Đang tải... (xem toàn văn)
Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân khẳng định sự tồn tại nguyên hàm của các hàm liên tục.[r]
(1)Chương 3
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
(2)Nội dung
1 Tích phân
Bài tốn tính diện tích – Định nghĩa tích phân Định lý vi tích phân
Nguyên hàm
Đổi biến tích phân phần – Tính tích phân
2 Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng loại I Tích phân suy rộng loại II Các tiêu chuẩn hội tụ
3 Ứng dụng tích phân
(3)(4)(5)(6)Định nghĩa tích phân
Định nghĩa tích phân
Cho f hàm xác định [a,b], ta chia [a,b] thành n
khoảng với độ rộng ∆x = (b−a)/n Gọi
x0(=a) < x1 < x2 < · · · < xn(=b) đầu mút của khoảng Trên khoảng ta lấy
xi∗ ∈ [xi−1,xi] Thì tích phân (xác định) f từ a tới b định nghĩa là:
Z b
a
f(x)dx = lim n→∞
n
X
i=1
f (xi∗)∆x
nếu tồn
(7)Ký hiệu dx nói lên x biến độc lập Bản thân
dx ký hiệu tích phân khơng mang nghĩa Cho nên:
Z b
a
f(x)dx =
Z b
a
f(u)du =
Z b
a
(8)Các tính chất tích phân
Z b
a
kdx = k(b−a) với c số
Z a
b
f(x)dx = −
Z b
a
f(x)dx;
Z a
a
f(x)dx = Cho f,g khả tích [a,b], k ∈ R đó:
1
Z b
a
[f(x) +kg(x)]dx =
Z b
a
f(x)dx +k Z b
a
g(x)dx
2 Nếu c ∈ (a,b) f khả tích khoảng [a,c] [c,b] Và đó:
Z b
a
f(x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
(9)3 Nếu f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a,b]
Z b
a
f(x)dx ≥ Suy f(x) ≥ g(x),∀x ∈ [a,b]
Z b
a
f(x)dx ≥
Z b
a
g(x)dx
4 Hàm |f| khả tích
Z b
a
|f(x)|dx ≥
Z b a
f(x)dx Định lý
(10)Định lý vi tích phân
Định lý vi tích phân 1
Cho f liên tục [a,b], đặt: F(x) =
Z x
a
f(t)dt
(a ≤x ≤ b) Thì F liên tục [a,b], khả vi (a,b)
và F0(x) = f(x)
Ví dụ: Tính đạo hàm
1 F(x) =
Z x
0 p
1+ t2dt.
2 F(x) =
Z x4
1
dt
(11)Định lý vi tích phân 2 (Cơng thức Newton - Leibnitz)
Cho f liên tục [a,b], thì:
Z b
a
f(x)dx = F(b)−F(a)
Trong F nguyên hàm f, nghĩa
F0(x) =f(x)
Ví dụ:
Tính
Z π/4
0
(12)Nguyên hàm
F gọi nguyên hàm f F0 = f Định lý phép tính vi tích phân khẳng định tồn nguyên hàm hàm liên tục Nếu F ngun hàm f ngun hàm G f có dạng G(x) = F(x) +C Tập nguyên hàm f ký hiệu là:
Z
f(x)dx
(13)Bảng số nguyên hàm
1
Z
xa dx = x a+1
a+1 +C, với a 6= −1
Z dx
x = ln|x|+ C
3
Z
ex dx = ex + C
4
Z
ax dx = a x
lna +C
5
Z
sinx dx = −cosx + C
6
Z
(14)7
Z dx
cos2x = tanx +C
8
Z dx
sin2x = −cotx + C
9
Z
dx
√
1−x2 = arcsinx +C
10
Z
dx
√
a2 −x2 = arcsin x
a
+C, a >
11
Z dx
1+ x2 = arctanx +C
12
Z
dx a2 + x2 =
1
aarctan x
a
(15)Đổi biến
Quy tắc đổi biến cho tích phân bất định
Cho u = g(x) hàm khả vi, miền giá trị I,
f liên tục I Khi đó:
Z
f(g(x))g0(x)dx =
Z
f(u)du
Nhờ công thức mà người ta xem dx vi phân
Ví dụ: Tính
1
Z
x3cos(x4 +2) dx
2
Z
(16)Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định
Giả sử g0 hàm liên tục [a,b] f liên tục miền xác định u = g(x) Khi đó:
Z b
a
f(g(x))g0(x)dx =
Z g(b)
g(a)
f(u)du
Ví dụ: Tính
3
Z
1
dx
(3−5x)2
4
Z e
1
lnx x dx
5
Z π/3
0
etanx
(17)Giả sử f liên tục [−a,a], ta có:
1 Nếu f chẵn (nghĩa f(−x) =f (x))
Z a
−a
f (x)dx =
Z a
0
f(x)dx
2 Nếu f lẻ (nghĩa f(−x) = −f (x))
Z a
−a
(18)Tích phân phần
Từ cơng thức đạo hàm tích, ta có cơng thức sau
Z
f(x)g0(x)dx = f (x)g(x)−
Z
g(x)f0(x)dx
hay
Z
udv = uv −
Z vdu
Ví dụ: Tính
1
Z
(2x −1)cos(3x) dx
2
Z
lnx dx
3
Z
(19)Áp dụng công thức Newton-Leibnitz ta được:
Z b
a
f (x)g0(x)dx = f(x)g(x)|ba −
Z b
a
g(x)f0(x)dx
hay
Z b
a
udv = uv|ba −
Z b
a
vdu
Ví dụ: Tính
4
Z
0
arctanx dx
Z
0
(20)Một số ví dụ
1
Z
sin5xcos2x dx
2
Z √
9−x2
x2 dx
3
Z dx
x2√x2 −9, với x >
4
Z
dx x2√x2 +4
5
Z
2
x3 +x x −1 dx
Z
x +5