR1      (Thêm a,b,c) 2      (Thªm a ) b c a b c a b c a b c a 3 2 a(b+c) a b c a b c 2 Cho a,b,c>0 CMR (Thêm a , b , c hoÆc )    bc ca ab Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4 CMR: b  ) 8.(Kỹ thuật cosi ngược dấu) Cho a,b,c  thoả mãn a+b+c=3 CMR 2 a b c    2 ab bc ca 2 2 a b c   1 2 a  2b b  2c c  2a a b c 3    2 1 b 1 c 1 a 2 Cho a,b,c,d>0 CMR a a b 2  b b c 2  c c d Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4 CMR III.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACỐPSKI  d d a 1 a   abcd 1 b  1 c  1 d 2 Với các số thực a,b,x,y ta có : (ax + by)  (a + b )(x + y ) Daáu "=" xaõy vaø chæ ay = bx TQ:Cho hai boä soá (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1  a2 b2 an bn )2 Daáu "=" xaõy vaø chæ Cho a,b,c > CMR: a a  b  c      a  b  c 2 a b c a1 a2  b1 b2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) an với quy ước mẫu thì tử bn    b a  b  c  a  b  c  a  b  c  c 9a  b  c  a  b  c  Cho a,b,c   thoả mãn a+b+c = CMR:  4a   4b   4c   21 CMR : a xy  x y   y x  với x,y  b ab  ca  c   cb  c  với < c  a,b Cho a,b,c > CMR: 2 c a  2b  98 17 a.( a + b )4  8(a4 + b4) với 2a+3b7 d b a2  b2  c2  d  a  c 2  b  d 2 b  2a c  2b a  2c    với ab+bc+ca = abc ab bc ca IV: BÀI TOÁN CỰC TRỊ 2 a, b  Cho  , tìm GTNN P= a  b b 1 a 1 a.b  Lop10.com Trường THPT Tiên Lãng  x, y , z  Gv: §oµn Cao Th¾ng 1   Cho  1 Tìm GTLN P  x  y  z x  y  z x  y  z    x y z  Cho a, b, c  a  b  c  a, b  Cho  a  b  Chứng minh rằng: a  2b  b  2c  c  2a  3 , tìm GTNN P1  a b  1 P2  2ab a b  ab  4ab IV.BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 24.Cho x  y  z  10 CMR: x   y   z      25.CMR :  a  b  a  b  a  b 1  ab   ab  26.CMR với a,b R ta có ab 1 a  b  a  b 1 a  b ,dấu “=” sảy nào? V.BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG TÍNH CHÁT TỈ SỐ A.T/C:Cho ba số dương a,b,c a a ac Nếu  thi  b b bc Nếu Nếu cho thêm d>0 thì Nếu a b  c d  a b  ac bd  a b c  thi a b  ac bc d B.Bài tập Cho a,b,c>0,CMR  a ab Cho a,b,c,d>0 CMR   a b bc   c ca b 2  c  d 2 abc bcd cda dab 2a  b  c 2b  c  d 2c  d  a 2d  a  b    Cho a,b,c,d>0 CMR P  Không là số tự nhiên abc bcd cda dab ab bc cd da    3 Cho a,b,c,d>0 CMR  abc bcd cda dab II: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ 27 Cho x,y > Tìm GTNN: a A =  với x + y = b B = x + y với   x 4y x y x 1 c C = x   x d D = x2 1 28 Tìm GTNN biểu thức: 1 a A = x  với x > ; B = x  với x > ; C = x  x x 1 x2   1  y   z  biết x,y,z > và x + y + z  x y z 29 Tìm giá trị lớn hàm số : x 1 y=x  x 2 y= y=x+  x x 30 Tìm GTNN hàm số : b x2  Lop10.com Trường THPT Tiên Lãng y= x  (x>0) x2 Gv: §oµn Cao Th¾ng y=1+ x 1  x  (0<x<1) y= x   x  a2 1  x  ab c   bc a   ca b  c  2, b  4, a  3 abc 1   4xy 32 Nếu x,y>0và x+y  , tìm GTNN P= 2 x y xy 33 Nếu x,y thay đổi thoả mãn  x  3,  y  Tìm GTLN A=(3-x)(4-x)(2x+3y) x y z   34 x,y,z là số dương thay đổi thoả mãn x+y+z  Tìm GTLN A= x+1 y  z  31 Tìm GTLN T  Lop10.com a   Trường THPT Tiên Lãng Bµi : Gv: §oµn Cao Th¾ng DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ Tìm GTNN : a) f x, y   x  y  1  x  1  y   2 b) f x, y   x y  x  2xy  4x  2 c) f x, y   Bµi : Tìm GTLN : a) f x    4x  x c) f x, y   Bµi : 3x  4xy x  y2 Tìm GTNN : x3  b) f x   x   x2 d) f x   tgx  cot gx (x là góc nhọn) a) f x   2x  13  5x  b) f x   1  x  1  x  x c) f x   x 2 d) f x   e) f x   a  x  a  x x x2 2  0  x  a  Tìm GTLN, GTNN : a) f x   x    x 1  x    b) f x   3x   x c) f x   3sin x  4cos x  0o  x  180o Bµi : x  y2 b) f x   x  315  x  x  4x  a) f x   x   x x  0  x  1 c) f x   1 x x Bµi : Tìm GTLN : Bµi : 4y  4x  6xy   Cho x  y  2, x  0, y   Hãy tìm : a) GTNN : A  1  x y b) GTLN : B  x  y xy c) GTLN : C  xy Bµi : Cho xy= , (x>0, y>0) Hãy tìm GTNN : a) A  x  y b) B  x  y c) C  x  14y  3 d) D  x  y  x  y  y  x Bµi : Cho số thực dương a và b Tìm GTNN : a) y  a  x b  x  , x   b) y  x b , x  a  c) y  ax  xa e) y  x   x   x   x  b  ax , x  x d) y  x   x   x  Lop10.com 3x 