Đang tải... (xem toàn văn)
→ Nếu tổng bậc của các trị riêng nhỏ hơn n thì không. chéo hóa được[r]
(1)Chương 4
TRỊ RIÊNG, VÉC-TƠ RIÊNG & DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng
(2)Nội dung
1 Chéo hóa ma trận
Đa thức đặc trưng Trị riêng, vector riêng Chéo hóa ma trận
2 Dạng toàn phương
Dạng toàn phương
(3)Đa thức đặc trưng
Cho A ∈ Mn, ta gọi đa thức đặc trưng A đa thức:
pA(x) = det(xIn −A)
Ví dụ:
1 Xét A =
3 −1
2 −1
2
Tìm đa thức đặc trưng A
2 Cho P khả nghịch, chứng tỏ rằng: A P−1AP có
(4)Trị riêng, vector riêng
Cho A ∈ Mn
Ký hiệu: [v] tọa độ v ∈ Rn trong sở tắc
Vector v ∈ Rn (v 6= 0) gọi vector riêng A
tồn λ ∈ R cho: A[v] = λ[v]
Khi ta nói λ trị riêng A Và v
vector riêng ứng với trị riêng λ
λ trị riêng A nghiệm đa thức đặc trưng pA(x)
(5)Không gian riêng
Tập vector v ∈ Rn thỏa: A[v] = λ[v] không gian vector Rn Ký hiệu: E(λ)
Nếu λ trị riêng A E(λ) gọi khơng gian
con riêng ứng với trị riêng λ
Ví dụ:
1 Tìm sở, số chiều cho khơng gian riêng
của A ví dụ
2 Tìm sở, số chiều cho khơng gian riêng
của B =
2 −1 −1
−1 −1
−1 −1
(6)Chéo hóa ma trận vuông
Ma trận vuông A∈ Mn gọi chéo hóa tồn
ma trận khả nghịch P ∈ Mn cho P−1AP ma trận
đường chéo
P−1AP gọi dạng chéo ma trận A
A chéo hóa tồn sở Rn gồm
toàn vector riêng A
Nếu λ nghiệm bội m pA(x) m ≥ n = dimE(λ)
Gọi λ1, λ2, , λk tất trị riêng khác
A Đặt ni = dimE(λi), đó:
(7)Thuật tốn chéo hóa ma trận Tìm đa thức đặc trưng, xác định trị riêng λi
→ Nếu tổng bậc trị riêng nhỏ n khơng
chéo hóa
2 Tìm sở Bi cho khơng gian riêng E(λi) tương ứng
→ Nếu tổng số chiều khơng gian riêng nhỏ
hơn n khơng chéo hóa
3 Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk, đặt
P = P(B0 → B)
→ Thì: P−1AP ma trận chéo, với phần tử