Đang tải... (xem toàn văn)
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN-THẠCH THẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN THI: TỐN 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,5 điểm) Giải phương trình
cos 2x=2sin x+4 cosx Câu (4,5 điểm)
a Giải hệ phương trình :
2
2
2 2
xy x y x y
x y y x x y
+ + = −
− − = −
b Tính giới hạn
2
2020(2021 ) 2020 lim
1
x
x I
x
→
− −
=
−
Câu (3,0 điểm) a Tìm hệ số
x khai triển nhị thức Niu-tơn
15
2
2x x
−
b Cho đa giác lồi ( )H có 30 đỉnh A A1 2 A30 Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh ( )H Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác (H)
Câu (3,0 điểm) Cho dãy số ( )un xác định bởi: ( )
1
7
2
n n
n
u
n u
u
u
+
=
+
=
+
a Gọi ( )vn dãy số xác định
2
n n
n
u v
u
− =
+ Chứng minh dãy số ( )vn
cấp số nhân lùi vô hạn
b Tính giới hạn dãy số ( )un Câu (5,0 điểm)
a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC SD, M N, (M khác ,S C N khác ,S D Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức T AB BC
MN SK
= − có
giá trị khơng đổi
b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a, mặt bên hình vng Gọi M N E, , trung điểm cạnh AB AA A C, ', ' ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A B C ' ' ' mặt phẳng (MNE)
Câu (2,0 điểm) ) Cho , ,x y z số thực dương thỏa mãn x+ + =y z Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2
xy yz zx
P
xy z yz x zx y
= + +
+ + +
- Hết -
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: ……… … Số báo danh:………
(2)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN THẠCH THẤT
-ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC: 2020-2021
MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câ
u
Nội dung Điể
m 1 Giải phương trình sau:
2
cos 2x=2sin x+4 cosx
2.5
cos 2x=2sin x+4 cosx
2
2
2 cos 2(1 cos ) cos cos cos
3 cos
2 cos
2
x x x
x x
x x
− = − +
− − =
=
= −
1.5
+ cos
x= (vô nghiệm)
+ cos 2 ,
2
x= − = x +k k
KL: Vậy phương trình có nghiệm 2 ,
x= +k k
1.0
2.a
a Giải hệ phương trình : ( )
( )
2
2
2 2
xy x y x y
x y y x x y
+ + = −
− − = −
2.0
ĐK: x1; y0
( ) 2
1
( ) ( ) ( )( )
( )( )
0
2
xy y x y x y
y x y x y x y x y
x y y x y
x y
x y
+ + + = −
+ + + = − +
+ + − + =
+ =
= +
0.5
0.5 +) x+ =y (Loại x1; y0)
+) x=2y+1 vào (2) ta
(2 1) 2 2
2 ( 1) 2
( 1)( 2)
1
2 2
y y y y y y
y y y
y y
y
y y
+ − = + −
+ = +
+ − =
= −
= =
+) Với y= −1 ( )L
+) Với y= =2 x 5(TM)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ( )x y; = 5;2
0.5
0.5
(3)2.b Tính giới hạn
2
2020(2021 ) 2020 lim
1
x
x I
x
→
− −
=
− 2,5
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2
1
2
1 2
2020 2021 2020
2020(2021 ) 2020
lim lim
1 1 2020(2021 ) 2020
2020 2020
lim lim
2
1 2020(2021 ) 2020 2020(2021 ) 2020
x x
x x
x x
I
x x x
x x
x x x
→ →
→ →
− −
− −
= =
− − − +
− − − −
= = = = −
− − + − +
1.0
1.5
3.a Tìm hệ số x9 khai triển nhị thức Niutơn
15
2
2x x
−
1.5
( )
( )
15 15
15
2
15 15
15 30
15
3
2
.2
k k
k k
k
k k k
k
x C x
x x
C x
−
=
− −
=
− = −
= −
Hệ số
x khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 3− k = =9 k Hệ số
x khai triển
15
2
2x x
−
là:
7 7
15.2 ( 3) 15.2
C − = −C
0.5
0.5 0.5
3.b
Cho đa giác lồi (H)có 30 đỉnh A A1 2 A Gọi X tập hợp tam 30 giác có đỉnh đỉnh (H) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác (H)
1.5
Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác (H)là:
30 4060
C =
Số phần tử không gian mẫu n( ) =C40602
Gọi A biến cố: ’’Hai tam giác chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác ( )H ”
+)Số tam giác có cạnh cạnh (H): - Chọn cạnh đa giác (H) có
30 C
- Chọn 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh chọn (H) có 26 C
Số tam giác có cạnh cạnh (H) 1
30 26 780 C C =
780 780 4060 ( )
247 ( )
6699 n A C
C P A
C
=
= =
KL: Vậy xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác (H) 247
6699
0.5
0.5
(4)4
Cho dãy số ( )un xác định bởi: ( )
1
7
2
n n
n
u
n u
u
u
+
=
+
=
+
a Gọi ( )vn dãy số xác định
n n
n
u v
u
− =
+ Chứng minh dãy số
( )vn cấp số nhân lùi vơ hạn
b Tính giới hạn dãy số ( )un
3.0
Ta có:
1
1
7
2
2
7
1 1 9 3
2
n
n n n n
n n
n
n n n
n u
u u u u
v v
u
u u u
u +
+
+
+ −
− + − −
= = = = =
+
+ + + +
+
Suy 1
n n
v+ = v Vậy ( )vn cấp số nhân với công bội 1
1
1
,
3
u
q v
u
−
= = =
+
Vì q 1 nên ( )vn cấp số nhân lùi vô hạn.
1.0
1.0
+)
1
1
1 1
3 3
n n
n n
v v q
−
−
= = =
limvn =0
Ta có 2
1
n n
n n
n n
u v
v u
u v
− +
= =
+ −
Do lim lim2
1
n n
n
v u
v
+
= =
−
0.5
0.5
5a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC SD, lần lượt M N, Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức
AB BC T
MN SK
= − có giá trị khơng đổi
(5)Ta có
+)
( )
( ) (AB )
MN SCD MN AB CD
AB CD
=
+) SK (SAD) (SBC) SK AD BC AD BC
=
Từ suy ra:
AB CD CS
MN MN MS
BC CM
SK SM
= =
=
1
AB BC CS CM MS
MN SK MS SM MS
− = − = =
0.5
0.5
0.5
0.5
5b Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a, mặt bên hình vng Gọi M N E trung điểm , , cạnh AB AA A C, ', ' ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A B C ' ' ' bởi mặt phẳng (MNE)
3.0
*) Dựng thiết diện
0.5 K
S
N
M
D
C B
A
H M
N
E
F J I
C' B'
A'
B
(6)Trên (ACC A' ') gọi ; ' AI=C'J=a NEAC=I NECC = J
Trên (ABC) gọi =a
4 IM BC=H BH
Trên (BCC B' ') gọi ' ' '=a HJB C = F FC Thiết diện ngũ giác MNEFH
1.0
0.5
Tính diện tích thiết diện
2
2 2
3 3 3 18
3 ; ( ) ( ) ;
4 4 4
a a a a a a
IH = MH = = HJ = + = IJ =
HIJ
vuông H
EFJ
IHJ HIJ
2
IHJ MNI JEF IJ
2 1
;
.IJ 3 3
2 3 15
3 4 16
MNI
MNEFH H
S IM IN S JE JF
S IH S JI JH
a a a
S S S S S
= = = = = =
= − − = = =
0.5
0.5
6 Cho x y z số thực dương thỏa mãn , , x+ + =y z 2 Tìm giá trị lớn
của biểu thức:
2 2
xy yz zx
P
xy z yz x zx y
= + +
+ + +
2.0
Ta có:
( ) ( )( )
2
xy xy xy x y
xy z xy z x y z x z y z x z y z
= = +
+ + + + + + + +
Đẳng thức xảy x y x y
x z y z
= =
+ +
Tương tự :
2
yz y z
yz x y x z x
+
+ + + Đẳng thức xảy =y z
2
zx z x
zx y z y x y
+
+ + + Đẳng thức xảy =z x
1
2 2 2
xy yz zx x y y z z x
P
xy z yz x zx y x y y z z x
+ + +
= + + + + =
+ + + + + +
Dấu xảy
3
x= = =y z
Vậy max
2
P =
3 x= = =y z
0.5
0.5
0.5
0.5
Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án