Bài giảng toán a2 chương 4 ths huỳnh văn kha

Chương TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG & DẠNG TOÀN PHƯƠNG Huỳnh Văn Kha Đại Học Tơn Đức Thắng Tốn A2 - MS: 501002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Nội dung Chéo hóa ma trận Đa thức đặc trưng Trị riêng, vector riêng Chéo hóa ma trận Dạng tồn phương Dạng tồn phương Dạng tắc dạng tồn phương Đưa dạng tồn phương dạng tắc Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Đa thức đặc trưng Cho A ∈ Mn , ta gọi đa thức đặc trưng A đa thức: pA (x) = det(xIn − A) Ví dụ:   −1 Xét A =  2 −1  2 Tìm đa thức đặc trưng A Cho P khả nghịch, chứng tỏ rằng: A P −1 AP có đa thức đặc trưng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Trị riêng, vector riêng Cho A ∈ Mn Ký hiệu: [v ] tọa độ v ∈ Rn sở tắc Vector v ∈ Rn (v = 0) gọi vector riêng A tồn λ ∈ R cho: A[v ] = λ[v ] Khi ta nói λ trị riêng A Và v vector riêng ứng với trị riêng λ λ trị riêng A nghiệm đa thức đặc trưng pA (x) Ví dụ: Tìm trị riêng ma trận A ví dụ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Không gian riêng Tập vector v ∈ Rn thỏa: A[v ] = λ[v ] không gian vector Rn Ký hiệu: E (λ) Nếu λ trị riêng A E (λ) gọi khơng gian riêng ứng với trị riêng λ Ví dụ: Tìm sở, số chiều cho khơng gian riêng A ví dụ Tìm sở,  số chiều cho  không gian riêng −1 −1 B =  −1 −1  −1 −1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Chéo hóa ma trận vng Ma trận vng A ∈ Mn gọi chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P ∈ Mn cho P −1 AP ma trận đường chéo P −1 AP gọi dạng chéo ma trận A A chéo hóa tồn sở Rn gồm toàn vector riêng A Nếu λ nghiệm bội m pA (x) m ≥ n = dim E (λ) Gọi λ1 , λ2 , , λk tất trị riêng khác A Đặt ni = dim E (λi ), đó: A chéo hóa n1 + n2 + · · · + nk = n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Thuật tốn chéo hóa ma trận Tìm đa thức đặc trưng, xác định trị riêng λi → Nếu tổng bậc trị riêng nhỏ n khơng chéo hóa Tìm sở Bi cho khơng gian riêng E (λi ) tương ứng → Nếu tổng số chiều không gian riêng nhỏ n khơng chéo hóa Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk , đặt P = P(B0 → B) → Thì: P −1 AP ma trận chéo, với phần tử đường chéo trị riêng A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Ví dụ: Các ma trận sau có chéo khơng? Nếu có, chéo hóa Các ma trận ví dụ −1 2 , 3   −1  −6 −4  −6 −6   −3 −1  −7 −1  −6 −2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Tốn A2 - MS: 501002 / 14 Dạng tồn phương Một dạng toàn phương Rn ánh xạ Q : Rn → R có dạng: Q (x1 , x2 , , xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn +a22 x22 + 2a23 x2 x3 + + ann xn2     x1 a11 a12 · · · a1n  a12 a22 · · · a2n   x2     A = Đặt: X =  ,  ··· ··· ··· ···    a1n a2n · · · ann xn Thì Q (x1 , x2 , , xn ) = X AX Ta gọi A ma trận dạng toàn phương Q Chú ý: A ma trận đối xứng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Ví dụ: Cho dạng tồn phương Q (x1 , x2 , x3 ) = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3 Xác định ma trận dạng toàn phương Q Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Dạng tắc dạng tồn phương Cho dạng toàn phương Q(X ) = [X ]B0 A[X ]B0 Nếu tồn sở B Rn cho: Q(X ) = [X ]B D[X  ]B Với D ma  trận chéo: a1  a2   D=   0 an Thì Q (X ) = a1 y1 + a2 y22 + + an yn2 , với [X ]B = y1 y2 yn Và ta gọi dạng dạng tắc dạng tồn phương Q Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 10 / 14 Đưa dạng tắc Dùng ma trận trực giao Ma trận P gọi ma trận trực giao P −1 = P Nếu A đối xứng tồn ma trận trực giao P cho P −1 AP ma trận đường chéo Đặt X = PY Q(X ) = Y (P −1 AP)Y Chú ý: Để tìm P thỏa yêu cầu trên, ta tiến hành chéo hóa A (như phần trên) Sau có sở B gồm tồn vector riêng A, ta tiếp tục trực chuẩn hóa (bằng Gram-Schmidt) để biến B thành sở trực chuẩn C P = P(B0 → C) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 11 / 14 Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc Q = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3 Q = 2x2 x3 + 2x3 x1 + 2x1 x2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 12 / 14 Dùng phương pháp Lagrange Gom số hạng chứa x1 lại với nhau: a11 x12 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn a12 a1n = a11 x12 + x1 x2 + + x1 xn a11 a11 a12 a1n = a11 x1 + x2 + + xn a11 a11 a12 a1n −a11 x2 + + xn a11 a11 a12 a1n Đặt y1 = x1 + x2 + + xn , a11 a11 Q = a11 y12 + Q1 với Q1 có n − biến Và tiếp tục Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 13 / 14 Chú ý: Nếu a11 = ta xét x2 trước Nếu a11 = a22 = · · · = ta xét tích chéo x1 = y1 + y2 Chẳng hạn xét a12 , đặt: x2 = y1 − y2 Thì: x1 x2 = y12 − y22 Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc Q = 2x12 + x22 + 17x32 − 4x1 x2 + 12x1 x3 − 16x2 x3 Q = x1 x2 − 2x1 x3 + 2x1 x4 − x2 x4 − 4x3 x4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 14 / 14 ... 17x32 − 4x1 x2 + 12x1 x3 − 16x2 x3 Q = x1 x2 − 2x1 x3 + 2x1 x4 − x2 x4 − 4x3 x4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 14 / 14 ... → C) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 11 / 14 Ví dụ: Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc Q = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3... xứng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 / 14 Ví dụ: Cho dạng toàn phương Q (x1 , x2 , x3 ) = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3