Ta thường sử dụng các công thức trong phần 4 để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối.. Vậy bất đẳng thức đúng với mọi x..[r]
(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình http://www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Lop10.com (2) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình Chương Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình § Bất đẳng thức A Tóm tắt giáo khoa A > B Ù A – B > ; A < B Ù A – B < A ≥ B Ù A – B ≥0 ; A ≤ B Ù A – B ≤ Tính chất : (a) A > B và B > C => A > C (b) A > B Ù A + C > B + C ⎧A.C > B.C C > (c) A > B Ù ⎨ C < ⎩A.C < B.C (d) Nếu A, B > : A > B Ù A>BÙ 3A>3B ⎧A > B (e) ⎨ => A + C > B + D ⎩C > D ⎧A > B > (f) ⎨ => AC > BD ⎩C > D > A> B Bất đẳng thức Cô-si : * Định lí : Với a , b ≥ : ab ≤ a+b Đẳng thức xảy Ù a = b * Hệ : • a+ ≥2 a • Nếu a , b ≥ và a + b = s thì giá trị lớn ab là s2 / a = b • Nếu a , b ≥ và ab = p thì giá trị nhỏ a + b = p a = b 4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối * |x| ≤ a Ù - a ≤ x ≤ a ⎡x ≥ a * |x| ≥ a Ù ⎢ ⎣ x ≤ −a * |a + b| ≤ |a| + |b| ; |a - b| ≥ ||a| - |b|| B Giải toán Dạng : Chứng minh bất đẳng thức phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng dùng để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D Ù C – D ≥ Ví dụ : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) 2(a3 + b3 ) ≥ (a + b)(a2 + b2 ) ∀ a , b và a + b > 2 b) 4x + y ≥ 4x + 4y - , ∀ x, y c) x2 – 4xy + 5y2 + 2x – 8y + ≥ , ∀ x, y d) x − + − x ≤ , ∀ x ∈ [1 ; 9] www.saosangsong.com.vn Lop10.com (3) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a3 + b3 ) – (a + b)(a2 + b2 ) ≥ (định nghĩa) Ù (a + b)[2(a2 + b2 – ab) - (a2 + b2 )] ≥ Ù (a + b)(a2 + b2 – 2ab) ≥ Ù (a + b)(a – b)2 ≥ Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > và (a – b)2 ≥ \ b) Bất đẳng thức cần CM Ù (4x2 – 4x + 1) + (y2 – 4y + 4) ≥ Ù (2x – 1)2 + (y – 2)2 ≥ ( bất đẳng thức đúng ) c) Bất đẳng thức cần CM Ù x2 – 2(2y – 1)x + 5y2 – 8y + ≥ (viết thành đa thức bậc theo x , với hệ số là y) Ù [x2 – 2(2y - 1)x + (2y – 1)2 ] – (2y – 1)2 + 5y2 – 8y + ≥ (thêm bớt đưa đẳng thức a – 2ab + b2 ) Ù [x – 2y + 1]2 + y2 – 4y + ≥ ( rút gọn ) Ù ( x – 2y + 1)2 + (y – 2)2 ≥ ( bất đẳng thức đúng ) số hạng để d) Hai vế dương , bình phương hai vế , ta bất đẳng thức tương đương : ( x − + − x ) ≤ 16 Ù(x – 1) + (9 – x) + (x − 1)(9 − x) ≤ 16 ( khai triển) Ù (− x + 10x − 9) ≤ ( rút gọn ) Ù − x + 10x − ≤ ( nhân hai vế cho ½ ) Ù - x2 + 10x – ≤ 16 ( bình phương hai vế ) Ù x2 – 10x + 25 ≥ ( rút gọn ) Ù (x – 5)2 ≥ ( bất đẳng thức đúng ) Dạng : Chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức Cô- si a+b Sử dụng các dạng : ab ≤ ; a + b ≥ ab a + b2 Hoặc các dạng tương đương : a2 + b2 ≥ 2ab ; ab ≤ (2 bất đẳng thức này đúng với a, b ) Ví dụ : CMR : a) (x − 1)(5 − x) ≤ , ∀ x ∈ [1 ; 5] c) x + ≥ , ∀x > x −1 x−4 ≤ , ∀x ≥ x+5 4x + 8x + d) ≥ 12 , ∀ x > x b) Giải a) Vì x ∈ [ ; 5] nên x – ≥ và – x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – và – x , ta có : (x − 1) + (5 − x) (x − 1)(5 − x) ≤ =2 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương cách bình phương hai vế chuyển vế dạng toán 1 (x − 4)9 ( nhân và chia cho = để đưa dạng ab ) b) Ta có : x − = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – và : 1 (x − 4) + x + x−4 = = ( x − 4)9 ≤ www.saosangsong.com.vn Lop10.com (4) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình x−4 ≤ ( đpcm) x+5 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương cách nhân hai vế cho x + > chuyển vế dạng toán 9 + ( thêm bớt để đưa dạng a + ) Áp dụng = ( x – 1) + c) Ta có : x + x −1 x −1 a Chia hai vế cho x + > , ta bất đẳng thức : bất đẳnghức Cô – si cho hai số dương : x – và , ta : x −1 9 = = ≥ (x − 1) x −1 x −1 Suy : x + ≥ + ( cộng hai vế cho ) x −1 ≥ ( đpcm) (x – 1) + Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương cách nhân hai vế cho x - > chuyển vế dạng toán 4x + 8x + 1 = 4x + + ( Chia tử và mẫu ) x x Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho 4x và , ta : x 1 4x + ≥ 4x ≥ x x 4x + 8x + Suy : ≥ + = 12 ( đpcm) x d) Ta có : Ghi chú : (1) Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương dạng toán (2) Đặc trưng phưong pháp chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức Cô – si là ta phân tích vế sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích hợp , kết hợp với tính chất bất đẳng thức, để so sánh với vế còn lại (3) Trong bài toán này , ta dấu giá trị vế phải , ta bài toán tìm giá trị lớn ( bài a , b ) hay giá trị nhỏ ( bài c , d) biểu thức Ví dụ : CM các bất đẳng thức sau : a b2 c2 a c b a) + + ≥ + + , với a , b, c ≠ b c a c b a b) (a + b)(b + c) (c + a) ≥ 8abc với a , b, c ≥ 1 c) (a + b + c) ( + + ) ≥ , (a , b , c > ) a b c Khi nào đẳng thức xảy ? Giải a) Trong bài này , ta sử dụng bất đẳng thức Cô - si kết hợp với tính chất (e) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : a b2 a b2 a + ≥2 2 =2 c b c b c www.saosangsong.com.vn Lop10.com (5) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình b2 c2 b c2 b + ≥ =2 2 c a c a a c2 a c2 a c + ≥ =2 2 a b a b b Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , chia hai vế cho , ta đpcm b) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : a + b ≥ ab > b + c ≥ bc > c + a ≥ ca > Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , ta đpcm 1 a b a c b c c) Ta có : (a + b + c) ( + + ) = + + + ( + ) + ( + ) + ( + ) a b c c a c b b a Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số dấu ngoặc , ta : a b a c b c a b = (1) , + ≥ (2) ; + ≥ (3) + ≥ b a c a c b b a 1 Suy : (a + b + c) ( + + ) ≥ + + + = (4) ( đpcm) a b c Đẳng thức xảy (4) Ù Đẳng thức xảy đồng thời xảy (1) , (2) , (3) a b a c b c Ù = ; = ; = Ù a2 = b2 = c2 b a c a c b Ùa=b=c Dạng : Chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối Ta thường sử dụng các công thức phần để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ : a) CM : |5 – x| + |x + 10| ≥ 15 với x b) Giải bất phương trình : |x – 3| ≤ c) Giải bất phương trình : |2x – 3| ≥ x2 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| , ta có : |5 – x| + |x + 10| ≥ | – x + x + 10 | = 15 : đpcm Vậy bất đẳng thức đúng với x b) Ta có phép biến đổi tương đương : |x – 3| ≤ Ù-5 ≤ x–3 ≤ Ù – ≤ x ≤ + ( chuyển vế số ) Ù-2 ≤ x ≤ c) Ta có phép biến đổi tương đương : ⎡ 2x + ≥ x 2 Ù ⎢ |2x – 3| ≥ x ⎣ 2x + ≤ − x www.saosangsong.com.vn Lop10.com (6) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình ⎡ x − 2x − ≤ (1) Ù ⎢ ⎣ x + 2x + ≤ (2) ⎡⎧x + ≥ ⎢⎨ ⎡ −1 ≤ x ≤ ⎩x − ≤ ⎢ Ù ⎢ (1) Ù (x + 1)(x – 3) ≤ Ù ⎢⎧x + ≤ ⎣x ∈ ∅ ⎢⎨ ⎢⎣ ⎩ x − ≥ Ù-1 ≤ x ≤ (2) Ù (x + 1) + ≤ Ù x ∈ ∅ Vậy bất phương trình có nghiệm : - ≤ x ≤ Dạng : Tìm giá trị lớn ( GTLN) , giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức số T Cách ( Phân tích ) : • Để tìm GTNN T , ta viết T dạng : T = f 2(x) + m đó m là giá trị không đổi Thế thì : T ≥ m , ∀ x Tìm x để T = m ( đẳng thức xảy ra) Kết luận : GTNN T là m • Để tìm GTLN T , ta viết T dạng : T = - f 2(x) + M đó M giá trị không đổi Thế thì : T ≤ M , ∀ x Tìm x để T = M ( đẳng thức xảy ra) Kết luận : GTLN T là M Cách ( Dùng bất đẳng thức Cô- si) Tương tự trên , tìm M ( hay m) cho : T ≤ M ( hay T ≥ m ) Ví dụ : a) Tìm GTNN biểu thức T = 2x2 + y2 – 2xy – 4x b) Tìm GTLN biểu thức T = 2x + x2 – x4 a) Ta có : T = (x2 – 2xy + y2 ) + (x2 – 4x + 4) – = (x – y)2 + (x – 2)2 – Vì (x – y) ≥ và (x – 2)2 ≥ , ∀ x , y , đó : T ≥ - , ∀ x, y ⎧⎪(x − y) = <=> x = y = Đẳng thức xảy Ù ⎨ ⎪⎩(x − 2) = Vậy GTNN T là – b) Ta có : T = - (1 – 2x + x2 ) – (1 - 2x2 + x4 ) = – (1 – x)2 – (1 – x2)2 Vì - (1 – x)2 ≤ và - (1 – x2 )2 ≤ , ∀ x , đó : T ≤ , ∀ x ⎧⎪(1 − x) = ⎧x = Ùx=1 Đẳng thức xảy Ù ⎨ <=> ⎨ 2 ⎪⎩(1 − x ) = ⎩x = Vậy GTLN T là Giải 4x − 3x + (x≠0) x2 b) Tìm GTLN T = (2x + 3)(5 − 3x) ( - 3/2 ≤ x ≤ 5/3 ) c) Cho a , b , c > và a + b + c = , tìm GTNN biểu thức : 1 T = ( − 1)( − 1)( − 1) a b c Ví dụ : a) Tìm GTNN T = www.saosangsong.com.vn Lop10.com (7) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình Giải a) Ta có : T = 4x2 – + x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x2 và 4x2 + Đẳng thức xảy Ù 4x2 = , ta có : x2 9 ≥ 4x = 12 => T ≥ 12 – = x x 9 3 Ù x4 = Ù x2 = Ù a = ± x 2 Vậy GTNN T là 5 2(x + ).3( − x) = (x + )( − x) 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (x + ) và ( - x) , ta có : 3 x+ + −x 19 19 = = T ≤ 12 2 Đẳng thức xảy Ù x + = - x Ù x = 12 19 Vậy GTLN T là 1− a 1− b 1− c Ta có : T = a b c (b + c)(c + a)(a + b) (thế – a = b + c , – b = c + a ….) = abc Dùng bất đẳng thức Cô-si , CM : (b + c)(c + a)(a + b) ≥ 8abc ( Xem dạng toán Ví dụ (b)) , suy : T ≥ Đẳng thức xảy Ù a = b = c = 1/3 Vậy GTNN T là b) Ta có : T = C Bài tập rèn luyện 4.1 CM các bất đẳng thức sau pp biến đổi tương đương : a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx , ∀ x, y , z Suy : x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) b) 3a2 + b2 + 4c + 9d2 ≥ 2a(b + 2c + 3d) , ∀ a , b , c, d c) 4a2 + 9b2 + ≥ 4(a + 3b) , ∀ a , b d) x2 – 4xy + 7y2 + 2x – 10y + ≥ , ∀ x , y 4.2 CM các bất đẳng thức sau pp biến đổi tương đương : a) x − xy + y ≥ , ∀ x, y > x + xy + y b) a3 2a − b , ∀ a, b > ≥ 2 a + ab + b (1 − a )(1 − b) ≤ , ∀ a , b ∈ [ - ; 1] 1 1 d) y( + ) + (x + z) ≤ (x + z)( + ) x z y x Z c) ab + www.saosangsong.com.vn Lop10.com (8) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 4.3 CM : a + b + c2 + d ≥ (a + c) + (b + d) , ∀ a , b, c, d Khi nào đẳng thức xảy x + 2x + + x − 4x + Áp dụng : Tìm GTNN biểu thức y = 4.4 CM : ∀ a, b, x , y , ta có : |ax + by| ≤ Áp dụng : a) CMR ∀ a , b , |a + b| ≤ (a + b )(x + y ) ( bđt B.C.S) 2(a + b ) b) Cho 3a + 4b = , CM : a2 + b2 ≥ c) Cho 2a2 + 3b2 = , CM : 2a + 3b ≤ 4.5 CM các bất đẳng thức sau bất đẳng thức Cô-si : a) (a + b)( b) d) 1 + ) ≥ 4, ∀ a,b>0 a b 4x + ≥ x +1 , ∀ x>-1 c) 8x + 2x + ≥ 2, ∀ x>-1 x +1 ab ≤ ab , ∀ a , b > a+ b * 4.6 CM các bất đẳng thức sau bất đẳng thức Cô-si : ab bc ca + + ≥ a + b + c , ∀ a , b, c > c a b 1 b) (a + ) + (b + ) ≥ , ∀ a , b > b a (y + 2) x − + (x + 1) y − c) ≤ , ∀ x >1, ∀ y>4 + 12 (x + 1)(y + 2) d) 8(p – a)(p – b)(p – c) ≤ abc với a , b , c là cạnh tam giác và p là nửa chu vi a) * 4.7 Tìm GTNN các biểu thức sau : a) A = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + c) C = (x + 1)2 ( + +1) ; x > x2 x x + 4x + , x > −1 x +1 a2 b2 d) D = với a > , b > + b −1 a −1 b) B = * 4.8 Tìm GTLN các biểu thức sau : a) A = (4 − x)(4x − 15) b) B = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(3 - x) c) C = | |x + 3| - | – x | | e) E = d) D = ab 1+a + b (1 + a )(1 + b ) x2 x4 + x2 + * a) Cho x , y > và x + y = xy , tìm GTNN x + y 1 + 2x + xy y + xy 1 c) Cho x , y > và x + y = Tìm GTNN biểu thức : T = (1 − )(1 − ) x y b) Cho x , y > và x + y2 + xy ≤ , tìm GTNN T = www.saosangsong.com.vn Lop10.com (9) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 4.10.Người ta có 100m rào để rào miếng đất hình chữ nhật để thả gia súc biết cạnh miếng đất là bờ sông ( không phải rào ) Hỏi kích thước miếng đất có diện tích lớn có thể rào ? * 4.11 CMR hình chữ nhật nội tiếp tam giác ( có cạnh nằm trên cạnh tam giác và hai đỉnh thuộc hai cạnh còn lại tam giác ) có diện tích không lớn nửa diện tích tam giác 4.12 Chọn câu đúng : Nếu có a > b > c > , các bất đẳng thức nào sau đây là đúng : I a −c b−c > b−a b−a II ab > ac a) Chỉ I III b) Chỉ II b b > a c c) I và II d) II và III 4.13 Chọn câu đúng : Biết a2 < b2 và a, b khác , các bất đẳng thức nào sau đây là đúng : I a b2 < a a II 1 > 2 a b a) Chỉ II III (a + b)(a – b) < b) I và II c) II và III d) I và III 4.14 Chọn câu đúng : GTNN biểu thức A = x2 - 4xy + 5y2 – 4x – 2y + là : a) – b) – c) – d) 4.15 Chọn câu đúng : GTNN biểu thức : a) (0,4 ; 0, 5) b) (0,5; 0,6) 2x − 4x + (x > - 1) ∈ : x +1 c) (0,6 ; 0, 7) 4.16 Chọn câu đúng : GTLN biểu thức : a) số nguyên dương c) số hữu tỉ x − 2x 2 − x2 d) (0,7) ; 0,8) ( < x < ) là : b) số nguyên âm d) số vô tỉ D Hướng dẫn hay đáp số 4.1 a) Ù ( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2(xy + yz + zx ) Ù (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ Suy : x4 + y4 + z4 ≥ (x2y-2 + y2z2 + z2x2 ) ≥ xy.yz + yz.zx + zx.xy = xyz(x + y + z) b) Ù (a – b)2 + (a – 2c)2 + (a – 3d)2 ≥ c) Ù (2a – 1)2 + (3b – 2)2 ≥ d) Ù (x – 2y + 1)2 + 3(y – 1)2 ≥ 4.2 a) Ù 3(x2 – xy + y2 ) ≥ x2 + xy + y2 Ù 2(x – y)2 ≥ b) Ù 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2 ) Ù (a3 + b3 ) – (a2b + ab2 ) ≥ Ù (a + b)(a – b)2 ≥ 4.3 Bình phương hai vế và rút gọn : (a + b )(c + d ) ≥ ac + bd * Nếu ac + bd < thì bất đẳng thức đúng * Nếu ac + bd ≥ , bình phương lần và rút gọn : (ad – bc)2 ≥ ( đúng ) www.saosangsong.com.vn Lop10.com (10) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình Đẳng thức xảy ad = bc 10 và ac + bd ≥ (x + 1) + + (2 − x) + 22 ≥ Áp dụng : y = (x + + − x) + (1 + 2) 2 ≥ 32 + 32 = ⎧(x + 1)2 = 1.(2 − x) Dấu “=” xảy ⎨ Ù x=0 ⎩(x + 1)(2 − x) + ≥ 4.4 Bình phương hai vế , BPT Ù (ay – bx)2 ≥ Áp dụng : a) Với x = y = , ta có |a + b| ≤ 2(a + b ) b) = 3a + 4b ≤ |3.a + b | ≤ (32 + 42 )(a + b ) = a + b a + b ≥ 1<=> a + b ≥ Suy : c) 2a + 3b ≤ | a + b |≤ (2 + 3)(2a + 3b ) = 4.5 a) a + b ≥ ab > 1 1 + ≥ > a b a b Nhân hai bất đẳng thức vế với vế , ta đpcm CM các bất đẳng thức sau bất đẳng thức Cô-si : b) 4x + = 4(x + 1) + ≥ 4(x + 1).1 = x + => 4x + ≥ x +1 c) f(x) = 8x + d) Ta có : 2(x + 1) + 2 = 8(x + 1) + - ≥ 8( x + 1) −6 = x +1 x +1 x +1 a+ b≥2 a b = ab => đpcm 4.6 a) Dùng bất đẳng thức cặp ba lần , cộng lại 1 a b ) + (b + ) + 2( + ) ≥ + + = b b a a y−4 x −1 c) Chia VT = + x +1 y+2 b) Khai triển : ( a2 + d) Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho ba cặp số : nhân vế với vê (p − a)(p − b), (p − b)(P − c), (p − c)(p − a) rối 4.7 a) A = (x2 – x)2 + (x – 1)2 + ≥ GTNN là x = 2 = (x + 1) + +2 ≥ 2 + x +1 x +1 => GTNN là 2 + x + = Ùx = -1 + x +1 1 c) Nhân , rúy gọn : C = x2 + + 6(x + ) + 10 ≥ + 6.2 + 10 = 24 x x b) B = x + + GTNN là 24 x = a b2 a b d) D ≥ = ≥ 2+2=4 b −1 a −1 a −1 b −1 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (11) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 11 ⎧ a2 b2 = ⎪ GTNN là Ù ⎨ b − a − <=> a = b = ⎪a = b = ⎩ 4.8 a) 15/4 ≤ x ≤ , GTLN là ¼ x = 31/8 b) B = (x2 – 1)(9 – x2 ) GTLN là 16 Ù x = ± c) C ≤ |x + + (4 - x| = GTLN là Ù (x + 3)(4 – x) ≤ Ù x ≤ - hay x ≥ d) Dùng Côsi tử : ab + a + b ≤ a b + + a + b (1 + a )(1 + b ) = 2 => C ≤ ½ GTLN là ½ a2 b2 = + a2 + b2 Ù a2 = b2 + ( có vô số giá trị a, b) b2 − e) x = : E = ( Chia tử và mẫu cho x2 ) ≤ 1/ x2 + +1 x GTLN là 1/7 Ù x = 9/x2 Ù x = ± x≠0:E= * 4.9 a) x+y ⎛x+ y⎞ x + y = xy ≤ ⎜ Ùx+y ≥ ⎟ => ≤ ⎝ ⎠ GTNN x + y là x = y = 1 + ) ≥ ( bài 5) a b 2 = ≥ => T ≥ 2 (2 x + xy) + (2 y + xy) x + y + xy b) Áp dụng bất đẳng thức : (a + b)( GTNN T là 2/3 x = y = ⎛ 1 ⎞ + ⎟⎟ + y ⎠ ( xy) ⎝x ( x + y) − 2xy + = 1+ =12 2 xy x y ( xy) c) T = - ⎜⎜ ⎛x + y⎞ Mà : xy ≤ ⎜ ⎟ = / , suy : T ≥ + = ⎝ ⎠ Vậy GTNN T là x = y = ½ 4.10 Gọi x là cạnh sát bờ sông , y là cạnh còn lại , ta có : x + 2y = 100 (m) ⎛ x + 2y ⎞ Diện tích miếng đất : S = xy = ½ (x 2y) ≤ ½ ⎜ ⎟ = 1250 ⎝ ⎠ A m2 MQ BM = AH AB MN AM = MN // BC => BC AB N M 4.11 MQ // AH => BM.AM Diện tích hình chữ nhật : S = MQ.MN = AH.BC AB2 www.saosangsong.com.vn Lop10.com B C Q H P (12) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 12 AB2 ⎛ AM + BM ⎞ => S ≤ ¼ AH.BC = ½ SABC (đpcm) = ⎟ ⎝ ⎠ Ta có : BM.AM ≤ ⎜ 4.11 (b) 4.12 (d) 4.13 (c) 4.14 (a) A = (x – 2y)2 + (x – 2)2 + (y - 1)2 – ≥ - GTNN là – x = , y = − ≥ 18 − = - = 0, 4825 x +1 GTNN là - 2(x + 1) = <=> x = - + x +1 2 x + − 2x 2 − x 4.15 (c) Ta có : x − 2x = x (2 − 2x ) ≤ = 2 2 => A ≤ ½ GTNN là ½ x = – 2x Ù x = / 4.14 (a) A = 2(x + 1) + § Bất phương trình A Tóm tắt giáo khoa Bât phương trình ẩn có dạng : f(x) < g(x) ( hay > , ≤ , ≥ ) đó f(x) và g(x) là các biểu thức , x là ẩn số Nghiệm là giá trị x làm bất đẳng thức trên là đúng Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm nó Hai bất phương trình tương đương chúng có tập nghiệm Giải bất phương trình thường là biến đổi tương đương bất phương trình thành bất phương trình đơn giản Các phép biến đổi tương đương thường dùng cho bất phương trình f(x) < g(x) có điều kiện A là : • • f(x) < g(x) Ù f(x) ± h(x) < g(x) ± h(x) h(x) xác định trên A f(x) < g(x) Ù f(x) – g(x) < f (x) g(x) < • f(x) < g(x) Ù h(x) f(x) < h(x) g(x) Ù h(x) h(x) h(x) > với x thuộc A f (x) g(x) > ( đổi chiều bất đẳng thức ) f(x) < g(x) Ù h(x) f(x) > h(x) g(x) Ù h(x) h(x) h(x) < với x thuộc A B Giải toán Ví dụ : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : x +1 x +1 a) 2x + + < 3− x + (1) x +1 x +1 2x + x + 3x + > (2) b) x x www.saosangsong.com.vn Lop10.com (13) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 13 a) Vì bất phương trình có nghĩa với x , đó : x +1 (1) Ù 2x + < – x ( Đơn giản cho ) x +1 Ù 2x + x < – ( Chuyển vế ) Ù 3x < - Ù x < - 2/3 2x + x 3x b) (2) Ù + > + x x x x 1 Ù 2x + + > + x x Ù 2x + > ( điều kiện x ≠ ) Ùx>1 Giải : Ví dụ : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : a) x3 + x2 + x + > 5x2 + 2x − 9−x b) > 2 − x + 2x − − x + 2x − Giải a) BPT Ù (x2 + 1)(x + 1) > 5(x2 + 1) Chia hai vế cho x2 + > với x , ta có bất phương trình tương đương : x+1>5Ùx>4 b) Vì – x2 + 2x – = - (x – 1)2 – < với x nên nhân hai vế cho ( ta bất phương trình tương đương : 2x – < – x Ù 3x < + Ù 3x < 12 Ù x < Ví dụ : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : a) 2x − > 4−x 4−x b) 2x − > x + Giải :a) Điều kiện : – x > Ù x < Với điều kiện này − x > , nhân hai vế cho BPT Ù 2x – > – x − x > , ta : Ù 3x > Ùx>3 So với điều kiện , ta nghiệm : <x < ⎧2x − ≥ ⎧ x ≥ 1/ <=> ⎨ <=> x ≥ 1/ ⎩x + ≥ ⎩ x ≥ −1 b) Điều kiện : ⎨ Với điều kiện này , hai vế không âm , bình phương hai vế , ta : BPT Ù 2x – > x + Ù x > Soi với điều kiện , ta nghiệm : x > § Dấu nhị thức bậc www.saosangsong.com.vn Lop10.com x2 + 2x – 3) < , (14) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 14 A Tóm tắt giáo khoa Nhị thức bậc là biểu thức có dạng : f(x)= ax + b , a ≠ b , giá trị thỏa f(x0) = Nghiệm nhị thức là xo = a Nhị thức f(x) = ax + b : • cùng dấu với a x > - b/a • trái dấu với a x < - b/a x ax + b -∞ - b/a +∞ trái dấu với a cùng dấu với a Bất phương trình bậc ẩn : ax + b > • • • a > : x > - b/a a < : x < - b/a a=0: *b>0:x∈ R *b ≤ 0:x∈ ∅ Hệ bất phương trình bậc ẩn : Giải bất phương trình để tìm tập nghiệm S1 , S2 Tập nghiệm hệ là S = S1 ∩ S2 B Giải toán Dạng toán : Xét dấu nhị thức , tích hay thương hai nhị thức Ví dụ : Xét dấu các nhị thức sau : a) f(x) = 2x – b) f(x) = − 3x Giải a) f(x) = Ù x = ; hệ số a = > x 2x - -∞ - +∞ + b) f(x) = Ù x = 5/3 ; hệ số a = - 3/2 < x -3x -∞ + Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau : a) y = (2x − 4)(5 − x) b) y = c) y = (2x2 - x + 5)2 – (x2 – x – 5)2 5/3 2x + 3x + +∞ - x 2x – 5–x y Giải : a) y là tích hai nhị thức : 2x – , có nghiệm x = ; a = > – x , có nghiệm x = ; a = - < www.saosangsong.com.vn Lop10.com -∞ + - + + + +∞ + 0 - (15) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 15 Dùng tính chất dấu tích hai số ( tích hai số cùng dấu là + , tích hai số trái dấu là - ) , ta bảng xét dấu sau b) y là thương hai nhị thức : 2x + , có nghiệm là - 1/2 , a = > 3x + , có nghiệm là – 5/3 , a = > Qui tắc dấu thương tích , khác thương không xác định mẫu , kí hiệu || x 2x + -∞ - 5/3 - 3x + y - + || +∞ -1/2 + + + + - c) Biến đổi tích dùng đẳng thức a2 – b2 = (a + b)(a – b) y = (2x2 - x + 5)2 – (x2 – x – 5)2 = (3x2 – 2x )(x2 + 10) Vì x2 + 10 > với x , nên dấu y là dấu : 3x2 – 2x = x( 3x – 2) -∞ x x - 3x - y + 0 + - +∞ 2/3 + 0 + + Dạng toán : Giải bất phương trình f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) … ) Phương pháp chung là : • Chuyển vế , biến đổi tương đương dạng : P(x) > ( < , ) đó P(x) là tích hay thương các nhị thức bậc • Lập bảng xét dấu P(x) • Dựa vào bảng xét dấu ta rút tập nghiệm bất phương trình Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : x2 +1 +3> x x +1 1 − > d) x + x + ( x − 1) a) (2x + 5)2 ≥ (3x – 4)2 b) c) x4 ≤ (2x - 3)2 Ù (2x + 5)2 – (3x – 4)2 ≥ Ù (2x + + 3x – 4)(2x + – 3x + 4) ≥ Ù (5x + 1)(- x + 9) ≥ (1) Lập bảng xét dấu biểu thức vế trái (VT) , ta : Giải a) BPT x 5x + -x+9 VT -∞ - 1/5 + + - + + +∞ + 0 - www.saosangsong.com.vn Lop10.com (16) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 16 Căn vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : - 1/5 ≤ x ≤ Ghi chú : Nếu không muốn lập bảng thì giải sau : ⎧5x + ≥ ⎧5x + ≤ hay ⎨ (1) Ù ⎨ Ù - 1/5 ≤ x ≤ ⎩− x + ≥ ⎩− x + ≤ Tập nghiệm là S = [- 1/5 ; ] x2 +1 b) BPT + − x > ( chuyển vế ) Ù x +1 x + + (x + 1)(3 − x) > ( qui đồng và rút gọn ) Ù x +1 2x + > ( rút gọn tử thức ) Ù x +1 Lập bảng xét dấu VT : x 2x + -∞ - x+1 VT + -2 + - +∞ -1 + || + + Căn vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : x < - hay x > - Tập nghiệm là S = (- ∞ ; - ) ∪ ( - ; + ∞ ) Ù x4 - (2x - 3)2 ≤ Ù (x2 + 2x – 3)(x2 – 2x + 3) ≤ 2 Vì x – 2x + = (x – 1) + > , ∀ x , đó : BPT Ù x2 + 2x – ≤ Ù ( x – 1)( x + 3) ≤ Lập bảng xét dấu hay giải trực tiếp , ta nghiệm : - ≤ x ≤ c) BPT d) BPT Ù (x + 3) − (x + 1) > ( tính gọn VT ) (x + 1)(x + 3) (x − 1) 2 > ( rút gọn ) Ù (x + 1)(x + 3) (x − 1) 2(x − 1) − 2(x + 1)(x + 3) > ( chuyển vế , qui đồng , tính ) Ù (x + 1)(x + 3)(x − 1) 2(−6x − 2) > ( rút gọn VT) Ù (x + 1)(x + 3)(x − 1) −6x − > với x ≠ Ù (x + 1)(x + 3) > , ∀ x ≠ 1) Lập bảng xét dấu VT : ( Chia hai vế cho (x − 1) x - 6x - x+1 x+3 VT -∞ -3 + + || -1 + + - || - 1/3 + + + + www.saosangsong.com.vn Lop10.com +∞ + + - (17) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 17 ⎡ x < −3 Căn vào bảng xét dấu , BPT có nghiệm : ⎢ (*) ( x ≠ ) Vì điều kiện x ≠ thỏa ⎣ −1 < x < −1/ tập hợp (*) , đó tập nghiệm là : S = ( - ∞ ; - 3) ∪ ( - ; - 1/3) Dạng toán : Giải hệ bất phương trình ẩn Ví dụ : Giải các hệ bpt sau : x +1 ⎧ 2x − ⎪⎪ > − (1) a) ⎨ ⎪ − < 3x − (2) ⎪⎩ x − x x − x ⎧ ⎪⎪ x + > x − (1) b) ⎨ ⎪ 2x + 2x − < (2) ⎪⎩ x − Giải a) * Giải (1) : Nhân hai vế cho ( mẫu số chung ) , ta : BPT Ù 2(2x – 1) > – 3(x + 1) Ù 7x > Ù x > 5/7 * Giải (2) : 3x − < (2) Ù (x − 1)x x(1 − x) 3x > ( Chuyển vế , rút gọn ) Ù x(1 − x) Ù > và x ≠ ( Đơn giản ) 1− x Ù x < và x ≠ ⎧x > / ⎪ Vậy hệ có nghiệm : ⎨ x < <=> / < x < ⎪x ≠ ⎩ Ù b) * Giải (1) : (1) 1 − >0 x +3 x −2 −5 >0 (x + 3)(x − 2) Ù (x + 3)(x – 2) < Ù - < x < 2 (2x + 2x − 5) − 3(x − 1) * Giải (2) : (2) Ù <0 x2 −1 − x + 2x − <0 Ù x2 −1 Vì – x2 + 2x – = - (x2 – 2x + 2) < , ∀ x nên : (2) Ù x2 – > Ù x > hay x < - * Trên trục số biểu diễn các tập nghiệm S1 (1) và S2 (2) , và lấy phần giao S1 ∩ S2 , ta nghiệm hệ : - < x < - hay < x < Ù -∞ -3 -1 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (18) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 18 Ghi chú : Cách làm sau: * Vẽ trên trục số các đầu mút khoảng theo thứ tự tăng dần : - < - < < * Biểu diễn S1 cách gạch bỏ tập hợp C RS1 ( gạch //// theo qui tắc “ lấy bỏ ngoài “ Tương tự biểu diễn S2 cách gạch bỏ tập hợp ngoài bỏ trong” Phần không bị gạch bỏ là tập nghiệm hệ bất phương trình C S ( gạch R \\\\\\\\ theo qui tắc “ lấy * Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : a) x − 1(2x + 3) > x + 4x + x −1 b) ⎛ 3x − ⎞ x2 − ⎜ ⎟≤ x x −9 ⎝ x+5 ⎠ Giải :a) Điều kiện : x – > Ù x > (1) Nhân hai vế cho x − > , ta : BPT Ù (x – 1)(2x – 3) > x2 + 4x + Ù 2x2 – 5x + > x2 + 4x + Ù x(x – 9) > Ù x < hay x > (2) Từ (1) và (2) , ta : x > Bất phương trình có nghiệm x > Ù x ≤ - hay x ≥ b) Điều kiện : x2 – ≥ Chú ý x = ± là nghiệm bất phương trình Với x < - hay x > (1) , chia hai vế bất phương trình cho x − > , ta : BPT Ù 3x − 3x − − x(x + 5) ≤x Ù ≤ x +5 x +5 −(x + 1) Ù ≤ x+5 Ù x + > hay x + = Ù x > - (2) Từ (1) và (2) , ta : - < x < - hay x > Kết luận : bất phương trình có nghiệm – < x ≤ - hay x ≥ * Ví dụ : ⎧ x −1 ≤1 ⎪ a) Định m để hệ : ⎨ x + có nghiệm ⎪⎩2x + ≤ m ⎧(m − 1) x < m( x − 1) b) Định m để đoạn [ ; 1] thỏa hệ : ⎨ ⎩2( x − 2) > x − m Giải : a) Giải x −1 −3 ≤ <=> ≤ <=> x + > <=> x > −2 : S1 = ( - ; + ∞ ) x+2 x+2 Giải 2x +1 ≤ m Ù x ≤ m −1 m −1 ] : S2 = ( - ∞ ; 2 Hệ có nghiệm : S1 ∩ S ≠ ∅ Ù - < m −1 Ùm>-3 b) Giải (m – 1)x < m(x - 1) Ù - x < - m Ù x > m Giải 2(x – 2) > x – m Ù x > – m www.saosangsong.com.vn Lop10.com (19) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 19 Vậy hệ có tập nghiệm S = (m ; – m ) Để đoạn [ ; 1] thỏa hệ thì [0 ; 1] ⊂ S Ù m < < < – m Ù0<m<3 Dạng : Bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối • Nếu là dạng đã biết thì giải theo công thức : ¾ |f(x)| < g(x) Ù - g(x) < f(x) < g(x) ⎡ f (x) > g(x) ¾ |f(x)| > g(x) Ù ⎢ ⎣ f (x) < −g(x) ¾ |f(x)| < |g(x)| Ù f2(x) < g2(x) • Trong các trường hợp khác , dạng chứa nhiều dấu trị tuyệt đối chẳng hạn , thì ta khử dấu trị ⎧A A ≥ tuyệt theo qui tắc : | A |= ⎨ , giải bất phương trình trên các khoảng dấu ⎩− A A < Cuối cùng hợp các tập nghiệm Ví dụ : Giải các BPT sau : a) |2x – 1| < 2x + b) 2x − <1 x c) x−4 >x x −1 ⎧−(2x + 3) < 2x − Giải a) (Dạng |f(x)| < g(x) ) BPT Ù ⎨ ⎩2x − < 2x + ⎧ x > −1/ Ù ⎨ Ùx>-½ ⎩ −1 < Tập nghiệm là ( - ½ ; + ∞ ) ⎧ 2x − ⎧ x −1 ⎪⎪ x < ⎪⎪ x < Ù⎨ b) ( Dạng |f(x)/ < g(x )) BPT Ù ⎨ ⎪−1 < 2x − ⎪ 3x − > ⎪⎩ ⎪⎩ x x ⎧0 < x < Ù ⎨ Ù 1/3 < x < ⎩ x < hay x > 1/ Tập nghiệm là (1/3 ; ) ⎡ − x + 2x − ⎡x −4 > x > (1) ⎢ ⎢ x −1 − x c) ( Dạng /f(x)/ > g(x) ) BPT Ù ⎢ Ù ⎢ ⎢ (x − 2)(x + 2) < (2) ⎢ x − < −x ⎢⎣ ⎢⎣ x − x −1 * Giải (1) : Vì tử thức < , ∀ x , nên : (1) Ù x – < Ù x < ⎡1 < x < * Giải (2) : Lập bảng xét dấu VT , ta nghiệm : ⎢ ⎣ x < −2 ⎡x < * Vậy nghiệm BPT là : ⎢⎢1 < x < Ù x < và x ≠ ⎢⎣ x < −2 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (20) Chương Bất đẳng thức Bất phương trình 20 ( Chú ý dấu [ (“ hoặc”) không { ( “ và “) BIều diễn các tập nghiệm và lấy phần hội các tập nghiệm ) *Ví dụ : Giải các BPT sau : | x − 1| +2 >1 a) x b) |x – 3| + |x – 4| < x + ⎧ x − x ≥ a) Ta có : |x – 1| = ⎨ , đó ta giải BPT hai trường hợp : ⎩−(x − 1) x < x −1 + x +1 * x ≥ : BPT Ù > <=> −1 > x x Ù >0 Ù x>0 x Kết hợp với x ≥ , ta nghiệm x ≥ 1− x + 3− x > <=> −1 > * x < : BPT Ù x x Giải : − 2x > Ù < x < 3/2 x Kết hợp với x < , ta nghiệm < x < ⎡x ≥ Nghiệm BPT : ⎢ <=> x > ⎣0 < x < Ghi chú : Hợp hai tập nghiệm không phải giao ! Ù b) |x – 3| + |x – 4| < x + (1) Để khử đồng thời hai dấu trị tuyệt , ta thường lập bảng sau : x |x - 3| |x – 4| VT -∞ -x+3 -x +4 - 2x + x–3 | -x+4 | | | +∞ x–3 x–4 2x – Ta giải các trường hợp sau : * x < : (1) Ù - 2x + < x + Ù x > Kết hợp với x < , ta : < x < * ≤ x ≤ : (1) Ù < x + Ù x > - Kết hợp với ≤ x ≤ , ta : ≤ x ≤ * x > : (1) Ù 2x – < x + Ù x < 11 Kết hợp với x > , ta : < x < 11 ⎡1 < x < BPT có nghiệm : ⎢⎢3 ≤ x ≤ <=> < x < 11 ⎢⎣ < x < 11 11 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (21)