V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường tròn – Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Bài 1: Cho hai đường tròn O và O’.. Các đường thẳng MM’ , GiaoAnTieuH[r]
(1)Bµi tËp n©ng cao h×nh häc Bài tập nâng cao chương I Baøi 1: a) Tìm x vaø y moãi hình beân (a) (b) y x 25 x 10 b) Tìm x, y, z hình c (c) x y z Baøi 2: A 400 , F 580 Kẻ đường cao EI tam giác đó Cho tam giaùc DEF coù ED = cm, D Haõy tính: a) Đường cao EI b) Caïnh EF A Giaûi tam giaùc vuoâng ABC, bieát raèng A 900 , AB = 5, BC = Haõy tính caùc goùc nhoïn cuûa moät tam giaùc vuoâng, bieát tæ soá hai caïnh goùc vuoâng laø 13 : 21 Baøi 3: Cho tam giaùc ABD vuoâng taïi B, AB = cm, BD = cm Treân caïnh BD laáy ñieåm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính các góc BAD, BAC Từ các kết đó, có thể kết luận Ac là tia phân giác cuûa goùc BAD khoâng ? c) Chứng minh tam giác ADE cân D d) Chứng minh AC là tia phân giác góc BAD Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = đơn vị độ dài Gọi I, J là trung điểm cuûa AB, AD a) Tính dieän tích hình caùnh dieàu AICJ baèng caùc caùch khaùc b) Tính sinICJ Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm a) Tính AH b) Tính soá ño goùc ADC, suy soá ño goùc ABC c) Tính AC Vì ta không có hệ thức 1 ? 2 AD AC AH A = 580, AC = Bµi Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC AD BiÕt D a) Tính độ dài các cạnh AD, BC b) Chøng minh AC2 = AB.DC A 600 Keû BH AC vaø CK AB Baøi 9: Cho ABC coù A a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC là M Chứng minh MKH là tam giác µ là góc nhọn Chứng minh diện tích tam giác đó là S= Baøi Cho ABC coù A µ = 600 AB.AC.sinA Aùp duïng: a) Tính S(ABC) bieát AB = cm, AC = cm vaø A µ b) Bieát S(ABC) = (cm2), AB = cm, AC = cm Tính soá ño cuûa A GiaoAnTieuHoc.com (2) µ , B, µ C µ theo thứ tự là a, Bài 8: Cho ABC có góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc A b, c Chứng minh: a b c = = sin A sin B sin C µ = 1200 Kẻ đường phân giác AD Baøi 9: Tam giaùc ABC coù AB = cm, AC = cm, A µ Tính độ dài AD A · Baøi 10: Cho hình bình haønh ABCD ( ACD < 900 ) · a) Chứng minh : AD2 = CD2 + CA - 2CD.CA.cos ACD · = b) Neáu CD = cm, CA = cm, cos ACD thì tứ giác ABCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó µ < 900 ) Keû BK AC Baøi 11: Cho tam giaùc caân ABC ( AB = AC; A µ = 2.KBC · a) Chứng minh : A A b) Chứng minh : sin A = 2.sin cos A 2 , tính sinA µ = 900 ) Laáy ñieåm M treân caïnh AC Keû AH BM, Baøi 12: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( B · = c) Bieát sin KBC CK BM · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC · MC BH.tg BAC = MA BK µ = 600 Keû BH AC vaø CK AB Baøi 13: Cho ABC coù A b) Chứng minh : a) Chứng minh : KH = BC.cosA b) Trung điểm BC là M Chứng minh MKH là tam giác · Baøi 14: Cho tam giaùc ABC coù BC = a ACB = 450 Về phía ngoài ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG Giao điểm các đường chéo hai hình vuông là Q và N Trung ñieåm cuûa BC vaø EG laø M vaø P a) Chứng minh AEC = ABG b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông · = a Tính dieän tích hình vuoâng MNPQ theo a vaø a c) Bieát BGC Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có đỉnh nằm trên cạnh hình thoi ABCD ( M AB, N BC, P CD, Q DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo · cuûa hình thoi Bieát AB = cm tgBAC = 0, 75 a) Tính dieän tích hình thoi ABCD b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn và tính giá trị lớn đó Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH AD và CK AB a) Chứng minh CKH ~ BCA · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD · = 600 , AB = cm vaø AD = cm c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD µ = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF BC Nối AF và Baøi 17: Cho ABC ( A BE GiaoAnTieuHoc.com (3) a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF vaø BE caét taïi O Tính sin AOB Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh cm Trung điểm AB và BC theo thứ tự là M và N Nối CM và DN cắt P a) Chứng minh CM DN · b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác góc CMN · c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác góc MDN và diện tích tam giác MDN · Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, keû CE BD vaø DF AC · a) AC cắt BD O, tính sin AOD b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích nó c) Kẻ AG BD và BH AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính dieän tích cuûa noù Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường troøn taâm N baùn kính 4,8 cm, chuùng caét taïi A vaø B a) Chứng minh : 1 = + 2 MB AM AN b) Tính soá ño caùc goùc cuûa MAB µ = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt Baøi 21: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( A caùc caïnh goùc vuoâng AB vaø AC taïi M vaø N Bieát MB = 12 cm vaø NC = cm, trung ñieåm cuûa MN vaø BC laø E vaø F a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng b) Trung điểm BN là G Tính độ dài các cạnh và số đo các góc EFG c) Chứng minh EFG ~ ABC Baøi 22: Cho ABC, keû AH BC, bieát BH = cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Treân AH laáy ñieåm O cho OH = cm a) Chứng minh ABC là tam giác vuông b) Treân caïnh AB laáy ñieåm M, treân OB laáy ñieåm P vaø treân OC laáy ñieåm N cho AM OP ON = = = Tính độ dài các cạnh và số đo các góc MPN AB OB OC Bài tập nâng cao chương II 1- Đường tròn và xác định đường tròn Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD (AD // BC); BC CD AD a a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng đường tròn Hãy xác định tâm O và bán kính đường tròn này b) Chứng minh AC OB Bài Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm tam giác, N, P, Q là trung điểm AH, AB, AC Chứng minh OPNQ là hình bình hành GiaoAnTieuHoc.com (4) Bài 3: Cho ABC, các góc nhọn Vẽ đường tròn đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) D và E, cắt đường tròn (O) H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K) A a) Chứng minh BD, BE là đường phân giác góc ABC ; CK, CH là đường A phaân giaùc cuûa goùc ACB b) Chứng minh BDAE, AHCK là hình chữ nhật Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB O Lấy ñieåm M treân cung AC Haï MH OA Treân baùn kính OM laáy ñieåm P cho OP = MH a) Tìm quó tích caùc ñieåm P M chaïy treân cung AC b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM cho OP khoảng cách từ M đến AB M chạy khắp đường tròn (O) Tính chất đối xứng đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD theo thứ tự thuộc hai đường tròn cho B và C nằm A và D và AB < 2R a) Chứng minh AD // OO’ b) Chứng minh AC = OO’ = BD c) Gọi I là trung điểm AD, chứng tỏ điểm I nằm trên đường cố định các dây AB, CD thay đổi vị trí cho AB, CD luôn luôn và B, C luôn nằm A, D A 600 Laáy ñieåm I coá ñònh treân tia phaân giaùc Ot cuûa goùc xOy laøm taâm Baøi 7: Cho goùc xOy vẽ đường tròn cho nó cắt Ox A, Oy B (A và B không đối xứng qua Ot) Haï ID Ox, IE Oy a) Chứng minh DA = EB b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI là các tam giác Xaùc ñònh vò trí cuûa T moät caùch nhanh nhaát c) Tìm quĩ tích điểm T đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng cắt Ox, Oy) d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm AIB (theo điều kiện câu c) Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F là giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh: a) AEF laø tam giaùc caân b) DO OE c) D, A, O, E nằm trên cùng đường tròn V ị trí t ương đối đường th ẳng và đường tròn – Tính chất tiếp tuyến - Tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, tiếp tuyến chung NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)) Các đường thẳng MM’ , GiaoAnTieuHoc.com (5) NN’ cắt tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng các điểm Q, Q’ a) Chứng minh các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy b) Chứng minh M 'O ' MP M ' P MO O 'Q ' PQ Q ' P QO c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt điểm I Chứng minh ba điểm O, I, O’ thẳng hàng A 600 Một đường tròn tâm I bán kính R = cm, tiếp xúc với Ox A, Baøi 9: Cho goùc xOy tiếp xúc với Oy B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox E, cắt Oy taïi F a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ chu vi đó có giá trị không đổi M chạy trên cung nhoû AB A có số đo không đổi M chạy trên cung nhỏ AB b) Chứng minh EIF Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và dây AC tạo với AB góc 300 Tiếp tuyến đường tròn C cắt đường thẳng AB D Chứng minh rằng: a) OAC ~ CAD b) DB.DA = DC2 = 3R2 Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC F Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) và (J) H b) EF laø tieáp tuyeán cuûa (I) taïi E, tieáp tuyeán cuûa (J) taïi F Bài 12: Cho ABC cân A Đường cao AH và BK cắt I Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI qua K b) HK là tiếp tuyến đường tròn đường kính AI Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên bán kính OB Gọi H là trung điểm AD Đường vuông góc H với AB cắt nửa đường tròn C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB E a) Tứ giác ACED là hình gì ? b) Chứng minh HCE cân H c) Chứng minh HE là tiếp tuyến đường tròn tâm I Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax C, cắt By D Gọi A’ là giao điểm BM với Ax, B’ là giao điểm BM với By Chứng minh rằng: a) A’AB ~ ABB’ , suy AA’.BB’ = AB2 b) CA = CA’ ; DB = DB’ c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax điểm A đường tròn Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho A A DAE a) Chứng minh: BOC b) Giả sử B, C hai phía điểm A, chứng minh trường hợp này A A BOC DAE =1800 GiaoAnTieuHoc.com (6) V ị trí tương đối hai đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; cm) và (O’ ; cm) cắt điểm phân biệt A và B biết OO’ = cm Từ B vẽ đường kính BOC và BO’D a) Chứng minh điểm C, A, D thẳng hàng; b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông; c) Tính dieän tích caùc tam giaùc OBO’ vaø CBD; d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài điểm A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và (O’) B và C (khác điểm A) DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn, D (O) ; E (O’) Gọi M là giao điểm hai đường thẳng A BD và CE Chứng minh rằng: a) DME 900 ; b) MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC Bài 4: Cho đường tròn (O ; R), đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc với (O ; R) và đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O1 ; r1) a) Tính chu vi tam giaùc OO1O2 theo R b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = cm ; r1 = cm Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d A Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, nó cắt AB E Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE taïi F a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính là 3R và R tiếp xúc ngoài A Đường thẳng d1 qua A cắt (O) B, cắt (O’) B’ Đường thẳng d2 vuông góc với d1 taïi A caét (O) taïi C, caét (O’) taïi C’ a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui điểm M cố định b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt M c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’ Tìm quĩ tích điểm I d1 và d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau) Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc A Góc vuông xAy quay xung quanh ñieåm A, Ax caét (O) taïi B, Ay caét (O’) taïi C a) Chứng minh OB // O’C b) Gọi C’ là điểm đối xứng C qua O’ Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng c) Qua O vẽ d AB, nó cắt BC M Tìm quĩ tích điểm M các dây AB, AC thay đổi vị trí vuông góc với Ôn tập chương II Bµi 1: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iÓm TiÕp tuyÕn chung cña hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i M GiaoAnTieuHoc.com (7) a) Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®êng trßn ( M ; BC/2 ) b) Đường thẳng OO’ có vị trí gì đường tròn ( M ; BC/2 ) c) Xác định tâm đường tròn qua điểm O, O’, M d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®i qua ®iÓm O, O’, M Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iÓm O cña AB Trªn mét nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ hai tia Ax, By vuông góc với AB Một góc vuông có đỉnh là O có hai cạnh cắt Ax và By C và D Gọi C’ là giao điểm tia CO với tia đối tia By Chứng minh: a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n b) §êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB c) Đường tròn ngoại tiếp COD luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định góc vuông O thay đổi Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi C¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi MN, PQ ( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ) a) CMR: MN đối xứng với PQ qua đường thẳng OO’ b) CMR: ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn mét ®êng trßn c) Nối MQ cắt (O), (O’) tương ứng các điểm thứ hai A, B Chứng minh MA = QB Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tuyÕn xy t¹i tiÕp ®iÓm C n»m trªn (O) a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB b) CMR đường thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) ®iÓm D th× ®iÓm C, O, D th¼ng hµng c) Cho hai ®êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch mét kho¶ng b»ng cm, mét ®iÓm M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng cm H·y dùng mét ®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2 Bµi 5: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi t¹i A Qua A kÎ ®êng th¼ng a c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’ Chøng minh BC // B’C’ Hướng dẫn giải §2 Tính chất đối xứng x Bài 2: a) Ta chứng minh AA’ = BB’; suy AD = BE A 600 nên dễ dàng chứng minh b) Vì xOy A DIE A 1200 AIB A' A O t D I B' Ta chứng minh ATI = BTI E B y T A A Nên ATI BTI 60 Suy đó là tam giác Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB T, đó chính là tâm đường tròn qua A, I, B c) Ta chứng minh đường tròn tâm T bán kính TI qua O Thật vậy, giả sử (T) caét IO taïi O’ vaø caét O’T taïi T’ A ' 2IO A ' T ' Nhöng BTT A ' 2BO A ' T ' Suy ITB A 2IO A ' B , đó IO A ' B 300 Ta coù ITT A ' B vaø IOB A A 300 Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì IO Ta coù IOB coù moät goùc vị trí góc ngoài còn góc là góc BOO’, chúng không thể Do đó BO và BO’ trùng nhau, O’ trùng với O PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO T thuộc trung trực OI cố định Để đường tròn A A taâm T caét caùc tia Ox, Oy thì TOx ; TOy là các góc nhọn Do đó T nằm miền góc A xác định Ou Ox, Ov Oy Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực uOv OI, vừa thuộc miền góc uOx (để A, B phân biệt) GiaoAnTieuHoc.com (8) PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox A’, cắt Oy B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B (Chứng minh IDA’ = IEB’ IA’ = IB’) KẾT LUẬN: Quĩ tích T là đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2 d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H AIB nằm trên đường thẳng TI, Bz AI, ta chứng minh Bz BT Ta chứng minh H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng T1T2 qua I không kể H1, H2 F Baøi A D B O I H E C K a) Ta c/m AO là phân giác góc FAE nên AO là trục đối xứng góc FAE AO là đường thẳng chứa đường kính (O) nên AO là trục đối xứng đường tròn (O) F là giao điểm AB với (O) Hình đối xứng F là giao điểm AC với (O), đó chính là điểm E F và E đối xứng qua AO Vậy AEF là tam giác cân A 2DFO A A 2EFO A b) Ta c/m được: DOI , EOI A A 2DFE 900 hay DO OE Suy DOE c) Laáy I laø trung ñieåm cuûa DE, ta coù ID = IA = IE = IO Vaäy D, A, O, E naèm treân moät đường tròn tâm I bán kính DE/2 Baøi 4: B A C D D' O B' Ta có C và D đối xứng qua O Lấy B’ đối xứng A qua O thì B’ cố định CA có hình đối xứng qua O Là DB’ nên CA = DB’, đó DB = DB’ Suy D nằm trên trung trực d BB’… §3 Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến O Baøi 9: a) EM = EA ; FM = FB Suy OE + EF + OF = OA + OB A 300 ; ta tính OB R ; đó: OIB coù IOB OE + EF + OF = 2R Giaù trò 2R khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M F E M A B I 1A 1A A 1200 ; EIM A A AIM ; MIF MIB b) Ta tính AIB 2 A có số đo không đổi M chạy trên cung nhỏ A AIB A hay EIF A 600 Vaäy EIF Suy EIF AB Baøi 10: C 30 A 30 O GiaoAnTieuHoc.com B 30 D (9) A a) Tính số đo các góc, ta CAO 300 A A A 300 (chung); ACO ADC 300 Hai tam giaùc OAC vaø CAD coù CAO Vaäy OAC ~ CAD A b) Tam giác COB là tam giác đều, OCA 300 (có nhiều cách chứng minh), A CBD 1200 Dễõ dàng chứng minh OAC ~ BCD Suy BD = R DCB ~ DAC Vaäy DA.DB = DC2 = 3R2 Baøi 11: DC DB Do đó DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R DA DC A P F E B I H J C a) Gọi I là trung điểm BH thì I là tâm đường tròn đường kính BH Gọi J là trung điểm HC thì J là tâm đường tròn đường kính BH Ta có IH AH suy AH là tiếp tuyến đường tròn đường kính HC Vậy AH là tiếp tuyến chung hai đường tròn (I), (J) b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật Gọi P là giao điểm AH và EF Ta coù PE = PF = PH = PA A IHP A 900 Vậy EF là tiếp tuyến đường Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy IEP troøn (I) A PHJ A 900 Vậy EF là tiếp tuyến đường Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy PFJ A troøn (J) Baøi 12: O I B C H a) Gọi O là trung điểm AI ta có OA = OI = OK Vậy đường tròn tâm O đường kính AI qua K A A b) Ta coù AOK caân AKO (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) OAK A A Ta lại có HK = HB nên HBK HKB Từ đó ta c/m OK HK C Vậy HK là tiếp tuyến đường tròn O E Baøi 13: A a) ACED laø hình thang vuoâng H O D I b) Ñaët AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y A A HIE Hai tam giaùc OHC vaø IEH coù: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH (ñv) Suy OHC = IEH (c.g.c) Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân H GiaoAnTieuHoc.com K B (10) A E A 900 , tức là HE IE Vậy HE là tiếp tuyến đường c) Do OHC = IEH neân H B' troøn taâm I x Bài 14: a) Tự giải D A' b) CA = CM (hai tieáp tuyeán caét taïi C) M Lấy I là trung điểm AM, CI là đường trung bình AA’M C I Vậy CA = CA’ Tương tự DB = DB’ B c) Ta coù AA’ // BB’ Laïi coù K AC DB Vậy B’A’, DC, AB đồng qui CA ' DB' Baøi 15: a) CO AE taïi P, BO AD taïi Q Goïi I laø giao ñieåm cuûa OP vaø AQ A 900 ; PIA A QIO A Hai tam giaùc PAI vaø QOI coù: P Q A A DAE Suy BOC C A A 900 hay P Q A 1800 b) Tứ giác AQOP’ có P Q C P' 0 A A mà tổng các góc tứ giác lồi là 360 , suy BOC' DAE ' 180 E' A O B E I Q D O §4 Vị trí tương đối hai đường tròn D C Baøi 8: A a) AOBO’ laø hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) neân AB vaø OO’ O' cắt I, trung điểm chung AB và OO’ D’ đối xứng O I D qua O neân D’ thuoäc O’ B OCO’D’ laø hình bình haønh (OC // O’D’ ; OC = O’D’) D' AB và CD’ cắt trung điểm đoạn Nhưng trung điểm AB là I, nên CD’ qua I Vậy AB, OO’, CD’ cắt I, trung điểm đoạn thẳng b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD Vì BA OO’ nên BA CD Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành đó AD’ // CB Vì DA AD’ (DD’ là đường kính) suy DA CB Vậy A là trực tâm BCD Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) tieáp xuùc taïi E F A A A DFB A AED FEB b) Ta c/m ADF A A ADF DFB BF // AD (*) E A B Vì ABCD laø hình bình haønh BC // AD (**) Từ (*) và (**) ta suy C, B, F thẳng hàng I' Baøi 10: D C Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) A nằm trên đường thẳng OA O A Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với D taïi B Taïi A veõ tieáp tuyeán chung noù caét d taïi P, thì PB = PA I Từ đó ta suy cách dựng B' P B Baøi 11: d1 P A ' BA BAC A B a) A 900 A’B // AC I' A 'B O A ' AC' OA Ta coù A A 'C' A (OA A ' B) OBA 'O P' I A' O A C GiaoAnTieuHoc.com C' T I'' M O' B' T' (11) Do đó OA’B ~ O’AC’ Ta có BOC là đường kính đường tròn (O), B’O’C’ là đường kính đường tròn (O’) O 'C' O ' B' nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui M OB OC MO ' O 'C Suy M laø ñieåm coá ñònh Ta laïi coù MO OB M P MO ' Suy M1 trùng với M b) Giả sử PP’ cắt OO’ M1, ta chứng minh MP MO A c) Phaàn thuaän: AIM 900 (A, I cố định), đồng thời I không miền ngoài góc PMT Ta coù BC // B’C’ vaø Do đó I nằm trên cung tròn đường kính AM, giới hạn hai tiếp tuyến MP, MT, đó là cung I1I2 (khi B vị trí P thì C’ vị trí P’) Phần đảo: Lấy I’ trên cung I1I2 Đường thẳng MI’ cắt (O) B1, cắt (O’) C’1, ta phải A AC' 1v và AI’ B C* (có thể sử dụng định lí đảo định lí Thales) chứng minh B 1 1 Keát luaän: Quó tích ñieåm I laø cung IA1I2 C A C A 2A A ;A A B A C A 1800 suy A A 600 Bài 13: Ta tính B Ta tính BC = R Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, Gọi D, E, F là tiếp điểm (I) với AB, BC, CD A IAF A 300 , Trong tam giaùc IAD vuoâng taïi D ta thaáy IAD ID = IF = r, đó AD = AF = r Ta có: SABC = p.r = E F I O B D A (AB + BC + CA).r (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r Trong đó DB+CF = BE + EC = R Thay các giá trị đã biết và thu gọn ta = C SABC = r.(R + r) Bài 14: Ta chứng minh 1 DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = a.b.sin 2 1800 ab.sin A A FDC Ta rút R Ta tính EDC a b Gọi M, N là giao điểm tiếp tuyến chung K với AC và BC thì 1800 A KDN Ta chứng minh CMN cân C nên: ab A MK KN R.tg 450 tg 45 sin Do đó OK r KN.tgKNO , a b 1800 ab A KNO 450 Suy r sin tg2 450 4 a b 4 GiaoAnTieuHoc.com M E A N K D F B (12)