Hội tụ tuyệt đối – Tiêu chuẩn trị tuyệt đối Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert).. Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) Một số bài tập.[r]
(1)Chương 5
LÝ THUYẾT CHUỖI Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
(2)Nội dung
1 Chuỗi số hội tụ – Chuỗi hình học Parn Các tiêu chuẩn hội tụ
Tiêu chuẩn tích phân – Chuỗi P
1/np Các tiêu chuẩn so sánh
Chuối đan dấu - Tiêu chuẩn Leibnitz
Hội tụ tuyệt đối – Tiêu chuẩn trị tuyệt đối Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert)
Tiêu chuẩn số (của Cauchy) Một số tập
3 Chuỗi hàm
Chuỗi hàm - miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ, khoảng hội tụ
(3)Chuỗi số
Cho dãy số {an}∞n=1, biểu thức a1 +a2 + · · ·+ an+ gọi chuỗi số
Ký hiệu: ∞
P
n=1
an Pan
Ví dụ
Với an = n, ta có chuỗi ∞
X
n=1
n = 1+ 2+3+ 4+· · ·+n+ Với an = 21n, ta có chuỗi
∞ X
n=1 2n =
1 +
1 +
1
8 +· · ·+
(4)Tổng riêng phần - Tổng chuỗi
Các tổng riêng phần chuỗi P
an định nghĩa là:
s1 = a1, s2 = a1 +a2, s3 = a1 +a2 +a3,
sn = a1 +a2 +a3 +· · ·+ an
Nếu lim
n→∞sn = s, ta nói P
an có tổng s viết ∞
X
n=1
an = s Như ∞
X
n=1
an = lim
n→∞sn = nlim→∞
n X
i=1 ai
Ví dụ Tính riêng phần tổng (nếu có) chuỗi:
1
∞ P
n=1
n
∞ P
n=0
3n
∞ P
n=1
(−1)n
(5)Chuỗi số hội tụ
Nếu tổng chuỗi
∞ P
n=1
an tồn hữu hạn, ta nói
chuỗi hội tụ Ngược lại,
∞ P
n=1
an = ±∞ tổng chuỗi ∞
P
n=1
an không tồn tại, ta nói chuỗi phân kỳ
Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau
1 Các chuỗi số Ví dụ 2
∞ X
n=1
1
n(n+1) ∞ X
k=1
(6)Chuỗi hình học
Cho a 6= 0,r ∈ R, chuỗi hình học chuỗi số có dạng
∞ X
n=0
arn = a+ ar +ar2 +
Với giá trị a r chuỗi hình học hội tụ? Nếu |r| < chuỗi hình học hội tụ,
∞
X
n=0
arn = a
1−r
(7)(8)Ví dụ Các chuỗi số sau có hội tụ khơng? Tính tổng (nếu có)
1
∞ X
n=0
22n31−n 4−
3 + 16
9 − 32
27 +· · ·
Ví dụ Tính tổng chuỗi
∞ X
n=1
xn, với |x| <
Ví dụ Viết số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau
đây thành dạng phân số 2.317= 2.3171717 0.9= 0.99999
(9)Các tính chất
TC1 Nếu P
an hội tụ lim
n→∞an =
Chú ý Chiều ngược lại chưa Nếu lim
n→∞an =
thì P
an hội tụ, phân kỳ
Ví dụ dãy 1/n →0 P
1/n phân kỳ (đọc thêm)
(Kiểm tra phân kỳ) Nếu lim
n→∞an không tồn lim
n→∞an 6= chuỗi ∞
P
n=1
an phân kỳ
Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số
∞ X
n=1
(10)TC2 Nếu chuỗi P
an, P
bn hội tụ chuỗi P
can (c ∈ R), P(an +bn) P(an −bn)
hội tụ, và: a)
∞ P
n=1
can = c ∞ P
n=1 an
b)
∞ P
n=1
(an+bn) = ∞ P
n=1 an +
∞ P
n=1 bn
c)
∞ P
n=1
(an −bn) = ∞ P
n=1 an −
∞ P
n=1 bn
Ví dụ Tính tổng (nếu có) chuỗi
∞ X
n=1
2
n(n+1) +
1 3n