Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X chữ số đầu tiên phải khác 0 trong mỗi trường hợp sau: 1.. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.[r]
(1)Traàn Só Tuøng Tuyển tập Đại số tổ hợp Phần BAØI TOÁN ĐẾM (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có bao nhiêu tập X tập A thoả điều kiện X chứa và không chứa 2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A và không bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, đó có sách Toán, sách Văn và sách Anh Hỏi có bao nhiêu caùch xeáp taát caû caùc cuoán saùch leân moät keä saùch daøi, neáu caùc cuoán sách cùng môn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh nào ngồi cạnh đối diện thì khác trường với Bất học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trường hợp sau: n laø soá chaün Một ba chữ số đầu tiên phải (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không có đủ màu? (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên lá phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn cạnh nhau? Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ rieâng bieät (chaúng haïn 2, 4, 1, 3, 5)? (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999) Lop11.com (2) Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 11 12 13 14 Traàn Só Tuøng Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên các phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số thành? Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngaân haøng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, đó có năm chữ số và bốn chữ số coøn laø 2, 3, 4, Hoûi coù bao nhieâu soá nhö theá, neáu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ÑH Haøng haûi 1999) Coù bao nhieâu caùch saép xeáp naêm baïn hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo moät chieác gheá daøi cho: Bạn C ngồi chính Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau, cho các chữ số đó có mặt số vaø (ÑHQG HN khoái B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khaùc vaø khoâng chia heát cho (ÑHQG TPHCM khoái A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác đó có sách Văn, sách Nhạc và sách Hoạ Ông muốn lấy cuoán vaø taëng cho hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em moät cuoán Giả sử thầy giáo muốn tặng cho các học sinh trên sách thuộc thể loại Văn và Nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách trên còn lại ít Hỏi có bao nhiêu cách choïn? (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác neáu: 1) phải có ít là nữ 2) choïn tuyø yù (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ các chữ số đã cho ta có thể lập Lop11.com (3) Traàn Só Tuøng 15 16 17 18 19 20 21 Tuyển tập Đại số tổ hợp được: Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác đôi (ÑH Y HN 2000) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam và nữ, cần có nhà toán hoïc vaø nhaø vaät lí Hoûi coù bao nhieâu caùch? (ÑH Caàn Thô khoái D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập các số mà số có năm chữ số đó các chữ số khác đôi Hỏi Có bao nhiêu số đó phải có mặt chữ số 2 Có bao nhiêu số đó phải có mặt hai chữ số và (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho: Có đúng nam người đó Có ít nam và ít nữ người đó (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000) Từ chữ số 2, 3, có thể tạo bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, đó có mặt đủ chữ số trên (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000) Có bao nhiêu số gồm chữ số cho tổng các chữ số số laø moät soá leû (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000) Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khaùc Có bao nhiêu cách chọn viên bi, đó có đúng viên bi đỏ Có bao nhiêu cách chọn viên bi, đó số bi xanh số bi đỏ (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng và thẻ đen, đánh dấu loại theo các số 1, 2, 3, 4, Coù bao nhieâu caùch saép xeáp taát caû caùc theû naøy thaønh moät haøng cho hai theû cuøng maøu khoâng naèm lieàn Lop11.com (4) Tuyển tập Đại số tổ hợp Traàn Só Tuøng 22 (ÑH Sö phaïm HN khoái A 2000) Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, đó các chữ số và có mặt lần, các chữ số khác coù maët laàn 23 (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000) Có bao nhiêu số khác gồm chữ số cho tổng các chữ số cuûa moãi soá laø moät soá chaün 24 (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) Tìm tất các số tự nhiên có đúng chữ số cho số đó chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, còn người thường trực đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 26 (ÑH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người đó có ít cán lớp 27 (HV Quaân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác và viên bi xanh giống vaøo moät daõy oâ troáng Hoûi: Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau? Có bao nhiêu cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh vaø vieân bi xanh xeáp caïnh nhau? 28 (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? 29 (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? 30 (CÑSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và đó phải có mặt chữ số 31 (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, đó có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam và em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 32 (ÑH An ninh khoái D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có bảy chữ số từ chữ số trên, đó chữ số có mặt đúng Lop11.com (5) Traàn Só Tuøng 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Tuyển tập Đại số tổ hợp lần, còn các chữ số khác có mạt đúng lần (ÑH Caàn Thô 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, đó có nam và nữ Hỏi có bao nhieâu caùch saép xeáp 10 hoïc sinh treân thaønh moät haøng daøi cho học sinh nam phải đứng liền (HV Chính trò quoác gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, đó có nữ và nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người và nhóm có số nữ Có bao nhiêu cách chọn người mà đó không có quá nam (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau, đó thiết phải có mặt chữ số (ÑH Hueá khoái ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho không có chữ số nào lặp lại đúng lần? (ÑH Hueá khoái DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam và nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam và nữ Hỏi có bao nhieâu caùch choïn? (HV Kỹ thuật quân 2001) Trong soá 16 hoïc sinh coù hoïc sinh gioûi, khaù, trung bình Coù bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi và tổ có ít học sinh khá (ÑH Kinh teá quoác daân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và đó phải có chữ số (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001) Có thể tìm bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi một? Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác nhau? (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể thiết lập bao nhiêu số có chữ số khác mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001) Có học sinh nam và học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có Lop11.com (6) Tuyển tập Đại số tổ hợp 43 44 45 46 47 48 49 50 Traàn Só Tuøng bao nhiêu cách xếp để có đúng học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh bất kì cho ta cách xếp mới) (HV Quan heä quoác teá 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số có chữ số mà chữ số đứng vị trí chính giữa? (ÑH Quoác gia TPHCM 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, đó có mặt chữ số không có mặt chữ số Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt khoâng quaù moät laàn (ÑHSP HN II 2001) Tính tổng tất các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001) Cho A là hợp có 20 phần tử Có bao nhiêu tập hợp A? Có bao nhiêu tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử là số chaün? (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Có bao nhiêu số có ba chữ số khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà các số đó nhỏ số 345 (ÑH Vaên Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh đó phải có ít nhất: Hai học sinh nữ và hai học sinh nam Một học sinh nữ và học sinh nam (ÑH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác và không lớn 789? (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có học sinh khoái 12, hoïc sinh khoái 11, hoïc sinh khoái 10 Hoûi coù bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có Lop11.com (7) Traàn Só Tuøng 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Tuyển tập Đại số tổ hợp ít em chọn (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và chữ số đứng cạnh chữ số (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số là khác và số đó tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ và học sinh nam cần chọn em đó số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhö vaäy? (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? (CÑ Sö phaïm khoái A 2002) Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) hãy suy số giao điểm tối đa tập hợp các đường nói trên (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp ñoâi soá caïnh (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ soá khaùc vaø nhoû hôn 245 (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, có thể lập bao nhiêu số lẻ, số gồm chữ số khác (ÑH khoái B 2004) Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc goàm caâu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác và thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hoûi deã khoâng ít hôn (ÑH khoái B 2005) Lop11.com (8) Tuyển tập Đại số tổ hợp 61 62 63 64 65 66 67 68 Traàn Só Tuøng Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tổng các chữ số hàng chuïc, haøng traêm, haøng ngaøn baèng (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm đó phải có ít nữ (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và thiết phải có chữ soá 1, (ÑH khoái D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần choïn hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, cho hoïc sinh naøy thuoäc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? (CÑ GTVT III khoái A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khoái C, choïn 15 hoïc sinh cho coù ít nhaát hoïc sinh khoái A vaø đúng học sinh khối C Tính số cách chọn (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và hai chữ số còn lại phân bieät? (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất các số đó (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho điểm phân biệt Hỏi có thể lập bao nhiêu tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm đã cho Lop11.com (9) Traàn Só Tuøng Tuyển tập Đại số tổ hợp BAØI GIAÛI (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) X A X Y 1 X 2 X Y 3,4,5,6,7,8 Do đó số các tập X số các tập Y tập hợp {3,4,5,6,7,8} Maø soá caùc taäp Y cuûa {3,4,5,6,7,8} laø: 26 = 64 Vậy có 64 tập X A chứa và không chứa 2 Goïi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A * n là số các số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A và bắt đầu 123 * p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài Ta caàn tính p Hieån nhieân p = m – n Tính m: Lập số chẵn a5a4a3a2a1 gồm chữ số khác a1, a2, a3, a4, a5 A, coù nghóa laø: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} có cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ số còn lại A có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360 Tính n: Lập số chẵn 123a2a1 bắt đầu 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2 Lấy a1 từ {4,6,8} có cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} có cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vaäy: soá p caàn tìm laø: p = 3360 – 12 = 3348 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Bước 1: Đặt nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhoùm saùch Vaên: 4! caùch Nhoùm saùch Anh: 6! caùch Keát luaän: coù 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 caùch (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Lop11.com (10) Tuyển tập Đại số tổ hợp Traàn Só Tuøng 10 Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp các em vaøo choã Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngoài Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Xem các số chắn hình thức abcde (kể a = 0), có cách chọn e {0,2,4,6}, vì laø soá chaün Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde Có cách chọn e, và A36 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài n = abcde * Xem các số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau đó chọn chữ số khác cho vị trí còn lại từ X \ {1}: có A74 caùch Như thế: có A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài * Xem các số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A36 Như thế: có A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999) Soá caùch choïn bi soá 15 bi laø: C15 = 1365 Các trường hợp chọn bi đủ màu là: * đỏ + trắng + vàng: có C24C15C16 = 180 * đỏ + trắng + vàng: có C14C52C16 = 240 Lop11.com (11) Traàn Só Tuøng * đỏ + trắng + vàng: có Tuyển tập Đại số tổ hợp 11 C14C15C62 = 300 Do đó số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là: 1365 – 720 = 645 (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999) * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, coù 4! = 24 caùch * Sau đó xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài * Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho soá chaün laø 2! caùch Soá caùch xeáp cho soá leû laø: 3! caùch Vaäy coù 2.6 = 12 caùch * Tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải, nhóm lẻ bên trái Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999) Số có chữ số khác có dạng: abcdef với a ≠ Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f {1, 3, 5} Do đó: f coù caùch choïn a có cách chọn (trừ và f) b có cách chọn (trừ a và f) c có cách chọn (trừ a, b, f) d có cách chọn (trừ a, b, c, f) e có cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f {0, 2, 4} * Khi f = thì (a,b,c,d,e) là hoán vị (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số * Khi f {2, 4} thì: f coù caùch choïn a coù caùch choïn b coù caùch choïn c coù caùch choïn d coù caùch choïn e coù caùch choïn Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün (HV Ngaân haøng TPHCM 1999) Gọi 11111 là số a Vậy ta cần các số a, 2, 3, 4, Do đó số có chữ số đó có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số Lop11.com (12) Tuyển tập Đại số tổ hợp 12 Traàn Só Tuøng Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp caùc soá 2, 3, 4, vaøo vò trí tuyø yù vò trí (5 vò trí coøn laïi ñöông nhiên dành cho chữ số lặp lần) 9! Vaäy: coù taát caû A94 = 6.7.8.9 = 3024 soá 5! (ÑH Haøng haûi 1999) Xếp C ngồi chính giữa: có cách Xeáp A, B, D, E vaøo choã coøn laïi: coù 4! = 24 caùch Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu Xếp A và E ngồi hai đầu ghế: có 2! = cách Xeáp B, C, D vaøo choã coøn laïi: coù 3! = caùch Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu 10 (HV BCVT 1999) * Số các số có chữ số khác là: = 9.9.8.7.6.5 = 136080 A10 A10 * Số các số có chữ số khác và khác là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có chữ số khác và khác là: A69 A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có chữ số khác đó có mặt và là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá 11 (ÑHQG HN khoái B 2000) * Trước hết ta tìm số các số gồm chữ số khác nhau: Có khả chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có A34 khả chọn chữ số cuối Coù A34 = 4.4! = 96 soá * Tìm số các số gồm chữ số khác và chia hết cho 5: Nếu chữ số tận cùng là 0: có A34 = 24 số Nếu chữ số tận cùng là 5: có khả chọn chữ số hàng nghìn, có A32 = khả chọn chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm chữ số khác và chia hết cho Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm chữ số khác và không chia hết cho 12 (ÑHQG TPHCM khoái A 2000) Số cách tặng là số cách chọn sách từ có kể thứ tự Lop11.com (13) Traàn Só Tuøng Tuyển tập Đại số tổ hợp 13 Vaäy soá caùch taëng laø A69 = 60480 Nhận xét: không thể chọn cho cùng hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 sách là: = 665280 A12 Soá caùch choïn cho khoâng coøn saùch Vaên laø: A56 = 5040 Soá caùch choïn cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: A64 A82 = 20160 Số cách chọn cho không còn sách Hoạ là: A36 A39 = 60480 Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13 (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000) Để có ít là nữ thì ta phải chọn: * nữ, nam coù C15 caùch C30 * nữ, nam coù C15 C330 caùch * nữ, nam coù C15 caùch C30 * nữ, nam coù C15 C130 caùch * nữ coù C15 caùch 4 Vaäy: coù C15 + C15 + C15 caùch C30 C330 + C15 C30 C130 + C15 Neáu choïn tuyø yù thì soá caùch choïn laø: C645 14 (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000) Số chẵn gồm bốn chữ số khác có dạng: abc0 abc2 abc4 * Với số abc0 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Coù 5.4.3 = 60 soá * Với số abc2 abc4 ta có: cách chọn a, cách chọn b, caùch choïn c Coù 4.4.3 = 48 soá abc2 vaø 48 soá abc4 Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün Số chia hết cho và gồm ba chữ số có dạng ab0 ab5 * Với số ab0 ta có: cách chọn a, cách chọn b Coù 5.4 = 20 soá * Với số ab5 ta có: cách chọn a, cách chọn b Coù 4.4 = 16 soá Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm Gọi abc là số chia hết cho gồm ba chữ số khác Khi đó {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4} Lop11.com (14) Tuyển tập Đại số tổ hợp 14 Traàn Só Tuøng * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540 coù soá * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị phần tử có 3! = số Vaäy coù: + + = 16 soá caàn tìm 15 (ÑH Y HN 2000) Số cách chọn nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam laø: C15 C13 C14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C13 C24 = 18 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C32 C14 = 12 Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn 16 (ÑH Caàn Thô khoái D 2000) Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5 Xếp chữ số vào năm vị trí: có cách xếp Sau đó xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại: có A54 = 120 cách Vaäy coù 5.120 = 600 soá Xếp các chữ số và vào vị trí: có A52 cách Xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại: có A34 = 24 cách Vaäy coù A52 A34 = 480 soá 17 (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000) Chọn nam và nữ: có C10 = 5400 caùch .C10 Có ít nam và nữ, có các kiểu chọn sau: * nam và nữ: có 5400 cách * nam và nữ: có C10 = 5400 caùch C10 * nam và nữ: có C10 C110 = 2100 caùch Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch 18 (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000) Tất có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có chữ số Trong các số có chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, Loại naøy coù: cách chọn chữ số hàng vạn cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số hàng trăm cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số Lop11.com (15) Traàn Só Tuøng 15 Tuyển tập Đại số tổ hợp Vậy tất có: 90000 – 14406 = 75594 số có chữ số, đó có mặt đủ các chữ số 2, 3, 19 (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000) Xét số có chữ số tuỳ ý đã cho a1a2a3a4 Có hai khả năng: Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá chaün thì coù theå laáy a5 {1, 3, 5, 7, 9} vaø lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng các chữ số là số leû Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá leû thì coù theå laáy a5 {0, 2, 4, 6, 8} vaø lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng các chữ số là số leû Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số này lại sinh số có chữ số có tổng các chữ số là số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng các chữ số là soá leû 20 (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000) Coù: C52 cách chọn viện bi đỏ caùch choïn vieân bi coøn laïi C13 Vaäy coù: C52 C13 = 7150 caùch choïn Có các trường hợp xảy ra: * xanh, đỏ, vàng có C39 C35 cách * xanh, đỏ, vàng có C92 C52 C42 cách * xanh, đỏ, vàng có C19 C15 C44 cách Vaäy coù taát caû: C39 C35 + C92 C52 C42 + C19 C15 C44 = 3045 caùch 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Coù khaû naêng: Các thẻ trắng vị trí lẻ, các thẻ đen vị trí chẵn có 5!5! cách Các thẻ trắng vị trí chẵn, các thẻ đen vị trí lẻ có 5!5! cách Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch 22 (ÑH Sö phaïm HN khoái A 2000) Có ô trống, cần chọn ô điền chữ số 2, ô điền chữ số 3, ô điền chữ số 4, ô điền chữ số Sau đó ô còn lại, cần chọn ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại ô điền chữ số Vậy có tất có: 8.7.6.5 C24 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài 23 (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000) Lop11.com (16) Tuyển tập Đại số tổ hợp 16 Traàn Só Tuøng Số các số có chữ số a1a2a3a4a5a6 là 9.105 số Với số có chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập số có chữ số a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng các chữ số là số chẵn Vaäy coù taát caû: 9.105.5 = 45.105 soá 24 (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) Theo yêu cầu bài toán và số không đứng trước bất kì số nào nên các số có chữ số có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với chữ số phân biệt bất kì T có cách xếp thoả mãn đứng sau lớn chữ số liền trước 9! Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: = 126 C59 5!4! 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Coù taát caû: C39 C62 C94 C52 C92 C74 = 1260 caùch 26 (ÑH GTVT 2000) Coù khaû naêng: * cán lớp và học sinh thường: có C12 C18 * cán lớp và học sinh thường: có C22 C118 Vaäy soá choïn laø: C12 C18 + C22 C118 = 324 caùch 27 (HV Quaân y 2000) Trước hết xếp viên bi đỏ vào ô trống Do các viên bi đỏ khác neân soá caùch xeáp laø A37 Sau đó xếp viên bi xanh vào ô còn lại Do các viên bi xanh giống neân soá caùch xeáp laø C34 Vaäy soá caùch xeáp khaùc laø: A37 C34 = 840 caùch Trước hết ta cần chú ý màu, để đỏ đứng cạnh và xanh đứng cạnh có cách xếp Sau đó, các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với Số các hoán vị là 3! Vậy số cách xếp khác để các viên bi đỏ đứng cạnh và các viên bi xanh đứng cạnh là: 6.3! = 36 cách 28 (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000) Các số có chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, …, 999999 Các số lẻ có chữ số, chia hết cho 9, lập thành cấp số cộng: u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 Lop11.com (17) Traàn Só Tuøng 17 Tuyển tập Đại số tổ hợp với công sai d = 18 Do đó: un = u1 + (n – 1)d 999999 = 100017 + (n – 1).18 n = 50000 Vậy tất có 50000 số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 29 (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000) Xét số lẻ có chữ số khác nhau, lớn 500000: x = a1a2a3a4a5a6 Từ giả thiết a1 {5,6,7,8,9}, a6 {1,3,5,7,9} Coù khaû naêng: a1 leû: * a1 coù caùch choïn * a6 coù caùch choïn * sau chọn a1, a6, cần chọn a2a3a4a5 , cách chọn ứng với chỉnh hợp chập phần tử Vậy khả thứ có: 6.4 A84 = 40320 số a1 chaün: * a1 coù caùch choïn * a6 coù caùch choïn * a2a3a4a5 coù A84 caùch choïn Vậy khả thứ hai có: 2.5 A84 = 16800 số Keát luaän: Taát caû coù: 40320 + 16800 = 57120 soá caàn tìm 30 (CÑSP Nha Trang 2000) Số các số tự nhiên gồm chữ số khác viết từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, laø: A35 = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số là: A54 = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số 31 (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000) Choïn em nam: coù C39 caùch Chọn em nữ: coù C62 caùch Vaäy coù: C39 C62 = 1260 caùch 32 (ÑH An ninh khoái D 2001) Giả sử số có chữ số lập viết ô hình sau: Theá thì: * Có cách chọn vị trí cho chữ số (trừ ô số 1) Lop11.com (18) Tuyển tập Đại số tổ hợp Traàn Só Tuøng 18 * Sau đã chọn vị trí cho số chữ ta còn C36 = 20 caùch choïn vò trí cho chữ số * Sau đã chọn vị trí cho chữ số và chữ số 4, ta còn 3! = cách chọn cho chữ số còn lại Vậy số các số lập là: 6.20.6 = 720 số 33 (ÑH Caàn Thô 2001) Coi học sinh nam đứng liền vị trí mà thôi thì số cách để bố trí học sinh đứng liền xen kẽ với học sinh nữ 4! Nhưng để xếp học sinh nam đứng liền thì lại có 7! cách Vaäy taát caû coù: 4!7! = 120960 caùch 34 (HV Chính trò quoác gia 2001) Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người và nhóm có số nữ tức là chia nhóm có người mà đó có nữ và nam số cách chia là: C36 C24 = 120 * Số cách chọn người mà không có nam là: C56 = * Số cách chọn người mà có nam (và nữ) là: C64 C14 = 60 Vậy số cách chọn người mà có không quá nam là: + 60 = 66 35 (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001) Giả sử số cần tìm có dạng: A = a1a2a3a4a5a6 + Nếu a1 = thì các chữ số còn lại A là chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, Vaäy coù A57 = 2520 soá + Neáu a1 ≠ thì vì a1 ≠ neân chæ coù caùch choïn a1 Vì soá phaûi coù đúng vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6 Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) còn A64 số khác Vậy trường hợp này có 6.5 A64 = 10800 số Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá 36 (ÑH Hueá khoái ABV 2001) Số các số tự nhiên có chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số Ta tìm số các số tự nhiên có chữ số lặp lại đúng lần: + Số lặp lại đúng lần ứng với số tự nhiên a000 với a {1,2,3, ,9} coù soá + Số lặp lại đúng lần ứng với các số: * a111 với a {2,3,4, …,9} có số Lop11.com (19) Traàn Só Tuøng 19 Tuyển tập Đại số tổ hợp * 1b11 với b {0,2,3,…, 9} có số * 11c1 với c {0,2,3,…, 9} có số * 111d với d {0,2,3,…, 9} có số coù + + + = 35 soá + Tương tự với số từ đến ta tìm 35 số tự nhiên cho chữ số trên lặp lại đúng lần Do đó số các số tự nhiên có chữ số lặp lại đúng lần là: + 9.35 = 324 soá Vậy số các số tự nhiên gồm chữ số mà đó không có chữ số nào lặp lại đúng lần là: 9000 – 324 = 8676 số 37 (ÑH Hueá khoái DHT 2001) * Số cách chọn em từ 13 em là: C13 = 1287 * Số cách chọn em toàn nam là: C57 = 21 * Số cách chọn em toàn nữ là: C56 = Vậy số cách chọn em có nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 38 (HV Kỹ thuật quân 2001) Mỗi tổ có học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự tổ neân soá caùch chia phaûi tìm laø soá caùch taïo thaønh moät toå coù hoïc sinh đó phải có học sinh giỏi và ít học sinh khá Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai Trường hợp 1: Có học sinh khá: * Coù caùch choïn hoïc sinh gioûi * Coù C52 = 10 caùch choïn hoïc sinh khaù * Coù C58 = 56 caùch choïn hoïc sinh trung bình Coù: 3.10.56 = 1680 caùch Trường hợp 2: Có học sinh khá: * Coù caùch choïn hoïc sinh gioûi * Coù C35 = 10 caùch choïn hoïc sinh khaù * Coù C84 = 70 caùch choïn hoïc sinh trung bình Coù: 3.10.70 = 2100 caùch Vaäy coù taát caû: 1680 + 2100 = 3780 caùch 39 (ÑH Kinh teá quoác daân 2001) Ta sử dụng ô sau để viết số có chữ số: Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Sau đó còn cách chọn vị trí cho Lop11.com (20) Tuyển tập Đại số tổ hợp Traàn Só Tuøng 20 chữ số Số cách chọn chữ số cọn lại là: A35 Số các số thu là: 4.4 A35 = 960 số Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số còn lại là: A54 Số các số thu là: A54 = 600 số Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá 40 (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001) Có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục, cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số Trường hợp 1: Chữ số tận cùng Bốn chữ số đứng đầu chọn tuỳ ý chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: A74 = 840 Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác * Chữ số tận cùng có cách chọn (từ 2, 4, 6) * Chữ số đứng đầu có cách chọn * chữ số còn lại chọn tuỳ ý chữ số còn lại Soá caùc soá taïo thaønh: 3.6 A36 = 2160 Vaäy coù taát caû: 840 + 2160 = 3000 soá 41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Số các số gồm chữ số khác là: 6! = 720 Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120 số các số có chứa 61 là 5! = 120 Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá 42 (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001) Đánh số vị trí đứng từ đến Để có đúng học sinh nam đứng xen kẽ với học sinh nữ thì học sinh nữ đứng cách một, tức là học sinh nữ đứng các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9) Có cặp vị trí học sinh nữ Cách xếp bạn nữ vào cặp vị trí là 3! Cách xếp bạn nam vaøo vò trí coøn laïi laø 6! Vaäy taát caû soá caùch xeáp laø: 5.3!.6! = 21600 caùch 43 (HV Quan heä quoác teá 2001) Ta có cách chọn vị trí cho chữ số Khi đó số cách xếp chữ số còn lại là 8! Lop11.com (21)