Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 MƠN: TỐN, KHỐI A
Câu I
1 Khi m = => y = x3 – 2x2 + TXĐ D = R
Giới hạn:
( )
( )
3
3
lim lim
lim lim
x x
x x
y x x
y x x
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
= − + =
= − + =
−∞ +∞ Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 4x
( )
' 4
3
x
y x x
x
= ⎡ ⎢
= ↔ − = ↔
⎢ = ⎣
+ Vậy hàm sốđồng biến khoảng (-∞, 0) U (4/3, +∞) nghịch biến khoảng (0, 4/3) + Tọa độđiểm cực đại (0, 1) điểm cực tiểu 4,
3 27 −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Bảng biến thiên:
Đồ thị: x y y’
-∞ 4/3 +∞
0
+ +
1
5 27
−
-∞
(2)Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Trang 2 Hồnh độ giao điểm (C) với Ox nghiệm phương trình:
x3 – 2x2(1-m)x + m =
Ù (x – 1)(x2 – x– m) =
Ù (x – 1)g(x) =
Để (C) cắt Ox điểm phân biệt x1; x2; x3 =1 thì:
1
0
(1)
(1) 0
0
g m m
g m
m ⎧ Δ > + > > − ⎧ ↔⎧ ↔⎪ ⎨ ≠ ⎨− ≠ ⎨
⎩ ⎩ ⎪ ≠⎩
Mặt khác, ta có: ( )2
2 2
1 2
x +x +x = x +x − x x +
Áp dụng định lí Viet ta có
1 2 2
1
1
1
1 (2)
x x
x x x m m
x x m
+ = ⎧
⇒ + + = + + < ⇒ < ⎨ = −
⎩
Kết hợp (1) (2) =>
0
1
m m ≠ ⎧ ⎪ ⎨
− < <
⎪⎩ thỏa mãn
Câu II
1 Điều kiện 2 (1) tanx -1 x
-4
x k
x k
k
π
π π π
π π
⎧ ≠ +
⎧ ≠ + ⎪
⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨
⎪ ≠ ⎪ ≠ +
⎩ ⎪⎩
Phương trình ( )( )
( )
s inx cos s inx cos cos
cos
2 s inx cos
x x x
x x
+ + +
⇔ =
+
( )
2 s inx cos 1 sinx 2sin
2 sinx
2
6 sinx
2 7
2
x x
x k
x k k
x k
π π
π π
π π
⇔ + + =
⇔ + + − =
⎡ = + ⎢
= ⎢
⎡
⎢ ⎢
⇔ ⇔⎢ = − +
⎢ = − ⎢ ⎣
⎢ = + ⎢⎣
Z
∈
So sánh với (1) ta có nghiệm là: ( )
6
2
x k
k Z
x k
π π
π π
⎡ = − + ⎢
∈ ⎢
⎢ = + ⎢⎣
(3)2 Điều kiện x ≥
Ta thấy: ( ) ( ) ( )
2
2 3
2 2 1
2 2
x − + =x ⎛⎜x− ⎞⎟ + ≥ > ⇒ x − + > ⇒ −x x − + <x
⎝ ⎠
2 0
Vậy bất phương trình 1 2( 1) 1 2( 1)
x x x x x x x x
⇔ − ≤ − − + ⇔ − ≤ − − +
Ta lại có: 2( 1) 2 3 2 2 0 16
x x
⎛ − + ⎞+ >
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x − + − =x x x − x+ =
( )
( )
2
2
2
x x x
x x x
⇒ − + >
⇒ − − + <0 ⇒x− < ⇒ <1 x (1)
=> Bất phương trình: ( 1)2 ( 2( )
x− ≥ x− )
2
x − +x
( )
2 2 1 2 2 2 2 1
x x x x x x x x
⇒ − + ≥ + − + − − +
( )
2 2x x x x x
⇔ − + ≥ + +
( )
2
2
2
3
x x x
x x x
0
x x
⇔ − − + ≤
⇔ = − +
⇔ − + =
3
x ±
⇔ =
So sánh điều kiện (1)
x −
⇒ =
Câu III
( )
( ) ( )
1 2 1
2
0 0
1
3
0
1
2
1 2
1 1
ln ln ln
3
1
ln
3
x
x x
x x
x
d e
x e x e
I dx x dx
e e
x e e
e
+ + +
= = +
+ +
= + + = + ⎡⎣ + − ⎤⎦ +
= +
∫ ∫ ∫
Câu IV
Do: ( ) .
3
S CDNM CDNM
SH ⊥ ABCD ⇒V = SH S
Ta có: 2
8
CDNM ABCD AMN BCM
a a a
S =S −S −S =a − − =
2
(4)Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Trang Vậy:
2
1 5
3 24
S CDNM
a a
V = a =
) Mặt khác ta lại có:
(
CN MD
MD SCN
SH MD
⊥
⎧ ⇒ ⊥
⎨ ⊥
⎩ H
Qua H dựng HK ⊥SC (K∈SC)
HK đoạn vng góc chung SC DM
Ta tính HK:
Ta có: 2 12 12 12 12 52
a DH a
DH =CD +ND =a + =a ⇒ =
5
2
2 2 .
5
a a
HC CD HD a
⇒ = − = − =
2
2 2 2
1 1 1 19
4 12 19
5
a HK a
HK = HC +SH = + a = a ⇒ =
7
Câu V.Điều kiện: 3;
4
x≤ y≤
Đặt 2 ;( 0) 2
u
y u u y −
− = ≥ ⇒ =
Thế vào phương trình thứ (4 1) (4 1) (*
x x u u
⇒ + = + )
Đặt ( ) (4 1) '( ) 12 1 0 ( )
f t = t + t⇒ f t = t + > ⇒ f t đồng biến
(*) ⇒ x = u
Thế vào phương trình thứ hai ( )
2
2
4
2
u
g u u ⎛ − ⎞ u
⇒ = +⎜ ⎟ + − =
⎝ ⎠
( ) ( )
' 8 (*
2
u
g u u u
u −
= + ⋅ ⋅ − −
− *)
( )
32 0
4
u u do u x
u
⎛ ⎞
= − − < ⎜ ≤ = ≤ ⎟
− ⎝ ⎠
⇒ g(u) nghịch biến, mà
g⎛ ⎞ =⎜ ⎟
(5)⇒ (**) có nghiệm
1
2
2 2
x u
y ⎧ = ⎪ = ⇒ ⎨
⎪ = ⎩
Câu VI.a
1 Ta có: d1∩d2 =O( )0;0
Đặt
AB c
BC a
CA b
= ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩
Do cos os ( 1; 2) 1 2.2
AOC c d d −
∠ = ∠ = =
0
3
60
a BC R
AOC BAC b AC R
c AB R
⎧ = =
⎪
⇒ ∠ = = ∠ ⇒⎨ = =
⎪ = =
⎩
2
2 3
1
4 2
3
abc R
S R
R R
a BC
b AC
c AB
⇒ = = = = ⇒ =
⎧ = =
⎪
⇒⎨ = =
⎪ = =
⎩
R
Xét ΔABC ΔOAC có chung 0 ΔABC đồng dạng với ΔOAC
90
C
A B
∠ ⎧
⇒ ⎨
∠ = ∠ = ⎩
1.2
3
AB BC AB AC
OA
OA AC BC
⇒ = ⇒ = = =
Gọi ( )
2
;
3
3
0 0
A a a OA a
a
a a
⎧
⎧ − = =
⎪ ⇒⎪ ⇒
⎨ ⎨
>
⎪ ⎪
⎩ ⎩ >
=
Phương trình đường thẳng qua 3;
A⎛⎜⎜ − ⎞
⎝ ⎠⎟⎟ vng góc với d1 là: ( )
3
3 : 3
3
x y x y
⎛ ⎞
− − + = ⇔ Δ − − =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C giao điểm Δ d1 Tọa độ C nghiệm hệ:
3
;
3
x y
C
x y
⎧ − − = ⎛ ⎞
⎪ ⇒ − −
⎨ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6)Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Trang => tâm I có tọa độ ; 3;
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝2 ⎠
A C A C
x +x y +y −
⎛ ⎞ =
⎝ ⎠
⎜ ⎟
=> Phương trình là:
2
1
1 2
x y
⎛ + ⎞ +⎛ + ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2.Gọi α góc Δ (P) Ta có: cosα =cos(nJJG JJGP;uΔ)
JJG
Mà ( )
( )
1; 2; 2; 1; p
n uΔ
⎧ = − ⎪
⎨
= − ⎪⎩JJG
( ) ( ) 1.2 1 1 os
6 6
c α + − + −
⇒ = =
Nhưng MH = MC.cosα
=> ( ( )) 1 6
MH =d M → P = ⋅ =
Câu VII.a
( ) (2 ) ( )( )
2 2 2 5
z= +i − i = + i − i = + i→ = −z i
⇒ Phần ảo z −
Câu VI.b
1 Gọi trung điểm M AC M(a, – a) C(2a – 6, – 2a) H trung điểm MN
Phương trình (AH):
1 – (x – 6) – 1(y – 6) = nên (AH): x – y = Tọa độđiểm H nghiệm hệ phương trình:
( )
2;
x y
H
x y
− =
⎧ ⇒
⎨ + − = ⎩
Suy N(4 – a; a) HN = HM nên B(2 – 2a; 2a – 6)
Ta có:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0; , 4;0
1
4 6; , 2;
CE AN a a a a
B C
a
a B C
= ⇒ − − − + − − = − −
⎡ = ⎡
⇒⎢ = ⇒ ⎢
− −
⎣ ⎢⎣ JJJG JJJG G
0 E(1; -3)
A(6; 6)
M N
C B
(7)2 Ta có Δđi qua Mo(-2; 2; -3) uJJGΔ =(2; 3; 2)
( ) (
( )
)
2; 2; 7; 2;10
49 100
3
o o
o
M A M A u
M A u d A
u
Δ
Δ
Δ
⎡ ⎤
⇒ = − ⇒⎣ ⎦= − −
⎡ ⎤ + +
⎣ ⎦
⇒ → Δ = = =
+ + JJJJJG JJJJJG JJJG
JJJJJG JJJG JJJG
Ta gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống BC => H tiêu điểm BC
2
BC Bh
⇒ = =
2 32 42
R AH BH
⇒ = + = + =5
5
Vậy phương trình mặt cầu là: ( )2
2 2 2
x +y + +z =
Câu VII.b
( )
( ) (
3
1 8
4
1
4
4 4 8
i
z i
i i
z i
z iz i i i i i
− −
= = = − −
− −
⇒ = − +
⇒ + = − − + − + = − − = − − ) ⇒ Modul z+izlà
Giáo viên: Tổ Toán Hocmai.vn