+ Tìm các giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận sau đó căn cứ vào điều kiện để giải quyết + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B mà tam giác[r]
(1)www.VNMATH.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: y ax bx cx d * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là x1 , x2 đó x1 , x2 là nghiệm phương trình y’=0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở phương pháp này là: hàm số bậc đạt cực đại cực tiểu x1 , x2 thì f '( x1 ) f '( x2 ) + Phân tích y f '( x) p( x) h( x ) Từ đó ta suy x1 , x2 thì y1 h( x1 ); y2 h( x2 ) y h( x ) là đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu * ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a 2) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k= a Ví dụ 1) Tìm m để f x x mx x có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7 Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu f '( x) 3x 2mx có nghiệm phân biệt m 21 m 21 Thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 7m 1 f x x m f x 21 m x Với m 21 thì f’(x)=0 có nghiệm x1, x2 9 3 phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị x1,x2 Lop12.net (2) www.VNMATH.com 7m f x1 (21 m ) x1 f ( x1 ) nên Do m f ( x ) f x (21 m ) x 2 9 7m 21 m x 9 m 21 m 21 m 21 10 Ta có y x 3 45 m 2 21 m 1 21 m m 9 2 Suy đường thẳng qua CĐ, CT có phương trình : y 3) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox góc + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k tan Ví dụ 1) Cho hàm số y x x mx (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Giải: Hàm số có cực trị và y’ = có nghiệm phân biệt m 2m 2) x ' 3m m 3 y x x mx ( x 1) y ' ( 3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số có phương trình 2m m y ( 2) x 3 6m m6 Đường thẳng này cắt trục Ox và Oy tai A ;0 , B 0; 2(m 3) Tam giác OAB cân và OA OB m6 6m 2(m 3) m 6; m ; m 2 Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc đường thẳng là m ( L) 2m k tan 45 1 1 m (TM ) Với m = thì A B O so với điều kiện ta nhận m Lop12.net (3) www.VNMATH.com 4) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b góc + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu k a tan + Giải điều kiện ka Ví dụ ) Tìm m để f x x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) có đường thẳng qua 1 x góc 450 Giải: Gọi hệ số góc đường thẳng qua CĐ, CT là k, đó từ điêu kiện bài toán suy ra: k 1 5k k k k 1 4 4 tg 450 k k 4 1 k 5 k k 3k 5 k 4 4 4 2 Hàm số có CĐ, CT f ( x) x 6(m 1) x (2m 3m 2) có nghiệm phân biệt CĐ, CT tạo với y 3 3 3(m 3m 1) m m (*) Thực phép chia f(x) cho) f’(x ta có f ( x) x (m 1) f ( x ) m 3m 1 x (m 1) 3 với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị x1,x2 2 f x1 (m 3m 1) x1 m 1 f ( x ) Do nên f x 2 m2 3m x m 1 f ( x2 ) 2 2 Suy đường thẳng qua CĐ, CT có phương trình : y m 3m 1 x m 1 1 2 x góc 450 m 3m 1 Ta có tạo với y 15 kết hợp với điều kiện (*) ta có m 5) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy A,B cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y + S MAB d M / AB AB Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết Lop12.net (4) www.VNMATH.com Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y x3 3mx cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât Giải: Có: y ' x 3m có nghiệm phân biệt m Khi đó tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số là M m ; 2m x , N m ; 2m x - Phương trình đường thẳng MN là: 2mx y ˆ 1, - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I A,B mà tam giác IAB có 2.S IAB IA.IB.sin AIB ˆ 900 , lúc đó khoảng cách từ I đến MN dấu xảy AIB 2m 1 3 Do ta có pt: d I , MN ;m 1 m 1 2 2 4m Ví dụ 2) Cho hàm số y x3 3mx Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực trị A, B cho tam giác IAB có diện tích 18 , đó I 1;1 Lời giải: Ta có y ' x 3m x m Để hàm số có CĐ và CT m m ; 2m m 4m m m x m y 2mx m Gọi A, B là cực trị thì A m ; 2m m ; B PT đường thẳng qua AB là: y 2m Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là d I ; AB Mà diện tích tam giác IAB là S 18 2m độ dài đoạn AB 4m 16m3 4m 1 2m 4m 16m3 18 2 4m 4m 16m3 2m 1 4m 4.18 m 2m 1 18 4m3 4m m 18 m 4m2 4m m 6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách điểm M cho trước: + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm AB thuộc đường thẳng y=ax+b Lop12.net (5) www.VNMATH.com Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x) x x m x m có CĐ và CT đối xứng qua : y x 2 Giải: Hàm số có CĐ, CT f x x x m có nghiệm phân biệt 3m m2 m m2 2 x f x m x m ( ) 3 với m thì f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f(x) đạt cực trị x1, x2 thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f ( x) m2 2 m y f x m x 1 f x1 3 Suy đường thẳng qua CĐ, CT nên Do f x2 y f x m2 x m m 2 3 2 m có phương trình d : y m x m 3 Các điểm cực trị A x1 ; y1 , B x2 ; y2 đối xứng qua : y x d và trung 2 2 m 2; xI m m0 điểm I AB phải thuộc (d) m(m 1) m m m 1 3 2 Ví dụ 2) Cho hàm số y x x mx Cm Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị đồ thị hàm số cách đường thẳng d : x y Giải: Ta có y ' x x m; y ' 3x x m (1) Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu và phương trình (1) có nghiệm phân biệt m Giả sử A x1 ; y1 , B x2 ; y2 là hai điểm cực trị hàm số (Cm), ( x1 , x2 là nghiệm (1)) m x 1 m Vì y y ' 1 x và y ' x1 y ' x2 nên phương trình đường thẳng 3 m m qua A,B là y 1 x d ' Do đó các điểm A,B cách đường thẳng (d) 3 trường hợp sau: m TH1: (d’) cùng phương với (d) m (không thỏa mãn) 3 TH2: Trung điểm I AB nằm trên (d) Do I là trung điểm AB nên tọa độ I là: Lop12.net (6) www.VNMATH.com x1 x2 x Vì I nằm trên (d) nên ta có m m (thỏa mãn) y y y m Chú ý: Cần phân biệt rõ khái niệm cách và đối xứng qua đường thẳng 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách điểm cực đại cực tiểu max, + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B Tính độ dài AB theo tham số Dùng phương pháp đạo hàm để tìm max, Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x) x mx x m có khoảng cách các điểm CĐ, CT là nhỏ Giải: Do f x x 2mx có m2 nên f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị x1, x2 với các điểm cực trị là A x1 ; y1 , B x2 ; y2 2 x m f ( x) m x m 1 3 3 2 2 y1 f ( x1 ) m 1 x1 m 1 f ( x1 ) 3 Do nên f ( x2 ) y f ( x ) 2 m 1 x m 1 2 3 2 2 Ta có AB x2 x1 y2 y1 x2 x1 m 1 x2 x1 2 x2 x1 x1 x2 1 m 1 Thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f ( x ) 2 13 4 4m2 1 m 1 AB 9 Min AB= 13 xảy m=0 9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn hệ thức cho trước + Điều kiện là : y’=0 có nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x1 , x2 là hai nghiệm phương trình y’=0 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x) x mx mx đạt cực trị x1, x2 thoả mãn x1 x2 Lop12.net (7) www.VNMATH.com Giải: Hàm số có CĐ, CT f ( x) x 2mx m có nghiệm phân biệt m m m m 1 với điều kiện này thì f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị x1, x2 với x1+x2=2m và x1x2=m Ta có BPT: x1 x2 x1 x2 64 x1 x2 x1 x2 4m2 4m 64 m m 16 65 65 m m thoả mãn điều kiện m m 1 Ví dụ 2) Cho hàm số y x x mx 1 11 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm I ( ; ) đến đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu là lớn Giải: Ta có y ' 3x x m Hàm số có cực đại cực tiểu y’=0 có nghiệm phân biệt ' m (0,25 điểm) x 2m m - Chia đa thức y cho y’ ta có y y ' ( ) ( 2) x Lập luận suy đường thẳng 3 3 2m m qua cực đại cực tiểu là y ( 2) x Dễ dàng tìm điểm cố định mà đường 3 thẳng cực đại cực tiểu luôn qua là A( ;2) (0,25 điểm) - Hệ số góc đường thẳng IA là k Hạ IH vuông góc với ta có IH d I / IA 4 Đẳng thức xảy IA (0,25 điểm) 2m m (0,25 điểm) - Suy k Ví dụ 3) Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x m3 4m (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông O Giải:Điều kiện để hàm số có cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt: x m 1 (0,25 điểm) y ' x 6mx 3(m2 1) ' x m 1 Ta có y y '( x m) x 3m Gọi A, B là điểm cực trị thì 3 A( m 1; m 3); B ( m 1; m 1) (0,25 điểm) m 1 Suy OA(m 1; m 3); OB (m 1; m 1) 2m 2m (0, 25 điểm) m Kết luận: Có hai giá trị m cần tìm là m=-1 m=2 Lop12.net (8) www.VNMATH.com x m.x m x có cực đại x1 , cực tiểu x2 đồng thời x1; x2 là độ dài các cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh Ví dụ 4) Tìm các giá trị m để hàm số y huyền Giải: Cách 1: Miền xác định: D R có y ' x mx m 3; y ' x mx m Hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 thỏa mãn yêu cầu bài toán và PT y ' có nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua nghiệm đó 4 m 2 m S m m m (*) P m m m x1 x2 m Mà Theo Viet ta có: x1 x2 m 14 x12 x22 x1 x2 x1x2 2m m m 2 14 Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: y ax bx c *) Điều kiện để hàm số bậc bốn có cực đại cực tiểu là y’=0 có nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có nghiệm x=0, để y’=0 có nghiệm phân biệt sau tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc còn lại có nghiệm phân biệt khác không VD: y x 2mx thì y ' x 4mx y ' x x m điều kiện là m<0 *) Khi hàm số bậc bốn có cực trị là A(0;c), B ( x1; y1 ); C ( x2 ; y1 ) thì điều đặc biệt là tam giác ABC luôn cân A( Học sinh cần nắm điều này để vận dụng giải toán) *) Các câu hỏi thường gặp phần này là: 1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, + Tìm điều kiện để y’=0 có nghiệm phân biệt + Tính toạ độ điểm cực đại cực tiểu A, B,C Lập luận tam giác ABC luôn cân A.Tính các véc tơ: AB, AC , BC + Tam giác ABC vuông cân AB AC + Tam giác ABC AB BC 2) Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước + Tìm điều kiện để y’=0 có nghiệm phân biệt + Tính toạ độ điểm cực đại cực tiểu A, B,C Lập luận tam giác ABC luôn cân A Tính các véc tơ: AB, AC , BC Lop12.net (9) www.VNMATH.com + Kẻ đường cao AH + S ABC AH BC + Giải điều kiện Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= x 2mx 2m m có CĐ, CT lập thành tam giác Giải: f’(x)= x x m x x m Hàm số có CĐ, CT f’(x)=0 có nghiệm phân biệt m>0 Với m>0 thì f’(x)=0 x1 m B m ; m4 m 2m x2 A 0; m 2m x3 m C m ; m m 2m Suy BBT hàm số y=f(x) m m ABC AB AC AB AC AB BC AB BC m m m4 m m m m 33 m4 m 4m m m Ví dụ 2) Cho hàm số y x 2mx 2m , m là tham số thực Xác định m để hàm số có cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải: Mxđ: D R Có y ' x3 4mx y ' x3 4mx x x m Hàm số có cực trị m (*) Gọi A 0; 2m , B m ; m , C m ; m là điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân A Kẻ AH BC có S ABC AH BC yB y A xB 2m m m Đối chiếu với điều kiện (*) có m là giá trị cần tìm Ví dụ 3) Cho hàm số y x m x m Tìm m để hàm số đã cho có điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải: y ' x3 x m x 0, x m2 hàm số có cực trị 1 m Khi đó tọa độ điểm cực đại là A 0;1 m , tọa độ hai điểm 1 m ; cực tiểu là B m2 ; m , C diện tích tam giác ABC là S ABC m2 d A; BC BC m2 Dấu “=” xày m ĐS: m 10 Lop12.net (10) www.VNMATH.com Ví dụ 4) Cho hàm số y x 2mx có đồ thị (Cm) Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua 3 9 D ; 5 5 Giải: Có y ' x3 4mx x 0; x m m Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm cực trị là A 0; , B m ; m , C 3 9 m ; m , D ; 5 5 Gọi I x; y là tâm đường tròn (P) IA2 ID 3 x y IB IC 2 x y 2 x m 2 x m y m2 IB IA Vậy m là giá trị cần tìm x 0; y 1; m 0( L), m x2 y 2 Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận *) Xét hàm số y f ( x ) Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm đó tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) ( Chú ý trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn y0 theo dạng f ( x0 ) ) 2x 1 Ví dụ: Xét điểm M thuộc đồ thị hàm số y đó điểm M có toạ độ là x 1 2x 1 M ( x0 ; ) x0 *) Ta gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M là k f '( x0 ) *) Đường thẳng có hệ số góc k qua M ( x0 ; y0 ) có dạng y k ( x x0 ) y0 Điều kiện để là tiếp tuyến hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm k ( x x0 ) y0 f ( x ) k f '( x ) Khi đó số nghiệm hệ chính là số tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đồ thị hàm số y=f(x) *) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến quy việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi thường gặp phần này là 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc là k f '( x0 ) + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k f '( x0 ) a Giải phương trình tìm x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 11 Lop12.net (11) www.VNMATH.com f '( x A ) f '( xB ) Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến A song song với tiếp tuyến B là x A xB 2x Ví dụ 1) Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (H) biết tiếp tuyến x 1 cách hai điểm A(2;4), B(-4;-2) Giải : Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 1) , PTTT là y x0 1 x x0 x0 x0 Vì tiếp tuyến cách điểm A,B nên tiếp tuyến qua trung điểm I AB song song với AB trùng với AB Nếu tiếp tuyến qua trung điểm I(-1;1) AB thì ta có:1 Suy phương trình tiếp tuyến là y x0 1 1 x0 x0 x0 x0 1 x 4 Nếu tiếp tuyến song song với AB trùng với AB thì tiếp tuyến có hệ số góc là k x0 2 (4) 1 1 (2) x0 1 x0 2 Với x0 ta có PTTT là y x ; với x0 2 ta có PTTT là y x 5 x ; y x 1; y x 4 x 1 Ví dụ 2) Cho hàm số y x2 Tìm trên đồ thị (C) điểm A và B cho AB , tiếp tuyến đồ thị (C) A và B song song với Vậy có PTTT thỏa mãn y a b Giải : Giả sử điểm cần tìm là A a; , B b; theo giả thiết ta có hệ: a2 b2 a b f ' a f ' b a b 4 a b a b a b 1 8 a b 1 ab a b 12 Lop12.net (12) www.VNMATH.com a b 4 a b 4 từ đó tìm A,B ab 16 4ab ab (3m 1) x m m Ví dụ 3) Cho hàm số y (Cm) xm Tìm m để tiếp tuyến giao điểm (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng (d): y x Giải : 4m Ta có y ' ( x m) m2 m Giao điểm (Cm) và trục Ox là A( ; 0) Tiếp tuyến A (Cm) song song với 3m m 1 m2 m 3m y x 1 y ' 1 1 m 2m 3m Khi m=1 Phương trình tiếp tuyến là y x (loại) vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d) Khi m Phương trình tiếp tuyến là : y x (TMĐK) 5 KL : m Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý: Kiểm tra điều kiện đủ tìm giá trị tham số, Đây là sai lầm hay mắc phải học sinh giải toán Ví dụ 4) Cho hàm số y x3 x (C) Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt cho các tiếp tuyến với (C) A,B có cùng hệ số góc đồng thời đường thẳng qua A và B vuông góc với đường thẳng d: x y Giải : Giả sử các tiếp tuyến với (C) A,B có cùng hệ số góc k Để tồn hai tiếp tuyến A,B phân biệt thì phương trình y ' x k phải có hai nghiệm phân biệt k 3 x y x3 3x y 3x x Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ: 3 x k 3 x k kx k k y 2x x y 2 x 3 3 3 x k 3 x k k k phương trình đường thẳng AB: y x Để AB d k (thỏa mãn) 3 13 Lop12.net (13) www.VNMATH.com 3 y x 3x y x 3x A 2; , B 2; Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn: 2 x 3 x Ví dụ 5) Cho hàm số y x m 1 x m 1 x (1) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt A(1;0), B, C cho các tiếp tuyến B,C song song Giải: Xét phương trình y x 1 x mx 0( gt ) pt : x mx có nghiệm phân m biệt khác Gọi xB , xC là nghiệm đó xB xC và xB xC m m Yêu cầu bài toán y ' xB y ' xC 3xB2 m 1 xB m 3xC2 m 1 xC m xB xC 3 xB xC m 1 xB xC m 1 mm2 x 2m Cm x m 1 Cho A(1;2) Tìm các giá trị m cho tồn đường thẳng qua A cắt đồ thị Cm hai điểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến M,N đồ thị song song với Giải: 3 Ta có: y ' Giả sử M x1 ; y1 , N x2 ; y2 Cm x1 x2 Tiếp tuyến M và N song x m 1 Ví dụ 6) Cho hàm số y song 3 3 x1 m x2 m x1 x2 2m (1) x1 m 1 x2 m 1 Ta thu x1 1 x1 m 1 x2 1 x2 m 1 và chú ý x1 m ( x2 m 1) x1 x2 1 x1 x2 Cùng với (1) m 2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc là k f '( x0 ) + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên k f '( x0 ) Giải phương trình tìm a x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) + Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến A vuông góc với tiếp tuyến B là: f '( x A ) f '( xB ) 1 x A xB Ví dụ 1) Cho C(m): y f ( x ) x x mx a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 điểm phân biệt C(0;1), D, E b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) D và E vuông góc với 14 Lop12.net (14) www.VNMATH.com Giải: a) Xét Cm y 1 với phương trình tìm hoành độ giao điểm x x 3x mx x x 3x m C (0;1) g ( x) x x m Yêu cầu bài toán xD , xE là nghiệm phân biệt khác g(x)=0 4m m m (*) g (0) m m b) Đạo hàm: y ( x) x x m Với điều kiện m thì các tiếp tuyến D và E vuông góc với 1 y( xD ) y ( xE ) x D xD m x E xE m 3 g xD 3xD 2m 3g xE xD 2m xD 2m xE 2m xD xE 6m xD xE 4m 9m 6m 3 4m 4m 9 65 thoả mãn điều kiện (*) Cho hàm số y x m 1 x 3m x có đồ thị (Cm), m là tham số 3 Ví dụ 2) Tìm m để trên (Cm) có điểm phân biệt M x1 ; y1 , M x2 ; y2 thỏa mãn x1.x2 và tiếp tuyến (Cm) điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x y Giải: Ta có hệ số góc d : x y là kd Do đó x1 , x2 là nghiệm phương trình 2 y’=-3 Hay 2 x m 1 x 3m 3 x m 1 x 3m (1) 4m 9m m Yêu cầu bài toán phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 >0 ' m 12 3m 1 m 3 3m 0 1 m Vậy kết bài toán là m 3 và 1 m x3 x (C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k qua A(0;3) Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt cho các tiếp tuyến giao điểm đó cắt tạo thành tam giác vuông Giải: Hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng (d) là x x3 x x kx x x 3k Điều kiện là phương 3 g ( x ) x x 3k Ví dụ 3) Cho hàm số y 15 Lop12.net (15) www.VNMATH.com trình g ( x ) x x 3k có nghiệm phân biệt khác ' 9 3k k 3 g (0) 3k g (0) 3k k Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox đó để tiếp tuyến cắt tạo thành tam giác vuông thì điều kiện là g ( x ) x x 3k có nghiệm x1; x2 cho f '( x1 ) f '( x2 ) 1 x12 x1 x2 x2 1 x12 x2 x1x2 ( x1 x2 ) 16 x1 x2 x x 6 Theo định lý Viets ta có x1.x2 3k Thay vào ta có: 9k 72k 48k 9k 24k k Kết hợp điều kiện suy k 4 15 4 15 3) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua M ( xM ; yM ) + Gọi k là hệ số góc đường thẳng qua M Phương trình là y k ( x xM ) yM k ( x xM ) yM f ( x ) Giải hệ + Điều kiện để là tiếp tuyến y=f(x) là hệ sau có nghiệm k f '( x) tìm x ta có hoành độ các tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến 19 Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến qua A ; đến C : y f ( x ) x x 12 19 19 Giải: Đường thẳng qua A ; với hệ số góc k có phương trình y k x tiếp xúc 12 12 19 f ( x) k x với C : y f ( x) có nghiệm 12 f ( x ) k 19 19 f ( x ) f ( x ) x x x x x 1 x 12 12 17 19 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 12 19 x1 t1 : y y1 x 12 y 19 x2 t2 : y y2 x y 12 x 15 12 19 21 19 x3 t3 : y y3 x y x 4 12 32 12 4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 16 Lop12.net (16) www.VNMATH.com + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc là k f '( x0 ) f '( x0 ) tan + Tiếp tuyến tạo với trục Ox góc f '( x0 ) tan Giải tìm x0 sau f '( x0 ) tan đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 3x Ví dụ 1) Cho (C): y Viết phương trình tiếp tuyến (C) tạo với trục hoành góc x 1 450 Giải: Do tiếp tuyến (C) tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc k tiếp tuyến thoả mãn 1 k tg 450 k 1 Vì y ( x) 0x nên k=-1 hoành độ tiếp điểm là nghiệm x 1 x y1 1 x 1 x2 y2 Phương trình tiếp tuyến x1=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2 Phương trình tiếp tuyến x2=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6 x3 có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến M trên Ví dụ 2) Cho hàm số y 2( x 1) (H) cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B và đường trung trực AB qua gốc tọa độ Giải: Do tam giác OAB vuông O và trung trực AB qua gốc tọa độ nên tam giác OAB vuông cân O suy tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 4 Suy f '( x0 ) 1 x0 0vàx0 2 x0 1 Từ đó viết phương trình tiếp tuyến là y x và y x 2 phương trình y ( x) 1 1 5) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b góc + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc là k f '( x0 ) k a 1 ka tan k a + Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b góc tan ka k a tan 1 ka (Với k f '( x0 ) ) Giải tìm x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 4x Ví dụ 1) Cho (C): y Viết phương trình tiếp tuyến tạo với : y=3x góc 450 x 1 Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, đó tiếp tuyến tạo với :y=3x góc 450 nên 17 Lop12.net (17) www.VNMATH.com k 2 k 3k k 3 tg 45 k k k 3 k * Với k=-2, xét đường thẳng y=-2x+m tiếp xúc (C) 4x 2 x m hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm kép x 1 x m x m m m 3 m 12m 28 m 2 1 1 xét đường thẳng y x m tiếp xúc (C) * Với k= 2 x 1 x m hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm kép x 1 x x x 2m 2m 2m 4m 36m 73 vô nghiệm Vậy có tiếp tuyến y 2 x 2 tạo với y=3x góc 450 6) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ A, B cho tam giác OAB vuông cân tam giác OAB có diện tích số cho trước + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc là k f '( x0 ) + Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giác vuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox góc 450 và tiếp tuyến không qua gốc toạ độ + Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng (4) Sau đó chọn tiếp tuyến không qua gốc toạ độ + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức S OAB OA.OB 2x Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến cắt x2 Ox, Oy A,B mà tam giác OAB thỏa mãn: AB OA Giải: Cách 1: Gọi M x0 ; y0 , x0 thuộc đồ thị hàm số PTTTd M có dạng: y x0 4 x x0 x0 x 2 Do tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy các điểm A,B và tam giác OAB có AB OA nên tam giác OAB vuông cân O Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với hai đường phân giác y x y x 4 +TH1: d vuông góc với đường phân giác y x có: 1 x0 x0 x 18 Lop12.net (18) www.VNMATH.com Với x0 d : y x (loại) Với x0 d : y x +TH2: : d vuông góc với đường phân giác y x có: 4 x0 2 1 PT vô nghiệm Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán d : y x Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông O nên ta có: sin ABO OA sin nên tam AB giác AOB vuông cân O PTTT (C) M x0 ; y0 có dạng: x2 x02 x0 Dễ dàng tính A ;0 và B 0; 2 x x0 x0 Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm x0 là nghiệm phương trình: x2 x02 x03 x0 2 x 2 y x x0 2 Với x0 ta có PTTT là: y x Với x0 thì PTTT là: y x 4 Ví dụ 2) Cho hàm số y x3 (2m 1) x (m 2) x (Cm) 3 Tìm m để tiếp tuyến giao điểm (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích 18 1 Ta có B (0; ) tiếp tuyến B (Cm) là y (m 2) x (d) Đường thẳng (d) cắt trục Ox 3 1 A( ; 0) 3m m 1 1 1 1 Diện tích tam giác OAB là S OA.OB m 1 2 3m 18 m 3 7) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích cho trước tạo thành góc cho trước + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y f '( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) + Tìm các giao điểm tiếp tuyến với các đường tiệm cận sau đó vào điều kiện để giải + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang và tiệm cận đứng A, B mà tam giác IAB vuông cân ( Với I là giao điểm tiệm cận) thì ta quy việc viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang góc 450 ) Chú ý tiếp tuyến không qua giao điểm đương tiệm cận vì đó không hình thành tam giác) 19 Lop12.net (19) www.VNMATH.com + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A, B tạo thành tam giác IAB có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức S OAB IA.IB + Chú ý: Góc tạo tiếp tuyến và đường tiệm ngang tiệm cận đứng chính là góc tạo tiếp tuyến và các trục Ox, Oy 2mx Ví dụ 1) Cho hà số y Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến xm hàm số cắt hai tiệm cận A,B cho diện tích tam giác IAB 64 Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x m và đường tiệm cận ngang là y 2m Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là: I m, 2m 2mx0 Gọi M x0 ; (với x m ) là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho x0 m 2mx0 2m x x PTTT đồ thị hàm số điểm này là y x0 m x0 m 2 2mx0 2m2 Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng A m; và cắt tiệm cận ngang x0 m B x0 m; 2m Ta có IA 2mx0 2m 4m ; IB x0 m m x0 m 2m x0 m x0 m Nên diện tích tam giác IAB là S IA.IB 4m2 Bởi yêu cầu bài toán tương đương: 4m 64 m 58 x Viết PTTT đồ thị (H) hàm số đã cho biết tiếp tuyến x 1 tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi 2 Ví dụ 2) Cho hàm số y Giải: Cách 1: Đường tiệm cận đồ thị là x 1, y Gọi PTTT (H) M x0 ; y0 là: y 1 x x0 x0 1 Khi x y x0 x0 x 1 x0 A 1; Khi y x x0 B x0 1;1 ; I 1;1 x0 x0 20 Lop12.net (20) www.VNMATH.com x 1 x0 1 2 x0 x 1 P ABC IA IB AB x0 x0 x0 1 x0 14 x 1 x0 L 2 2 x0 1 x0 1 2 Cách 2: Phương trình tiệm cận đứng x , phương trình tiệm cận ngang y a a 1 Gọi M a; x a , PTTT M : y a 1 a 1 a 1 a 1 Tọa độ giao điểm tiếp tuyến và tiệm cận đứng là A 1; a 1 Tọa độ giao điểm tiếp tuyến và tiệm cận ngang là B 2a 1;1 Chu vi tam giác IAB là C IA IB AB a 1 a 1 a 12 a 12 4 2 Dấu “=” xảy a tức a 0; a Với a y x Với a y x KL: y x; y x là tiếp tuyến cần tìm 3x Ví dụ 3) Cho hàm số y C Gọi I là giao đường tiệm cận đồ thị Viết x 1 PTTT d đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A và B thỏa mãn: ˆ cos BAI 26 Giải: Xét điểm M x0 ; y0 , x0 1 C là tiếp điểm tiếp tuyến d 3x0 x x0 x0 x0 1 Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang A và B và IAB có 1 ˆ nên tan BAI ˆ ˆ tan ABI ˆ 5 cos BAI 1 tan BAI ˆ 25 cos BAI 26 PTTT d có dạng: y ˆ là hệ số góc tiếp tuyến d mà y ' x Lại có tan ABI x0 1 x0 2 nên 2 x0 1 x0 x0 2 Với x0 có PTTT d: y x 21 Lop12.net (21)