Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đ THI TH Đ I H CỀ Ử Ạ Ọ MƠN: TỐN
Th i gian làm bàiờ : 180 phút (không k th i gian giao đ )ể ờ ề
I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2,0 mể ) Cho hàm s ố
2 m y x m
x = + +
− Kh o sát s bi n thiên v đ th hàm s cho v i m = 1.ả ự ế ẽ ị ố
2 Tìm m đ hàm s có c c đ i c c ti u cho hai m c c tr c a đ th hàm s cách để ố ự ự ể ể ự ị ủ ị ố ường th ng ẳ
d: x – y + = nh ng kho ng b ng nhau.ữ ả ằ Câu II (2,0 m)ể
1 Gi i phả ương trình ( ) ( )
2
cos cos
2 sin sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
2 Gi iả phương trình 7−x2+x x+ =5 3 2− x x− (x∈¡ ) Câu III (1,0 m) ể Tính tích phân
3
0
3 3
x
dx
x x
− + + +
∫ .
Câu IV (1,0 mể ) Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng G i M, N m l n lứ ệ ề ằ ọ ể ầ ượt di đ ng trênộ c nh AB, AC cho (DMN) (⊥ ABC) Đ t AM = x, AN = y Tính th tích t di n DAMN theo x vàặ ể ứ ệ y Ch ng minh r ng: ứ ằ x y+ =3 xy
Câu V (1,0 mể ) Cho x, y, z ≥0tho mãn x+y+z > ả Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ
( )
3 3
3
16
x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
II PH N RIÊNG (3,0 m)Ầ ể : Thí sinh ch đỉ ược làm m t hai ph n (ph n A ho c B).ộ ầ ầ ặ
A Theo chương trình Chu n:ẩ
Câu VI.a (2,0 m)ể
1 Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có phặ ẳ ộ ữ ậ ương trình đường th ng AB: x – 2y + =ẳ 0, phương trình đường th ng BD: x – 7y + 14 = 0, đẳ ường th ng AC qua M(2; 1) Tìm to đ đ nhẳ ộ ỉ c a hình ch nh t.ủ ữ ậ
2 Trong khơng gian to đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – y – 5z + = hai đạ ộ ặ ẳ ường th ng ẳ d1:
1
2
x+ = y− = z−
, d2:
2
1
x− = y+ = z −
Vi t phế ương trình đường th ng d vng góc v i (P) đ ng th i c t hai đẳ ắ ường th ng dẳ d2
Câu VII.a (1,0 m).ể Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i)ầ ự ủ ố ứ n , bi t r ng n ế ằ ∈ N th a mãn phỏ ương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) =
B Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 m)ể
1 Trong m t ph ng to đ Oxy cho tam giác ABC, có m A(2; 3), tr ng tâm G(2; 0) Hai đ nh B Cặ ẳ ộ ể ọ ỉ l n lầ ượ ằt n m hai đường th ng dẳ 1: x + y + = d2: x + 2y – = Vi t phế ương trình đường trịn
có tâm C ti p xúc v i đế ường th ng BG ẳ
2 Trong không gian to đ cho đạ ộ ường th ng d: ẳ
2 1
x− = y+ = z+
− m t ph ng (P): x + y + z + = 0.ặ ẳ G i M giao m c a d (P) Vi t phọ ể ủ ế ương trình đường th ng ẳ ∆ n m m t ph ng (P), vng gócằ ặ ẳ v i d đ ng th i tho mãn kho ng cách t M t i ả ả ∆ b ng ằ 42
( )
1
1 log y x log
− − =
(2)-H t -ế
S LƠ ƯỢC ĐÁP ÁN VÀ BI U ĐI M Đ THI KH O SÁT L N - 2010Ể Ể Ề Ả Ầ Đáp án g m 06 trangồ
Câu N i dungộ Điể
m
I 2,0
1 1,0
V i m =1 1 y x
x = + +
− a) T p xác đ nhậ ị : D=¡ \ 2{ }
0.25 b) S bi n thiên: ự ế
( ) ( )
2
2
1
'
2
x x
y
x x
− +
= − =
− − ,
1 '
3 x y
x = = ⇔ = lim
x
y
→−∞ = −∞, limx
y
→+∞ = +∞, 2
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ = +∞ → = −∞ ,
lim[ ( 1)] ; lim[ ( 1)]
x→+∞ y− +x = x→−∞ y− +x =
Suy đ th hàm s có ti m c n đ ng x = 2, ti m c n xiên y = x – 1.ồ ị ố ệ ậ ứ ệ ậ
0.25
B ng bi n thiênả ế
Hàm s đ ng bi n m i kho ng ố ế ỗ ả (−∞;1 , 3;) ( +∞); hàm s ngh ch bi n trênố ị ế m i kho ng ỗ ả ( ) ( )1;2 , 2;3
C c tr : Hàm s đ t giá tr c c tr : yự ị ố ị ự ị CĐ = t i x = 1; yạ CT = t i x = 3.ạ
0.25
c) Đ thồ ị: 0.25
x y’ y
-
∞ 10 03 + ∞
+ ∞ + ∞
-
∞ - ∞
1
3
– –
(3)2 1.0 V i xớ ≠2 ta có y’ = 1-
2
( 2) m x− ;
Hàm s có c c đ i c c ti u ố ự ự ể ⇔phương trình (x – 2)2 – m = (1) có hai nghi mệ
phân bi t khác ệ ⇔ >m
0.25
V i m > phớ ương trình (1) có hai nghi m là: ệ 1
2
2 2
2 2
x m y m m
x m y m m
= + ⇒ = + +
= − ⇒ = + − 0.25
Hai m c c tr c a đ th hàm s A(ể ự ị ủ ị ố 2− m; 2+ −m m); B( 2+ m; 2+ +m m)
Kho ng cách t A B t i d b ng nên ta có phả ằ ương trình: 2− −m m = − +2 m m
0.25
0 m m
=
⇔ =
Đ i chi u u ki n m = tho mãn tốnố ế ề ệ ả V y ycbt ậ ⇔ m =
0.25
II 2.0
1 Gi i phả ương trình ( ) ( )
2
cos cos
2 sin sin cos
x x
x
x x
−
= +
+ 1.0
ĐK: sinx+cosx≠0 0.25
Khi PT ⇔ −(1 sin2x)(cosx− =1) sin( + x) (sinx+cosx) ⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x+sinx+sin cosx x) =0 ⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x) (1 sin+ x) =0
0.25 sin
cos x
x = −
⇔ = − (tho mãn u ki n)ả ề ệ 0.25
2
x k
x m
π π
π π
= − +
⇔
= +
(k m, ∈Z)
V y phậ ương trình cho có nghi m là: ệ 2
x= − +π k π x= +π m2π (k m, ∈Z)
0.25
2 Gi i phả ương trình: 7−x2+x x+ =5 3 2− x x− (x∈¡ ) 1.0
2
2
3
7
x x PT
x x x x x
− − ≥
⇔
− + + = − −
0.25
2
3 2( 2) x x
x x x
− − ≥
⇔
+ = − +
(4)
3
0
2 x x
x x
x
− ≤ ≤
⇔ ≠
+
+ = −
( )( )
2
1 16 x
x x
− ≤ <
⇔ + − =
0.25
⇔ = −x
V y phậ ương trình cho có m t nghi m x = - ộ ệ 0.25 III Tính tích phân
3
0
3 3
x
dx
x x
− + + +
∫ 1.0
Đ t u = ặ
1
x+ ⇒u − = ⇒x udu dx= ; đ i c n:ổ ậ
3
x u
x u
= ⇒ =
= ⇒ =
0.25
Ta có:
3 2
2
0 1
3
(2 6)
3
3
x u u
dx du u du du
u u u
x x
− = − = − +
+ + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ 0.25
( 2 )
1
2 6 ln
1
u u u
= − + + 0.25
3 6ln
2
= − + 0.25
IV 1.0
D ng ự DH ⊥MN =H
Do (DMN) (⊥ ABC) ⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC t di n đ u nên ứ ệ ề H tâm tam giác đ u ề ABC
0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
2 12
3
DH = DA −AH = − =
Di n tích tam giácệ AMN . .sin 600
2
AMN
S = AM AN = xy
0.25
Th tích t di n ể ứ ệ D AMN AMN 12
V = S DH = xy 0.25
Ta có: SAMN =SAMH +SAMH
0 0
1 1
.sin 60 sin 30 sin 30 2xy 2x AH y AH
⇔ = +
⇔x y+ =3 xy 0.25
V 1.0
Trước h t ta có: ế ( )
3
3
4 x y
x +y ≥ + (bi n đ i tế ổ ương đương) ⇔ ⇔ (x y− ) (2 x y+ )≥0 0.25 Đ t x + y + z = a Khi ặ ( ) ( ) ( )
3 3
3
3
64 64
4P x y z a z z t 64t
a a
+ + − +
≥ = = − + 0.25
D
A
B C
H
(5)(v i t = z
a , 0≤ ≤t 1)
Xét hàm s f(t) = (1 – t)ố 3 + 64t3 v i tớ ∈[ ]0;1 Có
( )2 [ ]
2
'( ) 64 , '( ) 0;1 f t = t − −t f t = ⇔ = ∈t L p b ng bi n thiênậ ả ế
0.25
( )
[ ]0;1
64 inf
81
t
M t
∈
⇒ = ⇒ GTNN c a P ủ 16
81 đ t đạ ược x = y = 4z > 0.25
VI.a 2.0
1 1.0
Do B giao c a AB BD nên to đ c a B nghi m c a h :ủ ộ ủ ệ ủ ệ 21
2 21 13;
7 14 13 5
5 x
x y
B
x y
y =
− + =
⇔ ⇒
− + =
=
0.25
L i có: T giác ABCD hình ch nh t nên góc gi a AC AB b ng góc gi a AB vàạ ứ ữ ậ ữ ằ ữ BD, kí hi u ệ nAB(1; 2);− nBD(1; 7);− nAC( ; )a b
uuur uuur uuur
(v i aớ 2+ b2 > 0) l n lầ ượt VTPT c a cácủ
đường th ng AB, BD, AC Khi ta có: ẳ cos(nAB,nBD) = cos(nAC,nAB)
uuur uuur uuur uuur
2 2
3
2
2
7
a b
a b a b a ab b b
a = −
⇔ − = + ⇔ + + = ⇔
= −
0.25
- V i a = - b Ch n a = ọ ⇒ b = - Khi Phương trình AC: x – y – = 0, A = AB ∩ AC nên to đ m A nghi m c a h :ạ ộ ể ệ ủ ệ
1
(3; 2)
2
x y x
A
x y y
− − = =
⇒ ⇒
− + = =
G i I tâm hình ch nh t I = AC ọ ữ ậ ∩ BD nên to đ I nghi m c a h :ạ ộ ệ ủ ệ
1 5;
7 14 2
2 x x y
I
x y
y = − − =
⇔ ⇒
− + =
=
Do I trung m c a AC BD nên to đ ể ủ ộ ( )4;3 ; 14 12; 5
C D
0.25
- V i b = - 7a (lo i AC không c t BD)ớ ắ 0.25
2 1.0
Phương trình tham s c a dố ủ d2 là:
1 2
: ; :
2
x t x m
d y t d y m
z t z m
= − + = +
= + = − +
= + = −
0.25 Gi s d c t dả ắ t i M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) c t ắ t i N(2 + m ; - + 5m ; - 2m)
MN
(6)Do d ⊥ (P) có VTPT nuurP(2; 1; 5)− − nên∃k MN: =knp ⇔
uuuur uur 2
3
2
m t k
m t k
m t k
+ − =
− + − = −
− − − = −
có nghi mệ 0.25
Gi i h tìm đả ệ ược 1 m t
= =
Khi m M(1; 4; 3) ể ⇒Phương trình d:
1
x t
y t
z t
= +
= −
= −
tho mãn tốnả 0.25
VII.a Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i)ầ ự ủ ố ứ n , bi t r ng n ế ằ ∈ N th a mãn phỏ ương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) =
1.0
Đi u ki n: ề ệ n N n
∈ >
Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = ⇔ log4(n – 3)(n + 9) =
0.25
⇔ (n – 3)(n + 9) = 43 ⇔ n2 + 6n – 91 =
13 n n
= ⇔ = − V y n = 7.ậ
0.25
Khi z = (1 + i)n = (1 + i)7 = (1+i) ( 1 +i)23 = +(1 i).(2 )i = +(1 ).( ) 8i − i = − i
0.25
V y ph n th c c a s ph c z 8.ậ ầ ự ủ ố ứ 0.25
VI.b 2.0
1 1.0
Gi s ả B x y( ;B B)∈ ⇒d1 xB = − −yB 5; ( ;C x yC C)∈ ⇒d2 xC = −2yC+7
Vì G tr ng tâm nên ta có h :ọ ệ
3
B C B C
x x
y y
+ + =
+ + =
0.25 T phừ ương trình ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) 0.25 Ta có BG(3;4)⇒VTPT nBG(4; 3)−
uuur uuur
nên phương trình BG: 4x – 3y – =
0.25 Bán kính R = d(C; BG) =
5 ⇒phương trình đường trịn: (x – 5)
2 +(y – 1)2 = 81
25 0.25
2 1.0
Ta có phương trình tham s c a d là: ố ủ
2
x t
y t
z t
= +
= − +
= − −
⇒to đ m M nghi m c a hạ ộ ể ệ ủ ệ
3 2
2
x t
y t
z t
x y z = +
= − +
= − −
+ + + =
(tham s t)ố
(1; 3;0) M
⇒ −
0.25
L i có VTPT c a(P) ủ nuurP(1;1;1), VTCP c a d ủ uuurd(2;1; 1)−
uur uur uur 0.25
(7)G i N(x; y; z) hình chi u vng góc c a M ọ ế ủ ∆, đóMN xuuuur( −1;y+3; )z Ta có MNuuuur vng góc v i uuur∆nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 =
L i có Nạ ∈(P) MN = 42 ta có h : ệ
2 2
2 11
( 1) ( 3) 42 x y z
x y z
x y z
+ + + = − + − =
− + + + =
Gi i h ta tìm đả ệ ược hai m N(5; - 2; - 5) N(- 3; - 4; 5)ể 0.25 N u N(5; -2; -5) ta có pt ế : 5
2
x− y+ z+
∆ = =
−
N u N(-3; -4; 5) ta có pt ế :
2
x+ y+ z−
∆ = =
−
0.25
VII.b
Gi i h phả ệ ương trình 14( ) 2
1
log log
( , ) 25
y x
y x y
x y
− − =
∈
+ =
¡
1.0
Đi u ki n: ề ệ
0 y x y
− > >
0.25
H phệ ương trình 4( ) 4
2 2 2
1
log log log
4
25 25 25
y x y x
y x
y y y
x y x y x y
− −
− + = − = − =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + =
0.25
2
2 2
3
3
25
25 25
10
x y
x y x y
y
x y y y
=
= =
⇔ ⇔ ⇔ =
+ = + =
0.25
( ) ( )
15
; ;
10 10 15
; ;
10 10 x y
x y
=
⇔
= − −
V y h phậ ệ ương trình cho vơ nghi mệ .
0.25
N u thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà v n đế ẫ ược m t ng ph n nhể ừ ầ ư
đáp án quy đ nh.ị
(8)