Bài giảng toán a2 chương 2 ths huỳnh văn kha

Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Huỳnh Văn Kha Đại Học Tơn Đức Thắng Tốn A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10 Nội dung Các khái niệm chung Phương pháp Gauss Hệ Hệ Cramer Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính  a x + a12 x2 + +    11 a21 x1 + a22 x2 + +    am1 x1 + am2 x2 + + hệ có dạng: a1n xn a2n xn amn xn = = = b1 b2 bm Trong đó: xi ẩn số, aij hệ số, bj hệ số tự Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10 Đặt:     x1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n  , X = x.2 , B = A =     ··· ··· ··· ···  am1 am2 · · · amn xn Thì hệ viết lại: AX = B Ta gọi: A ma trận hệ số X ma trận ẩn B ma trận hệ số tự A = (A|B) ma trận hệ số mở rộng  b1 b2    bm Một nghiệm vector (c1 , · · · , cn ) ∈ Rn mà thay x1 = c1 , , xn = cn tất phương trình thỏa Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 / 10 Phương pháp Gauss Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A = (A|B) dạng bậc thang Suy nghiệm Ví dụ: Giải hệ sau  −2x1 − x2 + 2x3 + x4 =     x1 + x2 + x4 =  −x1 + x2 + 4x3 = −1 1)   −x1 − 2x3 = −2    − x2 − 2x3 + x4 =  x1 + 2x2 − x3 = −2    −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2) −x1 + x3 + x4 =    2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 3)  2x1 + 7x2 − x3 = −1 Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B) Ta có: Nếu r(A) < r A hệ vơ nghiệm Nếu r(A) = r A = n hệ có nghiệm Nếu r(A) = r A < n hệ vơ số nghiệm Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10  3x1      2x1 −x1 4)   2x1    −x + + − + 4x2 6x2 2x2 4x2 − 6x3 − 14x3 + 4x3 − 8x3 − 2x3 − − + − + 7x4 5x4 4x4 5x4 3x4 = −18 = −13 = 11 = −13 = Nếu A ∈ Mn thì: hệ có nghiệm ⇔ r (A) = n ⇔ det(A) = Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Toán A2 - MS: C01002 / 10 Hệ Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự Hệ ln có nghiệm X = Nghiệm gọi nghiệm tầm thường Nghiệm khác gọi nghiệm không tầm thường Hệ AX = có khả sau: Hệ có nghiệm ⇔ hệ có nghiệm tầm thường ⇔ r (A) = số ẩn Hệ có vơ số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm khơng tầm thường ⇔ r (A) < số ẩn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10 Suy ra: số phương trình nhỏ số ẩn hệ có nghiệm khơng tầm thường Nếu A ∈ Mn hệ có nghiệm khơng tầm thường khi: r (A) < n ⇔ det(A) = Ví dụ: giải hệ  x    3x1 4x1    3x1 sau + + + + Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) 2x2 5x2 5x2 8x2 + + − + 4x3 6x3 2x3 24x3 − − + − Chương 2: Hệ pt tuyến tính 3x4 4x4 3x4 19x4 = = = = 0 0 Toán A2 - MS: C01002 / 10 Hệ Cramer Hệ Cramer hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác Cách giải hệ Cramer AX = B: PP1: Dùng phương pháp Gauss PP2: X = A−1 B PP3: Dùng công thức Cramer Thay B vào cột thứ i A, gọi ma trận Ai Thì: det Ai xi = det A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C01002 / 10 Ví dụ: 1) Giải hệ sau   x1 + 3x2 + 7x3 = 2x1 + x2 + 2x3 =  −7x1 + x2 + 4x3 = 2) Giải biện luận hệ sau theo tham số   mx1 + x2 + x3 = x1 + mx2 + x3 =  x1 + x2 + mx3 = Huỳnh Văn Kha (Khoa Tốn – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính m m m2 Toán A2 - MS: C01002 10 / 10 ... −2x1 − x2 + 2x3 + x4 =     x1 + x2 + x4 =  −x1 + x2 + 4x3 = −1 1)   −x1 − 2x3 = ? ?2    − x2 − 2x3 + x4 =  x1 + 2x2 − x3 = ? ?2    −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2) −x1 + x3 + x4 =    2x1...   2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C010 02 / 10   x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 3)  2x1 + 7x2 − x3 = −1... nghiệm Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Hệ pt tuyến tính Tốn A2 - MS: C010 02 / 10  3x1      2x1 −x1 4)   2x1    −x + + − + 4x2 6x2 2x2 4x2 − 6x3 − 14x3 + 4x3 − 8x3 − 2x3