Bài giảng toán a2 chương 3 ths huỳnh văn kha

Chương KHÔNG GIAN VECTOR Huỳnh Văn Kha Đại Học Tơn Đức Thắng Tốn A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 / 23 Nội dung Một số khái niệm Khái niệm không gian vector, kg vector Không gian sinh tập hợp Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở, số chiều, hạng hệ vector Tọa độ Tọa độ vector, ma trận chuyển sở Tích vơ hướng, sở trực chuẩn Tích vơ hướng Cơ sở trực chuẩn trực giao hóa Gram-Schmidt Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Không gian vector, kg vector Cho tập V = ∅, V có phép tốn: cộng (+) nhân với số thực Nếu hai phép toán thỏa tính chất sau ta nói V không gian vector: ∀u, v , w ∈ V ; ∀h, k ∈ R Giao hoán: u + v = v + u Kết hợp: (u + v ) + w = u + (v + w ) Tồn phần tử cho: u + = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V : u + (−u) = h(ku) = (hk)u (h + k)u = hu + ku h(u + v ) = hu + hv 1.u = u Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Ví dụ: Tập ma trận Mm×n với phép cộng ma trận phép nhân số với ma trận kg vector Tập Rn với phép cộng nhân: (x1 , , xn ) + (y1 , , yn ) = (x1 + y1 , , xn + yn ) k (x1 , , xn ) = (kx1 , , kxn ) lập thành không gian vector Cho V kg vector, W ⊂ V , W = ∅ Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W ku ∈ W Thì ta nói W khơng gian vector V Ký hiệu: W ≤ V Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Ví dụ: Xét xem W có khơng gian vector V không? V = R2 , W = {(x, 0) : x ∈ R} V = R2 , W = {(x, 1) : x ∈ R} V = R3 , W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R} V = Rn , W tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn số: AX = (với A ∈ Mm×n ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Không gian sinh tập hợp Cho V kgvt S = {u1 , u2 , , un } ⊂ V Với k1 , k2 , , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un tổ hợp tuyến tính vector u1 , u2 , , un Gọi W tập tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , , un W khơng gian vector V Ta nói W sinh S hay S sinh W Ký hiệu: W = S = u1 , u2 , , un Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Ví dụ: Xét W = u1 , u2 , u3 ≤ R4 , với u1 = (2, 0, −1, 3), u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1) Các vector v1 = (−2, 3, 7, −6), v2 = (2, 1, 1, 1) có thuộc W khơng? Tìm điều kiện để v = (a, b, c, d ) ∈ W Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 / 23 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cho V kgvt, S = {u1 , u2 , , un } S gọi độc lập tuyến tính với k1 , k2 , , kn ∈ R, ta có: k1 u1 + k2 u2 + · · · + kn un = kéo theo k1 = k2 = · · · kn = Nếu S khơng độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1 , u2 , u3 } có độc lập tuyến tính khơng? u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1, −3, 1), u3 = (−5, 6, 4) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Cơ sở số chiều Không gian vector V gọi n chiều V có n vector độc lập tuyến tính, họ lớn n vector V phụ thuộc tuyến tính n gọi số chiều V , ký hiệu: dim V = n Một họ n vector độc lập tuyến tính khơng gian n chiều sở khơng gian Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Ví dụ: Không gian Rn = {(x1 , , xn ) : x1 , , xn ∈ R} có số chiều  n; có sở B0 = {e1 , e2 , , en }, e = (1, 0, , 0)    e2 = (0, 1, , 0) với:    en = (0, 0, , 1) Ta gọi sở tắc Rn B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có sở R3 khơng? Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Chú ý Tập S ⊂ V sở V khi: S sinh V , nghĩa là: S = V , S độc lập tuyến tính Nếu S sở V thì: dim V = số phần tử S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 10 / 23 Hạng hệ vector; sở, số chiều S Trong kgvt V , cho hệ S = {u1 , u2 , , un } ⊂ V Khi đó, số chiều S gọi hạng S, ký hiệu: rank S Nếu S thu cách: Đổi chỗ phần tử S Nhân vector S với số khác Thay vector S tổng với α lần vector khác S Thì S = S Để tìm sở, số chiều S , ta làm sau: Sắp vector S thành hàng Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng, đưa ma trận bậc thang Suy sơ sở, số chiều (hạng S) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 11 / 23 Ví dụ: Trong R4 , xét S = {u1 , u2 , u3 , u4 }, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0, −2, 0, 1), u3 = (3, −1, 9, 2), u4 = (−1, −7, −3, −3) Tìm sở số chiều cho S Trong R4 , xét B = {v1 , v2 , v3 , v4 }, với v1 = (2, −1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1, −1), v3 = (−2, −2, −8, 3), v4 = (2, −7, 5, 1) Tìm sở số chiều cho B Chú ý: S độc lập tuyến tính khi: rank(S) = số vector S Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 12 / 23 Cơ sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Dùng pp Gauss giải hệ, suy sở, số chiều Ví dụ:  Tìm  x1 2x1  2x1  x    2x1 3x1    2x1 + + + − + − − sở, số chiều không gian nghiệm hệ: 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 2x2 x2 2x2 5x2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) + − − + x3 x3 x3 x3 − + + − x4 2x4 x4 2x4 Chương 3: Không gian vector + − − + x5 3x5 2x5 2x5 = = = = 0 0 Toán A2 - MS: C01002 13 / 23 Cơ sở số chiều không gian số hạng tự để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Dùng cách sau: Xem kg sinh vector cột ma trận hệ số Dùng phương pháp Gauss Ví dụ: Tìm sở, số chiều không gian W = {(a, b, c, d , e) : hệ có nghiệm}  x1 + x2 + 2x4 = a      2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b x1 + 3x2 + 5x4 = c   3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d    2x + 8x − 4x + 2x = e Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 14 / 23 Tọa độ Cho B = {e1 , e2 , , en } sở kgvt V Khi đó, ∀u ∈ V , ∃!(k1 , k2 , , kn ) ∈ Rn cho: u = k1 e1 + k2 e2 + · · · + kn en   k1 k2   Tọa độ u B là: [u]B =    kn Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 15 / 23 Ví dụ: Tìm tọa độ u = (x1 , x2 , , xn ) sở tắc Rn Chứng tỏ B = {u1 = (2, 3, 3), u2 = (−1, −1, −3), u3 = (1, 2, 3)} sơ sở R3 Tìm tọa độ u = (−1, 0, 0) B a)Chứng tỏ S = {v1 = (1, −1, 1, 1), v2 = (2, −2, 3, 0), v3 = (3, −3, 4, 3)} sở W = S ≤ R4 b) Chứng tỏ v = (−1, 1, −2, 3) ∈ W Tìm [v ]S   −1 c) Biết [w ]S =   Xác định w Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 16 / 23 Ma trận chuyển sở Cho B, B = {e1 , e2 , , en } sở kgvt V Khi ma trận chuyển sở từ B sang B định nghĩa là: P(B → B ) = ([e1 ]B [e2 ]B · · · [en ]B ) Các tính chất: P(B → B) = In P(B → C) = P(B → B )P(B → C) P(B → B ) = [P(B → B)]−1 [v ]B = P(B → B )[v ]B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 17 / 23 Ví dụ: Cho B0 sở tắc R3 B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2, −3)} Chứng tỏ B, C sở R3 Tìm P(B0 → B), P(B → B0 ), P(B → C), P(C → B) Cho u = (−2, 1, 3) Tìm [u]B   −2 Cho [v ]C =  −1  Tìm [v ]B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 18 / 23 Tích vơ hướng Tích vơ hướng kgvt V ánh xạ: V ×V → R (u, v ) → u, v thỏa: ∀u, u1 , u2 , v ∈ V , ∀k ∈ R u1 + u2 , v = u1 , v + u2 , v ku, v = k u, v u, v = v , u u, u > u = 0; u, u = u = Chuẩn hay độ dài vector u là: u = Nếu u = 1, ta nói u vector đơn vị Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector u, u Tốn A2 - MS: C01002 19 / 23 Ví dụ: Khơng gian Rn khơng gian có tích vơ hướng, với tích vơ hướng định nghĩa: u = (x1 , x2 , , xn ), v = (y1 , y2 , , yn ) u, v = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Chuẩn ứng với tích vơ hướng nói trên: u = u, u = x12 + x22 + · · · + xn2 BDT Cauchy-Schwarz: | u, v | ≤ u v BDT tam giác: | u − v | ≤ u + v ≤ u + v Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 20 / 23 Trực giao, trực chuẩn Xét khơng gian có tích vơ hướng V : u, v ∈ V gọi trực giao nếu: u, v = Hệ vector u1 , u2 , , un ∈ V gọi trực giao ui , uj = 0, ∀i = j Hệ vector u1 , u2 , , un ∈ V gọi trực chuẩn hệ trực giao gồm tồn vector đơn vị Cơ sở trực giao (trực chuẩn) sở mà vector tạo thành hệ trực giao (trực chuẩn) Hệ trực giao khơng chứa vector độc lập tuyến tính Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 21 / 23 Trực giao hóa Gram-Schmidt Cho {u1 , u2 , , un } sở kgvt V Ta xây dựng sở trực giao {v1 , v2 , , } cho V sau: v = u1 ; u2 , v1 v = u2 − v1 ; v1 , v1 u3 , v1 u3 , v2 v1 − v2 ; v = u3 − v1 , v1 v2 , v2 n−1 un , v i = un − vi vi , vi i=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 22 / 23 Ví dụ: Xét S = {u1 = (2, 3, 6), u2 = (5, −3, 8), u3 = (8, 5, 3)} Chứng tỏ S sở R3 Sử dụng q trình trực giao hóa Gram-Schmidt, từ S, xây dựng sở trực chuẩn cho R3 Cho u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0), u3 = (−1, 0, 0, 1), S = {u1 , u2 , u3 } Hãy xây dựng sở trực chuẩn cho kgvt W = S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 23 / 23 ... 4x2 − x3 + 5x4 = b x1 + 3x2 + 5x4 = c   3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d    2x + 8x − 4x + 2x = e Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Toán A2 - MS: C01002 14 / 23 Tọa... Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 11 / 23 Ví dụ: Trong R4 , xét S = {u1 , u2 , u3 , u4 }, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0, −2, 0, 1), u3 = (3, ... , un Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Khơng gian vector Tốn A2 - MS: C01002 / 23 Ví dụ: Xét W = u1 , u2 , u3 ≤ R4 , với u1 = (2, 0, −1, 3) , u2 = (0, 1, 2, −1), u3 = (2, 2, 3, 1)