Phương trình vi phân

trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích [r]

KHÁI NIỆM CHUNG

Trong thực tế nghiên cứu phụ thuộc lẫn đối tượng, nhiều thiết lập

trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số đối tượng đó, mà thiết lập mối liên hệ đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, với đạo hàm tích phân hàm số chưa biết

Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ viết

dạng phương trình có chứa đạo hàm, phương trình vi phân

ĐỊNH NGHĨA

Phương trình mà có xuất biến số độc lập, hàm cần tìm đạo hàm (hay vi phân) gọi chung phương trình vi phân

Ví dụ.

( ' ) ' 0 ; dy 2

y y x x y xy

dx

+ - = =

( )

( , , ', , , n ) 0

CẤP CỦA PTVP

Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình

Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng:

Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng:

( , , ') 0 ' ( ),

F x y y = hay y = f x y

( )

( , , , , , n )

F x y y y¢ ¢¢ y =

VÍ DỤ

Nêu cấp PTVP sau:

( )

( ) ( )

2 2

) ' '

) 1

) '' '

a y y x x y

b x dx x y dy

c y xy xy

+ - =

+ + - =

-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP

Một bể chứa 20 kg muối hòa tan 5000 lít nước

Nước muối chứa 0,03 kg muối lít đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch trộn kỹ

khỏi bể với tốc độ Sau 30 phút bể cịn lại muối?

VÍ DỤ

Gọi y(t) lượng muối bể vào thời điểm t Ta có y(0)=20

Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200

Đây tốc độ thay đổi khối lượng muối y(t) Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200

MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1 Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mơ dân số Mơ hình tốn học giả định trên?

MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2 Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số + Khi tăng đến mức K dân số giảm (hoặc giảm K dân số tăng K)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng:

Trong đó:

- F xác định miền G thuộc R3

- x biến độc lập, y hàm cần tìm

( , , ') 0 , , dy 0

F x y y hay F x y

dx

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ ữ=

ữ

ỗố ứ

NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1

Nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát dạng ẩn (tích phân tổng quát)

Nghiệm riêng

NGHIỆM TỔNG QUÁT Dạng:

Thỏa mãn PTVP với giá trị C

Với điểm ta tìm C0 cho

12

( , )

y = j x C

( )

NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN Tên khác: tích phân tổng quát

NGHIỆM RIÊNG

Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát với số C0 xác định gọi nghiệm riêng

Nghiệm riêng: Tích phân riêng:

NGHIỆM KỲ DỊ

PTVP CẤP THƯỜNG GẶP PT biến số phân ly

PT biến số phân ly PT đẳng cấp cấp

PT tuyến tính cấp PT Bernoulli

PT vi phân toàn phần

PT BIẾN SỐ PHÂN LY Dạng: g(y)dy=f(x)dx

Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x Ta có:

Ví dụ

( ) ( ) ( ) ( )

g y dy = f x dx Û G y = F x +C

ò ò

2

2

x

ydy dx

x

=

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

Dạng 1.

Cách giải:

Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa dạng biến số phân ly Xét riêng giá trị f1(x)g2(y)=0

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

f x g y dy = g y f x dx

VÍ DỤ

Giải phương trình:

Đáp án:

Nghiệm tổng quát:

Nghiệm: y=-1 Nghiệm: x=1

( ) ( ) ( )

2 1 1 1 0

x y + dx + x - y - dy =

3

1 ln 1 2ln 1

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

Dạng 2.

Cách giải:

Đặt z=ax+by

Đưa phương trình biến số phân ly dx, dz

( )

y¢= f ax by+

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp số:

3

y¢= x y

-1

3 3

x

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP CẤP 1 Dạng:

Cách giải: Đặt t=y/x

Đưa dạng biến số phân ly

y y f

x

       

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp án: 2 2 x y y xy + ¢= 2 1 y

x C y x C x

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 Dạng phương trình:

trong p(x), q(x) hàm liên tục khoảng (a,b) nào đó.

Nếu q(x)=0 ta có phương trình Nếu ta có phương trình khơng

( ) ( )

y¢+ p x y = q x

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

B1 Giải phương trình

B2 Giải phương trình không phương pháp biến thiên số

B3 Công thức nghiệm tổng quát:

( ) 0

y¢+ p x y =

( ) ( ) ( )( 0)

y¢+ p x y q x q x= ¹

( )

( ) ( )

p x dx p x dx

y =e- ũ ổỗỗ q x eũ dx C+ ÷ư÷÷

VÍ DỤ

Cho phương trình vi phân:

A) Giải phương trình

B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1

Đáp số:

Nghiệm tổng quát: Nghiệm riêng:

1

2

y y x

x

¢- =

2

2

y = x +Cx

2

2

y = x - x

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp số:

2

2 x

y¢+ xy = xe

-( 2 ) x2

-PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Dạng phương trình:

Cách giải:

Chia hai vế phương trình cho

Đặt ta có:

( ) ( )

y¢+ p x y = q x ya

1

z = y - a (1 )

1

z

z a y y hay y ya a

a

- - ¢

¢= - ¢ ¢=

PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Chú ý:

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Đáp số:

Nghiệm tổng quát:

Nghiệm kì dị: y=0

2

y xy- ¢= y

x y

x C

=

+

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN Dạng:

Điều kiện:

Nghiệm tổng quát:

 ,   ,  0

M x y dx N x y dy 

M N y x                  0 0 , , ,

, , , y

y x

x y

y x

u x y M x y dx N x y dy C

u x y M x y dx N x dy C

  

  

 

VÍ DỤ 1

Giải phương trình vi phân:

Ta có:

32

 3x2 6xy dx2   6x y2 4y dy3  0

   

 ,   3 6   ,   6 4  12

M x y x xy N x y x y y

M N

xy

y x

   

 

 

VÍ DỤ 1

Nghiệm tổng quát phương trình:

   2   

0

, 3 6 0 4

y x

x y x xy dx y dy C

      

3 3 2

VÍ DỤ 2

Giải phương trình vi phân:

34

   

   

   

2

2

) 1 3 0

) .cos sin cos 0

a x y dx x y dy

b xy xy xy dx x xy dy

     

THỪA SỐ TÍCH PHÂN

Xét phương trình vi phân dạng:

Nếu phương trình chưa có dạng phương trình vi phân tồn phần ta tìm hàm cho phương trình:

Là phương trình vi phân tồn phần

 ,   ,  0

M x y dx N x y dy 

 x y M x y dx,  .  ,   x y N x y dy,  .  ,  0

VÍ DỤ

Giải phương trình sau:

Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng

Chú ý:

Thừa số tích phân khó tìm Ta tìm dạng đặc biệt hay

Sinh viên khơng cần trình bày cách tìm thừa số TP

36  2xy2 3y dx3   7 3xy dy2  0

VÍ DỤ

Giải ptvp sau

   

 

2 2

2

) tan ln 0 ) 2 1; 0 1

) 0 ) ln ; 1 1

1

) 2 1 2 )

3

a ydx x xdy b y x y y

y

c x y y xy x d xy y y

x x y

e y xy x f y

BÀI TẬP 1

BÀI TẬP 3

BÀI TẬP 5

BÀI TẬP 6

BUỔI 2

6.3 Ứng dụng phương trình vi phân bậc

ỨNG DỤNG PTVP CẤP 1

Phân tích định tính phương pháp đồ thị Tìm hàm số biết hệ số co giãn

Mơ hình điều chỉnh giá thị trường

PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Xét phương trình vi phân cấp dạng:

Đồ thị pha (đồ hình pha)

Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y trục tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y)

Đồ thị gọi đường pha

46

 

dy

ĐỒ THỊ PHA

Tại điểm trục hồnh y’ dương nên y tăng theo thời gian, y từ trái sang phải

Tại điểm trục hồnh y’ âm nên y giảm theo thời gian, y từ phải sang trái

ĐỒ THỊ PHA – DẠNG 1

Trạng thái cân ổn định động

• Tại điểm

trục hồnh y từ trái sang phải

• Tại điểm

trục hoành y từ phải sang trái

• Tại giao điểm với

ĐỒ THỊ PHA – DẠNG 2

Trạng thái cân không ổn định

• Tại điểm

trục hồnh y từ trái sang phải

• Tại điểm

trục hoành y từ phải sang trái

• Tại giao điểm với

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH

50 y

0

y

0

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG KHÔNG ỔN ĐỊNH

y

0

y

0

NHẬN XÉT

Tính ổn định trạng thái cân phụ thuộc dấu đạo hàm điểm cân

Trạng thái cân ổn định động khi:

52

  0

VÍ DỤ

Xét mơ hình ptvt tuyến tính cấp 1:

Ta có:

Trạng thái cân ổn định động khi:

0

TÌM Y(X) BIẾT HỆ SỐ CO GIÃN

Ta có:

Giả sử:

Ta có pt vi phân sau:

54

'

.

x y

y dy x

x

y dx y

     x y x       ' x y x y dy

x x dx

y y x



VÍ DỤ 1

Biết hệ số co giãn hàm cầu theo giá:

Tìm hàm cầu QD biết

Đáp số:

2

5 2

D

P Q

P P

Q

  

2

650 5

VÍ DỤ 2

Biết hệ số co giãn hàm cầu:

Tìm hàm cầu QD biết

56

2

2000 2

D

P Q

P

P

  

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Giả sử hàm cầu, hàm cung loại hàng hóa cho bởi:

Điểm cân thị trường:

Nếu giá ban đầu thị trường cân Cịn khơng thị trường đạt giá cân sau trình điều chỉnh

;

D s

Q    p Q    p

p  

 

 

  0

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Trong trình điều chỉnh, Qs, Qd p thay đổi

theo t (biến thời gian)

Giả sử theo thời gian t, giá p(t) thời điểm t tỷ lệ với độ chênh lệch cầu cung thời điểm

Nghĩa là:

Với k>0 số

58

     

' d s

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Từ ta có:

Do đó:

   

   

'

p t k p p

k p k p p

                                       

0

ln . ln

. k t k t

dp

k dt p p k t C

p p

p p C e p p Ce

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Với t=0, ta có giá thời điểm ban đầu:

Vậy:

Dễ thấy:

60

 0  0

p  p C  C p  p

   0 k t0

p t p  p p e 

    

       

0

lim lim 0 k t 0

t p t t p p p e p k



   

 

NHẬN XÉT BIẾN ĐỘNG CỦA P(T) THEO T

Nếu giá ban đầu p(0) cao giá cân P(t) hàm giảm theo t và

Nếu giá ban đầu p(0) thấp giá cân P(t) hàm tăng theo t và

Như trường hợp với thời gian giá sẽ trở với giá điểm cân Do điểm cân thị trường có tính chất ổn định động

 

lim

t  p t p

 

lim

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Ví dụ: Cho:

Tìm thời gian t cho:

62

 

1 ; 2 ; 0, 2; 0 0, 4

d s

Q   p Q   p k  p 

1%

GIẢI Ta có:

Vậy:

   

0 0, 2 3 1; 0,6

k k      p 

 

0 1

. 0 .

5

k t k t t

p p C e  p p e  e

     

1

0,01 0,05 ln 0,05 5

ln 20 3

t t

p p e e t

t

 