Theo chương trình chuẩn Câu VI.a.[r]
(1)GỢI Ý ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn Tốn, khối A
-PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y x 3 2x2(1 m x m) (1), m tham số thực. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
Khi m = hàm số y x 3 2x21 Tập xác định :
Chiều biến thiên : ' 3 4
y x x
'
0,( 1)
0 4 5
,( )
3 27
x y
y
x y
lim , lim
x y x y Bảng biến thiên:
Cực trị : ymax 1 x0
5 27
y
4
x
Đồ thị :
Điểm uốn :y'' 6 x 4 triệt tiêu đổi dấu
2
x
, đồ thị có điểm uốn
2 11 ; 27
U
Giao với trục: x 0 y1 Đồ thị cắt trục tung điểm 0;1
3
0 1; =
2
y x x x x
Đồ thị cắt trục hồnh ba điểm có hoành độ
1 1,
2
(2)Vẽ đồ thị
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ 1, ,2
x x x thỏa mãn điều kiện 2
1
x x x
Phương trình xác định hồnh độ giao điểm đồ thị với trục hoành là: 2 (1 )x + m = 0 (1)
x x m
Biến đổi tương đương phương trình này:
3
2
(1) -
x(x 1) (x-1)=0 x(x-1) (x-1) =
x x x mx m
x m
m
(x-1).(x(x-1)-m) = (x-1)(x x-m) =
x=1
x x-m=0 (2)
Yêu cầu toán thực (2) có hai nghiệm phân biệt x x1, 21 thỏa mãn điều kiện:
2 2
1
1 x x 4 (3)
Điều kiện để (2) có nghiệm phân biệt khác là:
1
( )
1 0
m m
a
m m
Theo Viet ta có: x1x2 1, x x1 2 m nên
22
(3)
( )
x x x x
m
m b
Tổng hợp điều kiện (a) (b) ta giá trị cần tìm m là:
1
0;
4 m m
(3)Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
1 sin os2x sin
1
4 cos
1 tan
x c x
x x
Điều kiên:
cos sin
tan
x x
x
Ta có
1
sin (sin cos ) cos (tan 1)
4 2
x x x x x
Phương trình cho viết lại thành
1 sin 2sin2 cos tan 1
2 cos
1 tan
x x x x
x x
2sin2 xsinx 1
sin
1 sin
1
2 sin
2
x
x x
(do điều kiệnsinx1)
x=
6 ,
7
x=
6
k
k m Z m
.
2 Giải bất phương trình
1
1 2( 1)
x x
x x
Ta có
2
2 3
2( 1) ,
2 2
x x x x R
Do 1 2(x2 x1) 0
Với điều kiện x0, bất phương trình cho tương đương với
2(x2 x1)x x1
Ta thấy x0 không thỏa mãn bất phương trình nên x0 Vì chia vế BPT cho x 0 ta được:
1
2(x 1) x
x x
Đặt
2
1 1
2
t x t x x t
x x
x
, bất phương trình viết lại thành 2(t21) t
(4)
2 2
2
1
2( 1) ( 1)
1
1 ( 1)
1
1
2
2
t t
t t t t
t
t t
x x x x
x x
Câu III (1,0 điểm)
Ta có:
2
2
2
1 2
1 2
x x
x x x
x x x
x e e
x e x e e
x
e e e
Do tích phân cần tính là:
1 2 1
2
0 0
2
1 2
x x x
x x
x e x e e dx
I dx x dx
e e
1
1
0
1
3 2
x x
d e
x
e
1
ln
x
e
1 1 ln
3
e
Đáp số :
1 1 ln
3
e
I
Câu IV (1,0 điểm)
(5)
2
2
2
gt
( +dt )
1
2 2 2
4 8
S CDMN CDMN
SH ABCD
V SH dt
dt CDMN dt ABCD dt BCM AMN
a a a
a a
a a
a a
vậy
2
1 5
3
3 24
S CDMN
V a a a
2 Tính khoảng cách đuờng thắng DM CS theo a
2 2
2 2 5
2
a a a
CN CD ND a CN
Thay vào (1)
2 .
2
a a
a CH CH
Thay vào (*)
2
2
2 2
1 2 19 12
12 19
( 3)
a HK
HK a a a
12 19
a
HK
Câu V (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
4
( , )
4
x x y y
x y
x y x
(6)Điều kiện
5
5 2
3
4 y y x x
Xét (1): 4x1xy 3 2 y 0 Đặt u2x; v 2 y
3
; u v Suy 2
2 5 2 3 1.
2
v v
v y y y
(1)
2
u v
u v
3 0
u u v v
u v u uv v2 1 0
Vì
2
2 1 1 0, ,
2
v v
u uv v u u v
nên u v
Tức
2
0
2 5 4
4
2
x
x y x
x y y
Thế vào x
y
vào (2) ta phương trình
2
4
2
x
x x
4
4
4
x x x
(3) với điều kiện
3 x Kí hiệu f x vế trái (3), ta thấy
1
f
Hơn với
3 0;
4
x
ta có
'
3
f x x x
x
nên f x nghịch biến đoạn
3 0;
Và (3)
1 ( )
2
f x f
x Với x vào x
y
ta y2 Vậy hệ cho có nghiệm là:
, 2
x y
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
(7)1. Ta thấy d d1, tạo với Oy góc 300 Từ AOB60 ;0 ACB300
2
1 3
2 2
ABC
S AB BC AB AB AB
2
;
3 3
OA AB A
4
2 ;
3
OC OA C
Đường trịn (T) đường kính AC có:
2
; ,
2
3
AC
I R
Phương trình (T):
2
1
1 2
x y
2 Viết lại phương trình dạng tham số:
x=1 2
t y t
z t
Thế vào phương trình (P) ta 1 2 t 2t t 0 t= 1 cắt (P) điểm C 1; 1; 1
(8)
2
2 2
2
2
6
2 1 2( 1)
1 +1 =0; =
MC MC
t t t
t t
t t
t t
a.Nếu t=0thì M1;0; 2 khoảng cách từ M đến (P) là:
1 1
b Nếu t2 M3; 2;0 khoản
g cách từ M0 đến (P) l à:
3 1
Đáp số :
(9)Câu VII a (1,0 điểm)
Ta có: ( 2i)2 2 2i i 2 1 2i
2
(1 2 )(1 2 ) 2
5 2
z i i
i i i
i
z i
Số phức z có phần ảo 2.
B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x y 0 Tìm tọa độ đỉnh B C biết điểm E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho
Lời giải:
Gọi là đường thẳng qua trung điểm AC AB
Ta có
6
,
2
d A
Vì là đường trung bình ABC
; ; 2.4
d A BC d A
Gọi phương trình đường thẳng BC là: x y a 0 Từ đó:
4 6
8 12 16
28
a a
a
a
Vì A nằm phía với BC và:
Nếu a28 phương trình BC x y 28 0 , trường hợp A nằm khác
(10)Đường cao kẻ từ A ABC đường thẳng qua A(6;6) vàBC:x y 4 0 nên có phương trình x y 0.
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC nghiệm hệ phương trình
0
4
x y x
x y y
Vậy H (-2;-2)
Vì BC có phương trình x y 4 0 nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a) Lại H trung điểm BC nên C(-4-a; a)
Suy ra:
5 ; ( 6; 6)
CE a a
AB a a
Vì CE AB nên AB CE 0 a 6 a5 a3 a10 0
2
2 12
6
a
a a
a
Vậy
0; 4;0
B C
hoặc
6; 2;
B C
.
Câu VI.b.2
Phương trình tham số
2 ( )
3
x t
y t
z t
Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( ) có:
(2;3; 2) P
n v
( ) :2( 0) 3( 0) 2( 2)
2
P x y Z
x y Z
Gọi y giao điểm ( ) và (P) Ta có tọa độ I nghiệm hệ:
2
2
3 2
2
x t t
y t x
z t y
x y z z
Vậy I(-2; 2; -3)
Khoảng cách từ A đến ( ) độ dài IA ( 0) 2(2 0) 2 ( 2)2 3, Viết phương trình mặt cầu:
(11)Xét ABI ta có:
2 2 32 42 25 5
AB AI BI AB
Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là: x2y2(z2)225
Câu VII.b (1,0 điểm):
Ta có:
3
(1 3i) 3 3.3 3 3 3
8
i i i
i i
3
2
(1 3) 8(1 )
4
1 1
i
z i
i i i
4 ; 4 8
8
z i iz i
z iz i
z iz